Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Επιστηµονική Επετηρίδα Πολυτεχνικής Σχολής Παράρτηµα Τόµος 1 Ελένη Μ. Πασχαλάκη ιπλ. Αγρονόµος και Τοπογράφος Μηχανικός Υπότροφος Ι.Κ.Υ. Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα ιδακτορική ιατριβή που υποβλήθηκε στο Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Α.Π.Θ. Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Θεσσαλονίκη 2002
Περιεχόµενα Σελίδα Πρόλογος...... Summary... Κατάλογος συµβόλων.. iii v vii 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σκοπός της εργασίας.... 1 1.2 Ανάλυση των περιεχοµένων της µελέτης. 3 2. ΤΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ 2.1 Εισαγωγικές έννοιες..... 5 2.1.1 Το κανονικό πεδίο βαρύτητας... 9 2.1.2 Απεικόνιση εδάφους γεωειδούς ελλειψοειδούς.. 11 2.1.3 Αναγωγές της βαρύτητας 14 2.2 Παγκόσµιο σύστηµα προσδιορισµού θέσης GPS...... 20 2.2.1 Τα τµήµατα του GPS και το εκπεµπόµενο σήµα.. 21 2.2.2 Μετρήσεις µε το GPS. 22 2.2.3 Μέθοδοι προσδιορισµού θέσης σηµάτων.. 24 2.3 Η εξέλιξη των µοντέλων σφαιρικών αρµονικών.. 25 2.4 Μέθοδοι προσδιορισµού του γεωειδούς..... 26 2.5 Ιστορική αναδροµή στις λύσεις γεωειδούς στην περιοχή του Ελληνικού χώρου........ 27 2.6 Ακρίβεια δεδοµένων.. 29 2.7 Η µέθοδος της υπολειπόµενης τοπογραφίας (RTM).. 31 2.8 Η τεχνική «αποµάκρυνσης επαναφοράς».. 32 2.9 Στοχαστικές µέθοδοι προσδιορισµού του γεωειδούς.... 35 2.10 Συναρτήσεις συµµεταβλητότητας.. 39 2.10.1 Η σηµασία των συναρτήσεων συµµεταβλητότητας στην εφαρµογή της σηµειακής προσαρµογής. 39 2.10.2 Μελέτη τοπικών και σφαιρικών µοντέλων συναρτήσεων συµµεταβλητότητας.. 41 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ 3.1 Μελέτη κατανοµής δεδοµένων 47 3.1.1 Περιοχή Κεντρικής Μακεδονίας 47 3.1.2 Περιοχή Αστακού Αιτωλοακαρνανίας.. 49 3.2 Προσδιορισµός των υψοµέτρων τοπικού γεωειδούς στις περιοχές µελέτη... 50 3.2.1 Περιοχή Κεντρικής Μακεδονίας 50 3.2.2 Περιοχή Αστακού Αιτωλοακαρνανίας.. 55 3.3 Συγκρίσεις υψοµέτρων γεωειδούς µε υψόµετρα από το µετρήσεις GPS και γεωµετρική χωροστάθµηση.. 59 3.3.1 Περιοχή Κεντρικής Μακεδονίας. 59 3.3.2 Περιοχή Αστακού Αιτωλοακαρνανίας 61 i
3.4 Βέλτιστες προσαρµογές. 62 3.4.1 Περιοχή Κεντρικής Μακεδονίας 62 3.4.2 Περιοχή Αστακού Αιτωλοακαρνανίας.. 64 3.5 Προσδιορισµός υψοµέτρων του βελτιωµένου γεωειδούς. 66 3.5.1. Περιοχή Κεντρικής Μακεδονίας 70 3.5.2. Περιοχή Αστακού Αιτωλοακαρνανίας 67 3.6 Συµπεράσµατα από τις αριθµητικές εφαρµογές µε πραγµατικά δεδοµένα.... 73 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 4.1 ηµιουργία των δεδοµένων προσοµοίωσης.... 77 4.2 Περιγραφή αρχείων προσοµοίωσης..... 80 4.2.1 Περιοχή εφαρµογής Α... 80 4.2.2 Περιοχή εφαρµογής Β.... 82 4.2.3 Περιοχή εφαρµογής Γ... 84 4.3 Σφάλµατα δεδοµένων προσοµοίωσης...... 86 4.3.1 Περιοχή εφαρµογής Α.... 86 4.3.2 Περιοχή εφαρµογής Β.... 93 4.3.3 Περιοχή εφαρµογής Γ... 94 4.4 Υπολογισµοί υψοµέτρων τοπικού γεωειδούς... 96 4.4.1 Περιοχή εφαρµογής Α.... 96 4.4.2 Περιοχή εφαρµογής Β....... 138 4.4.3 Περιοχή εφαρµογής Γ... 142 4.5 Συγκρίσεις... 146 4.6 Συµπεράσµατα για το βέλτιστο συνδυασµό ετερογενών δεδοµένων.. 151 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ......... 155 Βιβλιογραφία... 159 Παράρτηµα 167 ii
Πρόλογος Σκοπός της παρούσας µελέτης είναι η βελτιστοποίηση βαρυτηµετρικής τοπικής προσέγγισης του γεωειδούς µε τη βοήθεια υψοµέτρων από GPS και γεωµετρική χωροστάθµηση και η εξαγωγή γενικών συµπερασµάτων για την προσέγγιση του πεδίου βαρύτητας σε τοπική κλίµακα, αξιοποιώντας τα φυσικά και γεωµετρικά χαρακτηριστικά του γήινου πεδίου βαρύτητας. Η διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στον Τοµέα Γεωδαισίας και Τοπογραφίας του Τµήµατος Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών (ΤΑΤΜ) του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης (ΑΠΘ), υπό την επίβλεψη του Καθηγητή Κ. Κατσάµπαλου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλω: στον Καθηγητή του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Κώστα Κατσάµπαλο, για τη καθοδήγηση του κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής, τις πολύτιµες συµβουλές του και τη διάθεση τµήµατος των πραγµατικών δεδοµένων βαρύτητας στην περιοχή του Αστακού Αιτωλοακαρνανίας. στον Καθηγητή του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ηµήτριο Αραµπέλο, για τη συνεχή ηθική και επιστηµονική υποστήριξη και τις ουσιαστικές υποδείξεις του, στον Καθηγητή του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Ηλία Τζιαβό για την καθοδήγηση και συνεργασία κατά την εκπόνηση της διατριβής, στον Καθηγητή του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ηµήτριο Ρωσσικόπουλο για την ουσιαστική βοήθεια που µου προσέφερε στην αντιµετώπιση του 2 ου κεφαλαίου της διατριβής, στον Επίκουρο Καθηγητή του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Κώστα Τοκµακίδη και στον Λέκτορα του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Χρήστο Πικριδά για την πολύτιµη βοήθεια τους, στον διδάκτορα του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Βασίλη Ανδριτσάνο για την πολύτιµη συνεργασία και υποστήριξη του, στο Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών για την οικονοµική υποστήριξη, για το διάστηµα από 01-11-98 έως 30-04-02, στην Γ.Υ.Σ. για τη διάθεση των βαρυτηµετρικών δεδοµένων στην περιοχή της Κεντρικής Μακεδονίας, στους γονείς µου, Μαρία και Μιχάλη και στους Μανόλη και Ζαχαρούλα, για την καθολική υποστήριξη τους και την ενθάρρυνσή τους σ όλη τη διάρκεια της διατριβής, στους φίλους, που µοιράστηκαν µαζί µου τις δύσκολες αλλά και τις ευχάριστες στιγµές. iii
Η παρούσα διδακτορική διατριβή υποβλήθηκε στο Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών του ΑΠΘ. Η επταµελής εξεταστική επιτροπή που συγκροτήθηκε από τη Γενική Συνέλευση του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ, αποτελείται από τους ακόλουθους: 1. Κώστας Κατσάµπαλος, Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ, κύριος επιβλέπων 2. ηµήτριος Αραµπέλος, Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ, µέλος τριµελούς επιτροπής 3. Ηλίας Τζιαβός, Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ, µέλος τριµελούς επιτροπής 4. ηµήτριος Ρωσσικόπουλος, Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 5. Σπύρος Σπαταλάς, Επίκουρος Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 6. Κώστας Τοκµακίδης, Επίκουρος Καθηγητής του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ 7. Χρήστος Πικριδάς, Λέκτορας του ΤΑΤΜ/ΑΠΘ Θεσσαλονίκη, εκέµβριος 2002 Ελένη Μ. Πασχαλάκη iv
Summary Geodesy is a physical science with a great theoretical background and of an intensive applied character. It relies exclusively upon the analysis of observed quantities. Due to its inability to determine the exact value of a quantity, the theory of Geodesy utilizes various estimation methods in order to obtain the best estimates for various gravity field parameters. This Ph.D. thesis focuses on the optimization of a local geoid, using heterogeneous data. Common techniques for geoid determination, (such as gravimetry and/or combined GPS/leveling), even though they do provide an acceptable solution, they cannot adjust errors which are referred to low and medium wavelengths of the gravity field. Thus, a combined approach of these methods is investigated in order to benefit from the advantages of each technique. The chapter structure is as follows: The first chapter is referred to the purposes of this Thesis and includes a brief presentation of its contents. The second chapter describes the theoretical background of the Thesis and presents all introductory terms, such as the geoid, the gravity field, the covariance functions and the latest techniques for geoid determination. Special emphasis is given on the least square collocation method, which has been used on the numerical applications of this Thesis. There is also a step-by-step description of the removerestore technique, which is a signal separation technique of low, medium and long wavelengths. The latest conceptions for the combination of heterogeneous data are presented and a summary report on the solutions that were applied for geoid determinations in Greece, until recently. The third chapter presents the optimization method for a local geoid applied on real data. Gravity data have been used combined with GPS/leveling measurements in two distinct areas of Greece. The first area is located in the major area of Astakos (Aitoloakarnania) and the second is a part of Central Macedonia (Northern Greece). We proceed with an extended study of the gravity data and the GPS/leveling data distribution, as well as with the local and spherical covariance function models. The gravimetric geoid heights are compared with those obtained from GPS/leveling. In the next step, these differences are minimized by a parametric transformation model. Subsequently, there is a prediction of the geoidal height signal, by entering those minimized differences in an adjustment procedure. Finally, a few comments on the results and some conclusions obtained from this application. The forth chapter presents the application of the optimization procedure in three distinct geographical areas, but with simulated data. The main reason for using a simulation procedure, is the small number of real data available in Greece and the heterogeneous distribution of these gravity data and/of GPS/leveling measurements. At first, the geoid heights were computed using the GPM98A coefficient model, to degree and order 1800x1800, considered as the real geoid. The real geoidal heights are used as a reference for computing the gravimetric and GPS/leveling geoid. In order to create the data files needed for the gravimetric and GPS/leveling geoidal heights, the systematic and random errors are calculated, and we added - back to the heights of the real geoid. v
For the first region of this study (an area within Central Greece), there are nine different case studies, differed by the error and data distribution. For the gravimetric geoid distribution heights a 5 x5 grid has been used. The GPS/leveling geoid heights must have smooth point distribution and their density should be much smaller than that of the gravimetric data. In another case, the additional amount of information, provided by the GPS/leveling data does not contribute to the improvement of the results. In these specific applications the grid of the GPS/leveling heights has set to 10 x10, except in one case (used to control the process) where a 5 x5 distribution has been used. All nine case studies present a different optimization percentage-wise. Excluding the first one (which is actually a test) all the rest lead to an improvement from 10.15% to 37.35%. The surfaces grids for the second and third area (the area of Astakos and another in Central Macedonia) have a distribution of 3 x3 for the gravimetric geoid heights and 6 x6 for the GPS/leveling geoid heights. The application of this optimization process, leads to the gravimetric geoid improvement by 32.52% to 24.87% (in the first and second areas, respectively). The fifth chapter contains our conclusions, based on the research work herein. From the results of our numerical applications, we conclude that the improvement of an existing gravimetric geoid depends on some parameters which are connected to the local characteristics of each area and of course with the accuracy, the amount and the distribution of the available data. Therefore, if the systematic errors which affect the gravimetric geoid heights is located within an area with low frequencies of the gravity field spectrum, the first step in the optimization procedure (which is the application of the parametric transformation model), has better results compared to the cases, where the systematic errors are located on the high frequency spectrum. The reason is that the 4-parameters transformation model, used for this study, cannot describe a complex surface. Furthermore, the covariance functions are very important for the prediction of the remaining geoid height signals. The covariance model of Tscherning and Rapp is preferred in large scale applications. On the other hand, Moritz s plane model and Markov s 2 nd order model are move suitable for applications in local scale. In all these cases, already mentioned in this study, Moritz s plane model offers the greater improvement on the gravimetric geoid. vi
Κατάλογος συµβόλων τελεστής Laplace 2 διανυσµατικός διαφορικός τελεστής ανάδελτα Laplace V γήινο δυναµικό έλξης G σταθερά παγκόσµιας έλξης ρ πυκνότητα των γήινων µαζών T διαταρακτικό δυναµικό της βαρύτητας W πραγµατικό δυναµικό της βαρύτητας U κανονικό δυναµικό της βαρύτητας Φ φυγοκεντρικό δυναµικό h ελλειψοειδές ή γεωµετρικό υψόµετρο H ορθοµετρικό υψόµετρο N αποχή του γεωειδούς Ν H κανονικό υψόµετρο ζ ανωµαλία ύψους γ κανονική τιµή της βαρύτητας g ανωµαλία βαρύτητας R µέση ακτίνα της γης ( 6371km) ξ συνιστώσα της απόκλισης της κατακορύφου κατά µεσηµβρινό η συνιστώσα της απόκλισης της κατακορύφου κατά παράλληλο g πραγµατική τιµή της βαρύτητας ϕ, λ γεωγραφικές συντεταγµένες P n, m ( cosθ) πολυώνυµα Legendre θ o = 90 ϕ g ανωµαλίες ελευθέρου αέρα free air g Bouguer ανωµαλίες Bouguer g I ισοστατικές ανωµαλίες δ g I ισοστατική αναγωγή δ g αναγωγή ελευθέρου αέρα free air δ τοπογραφική αναγωγή g top δ g plate αναγωγή πλάκας Bouguer δ g terrain αναγωγή λόγω ανάγλυφου M µάζα της γης r γεωκεντρική απόσταση a, b µεγάλος και µικρός ηµιάξονας του ελλειψοειδούς αναφοράς n, m βαθµός και τάξη ανάπτυξης των γεωδυναµικών µοντέλων P nm πλήρως κανονικοποιηµένες συναρτήσεις Legendre C συντελεστές του γήινου πεδίου βαρύτητας S nm, nm C ( P,Q) συνάρτηση συµµεταβλητότητας c σ n n συντελεστές µεταβλητότητας των ανωµαλιών βαρύτητας συντελεστές µεταβλητότητας του διαταρακτικού δυναµικού vii
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η παρούσα εργασία πραγµατεύεται τη βελτιστοποίηση υψοµέτρων τοπικού γεωειδούς, µε τη χρήση ετερογενών πηγών δεδοµένων. Οι συνήθεις µέθοδοι προσδιορισµού των υψοµέτρων του γεωειδούς, όπως είναι η βαρυτηµετρική µέθοδος και ο συνδυασµός µετρήσεων GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης, παρόλο που προσφέρουν µια ικανοποιητική λύση, εντούτοις, δεν µπορούν να αποµακρύνουν τα σφάλµατα που αναφέρονται στα µικρού και µεσαίου µήκους κύµατα, καθώς και τα σφάλµατα εκείνα που οφείλονται στις ιδιαιτερότητες κάθε µεθόδου. Έτσι, εξετάζεται µια συνδυαστική προσέγγιση των δύο παραπάνω µεθόδων, προκειµένου να επωφεληθούµε από τα πλεονεκτήµατα της κάθε µιας. 1.1 Σκοπός της εργασίας Η γεωδαισία είναι µια επιστήµη µε µεγάλη θεωρητική/µαθηµατική υποδοµή, αλλά και µε έντονα εφαρµοσµένο χαρακτήρα, που στηρίζεται αποκλειστικά στην ανάλυση των παρατηρούµενων µεγεθών. Βέβαια, λόγω της αδυναµίας προσδιορισµού της ακριβούς τιµής ενός µεγέθους, η θεωρία της γεωδαισίας, περιορίζεται σε µεθόδους εκτίµησης των σχετικών µε το πεδίο βαρύτητας µεγεθών. Ένας από τους πρωταρχικούς στόχους της φυσικής γεωδαισίας είναι και ο προσδιορισµός των υψοµέτρων του γεωειδούς σε τοπική, περιφερειακή και παγκόσµια κλίµακα. Το γεωειδές, που ορίζεται ως ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας και προσεγγίζεται σε ικανοποιητικό βαθµό από τη µέση
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα στάθµη των θαλασσών, διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο στη λύση πολλών γεωδαιτικών, γεωφυσικών και γεωδυναµικών προβληµάτων. Ο προσδιορισµός των υψοµέτρων του γεωειδούς σε παγκόσµια κλίµακα επιτυγχάνεται σχετικά εύκολα µε τη χρήση των µοντέλων σφαιρικών αρµονικών του πεδίου βαρύτητας, εφόσον και οι απαιτήσεις σε ακρίβεια δεν είναι ιδιαίτερα υψηλές. Σε περιφερειακές ή τοπικές εφαρµογές όµως, απαιτείται η χρήση δεδοµένων τα οποία θα χαρακτηρίζουν πιστότερα το τοπικό πεδίο βαρύτητας. Έτσι για τον προσδιορισµό των υψοµέτρων του γεωειδούς µπορούν να χρησιµοποιηθούν τοπικά δεδοµένα: είτε βαρύτητας (βαρυτηµετρικό γεωειδές), είτε αποκλίσεων της κατακορύφου (αστρογεωδαιτικό γεωειδές), είτε αλτιµετρίας (αλτιµετρικό γεωειδές) είτε GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης (GPS/χωροσταθµικό γεωειδές). Στην εργασία αυτή προτείνεται µια διαδικασία συνδυασµού των υψοµέτρων του γεωειδούς που προκύπτουν από δεδοµένα βαρύτητας και των υψοµέτρων που προκύπτουν από µετρήσεις GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης. Η διαδικασία βελτιστοποίησης συνοψίζεται στα παρακάτω στάδια: Προσαρµογή των υψοµέτρων ενός υπάρχοντος «βαρυτηµετρικού» γεωειδούς στα αντίστοιχα υψόµετρα που προκύπτουν από µετρήσεις GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης. Από τον µετασχηµατισµό αυτό προκύπτουν τα υψόµετρα του προσαρµοσµένου στα σηµεία «GPS/χωροσταθµικού» γεωειδούς. Οι ελαχιστοποιηµένες διαφορές που προκύπτουν µεταξύ των υψοµέτρων του «βαρυτηµετρικού» και του προσαρµοσµένου στα σηµεία «GPS/χωροσταθµικού» γεωειδούς, εισάγονται στον αλγόριθµο της σηµειακής προσαρµογής µε σκοπό την πρόγνωση ενός υπολειπόµενου σήµατος γεωειδούς Στο σήµα πρόγνωσης προστίθενται οι τιµές των υψοµέτρων του προσαρµοσµένου στα σηµεία «GPS/χωροσταθµικού» γεωειδούς και προκύπτουν τα βελτιωµένα υψόµετρα γεωειδούς Για την εφαρµογή των παραπάνω, χρησιµοποιήθηκαν σε πρώτη φάση πραγµατικά δεδοµένα βαρύτητας και µετρήσεων GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης σε συγκεκριµένες γεωγραφικές περιοχές της Ελλάδας. Στη συνέχεια κρίθηκε απαραίτητο να χρησιµοποιηθούν και δεδοµένα προσοµοίωσης µε συγκεκριµένα χαρακτηριστικά ακρίβειας και κατανοµής. Ο λόγος είναι ότι το πλήθος και η κατανοµή των πραγµατικών δεδοµένων που υπήρχαν διαθέσιµα, δεν ικανοποιούσαν τις προϋποθέσεις για µια ολοκληρωµένη µελέτη βελτιστοποίησης των υψοµέτρων του γεωειδούς. Η ευελιξία στη χρήση των δεδοµένων προσοµοίωσης προσφέρει πολλές δυνατότητες στη µελέτη της βελτιστοποίησης, καθώς εξετάζονται διαφορετικές περιπτώσεις συνδυασµού σφαλµάτων υψοµέτρων γεωειδούς. 2
1. Εισαγωγή 1.2 Ανάλυση των περιεχοµένων της εργασίας Η παρούσα διατριβή µε τίτλο «Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα» χωρίζεται σε πέντε κεφάλαια, καθένα απ τα οποία αποτελεί µια ξεχωριστή ενότητα. Το παρόν κεφάλαιο αναφέρεται στο σκοπό της εν λόγω διατριβής και περιλαµβάνει µια συνοπτική παρουσίαση των περιεχόµενων της. Στο δεύτερο κεφάλαιο εκτίθεται το θεωρητικό υπόβαθρο της συγκεκριµένης µελέτης, και παρουσιάζονται εισαγωγικές έννοιες, σχετικές µε το πεδίο βαρύτητας, όπως είναι το γεωειδές και περιγράφονται συνοπτικά οι σύγχρονες µέθοδοι προσδιορισµού του γεωειδούς. Ιδιαίτερη έµφαση δίνεται στις στοχαστικές µεθόδους πρόγνωσης των υψοµέτρων του γεωειδούς και συγκεκριµένα στη µέθοδο της σηµειακής προσαρµογής, η οποία χρησιµοποιήθηκε στις αριθµητικές εφαρµογές αυτής της εργασίας. Επίσης, περιγράφεται αναλυτικά η τεχνική της «αποµάκρυνσης επαναφοράς», η οποία αποτελεί µια τεχνική για τον προσδιορισµό του γεωειδούς, συνδυάζοντας σήµατα µικρού, µεσαίου και µεγάλου µήκους κύµατος. Παρουσιάζονται οι σύγχρονες αντιλήψεις για το συνδυασµό ετερογενών δεδοµένων και γίνεται µια ιστορική αναδροµή στις λύσεις γεωειδούς στην περιοχή του Ελληνικού χώρου. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η διαδικασία βελτιστοποίησης των υψοµέτρων ενός τοπικού γεωειδούς µε εφαρµογή σε πραγµατικά δεδοµένα. Χρησιµοποιήθηκαν δεδοµένα βαρύτητας σε συνδυασµό µε µετρήσεις GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης σε δύο περιοχές της Ελλάδας. Η πρώτη εντοπίζεται γεωγραφικά στην ευρύτερη περιοχή του Αστακού του νοµού Αιτωλοακαρνανίας και η δεύτερη σε ένα τµήµα της Κεντρικής Μακεδονίας. Γίνεται εκτενής µελέτη της κατανοµής των δεδοµένων βαρύτητας και των δεδοµένων από GPS και γεωµετρική χωροστάθµηση, καθώς και των τοπικών και σφαιρικών µοντέλων συναρτήσεων συµµεταβλητότητας που χρησιµοποιήθηκαν. Συγκρίνονται τα υψόµετρα του βαρυτηµετρικού γεωειδούς µε εκείνα που προκύπτουν από µετρήσεις GPS και γεωµετρικής χωροστάθµησης. Οι διαφορές αυτές ελαχιστοποιούνται στη συνέχεια µε την εφαρµογή ενός παραµετρικού µοντέλου µετασχηµατισµού. Ακολουθεί η πρόγνωση ενός υπολειπόµενου σήµατος υψοµέτρων γεωειδούς µε την εισαγωγή των ελαχιστοποιηµένων αυτών διαφορών σε µια διαδικασία συνόρθωσης. Τέλος, σχολιάζονται τα αποτελέσµατα της παραπάνω επεξεργασίας και παρουσιάζονται τα συµπεράσµατα που προκύπτουν από τη συγκεκριµένη εφαρµογή. Στο τέταρτο κεφάλαιο εφαρµόζεται η διαδικασία βελτιστοποίησης, σε τρεις διαφορετικές περιοχές µε τη βοήθεια δεδοµένων προσοµοίωσης. Οι λόγοι για τους οποίους χρησιµοποιήθηκαν δεδοµένα προσοµοίωσης είναι το µικρό πλήθος και η ανοµοιόµορφη κατανοµή των δεδοµένων βαρύτητας καθώς και των υψοµέτρων από GPS και γεωµετρική χωροστάθµηση. Η πρώτη κατά σειρά περιοχή µελέτης αποτελεί τµήµα της Κεντρικής Ελλάδας, ενώ οι άλλες δύο περικλείουν τα τµήµατα του Αστακού και της Κεντρικής Μακεδονίας στα οποία έχει προηγηθεί η εφαρµογή της βελτιστοποίησης µε πραγµατικά δεδοµένα. 3
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Αρχικά υπολογίστηκαν τα υψόµετρα του γεωειδούς από τους συντελεστές του µοντέλου των σφαιρικών αρµονικών GPM98A (Wenzel, 1998) µε βαθµό και τάξη ανάπτυξης 1800x1800, το οποίο θεωρούµε ότι αντιπροσωπεύει το «πραγµατικό» γεωειδές. Στη συνέχεια τα υψόµετρα του «πραγµατικού» γεωειδούς χρησιµοποιούνται σαν αναφορά για τον υπολογισµό των υψοµέτρων του βαρυτηµετρικού και του GPS/χωροσταθµικού γεωειδούς. Για τη δηµιουργία των υψοµέτρων του βαρυτηµετρικού και του GPS/χωροσταθµικού γεωειδούς, προσδιορίστηκαν αρχικά τα συστηµατικά και τυχαία σφάλµατα, και στη συνέχεια προστέθηκαν στα υψόµετρα του «πραγµατικού» γεωειδούς. ιακρίνονται συνολικά 11 περιπτώσεις, οι οποίες διαφέρουν ως προς τα σφάλµατα και την κατανοµή των δεδοµένων προσοµοίωσης. Συγκρίνονται και σχολιάζονται τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από την εφαρµογή της διαδικασίας βελτιστοποίησης των υψοµέτρων ενός υπάρχοντος βαρυτηµετρικού γεωειδούς µε τα αντίστοιχα υψόµετρα του «πραγµατικού» γεωειδούς. Σε κάθε περίπτωση συγκρίνονται τα ποσοστά διόρθωσης που επιτυγχάνονται, σε σχέση µε τα συστηµατικά και τυχαία σφάλµατα των εκάστοτε υψοµέτρων του βαρυτηµετρικού και GPS/χωροσταθµικού γεωειδούς. Στο πέµπτο κεφάλαιο συνοψίζονται τα συµπεράσµατα από τα δύο κεφάλαια της επεξεργασίας (3 και 4) και προτείνονται συνδυασµοί σηµάτων δεδοµένων για την επίτευξη µιας λύσης για το γεωειδές µε συγκεκριµένη ακρίβεια. 4
Κεφάλαιο 2 Το πεδίο βαρύτητας 2.1 Εισαγωγικές έννοιες Το γεωειδές είναι µια ισοδυναµική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας, που σε πρώτη προσέγγιση ταυτίζεται µε τη µέση στάθµη της θάλασσας (σε παγκόσµια κλίµακα), χωρίς να ληφθούν υπόψη η επίδραση των θαλασσίων ρευµάτων, των παλιρροιών, των πλανητικών επιδράσεων και των µετεωρολογικών φαινοµένων. Η γνώση της γεωµετρίας του γεωειδούς είναι απαραίτητη, ιδιαίτερα όταν πρόκειται να αναχθούν γεωδαιτικές µετρήσεις µηκών ή γωνιών από την επιφάνεια της γης σε κάποια µαθηµατική επιφάνεια, όπως είναι ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ). Ο προσδιορισµός της επιφάνειας του γεωειδούς βασίζεται στην ανάλυση του πεδίου βαρύτητας. Σύµφωνα µε το νόµο του Νεύτωνα, µεταξύ δύο σηµειακών µαζών m1και m 2, ενεργεί η δύναµη έλξης (σχήµα 2.1) η οποία εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση: m1m 2 l F = G, 2 l l (2.1) όπου l 2 2 2 = (x ξ) + (y η) + (z ζ) (2.2) είναι η απόσταση µεταξύ των δύο σηµειακών µαζών m 1 και m 2 και G είναι η 11 3 1 2 παγκόσµια σταθερά έλξης ( G = 6. 672 ± 0. 001 10 m kgr sec ). Το πρόσηµο στην εξίσωση (2.1) δηλώνει ότι τα διανύσµατα F και l έχουν αντίθετη φορά.
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Σχήµα 2.1: Η δύναµη έλξης µεταξύ δύο σωµάτων m 1 και m 2. Η δύναµη έλξης που υφίσταται ένα σώµα µοναδιαίας µάζας από ένα άλλο σώµα µάζας m, οφείλεται στο δυναµικό έλξης που δηµιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο του το σώµα m. Το δυναµικό έλξης στην περίπτωση σηµειακής µάζας ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: m V = G (2.3) l Από την προηγούµενη σχέση, είναι φανερό ότι το δυναµικό έλξης ελαττώνεται καθώς µεγαλώνει η απόσταση µεταξύ των δύο σωµάτων και θεωρητικά µηδενίζεται στο άπειρο. Η κλίση του δυναµικού έλξης ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: F=gradV, (2.4) όπου V V V gradv = V =,,, (2.5) x y z δηλαδή η κλίση του δυναµικού έλξης V της γης ταυτίζεται µε το διάνυσµα της δύναµης έλξης F. Στο εσωτερικό της γης, το δυναµικό έλξης V ικανοποιεί την εξίσωση του Poisson: 2 2 2 2 V V V V= V = + + = 4πGρ 2 2 2 x y z (2.6) 6
2. Το πεδίο βαρύτητας Από την εξίσωση (2.6) προκύπτει ότι στην περίπτωση που η πυκνότητα παρουσιάζει ασυνέχεια, µερικές από τις παραγώγους δεύτερης τάξης του ελκτικού δυναµικού παρουσιάζουν ασυνέχεια. Αντίθετα, στον περιβάλλοντα χώρο της γης, όπου δεν υπάρχουν µάζες και θεωρητικά η πυκνότητα είναι ίση µε µηδέν (αγνοώντας τη µάζα της ατµόσφαιρας), το δυναµικό έλξης ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace: V = 0 (2.7) Οι λύσεις της εξίσωσης του Laplace, η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση της εξίσωσης του Poisson, ονοµάζονται αρµονικές συναρτήσεις. Η εξίσωση (2.7) δείχνει ότι στην περιοχή έξω από τις µάζες οι παράγωγοι δεύτερης τάξης του δυναµικού έλξης είναι συνεχείς συναρτήσεις. Εξαιτίας της περιστροφής της γης, κάθε σώµα που συµµετέχει στην κίνησή της, υφίσταται επιπλέον και µια φυγόκεντρη δύναµη. Αν υποθέσουµε ότι η γη περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα περιστροφής της που υποτίθεται ότι είναι σταθερός σε σχέση µε τη γη, τότε η φυγόκεντρη δύναµη που ενεργεί στη µονάδα της µάζας έχει διεύθυνση κάθετη στον άξονα περιστροφής (σχήµα 2.2). Το µέτρο της φυγόκεντρης δύναµης f δίνεται από τη σχέση: f = ω 2 p (2.8) όπου, ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος της γης και p = (x, y,0) είναι η κάθετη απόσταση του σηµείου Ρ από τον άξονα περιστροφής της γης. Σχήµα 2.2: Η δύναµη έλξης F, η φυγόκεντρη δύναµη f και η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Η φυγόκεντρη δύναµη εξαρτάται από την απόσταση p, έχει µέγιστη τιµή στον ισηµερινό και µηδενίζεται στους δύο πόλους. Φυγόκεντρη δύναµη υφίστανται µόνο τα σώµατα που συµµετέχουν στη γήινη περιστροφή ή 7
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα εξαναγκάζονται σε περιστροφή λόγω της γήινης ατµόσφαιρας (π.χ. ελικόπτερα, αεροπλάνα, κ.λπ.). Στην περίπτωση των τεχνητών δορυφόρων η φυγόκεντρη δύναµη αναπτύσσεται εξαιτίας της περιφοράς τους γύρω από τη γη και όχι λόγω της περιστροφής της γης. Επίσης, η φυγόκεντρη δύναµη είναι ίση µε την κλίση του φυγοκεντρικού δυναµικού, δηλαδή: Φ Φ Φ = 2 2 f = gradφ =,, ω x,ω y,0, (2.9) x y z όπου το φυγοκεντρικό δυναµικό Φ, ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: 2 2 ( x + y ) 2 ω Φ = (2.10) 2 x,y είναι οι συντεταγµένες του σηµείου υπολογισµού στο τρισορθογώνιο σύστηµα αναφοράς Η συνολική δύναµη (ανά µονάδα µάζας), η λεγόµενη επιτάχυνση της βαρύτητας g που υφίστανται ένα σώµα, είναι το διανυσµατικό άθροισµα της δύναµης έλξης και της φυγόκεντρης δύναµης. W W W g = F + f = gradw =,, (2.11) x y z όπου W είναι το δυναµικό της βαρύτητας: 2 2 2 ω x y ρ + W = V + Φ = G dυ + (2.12) l 2 υ Για το δυναµικό της βαρύτητας ισχύει η γενικευµένη εξίσωση του Poisson. 2 2 W = W = 4πGρ + 2ω (2.13) Στην εξίσωση (2.12) G είναι η παγκόσµια σταθερά του Νεύτωνα, ρ η πυκνότητα της γης, l η απόσταση µεταξύ του σώµατος που υφίσταται την επιτάχυνση της βαρύτητας και του κέντρου της γης, και υ ο όγκος της γης. Ενώ το δυναµικό έλξης V είναι αρµονική συνάρτηση έξω από τις έλκουσες µάζες (ρ=0) ικανοποιώντας την εξίσωση του Laplace (2.7), αντίθετα το δυναµικό της βαρύτητας W δεν είναι αρµονική συνάρτηση (έξω από τις γήινες µάζες), επειδή: 2 W = Φ = 2ω (2.14) 8
2. Το πεδίο βαρύτητας Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων όπου το δυναµικό της βαρύτητας έχει σταθερή τιµή, ονοµάζεται ισοδυναµική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας. Η διεύθυνση του διανύσµατος της βαρύτητας σε κάποιο σηµείο του γήινου χώρου είναι κάθετη στην αντίστοιχη ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας και ονοµάζεται κατακόρυφος του τόπου. Η διεύθυνση της κατακορύφου σε κάποιο σηµείο του γήινου χώρου, προκύπτει από µετρήσεις του αστρονοµικού γεωγραφικού πλάτους Φ και µήκους Λ σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες γεωδαιτικές συντεταγµένες. Το µέτρο (g) του διανύσµατος της βαρύτητας ονοµάζεται και αυτό βαρύτητα, έχει διαστάσεις επιτάχυνσης και µετριέται σε m/sec 2. Για συνήθεις εφαρµογές είναι ικανοποιητική η συµβατική µέση τιµή βαρύτητας που είναι 9.8m/sec 2 σε σηµεία κοντά στη στάθµη της θάλασσας. Η ακρίβεια µέτρησης της βαρύτητας µε τα τελειότερα διαθέσιµα όργανα είναι καλύτερη από 1 10-7 m/sec 2. 2.1.1 Το κανονικό πεδίο βαρύτητας Ένα από τα βασικά προβλήµατα της φυσικής γεωδαισίας είναι ο προσδιορισµός του εξωτερικού πεδίου βαρύτητας της γης, από δεδοµένα βαρύτητας, τα οποία αναφέρονται είτε στη γήινη επιφάνεια είτε έχουν αναχθεί στην επιφάνεια του γεωειδούς (Heiskanen and Moritz, 1967, sec.2-7). Για τη επίλυση του παραπάνω προβλήµατος το δυναµικό της βαρύτητας (W) προσεγγίζεται από το: κανονικό δυναµικό βαρύτητας (U), το οποίο δηµιουργείται από το «µοντέλο βαρύτητας» και υπολογίζεται από αναλυτικές σχέσεις, και Ένα διαταρακτικό δυναµικό βαρύτητας (T), που είναι η διαφορά του πραγµατικού δυναµικού (W) από το κανονικό (U): T=W-U (2.15) Στη γεωδαισία το ελλειψοειδές εκ περιστροφής χρησιµοποιείται σαν µαθηµατικό µοντέλο του (κανονικού) σχήµατος και του (κανονικού) πεδίου βαρύτητας της γης, µε την προϋπόθεση ότι ισχύουν κάποιες παραδοχές. Έτσι, υποτίθεται, ότι η µάζα που περικλείεται από την επιφάνεια του ΕΕΠ, είναι ίση µε τη µάζα της πραγµατικής γης και ότι ως σώµα περιστρέφεται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω όπως και η πραγµατική γη. Επί πλέον, τίθεται η προϋπόθεση, ότι η επιφάνεια του είναι ισοδυναµική επιφάνεια του κανονικού πεδίου βαρύτητας, όπως ανάλογα συµβαίνει και µε το γεωειδές, το οποίο αποτελεί ισοδυναµική επιφάνεια του πραγµατικού πεδίου βαρύτητας. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων όπου το κανονικό δυναµικό της βαρύτητας έχει σταθερή τιµή, ονοµάζεται σφαιροδυναµική επιφάνεια του κανονικού πεδίου βαρύτητας. Όσον αφορά την κατανοµή των µαζών στο εσωτερικό του µοντέλου, είναι δυνατόν να διευθετηθούν κατά τέτοιο τρόπο ώστε να προσεγγίζουν 9
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα ικανοποιητικά την πραγµατική κατανοµή των µαζών στο εσωτερικό της γης (Moritz, 1989). Για τον πλήρη ορισµό του κανονικού πεδίου βαρύτητας απαιτείται η γνώση των τεσσάρων βασικών παραµέτρων: a, b, GM, ω (2.16) Οι ηµιάξονες (a, b) του ΕΕΠ ορίζουν το σχήµα του (σχήµα 2.3), το γινόµενο της παγκόσµιας σταθεράς έλξης επί τη µάζα της γης (GM) το πεδίο έλξης και η γωνιακή ταχύτητα (ω) το φυγοκεντρικό δυναµικό. Εάν (x,y,z) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς, σε ένα ορθογώνιο σύστηµα αναφοράς, το οποίο ταυτίζεται µε τους άξονες του ΕΕΠ, τότε η σχέση, που περιγράφει την επιφάνεια του ΕΕΠ είναι: 2 x + y 2 a 2 z + b 2 2 = 1 (2.17) Μεσηµβρινός του Greenwich Ισηµερινός a,b: ηµιάξονες του ελλειψοειδούς φ,λ: γεωδαιτικό πλάτος και γεωδαιτικό µήκος ψ: γεωκεντρικό πλάτος r: ακτινική απόσταση Σχήµα 2.3: Το ΕΕΠ, οι παράµετροι ορισµού του και οι γεωδαιτικές συντεταγµένες ενός τυχαίου σηµείου. Η τιµή της κανονικής βαρύτητας σ ένα σηµείο πάνω στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς δίνεται από τον τύπο του Somigliana (1929): 10
2. Το πεδίο βαρύτητας aγ cos 2 2 a b γ =, (2.18) 2 2 (a cosϕ) ϕ + bγ sin ϕ + (bsin ϕ) όπου φ είναι το γεωδαιτικό πλάτος και γ a, γ b είναι η κανονική βαρύτητα στον ισηµερινό και στους πόλους, αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση επιτρέπει τον υπολογισµό της κανονικής βαρύτητας σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου, µε την προϋπόθεση ότι έχουν οριστεί οι τέσσερις βασικές παράµετροι που ορίζουν το σχήµα και το πεδίο του ΕΕΠ. 2.1.2 Απεικόνιση εδάφους γεωειδούς ελλειψοειδούς Κάθε σηµείο Ρ, που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια της γης ή στον περιβάλλοντα αυτής διαστηµικό χώρο, πρέπει να αντιστοιχηθεί αµφιµονοσήµαντα µε κάποιο σηµείο Ρ ο του γεωειδούς και µε κάποιο σηµείο Q o του ΕΕΠ. Ο λόγος που υπαγορεύει αυτή την αντιστοιχία, είναι η ανάγκη για αναγωγή των παρατηρήσεων από την γήινη επιφάνεια στο γεωειδές ή στο ΕΕΠ, προκειµένου να γίνει αναγωγή των βαρυτηµετρικών δεδοµένων, η συνόρθωση των δικτύων κ.λπ. (Heiskanen and Moritz, 1967, sec. 5-2). ιακρίνονται δύο κλασικές µέθοδοι προβολής (σχήµα 2.4) : Προβολή Pizzeti. Το σηµείο Ρ προβάλλεται σε πρώτη φάση κατά µήκος της κατακορύφου n επάνω στο σηµείο Ρ ο του γεωειδούς και στη συνέχεια το Ρ ο προβάλλεται επάνω στο σηµείο Q o του ΕΕΠ κατά µήκος της καθέτου σ αυτό. Προβολή Helmert. Το σηµείο Ρ προβάλλεται απευθείας στο σηµείο ΕΕΠ κατά µήκος της καθέτου n σ αυτό. Q o του Η απόσταση Ρ ο Q o =Ν ονοµάζεται αποχή του γεωειδούς (geoid undulation) ή υψόµετρο του γεωειδούς (geoid height). n P ϑ n ισοδυναµική επιφάνεια τοπογραφία H h P o γεωειδές N Q Q o o ΕΕΠ Σχήµα 2.4: Προβολή Pizzeti και Helmert. 11
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Η γωνία που σχηµατίζουν στο Ρ η κατακόρυφη και η κάθετη στο ΕΕΠ ονοµάζεται απόκλιση της κατακορύφου, η οποία αναλύεται σε δύο συνιστώσες (ξ,η) κατά τη διεύθυνση του µεσηµβρινού και του παραλλήλου του σηµείου αντίστοιχα. Οι ακόλουθες εξισώσεις, δίνουν τις τιµές των συνιστωσών της αποκλίσεως της κατακορύφου: ξ=φ-φ, (2.19) η=(λ-λ)cosφ, (2.20) όπου Φ, Λ είναι οι αστρονοµικές συντεταγµένες του σηµείου Ρ και φ το γεωγραφικό πλάτος. Η απότοµη µεταβολή του µεγέθους και της διεύθυνσης της κατακορύφου στη γειτονική µε το σηµείο προσδιορισµού περιοχή είναι στοιχεία ενδεικτικά της ανοµοιόµορφης κατανοµής των πυκνοτήτων στο υπέδαφος. Το µέγεθος των αποκλίσεων της κατακορύφου εξαρτάται άµεσα από την επιλογή του ΕΕΠ, που σηµαίνει ότι όσο καλύτερα είναι προσαρµοσµένο αυτό στη συγκεκριµένη περιοχή, τόσο µικρότερες είναι οι τιµές των αποκλίσεων της κατακορύφου ή και των αποκλίσεων του γεωειδούς. Η απόσταση Q oq o δεν είναι µεγαλύτερη από 0.3m, ακόµη και για υψόµετρο του σηµείου Ρ µέχρι 1000m, που σηµαίνει ότι η διαφορά των δύο µεθόδων προβολής µπορεί να αγνοηθεί στα περισσότερα προβλήµατα της φυσικής γεωδαισίας (Heiskanen and Moritz, 1967, sec. 5-2). εν µπορεί όµως να αγνοηθεί, όταν γίνεται αναφορά σε συντεταγµένες σηµείων, επειδή η απόκλιση της κατακορύφου µεταβάλλεται κατά την προβολή Pizzeti λόγω της καµπυλότητας της κατακορύφου. Η απόσταση ΡΡ ο =Η ονοµάζεται ορθοµετρικό υψόµετρο και µετράται κατά µήκος της καµπύλης της κατακορύφου που συνδέει τα σηµεία κατά Pizzeti. Για το ορθοµετρικό υψόµετρο Η ισχύει η σχέση: C H = (2.21) g όπου: g είναι η µέση τιµή της βαρύτητας κατά µήκος της κατακορύφου και υπολογίζεται από την σχέση: g 1 g dh H = H 0 (2.22) και C είναι ο γεωδυναµικός αριθµός του σηµείου Ρ (Heiskanen and Moritz, 1967, sec. 2-4): P P C = W W = dw = g dn (2.23) o P Po Po 12
2. Το πεδίο βαρύτητας Η απόσταση PQ o = h ονοµάζεται γεωµετρικό υψόµετρο ή ελλειψοειδές υψόµετρο του σηµείου Ρ και προσδιορίζεται: α) Με µεθόδους της δορυφορικής γεωδαισίας που βασίζονται στη χρήση δορυφορικών συστηµάτων, όπως είναι το GPS. β) Με άθροιση του ορθοµετρικού υψοµέτρου Η και της αποχής του γεωειδούς Ν (το οποίο προκύπτει, είτε από αστρογεωδαιτική χωροστάθµηση, είτε µε µεθόδους της φυσικής γεωδαισίας από µετρήσεις βαρύτητας και άλλα δεδοµένα). Αν αγνοηθούν η απόκλιση της κατακορύφου και η καµπυλότητα της καθέτου, τότε οι αποχές του γεωειδούς Ν (σχ. 2.4) υπολογίζονται από τη σχέση: Ν=h-H (2.24) Οι ανωµαλίες ύψους ζ (σχήµα 2.5) προκύπτουν από την αντίστοιχη διαφορά µεταξύ του γεωµετρικού υψοµέτρου h και του κανονικού υψοµέτρου N H : N ζ = h H (2.25) Το κανονικό υψόµετρο ορίζεται στο κανονικό πεδίο βαρύτητας µε εντελώς ανάλογο τρόπο όπως και το ορθοµετρικό υψόµετρο (Η) από τον γεωδυναµικό αριθµό C και τη µέση τιµή της κανονικής βαρύτητας γ. H N N H C =, όπου: γ γ = 1 γ dh N H 0 N (2.26) W = W P P γήινη επιφάνεια U = U Q Q h N H H τελουροειδές γεωειδές W = W o U = U o P o Q o ζ N σχεδόν γεωειδές ΕΕΠ Σχήµα 2.5: Γεωειδές, σχεδόν γεωειδές και τελουροειδές. 13
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Σε κάθε σηµείο Ρ της γήινης επιφάνειας, όπου το δυναµικό της βαρύτητας είναι W P, αντιστοιχεί ένα σηµείο Q επάνω στην ελλειψοειδή κάθετο του Ρ, όπου το κανονικό δυναµικό είναι: U Q =W P (2.27) Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Q για τα οποία ισχύει η παραπάνω εξίσωση ονοµάζεται τελουροειδές (σχήµα 2.5). Οι συνιστώσες του διανύσµατος g=gradw της βαρύτητας (δηλαδή το µέγεθος g και η διεύθυνση θ=(ξ,η)) προσδιορίζονται µε τη χρήση γεωδαιτικών οργάνων. Το µέγεθος του g µετράται µε βαρυτήµετρο (σχετικό ή απόλυτο) και συµπεριλαµβάνει την επίδραση όλων των φαινοµένων που δρουν δυναµικά στο σηµείο (παλίρροιες, φυγόκεντρη δύναµη, ιδία κίνηση) και τα οποία µπορούν να αφαιρεθούν µε κατάλληλες διορθώσεις. Η διεύθυνση του g προσδιορίζεται µε αστρονοµικές παρατηρήσεις, οι οποίες οδηγούν στον υπολογισµό των αποκλίσεων της κατακορύφου. Με τις αναγωγές της βαρύτητας ανάγεται η τιµή της βαρύτητας από το σηµείο Ρ που βρίσκεται στην επιφάνεια της γης στο σηµείο Ρ ο του γεωειδούς. Υπολογίζεται η τιµή της κανονικής βαρύτητας γ στο αντίστοιχο σηµείο Q ο του ΕΕΠ, από το γεωγραφικό πλάτος και το ορθοµετρικό υψόµετρο του παρατηρούµενου σηµείου και ορίζεται η ανωµαλία βαρύτητας στο γεωειδές, ως η διαφορά των g και γ σε διαφορετικά σηµεία. g(p ) = g(p ) γ(q ) (2.28) o o o Με ανάλογο τρόπο ορίζεται η διαταραχή της βαρύτητας σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου ως η διαφορά της πραγµατικής από την κανονική βαρύτητα στο ίδιο σηµείο. δg = g-γ. (2.29) 2.1.3 Αναγωγές της βαρύτητας Για τον βαρυτηµετρικό προσδιορισµό του γεωειδούς πρέπει να αναχθούν οι παρατηρούµενες ανωµαλίες της βαρύτητας πάνω στην επιφάνεια του γεωειδούς. Με τις αναγωγές της βαρύτητας µετατοπίζονται οι τοπογραφικές µάζες, που βρίσκονται έξω από το γεωειδές, προς αυτό, έτσι ώστε το γεωειδές να αποτελέσει µια συνοριακή επιφάνεια. Για να γίνει όµως αυτό, είναι απαραίτητο να γίνουν κάποιες παραδοχές σχετικά µε την κατανοµή των µαζών και των πυκνοτήτων τους. Κατά τον βαρυτηµετρικό προσδιορισµό του γεωειδούς εµφανίζονται σφάλµατα που οφείλονται στις παραδοχές τις σχετικές µε τη µοντελοποίηση των πυκνοτήτων των «υποκείµενων» µαζών (Moritz, 1989). Με τη µετατόπιση των τοπογραφικών µαζών, το δυναµικό της βαρύτητας µεταβάλλεται. Αυτή η µεταβολή ονοµάζεται έµµεση επίδραση (indirect effect) της αναγωγής της βαρύτητας στα υψόµετρα του γεωειδούς. Η χωροσταθµική επιφάνεια που προκύπτει από τη µετατόπιση των τοπογραφικών µαζών ονοµάζεται αντισταθµισµένο γεωειδές (compensated 14
2. Το πεδίο βαρύτητας geoid) µε (σταθερό) δυναµικό W o (σχήµα 2.6). Η απόσταση δν ανάµεσα στο γεωειδές και το αντισταθµισµένο γεωειδές υπολογίζεται από τη µεταβολή του δυναµικού βαρύτητας δw σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bruns: δw δν = (2.30) γ Εάν αγνοηθεί το φυγοκεντρικό δυναµικό Φ, τότε η έµµεση επίδραση δν µπορεί να δοθεί ως συνάρτηση της αντίστοιχης µεταβολής του δυναµικού έλξης: δv δν = (2.31) γ Σχήµα 2.6: Γεωειδές και αντισταθµισµένο γεωειδές. Στις ανωµαλίες της βαρύτητας πρέπει να εφαρµόζονται και άλλες αναγωγές, ώστε αυτές να εµφανίζονται όσο το δυνατόν πιο εξοµαλυσµένες. Η εξοµάλυνση αυτή εξυπηρετεί διάφορες διαδικασίες, όπως είναι η αναπαράσταση µέσων τιµών της βαρύτητας και η πρόγνωση τιµών της ανωµαλίας της βαρύτητας. Με την υπόθεση ότι η γη είναι σφαιρική, µε µάζα Μ, η τιµή του g σ ένα σηµείο που βρίσκεται σε απόσταση r (όπου r>r γης ) από το κέντρο της, ορίζεται από τη σχέση: GM g = (2.32) 2 r ενώ η ακτινική παράγωγος της βαρύτητας, έχει τη γενικευµένη µορφή: 15
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα g r GM = 2 = r 3 2g r (2.33) Στην επιφάνεια της θάλασσας, η εξίσωση (2.33) δίνει τη µεταβολή της βαρύτητας σε σχέση µε το υψόµετρο του σηµείου. Στις περισσότερες περιπτώσεις η τιµή αυτή είναι ικανοποιητική για όλες τις περιοχές της γης. Μια περισσότερο πολύπλοκη προσέγγιση, η οποία λαµβάνει υπόψη της το σφαιρικό σχήµα της γης, είναι η εξής (Torge, 1980): g = 0.30855 0.00022cos2ϕ + 0.000144h r ( sec -2 ) (2.34) Οι εξισώσεις (2.33) και (2.34) δίνουν το λόγο µείωσης του g όταν αυξάνεται η απόσταση του σηµείου από το κέντρο της γης, αν δεν παρεµβάλλονται τοπογραφικές µάζες ανάµεσα στο σηµείο παρατήρησης και τη γη. Ανάλογα µε το σκοπό για τον οποίο γίνονται, υπάρχουν διάφορες αναγωγές των τιµών βαρύτητας. Η αναγωγή ελευθέρου αέρα (free air reduction) συνίσταται στην µεταφορά των µετρήσεων βαρύτητας, οι οποίες πραγµατοποιούνται και αναφέρονται σε σηµεία της επιφάνειας της γης από την αρχική επιφάνεια στην επιφάνεια του γεωειδούς. ηλαδή, οι υπάρχουσες µάζες «συµπιέζονται» σε µια λεπτή πλάκα πάνω στην επιφάνεια του γεωειδούς. Η αναγωγή αυτή ισχύει µε την παραδοχή ότι ανάµεσα στην επιφάνεια του εδάφους και στο γεωειδές δεν υπάρχουν τοπογραφικές µάζες αλλά µόνο αέρας. Η αναγωγή της τιµής της βαρύτητας από την επιφάνεια της γης στην επιφάνεια του γεωειδούς, γίνεται µε τη βοήθεια της κατακόρυφης βαθµίδας g της βαρύτητας. H Επειδή η πραγµατική τιµή της κατακόρυφης βαθµίδας της βαρύτητας δεν είναι γενικά γνωστή, στην πράξη προσεγγίζεται από την αντίστοιχη τιµή του κανονικού πεδίου βαρύτητας, όπου η τιµή 0.3086 10-5 sec -2 που αντιστοιχεί στη µεταβολή της κανονικής βαρύτητας σε σχέση µε το ύψος σε πλάτος φ=45 ο θεωρείται ικανοποιητική. ηλαδή, ισχύει: δg free-air g γ o 5 = 0.3086 10 Η 2 m /sec (2.35) Η Η Στην εξίσωση (2.35) το ορθοµετρικό υψόµετρο Η δίνεται σε m και γ ο είναι η τιµή της κανονικής βαρύτητας στο αντίστοιχο σηµείο του ΕΕΠ. o γ ΕΕΠ γ (2.36) Η αναγωγή ελεύθερου αέρα αντιστοιχεί σε µια παράλληλη µετατόπιση και συµπίεση των τοπογραφικών µαζών επάνω στο γεωειδές. Με βάση την αναγωγή ελεύθερου αέρα υπολογίζεται η ανωµαλία ελευθέρου αέρα από τη σχέση: 16
2. Το πεδίο βαρύτητας g free-air = g + δg γ (2.37) free-air o Στην παραπάνω σχέση, η επίδραση των τοπογραφικών µαζών, η οποία εξαρτάται άµεσα από τα υψόµετρα, δεν έχει αφαιρεθεί. Οι ανωµαλίες ελεύθερου αέρα είναι κατά συνέπεια συσχετισµένες µε τα υψόµετρα των αντίστοιχων σηµείων. Εάν εξαλειφθεί η επίδραση των τοπογραφικών µαζών µε µια τοπογραφική αναγωγή δg top και στη συνέχεια αναχθούν οι ανωµαλίες βαρύτητας µέσω µιας αναγωγής ελεύθερου αέρα, τότε προκύπτουν οι ανωµαλίες Bouguer (refined Bouguer anomalies), (Heiskanen and Moritz, 1967, sec. 3-3), που υπολογίζονται από τη σχέση: g Bouguer = g δg + δg γ (2.38) top free-air o Η τοπογραφική αναγωγή δg top µπορεί να υπολογιστεί µε το νόµο της έλξης των µαζών χρησιµοποιώντας ένα ψηφιακό µοντέλο εδάφους (Digital Terrain Model DTM). Το ψηφιακό µοντέλο εδάφους µπορεί να κατασκευαστεί µε τη βοήθεια µέσων υψών. Η τοπογραφία περιγράφεται µε ένα σύστηµα ορθών πρισµάτων που οι βάσεις τους µπορεί να είναι κυκλικοί τοµείς ή ορθογώνια. Στην πρώτη περίπτωση, χρησιµοποιείται ένα σύστηµα οµόκεντρων κύκλων και ακτίνων µε κέντρο το σηµείο για το οποίο θα υπολογισθεί η τοπογραφική αναγωγή (σχήµα 2.7), ενώ στη δεύτερη περίπτωση χρησιµοποιείται σύστηµα γεωγραφικών ή καρτεσιανών συντεταγµένων. Το ύψος κάθε πρίσµατος είναι ίσο µε το µέσο ύψος της τοπογραφίας που περιέχεται στο πρίσµα αυτό (Torge, 1980). Ρ r 2 r 1 z 1 z 2 α ρ=σταθερό Σχήµα 2.7: Η κατακόρυφη συνιστώσα της έλξης ορθού πρίσµατος. Για την κατακόρυφη συνιστώσα της έλξης (σχήµα 2.7), που ασκεί ένα ορθό πρίσµα που η βάση του είναι κυκλικός τοµέας στο σηµείο Ρ, ισχύει: 17
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα 2 2 2 2 2 2 2 2 F = + + + + + z G ρ α z 2 r1 z 2 r2 z1 r1 z1 r2 (2.39) Λαµβάνοντας υπόψη το ορθοµετρικό ύψος του σηµείου Ρ και το µέσο ύψος Η του πρίσµατος έχουµε z1 = H P H, z 2 = H P. Η τοπογραφική αναγωγή θα είναι ίση µε το άθροισµα της επίδρασης όλων των πρισµάτων γύρω από το σηµείο Ρ (µέχρι µια ορισµένη ακτίνα r max, δηλ. δg (2.40) top = Fz Η τοπογραφική αναγωγή µπορεί να χωριστεί (σχήµα 2.8) στην αναγωγή µιας επίπεδης πλάκας Bouguer (plate Bouguer reduction) δ g και στην αναγωγή του αναγλύφου (terrain reduction) δ g terrain, δηλαδή: plate δg top = δg δg (2.41) plate terrain r 2 r 1 Ρ αναγωγή τοπογραφικού ανάγλυφου H Hp ρ=σταθερό πλάκα Βouguer Σχήµα 2.8: Αναγωγή της πλάκας Bouguer. Η αναγωγή της επίπεδης πλάκας Bouguer (δg plate ), αφορά την έλξη µιας σφαιρικής ή άπειρα εκτεινόµενης επίπεδης πλάκας πάχους H P, δηλ. ίσου µε το υψόµετρο του ελκόµενου σηµείου Ρ και σταθερής πυκνότητας ρ. Αντικαθιστώντας στη σχέση (2.39) α = 2 π, r = 1 0, r = 2, z = 1 0 και z 2 = H P τότε προκύπτει (Torge, 1980): 5 δg plate = 2 πgρh P = 0. 0419 10 ρ H P (2.42) όπου: G είναι η παγκόσµια σταθερά της έλξης, ρ η µέση πυκνότητα για τα ανώτερα στρώµατα της λιθόσφαιρας (gr/cm 3 ) και Η P το υψόµετρο του σηµείου υπολογισµού σε m. Η παραπάνω εξίσωση δίνει την αναγωγή σε µονάδες m/sec 2. 18
2. Το πεδίο βαρύτητας Η αναγωγή του αναγλύφου αφορά την οµαλοποίηση της πλάκας Bouguer λαµβάνοντας υπόψη την επίδραση των µαζών οι οποίες υπολείπονται ή υπέρκεινται της πλάκας Bouguer. Τελικά, η ανωµαλία Βouguer ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: g Bouguer = g δg + δg + δg γ (2.43) plate terrain free-air o Στη σχέση (2.43), το αρνητικό πρόσηµο στο δεξιό µέλος έχει την έννοια ότι η αφαίρεση της πλάκας Bouguer ελαττώνει τη βαρύτητα, ενώ η αναγωγή του αναγλύφου (που είναι πάντα θετική) την αυξάνει. Τα σφάλµατα στον υπολογισµό της τοπογραφικής διόρθωσης οφείλονται σε διάφορες αιτίες. Για τον υπολογισµό της τοπογραφικής διόρθωσης σε ένα σηµείο θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι τοπογραφικές µάζες σε σφαιρική κλίµακα. Αυτό όµως απαιτεί ένα ψηφιακό µοντέλο τοπογραφίας για όλη τη γη και επιπλέον τεράστιο όγκο υπολογισµών. Η παραπάνω διαδικασία απλουστεύεται, εάν αγνοηθεί η επίδραση των µακρινών τοπογραφικών µαζών, η οποία θεωρητικά είναι µικρή. Μια άλλη αιτία σφάλµατος αποτελεί η ακρίβεια και η διακριτική ικανότητα του ψηφιακού µοντέλου εδάφους. Η µεγαλύτερη ανάλυση του ψηφιακού µοντέλου οδηγεί φυσιολογικά σε καλύτερη ακρίβεια υπολογισµού της τοπογραφικής διόρθωσης, αλλά και σε αύξηση του όγκου εργασίας. Στην πράξη χρησιµοποιούνται συνήθως δύο ψηφιακά µοντέλα εδάφους. Ένα µε µεγάλη διακριτική ικανότητα για τον υπολογισµό της κοντινής τοπογραφίας και ένα δεύτερο µε µικρότερη διακριτική ικανότητα για τις υπόλοιπες µάζες. Τέλος, η κυριότερη αιτία σφάλµατος κατά τον υπολογισµό της τοπογραφικής διόρθωσης, οφείλεται στην υπόθεση για την πυκνότητα των τοπογραφικών µαζών. Για σφαιρικής κλίµακας εφαρµογές, χρησιµοποιείται η µέση τιµή της πυκνότητας της ανώτερης λιθόσφαιρας (ρ=2.67 10 3 kgr/m 3 ). Για εφαρµογές όµως που απαιτείται µεγάλη ακρίβεια θα πρέπει εκτός από το ψηφιακό µοντέλο της τοπογραφίας να χρησιµοποιείται και ένα ψηφιακό µοντέλο πυκνότητας (Digital Density Model DDM) µε την ίδια διακριτική ικανότητα, το οποίο κατασκευάζεται από πληροφορίες από γεωλογικούς χάρτες (Αραµπέλος, 2000). Η τοπογραφική αναγωγή της βαρύτητας σε πεδινές περιοχές κυµαίνεται από 0.1 1 10-5 m/sec 2 ενώ σε ορεινές περιοχές από 10-100 10-5 m/sec 2. Στην περίπτωση των ανωµαλιών Bouguer αφαιρούνται τοπογραφικές µάζες, οπότε η έµµεση επίδραση είναι πολύ ισχυρή σ αυτές τις ανωµαλίες (µερικές εκατοντάδες µέτρα). Γι αυτό το λόγο οι ανωµαλίες Bouguer δεν είναι κατάλληλες για τον προσδιορισµό του γεωειδούς. Επίσης, οι ανωµαλίες Bouguer, επειδή είναι απαλλαγµένες από την επίδραση της ορατής τοπογραφίας, συσχετίζονται στενά µε έντονες µεταβολές της πυκνότητας, που συµβαίνουν στο υπέδαφος. Συνεπώς, το πεδίο των ανωµαλιών Bouguer απεικονίζει τη γενικότερη τάση του πεδίου βαρύτητας σε τοπική ή ευρύτερη κλίµακα λόγω διαταραχών της πυκνότητας, η οποία οφείλεται σε γεωλογικούς γεωφυσικούς σχηµατισµούς, που βρίσκονται όµως σε µικρά βάθη. Επίσης οι ανωµαλίες Bouguer, λόγω της οµαλής µεταβολής που παρουσιάζουν, είναι κατάλληλες να χρησιµοποιηθούν έµµεσα για τη δηµιουργία µέσων τιµών. Ακόµη, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την πρόγνωση ίδιας προέλευσης τιµών βαρύτητας. 19
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Ένα άλλο είδος αναγωγών των ανωµαλιών βαρύτητας, είναι οι ισοστατικές αναγωγές, οι οποίες συνδέονται µε την κατάσταση ισορροπίας υδροστατικού τύπου στην οποία βρίσκονται οι θαλάσσιες και οι ηπειρωτικές µάζες. Αυτό σηµαίνει ότι οι τοπογραφικές µάζες αντισταθµίζονται κατά ένα µεγάλο ποσοστό στο εσωτερικό της γης µε αποτέλεσµα η νέα κατανοµή των µαζών να αντιστοιχεί σε σταθερό πάχος και πυκνότητα του γήινου φλοιού. Ενδείξεις για το φαινόµενο αυτό αποτελεί η µελέτη κάποιων µεγεθών του πεδίου βαρύτητας, τα οποία παρουσιάζουν µια συστηµατική συµπεριφορά. Ένα παράδειγµα, αποτελούν οι ανωµαλίες Bouguer, οι οποίες στατιστικά παρουσιάζουν αρνητικές τιµές στις ηπειρωτικές εκτάσεις και θετικές τιµές στις θαλάσσιες περιοχές. Οι ισοστατικές αναγωγές βοηθούν στη επίλυση πολλών γεωφυσικών και γεωλογικών προβληµάτων, στα οποία οι ανωµαλίες της βαρύτητας πρέπει να έχουν συγκεκριµένες ιδιότητες, για τη διερεύνηση των κατανοµών των µαζών στο εσωτερικό της γης. Για την περιγραφή του φαινοµένου της αντιστάθµισης των τοπογραφικών µαζών έχουν κατασκευαστεί µοντέλα, όπως είναι το ισοστατικό µοντέλο του Pratt, που βασίζεται στην υπόθεση ότι η λιθόσφαιρα έχει σταθερό πάχος και µεταβλητή πυκνότητα και το ισοστατικό µοντέλο του Airy, που στηρίζεται στην υπόθεση ότι η λιθόσφαιρα έχει σταθερή πυκνότητα και µεταβλητό πάχος. Η ισοστατική αναγωγή δg Ι µπορεί να υπολογιστεί σύµφωνα µε το νόµο της έλξης των µαζών. Οι ισοστατικές ανωµαλίες δίνονται από την ακόλουθη σχέση (Torge, 1980): g = g δg + δg + δg γ (2.44) I top I free air o Αγνοώντας τις περιοχές µε διαταραγµένη αντιστάθµιση της τοπογραφίας, οι ισοστατικές ανωµαλίες χαρακτηρίζονται από µικρή µεταβλητότητα. Η έµµεση επίδραση µπορεί να φτάσει σ αυτές τις περιπτώσεις τα 10m. 2.2 Παγκόσµιο σύστηµα προσδιορισµού θέσης (GPS) Το NAVSTAR GPS (NAVigation System with Timing And Ranging Global Positioning System), είναι ένα δορυφορικό σύστηµα παγκόσµιου προσδιορισµού θέσης, χρόνου και ταχύτητας για κινούµενο όχηµα. Οι θέσεις των σηµείων µπορεί να είναι απόλυτες (Χ,Y,Z) ή σχετικές ( Χ, Υ, Ζ) (absolute or relative positioning) και αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (World Geodetic System 1984) το οποίο χρησιµοποιεί ένα ελλειψοειδές µε διαστάσεις a=6378137.00 m, b=6356752.3142m, σχεδόν ίδιες µε αυτές του ελλειψοειδούς του GRS 80 που χρησιµοποιείται και στο ΕΓΣΑ 87 (a=6378137.00m, b=6356752.3141m). Το σύστηµα GPS βρίσκεται υπό τον έλεγχο του Υπουργείου Άµυνας (DoD, Department of Defense) των ΗΠΑ και αξιοποιείται από τις αρχές της δεκαετίας του 80. Ο στόχος του συστήµατος GPS είναι ο προσδιορισµός της θέσης, της ταχύτητας και του χρόνου ως προς ένα ενιαίο παγκόσµιο σύστηµα αναφοράς, οπουδήποτε στη γήινη ή κοντά σ αυτή επιφάνεια και σε συνεχή βάση. 20
2. Το πεδίο βαρύτητας 2.2.1 Τα τµήµατα του GPS και το εκπεµπόµενο σήµα Το σύστηµα του GPS αποτελείται από τρία τµήµατα: - Το δορυφορικό τµήµα (space segment). - Το επίγειο τµήµα ελέγχου (control segment). - Το τµήµα των χρηστών (user segment). Το δορυφορικό τµήµα, αποτελείται από 24 συνολικά δορυφόρους, οι οποίοι εκπέµπουν συνεχώς σήµατα (GPS signals), που λαµβάνονται από τους δέκτες των χρηστών. Η σχεδόν κυκλική τροχιά κάθε δορυφόρου παρουσιάζει γωνία κλίσης 55 ο ως προς το ισηµερινό επίπεδο της γης. Οι 24 δορυφόροι βρίσκονται σε 6 τροχιακά επίπεδα, ανά 4 και σε ύψος περίπου 20200 km. Ο χρόνος ολοκλήρωσης µιας πλήρους περιστροφής του δορυφόρου είναι 12 ώρες σε αστρικό χρόνο και κατά συνέπεια κάθε δορυφόρος εµφανίζεται στον ορίζοντα ενός τόπο περίπου 4 λεπτά της ώρας νωρίτερα κάθε µέρα. Η διάρκεια ζωής των δορυφόρων είναι περίπου 7.5 χρόνια. Τα σήµατα που εκπέµπονται από κάθε δορυφόρο βασίζονται στη θεµελιώδη συχνότητα f=10.23 MHz (1MHz=10 6 Hz, 1Hz=1 κύκλος/sec) που παράγεται από τα ατοµικά του χρονόµετρα. Με βάση αυτή τη συχνότητα, δηµιουργούνται και εκπέµπονται κύµατα σε δύο βασικές συχνότητες: στην L1 (=fx154=1575.42 MHz, µήκος κύµατος λ=19.0 cm) και στην L2 (=fx120=1227.60 MHz, µήκος κύµατος λ=24.4cm). Οι δύο αυτές συχνότητες της L-ζώνης (L-band), που αποτελούν τα δύο βασικά φέροντα κύµατα, διαµορφώνονται µε βάση κάποιους αλγορίθµους, από τρεις κώδικες (δύο κώδικες ψευδοτυχαίου θορύβου (Pseudo Random Noise PRN) και έναν κώδικα δεδοµένων). Οι τρεις κώδικες είναι: ο κώδικας C/A (Coarse/ Acquisition code) ή κώδικας S (Standard code), ο κώδικας Ρ (Precise code) και ο κώδικας D (Data code) ή µήνυµα ναυσιπλοίας (navigation message). Η συχνότητα L1 διαµορφώνεται και από τους δύο κώδικες P και C/A, ενώ η συχνότητα L2 µόνο από τον κώδικα Ρ. Επίσης και τα δύο φέροντα κύµατα διαµορφώνονται από τον κώδικα D. Οι δύο PRN κώδικες συγκρίνονται µε τους αντίστοιχους κώδικες αντίγραφα που παράγονται εσωτερικά στο δέκτη. Από τη σύγκριση αυτή, που γίνεται µε κατάλληλη επεξεργασία εσωτερικά στο δέκτη, προκύπτουν οι ψευδοαποστάσεις. Ο Ρ κώδικας δίνει σηµαντικά µεγαλύτερη ακρίβεια σε σχέση µε τον C/A ενώ η πρόσβαση σ αυτόν γίνεται µέσω πληροφορίας που περιέχουν ο C/A κώδικας και ο κώδικας D. Ο C/A κώδικας είναι απαραίτητος επειδή εκτός του ότι παρέχει πρόσβαση στον Ρ- κώδικα καθώς και στο µήνυµα ναυσιπλοίας, επιτρέπει και τον ακριβή συγχρονισµό των χρονοµέτρων των δεκτών ώστε οι µετρήσεις να αναφέρονται σχεδόν στις ίδιες χρονικές εποχές. Το σήµα που εκπέµπει κάθε δορυφόρος είναι ένα άθροισµα επί µέρους συνιστωσών και µάλιστα µοναδικό για κάθε δορυφόρο. Η λήψη και η επεξεργασία του δορυφορικού σήµατος από ένα δέκτη GPS αποσκοπεί στο διαχωρισµό των συνιστωσών και στη µέτρηση, τόσο στους κώδικες όσο και στους φορείς L1 και L2. Στις γεωδαιτικές εφαρµογές και γενικότερα στις εφαρµογές που µας ενδιαφέρει η µεγάλη ακρίβεια, προτιµούνται οι µετρήσεις φάσεων επειδή η ακρίβεια των αποστάσεων δορυφόρων δέκτη είναι σηµαντικά καλύτερη από αυτή των ψευδοαποστάσεων. 21
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα Το επίγειο τµήµα ελέγχου αποτελείται από έναν κεντρικό σταθµό ελέγχου (master control station) στο Κολοράντο των ΗΠΑ, ο οποίος ελέγχει αυτόµατα όλη τη λειτουργία του δορυφορικού και επίγειου συστήµατος, πέντε σταθµούς παρακολούθησης και τρεις σταθµούς ενηµέρωσης. Οι σταθµοί παρακολούθησης, κατανεµηµένοι σ όλη τη γη και εφοδιασµένοι µε ατοµικά χρονόµετρα, µετρούν ψευδοαποστάσεις µε τον Ρ κώδικα και στέλνουν τα δεδοµένα στον κεντρικό σταθµό για επεξεργασία. Ο κεντρικός σταθµός προσδιορίζει τα στοιχεία τροχιάς των δορυφόρων χρησιµοποιώντας για µεγαλύτερη ακρίβεια και στοιχεία από άλλους διαφορετικούς σταθµούς παρακολούθησης. Επιπλέον, προσδιορίζονται και οι παράµετροι για τη διόρθωση των ατοµικών χρονοµέτρων των δορυφόρων. Ο χρόνος του GPS συνδέεται µε τον παγκόσµιο χρόνο UTC (Universal Time Coordinated) µέσω γνωστής σχέσης και ταυτίστηκε µε αυτόν στη 0 ώρα, στις 6 Ιανουαρίου 1980. Οι δύο κλίµακες διαφέρουν κατά έναν ακέραιο αριθµό λίγων δευτερολέπτων. Όλα τα στοιχεία που υπολογίζονται στον κεντρικό σταθµό ελέγχου, αποστέλλονται µέσω των σταθµών ενηµέρωσης στη µνήµη των υπολογιστών των δορυφόρων κάθε µερικές ώρες ή κάθε µέρα και εκπέµπονται ακολούθως από τους δορυφόρους προς τους χρήστες µέσω του D κώδικα. Σε περίπτωση βλάβης των σταθµών ελέγχου, οι δορυφόροι µπορούν από µόνοι τους, µε τον δικό τους επεξεργαστή, να προβλέψουν την τροχιά τους για λίγες µόνο µέρες µε σηµαντική όµως µείωση ακρίβειας. Η ακρίβεια της θέσης των δορυφόρων είναι της τάξης των µερικών ή µερικών δεκάδων µέτρων, ανάλογα µε την κατάσταση της επιλεκτικής διαθεσιµότητας. Πάντως για τις γεωδαιτικές εφαρµογές η ακρίβεια αυτή συνεπάγεται σχετική ακρίβεια καλύτερη από 1 ppm (της τάξης του cm για τα συνήθη γεωδαιτικά δίκτυα). Το τµήµα των χρηστών, περιλαµβάνει τους δέκτες GPS οι οποίοι χρησιµοποιούνται από στρατιωτικές και πολιτικές υπηρεσίες καθώς και από µεµονωµένους χρήστες. Ένας δέκτης GPS αποτελείται από την κεραία του και τον κυρίως δέκτη που µπορεί να αποτελούν µια ενιαία ή δύο χωριστές διατάξεις. Οι δέκτες διαθέτουν ολοκληρωµένα αναλογικά και ψηφιακά κυκλώµατα, χρονόµετρο/ ταλαντωτή και µικροεπεξεργαστές, τα οποία χρησιµοποιούνται για τη λήψη και επεξεργασία του σήµατος, την εκτέλεση και καταγραφή των µετρήσεων καθώς και για τον προσδιορισµό συντεταγµένων σε πραγµατικό χρόνο. Το χρονόµετρο του δέκτη χρησιµοποιείται για την παραγωγή συχνοτήτων αναφοράς (παραγωγή σηµάτων εσωτερικά στον δέκτη), για τη σύγκριση και την εκτέλεση µετρήσεων σε σχέση µε τα λαµβανόµενα δορυφορικά σήµατα. 2.2.2 Μετρήσεις µε το GPS Η βασική αρχή προσδιορισµού συντεταγµένων σηµείου µε το GPS είναι µια πλευρική οπισθοτοµία στις τρεις διαστάσεις, όπου το ρόλο των σταθερών τριγωνοµετρικών σηµείων παίζουν οι θέσεις των δορυφόρων κατά τη στιγµή της παρατήρησης και το ρόλο των αποστάσεων οι αποστάσεις που µετριούνται µε τη βοήθεια των δεκτών ύστερα από την ανάλυση των δορυφορικών 22
2. Το πεδίο βαρύτητας σηµάτων. Ο δέκτης GPS (GPS receiver) έχει τη δυνατότητα µέσω της κεραίας του να κεντρώνεται σε σηµεία, των οποίων η θέση τους προσδιορίζεται, όπως ακριβώς και σ ένα κλασικό θεοδόλιχο. Τα βασικά είδη των παρατηρήσεων είναι δύο: Οι παρατηρήσεις των ψευδοαποστάσεων. Ως ψευδοαπόσταση ορίζεται η απόσταση δορυφόρου δέκτη η οποία προκύπτει από το γινόµενο του χρόνου διάδοσης του σήµατος µε την ταχύτητα του φωτός (c=299792.458 km/sec στο κενό, c 300000 km/sec). Ο χρόνος διάδοσης µετράται στο δέκτη µε τη βοήθεια κάποιων κωδίκων. Επειδή η µέτρηση αυτή είναι επηρεασµένη από κάποια χρονοµετρικά σφάλµατα (clock errors) που κυρίως οφείλονται στο χρονόµετρο (ταλαντωτής) του δέκτη, γι αυτό ονοµάζεται ψευδοαπόσταση. Οι παρατηρήσεις των φάσεων στο ένα ή και στα δύο φέροντα κύµατα. Ως παρατήρηση φάσης ορίζεται η διαφορά µεταξύ της φάσης του φέροντος κύµατος που εκπέµπεται από το δορυφόρο και λαµβάνεται από το δέκτη κάποια χρονική στιγµή (εποχή) και της φάσης ενός φέροντος κύµατος που παράγεται εσωτερικά στο δέκτη. Από την επεξεργασία τέτοιων µετρήσεων φάσεων προκύπτουν µετρήσεις υψηλής ακρίβειας αποστάσεων µεταξύ δορυφόρων δεκτών και κατά συνέπεια υψηλής ακρίβειας προσδιορισµοί θέσεων. Η παρατήρηση φάσης είναι γωνιακό µέγεθος και εκφράζεται συνήθως σε κύκλους. Όσον αφορά τις ακρίβειες στον προσδιορισµό θέσεων (συντεταγµένων, διαφορών συντεταγµένων) αυτές ποικίλουν ανάλογα µε το είδος και την τεχνική των µετρήσεων, τις δυνατότητες του δέκτη, τον αριθµό και τη διάταξη στο χώρο των δορυφόρων, την επίδραση της ατµόσφαιρας καθώς και τις δυνατότητες του προγράµµατος επεξεργασίας. Γενικά οι ακρίβειες είναι της τάξης των µερικών δεκάδων µέτρων για τον απόλυτο προσδιορισµό σηµείου από µετρήσεις ψευδοαποστάσεων κατά τις οποίες απαιτείται µόνο ένας δέκτης. Για το σχετικό προσδιορισµό που ενδιαφέρει τις γεωδαιτικές εφαρµογές, η ακρίβεια εκφράζεται σε σχέση µε την απόσταση µεταξύ δύο σηµείων (προσδιορισµός συνιστωσών Χ, Y, Ζ), και κυµαίνεται από 1 έως 10 ppm. Στο σχετικό προσδιορισµό απαιτούνται δύο τουλάχιστον δέκτες. Σε σχέση µε την αντίστοιχη σχετική ακρίβεια των EDM, η ακρίβεια µε το GPS είναι ίση ή καλύτερη. Τα πλεονεκτήµατα των µετρήσεων µε GPS, είναι αρκετά: δεν χρειάζονται ορατότητες µεταξύ των σηµείων και τα τριγωνοµετρικά µπορούν να ιδρύονται σε εύκολα προσβάσιµες περιοχές. Το πλήθος των τριγωνοµετρικών σηµείων πύκνωσης είναι κατά πολύ µικρότερο αφού οι αποστάσεις µεταξύ των σηµείων µπορούν να είναι αρκετές δεκάδες χιλιόµετρα. Οι µετρήσεις µπορούν να γίνονται σχεδόν όλο το 24ωρο και µε όλες τις καιρικές συνθήκες. Ο χρόνος µέτρησης που απαιτείται για κάθε σηµείο, κυµαίνεται από ένα δευτερόλεπτο µέχρι µερικές δεκάδες πρώτα λεπτά ανάλογα µε την εφαρµογή. Το βάρος των δεκτών κυµαίνεται από 1 έως 3 κιλά, έχουν µικρές διαστάσεις και ο χειρισµός τους είναι αρκετά απλός. 23
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα 2.2.3 Μέθοδοι προσδιορισµού θέσης σηµείων Απόλυτος προσδιορισµός Ο απόλυτος προσδιορισµός, απαιτεί έναν δέκτη και ταυτόχρονες παρατηρήσεις προς τους δορυφόρους. Μια εξίσωση παρατήρησης ψευδοαπόστασης (µε χρήση κωδίκων) µπορεί εύκολα να γραφεί συναρτήσει των συντεταγµένων δορυφόρου δέκτη, όπου άγνωστοι παράµετροι είναι οι συντεταγµένες (X, Y, Z) του δέκτη. Συνήθως υπάρχει και µια ακόµη άγνωστη παράµετρος που εκφράζει το σφάλµα του χρονοµέτρου του δέκτη ή σε συνδυασµό µε σφάλµατα του δορυφόρου, διαφορετικό για κάθε εποχή µέτρησης. Έτσι, κάνοντας µετρήσεις ψευδοαποστάσεων και µε ένα µόνο δορυφόρο αλλά τουλάχιστον σε 4 διαφορετικές εποχές, µπορεί θεωρητικά να υπολογιστούν οι συντεταγµένες του δέκτη. Όµως η γεωµετρία είναι ασθενής (λύση «αδύνατη», µη ακριβής ή και καθόλου λύση) και γι αυτό το λόγο γίνονται ταυτόχρονες µετρήσεις σε τουλάχιστον 4 και πάνω δορυφόρους. Για παράδειγµα, αν σε κάποια χρονική εποχή µετρηθούν ταυτόχρονα από ένα σηµείο 5 ψευδοαποστάσεις προς 5 διαφορετικούς δορυφόρους, τότε προκύπτει ένα σύστηµα 5 εξισώσεων παρατηρήσεων µε 4 αγνώστους παραµέτρους, το οποίο λύνεται σύµφωνα µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Γεωµετρικά, η θέση του σηµείου προκύπτει από την τοµή τεσσάρων ή περισσοτέρων σφαιρών στο χώρο, οι οποίες έχουν κέντρα τη θέση των δορυφόρων τη συγκεκριµένη χρονική εποχή της µέτρησης. Η ακρίβεια στη θέση του δέκτη είναι της τάξης των 10 20 m µε τον Ρ- κώδικα και χειρότερη µε τον C/A. Αν χρησιµοποιηθούν δύο δέκτες, τότε µε βάση την τεχνική των διαφορών (όπως γίνεται µε τις φάσεις) η ακρίβεια βελτιώνεται σηµαντικά και µπορεί να φτάσει το 1 m. Σχετικός προσδιορισµός Μια εξίσωση παρατήρησης φάσης µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της απόστασης δορυφόρου δέκτη ή ισοδύναµα των συντεταγµένων δορυφόρου δέκτη όπου οι άγνωστοι παράµετροι θα είναι οι συντεταγµένες (X, Y, Z) του δέκτη καθώς και ο αριθµός κύκλων που αντιστοιχεί σ αυτή την απόσταση. Στο σχετικό προσδιορισµό θέσης, για λόγους πλήρους ή µερικής απαλοιφής αρκετών συστηµατικών σφαλµάτων και κατά συνέπεια για προσδιορισµούς ακριβείας, χρησιµοποιούνται δύο τουλάχιστον δέκτες, π.χ. για µια βάση (προσδιορισµός Χ, Y, Z) µε δύο δέκτες, ο ένας τοποθετείται σε σηµείο αναφοράς (τριγωνοµετρικό σηµείο µε γνωστές συντεταγµένες Χ, Y, Z) και ο άλλος στο άγνωστο σηµείο (ή περιφέρεται διαδοχικά στα άγνωστα σηµεία εφόσον πρόκειται για δίκτυο που στην ουσία είναι ένα σύνολο βάσεων). Σε κάθε µέτρηση βάσης και για να αποφεύγονται τα προβλήµατα λόγω αδύνατης γεωµετρίας των δορυφόρων, παρατηρούνται ταυτόχρονα από τα δύο σηµεία τουλάχιστον 4 δορυφόροι για ορισµένο χρονικό διάστηµα. Είναι χρήσιµο πολλές φορές να µετριούνται και µερικές επιπλέον βάσεις έτσι ώστε να δηµιουργούνται «βρόγχοι» (τρίγωνα ή πολύγωνα) και να ελέγχεται µ αυτό τον τρόπο η αξιοπιστία της λύσης, π.χ. µε τον υπολογισµό 24
2. Το πεδίο βαρύτητας των σφαλµάτων κλεισίµατος των συντεταγµένων, που θα πρέπει να είναι θεωρητικά µηδέν σε κάθε βρόγχο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι για ένα τουλάχιστον σηµείο, σε µια διαδικασία σχετικού προσδιορισµού, πρέπει να είναι γνωστές οι συντεταγµένες του (X, Υ, Z) ως προς το WGS 84 µε ακρίβεια ±(10 έως 30)m. Οι συντεταγµένες αυτές εισάγονται στο δέκτη πριν την έναρξη των µετρήσεων ή και στο στάδιο της επεξεργασίας. Αν δεν εισαχθούν µε την ακρίβεια που αναφέρθηκε, ο δέκτης υπολογίζει µόνος του τις συντεταγµένες αυτές από τη λύση µε ψευδοαποστάσεις και υπάρχει µεγάλος κίνδυνος µη αξιόπιστης λύσης, επειδή η αβεβαιότητα τους µπορεί να είναι ± 100 m ή και χειρότερη. 2.3 Η εξέλιξη των µοντέλων σφαιρικών αρµονικών. Καθώς η επιφάνεια του γεωειδούς αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση για την αναγωγή των µετρήσεων που πραγµατοποιούνται πάνω και έξω από την γήινη επιφάνεια, είναι εµφανής η σπουδαιότητα που έχει τόσο σε εφαρµογές παγκόσµιας όσο και σε εφαρµογές τοπικής κλίµακας. Για τον προσδιορισµό του γεωειδούς σε µεγάλη γεωγραφική έκταση ενδείκνυται η χρήση ενός µοντέλου σφαιρικών αρµονικών, το οποίο περιγράφει µε ικανοποιητική ακρίβεια (για τέτοιας κλίµακας εφαρµογές) το πεδίο βαρύτητας. Το πρώτο σφαιρικό µοντέλο γεωειδούς, που κατασκευάστηκε στις αρχές της δεκαετίας του 70 ήταν το GEM3, το οποίο βασίστηκε σε γήινα βαρυτηµετρικά δεδοµένα και είχε βαθµό ανάπτυξης 12. Η εξέλιξη της δορυφορικής αλτιµετρίας από το 1975 έφερε επανάσταση στη συλλογή δεδοµένων µικρότερου µήκους κύµατος, ιδιαίτερα για τον προσδιορισµό του γεωειδούς στη θάλασσα. Το καλύτερο σφαιρικό µοντέλο εκείνης της εποχής ήταν το GEM10B µε βαθµό ανάπτυξης 36. Η πρόοδος στην επίγεια βαρυτηµετρία, οι τεχνικές της δορυφορικής αλτιµετρίας, και οι βαρυτηµετρικές λύσεις, έχουν συµβάλει στην αύξηση των διαθέσιµων δεδοµένων, και έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη πολλών βαρυτηµετρικών µοντέλων τα τελευταία 20 χρόνια. Ένα από τα πρόσφατα σφαιρικά µοντέλα του πεδίου βαρύτητας, και ευρέως χρησιµοποιούµενο σε πλήθος εφαρµογών, είναι το EGM96, το οποίο αναπαριστά όλα τα µήκη κύµατος µέχρι το βαθµό 360, που αντιστοιχεί σε διακριτική ανάλυση περίπου 55 km στον ισηµερινό. Το πιο σύγχρονο όµως µοντέλο σφαιρικών αρµονικών θεωρείται τo GPM98C το οποίο έχει πλήρη βαθµό και τάξη ανάπτυξης 1800x1800 και διακριτική ανάλυση 10km περίπου. Μέχρι το βαθµό 20 οι συντελεστές του µοντέλου GPM98A, προέρχονται από το προγενέστερο µοντέλο σφαιρικών αρµονικών EGM96, ενώ από το βαθµό 21 µέχρι και 1800 έχουν υπολογιστεί από µέσες τιµές ανωµαλιών ελευθέρου αέρα κατανοµής 5 5 ( Wenzel, 1998). Στη βελτίωση των πρόσφατων µοντέλων σφαιρικών αρµονικών έχουν συµβάλει κυρίως η αύξηση του πλήθους των δεδοµένων, οι ακριβέστερες µετρήσεις και το πλήθος των δορυφόρων που χρησιµοποιούνται γι αυτό το σκοπό. Ωστόσο, υπάρχουν ακόµα περιοχές που η κατανοµή είναι ιδιαίτερα ανοµοιογενής ή ακόµα χειρότερα, περιοχές που δεν έχουν καλυφθεί από 25
Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς από ετερογενή δεδοµένα βαρυτηµετρικά δεδοµένα (σχήµα 2.9). Σ αυτές τις περιπτώσεις το σφάλµα του γεωειδούς µπορεί να φθάσει τα µερικά µέτρα. Σχήµα 2.9: Η κατανοµή των µέχρι σήµερα διαθέσιµων µέσων τιµών ανωµαλίας της βαρύτητας στο BGI (Bureau Gravimetrique Intrernational). Σε ορισµένες περιοχές, όπως π.χ. στην πρώην Σοβιετική Ένωση, οι διαθέσιµες τιµές σε πλέγµα προέρχονται από γεωφυσικές συσχετίσεις (Αραµπέλος, 2000). 2.4 Μέθοδοι προσδιορισµού του γεωειδούς Η λεπτοµερής γνώση της επιφάνειας του γεωειδούς σε τοπική, περιφερειακή και παγκόσµια κλίµακα, συµβάλλει σηµαντικά στη λύση πολλών γεωδαιτικών, γεωφυσικών και γεωδυναµικών προβληµάτων, όπως είναι: - ο προσδιορισµός της φυσικής επιφάνειας της γης, - η αναγωγή των επίγειων παρατηρήσεων στο ελλειψοειδές αναφοράς, - ο προσδιορισµός της θέσης των σηµείων της επιφάνειας της γης ως προς ένα γεωκεντρικό σύστηµα αναφοράς, - η µελέτη διαφόρων γεωφυσικών προβληµάτων, - οι ωκεανογραφικές µελέτες. Οι µέθοδοι προσδιορισµού του γεωειδούς ανάλογα µε τις πηγές δεδοµένων που χρησιµοποιούνται διακρίνονται σε: - Αστρογεωδαιτικές - Βαρυτηµετρικές - Αλτιµετρικές - Λύσεις συνδυασµού α) Στις αστρογεωδαιτικές µεθόδους χρησιµοποιούνται οι συνιστώσες της αποκλίσεως της κατακορύφου ξ και η, είτε µε την εφαρµογή της αστρογεωδαιτικής χωροστάθµησης είτε σε συνδυασµό µε ένα µοντέλο σφαιρικών αρµονικών. 26