Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εισαγωγικό μάθημα Συστήματα μέτρησης, μετατροπές δυνάμεων, μονάδων και σφάλματα μέτρησης Εισαγωγή Η Φυσική είναι μια επιστήμη που ασχολείται με το μικρό και το μεγάλο, το παλιό και το καινούριο. Από το άτομο έως τους γαλαξίες, από τα ηλεκτρικά κυκλώματα έως την αεροδυναμική, η φυσική είναι ένα πολύ σημαντικό κομμάτι του κόσμου γύρω μας. Τα τεχνολογικά επιτεύγματα των τελευταίων αιώνων, που επέτρεψαν στον άνθρωπο να εκμεταλλευτεί το περιβάλλον προς όφελος του, να επικοινωνεί στιγμιαία με συνανθρώπους του σε απομακρυσμένα σημεία και να βγει από τον πλανήτη του, οφείλονται στη φυσική. Η φυσική αναπτύχθηκε ως μια επιστήμη βασισμένη στη παρατήρηση της φύσης και γρήγορα έγινε κατανοητό ότι ο άνθρωπος μπορούσε να εξηγήσει τους κανόνες που διέπουν τη φύση κάνοντας ένα κατάλληλο πείραμα και εξηγώντας το με μια θεωρία. Σε πολλές βέβαια περιπτώσεις, ιδιαίτερα στον τελευταίο αιώνα, κάποιοι εξαίρετοι επιστήμονες, όπως ο Αϊνστάιν, ο Χόκινγκ κ.α., πρώτα διατύπωσαν μια θεωρία και μετά από κάποιο διάστημα μπόρεσαν να επαληθευτούν αυτές οι θεωρίες με ειδικά σχεδιασμένα πειράματα. Γενικά, μπορούμε σήμερα να πούμε η θεωρία και το πείραμα ότι προχωρούν μαζί θέτοντας τα θεμέλια για τις νέες τεχνολογίες του αύριο. Περίγραμμα μαθήματος Πριν όμως περάσουμε στα βασικά στοιχεία που πρέπει να γνωρίζουμε για το μάθημα θα δούμε μια γενική περιγραφή του μαθήματος και των κεφαλαίων της Φυσικής με τα οποία θα ασχοληθούμε. Πιο συγκεκριμένα το μάθημα θα περιέχει τα εξής: 1) Εισαγωγή στην κινηματική (κίνηση σε ευθεία γραμμή και διανύσματα) ) Κίνηση βλήματος 3) Νόμοι Νεύτωνα και δυνάμεις 4) Κέντρο Μάζας Ορμή 5) Νόμος Βαρύτητας 6) Εισαγωγή στην κυματική (Εξίσωση κύματος) 7) Ηλεκτρικό φορτίο Νόμος Coulomb 8) Ρεύμα και αντίσταση 9) Ηλεκτρικά κυκλώματα 10) Εισαγωγή στη γεωμετρική οπτική (ανάκλαση διάθλαση) Επιπλέον, θα κάνουμε και κάποια επαναληπτικά μαθήματα στα οποία θα δούμε παλιά θέματα εξετάσεων αλλά και επιπλέον ασκήσεις με τις οποίες θα κατανοήσουμε καλύτερα κάποιους νόμους, κανόνες και αρχές.
Συστήματα μέτρησης Η εξέλιξη συνεπώς της Φυσικής βασίστηκε στη μέτρηση. Μέτρηση της χρονικής διαφοράς μεταξύ δύο γεγονότων, μέτρηση της έντασης του ρεύματος σε ένα σύρμα, μέτρηση της θερμοκρασίας του Ήλιου σε υγρή φάση, μέτρηση του μήκους κύματος του φωτός κ.α. Είναι λοιπόν πολύ σημαντικό στη Φυσική να μάθουμε να μετράμε σωστά τις ποσότητες που σχετίζονται με τους νόμους της φυσικής. Το μήκος, ο χρόνος, η πίεση κ.α. για να περιγραφούν ως φυσικές ποσότητες πρέπει να οριστεί μια μονάδα μεγέθους και με βάση αυτή να μετρήσουμε πολλαπλάσιες και υποπολλαπλάσιες τιμές. Πρέπει επίσης να κατανοήσουμε τη σημασία της ακρίβειας κατά την περιγραφή μιας τέτοιας ποσότητας και τη σημασία των σφαλμάτων κατά τη διαδικασία της μέτρησης. Για να εκφράσουμε έναν αριθμό, μια τιμή που θα μετρήσουμε για μια ποσότητα που παρατηρούμε πρέπει να γνωρίζουμε το σύστημα μέτρησης το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε. Ο άνθρωπος καθημερινά χρησιμοποιεί στις συναλλαγές του αλλά και στο τρόπο μέτρησης το δεκαδικό. Τα στοιχεία αυτού του συστήματος είναι τα 0,1,,3,4,5,6,7,8 και 9. Όλοι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε αποτελούνται από αυτά τα δέκα (και μόνο αυτά) στοιχεία. Υπάρχουν όμως και άλλα συστήματα, όπως για παράδειγμα το δυαδικό, το οκταδικό και το δεκαεξαδικό. Σε αυτά τα συστήματα τα στοιχεία είναι αντίστοιχα, 8, 16. Δυαδικό: 0 και 1 Οκταδικό: 0,1,,3,4,5,6,7 και 8 Δεκαεξαδικό: 0,1,,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e και f Οι υπολογιστές αποτελούνται από ηλεκτρικά κυκλώματα τα οποία είτε διαρρέονται από ρεύμα είτε όχι (καταστάσεις 1 και 0). Συνεπώς οι λέξεις που ένας υπολογιστής καταλαβαίνει πρέπει να μετατραπούν σε ένα δυαδικό σύστημα. Το νούμερο δύο () ο υπολογιστής δεν το καταλαβαίνει. Καταλαβαίνει όμως το 10 που για τον υπολογιστή είναι το. Ομοίως το 3 είναι το 11, το 4 το 100, το 5 το 101, το 6 το 110, το 7 111, το 8 το 1000 κ.ο.κ. Αντιστοίχως σε ένα δεκαεξαδικό σύστημα μέτρησης το a είναι η τιμή 10, το b είναι η τιμή 11, το c είναι η τιμή 1, το d είναι η τιμή 13, το e είναι η τιμή 14, το f είναι η τιμή 15, το 10 είναι η τιμή 16, το 11 είναι η τιμή 17 κ.ο.κ. Ποσότητες - μεγέθη Όταν επιθυμούμε να μετρήσουμε πειραματικά κάποιο γεγονός που παρατηρούμε στη φύση χρησιμοποιούμε κάποια ποσότητα. Οι ποσότητες αυτές είναι μετριούνται είτε με τα λεγόμενα φυσικά ή θεμελιώδη μεγέθη, είτε με τα παράγωγα μεγέθη. Τα φυσικά ή θεμελιώδη μεγέθη είναι αυτά που δεν μπορούν να οριστούν με άλλο τρόπο από άλλα θεμελιώδη μεγέθη. Τα παράγωγα μεγέθη είναι αυτά που προκύπτουν από τα θεμελιώδη με κάποιας μορφής πράξη (πολλαπλασιασμό ή και διαίρεση). Παραδείγματα θεμελιωδών μεγεθών είναι το μήκος, η μάζα και ο χρόνος, ενώ παράγωγα μεγέθη είναι ο όγκος, η ισχύς και η πυκνότητα. Μετατροπές δυνάμεων
Το 1971 καθορίστηκε για πρώτη φορά διεθνώς μια κοινά αποδεκτή στην επιστημονική κοινότητα βάση εφτά φυσικών ποσοτήτων (των θεμελιωδών), το System Internationale ή S.I., το οποίο είναι και γνωστό ως μετρικό. Για τις ποσότητες αυτές (χρόνος, μήκος, μάζα, θερμοκρασία, ηλεκτρικό ρεύμα κ.α.) ορίστηκαν για πρώτη φορά με απόλυτη ακρίβεια οι μονάδες. Με βάση αυτό το σύστημα προέκυψαν και οι παράγωγες μονάδες για άλλες φυσικές ποσότητες (π.χ. ισχύς watt). Οι βασικές μονάδες ορίστηκαν με ανθρωποκεντρικό τρόπο για λόγους ευκολίας (π.χ. μέτρο και όχι χιλιόμετρο). Για την περιγραφή μεγαλυτέρων μεγεθών (απόσταση δύο πόλεων) χρησιμοποιήθηκαν δυνάμεις του δεκαδικού συστήματος. Αν π.χ. αυτή η απόσταση είναι η απόσταση Αθήνας Θεσσαλονίκης τότε σίγουρα δεν είναι εύχρηστο να μιλάμε για απόσταση x 50.000,00 m. Είναι προτιμότερο να πούμε ότι αυτή η απόσταση είναι x 5,0x10 5 m αλλά ακόμα πιο εύχρηστο να πούμε x 50 km. Τέτοιες μετατροπές δυνάμεων χρησιμοποιούνται πλέον σε πάρα πολλές επιστήμες όπου το μέγεθος που μετράμε μπορεί να είναι μικρό αλλά ταυτόχρονα σε άλλες περιπτώσεις μεγάλο (βλ. Πίνακα 1). Η επιστημονική βέβαια απεικόνιση μιας τιμής, c, ενός μεγέθους δίνεται από την παρακάτω σχέση: c=αx10 n, Όπου Α είναι: 1 A < 10, με το Α να έχει τυπικά έως 3 με 4 δεκαδικά ψηφία και n είναι ένας ακέραιος (η δύναμη). Στο παράδειγμα της απόστασης ο επιστημονικός τρόπος απεικόνισης (αυτός μάλιστα που χρησιμοποιούνε συχνά τα λογιστικά προγράμματα, όπως τα excel, origin κ.α.) είναι x 5,0x10 5 m. Πίνακας 1. Πίνακας μετατροπής δυνάμεων Τάξη Πρόθεμα Σύμβολο Τάξη Πρόθεμα Σύμβολο μεγέθους μεγέθους 10 4 Yotta Y 10-4 yocto y 10 1 Zeta Z 10-1 zepto z 10 18 Exa E 10-18 atto a 10 15 Peta P 10-15 femto f 10 1 Tera T 10-1 pico p 10 9 Giga G 10-9 nano n 10 6 Mega M 10-6 micro μ 10 3 Kilo k 10-3 milli m 10 Hector h 10 - centi c 10 1 Deka da 10-1 deci d Μετατροπές μεγεθών Με την καθιέρωση του συστήματος S.I. αντικαταστάθηκαν μονάδες που χρησιμοποιούνταν για πολλούς αιώνες ακόμα (π.χ. μνα, τάλαντο, οκά) και υπήρχαν με διάφορες μορφές σε όλη σχεδόν τη Γη. Εξαίρεση αποτελούν μονάδες του Αγγλικού συστήματος μετρήσεων οι οποίες ακόμα χρησιμοποιούνται ως βασικές μονάδες μέτρησης σε περιοχές όπως οι ΗΠΑ, το Ηνωμένο Βασίλειο και η Αυστραλία. Έτσι σε τέτοιες περιοχές αντί του εκατοστού και του μέτρου έχουμε την ίντσα, το πόδι και το
μίλι, αντί των βαθμών Κελσίου έχουμε τους βαθμούς Φαρενάϊτ, αντί του κιλού έχουμε τη λίβρα κ.ο.κ.. Είναι φυσικά εύκολο να μετατρέψουμε τιμές μιας ποσότητα από μια μονάδα σε άλλη αν ξέρουμε τη σχέση μετατροπής τους. Για παράδειγμα στην τεχνολογία οθονών και τηλεοράσεων είναι ευρέως διαδεδομένη η ίντσα σαν μονάδα μέτρησης ενώ στο υψόμετρο αεροπλάνων τα πόδια. 1. Για να βρούμε πόσο είναι το μέγεθος σε εκατοστά (cm) μιας απόστασης 4 ιντσών πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι μια ίντσα είναι.54cm. Εφαρμόζοντας απλή μέθοδο των τριών είναι: 1 in.54cm 4 in ; Οπότε το αποτέλεσμα είναι x=4*.54 61cm.. Για να βρούμε πόσο είναι το υψόμετρο σε μέτρα (m) στο οποίο πετάει ένα αεροπλάνο βρισκόμενο σε 10000 πόδια (ft) πρέπει να γνωρίζουμε ότι 1 πόδι είναι 1 ίντσες. Συνεπώς: 1 ft 1 in 1x.54 cm 10000 ft ; ; Οπότε το αποτέλεσμα είναι y=1*10000in=1*10000*.54=304800cm ή y=3048m, δηλαδή περίπου 3 km. Επιπλέον, είναι δυνατόν ορισμένες ποσότητες να περιγραφούν με περισσότερες της μιας μονάδες. Π.χ. η πίεση μιας ατμόσφαιρας (1 Atm) είναι περίπου 10 5 Pa και ένα λίτρο ορίζεται και ως ένα δεκατόμετρο εις την τρίτη (1lt=10 3 dm). Συνεπώς και τα 330ml ενός φυσιολογικού αναψυκτικού είναι 0,33lt ή 0,33dm 3 ή 330cm 3. Σφάλματα μέτρησης (από σημειώσεις θεωρίας σφαλμάτων Δρ. Τσιγαρίδα Γεώργιου) Στη Φύση είναι αδύνατο να μετρηθεί η τιμή ενός μεγέθους με απόλυτη ακρίβεια. Η αβεβαιότητα στη γνώση της τιμής ενός μεγέθους, ή αλλιώς η απόκλιση της μετρούμενης τιμής του μεγέθους από την πραγματική ονομάζεται σφάλμα της μέτρησης. Τα σφάλματα μπορούν να προέλθουν είτε από ατέλειες των οργάνων είτε να οφείλονται στον ανθρώπινο παράγοντα. Για παράδειγμα όταν μετρούμε το μήκος ενός αντικειμένου με μία μετροταινία η οποία έχει ως μικρότερη υποδιαίρεση ένα χιλιοστό, δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε το μήκος με ακρίβεια καλύτερη από αυτή του ενός χιλιοστού. Ακόμη όταν μετράμε π.χ. τη διάρκεια της ταλάντωσης ενός εκκρεμούς με ένα χρονόμετρο, τότε δεν είναι δυνατόν να συγχρονίσουμε με απόλυτη ακρίβεια την έναρξη και τη λήξη των ταλαντώσεων με το πάτημα των αντίστοιχων κουμπιών στο χρονόμετρο. Όλοι αυτοί οι παράγοντες, και πολλοί άλλοι, εισάγουν σφάλμα στις μετρήσεις. Όταν η απόκλιση των μετρούμενων τιμών ενός μεγέθους από την πραγματική μεταβάλλεται κατά τυχαίο τρόπο με αποτέλεσμα η τιμή του μεγέθους να προκύπτει άλλοτε μεγαλύτερη και άλλοτε μικρότερη από την πραγματική, τότε έχουμε τυχαίο σφάλμα. Σε αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν οι μετρούμενες τιμές προκύπτουν συνεχώς μεγαλύτερες ή μικρότερες της πραγματικής, τότε μιλάμε για συστηματικό σφάλμα. Μία πηγή συστηματικού σφάλματος είναι η απόκλιση του μηδενός, δηλαδή η περίπτωση στην οποία το μηδέν της κλίμακας ενός οργάνου δεν συμπίπτει με το πραγματικό μηδέν. Για
παράδειγμα, έστω ότι έχουμε μία ζυγαριά η οποία ακόμα και όταν δεν έχουμε τοποθετήσει κάποιο σώμα επάνω της δείχνει π.χ. μία τιμή 1 Kg. Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε μέτρηση κάνουμε με τη ζυγαριά αυτή θα έχει απόκλιση + 1 Kg, δηλαδή για να πάρουμε τη σωστή μέτρηση θα πρέπει από όλες τις τιμές να αφαιρούμε 1 Kg. Τα συστηματικά σφάλματα μπορούν σχετικά εύκολα να εξαλειφτούν προσθέτοντας ή αφαιρώντας μία σταθερή τιμή από τις μετρήσεις που παίρνουμε κάθε φορά. Έστω ότι μετρούμε για παράδειγμα το μήκος ενός αντικειμένου και βρίσκουμε ότι είναι l =10 cm με αβεβαιότητα της τάξης του ενός χιλιοστού, δηλαδή δl =1mm = 0.1cm. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε ότι l = (10.0 ± 0.1)cm Ο παραπάνω συμβολισμός έχει την έννοια ότι το μήκος του αντικειμένου κυμαίνεται στην περιοχή (10.0 0.1)cm l (10.0 + 0.1)cm ή 9.9cm l 10.1cm Γενικότερα, όταν μετρούμε την τιμή ενός μεγέθους x και βρίσκουμε μία τιμή x 0 με σφάλμα δx, τότε γράφουμε x 0 = x ± δx το οποίο έχει την έννοια ότι η τιμή του μεγέθους x κυμαίνεται στο διάστημα x 0 δx x x 0 + δx Για παράδειγμα, εάν η περίοδος ενός εκκρεμούς είναι T = 5.0 sec με σφάλμα δt = 0.1 sec τότε γράφουμε T = (5.0 ± 0.1)sec και εννοούμε ότι (5.0 0.1)sec T (5.0 + 0.1)sec ή 4.9sec T 5.1sec Ο λόγος που γράφουμε T = (5.0 ± 0.1)sec και όχι T = (5± 0.1)sec είναι ότι στην τιμή του μεγέθους κρατάμε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα έχει και η τιμή του σφάλματος. Δηλαδή εάν το σφάλμα βρίσκεται στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο τότε κρατάμε ένα δεκαδικό, εάν βρίσκεται στο δεύτερο δύο, κ.ο.κ.. Επομένως, εάν το σφάλμα ήταν δt = 0.01sec, τότε θα γράφαμε T = (5.00 ± 0.01)sec, ενώ εάν είχαμε δt = 0.001sec τότε θα γράφαμε T = (5.000 ± 0.001)sec, κλπ. Τέλος, εάν το σφάλμα ήταν δt =1sec θα γράφαμε T = (5±1)sec Σε περίπτωση που η τιμή του μεγέθους έχει περισσότερα δεκαδικά ψηφία από το σφάλμα τότε στρογγυλοποιούμε στην πλησιέστερη τιμή. Για παράδειγμα, εάν έχουμε T = 4.967sec και δ T = 0.01sec τότε γράφουμε T = (4.97 ± 0.01)sec. Οι κανόνες της στρογγυλοποίησης είναι οι εξής: α) Εάν το επόμενο ψηφίο από το τελευταίο που κρατάμε είναι μεγαλύτερο του 5 τότε αυξάνουμε το τελευταίο ψηφίο κατά μία μονάδα. Για παράδειγμα, εάν έχουμε l = (6.47 ± 0.1)cm τότε γράφουμε l = (6.5± 0.1)cm β) Εάν το επόμενο ψηφίο από το τελευταίο που κρατάμε είναι μικρότερο του 5 τότε το τελευταίο ψηφίο δεν μεταβάλλεται. Για παράδειγμα, εάν έχουμε l = (6.43± 0.1)cm τότε γράφουμε l = (6.4 ± 0.1)cm γ) Τέλος, εάν το επόμενο ψηφίο από το τελευταίο που κρατάμε είναι ίσο με 5 τότε το τελευταίο ψηφίο στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο άρτιο αριθμό. Για παράδειγμα, εάν έχουμε l = (6.45± 0.1)cm τότε γράφουμε l = (6.4 ± 0.1)cm (εφόσον το 4 είναι άρτιος), ενώ εάν είχαμε l = (6.55± 0.1)cm, τότε θα γράφαμε l = (6.6 ± 0.1)cm Σημαντικά ψηφία Τα ψηφία της τιμής του μεγέθους τα οποία είναι μεγαλύτερα ή ίσα του σφάλματος δηλαδή βρίσκονται αριστερά από το σφάλμα ονομάζονται σημαντικά ψηφία και αυτά είναι τα μόνα που θα πρέπει να χρησιμοποιούμε όταν γράφουμε την τιμή του μεγέθους.
Αντίθετα, τα ψηφία που βρίσκονται δεξιά του σφάλματος, είναι δηλαδή μικρότερα από το σφάλμα δεν είναι σημαντικά ψηφία και δεν θα πρέπει να χρησιμοποιούνται όταν γράφουμε την τιμή του μεγέθους. Παράδειγμα Εάν έχουμε l =.364cm και δ l = 0.0cm τότε τα σημαντικά ψηφία είναι τα τρία πρώτα δηλαδή το.34 και θα πρέπει να γράψουμε l = (.36 ± 0.0)cm. Αντίθετα το τελευταίο ψηφίο (το 4) δεν είναι σημαντικό και παραλείπεται. Σχετικό σφάλμα Ο λόγος του σφάλματος προς την τιμή του μεγέθους ονομάζεται σχετικό σφάλμα: δx σχ. σφάλμα = x 0 Το σχετικό σφάλμα εκφράζει την ακρίβεια της μέτρησης, δηλαδή όσο πιο μικρό είναι το σχετικό σφάλμα τόσο πιο ακριβής είναι η μέτρηση. Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε δύο μετρήσεις α) l 1 = (10.0 ± 0.5) cm. 0.5 5 Το σχετικό σφάλμα είναι: σχ. σφάλμα = = = 0.05 ή 5% 10 100 β) l = (5.0 ± 0.4) cm 0.4 8 Το σχετικό σφάλμα είναι: σχ. σφάλμα = = = 0.08 ή 8% 5 100 Επομένως η πρώτη μέτρηση είναι ακριβέστερη από τη δεύτερη αν και το απόλυτο σφάλμα είναι μεγαλύτερο. Μετάδοση σφάλματος 1. Άθροισμα και διαφορά μεγεθών με σφάλματα μέτρησης Έστω ότι μετρούμε δύο μήκη l 1 = 10.0 ± 0.5 cm και l = 8.0 ± 0.4 cm και θέλουμε να προσδιορίσουμε το άθροισμά τους l 1 + l καθώς και το σφάλμα του δ(l 1 + l ). Προφανώς έχουμε ότι l 1 + l =10.0cm+ 8.0cm =18.0cm. Αντίθετα για το σφάλμα δεν είναι σωστό να πούμε ότι δ(l 1 + l )=δl 1 +δl = 0.5cm+ 0.4cm = 0.9cm, γιατί κατ αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε τιμή του σφάλματος μεγαλύτερη από την πραγματική. Η σωστή τιμή του σφάλματος είναι: ( δl ) + ( δ ) = ( 5 ) + ( 0. 4cm) δ( l 1 + l ) = 1 l 0. cm = 0. 5cm + 0. 16cm 0. 64cm 0. 6cm Δηλαδή εάν θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με τα σφάλματα της κάθε μέτρησης τότε το σφάλμα του αθροίσματος των δύο μεγεθών δίνεται από την υποτείνουσα του τριγώνου. Το ίδιο ισχύει και για τη διαφορά μεταξύ δύο μεγεθών καθώς και για περισσότερα από δύο μεγέθη.
. Γινόμενο μεγεθών με σφάλματα μέτρησης Όταν έχουμε γινόμενο δύο μεγεθών ο κανόνας του ορθογωνίου τριγώνου εφαρμόζεται στα σχετικά σφάλματα. Έστω ότι έχουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών: l 1 = (10.0 ± 0.5)cm και l = (6.0 ± 0.4) cm Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι : E = l 1 l =10.0cm 6.0cm = 60cm και το σφάλμα δίνεται από τη σχέση: δe δ( l1 l ) δl 1 δl 0. 5 0. 4 = = = + = 0. 05 + 0. 067 E + l1 l l1 l 10 6 0. 007 0. 084 δe = 0. 084 E = 0.084 60cm = 5 04cm 5cm =. Επομένως, έχουμε τελικά ότι E = (60 ± 5)cm. 3. Γενική σχέση Στη γενικότερη περίπτωση που ένα μέγεθος z εξαρτάται από δύο άλλα μεγέθη x, y μέσω μίας συνάρτησης z = f (x, y) τότε το σφάλμα στο z δίνεται από τη σχέση ϑf ϑf δz = δx + δy x y ϑ ϑ ϑf ϑf όπου και η μερική παράγωγος της f ως προς x και y αντίστοιχα. ϑx ϑy Σημείωση: Για τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με την κανονική παραγώγιση, με τη μόνη διαφορά ότι οι μεταβλητές ως προς τις οποίες δεν παραγωγίζουμε αντιμετωπίζονται ως σταθερές.