https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Δ Κατά τον Καθηγητή Avram Noam Chomsky οι γραμματικές ταξινομούνται σύμφωνα με τα είδη παραγωγών που επιτρέπονται, δηλαδή: μια γραμματική είναι Τύπου 0 (γραμματική χωρίς περιορισμούς) αν δεν έχει περιορισμούς στις παραγωγές της [Βικιπαίδεια: λήμμα για Ιεραρχία Τσόμσκι ]. μια γραμματική είναι Τύπου 1(γραμματική με συμφραζόμενα context-sensitive) αν κάθε παραγωγή της έχει τη μορφή α β, όπου το μήκος α β. 19 μια γραμματική είναι Τύπου (γραμματική χωρίς συμφραζόμενα context-free) αν κάθε παραγωγή της έχει τη μορφή Α β, δηλαδή όπου η αριστερή πλευρά είναι ένα απλό μη-τερματικό. Το συντακτικό των γλωσσών προγραμματισμού (Fortran, Pascal, C, C++, ) περιγράφεται από γραμματικές Τύπου. 0 μια γραμματική είναι Τύπου 3 (κανονική γραμματική regular) αν κάθε παραγωγή της έχει τη μορφή Α a ήα aβ ήα Βa, δηλαδή όπου η αριστερή πλευρά είναι ένα απλό μη-τερματικό και η δεξιά πλευρά είναι μια ακολουθία τερματικών ή μια ακολουθία τερματικών που ακολουθείται ή ακολουθεί ένα μη-τερματικό. Στις γραμματικές ισχύει: Τύπου 3 Τύπου Τύπου 1 Τύπου 0. 1 (ασκήσεις) 1. Να βρεθεί η γλώσσα L(G) που παράγεται από μια γραμματική G με τις μεταβλητές S, A, B, τα τερματικά a, b και τις παραγωγές S ab, B b, B ba, A ab.. Να προσδιοριστεί ο τύπος της γραμματικής G που αποτελείται από τις παραγωγές: a. S aa, A aab, B b, A a b. S aabα, AB ab, B bb, A ab, B b c. S ba, B ba, A ab, B b Να βρεθεί η γλώσσα L(G) που παράγεται σε κάθε μία από τις 3 παραπάνω περιπτώσεις. 1
- Πέρας Παρουσίασης -
https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Αρίθμηση ( είγματα, Μεταθέσεις, Συνδυασμοί, κτλ.) Η Αρχή του Αθροίσματος Έστω ένα γεγονός Ε που μπορεί να συμβεί κατά k διαφορετικούς τρόπους. Έστω επίσης ότι ανεξάρτητα από το γεγονός αυτό, υπάρχει ένα δεύτερο γεγονός F το οποίο μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους. Τότε υπάρχουν k + m διαφορετικά αποτελέσματα όταν συμβεί μόνο το ένα από τα δύο γεγονότα E ή F. Γενικότερα, έστω ότι έχουμε n ανεξάρτητα γεγονότα Ε i,(1 i n), όπου το καθένα μπορεί να συμβεί κατά k i τρόπους. Τότε υπάρχουν k 1 + k + +k n διαφορετικάαποτελέσματαότανσυμβεί (ή Η Θεμελιώδης Αρχή της Αρίθμησης) Έστω ένα γεγονός Ε που μπορεί να συμβεί κατά k διαφορετικούς τρόπους. Έστω επίσης ότι ανεξάρτητα από το γεγονός αυτό, υπάρχει ένα δεύτερο γεγονός F το οποίο μπορεί να συμβεί κατά m τρόπους. Τότε υπάρχουν k. m διαφορετικά αποτελέσματα όταν συμβούν και τα δύο γεγονότα E και F. Γενικότερα, έστω ότι έχουμε n ανεξάρτητα γεγονότα Ε i,(1 i n), όπου το καθένα μπορεί να συμβεί κατά k i τρόπους. Τότε υπάρχουν k. 1 k.. k n διαφορετικά αποτελέσματα όταν συμβούν όλα τα γεγονότα Ε i. μόνο το ένα από τα γεγονότα Ε i. 3 4 (παράδειγμα) Έστω ότι ο αριθμός κυκλοφορίας των οχημάτων περιέχει τρία γράμματα που ακολουθούνται από τέσσερα ψηφία με το πρώτο μη μηδενικό. Πόσες διαφορετικές πινακίδες κυκλοφορίας μπορούν να κατασκευαστούν; (παραδείγματα) Πόσεςδιαφορετικέςεπιλογέςέχειέναςσύλλογος 100 μελών για τη συγκρότηση του τριμελούς διοικητικού του συμβουλίου (δηλ. πρόεδρος, ταμίας και γραμματέας) με εκλογές, θεωρώντας ότι κανείς δεν μπορεί να εκλεγεί σε περισσότερες από μία θέσεις; 5 6 1
Συμβολισμός Παραγοντικών n παραγοντικό ονομάζεται το γινόμενο των θετικών ακεραίων από 1 μέχρι n. Συμβολισμός: n! =1.. 3. (n -1). (n -). n Εξ συμβάσεως: 0!=1 Έστω ένα n-σύνολο S και (a 1, a,, a r ) ένα διατεταγμένο δείγμα r στοιχείων του S. Αυτό το διατεταγμένο r-δείγμα ονομάζεται r-μετάθεση *. Σε μία r-μετάθεση πρέπει να είναι r n. Εάν r=n τότε η n-μετάθεση ονομάζεται απλά μετάθεση των n στοιχείων. 7 * Στη θεωρία πιθανοτήτων η έννοια της r-μετάθεσης συνδέεται με την έννοια της δειγματοληψίας χωρίς επανάθεση. 8 Σύγκριση ειγμάτων και Μεταθέσεων Έστω το σύνολο Τ = {a, b, c, d}, με S =4. Τότε όλα τα δυνατά 3-δείγματα που μπορούν να σχηματιστούν είναι: και το πλήθος τους είναι S 3 =4 3 =64. Από αυτά μόνο τα: έχουν όλα τα στοιχεία τους διαφορετικά και είναι 3-μεταθέσεις. Το πλήθος τους είναι 4. 3. =4 Παράδειγμα: Έστω το σύνολο Τ = {a, b, c, d} Οι bdca, dcba και acdb είναι μεταθέσεις των τεσσάρων γραμμάτων (που λαμβάνονται όλα ταυτόχρονα *). Οι bad, dab και bda είναι μεταθέσεις των τεσσάρων γραμμάτων που λαμβάνονται ανά τρία ταυτόχρονα. Οι ca, ac και db είναι μεταθέσεις των τεσσάρων γραμμάτων που λαμβάνονται ανά δύο ταυτόχρονα. 3-μεταθέσεις. Το πλήθος τους είναι 4. 3. =4 9 * δηλαδή χωρίς να επανατοποθετούνται. 10 Ο αριθμός όλων των δυνατών r-μεταθέσεων n αντικειμένων είναι: με r n Παράδειγμα: Να βρεθεί ο αριθμός των 3-μεταθέσεων 6 αντικειμένων, έστω των Α, Β, Γ,, Ε, Ζ. Επίσης: γινόμενο r παραγόντων με r n Το πλήθος των μεταθέσεων n αντικειμένων που λαμβάνονται όλα, χωρίς επανάθεση, είναι: P(n, n) =n! 11 1
με Ομοιότητα Το πλήθος των n-μεταθέσεων ενός n-συνόλου όπου μερικά από τα στοιχεία του είναι όμοια είναι: με Επανάθεση Ομοίως, το πλήθος των n-μεταθέσεων με επανάθεση ενός n-συνόλου όπου μερικά από τα στοιχεία του επιλέγονται περισσότερες από μία φορές είναι επίσης: όπου τα n 1 στοιχεία του συνόλου είναι όμοια μεταξύ τους, τα n επίσης όμοια,,τα n r επίσης όμοια μεταξύ τους. 13 όπου τα n 1 στοιχεία μέσα στο επιλεγμένο δείγμα είναι όμοια μεταξύ τους, τα n επίσης όμοια,, τα n r επίσης όμοια μεταξύ τους. 14 (ασκήσεις) 1. Πόσους αναγραμματισμούς μπορούμε να δημιουργήσουμε από τη λέξη COMBINATORICS;. Ποια λέξη ή φράση δίνει περισσότερους αναγραμματισμούς: ηλέξηcombinatorics ή ηλέξηcombinatorica ή η λέξη ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ; (ο ίδιος όρος γραμμένος στα αγγλικά, στα λατινικά και στα ελληνικά) (ασκήσεις - συνέχεια) 3. Πόσες διαφορετικές ελληνικές λέξεις 6 χαρακτήρων υπάρχουν αν θεωρούμε ότι δύο λέξεις είναι διαφορετικές όταν δεν γράφονται πανομοιότυπα; 4. Έστω το σύνολο Τ = {a, b, c}. Να βρεθεί ο αριθμός των μεταθέσεων με επανάθεση μεγέθους n=5όπου: το a θα εμφανίζεται δύο φορές, το b θα εμφανίζεται δύο φορές και το c θα εμφανίζεται μία φορά. 15 16 ιακριτά Μαθηματικά Ι Αρίθμηση - Πέρας Παρουσίασης - 3