Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (ΙI) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Συναλλοίωτη Μορφή: οι Dirac γ Matrices Η εξίσωση Dirac μπορεί να γραφεί σε συναλλοίωτη μορφή χρησιμοποιώντας τις 4 Dirac γ matrices: Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την Dirac (D6) με με μπορούμε να γράψουμε (D9) Επισήμανση: Οι Dirac γ matrices ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ τετραδιανύσματα- είναι σταθεροί πίνακες και συνεπώς παραμένουν αναλλοίωτοι σε μετασχηματισμούς Lorentz. Ωστόσο, όπως θα δείξουμε, η εξίσωση Dirac παραμένει επίσης αναλλοίωτη Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 2

Μετασχηματισμός της Dirac Θα δείξουμε ότι η Dirac διατηρεί την μορφή της σε σχετικιστικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή: μετασχηματίζεται ως (A.5) (A.6) όπου και είναι ο μετασχηματισμένος spinor. Το αναλλοίωτο της εξίσωσης Dirac θα αποδειχθεί όταν δείξουμε πως υπάρχει ο ως άνω, 4x4, S πίνακας. Ο μετασχηματισμός Lorentz για το τονούμενο σύστημα που κινείται με ταχύτητα v κατά τον άξονα x, είναι: όπου Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 3

Ο μετασχηματισμός (A.6) εκφράζεται ως: Πολλαπλασιάζοντας με S την (A.5 ) ) Tα δεύτερα μέλη είναι ίσα, άρα ο πίνακας S πρέπει να ικανοποιεί: (A.7) Αναλυτικά, για αντιστοιχεί σε: όπου και Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 4

Μπορεί να δειχθεί πως ο πίνακας που ικανοποιεί τις συνθήκες είναι: with και για κίνηση παράλληλη με το x, θα πρέπει Συνεπώς, υπό σχετικιστικούς μετασχηματισμούς, ο spinor μετασχηματίζεται ως. Αυτός ο μετασχηματισμός διατηρείαναλλοίωτη την μορφή της εξίσωσης Dirac Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 5

Ιδιότητες των γ matrices Από τις ιδιότητες των και πινάκων και: and καταλήγουμε στις σχέσεις: Οι οποίες μπορούν να εκφρασθούν ως: (ορισμός της άλγεβρας) είναι Hermipan άρα είναι Hermipan. Οι πίνακες είναι επίσης Hermipan, συνεπώς οι είναι anp- Hermipan Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 6

Pauli- Dirac RepresentaXon Χρησιμοποιούμε την Pauli- Dirac αναπαράσταση των γ matrices: Η αναλυτικότερα Συνεπώς και γράφονται ως: όπου είναι το τετραδιάνυσμα ρεύματος. (Δες στο Παράρτημα) Με αυτά τα τετραδιανύσματα, η εξίσωση συνέχειας γράφεται ως: Το τετραδιάνυσμα μπορεί να γραφεί απλούστερα χρησιμοποιώντας τον adjoint spinor Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 7

Adjoint Spinor Ο adjoint spinor ορίζεται ως δηλαδή Με τον adjoint spinor το τετραδιάνυσμα του ρεύματος πιθανότητας γράφεται: Θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την έκφραση για τους κανόνες Feynman και τον υπολογισμό των Lorentz invariant στοιχείων πίνακα για τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις. Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 8

Ελεύθερο Σωμάτιο σε Ηρεμία Αναζητούμε λύσεις για το ελεύθερο σωμάτιο της μορφής: όπου, είναι spinor 4 στοιχείων που ικανοποιεί την εξίσωση Dirac προφανώς Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του Dirac δίνει: Που γράφεται ως: (D10) Για σωμάτιο σε ηρεμία eq. (D10) και Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 9

(D11) Η οποία έχει 4 ορθογώνιες λύσεις: (D11) E = m! (D11) E = -m! Εμφανίζονται δηλαδή Λύσεις Αρνητικής Ενέργειας συμπεριλαμβάνοντας την χρονική εξάρτηση 2 καταστάσεις spin με E>0 2 καταστάσεις spin με E<0 Στην κβαντομηχανική δεν μπορούμε να απορρίψουμε, ως αφύσικες, λύσεις με E<0 επειδή είμαστε αναγκασμένοι να έχουμε πλήρες σύνολο βάσης- άρα 4 Λύσεις Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 10

Εξίσωση Dirac : λύσεις επιπέδου κύματος Αναζητούμε λύσεις της μορφής: Αρχίζοντας από την Dirac (D10): γράφουμε όπου Γράφουμε τους 4x4 πίνακες χρησιμοποιώντας 2x2 υπο- πίνακες Με τον ίδιο τρόπο γράφουμε τον spinor ως: Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 11

Δείξετε ότι P 2 Δείξετε ότι για να υπάρχουν μη- τετριμμένες λύσεις για λύσεις αρνηρικής ενέργειας θα υπάρξουν Καταλήγοντας σε δύο συζευγμένες σχέσει ως προς (D12)

υπολογίζοντας ώστε (D12) δίνει Επιλέγοντας την αυθαίρετη (αλλά την απλούστερη) μορφή για δηλαδή or καταλήγουμε and Οπου N είναι παράγων κανονικοποίησης Επισήμανση: Για αντιστοιχούν στις E>0 λύσεις σωμάτιου σε ηρεμία Η επιλογή για το είναι αυθαίρετη, αλλά μπορούμε να εκφράσουμε κάθε άλλη επιλογή ως γραμμικό τους συνδυασμό. Η επιλογή είναι ανάλογος με το να επιλέξουμε μία βάση ιδιοσυναρτήσεων του spin Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 13

Επαναλαμβάνοντας για το και δίνει τις λύσεις και! Οι 4 λύσεις είναι: Εάν αντικαταστήσουμε καθε μία από τις λύσεις στην εξίσωση Dirac, καταλήγουμε πάντα σε η οποία προϋποθέτει αρνητικές λύσεις, αλλά δεν ταυτοποιεί τις λύσεις αρνητικής Ε. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε όλες τις ενέργειες θετικές;;;; Η απάντηση είναι ΟΧΙ, διότι εάν όλες οι λύσεις έχουν την ίδια ενέργεια Ε, π.χ. E = + E, τότε μόνο δύο από τις λύσεις είναι ανεξάρτητες ( ( ) Υπάρχουν 4 ανεξάρτητες λύσεις όταν εμπεριέχονται και οι λύσεις με E<0. Η ταυτοποίηση λύσεων με E<0 γινεται στο σύστημα ηρεμίας (eq. D11 ). Για : αντιστοιχούν σε E>0 σωμάτια σε ηρεμία αντιστοιχούν σε E<0 σωμάτια σε ηρεμία Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 14

H «εικόνα» Dirac για την Αρνητική Ενέργεια Η εξίσωση Dirac έχει λύσεις αρνητικής ενέργειας αλλά η πυκνότητα πιθανότητας είναι θετική. Εν τούτοις αποτελεί πρόβλημα... π.χ. οι καταστάσεις χαμηλότερης ενεργειας είναι αρνητικές και τα e θα έπρεπε να καταλαμβάνουν κατά προτίμηση αρνητικές ενέργειες!!!! Η «εικόνα» Dirac : το κενό αντιστοιχεί σε καταστάσεις αρνητικής ενέργειας, οι οποίες είναι πλήρως κατειλημμένες. Η απαγορευτική αρχή του Pauli απαγορεύει στα ελεύθερα e να πέσουν σ αυτές τις καταστάσεις. Οπές στις καταστάσεις αρνητικής αντιστοιχούν σε αντι- σωμάτια, θετικής ενέργειας. Η εικόνα αυτή περιγράφει τα φαινόμενα της εξαϋλωσης και της δίδυμη γένεσης. Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 15

Positron Κοσμική ακτίνα σε θάλαμο νεφώσεων: C.D.Anderson, Phys Rev 43 (1933) 491 e + " e + " 23 MeV" 63 MeV" B 6 mm Lead Plate e + εισέρχεται από κάτω, επιβραδύνεται στον μόλυβδο Η καμπύλωση στο B- πεδίο δείχνει πως είναι θετικό σωμάτιο Δεν θα μπορούσε να είναι πρωτόνιο, διότι θα είχε σταματήσει στον μόλυβδο Προσέφερε την απόδειξη για τις λύσεις του Dirac Απόδειξη της ύπαρξης αντισωματίων! Αλλά η εικόνα του κενού με καταστάσεις αρνητικής ενέργειας, πλήρως κατειλημμένες, δεν είναι ικανοποιητική.τι συμβαίνει στην περίπτωση των μποζονίων που δεν δεσμεύονται από την απογορευτική αρχή;;; Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 16

Η ερμηνεία Feynman- Stückelberg Η εικόνα Dirac για τα αντισωμάτια αντιμετωπίζει σημαντικα προβλήματα ώστε να μην περιγράφει τις φυσικές αλληλεπιδράσεις. Η εικόνα Feynman- Stückelberg : Οι λύσεις αρνητικής ενέργειας παριστούν σωμάτιο αρνητικής ενέργειας το οποίο κινείται αντίστροφα στον χρόνο ή αντίστοιχα παριστούν θετικής ενέργειας αντισωμάτιο το οποίο κνείται θετικά στον χρόνο pme e + e - e (E<0) γ e + (E>0) γ E>0! E<0! e (E>0) e (E>0) Στα Feynman διαγράματα, τα βέλη για τα αντι- σωμάτια δείχνουν προς τα αρνητικά του χρόνου (όπως αριστερά στην εικόνα) για να δηλώνουν Ε<0. Είναι πιο εύχρηστο να χρησιμοποιούμε κυματοσυναρτήσεις αντισωματιδίων με ενέργεια σύμφωνα με την εικόνα Feynman- Stückelberg Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 17

Spinors των Αντι- σωματίων Θέλουμε να επαναπροσδιορίσουμε τις λύσεις αρνητικής ενέργειας ώστε τα αντισωμάτια να έχουν ενέργεια: Δύο τακτικές: Ας αρχίσουμε από τις καταστάσεις αρνητικής ενέργειας Οπου αντιλαμβανόμαστε το E ως να είναι αρνητικό (το P ;;;) «Ορίζουμε» κυματοσυναρτήσεις σωματιδίων αντιστρέφοντας το πρόσημο των και σύμφωνα με την εικόνα Feynman- Stückelburg i: Οπου τώρα το E θεωρείται ότι είναι θετικό, Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 18

Αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης Dirac για αντισωμάτια, της μορφής Παρατηρήστε πως, ενώ υπό την έννοια ότι Spinors των Αντι- σωματίων όπου θα καταλήξουμε πάλι σε αρνητικές λύσεις Συγκεκριμένααντικαθιστώντας στην εξίσωση Dirac (D13) Η εξίσωση Dirac για ΑΝΤΙ- ΣΩΜΑΤΙΑ Ακολουθώντας ίδια μεθοδο: κ.τ.λ., Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 19

Spinors Σωματιδίων και Αντισωματιδίων 4 λύσεις της μορφής: 4 λύσεις της μορφής: Επειδή κάθε spinor έχει τέσσερες στοιχεία, μόνο 4 εξ αυτών είναι γραμμικά ανεξάρτητοι Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε ή ή Φαίνεται πιο φυσιολογικό να επιλέξουμε λύσεις θετικής ενέργειας Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 20

Κανονικοποίηση των Κυματοσυναρτήσεων Θέλουμε να κανονικοποιούμε τις κυματοσυναρτήσεις σε σωμάτια ανά μονάδα όγκου Ας θεωρήσουμε Η πυκνότητα πιθανότητας είναι Για 2E σωμάτια ανά μονάδα όγκου, θα πρέπει Η ίδια κανονικοποίηση για Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 21

Τελεστές για τα Αντισωμάτια Η κυματοσυνάρτηση του αντισωματίου, ενώ αντιστοιχεί σε θετική ενέργεια, φαίνεται να αντισοιχεί σε αρνητικές ιδιοτιμές της Hamiltonian. Ομοίως και η ορμή. Συνεπώς, είμαστε αναγκασμένοι να τροποποιήσουμε τους αντίστοιχους τελεστές για αυτές τις λύσεις των αντισωματίψν, ως: Παράλληλα, η αντιστροφή για αυτές τις λύσεις, συνεπάγεται: Προκειμένου ο αντιμεταθέτης να είναι μηδέν, θα πρέπει: