ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ & ΜΗΧ/ΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Mάθηµα: "ΘΕΩΡΙΑ ΙΚΤΥΩΝ" (5 ο εξάµηνο) Ακαδ. Έτος: ο Τµήµα (ΚΜ), ιδάσκων: Κ. Τζαφέστας Λύσεις ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (Κύκλωµα τελεστικών ενισχυτών) R f i i R v v s R v s R f Σχήµα Η άσκηση αυτή λύνεται εύκολα! εκφράζοντας απ ευθείας (εποπτικά) την τάση εξόδου v, διαδοχικά σε συνάρτηση των τάσεων κόµβων e, e, e, και τελικά των v s και v s. (α) Έστω i το ρεύµα το οποίο διατρέχει τις αντιστάσεις R και R f από την έξοδο του ου τελεστικού ενισχυτή (Τ) µέσω του κόµβου προς τη γείωση, και i το ρεύµα το οποίο εξέρχεται από τον ακροδέκτη εξόδου του Τ προς το ο τελεστικό ενισχυτή (Τ) µέσω της αντιστάσεως R η οποία προσπίπτει στον κόµβο (βλέπε Σχήµα ). Έχουµε για το δεύτερο τελεστικό ενισχυτή (Τ): v = e i R f (Τ) (θεωρούµε φυσικά i =, και i = για τους δύο τελεστικούς ενισχυτές), και e = v s (Τ) (δεδοµένου ότι θεωρούµε πως οι δύο τελεστικοί ενισχυτές απείρου κέρδουςλειτουργούν στη γραµµική περιοχή, απ όπου: v d = v v =, και για τους δύο τελεστικούς ενισχυτές). Παίρνουµε εποµένως, από τις σχέσεις (Τ και ): v = v s i R f () Αλλά, από τον κλάδο σύνδεσης του ακροδέκτη εξόδου του Τ µε τη θύρα εισόδου του Τ, παίρνουµε : i R = e e i R f = (e e )(R f /R ) () Σελίδα από 4

Συνδυάζοντας τις () και (), και χρησιµοποιώντας την (Τ), παίρνουµε: v = (R f /R ) v s (R f /R ) e () Για τον πρώτο τελεστικό ενισχυτή (Τ) έχουµε αντίστοιχα: e = i R e (Τ) e = v s και e = i R f (Τ) απ όπου: e = ( R /R f ) v s (4) Συνδυάζοντας τώρα τις () και (4) παίρνουµε τελικά: v R = v v ( ) f s s R (5) που είναι η ζητούµενη σχέση. (β) Για να λειτουργούν οι τελεστικοί ενισχυτές, όπως υποθέσαµε, στη γραµµική περιοχή πρέπει να ισχύει: (Τ): E sat < e < E sat, οπότε από τη σχέση (4) R R E < v < E R R R R f f sat s sat f f (6) (Τ): E sat < v < E sat, οπότε από τις σχέσεις (5) και (6) R R Esat < vs vs < E sat R R f R R f R f R f Esat < vs < E sat R R f R R f E < v < E sat s sat (7) Οι (6) και (7) είναι οι ζητούµενες συνθήκες, για τις ανεξάρτητες πηγές εισόδου v s και v s, ώστε οι Τ και Τ να βρίσκονται όντως στη γραµµική περιοχή λειτουργίας, και να ισχύει έτσι η ανάλυση του ερωτήµατος (α). Σελίδα από 4

Άσκηση (DC ανάλυση τρανζίστορ) βi i (g, E ) µv ce (r, I ) v i i c c v e v ce e Σχήµα (α): Τµηµατικά γραµµικό µοντέλο τρανζίστορ ένωσης (npn) σε συνδεσµολογία κοινού εκποµπού. Ξεκινούµε γράφοντας κατ αρχάς τις εξισώσεις που περιγράφουν τη vi χαρακτηριστική για τη θύρα εισόδου και εξόδου του τρανζίστορ, όταν αυτό µοντελοποιείται προσεγγιστικά από το τµηµατικά γραµµικό µοντέλο του Σχήµατος (α). Έχουµε: Θύρα εισόδου (βάσηεκποµπός): v e = v µv ce, όπου v η τάση στα άκρα του κοίλου αντιστάτη (g, E ), για τον οποίο έχουµε: g g( v E), when v E i = ( v E ( v E) ) =, when v < E δηλαδή: i g ( v µ v E ), when v E µ v =, when ve < E µ v e ce e ce ce () Θύρα εξόδου (συλλέκτηςεκποµπός): i c = i βi, όπου i το ρεύµα που διατρέχει τον κυρτό αντιστάτη (r, I ), για τον οποίο έχουµε: r r( i I), when i I vce = ( i I ( i I) ) =, when i < I δηλαδή: v ce r ( i βi I ), when i I βi =, when ic < I βi c c () Οι χαρακτηριστικές i v e (εξαρτόµενη από το v ce ) και i c v ce (εξαρτόµενη από το i ), για το συγκεκριµένο τµηµατικά γραµµικό µοντέλο τρανζίστορ ένωσης σε συνδεσµολογία κοινού εκποµπού φαίνονται στα Σχήµατα (γ) και (δ), αντίστοιχα. Σελίδα από 4

i v ce i c v ce = E /R γραµµή φορτίου E (E µvce ) g σηµείο λ ειτουργίας v e E /R (I βi ) περιοχή κορεσµού I σηµείο λ ειτουργίας στη γραµµική περιοχή r γραµµή φορτίου i = i v ce E E (γ) Θύρα εισόδου: χαρακτηριστική i v e και γραµµή φορτίου (κύκλωµα πόλωσης) (δ) Θύρα εξόδου: χαρακτηριστική i c v ce και γραµµή φορτίου (κύκλωµα πόλωσης) Στα ίδια σχήµατα έχουµε υπερθέσει και τις γραµµές φορτίου (load lines) και, για τη θύα εισόδου και τη θύρα εξόδου αντίστοιχα, για τις οποίες (από το κύκλωµα του Σχήµατος (β) της άσκησης) έχουµε: Κύκλωµα πόλωσης θύρας εισόδου / γραµµή φορτίου: v e = E i R () Κύκλωµα πόλωσης θύρας εξόδου / γραµµή φορτίου: v ce = E i c R (4) Κατ αρχάς για τη θύρα εισόδου, συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () (χαρακτηριστική εισόδου και κύκλωµα πόλωσης θύρας εισόδου, αντίστοιχα) παίρνουµε για το σηµείο λειτουργίας: i g ( E i R µ v E ), when E i R E µ v ce ce =, when E ir < E µ vce i g ( E E µ vce), when E E µ vce ir > ( gr = ), when E E µ vce < g i = ( E E µ v ), when E E µ v i R > ce ce ( gr ) (5α) ή i =, when µ v > E E (5β) ce (παρατηρούµε φυσικά, από τη σχέση (5α), ότι η τιµή του i στο σηµείο λειτουργίας εξαρτάται απο το v ce ) Αντικαθιστώντας τις δεδοµένες τιµές του προβλήµατος στη συνθήκη της σχέσης (5β), παίρνουµε:. v ce > 5.5. v ce > 4.75 v ce > 4.75V, το οποίο λόγω της (4) σηµαίνει: i c R < E 4.75V i c < 6.5mA <, που είναι µη αποδεκτή λύση, καθώς κάτι τέτοιο θα σήµαινε (βλέπε Σχήµα (δ)) i <, που είναι αδύνατο λόγω του κοίλου αντιστάτη στη θύρα εισόδου. Άρα, από το κύκλωµα της θύρας εισόδου κρατάµε τη Σελίδα 4 από 4

σχέση (5α), που σηµαίνει ότι το τρανζίστορ δεν µπορεί για τις δεδοµένες τιµές του συγκεκριµένου κυκλώµατος να λειτουργεί στην περιοχή αποκοπής (διακόπτης ανοικτός, i =, και i c ), δηλαδή έχουµε: i >. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα (δ), οι δύο δυνατές περιοχές λειτουργίας του κυκλώµατος είναι εποµένως: η γραµµική περιοχή (i c βi ) και η περιοχή κορεσµού (διακόπτης κλειστός, v ce =). Πιο συγκεκριµένα, για τη θύρα εξόδου, συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (4) (χαρακτηριστική iv εξόδου και κύκλωµα πόλωσης θύρας εξόδου, αντίστοιχα) παίρνουµε για το σηµείο λειτουργίας: r( ic βi I), when ic I βi E icr =, when ic < I βi ic = R r και από τη σχέση (4): [ β ] E r ( i I ), when i I βi c E / R, when i < I βi c Γραµµική περιοχή λειτουργίας: r vce = E R( βi I), when ic I βi ( R r) (6α) ή Περιοχή κορεσµού: v =, when I i < I βi ( i ) (6β) ce c Θεωρούµε αρχικά ότι το τρανζίστορ βρίσκεται στη γραµµική περιοχή λειτουργίας (βλέπε Σχήµα (δ)), οπότε συνδυάζοντας τις σχέσεις (6α) και (5α) παίρνουµε: g r i = ( E E) µ ( E R( βi I) ) ( gr ) R r g rr g r µβ i = E E µ ( E RI) ( gr ) ( R r) ( gr ) R r ( R r)( E E) µ r( E RI) i = r R ( R r ) µβ rr (7) ( ) ( όπου έχουµε θέσει: r =/g ) Αντικαθιστώντας τις δεδοµένες τιµές της άσκησης παίρνουµε: i.78ma <, που είναι µη αποδεκτή λύση. Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το τρανζίστορ λειτουργεί στην περιοχή κορεσµού και έχουµε από τις σχέσεις (6β) και (5α): v ce =, και i ce =E /R =8mA, καθώς και ( E E) i = = 79.mA και v e = E i R =.4V r R ( ) Σελίδα 5 από 4

Άσκηση (Γράφος κυκλώµατος, Μήτρα πρόσπτωσης) v v v E v 4 5 v 5 4 Κατ'αρχάς αριθµούµε τους κόµβους του κυκλώµα 4 τος από έως 5, όπως για παράδειγµα φαίνεται 6 στο παραπάνω Σχήµα. Εν συνεχεία σχεδιάζουµε 5 τον προσανατολισµένο γράφο του κυκλώµατος, µε αρίθµηση κλάδων και φορές αναφοράς που 4 7 συµφωνούν µε τα δεδοµένα του Σχήµατος αυτού (για τους κλάδους 5). Ο προσανατολισµένος γράφος του κυκλώµατος φαίνεται στο διπλανό 5 Σχήµα. Οι κλάδοι 6 και 7 αντιστοιχούν στη θύρα εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, για τον τελεστικό ενισχυτή του κυκλώµατος. Η πλήρης µήτρα πρόσπτωσης του γράφου του κυκλώµατος είναι (n=5 κόµβοι, και =7 κλάδοι): A a = Θεωρώντας ως κόµβο αναφοράς του κυκλώµατος τον κόµβο 5 (γείωση), και παραλείποντας την αντίστοιχη γραµµή, παίρνουµε την (ελαττωµένη) µήτρα πρόσπτωσης: A = η οποία µας οδηγεί στο ακόλουθο σύνολο γραµµικά ανεξάρτητων εξισώσεων των νόµων Kirchhoff: Νόµος Ρευµάτων Kirchhoff (ΝΡΚ): A i = (όπου i το διάνυσµα των ρευµάτων κλάδων i=[i,i,,i 7 ] T ), δηλαδή (n)=4 εξισώσεις (µία για κάθε κόµβο, πλήν του κόµβου αναφοράς), µε =7 αγνώστους τα ρεύµατα κλάδων. Νόµος Τάσεων Kirchhoff (ΝΤΚ): v = A T e (όπου v το διάνυσµα των τάσεων κλάδων v=[v,v,,v 7 ] T και e=[e,e, e,e 4 ] T το διάνυσµα τάσεων κόµβων, πλήν του κόµβου αναφοράς για τον οποίο φυσικά θεωρούµαι e 5 =), δηλαδή =7 εξισώσεις µε (n)=47= αγνώστους τις τάσεις κόµβων και τις τάσεις κλάδων. Σελίδα 6 από 4

Άσκηση 4 (Εξισώσεις Αραιού Πίνακα µε κόµβους, Μέθοδος Κόµβων) 4 8 4 6 5 7 (α) Ο προσανατολισµένος γράφος του κυκλώµατος εικονίζεται στο παραπάνω Σχήµα, για τη δοσµένη αρίθµηση κλάδων. Ο κόµβος (γείωση) λαµβάνεται ως κόµβος αναφοράς. Συνολικά έχουµε n=5 κόµβους και =8 κλάδους. (β) Η µήτρα πρόσπτωσης Α του γράφου του κυκλώµατος είναι: A = : (n) x, δηλαδή 4 x 8 Έστω e=[e,e, e,e 4 ] T το διάνυσµα τάσεων κόµβων, v=[v,v,,v 8 ] T το διάνυσµα τάσεων κλάδων, και i=[i,i,,i 8 ] T το διάνυσµα ρευµάτων κλάδων. Οι εξισώσεις αραιού πίνακα (µε κόµβους) µπορούν να γραφούν στη µορφή: ΝΡΚ: A e( t) ΝΤΚ: ( ) Περιγραφικες σχεσεις κλαδων: ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) T A t v = ( n ) M N i( t) ws( t) όπου οι µήτρες Μ και Ν γράφονται (στο πεδίο του χρόνου) στη µορφή: M=M DM και Ν=Ν DΝ (οι x µήτρες M, M, Ν, Ν, για γραµµικά χρονικά αµετάβλητα (ΓΧΑ) κυκλώµατα, όπως αυτό της συγκεκριµένης άσκησης.) Για να υπολογίσουµε τις µήτρες Μ και Ν, γράφουµε αναλυτικά τις περιγραφικές σχέσεις των =8 κλάδων: Κλάδος (γραµµικός αντιστάτης): v (t) R i (t) = () Κλάδος (γραµµικός πυκνωτής): C Dv (t) i (t) = () v() t L M Di() t Κλάδοι και 4 (συζευγµένοι επαγωγείς): v4() t M L = 4 Di4() t (,4) Κλάδος 5 (γραµµικός αντιστάτης): v 5 (t) R 5 i 5 (t) = (5) Κλάδος 6 (γραµµικός πυκνωτής): C 6 Dv 6 (t) i 6 (t) = (6) Κλάδος 7 (ανεξάρτητη πηγή ρεύµατος): i 7 (t) = Ι s (t) (7) Κλάδος 8 (ανεξάρτητη πηγή τάσης): v 8 (t) = V s (t) (8) Εποµένως οι αραιοί πίνακες M, M, Ν, Ν (=8), καθώς και το (x) διάνυσµα εισόδου w s (t) έχουν τα ακόλουθα µηµηδενικά στοιχεία: M [,]=, και Ν [,]=R M [,]= C, και Ν [,]=, Σελίδα 7 από 4

M [,]=, και Ν [,]=L, Ν [,4]=M, M [4,4]=, και Ν [4,]=M, Ν [4,4]=L 4, M [5,5]=, και Ν [5,5]=R 5, M [6,6]=C 6, και Ν [6,6]=, N [7,7]=, και w s [7]=Ι s (t), M [8,8]=, και w s [8]=V s (t), Συνολικά δηλαδή οι εξισώσεις αραιού πίνακα οδηγούν στο ακόλουθο σύστηµα x (=n): e e e e4 v v v v4 v5 v6 v = 7 v8 R i CD i LD MD i MD L4D i4 R5 i5 CD 6 i6 i7 I s() t i 8 Vs () t (γ) Οι εξισώσεις της µεθόδου των κόµβων έχουν ως στόχο να οδηγήσουν σε ένα µοναδικά επιλύσιµο σύστηµα (n)x(n) της µορφής: Y n e(t) = I sn (t) µε αγνώστους µεταβλητές το διάνυσµα e = [e, e, e, e 4 ] T, δηλαδή µόνο τις τάσεις των κόµβων, όπου Y n : η 4x4 µήτρα αγωγιµοτήτων κόµβων, και Ι sn : διάνυσµα που περιέχει τις ανεξάρτητες πηγές εισόδου. Στόχο δηλαδή εδώ αποτελεί ο υπολογισµός των Y n και Ι sn. Ξεκινούµε γράφοντας το ΝΡΚ για κάθε κόµβο του κυκλώµατος (εκτός φυσικά του κόµβου αναφοράς στον προσανατολισµένο γράφο του κυκλώµατος), αντικαθιστώντας διαδοχικά κάθε εµφανιζόµενη µεταβλητή ρεύµατος κλάδου µε: (αγωγιµότητα κλάδου)x(τάση κλάδου), για όσες από τις περιγραφικές σχέσεις κλάδων ()(8) µπορούν να γραφούν σε µορφή v ελεγχόµενη, και εν συνεχεία τις τάσεις κλάδων ως αλγεβρική διαφορά τάσεων κόµβων (ΝΤΚ στον προσανατολισµένο γράφο του κυκλώµατος): Κόµβος : i i 8 = (/R )v i 8 = G (e e ) i 8 = (G =/R ) (k) Κόµβος : i i i = G v C Dv i = G (e e ) C D(e e ) i = (k) Κόµβος : i i 4 i 5 i 7 = C Dv i 4 G 5 v 5 i 7 = C D(e e ) i 4 G 5 (e ) = I s (t) (G 5 =/R 5 ) (k) Σελίδα 8 από 4

Κόµβος 4: i i 4 i 6 = i i 4 C 6 Dv 6 = i i 4 C 6 D(e 4 )= (k4) Για τα ρεύµατα i και i 4 µπορούµε να γράψουµε από τις σχέσεις (4), εφόσον υποθέσουµε ότι η µήτρα L: L M Γ Γm L = M L είναι αντιστρέψιµη και έστω: Γ= L = 5 Γm Γ5 Γ Γm i() t D D v() t i4() t = m 5 v4() t, v =e e 4, και v 4 =e e 4 (,4)' Γ Γ D D Έτσι, οι σχέσεις (kk4) γράφονται: Κόµβος : G e G e i 8 = (k)' Κόµβος : G e (G C DΓ /D)e (C DΓ m /D)e (Γ /DΓ m /D)e 4 = (k)' Κόµβος : (C DΓ m /D)e (C DG 5 Γ 5 /D)(e ) (Γ 5 /DΓ m /D)e 4 = I s (t) (k)' Κόµβος 4: ( Γ /DΓ m /D)e (Γ m /DΓ 5 /D)e (Γ /DΓ 5 /DΓ m /D C 6 D)e 4 = (k4)' Επί πλέον έχουµε για την ανεξάρτητη πηγή τάσης (κλάδος 8): e = V s (t) (k5)' Παίρνουµε εποµένως ένα σύστηµα 5 εξισώσεων (k)',..,(k5)' µε 5 αγνώστους, τις τάσεις κλάδων e,,e 4, και το άγνωστο ρεύµα της πηγής τάσης i 8 (κλάδος 8). (Σηµείωση: εφαρµόσαµε δηλαδή την τροποποιηµένη µέθοδο κόµβων, καθ'ότι υπάρχουν στο κύκλωµα και µη vελεγχόµενα στοιχεία) Παρατηρούµε ωστόσο ότι το ρεύµα i 8 εµφανίζεται µόνο στην πρώτη εξίσωση (k)', οπότε κρατώντας τις 4 τελευταίες σχέσεις (k)' έως (k5)' παίρνουµε ένα σύστηµα 4 εξισώσεων µε αγνώστους τις 4 µεταβλητές τάσεων κόµβων, το οποίο γράφεται πράγµατι στη µορφή των εξισώσεων της µεθόδου κόµβων: Y n e(t) = I sn (t) µε και Γ Γm Γ Γm G G CD CD D D D D Γm Γ5 Γ5 Γm CD CD G5 Yn = D D D D Γ Γm Γ5 Γm Γ Γ5 Γm CD 6 D D D D D D D I sn (t) = [, I s (t),, V s (t)] Τ Σελίδα 9 από 4

Άσκηση 5 (Ανάλυση κυκλώµατος µε Θεµελιώδεις Οµάδες ιαχωρισµού) 7 4 ΘΟ 5 ΘΟ 6 ΘΟ 8 Σχεδιάζουµε αρχικά τον (πλήρη) προσανατολισµένο γράφο του κυκλώµατος αντικαθιστώντας κάθε απλό µονόθυρο στοιχείο κυκλώµατος µε έναν προσανατολισµένο κλάδο στο γράφο, χρησιµοποιώντας τη δοσµένη αρίθµηση και φορές αναφοράς ρευµάτων και τάσεων (όπου αυτά δίδονται). Ο προσανατολισµένος γράφος που προκύπτει εικονίζεται στο διπλανό Σχήµα (n=4 κόµβοι, και =8 κλάδοι). (α) Επιλέγουµε, όπως ζητείται από την άσκηση, ένα δέντρο T = {,6,}, το οποίο δηλαδή περιέχει ως βλαστούς τους κλάδους,, και 6. Σε κάθε βλαστό αντιστοιχεί µια θεµελιώδης οµάδα διαχωρισµού (ΘΟ, fundamental cutset), όπως φαίνεται στο παραπάνω Σχήµα. Έχουµε: ΘΟ : {,, 4, 5, 7} ΘΟ : {, 4} ΘΟ : {6,, 4, 8} Σηµείωση: κάθε ΘΟ περιέχει ένα µόνο βλαστό (η αφαίρεση του οποίου αποσυνδέει τους κόµβους του δέντρου σε δύο µη συνεκτικά υποσύνολα/υπογράφους), και έναν ελάχιστο αριθ µό συνδέσµων, η αφαίρεση των οποίων αποσυνδέει τα δύο αυτά υποσύνολα κόµβων και πάνω στον πλήρη γράφο του κυκλώµατος. Ο βλαστός που αντιστοιχεί σε κάθε ΘΟ ορίζει και τη θετική φορά αναφοράς αυτής. Με υπογράµµιση, παραπάνω, σηµειώνουµε τους συνδέσµους κάθε ΘΟ που έχουν φορά αντίθετη της θετικής φοράς αναφοράς της αντίστοιχης ΘΟ. Η µήτρα Θεµελιωδών Οµάδων ιαχωρισµού που αντιστοιχεί στο δέντρο T είναι εποµένως: Q = κλαδοι 4 5 6 7 8 ΘΟ ΘΟ ΘΟ (βγ) Για να υπολογίσουµε τη µήτρα αγωγιµοτήτων οµάδων διαχωρισµού Y q, πρέπει αρχικά να εκφράσουµε, από τις περιγραφικές σχέσεις των κλάδων του κυκλώµατος, τη µήτρα αγωγιµοτήτων κλάδων Y, δηλαδή να γράψουµε τις περιγραφικές σχέσεις κλάδων στη µορφή: (i) i = Y v i s ( i ) () όπου i και v το διάνυσµα ρευµάτων και τάσεων κλάδων, αντίστοιχα, και i s διάνυσµα το οποίο περιέχει τις ανεξάρτητες πηγές εισόδου (στο διάνυσµα i s προστίθεται και ένα (i) διάνυσµα i, που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, όταν οι σχέσεις εκφράζονται στο πεδίο της συχνότητας). Η x µήτρα Y ονοµάζεται µήτρα αγωγιµοτήτων κλάδων, και προκύπτει άµεσα από τις περιγραφικές σχέσεις των στοιχείων ενός κυκλώµατος, όταν αυτές µπορούν να γραφούν σε µορφή vελεγχόµενη. Χρησιµοποιώντας τη µήτρα θεµελιωδών οµάδων διαχωρισµού, µπορούµε ως γνωστόν να εκφράσουµε ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο των νόµων Kirchhoff ως εξής: ΝΡΚ: Q i = () ΝΤΚ: v = Q T v t (4) όπου v t το διάνυσµα τάσεων των βλαστών, δηλαδή εδώ: v t = [v, v, v 6 ] Τ Συνδυάζοντας τις () και () παίρνουµε: Q (Y v i s ) = (Q Y ) v = Q i s οπότε, λόγω και της (4), παίρνουµε τελικά: () Σελίδα από 4

(Q Y Q T ) v t = Q i s (5) δηλαδή: Y q v t = i sq (6) όπου: Y q = Q Y Q T και i sq = Q i s (7) Η µέθοδος αυτή (µέθοδος θεµελιωδών οµάδων διαχωρισµού cut set analysis) οδηγεί δηλαδή σε ένα σύνολο (n) γραµµικά ανεξάρτητων εξισώσεων, µε αγνώστους τις (n) τάσεις των βλαστών. Για το συγκεκριµένο κύκλωµα της άσκησης γράφουµε τις περιγραφικές σχέσεις των στοιχείων των κλάδων σε vελεγχόµενη µορφή (στο πεδίο της συχνότητας): Κλάδος (): I (s) = sc V (s) C v () (k) Κλάδος (): I (s) = sc V (s) C v () (k) Κλάδος (): sl I (s) L i () = V (s) I (s) = (/sl ) V (s) (/s) i () (k) Κλάδος (4): sl 4 I 4 (s) L 4 i 4 () = V 4 (s) I 4 (s) = (/sl 4 ) V 4 (s) (/s) i 4 () (k4) Κλάδος (5): I 5 (s) = (/R 5 ) V 5 (s) (k5) Κλάδος (6): I 6 (s) = (/R 6 ) V 6 (s) (k6) Κλάδος (7): I 7 (s) = I s (s) (k7) Κλάδος (8): I 8 (s) = g m V (s) (k8) Θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, παίρνουµε εποµένως για τη µήτρα αγωγιµοτήτων κλάδων (βλέπε σχέση ()): sc sc (/ sl ) (/ sl4 ) Y = και i (/ R5 ) s = (/ R6 ) I s() s g m Έχοντας υπολογίσει τη µήτρα αγωγιµοτήτων κλάδων Y και το διάνυσµα i s µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα πλέον τη µήτρα αγωγιµοτήτων οµάδων διαχωρισµού Y q, και να γράψουµε τις εξισώσεις της µεθόδου θεµελιωδών οµάδων διαχωρισµού, από τις σχέσεις (6) και (7). Y q sc sl sl 4 R 5 sl 4 sl sl 4 = sc sl4 sl4 sl4 gm sl sl4 sl4 sl sl4 R6 Is και isq = Σελίδα από 4

Άσκηση 6 (Ανάλυση κυκλώµατος µε τη µέθοδο Θεµελιωδών Βρόχων) Αρχική παρατήρηση: για να εφαρµοσθεί η µέθοδος θεµελιωδών βρόχων, πρέπει οι περιγραφικές σχέσεις των στοιχείων του κυκλώµατος να µπορούν να γραφούν σε µορφή i ελεγχόµενη. Στο δοσµένο κύκλωµα της άσκησης, υπάρχουν δύο πηγές ρεύµατος, µία ανεξάρτητη πηγή I s (κλάδος 7), και µια εξαρτηµένη πηγή ελεγχόµενη από τάση (κλάδος 8). Τα στοιχεία αυτά δεν µπορούν να γραφούν άµεσα σε µορφή iελεγχόµενη, οπότε απαιτείται να γίνει κάποιος µετασχηµατισµός. Ο απλούστερος τρόπος είναι να θεωρήσουµε κάθε παράλληλη σύνδεση πηγής ρεύµατος µε ένα απλό µονόθυρο στοιχείο (π.χ. αντιστάτη), ως ένα σύνθετο µονόθυρο στοιχείο, µε ένα συνολικό εισερχόµενο ρεύµα, και να το αντικαταστήσουµε µε ένα µοναδικό κλάδο στον προσανατολισµένο γράφο του κυκλώµατος. Έτσι παίρνουµε ένα νέο απλοποιηµένο γράφο: 5 ΘΒ 4 ΘΒ ΘΒ 6 όπου ο κλάδος 5' αντιστοιχεί στην παράλληλη σύνδεση της ανεξάρτητης πηγής ρεύµατος I s µε την αντίσταση R 5 (αντικαθιστά δηλαδή τους κλάδους 5 και 7 του πλήρους γράφου βλέπε άσκηση 5), και ο κλάδος 6' αντιστοιχεί στην παράλληλη σύνδεση του µετατροπέα τάσης σε ρεύµα g m v µε την αντίσταση R 6 (αντικαθιστά δηλαδή τους κλάδους 6 και 8 του πλήρους γράφου). Οι νέες περιγραφικές σχέσεις για τους κλάδους 5' και 6' του απλοποιηµένου γράφου του κυκλώµατος (οι οποίες αντικαθιστούν τις σχέσεις (k5) έως (k8) της προηγού µενης άσκησης, έχοντας: I 5' = I 5 I 7, V 5' =V 5 =R 5 I 5 και I 6' = I 6 I 8, V 6' =V 6 =R 6 I 6 ) είναι τώρα : Κλάδος (5'): I 5' (s) = (/R 5 ) V 5' (s) I s (s) V 5' (s) = R 5 I 5' (s) R 5 I s (s) (k5') Κλάδος (6'): I 6' (s) = (/R 6 ) V 6' (s) g m V (s) V 6' (s) = R 6 I 6' (s) R 6 g m V (s) (k6') Η ανάλυση που ακολουθεί είναι η δυïκή (dual) της αντίστοιχης ανάλυσης που έγινε στην προηγούµενη άσκηση 5, ερωτήµατα (α)(γ). (α) Θεωρώντας και πάλι δέντρο T το οποίο περιέχει ως βλαστούς τους κλάδους, και τώρα τον 6', έχουµε 'n = συνδέσµους (n=4, '=6), τους κλάδους, 4 και 5'. Κάθε ένας σύνδεσµος ορίζει κατά τα γνωστά ένα θεµελιώδη βρόχο (ΘΒ), όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα, δηλαδή: ΘΒ: { 6' } ΘΒ: {4 6' } ΘΒ: {5' } Σηµείωση: κάθε ΘΒ περιέχει ένα µόνο σύνδεσµο, και εν συνεχεία τη διαδροµή πάνω στο δέντρο (δηλαδή, ακολουθία βλαστών) η οποία κλείνει το βρόχο. Ο σύνδεσµος που αντιστοιχεί σε κάθε ΘΒ ορίζει και τη θετική φορά αναφοράς (διαγραφής) αυτού. Με υπογράµµιση, παραπάνω, σηµειώνουµε τους βλαστούς κάθε ΘΒ που έχουν φορά αντίθετη της θετικής φοράς αναφοράς του αντίστοιχου ΘΒ. Η µήτρα Θεµελιωδών Βρόχων που αντιστοιχεί στο δέντρο T είναι εποµένως: Σελίδα από 4

B = κλαδοι 4 5' 6 ΘΒ ΘΒ ΘΒ () (βγ) Για να υπολογίσουµε τη µήτρα συνθέτων αντιστάσεων βρόχων Z l, πρέπει αρχικά να εκφράσουµε, από τις περιγραφικές σχέσεις των κλάδων του κυκλώµατος, τη µήτρα συνθέτων αντιστάσεων κλάδων Z, δηλαδή να γράψουµε τις περιγραφικές σχέσεις κλάδων στη µορφή: (i) v = Z i v s ( v ) () όπου i και v το διάνυσµα ρευµάτων και τάσεων κλάδων, αντίστοιχα, και v s διάνυσµα το οποίο περιέχει τις ανεξάρτητες πηγές εισόδου (στο διάνυσµα v s προστίθεται και ένα διάνυσµα v, που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, όταν οι σχέσεις εκφράζονται στο πεδίο (i) της συχνότητας). Η x µήτρα Z ονοµάζεται µήτρα συνθέτων αντιστάσεων κλάδων, και προκύπτει άµεσα από τις περιγραφικές σχέσεις των στοιχείων ενός κυκλώµατος, όταν αυτές µπορούν να γραφούν σε µορφή iελεγχόµενη. Χρησιµοποιώντας τη µήτρα θεµελιωδών βρόχων Β, µπορούµε να εκφράσουµε ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο των νόµων Kirchhoff ως εξής: ΝΡΚ: i = B T i l () ΝΤΚ: B v = (4) όπου i l το διάνυσµα ρευµάτων των συνδέσµων, δηλαδή: i l = [i, i 4, i 5' ] Τ Συνδυάζοντας τις () και () παίρνουµε: B (Z i v s ) = (B Z ) i = B v s οπότε, λόγω και της (4), παίρνουµε τελικά: (B Z B T ) i l = B v s (5) δηλαδή: Z l i l = v sl (6) όπου: Z l = B Z B T και v sl = B v s (7) Η µέθοδος αυτή (µέθοδος θεµελιωδών βρόχων fundamental loop analysis) οδηγεί δηλαδή σε ένα σύνολο (n) γραµµικά ανεξάρτητων εξισώσεων, µε αγνώστους τα (n) ρεύµατα των συνδέσµων. Για το συγκεκριµένο κύκλωµα της άσκησης γράφουµε τις περιγραφικές σχέσεις των στοιχείων των κλάδων σε iελεγχόµενη µορφή (στο πεδίο της συχνότητας, θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες): Κλάδος (): V (s) = (/sc ) Ι (s) (k') Κλάδος (): V (s) = (/sc ) I (s) (k') Κλάδος (): V (s) = (sl ) I (s) (k') Κλάδος (4): V 4 (s) = (sl 4 ) I 4 (s) (k4') Οι σχέσεις αυτές συµπληρώνονται από τις (k5') και (k6'): Κλάδος (5'): V 5' (s) = R 5 I 5' (s) R 5 I s (s) (k5') Κλάδος (6'): V 6' (s) = R 6 I 6' (s) R 6 g m V (s) (k6') Επιπλέον, από την (k') η (k6') γράφεται: Κλάδος (6'): V 6' (s) = R 6 I 6' (s) R 6 g m (/sc ) Ι (s) (k6'') Παίρνουµε εποµένως για τη µήτρα συνθέτων αντιστάσεων κλάδων (βλέπε σχέση ()): Σελίδα από 4

Z (/ sc) (/ sc) ( sl ) = ( sl4 ) R5 R 6gm(/ sc) R6 και v s = R5Is () s Έχοντας υπολογίσει τη µήτρα συνθέτων αντιστάσεων κλάδων Ζ και το διάνυσµα v s µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα πλέον τη µήτρα συνθέτων αντιστάσεων βρόχων Z l, και να γράψουµε τις εξισώσεις της µεθόδου θεµελιωδών βρόχων, από τις σχέσεις (6) και (7). g g sl R R g R sc sc sc sc sc g g Zl = R sl R g R sc sc sc sc sc sc R5 sc sc sc ( ) m m 6 6 m 6 ( ) m m 6 4 6 m 6 και v sl = R5I s Σελίδα 4 από 4