3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;"

Ἠσαῦ Πολίτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι Ποτε ισχυει το ισο; * ισχυει: 3 3. Ο ριθμος λ οομζετι λογος της γεωμετρικης προοδου. Τρεις ριθμοι,β,γ είι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου κι μοο : β = γ η β = γ Αποδειξη Α, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : β / = λ β γ γ / β = λ β = β =.γ Ατιστροφ : Α ισχυει β =.γ τοτε β / = γ / β, που σημιει οτι οι ριθμοι, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμ. προοδου. Ο ριθμος β λεγετι γεωμετρικος μεσος τω κι γ. Σε μι γεωμετρικη προοδο ( ) με λογο λ, ισχυου: - (λ - ) = λ S = λ η S = λ= λ- Αποδειξη Το θροισμ τω πρωτω ορω γεωμ. προοδου, διετι : S = +.λ +.λ λ +.λ () κι - - v 3 - v λs =.λ +.λ +.λ λ +.λ () (λ - ) Απο () - () : λs - S =.λ - (λ - )S = (λ - ) S = v v v v λ - M ε θ ο δ ο ς ( Δ ι δ. Ο ρ ο ι Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η ς Π ρ ο ο δ ο υ ) A, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, δειχτει οτι κι οι : ( - β + γ), + β + γ, ( + β + γ) ειι επισης διδ. οροι γεωμετρικης προοδου. ο Βημ : Βρισκουμε τη δοσμεη σχεση : Αφου οι, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : β = γ () ο Βημ : Ελεγχουμε οι τρεις ζητουμεοι οροι ειι διδοχικοι : Γι ειι οι ( - β + γ), + β + γ, ( + β + γ) διδ. οροι γεωμ. προοδου πρεπει : ( + β + γ ) = ( - β + γ) ( + β + γ) ( + β + γ ) = [( + γ) - β ] ( + β + γ ) = [( + γ) - γ] ( + β + γ ) = ( + γ + γ - γ) () ( + β + γ ) = ( + γ + γ ) ( + β + γ ) = ( + β + γ ) που ληθευει. * τοιος ωστε γι κάθε ισχυει: + = + ω η + - = ω Ο ριθμος H Εοι ω οομζετι του διυσμτος διφορ της ριθμητικης προοδου. Τρεις ριθμοι,β,γ είι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου κι μοο : + γ β=+γ η β = () Κε τη επισκεψη σου στο :

2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ M ε θ ο δ ο ς ( Α θ ρ ο ι σ μ π ρ ω τ ω ο ρ ω Γ. Π. ) Το θροισμ τω πρωτω ορω γεωμετρικης προοδου ισουτι με, εω το θροι - σμ τω 8 πρωτω ορω της ισουτι με. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι ο λογος λ. ο Βημ : Σχημτιζουμε συστημ Χ με τ δοσμε : S = S 8 = ο Βημ : Λυουμε το συστημ που προκυπτει : λ - λ - λ - = = = λ - (:) λ - λ - λ - = λ λ - λ - λ - = 7 = = 8 λ - λ - λ - λ - = 7(λ - ) λ - λ - λ =y λ - λ - λ =y = = = = λ - λ - λ - λ - 8 λ - 7λ + 6 = 0 y - 7y + 6 = 0 y = η y = 6 λ = η λ = 6 λ - λ - = = = = -3 λ - λ - η λ = λ = - λ = ±(πορ) η λ = ± λ = ± Κε τη επισκεψη σου στο :

3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Εστω γεωμετρικη προοδος με πρωτο ορο = κι λογο λ =. Ν βρεθει ο πεμπτος ορος της. Α το θροισμ τω πρωτω ορω της ειι ισο με, τοτε βρεθει το πληθος τω ορω υτω. Εστω γεωμετρικη προοδος με = κι = 3. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει ο λογος λ. 3 6 Ν βρεθει το θροισμ τω 0 πρωτω ορω της. Ο τυπος του - οστου ορου Γ.Π. διετι πο : - =.λ. Α =, τοτε : = λ = = 6 λ - - Το θροισμ τω πρωτω ορω Γ.Π. διετι πο : S v =. λ - Ομως, λ - - S v = =. = - = = = = 9 λ - - = λ = λ = λ = = (:) 3 = = 3 λ = 3 λ = 8 λ = λ = λ = Αρ, =. = - = 0 - = S 03 - Α οι ριθμοι συ, ημβ, συβ, ημ ποτελου διδοχικους ορους γεωμετρικης προ - οδου, τοτε δειχτει οτι : συ( - β) =. 9 Κε τη επισκεψη σου στο : Αφου συ, ημβ, συβ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου τοτε : ημ β = σ υσυβ () Αφου ημβ, συβ, ημ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου τοτε : συ β = ημημβ () Οποτε, προσθετοτς κτ μελη τις () κι () προκυπτει ημ β + συ β = συσυβ + ημημβ = συσυβ + ημημβ συ( - β) = ημ β+συ β= συ(x-y)=συxσυy +ημxημy

4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Εστω γεωμετρικη προοδος με : + = 9 κι. = 8. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει ο λογος λ. 3 Εστω γεωμετρικη προοδος με + λ = κι = 6. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει ο λογος λ. Ν βρεθει το θροισμ τω πρωτω ορω της λ = 9 + = 9 + λ = 9 + λ = = 8 λ = 3 ( λ )( λ ) = 8 λ = = = = 0 = η = λ = λ = λ = λ = = = 8 = 8 = 3 8 η η 3 λ = λ = λ = λ = 8 + λ = + λ = οποτε οι ριθμοι, λ ειι ριζες της εξισωσης : = 6 λ = 6 x - x + 6 = 0 (x =, x = 3) ( =, λ = 3) η ( = 3, λ = ) 3 - Α = κι λ = 3, τοτε : S = = 8 - = Α = 3 κι λ =, τοτε : S = = (6 - ) = 30 - N βρεθει ο x, οι ριθμοι x - 3, - x, x - με x ποτελου δ.ο.γ.π.. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; A, β, γ ειι δ.ο.γ.π., δειχτει οτι κι οι ( - β + γ), + β + γ, ( + β + γ) ειι επισης δ. ο.γ.π.. Αφου οι x - 3, - x, x - ειι διδοχικοι οροι γεωμ. προοδου, τοτε : x< (x - 3)(x - ) = ( - x) x - x + 6 = - x x - 3x + == 0 x x - x - x + = 0 x(x - ) - (x - ) = 0 (x - )(x - ) = 0 x = η x = x = Γι x = οι διδοχικοι οροι ειι : -,, -. Αφου οι, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, τοτε ισχυει : β = γ () Γι ειι οι ( - β + γ), + β + γ, ( + β + γ) διδοχικοι οροι ( + β + γ ) = ( - β + γ) ( + β + γ) ( + β + γ ) = [( + γ) - β ] ( + β + γ ) = [( + γ) - γ] ( + β + γ ) = ( + γ + γ - γ) () γεωμ. προοδου πρεπει : ( + β + γ ) = ( + γ + γ ) ( + β + γ ) = ( + β + γ ) που ληθευει. () Κε τη επισκεψη σου στο :

5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 3 N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτελου διδοχικους ορους γεωμετρι - κης προοδου, το θροισμ τους ειι κι το γιομεο τους 6. N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτελου διδοχικους ορους γεωμετρι - κης προοδου, το θροισμ τους ειι κι στο μεσιο προσθεσουμε το ριθ - μο, τοτε οι τρεις κεριοι γιοτι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου. x Εστω, x, λx ειι οι τρεις ζητουμεοι κεριοι (δ.οροι Γ.Π.). λ x + x + λx = x + x + λx = + + λ = λ 0 λ x = λ λ x 3 λ - λ + = 0 x λx = 6 x = 6 x = λ x = λ = η λ = λ - λ + = 0 λ = : οι διδοχικοι οροι ειι :,, 8 λ = : οι διδοχικοι οροι ειι : 8,, x + x + λx = (x + ) + x = x + + x = x = λ x x x x + = + λx x + = + λx 0 = + λ (x + ) = + λx λ λ λ λ x = x = λ = : οι διδοχικοι οροι ειι :,, 8 λ = η λ = λ = : οι διδοχικοι οροι ειι : 8,, Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο κι λογο λ, ισχυει : = λ 3 - = Ν βρεθει η προοδος κι το θροισμ τω πρωτω ορω της. Το θροισμ τω πρωτω ορω γεωμετρικης προοδου ισουτι με, εω το θροι - σμ τω 8 πρωτω ορω της ισουτι με. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι ο λογος λ. = λ = λ = λ = λ = λ - = λ λ - λ = λ - λ - 6 = 0 - λ - - Οποτε, = = = ( - ) = (6 - ) = = = λ = λ = λ = η γ.π. : 3, 8, 6,... λ - λ - 6 = 0 (λ - )(λ + λ + 3) = 0 λ = λ = S 60 λ - - λ - λ - λ - S = = = = λ - (:) λ - λ - λ - = λ - S 8 = λ - λ - λ - 8 = 7 λ - = 7(λ - ) = = λ - λ - λ - λ - λ - λ =y λ - λ - λ =y = = = = λ - λ - λ - λ - 8 λ - 7λ + 6 = 0 y - 7y + 6 = 0 y = η y = 6 λ = η λ = 6 Κε τη επισκεψη σου στο :

6 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ λ - λ - = = = = -3 λ - λ - η λ = λ = - λ = ±(πορ) η λ = ± λ = ± Μετξυ τω ριθμω 3 κι 768 πρεμβλουμε 7 κεριους ριθμους, ωστε ολοι μζι ποτελου ορους γεωμετρικης προοδου. Ν βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. Ν βρεθει το θροισμ τω 6 πρωτω ορω της. Μετξυ τω ριθμω κι 8 πρεμβλουμε γεωμετρικους εδιμεσους, ωστε το θροισμ τω ορω της γεωμετρικης προοδου ειι ισο με. Ποσους ορους θ πρεμβλουμε; Ν βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. Γι τη γεωμετρικη προοδο γωριζουμε οτι : = 3 = 768 = 9 Οποτε 9 9 = = 768 λ = 8 3λ = 768 λ = 6 λ = λ = S = 6 6 =3 6 λ - - λ - λ= - = 3 = 3(6 - ) = 3 63 = 89 Γι τη γεωμετρικη προοδο γωριζουμε οτι : = = 8 S = v Οποτε λ - = λ - λ.6 - S = v = = = λ - λ - λ - = λ = 8 λ = 8 λ = 6 6λ - = 7λ λ = 6 λ = λ = λ = λ = 6 λ = 8 = - = 6 = 7 Αρ θ πρεμβλουμε ορους. Σ'ε τουρου τεις πιρου μερος τειστες κι γωιζοτι με το συστημ οκ ουτ (ο χμεος ποχωρει, ο ικητης συεχιζει). Α οι ικητες διου ε γω κθημερι, υτος που θ φτσει στο τελικο, ποσους γωες θ εχει δωσει συολικ; Τη πρωτη μερ γωιζοτι τειστες, τη δευτερη οι μισοι, κι τη ημερ του τε - λικου. Το πληθος τω θλητω κολουθει γεωμετρικη προοδο. Γι τη γεωμετρικη προοδο γωριζουμε οτι : = = λ = Κε τη επισκεψη σου στο : Οποτε λ= = - = λ = = = - = 8 = 9 6 Αρ ο θλητης που φτει στο τελικο διει συολικ 9 γωες.

7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Εστω γεωμετρικη προοδος με : Eιι - = 8 κι + =. 3 =.λ + Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. β = γ,, β, γ δ. ο. γ. π. Ν βρεθει ο λογος λ. - = λ Ν βρεθει ο εβδομος ορος της. 7 λ - S = λ - Εστω γεωμετρικη προοδος με = 8 κι = 38. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Ν βρεθει ο λογος λ. Ν βρεθει το = γ = β + β + γβ. 8 Εστω γεωμετρικη προοδος με : =.λ + + = 0 κι = 6. β = γ,, β, γ δ. ο. γ. π. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. - = λ Ν βρεθει ο λογος λ. λ - Εστω γεωμετρικη προοδος με + λ = 7 κι = 0. 3 S = λ - Ν βρεθει ο πρωτος ορος της. Α ειι γωστ τ + β κι β, Ν βρεθει ο λογος λ. τοτε οι ριθμοι, β ειι ριζες Ν βρεθει το θροισμ τω 7 πρωτω ορω της. της : x - ( + β)x + β = 0 N βρεθει ο x, οι ριθμοι 9 - x, 9 - x, 3 - x =.λ + ποτελου διδοχικους ορους γεωμετρικης προ - β = γ,, β, γ δ. ο. γ. π. οδου. Ποιοι ειι οι οροι υτοι; - = λ A, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προ - λ - οδου, δειχτει οτι : S = λ β γ + + = + β + γ β γ A, + β, + β + γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, δειχτει οτι : + γ + γ β + γ A,, ειι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου, δειχτει οτι οι - γ γ - ριθμοι, β, γ ειι διδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου. Κε τη επισκεψη σου στο : Α οι ριθμοι ημβ, ημ, συ, συβ ποτελου δι - δοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, τοτε δει - χτει οτι : ημ( + β) =. Χρησιμοποιουμε τη σχεση β = γ στους τρεις πρωτους κι στους τρεις τελευτιους... συ( - β) = συσυβ + ημημβ ημ( + β) = ημσυβ + συημβ

8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτε - λου διδοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, το θροισμ τους ειι κι το γιομεο τους 6. N βρεθου τρεις κεριοι ριθμοι που ποτε - λου διδοχικους ορους γεωμετρικης προοδου, το θροισμ τους ειι 70 κι πολλπλσισου - με το μεσιο με κι τους κρους με, τοτε οι τρεις κεριοι γιοτι διδοχικοι οροι ριθμητικης προοδου. Α οι ριθμοι, β, γ ειι τυτοχρο διδοχικοι οροι ριθμητικης κι γεωμετρικης προοδου, δειξετε οτι : = β = γ. Προκειμεου βρουμε τρεις δ.ο. γ.π., τους συμβολιζουμε : x, x, λx λ Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο κι λογο λ, =.λ + ισχυει : = 3λ + = 8 β = γ,, β, γ δ. ο. γ. π. Ν βρεθει η προοδος κι το θροισμ τω πρω - - = λ τω ορω της. λ - Το θροισμ τω 3 πρωτω ορω γεωμετρικης S = λ - προοδου ισουτι με, εω το θροισμ τω 3 επο - μεω ορω της ισουτι με 68. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι ο λογος λ. Το θροισμ τω 3 πρωτω ορω γεωμετρικης προοδου ισουτι με 90, εω το θροι - σμ τω 6 πρωτω ορω της ισουτι με 0. Ν βρεθει ο πρωτος ορος της προοδου κθως κι ο λογος λ. Σε γεωμετρικη προοδο με πρωτο ορο κι λογο λ, ισχυει : S = 8S S = Ν βρεθει η προοδος. Μετξυ τω ριθμω κι 60 πρεμβλουμε Α μετξυ τω ριθμω κι κεριους ριθμους, ωστε ολοι μζι ποτελου β πρεμβλουμε κ ριθμους, ορους γεωμετρικης προοδου. ωστε προκυψει γεωμετρικη Ν βρεθει ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. προοδος, τοτε : Ν βρεθει το θροισμ τω πρωτω ορω της. = = β κ+ Μετξυ τω ριθμω 3 κι 377 πρεμβλουμε γεωμετρικους εδιμεσους. Α ο τετρτος ορος της γεωμετρικης προοδου ειι ισο με, τοτε : Ποιος ειι ο λογος λ της γεωμετρικης προοδου. Ποσους ορους θ πρεμβλουμε; Κε τη επισκεψη σου στο :

9 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 3 Ε κυττρο δισπτι κθε μερ σε δυο ε κυτ - =.λ τρ κι το κθε εο κυττρο δισπτι σε δυο + κυττρ τη επομεη κλπ. Ποσ κυττρ θ υ - β = γ,, β, γ δ. ο. γ. π. - πρχου συολικ τη 0η μερ; = λ λ - S = Κποιος ποτμιευει 00 ευρω το 00, 300 ευρω λ - το 00, 900 ευρω το 003 κι συεχιζει με το ιδιο ρυθμο. Ποσ ευρω θ ποτμιευσει το 00; Ποσ ευρω συολικ θ εχει ποτμιευσει μεχρι το 00; Κε τη επισκεψη σου στο :

Σχετικά έγγραφα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη