Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Transcript

1 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί σχέση που συδέει δύο ή περισσότερους γεικούς όρους της κοουθίς πχ +,. -, με τη βοήθει της οποί μπορούμε βρούμε οποιοδήποτε άο όρο της κοουθίς. Αριθμητική Πρόοδος(Α.Π) Ορισμός: Μί κοουθί οομάζετι ριθμητική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με πρόσθεση του ίδιου ριθμού ω. Ο ριθμός ω οομάζετι διφορά της προόδου. + = +ω + - =ω -οστός όρος Α.Π : = +(-)ω Διδοχικοί Όροι Α.Π : Τρείς ριθμοί,β,γ οομάζοτι διδοχικοί όροι Α.Π κι μόο ισχύει: +γ β=+γ β= Πρτηρήσεις:. Ο ριθμητικός Μέσος δύο οποιωδήποτε ριθμώ,β είι το ημιάθροισμά τους δηδή +β.. O ριθμητικός μέσος τω,,,..., είι ο Αθροισμ πρώτω όρω Α.Π : Α γωρίζουμε το πρώτο κι το -οστό όρο,κθώς κι το πήθος τω όρω χρησιμοποιούμε το τύπο: S = ( + )

2 65 Α γωρίζουμε το πρώτο όρο,τη διφορά ω κι το πήθος τω όρω,χρησιμοποιούμε το τύπο : S = [ +(-)ω]. Πρτηρήσεις γι τη επίυση Ασκήσεω Οτ μς ζητείτε δείξουμε οτι μί κοουθί είι Α.Π i)α γωρίζουμε το -οστό όρο,βρίσκουμε το όρο + κι ποδεικύουμε ότι η διφορά + - είι στθερή δηάδή δε εξρτάτι πό το. Α γωρίζουμε το άθροισμ S έχουμε : S ii) S= S =S + < S -S Έτσι βρίσκουμε το όρο κι συεχίζουμε όπως κριβώς πρπάω. π.χ : ι)ν ποδείξετε ότι η κοουθί =-5 είι Α.Π ιι)το άθροισμ τω πρώτω όρω μις κοουθίς ( ) είι S = -, ποδείξετε ότι είι Α.Π. ι) Θέτοτς όπου το + έχουμε + =(-)-5=-.Στη συέχει βρίσκουμε τη διφορά Αρ είι Α.Π με ω= κι γι =: =- + - =--(-5)=--+5= ιι) Ισχύει ( S = - -(-)= άρ = S -S = --( -5-) =4- - κι τότε + =4(+)-=4+ Αρ είι Α.Π με ω=4 κι = άρ + - =4+-(4-)=4 Οτ ζητείτι ο πρώτος όρος κι η διφορά μίς Α.Π δεδομέω κάποιω σχέσεω μετξύ διφόρω όρω της Α.Π Σ υτή τη περίπτωση τικθιστούμε τους γωστούς όρους πό τη σχέση = +(-)ω οπότε προκύπτει έ σύστημ εξισώσεω με γώστους τ,ω. π.χ Δίετι μί Α.Π της οποίς ο 7 ος όρος είι 9,εώ το άθροισμ του 4 ου του 9 ου είι 6.Ν βρείτε το πρώτο όρο κι τη διφορά. κι

3 66 = +6ω Ï 7 Ï +6ω=9 +6ω=9 Ï Ï <, Ì Ì Ì fiì + =6 +ω + +8ω =6 +ω 9 =6 4 ω= Ó Ó Ó Ó Αριθμητική Πρεμβοή Οτ θέουμε πρεμβάουμε ριθμούς μετξύ δύο άω,έστω,β,ώστε όοι μζί είι διδοχικοί όροι Α.Π: i. Θεωρούμε το πρώτο όρο της προόδου το,δηδή =,τότε + =β ii. Χρησιμοποιούμε το τύπο = +(-)ω ώστε προσδιορίσουμε τη διφορά ω. iii. Προσθέτουμε τη διφορά ω στο προηγούμεο όρο κι βρίσκουμε το επόμεο. π.χ Ν πρεμβάετι 7 ριθμούς μετξύ τω ριθμώ κι 50 ώστε όοι μζί είι διδοχικοί όροι Α.Π. Εστω,χ, χ, χ,..., χ 7,50 τότε = κι 9 = +8ω 50=+8ω 8ω=48 ω=6. Αρ οι όροι είι,8,4,0,6,,8,44,50. Αθροίσμτ όρω Α.Π με περιττή ή άρτι τάξη i. Οι όροι περιττής τάξης,, 5,...ποτεού μί έ Α.Π με διφορά ω =ω ii. Οι όροι άρτις τάξης, 4, 6,...ποτεού μί έ Α.Π με διφορά ω =ω. Προσδιορισμός διδοχικώ όρω Α.Π,ότ γωρίζουμε το θροισμ τους i. Οτ γωρίζουμε το άθροισμ περιττού πήθους διδοχικώ όρω Α.Π συμβοίζουμε το μεσίο όρο με χ κι οι υπόοιποι όροι:...,χ-ω,χ-ω,χ-ω,χ,χ+ω,χ+ω,χ+ω,... ii. Οτ γωρίζουμε το άθροισμ άρτιου πήθους διδοχικώ όρω Α.Π συμβοίζουμε τους δύο μεσίους όρους με χ-ω, χ+ω κι οι υπόοιποι όροι:...,χ-5ω,χ-ω,χ-ω,χ+ω,χ+ω,χ+5ω,... π.χ ι)ν βρείτε πέτε κέριους ριθμούς που ποτεού διδοχικούς όρους Α.Π κι έχου άροισμ 0 κι γιόμεο -560.

4 67 ιι)ν βρείτε τέσσερις κέριους που ποτεού διδοχικούς όρους Α.Π κι έχου άθροισμ 4 κι γιόμεο 05. ι)συμβοίζουμε τους όρους: χ-ω,χ-ω,χ,χ+ω,χ+ω κι συμφω με τις υποθέσεις της άσκησης έχουμε χ-ω+χ-ω+χ+χ+ω+χ+ω=0 5χ=0 χ=4. Επίσης (χ-ω)(χ-ω)χ(χ+ω)(χ+ω)=-560 (4-ω)(4-ω)4(4+ω)(4+ω)=-560 4(6-ω )(6-4ω )=-560 6(6-ω )(4-ω )=-560 (6-ω )(4-ω )=-5 ω 4-0ω +99=0. Θέτουμε ω =κ κι έχουμε κ -0κ+99=0 ύοτς το τριώυμο βρίσκουμε κ= ή κ=9 άρ ω < ω= που πορρίπτετι γιτί οι ριθμοί που προκύπτου δε είι κέριοι. ω < 9 ω=. Γι ω= κι χ=4 προκύπτου -,,4,7,0 Γι ω=- κι χ=4 προκύπτου 0,7,4,,- Επομέως σε κάθε περίπτωση οι ζητούμεοι ριθμοί είι -,,4,7,0 ιι)συμβοίζουμε τους όρους χ-ω,χ-ω,χ+ω,χ+ω κι έχουμε χ-ω+χ-ω+χ+ω+χ+ω=4 4χ=4 χ= Επίσης (χ-ω)(χ-ω)(χ+ω)(χ+ω)=05 (χ -9ω )(χ -ω )=05 9ω 4-0ω -04=0 Λύοτς τη εξίσωση όπως κριβώς κι πρπάω προκύπτει 6 ω =, Αδύτη κι ω =4 ω= 9 Γι ω= κι χ= προκύπτου οι όροι -5,-,,7 Γι ω=- κι χ= προκύπτου οι όροι 7,,-,-5 Σε κάθε περίπτωση οι όροι που προκύτου είι -5,-,,7

5 68 Γεωμετρική Πρόοδος Ορισμός: Μί κοουθί οομάζετι γεωμετρική πρόοδος, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεο με ποπσισμό του επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό ριθμό.ο ριθμός οομάζετι όγος της προόδου. + = = + -οστός όρος Α.Π : = - Σε μί Γ.Π υποθέτουμε πάτ 0(γιτί ιώς όοι οι όροι θ είι 0) κι φού 0 προκύπτει ότι 0(κές όρος δε είι 0) Διδοχικοί Όροι Α.Π : Τρείς ριθμοί,β,γ οομάζοτι διδοχικοί όροι Γ.Π κι μόο ισχύει: β =γ Ο θετικός ριθμός γ οομάζετι γεωμετρικός μέσος τω,γ. Δύο ετερόσημοι ριθμοί δε έχου γεωμετρικό μέσο. Δύο ίσοι ριθμοί έχου γεωμετρικό μέσο τη πόυτη τιμή τους. Α έχουμε 4 διδοχικούς όρους Γ.Π,β,γ,δ τότε ισχύει β =γ κι γ =βδ άρ ισχύει κι γ=βδ. Αθροισμ πρώτω όρω Α.Π : - S= με - Α δε γωρίζουμε το πήθος τω όρω της Γ.Π ά τ, κι το έχουμε : S = = = = Πρτηρήσεις γι τη επίυση Ασκήσεω Οτ μς ζητείτε δείξουμε οτι μί κοουθί είι Γ.Π Α γωρίζουμε το -οστό όρο,βρίσκουμε το όρο + κι ποδεικύουμε ότι ο όγος + είι στθερός δηάδή δε εξρτάτι πό το. Α γωρίζουμε το άθροισμ S έχουμε : S S= S =S + < S -S Έτσι βρίσκουμε το όρο κι συεχίζουμε όπως κριβώς πρπάω.

6 69 π.χ ι)ο -οστός όρος μίς κοουθίς δίετι πό το τύπο ότι είι Γ.Π κι βρείτε τ,. + =.Ν δείξετε - ιι)το άθροισμ τω πρώτω όρω μίς κοουθίς είι S =( -). Ν δείξετε ότι είι Γ.Π κι βρείτε τ,. ι)θέτουμε όπου το + κι έχουμε + = +.Στη συέχει εξετάζουμε το όγο (+) -(-) - = < < < < < στθερός Αρ είι Γ.Π με = κι =9 ιι)θέτουμε όπου το - κι έχουμε S - =( - -) κι έτσι βρίσκουμε 4 =S -S - =( -)- ( - -)=, <. Ετσι έχουμε < 4 <. Αρ είι Γ.Π με = κι =4. Γεωμετρική Πρεμβοή Εστω ότι έχουμε δύο μη μηδεικοί ριθμοί,β με β κι θέουμε τοποθετήσουμε άμεσ τους, το πήθος ριθμούς,ώστε όοι μζί ποτεού διδοχικούς όρους Γ.Π,τότε: Θεωρούμε χ,χ,...,χ τους ριθμούς που ψάχουμε. Σχημτίζουμε τη Γ.Π, χ,χ,...,χ,β. Διπιστώουμε = κι + =β κι έτσι έχουμε + = + β= + = Ï Ì Ó β +, άρτιος β +, περιττός

7 70 Ατικθιστούμε το στο τύπο = - κι βρίσκουμε τους υπόοιπους όρους. π.χ Μετξύ τω ριθμώ 9 κι 6 βρείτε 5 ριθμούς,ώστε όοι μζί ποτεού διδοχικούς όρους Γ.Π Εστω χ,χ,χ,χ 4,χ 5 οι όροι που ζητάμε τότε οι ριθμοί 9, χ,χ,χ,χ 4,χ 5,6 είι διδοχικοί όροι Γ.Π με = 9 7=6,έτσι έχουμε: 7 =6 6 =6 9 6 =6 6 =79 =. Γι = : Γι =- : 9,,,6,8,54,6 9,-,,-6,8,-54,6 Αθροίσμτ Ορω Γ.Π που έχου άρτι ή περιττη τάξη Εστω ( ) μί Γ.Π με όγο,τότε: Οι όροι,, 5,...,με περιττή τάξη ποτεού μί έ Γ.Π με όγο =. Οι όροι, 4, 6,...,με άρτι τάξη ποτεού μί έ Γ.Π με όγο =. Οι όροι κ, κ, κ,... ποτεού μί έ Γ.Π με όγο = κ Προσδιορισμός διδοχικώ όρω Γ.Π,ότ γωρίζουμε το γιόμεό τους Οτ γωρίζουμε το γιόμεο περιττού πήθους διδοχικω όρω μίς Γ.Π,συμβοίζουμε με χ το μεσίο όρο κι ο όγος της Γ.Π χ χ χ έχουμε :...,,,,χ,χ, χ,... Οτ γωρίζουμε το γιόμεο άρτιου πήθους διδοχικω όρω μίς Γ.Π,συμβοίζουμε με χ κι χ τους δύο μεσίους όρους κι τότε είι ο όγος της Γ.Π,οπότε έχουμε χ χ χ...,,,,χ, χ,... 5

8 7 π.χ ι) Ν βρείτε ριθμούς που ποτεού διδοχικούς όρους Γ.Π κι έχου γιόμεο 8,εώ το άθροισμ τω τιστρόφως τους είι /8. ιι)ν βρείτε 4 ριθμούς που ποτεού διδοχικούς όρους Γ.Π κι έχου γιόμεο 64,εώ ο τρίτος είι ίσος με το τετράγωο του δεύτερου. ι) Εστω χ,χ,χ οι ζητούμεοι ριθμοί τότε έχουμε χ χ χ=8 χ < 8 χ= Επίσης: + + = + + = = 4-7+4=0 =4 ή = χ χ χ Γι χ= κι =4:,,8 Γι χ= κι = 4 : 8,, Σε κάθε περίπτωση οι ζητούμεοι ριθμοί είι,,8 Αθροισμ Απείρω Ορω Γ.Π: a S= - με <