9. Παράρτημα μαθηματικών εννοιών & εργαστηριακών οργάνων Μονάδες μέτρησης Σύμβολο Ονομασία Μέγεθος Βασικές μονάδες Hz Χερτζ (Hertz) Συχνότητα sec - N Νιούτον (Newton) Δύναμη kg m sec - J Τζουλ (Joule) Ενέργεια - kg m sec W Βατ (Watt) Ισχύς -3 kg m sec V Βολτ (Volt) Ηλεκτρικό δυναμικό - kg m sec-3 A C Βαθμός Κελσίου (degree Celsius) Θερμοκρασία K Ω Ομ (Ohm) Ηλεκτρική αντίσταση - kg m sec-3 A Pa Πασκάλ (Pascal) Πίεση - kg m- sec C Κουλόμπ (Coulomb) Ηλεκτρικό φορτίο A sec F Φαράντ (Farad) Ηλεκτρική χωρητικότητα kg- m- sec4 A Πίνακας 9. Οι συνηθέστερες παράγωγες μονάδες του συστήματος SI. Σύμβολο Ονομασία Μέγεθος Βασικές μονάδες Μετατροπή στο SI dn Δύνη (Dne) Δύναμη g cm sec - 0-5 N erg Έργιο (Erg) Ενέργεια g cm sec- 0-7 J Bi Μπιό (Biot) Ηλεκτρικό ρεύμα g / cm/ sec- 0A statv Στάτβολτ (statvolt) Ηλεκτρικό δυναμικό g / cm/ sec-,9979 0 V ba Μπαρί (Bare) Πίεση g cm - sec- 0 - Pa Fr Φράνκλιν (Franklin) Ηλεκτρικό φορτίο g / cm3/ sec- 3,3356 0-0 C Πίνακας 9. Οι συνηθέστερες μονάδες του CGS και οι παράγοντες μετατροπής τους στο SI. Μαθηματική επισκόπηση Δυνάμεις Για τον πολλαπλασιασμό δυνάμεων του ισχύει: n m n m (9.) 3 5 3 5 8 Για παράδειγμα: Για τη διαίρεση δυνάμεων του ισχύει: n n m (9.) m 6 6 4 Για παράδειγμα: 4 Δύναμη με κλασματικό εκθέτη αντιστοιχεί με μια ρίζα, όπως παρακάτω: (9.3) n m m n 3 3 Για παράδειγμα: 3 3, 8 8, 9 9 Για την ύψωση μιας δύναμης σε μια άλλη δύναμη ισχύει: ( n ) m n m (9.4) Για παράδειγμα: ( ) 5 5 0 44
Λογάριθμοι Έστω μια ποσότητα που είναι εκφρασμένη ως δύναμη μιας άλλης ποσότητας α: (9.5) Ο αριθμός α ονομάζεται βάση. Ο λογάριθμος του ως προς βάση α είναι ίσος με τον εκθέτη στον οποίο πρέπει να υψωθεί η βάση, έτσι ώστε να ικανοποιείται η έκφραση, δηλαδή: loga (9.6) Ο αριθμός καλείται ο αντιλογάριθμος του, δηλαδή: anti log a (9.7) Οι δύο βάσεις που χρησιμοποιούνται συχνότερα είναι η βάση 0, που ονομάζεται κοινή λογαριθμική βάση, και η βάση e (=,78 ), που ονομάζεται φυσική (ή Νεπέρια) λογαριθμική βάση. Για τους κοινούς λογάριθμους: log0 0 (9.8) Συνήθως στη γραφή των κοινών λογαρίθμων η βάση δεν αναγράφεται, π.χ. log5 αντί log 05. Για τους φυσικούς (ή Νεπέριους) λογάριθμους: lne e (9.9) Συνήθως στη γραφή των φυσικών λογαρίθμων η βάση δεν αναγράφεται, π.χ. ln5 αντί ln e5. Παραδείγματα των παραπάνω: - log4 =,380, έτσι ώστε antilog,380 = 0,380 = 4. - ln4 = 3,78, έτσι ώστε antiln3,78 = e 3,78 = 4. Η μετατροπή μεταξύ κοινών και φυσικών λογαρίθμων γίνεται μέσω της σχέσης: ln,3log (9.0) Τέλος, μερικές χρήσιμες ιδιότητες των λογαρίθμων είναι οι ακόλουθες: log a( b c) log a b log a c (9.) log ( b c) log b log c (9.) a a a n a b n ab log ( ) log (9.3) log0 (9.4) ln e (9.5) Γεωμετρία Εμβαδόν & όγκος Εμβαδόν και όγκος των συνηθέστερων γεωμετρικών σχημάτων και σωμάτων όπως δίνονται στο σχήμα 9.. - Εμβαδόν ορθογωνίου: AB. - Εμβαδόν κύκλου: r (περίμετρος: r ), εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας θ (γραμμοσκιασμένη περιοχή σχήματος 9..β): 360 r (μήκος τόξου γωνίας θ: L r ). 360 - Εμβαδόν έλλειψης: AB. - Εμβαδόν τριγώνου: Ah. 4 3 - Όγκος σφαίρας: 3 r, εμβαδόν: 4 r. - Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: ABC, συνολικό εμβαδόν: ( AB AC BC) (συνολική περιμετρική απόσταση: 4( A B C) ). - Όγκος κώνου: 3 rh, συνολικό εμβαδόν: rs r. 45
- Όγκος κυλίνδρου: rd, συνολικό εμβαδόν: r rd. Σχήμα 9. Συνηθέστερα γεωμετρικά σχήματα: (α) ορθογώνιο, (β) κύκλος (L το μήκος τόξου της γωνίας θ), (γ) έλλειψη, (δ) τρίγωνο, και συνηθέστερα γεωμετρικά σώματα: (ε) σφαίρα, (στ) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, (ζ) κώνος, (η) πυραμίδα με τετραγωνική βάση, (θ) κύλινδρος. Εξισώσεις καμπυλών Εξισώσεις των συνηθέστερων καμπυλών, όπως δίνονται στο σχήμα 9.. - Ευθεία γραμμή: A B, όπου Α η κλίση της με A, Β η διατομή, και C B A - Έλλειψη με κέντρο στο σημείο (0,0), όπως στο σχήμα 9..β (κανονική μορφή έλλειψης): Α και Β τα μήκη του μεγάλου και του μικρού ημιάξονα, αντίστοιχα. A B, όπου 46
- Κύκλος με κέντρο στο σημείο (0,0), όπως στο σχήμα 9..γ: κύκλου βρίσκεται σε σημείο ( ο, ο) τότε: ( ) ( ) r. - Παραβολή, όπως στο σχήμα 9..δ: o A B, Α και Β σταθερές. o r, όπου r η ακτίνα. Αν το κέντρο του - Υπερβολή, όπως στο σχήμα 9..δ (ισοσκελής υπερβολή στους καρτεσιανούς άξονες): C, C σταθερά. Σχήμα 9. Συνηθέστερες καμπύλες: (α) ευθεία γραμμή, (β) έλλειψη, (γ) κύκλος, (δ) παραβολή, (ε) υπερβολή. Τριγωνομετρία Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων Οι τρεις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη. Ακολουθείται ο συμβολισμός sin για το ημίτονο, cos για το συνημίτονο και για την εφαπτομένη. Για τον ορισμό τους, ας θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 9.3, όπου a η απέναντι πλευρά της γωνίας θ, η b η προσκείμενη πλευρά της γωνίας θ και c η υποτείνουσα του τριγώνου. Ως προς τη γωνία θ, οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως εξής: Απέναντι κάθετη πλευρά a sin Υποτείνουσα c (9.6) Προσκείμενη κάθετη πλευρά b cos Υποτείνουσα c (9.7) 47
Απέναντι κάθετη πλευρά a Προσκείμενη κάθετη πλευρά b (9.8) Σχήμα 9.3 Ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθετες πλευρές a και b και υποτείνουσα c (για τον ορισμό των βασικών τριγωνομετρικών σχέσεων). Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει: c =a +b (9.9) Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών σχέσεων και το Πυθαγόρειο θεώρημα, προκύπτει ότι: sin +cos = (9.0) sin (9.) Η συντέμνουσα (csc), η τέμνουσα (sec) και η συνεφαπτομένη (cot) της γωνίας θ ορίζονται ως εξής: csc (9.) sin sec (9.3) cot (9.4) Ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων Οι βασικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δίνονται στον πίνακα 9.3 (π = 80 ): - θ π/ ± θ π ± θ 3π/ ± θ kπ ± θ (k =,, 3, ) sin sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ cos cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ θ cotθ θ cotθ θ csc cscθ secθ cscθ secθ cscθ sec secθ cscθ secθ cscθ secθ cot cotθ θ cotθ θ cotθ Πίνακας 9.3 Βασικές ιδιότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων (π = 80 ). 48
Τριγωνομετρικές ταυτότητες sec (9.5) csc cot (9.6) sin sin (9.7) cos sin (9.8) (9.9) sin (9.30) cos (9.3) (9.3) cos sin( ) sin sin (9.33) cos( ) sin sin (9.34) Άθροισμα, διαφορά & γινόμενο τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin sin sin cos (9.35) cos cos (9.36) sin sin (9.37) sin sin cos( ) cos( ) (9.38) cos( ) cos( ) (9.39) sin sin( ) sin( ) (9.40) Τριγωνομετρικές σχέσεις τριγώνου Για ένα οποιοδήποτε τρίγωνο (σχήμα 9.4) ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: 80 ( ) (9.4) - Νόμος ημίτονων: A B C (9.4) sin sin sin - Νόμος συνημίτονων: A B C BC, B A C AC cos, C A B AB (9.43) - Νόμος εφαπτομένων: A B A C, B C, (9.44) A B A C B C 49
Σχήμα 9.4 Τρίγωνο με πλευρές Α, B και C και γωνίες α, β και γ. Fourier snthesizer Είναι γνωστό ότι κάθε περιοδική κυματομορφή μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άπειρο άθροισμα (με διαφορετικά «βάρη») από τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που αποτελούνται από ημίτονο ή συνημίτονο μιας βασικής συχνότητας και τα ημίτονα ή συνημίτονα των αρμονικών της. Με το Pasco Model WA-9307A Fourier snthesizer (FS), η παραπάνω μαθηματική πρόταση μπορεί να μελετηθεί σε βάθος, προσθέτοντας μια σειρά από ημιτονοειδείς κυματομορφές και παρατηρώντας την σύνθετη κυματομορφή σε ένα παλμογράφο. Το FS μπορεί να χρησιμοποιηθεί με κάθε παλμογράφο, αρκεί αυτός να έχει δύο κανάλια συν εξωτερικό trigger. Με τέτοιο παλμογράφο μπορεί κανείς να ελέγχει τη συνολική κυματομορφή (το άθροισμα όλων των αρμονικών) στο ένα κανάλι και ταυτόχρονα να βλέπει την κάθε αρμονική, που είναι έτοιμος να προσθέσει στο συνολικό άθροισμα, στο άλλο κανάλι. Απαραίτητο θεωρείται το εξωτερικό trigger (eternal trigger) το οποίο παρέχει σταθερή φάση παρακολούθησης στα δύο κανάλια του αθροίσματος των αρμονικών και της κάθε αρμονικής που πρόκειται να προσθέσει. Το FS φαίνεται στο σχήμα 9.5.α. Το FS παρέχει θεμελιώδη κυματομορφή συχνότητας 440Hz (βασική συχνότητα) και τις αρμονικές αυτής μέχρι και την ένατη. Η θεμελιώδης παρέχεται δύο φορές. Οι διακόπτες ελέγχου (controls) του FS είναι τοποθετημένοι σε δέκα στήλες. Κάθε στήλη διακοπτών ελέγχου ελέγχει μία από τις δέκα ανεξάρτητες κυματομορφές. Η χρήση κάθε διακόπτη ελέγχου σε κάθε μια από τις δέκα στήλες παρουσιάζεται στο σχήμα 9.5.β. Οι διακόπτες ελέγχου για κάθε μια κυματομορφή είναι ακριβώς ίδιοι για κάθε κυματομορφή εκτός από τις δύο πρώτες που αντιστοιχούν στη βασική συχνότητα: οι κυματομορφές της βασικής συχνότητας έχουν δύο επιπλέον διακόπτες ελέγχου όπως φαίνεται από το σχήμα 9.5.β. Αντίθετα από τις υψηλότερες αρμονικές, οι δύο βασικές (440Ηz) μπορεί να παρέχουν τριγωνικές ή τετραγωνικές κυματομορφές. Οι έξοδοι του summing amplifier και του trigger φαίνονται με λεπτομέρεια στο σχήμα 9.5.γ. Όταν πειραματίζεστε, περιοδικά πατάτε το κουμπί RESET (κάτω αριστερά). Μικρές πτώσεις τάσεως στο δίκτυο μπορούν να επηρεάσουν την ψηφιακή ροή του FS και τελικά να έχουν φαινόμενα ροής φάσεως μεταξύ των συντιθέμενων κυματομορφών. Πατώντας το κουμπί RESET, θα εξαλείφετε τέτοιου είδους φαινόμενα. Το πλάτος των κυματομορφών των δύο βασικών συχνοτήτων (οι δύο στήλες με ταμπέλα ) και της δεύτερης και τρίτης αρμονικής (οι στήλες με ταμπέλα και 3) μπορούν να φθάσουν τα V (peak-to-peak). Τα πλάτη των υψηλότερων αρμονικών φθάνουν περίπου το V (peak-to-peak). Αυτό επιτρέπει να έχει κανείς καλύτερο έλεγχο του πλάτους των υψηλότερων αρμονικών, που συχνά είναι απαραίτητο για τη σύνθεση Fourier. 50
Σχήμα 9.5 (α) Fourier Snthesizer (FS) Pasco Model WA-9307A, (β) οι διακόπτες ελέγχου, και (γ) οι έξοδοι του summing amplifier και του trigger. 5
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ (Οδηγός περαιτέρω μελέτης) Αλεξόπουλος, Κ.Δ. (99). Μηχανική. Αθήνα: Εκδόσεις Ολύμπια. Berg, R. E. & Stork, D. G. (995). The phsics of sound. New Jerse: Prentice Hall. Fitzpatrick, R. (03). Oscillations and Waves: An Introduction. Boca Raton Florida: CRC Press Talor and Francis Group. Hallida, D. & Resnick, R. (976). Φυσική (Α μέρος). Αθήνα: Εκδόσεις Γ.A. Πνευματικός. Kinsler, A. Fr., Coppens, A. & Sanders, J. (98). Fundamentals of acoustics. New York: John Wille & Sons. Main, I.G. (978). Vibration and waves in phsics. Cambridge: Cambridge Universit Press. Pain, Η.J. (997). Φυσική των ταλαντώσεων και των κυμάτων. Αθήνα: Εκδόσεις Συμμετρία. Serwa, R.A. (995). Φυσική (Τόμοι Ι & ΙΙΙ). Αθήνα: Εκδόσεις Κορφιάτη. Young, H. D. (994). Μηχανική Θερμοδυναμική (Α τόμος). Αθήνα: Εκδόσεις Παπαζήση. 5