ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 9/3/2016
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Επανάληψη (1) ΤΥΠΟΣ Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)
Επανάληψη (2) ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ A/S/N/K A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης Ν: Αριθμός εξυπηρετητών Κ : Χωρητικότητα συστήματος (μέγιστος αριθμός πελατών στην αναμονή + εξυπηρέτηση) Παραδείγματα Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (Deterministic), 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος M/G/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (General), 1 εξυπηρετητής, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, Memoryless), ανεξάρτητοι χρόνοι εξυπηρέτησης εκθετικοί (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές τηλεφωνητές & μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή
Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ (exponential distribution) Μια τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) - random variable Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = P[X t] = 1-exp(-λt), f Χ (t) = df χ (t)/dt = λ exp(-λt) για t 0 F χ (t) = f Χ (t) = 0 για t < 0 E(Χ) = 1/λ, var(χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t] = P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ 1 : με παράμετρο λ 1 Χ 2 : με παράμετρο λ 2 Χ = min{χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = λ 1 +λ 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (Stochastic Processes Time Series) Διαδικασίες Markov, ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,x(t n-1 )=x n-1,,x(t 1 )=x 1 ] = P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n ] Στάσιμες διαδικασίες (stationary stochastic processes): Στατιστικές ιδιότητες της τυχαίας μεταβλητής X(t) ανεξάρτητες από τον χρόνο t Εργοδικότητα (ergodicity) ως προς στάσιμο μέσο όρο E X(t) = lim N { 1 N N x n } = lim { 1 T T 0 T x(t)dt } n=1 Αν ισχύει η εργοδικότητα, για την εκτίμηση του στάσιμου μέσου όρου E{X(t)} αντί για την άθροιση μετρήσεων της τιμής X(t n )=x n στο χρόνο t n σε μεγάλο αριθμό N επαναλήψεων της χρονοσειράς, αρκεί η ολοκλήρωση των τιμών x(t) όπως μετρώνται σε μεγάλο χρονικό διάστημα T σε μια μόνο παρατήρηση της X(t) χωρίς επαναλήψεις Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων (birth death processes): αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασίες Απαρίθμησης γεγονότων (counter processes) P[N(t) = k]: Πιθανότητα k γεγονότων στο διάστημα (0, t) Διαδικασίες Απαρίθμησης με Στάσιμες Αυξήσεις (stationary increments): Ανεξάρτητα του χρόνου αναφοράς t P[N(t + Δt) - N(t) = k] = P[N(τ + Δt) - N(τ) = k] = P[N(Δt) = k]
Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Poisson k γεγονότα (π.χ. αφίξεις) σε διάστημα t εμφανίζονται με πιθανότητα E t (n) = λt Var t (n) = λt P[n(t) = k] = P k (t) = e λt (λt) k / k!, k = 0,1,2, Μέσος ρυθμός αφίξεων: λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις) Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής (binomial distribution)
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Poisson Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με μέσο ρυθμό λ, είναι τυχαίες μεταβλητές (τμ) εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2 δημιουργεί διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson ρυθμού λ μέσω ανεξαρτήτων τυχαίων επαναλήψεων Bernoulli με πιθανότητες p, q = 1-p (π.χ. τυχαία δρομολόγηση χωρίς μνήμη) δημιουργεί ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με μέσους ρυθμούς λ 1 = pλ λ 2 = qλ
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.