Φροντιστήριο 2 Λύσεις Άσκηση 1 1. p ( p r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. p r ΜP 6. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 7. i 4, 6 8. r e 9. r e 5, 8, 6 10. i 2, 9 11. p i 12. q p i 3-11 Άσκηση 2 (α) φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 1. φ 1 φ 2 προϋπόθεση 2. φ 1 e 3. φ 1 προσωρινή υπόθεση 4. i 2, 3 5. φ 2 e 6. φ 1 φ 2 i 3-5
(β) φ 1 φ 2 (φ 1 φ 2 ) 1. φ 1 φ 2 προϋπόθεση 2. φ 1 φ 2 προσωρινή υπόθεση 3. φ 1 e 1 4. φ 2 e 1 5. φ 1 MT 6. i 3, 5 7. (φ 1 φ 2 ) i 2-6 (γ) φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 1. φ 1 φ 2 προϋπόθεση 2. φ 1 προσωρινή υπόθεση 3. φ 1 e 1 4. i 2, 3 5. φ 2 e 4 6. φ 1 φ 2 i 2-5 (δ) φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 1. φ 1 φ 2 προϋπόθεση 2. φ 1 προσωρινή υπόθεση 3. φ 2 e 1 4. φ 1 φ 2 i 2-3 Άσκηση 3 Γνωρίζουμε ότι δύο προτάσεις και ψ είναι σημασιολογικά ισοδύναμες αν ψ και ψ. Αυτό συνεπάγεται ότι δυο σημασιολογικά ισοδύναμες προτάσεις είναι αληθείς για ακριβώς τις ίδιες αναθέσεις τιμών των ατομικών προτάσεων που περιέχουν. Στην προκειμένη περίπτωση, ισοδύναμη προς τη δοθείσα πρόταση είναι η πρόταση (α) και μπορούμε να το δούμε φτιάχνοντας τους πίνακες αλήθειας. Για τις άλλες τρεις προτάσεις παρατηρούμε ότι η αρχική πρόταση δεν προϋποθέτει την αλήθεια καμίας από τις p, q και q.
Άσκηση 4 (α) Για να δείξουμε ότι το σύνολο τελεστών {, } είναι επαρκές αρκεί να δείξουμε ότι οι τελεστές και μπορούν να αντικατασταθούν μέσω ισοδύναμων προτάσεων που χρησιμοποιούν μόνο τελεστές από το σύνολο. Οι ζητούμενες ισοδυναμίες είναι οι p q p q p q ( p q) = (p q) Επαλήθευση των ισοδυναμιών μπορεί να γίνει μέσω πινάκων αλήθειας και αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Για να δείξουμε ότι το σύνολο τελεστών {, } είναι επαρκές αρκεί να δείξουμε ότι οι τελεστές, και μπορούν να αντικατασταθούν μέσω ισοδύναμων προτάσεων που χρησιμοποιούν μόνο τελεστές από το σύνολο. Οι ζητούμενες ισοδυναμίες είναι οι p p p q (p ) q p q (p q) (p (q )) (p (q )) Όπως και πριν, επαλήθευση των ισοδυναμιών μπορεί να γίνει εύκολα μέσω πινάκων αλήθειας. (β) Θα αποδείξουμε ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε τον τελεστή χρησιμοποιώντας τους τελεστές,,. Συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι οποιαδήποτε πρόταση φ που περιέχει μια ατομική πρόταση p και τους τελεστές,, είναι τέτοια ώστε αν [[p]] = T τότε [[φ]] = Τ. Επομένως φ p. H απόδειξη γίνεται με επαγωγή στον αριθμό των τελεστών της πρότασης φ. - Αν ο αριθμός των τελεστών της φ είναι 0, τότε φ = p και προφανώς φ p. - Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε πρόταση με λιγότερους από k τελεστές. - Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση φ έχει ακριβώς k τελεστές. Υπάρχουν οι ακόλουθες περιπτώσεις. Το ζητούμενο έπεται. (γ) Όχι, το σύνολο {, } δεν είναι επαρκές σύνολο τελεστών. Θα αποδείξουμε ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε τον τελεστή χρησιμοποιώντας τους τελεστές,. Ο τελεστής αυτός παράγει τον πιο κάτω πίνακα αλήθειας.
p q p q T T T T F F F T F F F F Τουναντίον, θα αποδείξουμε ότι όλοι οι πίνακες αλήθειας που μπορούν να παραχθούν από τους τελεστές και χρησιμοποιώντας τις δύο ατομικές προτάσεις p και q είναι τέτοιοι ώστε οι τιμές της πρώτης και της τελευταίας γραμμής του πίνακα συμπίπτουν. Πιο συγκεκριμένα: Έστω πρόταση φ που περιέχει δύο ατομικές προτάσεις p και q και τους τελεστές και. Θα δείξουμε ότι ο πίνακας αλήθειας της φ είναι τέτοιος ώστε [[φ]] = Τ για [[p]] = [[q]] = T αν και μόνο αν [[φ]] = Τ για [[p]] = [[q]] = F. Με άλλα λόγια, οι τελεστές αυτοί μπορούν να παραγάγουν μόνο πίνακες αλήθειας που έχουν μια από τις πιο κάτω μορφές: p q φ T T T T F. F T. F F T p q φ T T F T F. F T. F F F H απόδειξη γίνεται με επαγωγή στον αριθμό των τελεστών της πρότασης φ. - Αν ο αριθμός των τελεστών της φ είναι 1, τότε φ = p p ή φ = p q ή φ = q q και προφανώς τόσο για [[p]] = [[q]] = T όσο και για [[p]] = [[q]] = F έχουμε σε όλες τις περιπτώσεις [[φ]] = Τ. - Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε πρόταση με λιγότερους από k τελεστές. - Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση φ έχει ακριβώς k τελεστές. Υπάρχουν οι ακόλουθες περιπτώσεις. φ = φ 1. Ισχύει ότι η πρόταση φ 1 έχει λιγότερους από k τελεστές. Ας υποθέσουμε ότι για [[p]] = [[q]] = T ισχύει ότι [[φ]] = T. Τότε, για [[p]] = [[q]] = T ισχύει ότι [[φ 1 ]] = F και, από την υπόθεση της επαγωγής, και για [[p]] = [[q]] = F ισχύει ότι [[φ 1 ]] = F. Συνεπώς, για [[p]] = [[q]] = F ισχύει ότι [[φ]] = F = T. Παρόμοια, αν για [[p]] = [[q]] = F ισχύει ότι [[φ]] = T. Τότε, για [[p]] = [[q]] = F ισχύει ότι [[φ 1 ]] = F και, από την υπόθεση της επαγωγής, και για [[p]] = [[q]] = T ισχύει ότι [[φ 1 ]] = F. Συνεπώς, για [[p]] = [[q]] = T ισχύει ότι [[φ]] = F = T και το ζητούμενο έπεται. φ = φ 1 φ 2. Ισχύει ότι οι προτάσεις φ 1 και φ 2 έχουν λιγότερους από k τελεστές. Επομένως, από την υπόθεση της επαγωγής, ισχύει ένα από τα πιο κάτω.
T T T Τ Τ F F T Τ Τ T T T F F F F T F Τ T T F F Τ F F F F Τ Και στις τρεις περιπτώσεις παρατηρούμε ότι [[φ 1 φ 2 ]] = Τ για [[p]] = [[q]] = T αν και μόνο αν [[φ 1 φ 2 ]] = T για [[p]] = [[q]] = F και το ζητούμενο έπεται. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Άσκηση 5 Λαμβάνουμε το αποτέλεσμα συνδυάζοντας τις γραμμές του πίνακα όπου η πρόταση παίρνει την τιμή F. P q r φ T T T T T T F F T F T F T F F F F T T T F T F F F F T T F F F F ( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)