Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου ( ) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου

Μάθημα: Ειδικά Συστήματα Ελέγχου Πλοίου (8.3.45.8) Κεφάλαιο: Συστήματα Ελέγχου Πλοίου Γεώργιος Παπαλάμπρου Νίκος Πλανάκης 25 Απριλίου 2017 1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται συστήματα ελέγχου πλοίων, όπως αυτόματοι πιλότοι (ΑΠ). Παραθέτονται σχετικές εφαρμογές με συστήματα ελέγχου τύπου PID (Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός) και Βέλτιστου ελεγκτή (Linear Quadratic). Επίσης δίνονται στοιχεία για τις βασικές αρχές καθοδήγησης,τις διαταραχές από το περιβάλλον, τα αισθητήρια μέτρησης και τους επενεργητές. 2 Αυτόματος Πιλότος Πλοίου Προκειμένου να διατηρείται η πορεία του πλοίου κατά την πλεύση σε επιθυμητή τιμή, χρησιμοποιείται αυτόματος πιλότος (ΑΠ) διατήρησης πορείας (course-keeping autopilot). Ο ΑΠ διατηρεί την επιθυμητή πορεία του πλοίου μετρώντας τη γωνία διεύθυνσης ψ και την συγκρίνει με την τιμή αναφοράς ψ d. Η έξοδος τροφοδοτεί τον σερβομηχανισμό του πηδαλίου. Η διαφορά ψ ψ d (σφάλμα) δίνεται στον ΑΠ ως είσοδος. Το Σχήμα 1 δείχνει την γενική διάταξη αυτόματου πιλότου πορείας πλοίου καθώς και αυτόματου πιλότου ταχύτητας πλοίου. Στην συνέχεια του κεφαλαίου θα ενσωματωθούν περισσότερα χαρακτηριστικά όπως η καθοδήγηση (guidance), προκειμένου να καλυφθούν οι πραγματικές ανάγκες λειτουργίας. Ως διάταξη μέτρησης της γωνίας ψ χρησιμοποιείται γυροσκοπική πυξίδα (gyrocompass). Ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας (heading rate) λαμβάνεται από κατάλληλο αισθητήριο (rate sensor), από γυροσκόπιο, με διαφόριση του σήματος της γωνίας ψ ή ακόμη και με εκτίμηση της κατάστασης μέσω παρατηρητή (state observer ή φίλτρο Kalman). Οι κοινοί ΑΠ που χρησιμοποιούνται σήμερα βασίζονται συνήθως σε αλγορίθμους τύπου PID. Ένας ΑΠ ρυθμίζεται κατάλληλα προκειμένου να επιτύχει ικανοποιητική απόδοση σε διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας. Ρυθμίσεις χρειάζονται για να ληφθούν υπόψη οι επιδράσεις από τον αέρα, τα θαλάσσια κύματα, τα ρεύματα, την ταχύτητα το πλοίου, το βάθος του νερού και άλλα. Οι ρυθμίσεις είναι χρονοβόρες και δαπανηρές. Είναι αποδεκτό ότι οι ΑΠ δεν λειτουργούν αποτελεσματικά σε κακό καιρό ή μετά από αλλαγή ταχύτητας πλεύσης. Επίσης έχουν παρατηρηθεί προβλήματα σε μεγάλες πηδαλιουχίες. Αίτια αυτών των δυσλειτουργιών είναι οι ακατάλληλες ρυθμίσεις ή η απλουστευτική προσέγγιση του προβλήματος με έλεγχο PID. Τέτοιου είδους προβλήματα αντιμετωπίστηκαν με επιτυχία, κάνοντας χρήση ΑΠ προσαρμοζόμενων παραμέτρων (adaptive autopilots), όπου ο ΑΠ διαθέτει την δυνατότητα προσαρμογής των παραμέτρων του λαμβάνοντας υπόψη τις τρέχουσες συνθήκες λειτουργίας. Στην παρούσα προσέγγιση, θα ασχοληθούμε με ΑΠ σταθερών παραμέτρων, με ελεγκτές τύπου PID και βέλτιστους ελεγκτές. Στην βιβλιογραφία υπάρχουν επίσης περιπτώσεις ΑΠ με ελεγκτή προσαρμοζόμενων παραμέτρων, μη γραμμικού ελέγχου, εύρωστου ελεγκτή, ασαφούς ελέγχου, κλπ. Κατά τον σχεδιασμό ενός ΑΠ, δηλαδή την επιλογή τύπου και παραμέτρων του ελεγκτή, λαμβάνονται υπόψη τα εξής: ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο του πλοίου που συνήθως είναι γραμμικό, οι διαταραχές από το περιβάλλον και οι επιθυμητές προδιαγραφές του τελικού συστήματος. Στο τέλος γίνεται προσομοίωση του συστήματος κλειστού βρόχου, όπου χρησιμοποιείται μη-γραμμικό μοντέλο του πλοίου. 1

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 2 Controller Waves Wind Guidance Way points Navigator Ψ ref u ref Course autopilot (Ψ) Speed autopilot (u) δ SE Rudder servo Propeller motor Ship Ψ f (x f, y f ) (u f, v f, u f, v f ) Kalman Filter (x, y) ( u, v) (u, v) Ψ GPS/GLONASS Accelerometer Gyro compass Σχήμα 1: Διάταξη αυτόματων πιλότων πλοίου. Γενικά στοιχεία για το σχεδιασμό αυτόματων πιλότων πλοίων υπάρχουν στα [2], [3]. Οι εργασίες [6], [8], [9] αναφέρονται σε αυτόματους πιλότους πλοίων προσαρμοζόμενων παραμέτρων ενώ η εργασία [5] αναφέρεται στον πειραματικό προσδιορισμό παραμέτρων μοντέλου πλοίου. 3 Εξισώσεις Κίνησης Οι εξισώσεις κίνησης του Abkowitz, [1], που προκύπτουν από την εφαρμογή των εξισώσεων της δυναμικής στερεού σώματος, δίνουν m( v vr x G r 2 ) = X m( v + vr + x G ṙ) = Y (1) I z ( v + mx G ( v + ru)) = N όπου m είναι η μάζα του πλοίου, v, u είναι οι ταχύτητες κατά τις x, y συντεταγμένες αντίστοιχα, r = dψ/dt η ταχύτητα, I z είναι η ροπή αδράνειας κατά τον άξονα z, x G είναι η θέση του κέντρου μάζας. Επίσης X, Y είναι οι υδροδυναμικές δυνάμεις και N είναι οι υδροδυναμικές ροπές. Η εικόνα 3 δείχνει την κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο. Y B A δ Ψ Σχήμα 2: Η κίνηση του πλοίου στο οριζόντιο επίπεδο. X

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 3 3.0.1 Εξίσωση ταχύτητας πλοίου Η εξίσωση ταχύτητας πλοίου συνδέει την ώση T της προπέλας με την ταχύτητα u. Από τις εξισώσεις 1 λαμβάνουμε για το X αντίστοιχα ([2], παράγραφος 5.2) τα ακόλουθα m( v vr x G r 2 ) = X(u, v, r, u, δ, T ) (2) όπου X είναι μη γραμμική σχέση υδροδυναμικής δύναμης (surge) κατά τον x άξονα. Σύμφωνα με τον Blanke (1981) προτείνεται η ακόλουθη σχέση για την δύναμη αυτή. X = X u + X ur ur + X u u u u + X rr r 2 + (1 t)t + X ccδδ c 2 δ 2 + X ext (3) Θέτοντας την εξ. 3 στην εξ. 2 λαμβάνουμε όπου (m X u ) u = X u u u u + (1 t)t + T loss (4) T loss = (m + X ur )ur + X ccδδ c 2 δ 2 + (X rr + mx G )r 2 + X ext (5) Οι παραπάνω εξισώσεις χρησιμοποιούνται κατά τον σχεδιασμό αυτόματου πιλότου ταχύτητας (speed autopilot). Όπως θα δούμε παρακάτω, η εξ. 5 λαμβάνεται υπόψη σε κριτήριο ελαχιστοποίησης βέλτιστου ελεγκτή. 3.0.2 Εξισώσεις στροφής πλοίου Εξισώσεις των Davidson και Sciff Από τις εξισώσεις 1, λαμβάνουμε για το Y, N αντίστοιχα ([2] παρ. 5.3) τα ακόλουθα m( v + vr + x G ṙ) = Y I z ( v + mx G ( v + ru)) = N Με βάση τους Davidson και Sciff (1946), η δύναμη Y και ροπή N λαμβάνονται ως Y = Y u u + Yṙṙ + Y u u + Y r r + Y δ δ R (6) N = N u u + Nṙṙ + N u u + N r r + N δ δ R Γράφοντας αναλυτικά σε μορφή εξισώσεων χώρου κατάστασης έχουμε [ ] [ ] [ ] [ m Y v mx G Yṙ v Yv Y = r mu 0 v mx G N v I z Nṙ ṙ N v N r mx G u 0 r ] [ Yδ + N δ ] δ R (7) Σε συνοπτική μορφή, θεωρώντας ως διάνυσμα κατάστασης ν την ταχύτητα v και την ταχύτητα περιστροφής r, δηλ. ν = [v r] T, και u = δ R την γωνία του πηδαλίου έχουμε Λαμβάνοντας x = [v r] T, και u = δ R έχουμε την γνωστή μορφή M ν + N(u 0 )ν = bδ R (8) ẋ = Ax + b 1 u (9) Σε απλοποιημένη μορφή οι εξισώσεις 7 λαμβάνουν την μορφή [ ] [ ] [ ] [ ] d v a11 a = 12 v b1 + δ (10) dt r a 21 a 22 r b 2 όπου έχει τεθεί

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 4 A = M 1 N = [ ] [ ] a11 a 12 ; b a 21 a 1 = M 1 b1 b = 22 b 2 Ο υπολογισμός των σταθερών a 11, a 22, a 12, a 22, b 1, b 2 γίνεται ως εξής, εξ. 12 (11) a 11 = (I z Nṙ)Y u (mx G Yṙ)N v det(m) a 12 = (I z Nṙ)(Y r mu 0 ) (mx G Yṙ)(Nṙ mx G u 0 ) det(m) a 21 = (m Y u)n u (mx G N u )Y u det(m) a 22 = (m z Y u )(N r mx G u 0 ) (mx G N u )(Yṙ mu 0 ) det(m) b 1 = (I z Nṙ)Y δ (mx G Yṙ)N δ det(m) b 2 = (m Y u)n δ (mx G N u )Y δ det(m) (12) όπου det(m) είναι η ορίζουσα του πίνακα Μ. Τιμές παραμέτρων της εξίσωσης 12 για πλοία τύπου Mariner και Tanker 190000 dwt φαίνονται στον Πίνακα 1, σύμφωνα με το [5]. Πλοίο: Mariner Tanker a 11-0.693-0.597 a 12-0.304-0.372 a 21-3.41-3.66 a 22-2.17-1.87 b 11 0.207 0.103 b 21-1.63-0.80 Πίνακας 1: Τιμές παραμέτρων της εξίσωσης 12 για πλοία τύπου Mariner και Tanker. 3.0.3 Εξισώσεις του Nomoto Από την εξ. 8, εφαρμόζοντας Laplace λαμβάνεται σχέση εισόδου-εξόδου μεταξύ γωνίας πηδαλίου (rudder angle), δ, και μεταβολής γωνίας διεύθυνσης ( ψ) με τον άξονα X 0, r, με μορφή συνάρτησης μεταφοράς G 2 (s) = r δ = K(1 + st 3 ) (13) (1 + st 1 )(1 + st 2 ) Η εξίσωση 13 προτάθηκε από τον Nomoto et al. (1957) και είναι γνωστή ως εξίσωση Nomoto 2ης τάξης. Οι παράμετροι της συνάρτησης μεταφοράς 13 σχετίζονται με τις υδροδυναμικές παραγώγους ως εξής

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 5 T 1 T 2 = det(m) det(n) T 1 + T 2 = n 11m 22 + n 11 m 22 n 11 m 22 n 11 m 22 det(n) K R = n 21b 1 n 21 b 2 det(n) K R T 3 = m 21b 1 m 11 b 2 det(n) (14) όπου οι παράμετροι n ij, m ij, b i ορίζονται μέσω των πινάκων των εξ. 7, 8. Παράστασή της εξ. 13 στον χρόνο είναι η ακόλουθη, με ψ (3) την 3η παράγωγο κοκ, T 1 T 2 ψ (3) + (T 1 + T 2)ψ (2) + ψ = K(δ + T 3 δ) (15) Αν στην εξ. 13 ορισθεί μία ισοδύναμη σταθερά χρόνου T N, ως T N = T 1 + T 2 T 3, τότε προκύπτει η εξίσωση Nomoto 1ης τάξης G 1 (s) = Παράστασή της στον χρόνο είναι η ακόλουθη K s(1 + T N s) (16) T ψ (2) + ψ = Kδ (17) Παράδειγμα 3.1 Απόκριση συχνότητας για τις εξισώσεις Nomoto 1ης και 2ης τάξης. Θεωρούμε πλοία τύπου cargo (Mariner class) και oil tanker, με παραμέτρους όπως παρακάτω, από το [2], παράδειγμα 5.1, σ. 174. %% Nomoto constants % ship 1: cargo, Mariner class, stable L=161 % [m] U0= 7.7 % [m/s] K= 0.185 % [1/s];T1= 118 % [s];t2= 7.8 % [s];t3= 18.5 % [s] % ship 2: oil tanker full loaded, unstable L=350 % [m] U0= 8.1 % [m/s] K= -0.019 % [1/s]; T1= -124.1 % [s]; T2= 16.4 % [s]; T3= 46.0 % [s] T=T1+T2-T3 % time constant n1=k; d1=[t 1 0]; % 1st order Nomoto n2=k*[t3 1]; d2=[t1*t2 T1+T2 1 0]; % 2nd order Nomoto Η εικόνα 3 δείχνει το διάγραμμα Bode για τις εξισώσεις Nomoto 1ης και 2ης τάξης, για τα δύο είδη πλοίων. Οι εξισώσεις Nomoto 13, 16 χρησιμοποιούνται συχνά κατά τον σχεδιασμό αυτόματων πιλότων πορείας πλοίων. Η εξίσωση 16 ισχύει για χαμηλές συχνότητες και μικρές τιμές δ (μέχρι 35 μοίρες). Στην βιβλιογραφία υπάρχουν μη γραμμικές επεκτάσεις των εξισώσεων Nomoto με σκοπό την βελτίωση της ακρίβειας πρόβλεψης της περιστροφής, όπως πχ από τον Norrbin (1963).

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 6 Σχήμα 3: Διάγραμμα Bode για τις εξισώσεις Nomoto 1ης (dotted) και 2ης τάξης (solid). 3.0.4 Πειραματικός προσδιορισμός παραμέτρων εξίσωσης Nomoto Με τη μέθοδο αναγνώρισης συστημάτων (system identification) προσδιορίζονται από πειραματικά δεδομένα οι παράμετροι K, T N του μοντέλου στην εξίσωση Nomoto. Περισσότερα στοιχεία για την εφαρμογή της μεθόδου αυτή σε πλοία υπάρχουν στο [5]. Στο Σχήμα 4 φαίνονται αποτελέσματα από δοκιμές αναγνώρισης παραμέτρων μοντέλου 2ης τάξης για ΑΠ. Χρησιμοποιήθηκε ως διέγερση (εντολή στο πηδάλιο) σήμα τύπου Pseudo Random Binary Signal (PRBS), που φαίνεται στο άνω διάγραμμα.

4 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ PD, PID 7 Σχήμα 4: Δοκιμές αναγνώρισης παραμέτρων μοντέλου 2ης τάξης για ΑΠ. 4 Αυτόματος Πιλότος Πορείας PD, PID Οι περισσότεροι ΑΠ πορείας πλοίου βασίζονται σε νόμους ελέγχου τύπου Αναλογικού-Ολοκληρωτικού -Διαφορικού (Proportional-Integral-Derivative/PID). Συμπληρωματικά, οι υψίσυχνες κινήσεις του πηδαλίου πρέπει να καταστέλονται με κατάλληλο φίλτρο ενώ πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της αλλαγής ταχύτητας πλεύσης στις υδροδυναμικές παραμέτρους καθώς θα απαιτείται επαναρύθμιση του ΑΠ. Ο PID ελεγκτής υπολογίζει την εντολή ελέγχου u(t) από το σφάλμα e(t) μέσω της εξίσωσης de(t) u(t) = Kp e(t) + Ki + Kd dt t e(t) dt (18) 0 Η αντίστοιχη συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή PID είναι Gc (s) = Kp + Ki + Kd s s (19) όπου Kp είναι το αναλογικό κέρδος, Ki είναι το ολοκληρωτικό κέρδος και Kd είναι το διαφορικό κέρδος. Χρησιμοποιούνται συχνά διαγράμματα Bode, που παριστούν την μεταβολή του μέτρου και της φάσης σε συνάρτηση με την συχνότητα ω. Στα διαγράμματα Bode παρουσιάζεται το περιθώριο κέρδους (gain margin) και φάσης (phase margin). Κατά το σχεδιασμό των ελεγκτών PD, PID λαμβάνεται υπόψη το μοντέλο του Nomoto 1ης τάξης όπως περιγράφεται από την εξίσωση T ψ (2) + ψ = Kδ (20) Ελεγκτής PD Θεωρούμε ελεγκτή μορφής PD με δομή δ = Kp (ψd ψ) Kd ψ (21) με Kp > 0, Kd > 0 τις παραμέτρους σχεδιασμού. Το σύστημα κλειστού βρόχου αποτελούμενο από την δυναμική του πλοίου και τον ελεγκτή PD είναι T ψ (2) + (1 + KKd )ψ + KKp ψ = KKp ψd (22)

4 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ PD, PID 8 Η παραπάνω έκφραση αντιστοιχεί σε σύστημα 2ης τάξης μορφής ψ (2) + 2ζω n ψ + ω 2 nψ = ω 2 nψ d (23) με φυσική συχνότητα ω n (rad/s) και λόγο απόσβεσης ζ. Από τις εξ. 22, 23 λαμβάνουμε KKp ω n = T ; ζ = 1 + KK d 2 (24) T KK p Ο λόγος απόσβεσης ζ λαμβάνει τιμές στο διάστημα 0.8 ζ 1.0. Η φυσική συχνότητα ω n λαμβάνει τιμές ανάλογα με το εύρος ζώνης (bandwidth) του πηδαλίου ω δ (rad/s) και τη δυναμική του πλοίου 1/T (rad/s) σύμφωνα με την 1/T < ω n 1 2ζ }{{} 2 + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 < ω }{{}}{{} δ δυναμική πλοίου εύρος ζώνης κλειστού βρόχου ω b σερβοκινητήρας πηδαλίου (25) Για την περίπτωση κρίσιμης απόσβεσης, ζ = 1, το εύρος ζώνης κλειστού βρόχου ω b σχετίζεται με την φυσική συχνότητα ω n στην εξ. 23 με έναν παράγοντα 0.64, δηλ. ω b = 0.64 ω n. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει αν θέσουμε ζ = 1 στην εξ. 25 οπότε και Εναλλακτικά, επιλύεται η εξ. 24 ως προς K p, K d δίνοντας ω b = ω n 2 1 0.64 ωn (26) K p = T ω2 n K, K d = 2T ζω n 1 K Οι παράμετροι λόγος απόσβεσης ζ και φυσική συχνότητα ω n θεωρούνται παράμετροι σχεδιασμού. Ελεγκτής PID Θεωρούμε τώρα ελεγκτή μορφής PID με δομή (27) t δ = K p (ψ d ψ) K d ψ + K i (ψ d ψ(τ))dτ (28) με K p > 0, K d > 0, K i > 0 τις παραμέτρους σχεδιασμού. Όπως και με τον ελεγκτή PD, λαμβάνεται υπόψη η εξίσωση Nomoto 1ης τάξης, εξ. 20. Παρατηρούμε ότι η εξ. 28 γράφεται ως 0 δ = K p (1 + T d s + 1 T i s )(ψ d ψ) (29) όπου οι σταθερές ορίζονται ως T d = K d /K p ; T i = K p /K i. Οι παράμετροι K p, K d λαμβάνονται όπως και στην περίπτωση ελεγκτή PD, ενώ για την παράμετρο K i ισχύει στην πράξη 1 ω n (30) T i 10 οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε για την παράμετρο K i K i = ω nk p 10 = ω3 n T 10 K Οι παράμετροι λόγος απόσβεσης και φυσική συχνότητα (ζ, ω n ) θεωρούνται παράμετροι σχεδιασμού. (31)

4 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ PD, PID 9 4.0.1 Παραμετροποίηση τιμών ελεγκτή Οι επιδόσεις ενός ΑΠ θα μειωθούν κατά την αλλαγή των συνθηκών πλεύσης, όπως για παράδειγμα με τη αλλαγή της ταχύτητας του πλοίου. Για να αντισταθμισθούν οι επιδράσεις από την αλλαγή ταχύτητας, χρησιμοποιείται η μέθοδος παραμετροποίησης των τιμών (gain scheduling) του ελεγκτή PD/PID. Συνήθως λαμβάνεται υπόψη κάποια μετρούμενη μεταβλητή του συστήματος και σε συνάρτηση με αυτή εκφράζονται οι παράμετροι του ελεγκτή. Στη περίπτωσή μας η μεταβλητή αυτή είναι η ταχύτητα του πλοίου U. Η μέθοδος gain scheduling χρησιμοποιείται ευρύτατα σε βιομηχανικές εφαρμογές συστημάτων ελέγχου, πχ κατά την πτήση ενός αεροσκάφους. Θεωρούμε ότι είναι γνωστές οι παράμετροι κέρδους K 0 και σταθεράς χρόνου T 0 που αντιστοιχούν σε ταχύτητα υπηρεσίας U 0, σύμφωνα με την εξίσωση Nomoto (εξ. 20). Τότε λαμβάνουμε για την τρέχουσα ταχύτητα του πλοίου U τα παρακάτω. K = U U 0 K 0, T = U 0 U T 0 (32) Οι τιμές K 0, T 0 προκύπτουν από τη δοκιμή πλοίου, με βηματική εντολή αλλαγής της γωνίας πηδαλίου. Θέτοντας τις τιμές της εξ. 32 στις εξισώσεις παραμέτρων ελεγκτή PD/PID του αυτόματου πιλότου 27, 31, οι παράμετροι του ελεγκτή εκφράζονται πλέον ως K p (U) = T 0ω 2 n K 0 (U 0 /U) 2, K d (U) = 2T 0(U/U 0 )ζω n 1 K 0 (U 0 /U), K i (U) = ω3 nt 0 10K 0 (U 0 /U) 2 (33) Η μέθοδος gain scheduling μπορεί να εφαρμοστεί στον ρυθμιστή κατεύθυνσης πορείας τύπου PD/PID που είδαμε παραπάνω, στον παρατηρητή καταστάσεων (state estimator) αλλά και κατά τον υπολογισμό παραμέτρων σε προσαρμοστικό ελεγκτή. Η μέθοδος gain scheduling οδηγεί σε ταχύτερη απόκριση το σύστημα σε σχέση με μέθοδο προσαρμογής παραμέτρων σε προσαρμοστικό ελεγκτή.

4 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ PD, PID 10 4.0.2 Προσομοίωση ΑΠ Ο ΑΠ αξιολογείται ως προς τις επιδόσεις (performance) και την ανεκτικότητά του σε μεταβολές παραμέτρων (robustness) με διάταξη όπως παρακάτω. Σχήμα 5: Διάταξη κλειστού βρόχου ΑΠ με διαταραχές. Ένας ΑΠ τύπου PID αξιολογείται σε σενάριο λειτουργίας πλεύσης με διαταραχές κυμματισμού στο περιβάλλον GNC, όπως φαίνεται στο Σχ. 6. Το πλοίο είναι το Esso Osaka και περιγράφεται με μοντέλο Nomoto. Το αρχείο Simulink είναι το demowf1_esso.mdl στο. marine_gnc\simulink\demos\ Σχήμα 6: Περιβάλλον GNC για το Esso Osaka. 4.0.3 Αξιολόγηση ΑΠ Το Σχήμα 7 παρουσιάζει δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Γίνεται σύγκριση ΑΠ αυτοπροσαρμοζόμενων παραμέτρων (ST-KADPIL) με συμβατικό PID στα δεξιά. Η ταχύτητα πλοίου είναι 17 kn. Το Σχήμα 8 παρουσιάζει δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Γίνεται σύγκριση ΑΠ αυτοπροσαρμοζόμενων παραμέτρων (ST-KADPIL) με συμβατικό PID στα δεξιά. Η ταχύτητα πλοίου είναι 5 kn και του αέρα 17-24 m/s. Το Σχήμα 9 παρουσιάζει δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Γίνεται σύγκριση ΑΠ συμβατικού PID με τιμονιέρη.

5 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ LQ 11 Σχήμα 7: Δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Σύγκριση ΑΠ αυτοπροσαρμοζόμενων παραμέτρων (STKADPIL) με συμβατικό PID στα δεξιά. Ταχύτητα πλοίου 17 kn, αέρας 4-8 m/s. Σχήμα 8: Δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Σύγκριση ΑΠ αυτοπροσαρμοζόμενων παραμέτρων (STKADPIL) με συμβατικό PID στα δεξιά. Ταχύτητα πλοίου 5 kn, αέρας 17-24 m/s. 5 Αυτόματος Πιλότος Πορείας LQ Συστήματα ελέγχου με βέλτιστους τετραγωνικούς (Linear Quadratic) ελεγκτές μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτόματους πιλότους προκειμένου να δώσουν χαρακτηριστικά βελτιωμένων επιδόσεων και μειωμένης κατανάλωσης καυσίμου. Συμβιβασμός μεταξύ ακριβούς και οικονομικής πηδαλιουχίας μπορεί να προκύψει αν εφαρμοστεί το ακόλουθο τετραγωνικό κριτήριο α T 2 minj = (ϵ + λδ 2 )dr (34) T 0 όπου α είναι σταθερά, δ είναι η γωνία του πηδαλίου, λ είναι ένας συντελεστής βαρύτητας που σχετίζει τα σφάλματα στην κατεύθυνση (heading errors) με την δράση ελέγχου (control effort). Στην συνέχεια παρουσιάζονται τρία κριτήρια σχεδιασμού. Τα στοιχεία βασίζονται στα [2] sec. 6.3.3, [3] ch. 13, sec. 13.1, [7] και [8]. 5.1 Κριτήριο του Koyama Ο Koyama (1967) παρατήρησε ότι η περιστροφική κίνηση (yaw) του πλοίου μπορεί να περιγραφεί από ένα ημίτονο, οπότε υπολόγισε την απώλεια ταχύτητας καθώς αυξάνεται η απόσταση λόγω του σφάλματος στην κατεύθυνση. Προέκυψε ότι η σχετική επιμύκυνση λόγω του σφάλματος σε ημιτονοειδή πορεία (βλ. Σχ. 10) είναι L ϵ2 = Lα 4 (35) δηλ. η απώλεια σε % της ταχύτητας σε ημιτονοειδή πορεία. Εδώ L είναι η διαδρομή, Lα είναι το μήκος της ημιπεριόδου του ημιτόνου. Θεωρώντας ότι η εξ. 35 περιγράφει την απώλεια ταχύτητας σε ημιτονοειδή ελιγμό, ο Koymama πρότεινε 2 ελαχιστοποίηση του όρου ϵ4 μέσω του όρου δ 2, που αντιπροσωπεύει τις απώλειες από την πηδαλιουχία.

5 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ LQ 12 Σχήμα 9: Δοκιμές ΑΠ σταθερής πορείας. Σύγκριση ΑΠ συμβατικού PID στα αριστερά με τιμονιέρη. Σχήμα 10: Το σφάλμα κατά την ημιτονοειδή πορεία με αυτόματο πιλότο. Αυτό οδηγεί στο κριτήριο Koyama minj 0.0076 T T 0 (ϵ 2 + λδ 2 )dr (36) όπου J είναι η απώλεια ταχύτητας (%), ϵ είναι το σφάλμα στην κατεύθυνση (deg), δ είναι η γωνία του πηδαλίου (deg) και λ είναι ένας συντελεστής βαρύτητας. Για τον συντελεστή βαρύτητας λ ο Koyama βασιζόμενος σε δοκιμές πλοίων πλήρους κλίμακας αλλά και μοντέλων προτείνει τιμές 8-10, ώστε να αποφεύγονται μεγάλες γωνίες πηδαλίου και έτσι μεγάλοι ρυθμοί περιστροφής. Έτσι η τιμή λ = 10 αποτελεί καλή επιλογή σε κακό καιρό όπου είναι σημαντικό να καταστέλονται υψίσυχνες κινήσεις πηδαλίου. 5.2 Κριτήριο του Norrbin Ο Norrbin (1972) πρότεινε ένα παρόμοιο κριτήριο J, εξ. 36, ακολουθώντας διαφορετική θεώρηση, με στόχο να λάβει υπόψη του διόρθωση απωλειών από την πηδαλιουχία κατά τα sea trials. Δίνεται έμφαση στην ελαχιστοποίηση του όρου απωλειών T loss = (m + X ur )ur + X ccδδ c 2 δ 2 + (X rr + mx G )r 2 + X ext (37) στην εξίσωση της ταχύτητας του πλοίου. Με βάση την παραπάνω εξίσωση, ο βέλτιστος ελεγκτής ελαχιστοποιεί τους όρους ur, δ 2 και r 2. Ο όρος X ext θεωρείται αμελητέος. Προκύπτει συνάρτηση κόστους παρόμοια με αυτή του Koyama, με διαφορά στο συντελεστή βαρύτητας λ, που εδώ θα λάβει μικρές τιμές. O Norrbin προτείνει τιμές λ = 0.1, που αποτελούν επιλογή για ήρεμη θάλασσα. Επίσης θεωρεί ότι δεν υπάρχουν διαταραχές από το περιβάλλον, σε αντίθεση με τον Koyama. Έτσι συγκριτικά, ο Norrbin εκφράζει τις απώλειες με τον παράγοντα ϵ 2 ενώ ο Koyama με τον παράγοντα δ 2.

5 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΠΙΛΟΤΟΣ ΠΟΡΕΙΑΣ LQ 13 5.3 Κριτήριο των Van Amerongen και Van Nauta Lemke Προκειμένου να ληφθεί υπόψη η αύξηση της αντίστασης λόγω της περιστροφής, οι Van Amerongen και Van Nauta Lemke (1978) πρότειναν ως αντίστοιχο κριτήριο το minj = 0.0076 T T 0 (ϵ 2 + λ 1 ψ 2 + λ 2 δ 2 )dr (38) εισάγοντας επιπρόσθετα τον όρο ψ στην συνάρτηση κόστους. Εδώ J είναι η απώλεια ταχύτητας (%), ϵ είναι το σφάλμα στην κατεύθυνση (heading error) (deg), δ είναι η γωνία του πηδαλίου (deg) και λ 1,2 είναι συντελεστές βαρύτητας και ψ είναι ο ρυθμός περιστροφής (heading rate)(deg/s). Τα ίδια δεδομένα που χρησιμοποίησε ο Norrbin για τον υπολογισμό του κριτηρίου του λαμβάνονται και για τον υπολογισμό των λ 1,2. Έτσι έχουμε για πλοίο tanker: L=300m, λ 1 = 15, λ 2 = 8 για πλοίο cargo: L=200m, λ 1 = 1.6, λ 2 = 6 5.4 Παράδειγμα υλοποίησης βέλτιστου ελεγκτή στο MATLAB Ακολουθεί παράδειγμα υλοποίησης βέλτιστου ελεγκτή στο MATLAB. Τα στοιχεία βασίζονται στα [2] sec. 6.3.3, [3] ch. 13, sec. 13.1. Το Σχ. 11 παρουσιάζει την απλή περίπτωση ανατροφοδότησης καταστάσεων και τον σχετικό κώδικα σε MATLAB. Σχήμα 11: Υλοποίηση 1 ελεγκτή LQ για αυτόματο πιλότο. Το Σχ. 12 παρουσιάζει την πλήρη περίπτωση ανατροφοδότησης καταστάσεων με είσοδο αναφοράς και διαταραχή. Ο σχετικός κώδικα σε MATLAB φαίνεται στο Σχ. 13.

6 ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 14 Σχήμα 12: Υλοποίηση 2 ελεγκτή LQ για αυτόματο πιλότο. Σχήμα 13: Υλοποίηση 2 ελεγκτή LQ για αυτόματο πιλότο, matlab. 6 Διαταραχές από το Περιβάλλον Η κίνηση του πλοίου επηρεάζεται από τον αέρα, τον θαλάσσιο κυμματισμό (waves) και τα κύμματα (currents). Εφόσον ο ΑΠ αντισταθμίζει τις διαταραχές αυτές, το μαθηματικό μοντέλο πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα. Περισσότερα στοιχεία υπάρχουν στο [3], κεφ. 8. 6.1 Επίδραση κυμματισμών Ένα πλήρες σύστημα πλοίου, αυτόματου πιλότου πορείας και διαταραχών από την επίδραση κυμματισμών φαίνεται στο Σχήμα 5, [2]. Για την επίδραση των κυμματισμών, θεωρούμε συνάρτηση πρώτης τάξης. [νέο για 2017] 6.2 Επίδραση αέρα Για την επίδραση του αέρα, οι αρχικές εξισώσεις γίνονται m( v vr x G r 2 ) = X + X wind m( v + vr + x G ṙ) = Y + Y wind (39) I z ( v + mx G ( v + ru) = N + N wind όπου X wind, Y wind και N wind οι δυνάμεις και ροπή αντίστοιχα που οφείλονται στο αέρα.

6 ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 15 Οι X wind, Y wind και N wind εξαρτώνται από την μορφή του πλοίου και τη δύναμη του αέρα. Σύμφωνα με τον Wagner (1967), έχουμε X wind = 1 2 C X(u)ρV 2 A l Y wind = 1 2 C Y (u)ρv 2 A l (40) N wind = 1 2 C N (u)ρv 2 A l όπου ρ είναι η πυκνότητα του αέρα, V είναι η σχετική ταχύτητα του αέρα, A l είναι μια επιφάνεια αναφοράς. Οι τιμές C X (u), C Y (u), C N (u) έχουν τη μορφή C X (u) = C X cos u C Y (u) = C Y sin u (41) C N (u) = C N sin 2u Με βάση τα παραπάνω η συνάρτηση μεταφοράς (εξ.??), γίνεται G(s) = b 2 s + b 3 s(s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3 ) (42) όπου a 1 = a 11 a 22, a 2 = a 11 a 22 a 12 a 21, a 3 = a 11 a 23 a 13 a 21, b 2 = b 21, b 3 = a 21 b 11 a 11 b 21 (43)

7 7 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ ΟΔΗΓΗΣΗΣ ΠΗΔΑΛΙΟΥ 16 Διατάξεις μηχανισμού οδήγησης πηδαλίου Στο Σχήμα 14 φαίνεται διάταξη μηχανισμού οδήγησης πηδαλίου για χρήση σε σχεδιασμό ΑΠ. Στο Σχήμα 15 φαίνεται απλουστευμένη διάταξη μηχανισμού οδήγησης πηδαλίου για χρήση σε σχεδιασμό ΑΠ. Σχήμα 14: Διάταξη μηχανισμού οδήγησης πηδαλίου. Σχήμα 15: Απλουστευμένη διάταξη μηχανισμού οδήγησης πηδαλίου.

8 ΚΑΘΟΔΗΓΗΣΗ 17 K 8 Καθοδήγηση Με τον όρο καθοδληγηση εννοούμε την πορεία που πρέπει να ακολουθήσει το πλοίο ώστε να φτάσει σε ένα συγκεκριμένο σημείο, το οποίο μπορεί να είναι είτε ο τελικός προορισμός του είτε ένα ενδιάμεσο σημείο του ταξιδιού του. Περισσότερα στοιχεία υπάρχουν στο [3], κεφ. 10. Σχήμα 16: Διαγραμματικό σχέδιο συστήματος καθοδήγησης. Διακρίνουμε γενικά δύο τύπους καθοδήγησης, όπως παρακάτω. Παρακολούθηση τροχιάς (trajectory tracking), όπου υπάρχουν περιορισμοί στον χώρο (spatial) αλλά και στον χρόνο (temporal). Θεωρούμε ότι η τροχιά δεν είναι γνωστή από πριν, όπως στην περίπτωση ακολουθίας στόχου. Παρακολούθηση πορείας (path following), όπου υπάρχουν περιορισμοί στον χώρο αλλά όχι και στον χρόνο. 8.1 Path Following Θεωρούμε παρακολούθηση πορείας, όπου υπάρχουν περιορισμοί στον χώρο αλλά όχι και στον χρόνο. Γενικά ακολουθείται πορεία που είναι γνωστή από πρίν. Χρησιμοποιείται ευρέως ο όρος της ευθείας σκόπευσης (Line of sight-los), που ορίζεται ως η γωνία στο οριζόντιο επίπεδο ψ ref = arctan Y k Y (t) + 2πm (44) X k X(t) όπου X k, Y k είναι σημεία πορείας (way points) που έχουν ορισθεί απο πριν στο σχέδιο πορείας (mission planner). Απαιτείται προσοχή για την παρακολούθηση του τρέχοντος τεταρτημορίου (quadrant) κατά την υλοποίηση νόμων καθοδήγησης, δηλαδή επιλογή m Z έτσι ώστε: ψ ref ψ π (45) Επίσης, στην περίπτωση που χρησιμοποιείται ο αυτόματος πιλότος διατήρησης πορείας, ο ρυθμός μεταβολής του ψ ref θα πρέπει να περνάει από ένα κατάλληλο φίλτρο (συνάρτηση μεταφοράς) ή από περιοριστή ρυθμού, προκειμένου να παραμένει ευσταθές το σύστημα του αυτόματου πιλότου. Ο περιορισμός του ρυθμού ψ ref είναι παράμετρος σχεδίασης, εξαρτάται από το ω n και το ζ του συστήματος κλειστού βρόχου του αυτόματου πιλότου και μπορεί να είναι είτε μία σταθερή τιμή γωνιακής ταχύτητας είτε μεταβαλλόμενη στον χρόνο ανάλογα με την ταχύτητα του πλοίου, ώστε να διατηρείται σταθερή η ακτίνα στροφής, Σχ. 17, δηλαδή { ω max, σταθερό ψ ref = v ship R, για σταθερό R (46)

9 ΠΛΟΗΓΗΣΗ 18 Σχήμα 17: Πλοήγηση πλοίου σε διαδρομή με αποφυγή εμποδίων. μπλε: σταθερό R, κόκκινο: ψ ref σταθερό. 9 Πλοήγηση Πλοήγηση (Navigation) είναι η διεργασία η οποία διαχειρίζεται την πορεία του πλοίου, παρουσία περιορισμών, διαταραχών του περιβάλλοντος, θορύβου των μετρητικών οργάνων, κ.λ.π., και αποφασίζει την εναλλαγή μεταξύ των waypoints, με κατάλληλα κριτήρια, έτσι ώστε το πλοίο να φτάσει επιτυχώς στον προορισμό του (Σχ.17). Επίσης πρέπει να ληφθεί απόφαση κατά πόσον έχει φτάσει ένα τρέχον σημείο πορείας σε ένα προδιαγεγραμμένο σημείο πορείας. Αυτό γίνεται ελέγχοντας αν το τρέχον σημείο πορείας βρίσκεται εντός ενός κύκλου αποδοχής (acceptance circle(coa)), ακτίνας ρ 0, που ορίζεται ως ρ 2 = [Y k Y (t)] 2 + [X k X(t)] 2 < ρ 2 0 (47) Αν αυτό συμβαίνει τότε επιλέγεται το επόμενο σημείο πορείας. Αν αντίθετα η συνθήκη dρ/dt αλλάζει από αρνητική σε θετική και δεν ικανοποιείται η εξ. (47) τότε δεν έχει φτάσει το τρέχον σημείο πορείας. Τότε ο νόμος καθοδήγησης θα πρέπει να διατηρήσει το σημείο πορείας οδηγώντας το σκάφος σε στροφή ή να περάσει στο επόμενο σημείο πορείας. Εδώ θεωρείται ότι η επιθυμητή ταχύτητα του σκάφους επιτυγχάνεται από άλλο αυτόματο πιλότο ταχύτητας (speed autopilot). Υπάρχει η δυνατότητα αξιολόγησης ενός αυτόματου πιλότου πορείας, όπου αξιολογούνται ο αριθμός των σημείων πορείας που έχουν καλυφθεί, η συνολική πορεία που διανύθηκε, η μέση απόκλιση και η συνολική ενέργεια (στροφές ανά s 2 ). 9.1 Δημιουργία σημείων πορείας Σε ορισμένες περιπτώσεις τα σημεία πορείας (waypoints) δεν είναι γνωστά με ακρίβεια, με εξαίρεση μόνο κάποια σημεία στην πορεία του πλοίου με σχετικούς περιορισμούς, όπως σημαδούρες (boys), νησιά, αβαθή, δίαυλοι, κ.λ.π. Σε τέτοιες περιπτώσεις θα πρέπει το σύστημα πλοήγησης να δημιουργεί τα σημεία της πορείας, ώστε να ικανοποιούνται περιορισμοί όπως η εγγύτητα πλευσης σε ένα εμπόδιο (R i ), η φορά με την οποία πρέπει να το προσεγγίσουμε (ωρολογιακά ή ανθωρολογιακά, λ i {1, 1}), κ.α., όπως φαίνεται στο Σχ.19. Τα παραπάνω συνοψίζονται στον Πίνακα 9.1.

9 ΠΛΟΗΓΗΣΗ 19 Σχήμα 18: Πορεία πλοίου με LOS καθοδήγηση μεταξύ δοσμένων waypoints Boys No. Συντεταγμένες Περιορισμοί 1 x B1 y B1 λ B1 R B1..... n x Bn y Bn λ Bn R Bn Πίνακας 2: Πίνακας συντεταγμένων και περιορισμών φοράς και απόστασης (boys). Σκοπός είναι η εύρεση κατάλληλου σημείου W P 2i 1, ώστε να προσεγγιστεί το σημείο B i σε ακτίνα R i εφαπτομενικά, να διαγράψει τόξο κύκλου γύρω από το σημείο και να φύγει στο σημείο W P 2i εφαπτομενικά στοχεύοντας το επόμενο εφαπτομενικό σημείο πορείας W P 2i+1 σε ακτίνα R i+1 γύρω από σημείο B i+1. Εάν B i B i+1 R i+1, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε W P 2i+1 = B i+1. Θεωρούμε P (x 0, y 0 ) την θέση του πλοίου την χρονική στιγμή t και W P (x w, y w ) τα σημεία πορείας γύρω κοντά στο σημείο B i (x B, y B ), όπως φαίνεται στο Σχ. 20. Υπολογίζονται τα διανύσματα της απόστασης του πλοίου από το waypoint d = P W P = (x0 x w, y 0 y w ), (48) της ακτίνας μέτρου R i R = P W P = (xb x w, y B y w ), (49) καθώς και η απόσταση D του πλοίου από το B i D = B P = (x B x 0 ) 2 + (y B y 0 ) 2 (50) Τέλος θεωρούμε διάνυσμα λ κάθετο στο επίπεδο, με μέτρο λ = λ i. Έτσι, για να βρεθεί το σημείο W P (x w, y w ) πρέπει να ισχύουν οι εξής προϋποθέσεις d R = 0 (51αʹ) d 2 + R 2 = D 2 (51βʹ) ( d R)λ > 0 (51γʹ)

9 ΠΛΟΗΓΗΣΗ 20 Σχήμα 19: Waypoints για πορεία σύμφωνα με περιορισμούς. Για τα σημεία εκφυγής W P 2i ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις, θεωρώντας P = B i+1 λ = λ i+1 (52αʹ) (52βʹ) To σημείο πορείας WP δίνεται υπολογιστικά από τον Αλγόριθμο 1. Algorithm 1 Generate waypoint: (x w, y w )=wpgen(x 0, y 0, x B, y B, λ, R) 1: if y 1 = y 0 then 2: x w x 0 ( ) x0 x B 3: y w y B λ R x 0 x B 4: else if x 1 = x 0 then 5: y w y 0 ( ) y0 y B 6: x w x B + λ R y 0 y B 7: else [x w, y w ] solve([(x 0 x) (x 1 x) + (y 0 y) (y 1 y) = 0], [(x 1 x) 2 + (y 1 y) 2 = R 2 ], [λ{(x0 x) (y1 y) (x1 y) (y0 x)} > 0], [x, y]) 8: end if Στόχος είναι το σύστημα πλοήγησης να εναλλάσει τα σημεία όπου το πλοίο κινείται ευθύγραμμα με τα σημεία όπου πρέπει να ακολουθήσει κυκλική τροχιά, με βάση το αν έχει μπει στο circle of acceptance, όπου θεωρούμε ότι έχει φτάσει στο waypoint, οπότε πρέπει να υπολογίσει το επόμενο. Η εναλλαγή μεταξύ της ευθύγραμμης πορείας και της κυκλικής τροχιάς γίνεται με τη χρήση της μεταβλητής f lag {1, 2} αντίστοιχα, όπως περιγράφεται στο Σχ. 21. Στο Simulink υλοποιείται με ένα MATLAB Function μπλοκ, όπως φαίνεται στο Σχ. 22. Μια απλή εκδοχή του συστήματος πλοήγησης παρουσιάζεται στον Αλγόριθμο 2.

9 ΠΛΟΗΓΗΣΗ 21 Σχήμα 20: Υπολογισμός κατάλληλου waypoint γύρω από σημαδούρα. Algorithm 2 Navigation system: (x w, y w, boy no,out, flag out )=navigation(x 0, y 0, boy no, flag, d) 1: read Boys, ρ 2: if d < ρ then 3: if flag = 1 then flag 2 4: else 5: flag 1 6: boy no boy no + 1 7: end if 8: end if 9: if flag = 1 then 10: [x w, y w ] wpgen(x 0, y 0, Boys(boy no, 1), Boys(boy no, 2), Boys(boy no, 3), Boys(boy no, 4)) 11: else if flag = 2 then 12: [x w, y w ] wpgen(boys(boy no + 1, 1), Boys(boy no + 1, 2), Boys(boy no, 1), Boys(boy no, 2), Boys(boy no, 3), Boys(boy no, 4)) 13: end if 14: boy no,out boy no 15: flag out flag

9 ΠΛΟΗΓΗΣΗ 22 Σχήμα 21: Πορεία πλοίου στο επίπεδο X, Y με ευθύγραμμα τμήματα και κυκλικές τροχιές. Σχήμα 22: Υλοποίηση συστήματος πλοήγησης στο Simulink. 9.2 Αισθητήρια, Επενεργητές (νέο για 2017)

ΑΝΑΦΟΡΕΣ 23 Αναφορές [1] Abkowitz, M., Lectures on ship hydrodynamics steering and maneuverability, Report No. 5, Lunby, Denmark, 5/1964. [2] Fossen T., Guidance and Control of Ocean Vehicles, John Wiley and Sons, 1994. [3] Fossen T., Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control, John Wiley and Sons, 2011. [4] Perez T., Ship Motion Control, Springer, 2005. [5] Astrom, K., Identification of ship steering dynamics, Automatica, Vol. 12, 1976. [6] Kallstrom, C., Astrom, K., Thorell, N., Eriksson, J. and Sten, L., Adaptive autopilots for tankers, Automatica, Vol. 15, 1973. [7] van Amerongen, J., Adaptive steering of ships, A model reference approach, PhD Thesis, Delft, 1982. [8] van Amerongen, J., Adaptive steering of ships: A model reference approach, Automatica, Vol. 20, No. 1, 1984. [9] Astrom, K., Why use adaptive techniques for steering large tankers?, International Journal of Control, Vol. 32, Number 4, 1980. [10] Ogata, K., Modern Control Engineering (5th Edition), 2009. [11] Dorf, R., Bishop, R., Modern Control Systems, Prentice-Hall, 2001.