Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής πρόοδου, τους τύπους τω γεικώ όρω αυτώ, τω μέσω, τω αθροισμάτω καθώς και τις αποδείξεις αυτώ. Να μπορεί α υπολογίζει: α, ω, λ, S. Να μπορεί α βρίσκει το γεικό όρο ακολουθιώ που ορίζοται ααδρομικά (Αριθμητική - Γεωμετρική πρόοδος). Να μπορεί α βρίσκει τους όρους ακολουθίας από το γεικό όρο ή από το ααδρομικό τύπο της και α τους παριστάου στο επίπεδο. Να μπορεί α διακρίει α μια ακολουθία είαι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος με το υπολογισμό της διαφοράς α + α και του λόγου α α + ατίστοιχα. Να μπορεί α βρίσκει το ιοστό όρο μιας προόδου. Να καταοήσει τις έοιες αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος και α μπορεί α επιλύει σχετικές ασκήσεις. Να επιλύει προβλήματα και ασκήσεις με τη βοήθεια τω τύπω του ιοστού όρου και του αθροίσματος - πρώτω όρω αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.
70. Ακολουθίες - Πρόοδοι Τύποι - Βασικές έοιες ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ: Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες Ακολουθία οομάζουμε κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο Ν* τω θετικώ ακεραίω. Μία ακολουθία συμβολίζεται συήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο συμβολίζεται με α και διαβάζεται α με δείκτη. Οι τιμές της α,α,α κ.τ.λ. λέγοται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της ακολουθίας. Ο όρος α λέγεται ιοστός όρος ή γεικός όρος της ακολουθίας. Μία ακολουθία είαι πλήρως ορισμέη ότα μπορούμε α βρούμε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συμβαίει ότα γωρίζουμε: α. Το γεικό όρο της ακολουθίας π.χ. Α ο γεικός όρος είαι ο α =, τότε α =, α =, α = 5, είαι η ακολουθία τω περιττώ αριθμώ β. Έα ααδρομικό τύπο της ακολουθίας π.χ. Α α =, α = και α+ = α+ + α Έχουμε: α = α + α = + = α4 = α + α = + = α5 = α4 + α = + = 5 Μειοέκτημα του ααδρομικού τύπου είαι ότι για α βρούμε π.χ. το α00 πρέπει α γωρίζουμε τους 99 προηγούμεους όρους. Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με ω και το λέμε διαφορά της προόδου. Επομέως μια ακολουθία είαι αριθμητική πρόοδος, α και μόο α, ισχύει: α+ = α+ ω α+ α= ω, Ν Η διαφορά δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερή Ιδιότητες της αριθμητικής προόδου α. Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω δίεται απο το τύπο : = + ( ) α α ω *
Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. β. Αριθμητικός μέσος τω αριθμώ α, γ λέγεται ο αριθμός β, α και μόο α, α + γ β = α + γ γ. Οι α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π., α και μόο α, β = δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Α.Π. με διαφορά ω το συμβολίζουμε με: S = α+ α +... + α και δίεται από τους τύπους: S α α = ( + ) ή = + ( ) S α ω Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με λ και το οομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάτα ότι α 0 οπότε αφού είαι και λ 0 ισχύει α 0, για κάθε * Ν. Επομέως μια ακολουθία ( α ) είαι γεωμετρική πρόοδος α και μόο α ισχύει α = =, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερό. + α α λ λ + α Ιδιότητες της Γεωμετρικής Προόδου α. Ο ιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ δίεται από το τύπο: α = α λ β. Γεωμετρικός μέσος τω α, γ 0 λέγεται ο θετικός αριθμός β, α και μόο α, β = α γ γ. Οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Γ.Π., α και μόο α, β = αγ δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Γ.Π. με διαφορά λ το συμβολίζουμε S = α + α +... + α και δίεται από το τύπο S = α για λ =. S α λ λ = για λ και
7. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Αποδείξεις στη αριθμητική πρόοδο ΘΕΩΡΙΑ Ο ος όρος μίας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είαι: α = α + ( ) ω Απόδειξη Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: α = α α = α + ω α = α + ω α4 = α + ω Με πρόσθεση κατά μέλη παίρουμε : α = α + ( )ω α = α + ω α = α + ω ΘΕΩΡΙΑ (Αριθμητικός μέσος). Τρείς αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει: α+ γ β= α+ γ ή β = Απόδειξη Έστω α, β, γ τρείς διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Τότε ισχύει: β α= ω και α+ γ γ β= ω β α= γ β β+ β= γ+ α β= α+ γ β= ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξεις στη γεωμετρική πρόοδο Ο ος όρος μίας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είαι: α = α λ
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε : α = α α = αλ α = αλ α4 = αλ Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρουμε: α = αλ α = α λ α = α λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωμετρικός μέσος). Τρείς μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α και μόο α: β = αγ Απόδειξη Έστω α,β,γ 0 τρείς διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Τότε ισχύει: β λ α = και γ β γ = = = β α β λ β αγ ΘΕΩΡΙΑ 5 Απόδειξη Άθροισμα διαδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μίας γεωμετρικής προόδου α με λόγο λ είαι: λ = S α λ Έστω: S = α+ αλ+ αλ + + αλ + αλ () Πολλαπλασιάζοτας τα μέλη της () με λ έχουμε: λs = αλ+ αλ + αλ + + αλ + αλ () Αφαιρούμε κατά και έχουμε: λs S αλ α = ή S(λ ) = α (λ ) λ =. και επειδή λ ισχύει: S α λ Παρατήρηση: Α λ = τότε όλοι οι όροι είαι ίσοι με το πρώτο όρο α οπότε S = α.
74. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 00.. Α Ομάδα:, 4, 5, 0, Β Ομάδα:,, 4, 5, 6, 7, 8,,, 4, 6. Α Ομάδα:, 4, 5, 6, 7,,, Β Ομάδα:,,, 4, 5, 6, 7, 9, 0,, 4 Β. Από τα Βιβλιομαθήματα ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα 7 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 6, 8,,, 4, 7, 8,, 5, 7 Βιβλιομάθημα 8 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 8, 9,
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 75..i. Δίεται η ακολουθία: + + + α = με. + + Δείξτε ότι είαι Α.Π. *. ii. Βρείτε ποιος όρος της ισούται με 8. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α4 + α7 + + α6 iv. Δείξτε ότι: ( ) Λύση: i. Εκτελούμε τη διαίρεση: Άρα 6 S = + α +, για κάθε. + 0 ( ) ( + + ) α = =, με + + Οπότε για ισχύει: α α = ( + ) ( ) + Άρα η α α = + + + α α α = + α + = + α είαι Α.Π. με: α = και ω= + + + + + + ii. Έστω: α = 8 = 8 = 0 = 0 Άρα ο δέκατος όρος της προόδου ισούται με 8. iii. Οι αριθμοί α, α 4, α 7,,α6 είαι οι μ πρώτοι όροι Α.Π. β με β = α = και διαφορά ω = ω= = 9 οπότε: * Με τη συτομογραφία Α.Π. εοούμε αριθμητική πρόοδο.
76. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο ( ) ( ) ( ) ( ) βμ = β + μ ω α6 = α + μ 9 α + 60 ω= α + μ 9 80 = μ 9 0= μ μ = β + 0ω α + α4 + α7 + + α6 = = β+ 0ω = Άρα ( ) iv. Ισχύου: = ( + 90) = 9 = 9 α + ( ) ω i 6S [ ( ) ] ( ) = 6 = + = = 9 ( ) ( ) i + α + = + + = + 9 Άρα: ( ) 6 S = + α + με..α. Σε μία Α.Π. α δίοται α = 8, S = 88 και ω=. Βρείτε τα α και. β. Βρείτε τέσσερις αριθμούς α ξέρετε ότι είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. με άθροισμα 6 και γιόμεο τω δύο μεσαίω το 5 Λύση: α. Ισχύου: α ( ) ( ) = α + ω 8= α + 8= α + 0 = α + α = 0 i S α ( ) + ω = 88= ( 0 + ) 88 = ( + 9) 9+ 88= 0 = και α = Οπότε ή = 8 και α = 4 ( 9) ± 9 = 9 ± = = ή = 8 β. Έστω: x ω,x ω,x+ ω,x+ ω, οι ζητούμεοι αριθμοί οπότε ισχύου: i x ω+ x ω+ x+ ω+ x+ ω= 6 4x = 6 x = 4 i ( x ω) ( x+ ω) = 5 x ω = 5 6 ω = 5 ω = ω=±
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 77. Άρα: α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:,, 5, 7 α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι: 7, 5,,. Δίοται οι ακολουθίες: α = + με και β = με i. Δείξτε ότι η α είαι Α.Π. και η β Γ.Π. * ii. Βρείτε το άθροισμα: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) iii. Μεταξύ του β και του α 7 παρεμβάλλοται οι αριθμοί x < x < x <... < xμ και όλοι μαζί αποτελού τη Α.Π. α. Δείξτε ότι: 50 ω = μ + γ με διαφορά το ω. β. Α ο έκτος εδιάμεσος της γ είαι ο έκτος όρος της β, βρείτε τα ω και μ. Λύση: [ ] ( ) i. Για ισχύει: α ( ) α = + + + + = + + = Άρα η α είαι Α.Π., με διαφορά ω= και πρώτο όρο α = 4. β+ β+ Για ισχύει: = = β + = β β β Άρα η β είαι Γ.Π., με λόγο λ = και πρώτο όρο β =. ii. Ισχύει: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) Α= ( 4+ 7+ 0+ + ) + ( + + 4+ + 5) Οι αριθμοί 4, 7, 0,..., είαι οι ρ πρώτοι όροι της Α.Π. αρ = ρ + = ρ = 0 ρ = 0 Οπότε: 4+ 4 + 7 + 0 + + = 0 = 75 α άρα: Ομοίως οι αριθμοί,, 4,..., 5 είαι οι 0 πρώτοι όροι της Γ.Π. ( 0 β ) λ 0 Οπότε: + + 4 + + 5 = = = 0 λ Άρα: Α = 75 + 0 = 98 * Με τη συτομογραφία Γ.Π. εοούμε γεωμετρική πρόοδο. β.
78. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο iii. α. Είαι: β = = α = 7+ = 5 7, οπότε οι αριθμοί,x,x, x μ,5 είαι οι μ+ πρώτοι όροι της Α.Π. γ με γ = και διαφορά ω τότε: ( ) ( ) γμ+ = 5 γ+ μ+ ω = 5 + μ+ ω = 5 50 ( μ+ ) ω = 50 ω = μ+ β. Ο έκτος εδιάμεσος είαι ο: γ7 = γ + 6 ω = + 6 ω 5 Όμως: γ = β + 6ω = β λ + 6ω = 6ω = 0 ω = 5 Άρα: μ = 9 7 6 4.i. Δίεται η Α.Π. β με β = και S4 = 6. Βρείτε το γεικό όρο β της προόδου. ii. Δίεται η ακολουθία: α = +, με. Δείξτε οτι η ακολουθία: γ = α β, με, είαι Γ.Π. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α + + α0 Λύση: β + ω S4 = 6 4 = 6 β+ ω = 6 i. Ισχύει: ( ) β + ω= 4+ ω= ω= Άρα: β ( ) = β+ ω β ( ) = + β =,με ο γεικός όρος της Α.Π. ii. Για ισχύει: γ = α β γ = + + γ = + γ οπότε: + = =, δηλαδή γ + γ γ =. Άρα η γ είαι Γ.Π. με πρώτο όρο γ = 6 και λόγο λ =. iii. S = α + α +... + α0 S = ( β + γ) + ( β + γ) + + ( β0 + γ0) ( ) ( ) S = β + β + β + γ + γ + + γ 0 0
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 79. ( 0 β ) + 9ω γ λ S = 0 + ( ) ( 0 S = 5 4+ 7 + 6 ) λ S = 55 + 6 0 S = 69 5. Δίεται Γ.Π. α για τη οποία ισχύου: α6 = 7α και α + α4 + α6 = 7 i. Βρείτε τη πρόοδο. S ii. Α 9 S =, βρείτε το. iii. Λύστε τη εξίσωση: ημ x συ( x) = 8 Λύση: i. Ισχύου: i α = 7α α λ = 7 α λ λ = 7 λ = 7 = 5 6 5 i α + α4 + α6 = 7 α λ+ α λ + α λ = 7 α + 7α + 4 = 7 7α = 7 α = ii. Ισχύει: ( ) ( ) α λ λ S = 9 S = 9 = 9 λ λ ( ) ( + + ) = 9 ( ) + + = 9 + 90= 0 Θέτουμε y= και η εξίσωση γίεται: ± 6 ± 9 + = = = = = = = iii. Λύουμε τώρα τη εξίσωση y y 90 0 y y y 9, y 0 ( ) ( ) ημ x συ x = ημ x συ x = 8 8 συx συx = ( συx) συx = 8 4 4συ x 4συx + = 0 ( συx ) = 0 π συx = 0 συx = συx = συ π π x = κπ ± x = κπ ±, με κ Z 6
80. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο 6. Δίεται Γ.Π. α με λόγο λ στη οποία ισχύου: S6 9 S = και α5 = 48 i. Βρείτε τη πρόοδο. ii. Α τώρα β Α.Π. με β6 = α5 και S5 = α5 8, βρείτε τη πρόοδο. Λύση: i. Ισχύει: ( 6 S ) 6 α λ = 9 S6 = 9S = 9S S λ ( α ) λ ( ) ( λ + = 9 S S λ + ) = 9 S λ + = = = = λ 9 λ 8 λ 8 Ακόμα ισχύει: ii. Ισχύου: β6 = α5 β + 5ω= 47 β + 4ω S5 = α5 8 5 40 Λύουμε τώρα το σύστημα: α = 48 α λ = 48 α 6= 48 α = 4 5 = ( ) + β ω 5 = 40 β + ω= 8 β + 5ω= 47 β + 5ω= 47 ω= β + ω= 8 β ω= 8 β = 7.i. Α α Γ.Π. με λ, δείξτε ότι: S α λ α = λ ii. Σε μία Γ.Π. α δίοται: α = 5, α = 80 και S = 555. Βρείτε τα λ,. iii. Βρείτε τρείς αριθμούς που α είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. α ξέρετε ότι έχου γιόμεο 4λ και άθροισμα +. Λύση: i. Ισχύει: S ( ) α λ α λ α α λ λ α α λ α = = = = λ λ λ λ α λ α ii. Ισχύει: S ( ) = λ S = α λ α λ
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 8. λ S S = α λ α λ S λ α = S α S α 555 5 550 λ ( S α) = S α λ= = = = S α 555 80 75 Ακόμα ισχύει: = = = α α λ 80 5 56 = = = 8 8 9 iii. Έστω x,x,xρ ρ οι ζητούμεοι αριθμοί τότε: i x x xρ 4λ 8 x 8 x 8 ρ = = = = = x 4 4 i + x + ( xρ) = + = 4 4ρ 4ρ 7 0 + + = + = ρ ρ ρ Θέτουμε y = ρ > 0 και η εξίσωση γίεται: 4 ( ) 7 ± 5 7± 5 4y + 7 = 0 4y 7y + 4 = 0 y = y = y 4 8 y= 4 ή y = 4 ρ = 4 ή ρ = ρ= ή ρ= ή ρ = ή ρ = 4 Οπότε οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:, 4, 8 ή, 4, 8 ή 8, 4, ή 8, 4,. 8.α. Δίεται Α.Π. α με α = εφx και ω =. Βρείτε ποιος όρος της προόδου 5 είαι ο: π ημ x + συx π π β. Α οι αριθμοί συ x,, συ x +, είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. 6 6 π βρείτε το x με: 0 < x <
8. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Λύση: π π ημ x + ημ x + α. Έστω: α ( ) = α + ω= συx συx π ημ x + εφx + ( ) = 5 συx π π ημx συ + συx ημ ημx + ( ) = συx 5 συx ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ( ) συx = 5 συx = 5 = 6 Άρα ο ζητούμεος όρος είαι ο α 6. β. Οι αριθμοί π π συ x,, συ x + 6 6 είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. Οπότε: π π συ x συ x + = 6 6 π π π π συx συ + ημx ημ συx συ ημx ημ = 6 6 6 6 π π = = 6 6 4 4 συ x συ ημ x ημ συ x ημ x συ x ημ x = συ x ( συ x) = συ x + συ x = 4συ x = συ x = 4 συx = ή π συx = συ 6 συx = απορρίπτεται διότι συx > 0 π x = κπ ±, κ Z. Όμως 6 π 0 < x <, άρα π x = 6
Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 8. 9. Σε πληθυσμό 0 6 χιλιάδω μικροβίω ρίχεται τοξική ουσία οπότε μειώεται ο πληθυσμός τους κατά το 90% τω υπαρχότω. α. Βρείτε το αριθμό τω μικροβίω ώρες από τη στιγμή που ερίφθη η τοξική ουσία. β. Βρείτε το πληθυσμό τω μικροβίω μετά από 4 ώρες. γ. Σε 4 ώρες απο τη έαρξη του πειράματος ρίχεται μία χημική ουσία που καταργεί τη δράση της τοξικής ουσίας και προκαλεί αύξηση κατά 00 χιλιάδες αά ώρα. Βρείτε σε πόσες ώρες από τη στιγμή ρίψης της χημικής ουσίας ο πληθυσμός θα ξααγίει 0 6 χιλιάδες μικρόβια. Λύση: 6 α. Αρχικός αριθμός μικροβίω α = 0 χιλιάδες μικρόβια. 0 Μετά το τέλος της ης 5 ώρας ο πληθυσμός είαι: α = α 0,9 α = 0, α = 0 0 0 0 Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α 5 Δηλαδή α γεωμ. πρόοδος με α = 0 και λ= 0,. 5 β. Είαι: ( ) 4 α = α λ = 0 0, = 00 χιλιάδες μικρόβια. γ. Μετά το 4ωρο ο πληθυσμός είαι: β0 = 00 χιλιάδες μικρόβια. Μετά το τέλος ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β0 + 00 = 00 χιλ. μικρόβια Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00 χιλ. μικρόβια... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00χιλ. μικρόβια Δηλαδή β α.π. με β = 00 και ω= 00. 6 Λύουμε τη εξίσωση β = 0 : 6 6 6 β ( ) ( ) = 0 β + ω= 0 00+ 00= 0 4 4 + = 0 = 0 = 0.000 = 9.999 ωρες
84. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο.i.το πολυώυμο Ρ(x) ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο εώ ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο 9. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) δια του x x+, έστω U(x). ii. Α α = U() με ακολουθία δείξτε ότι είαι Α.Π. και κατόπι βρείτε ποιος όρος ισούται με 57 και πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα 700.. Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x x + αx + β το οποίο ότα διαιρεθεί με το G(x) = x 4 δίει υπόλοιπο U(x) = 5x + 0. α. Βρείτε τα α,β. β. Λύστε τη εξίσωση q(x) = 0. γ. Θεωρούμε τώρα τη Α.Π. α με πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης q(x) = 0 και διαφορά τη μεγαλύτερη ρίζα. Βρείτε: i. Ποιος όρος ισούται με το 4. ii. Πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα 5.
Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 85. 4. Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x 4x x 4x i. Λύστε τη εξίσωση: q(x) = 0 ii. Βρείτε πόσους αριθμητικούς εδιάμεσους πρέπει α παρεμβάλλουμε μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης ρίζας της εξίσωσης q(x) = 0 α γωρίζουμε ότι το άθροισμα του δεύτερου και του τελευταίου εδιάμεσου είαι 9.
86. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 4. Οι αριθμοί α + α,α,α+ 4 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. α. Βρείτε το α. β. Δίεται η Α.Π. β και το πολυώυμο: 4 q(x) = β x + β x + β x + β4 x 6, που έχει παράγοτα το x εώ ότα διαιρείται με το x α αφήει υπόλοιπο 58. Βρείτε τη πρόοδο. 5. Δίεται Α.Π. α με διαφορά ω> 0. Α το α είαι η μεγαλύτερη ρίζα της 5 εξίσωσης x x x+ = 0 και η συάρτηση f(x) = ημ( ω x) + έχει ελάχιστη θετική περίοδο π. Βρείτε: i. Τα: α,ω ii. Το άθροισμα: Σ= α 5 + α6 + α7 + + α0
Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 87. 6. Δίεται η Γ.Π. α και το πολυώυμο q(x) = x α4 x + x α7 +, το οποίο έχει παράγοτα το x, εώ ότα διαιρεθεί με το x+ αφήει υπόλοιπο -9. α. Βρείτε τη πρόοδο. β. Βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με 64. γ. Λύστε τις εξισώσεις: q(x) = 0, q( συx + ) = 0 7.α. Α οι αριθμοί α, α + β, α + β είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. εώ οι αριθμοί ( ) ( ) α,β. β. Δείξτε ότι: β+, αβ+ 5, α+ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., βρείτε τους εφ αx εφ βx εφ αx εφ βx = εφ4x εφx
88. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 8.i. Οι αριθμοί α, β είαι οι δύο πρώτοι όροι μίας Α.Π. ώστε ο 4 ος όρος της α είαι κατα 6 μεγαλύτερος του πρώτου. Οι αριθμοί α,β είαι πάλι οι δύο πρώτοι όροι μίας Γ.Π. ώστε ο ος όρος της α ισούται με το ο όρο της αυξημέο κατα 6. Βρείτε τους α,β. π β ii. Α 0 < x < και εφx = : 4α α. Βρείτε το εφx. β. Α ισχύει εφ( x + ω) =, βρείτε το ω.
Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 89. α. Δίεται Γ.Π. α με λ, δείξτε ότι: Θέμα ο S v ( α ) λ = λ (Μοάδες 0) β. Δίεται Α.Π. α με α = και ω=. Συμπληρώστε το πίακα. α S 0 40 59 Θέμα ο P x αx α x β x α α. Δίεται το πολυώυμο ( ) ( ) ( ) (Μοάδες 5) = + + +, με α, β ακέραιοι, που έχει παράγοτα το x, εώ οι α, β, 5 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Βρείτε τα α, β. (Μοάδες 0)
90. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 5 ο β. Α οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., δείξτε ότι το πολυώυμο: ( ) ( ) ( ) P x = αx β α x + γ β x γ έχει μια διπλή ρίζα τη οποία και α βρείτε. (Μοάδες 5) Θέμα ο Δίεται η ακολουθία α =, με * Ν. α. Δείξτε ότι η α είαι Γ.Π. και βρείτε το α και το λόγο λ της προόδου. (Μοάδες 5) β. Βρείτε ποιος όρος τη ισούται με 48. (Μοάδες 5) γ. Ποιοι πρώτοι όροι της προόδου έχου άθροισμα 069; (Μοάδες 5) δ. Βρείτε το άθροισμα: S = α6 + α7 + α8 + α9 + α0 (Μοάδες 0)
Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 9. Θέμα 4 ο Ασθεής (Άγγλος) παίρει δόση 0mg εός φαρμάκου κάθε 4ωρο. Στο χροικό αυτό διάστημα διασπάται το 4 της ποσότητας του φαρμάκου που βρίσκεται στη αρχή του 4ώρου στο αίμα του ασθεούς. α. Βρείτε τη ακολουθία α που εκφράζει τη ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθεούς στο τέλος - 4ώρω. (Μοάδες 5) β. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που υπάρχει στο αίμα μόλις πάρει τη η δόση. (Μοάδες 0) γ. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθεής στο τέλος του πρώτου 4ώρου. (Μοάδες 0)