Μελέτη και Σχεδίαση Γραμμικού Digital to Analog Converter

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μελέτη και Σχεδίαση Γραμμικού Digital to Analog Converter Διπλωματική Εργασία των Τιμοθέου Τιμόθεου του Παναγιώτη (ΑΜ:649) και Χρίστου Χρίστου του Γεωργίου (ΑΜ:657) Επιβλέπων: Κ. Ευσταθίου Αρ. Διπλ. Εργ.: ΠΑΤΡΑ

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα: «Μελέτη και Σχεδίαση Γραμμικού Digital to Analog Converter» Των φοιτητών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τιμοθέου Τιμόθεου του Παναγιώτη (ΑΜ:649) και Χρίστου Χρίστου του Γεωργίου του (ΑΜ:657) Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 5 Φεβρουαρίου Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Κ. Ευσταθίου Ε. Χούσος Επ. Καθηγητής Καθηγητής

Αρ. Διπλ. Εργ.: Θέμα: «Μελέτη και Σχεδίαση Γραμμικού Digital to Analog Converter» Διπλωματική Εργασία των φοιτητών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών: Τιμοθέου Τιμόθεου του Παναγιώτη (ΑΜ:649) και Χρίστου Χρίστου του Γεωργίου του (ΑΜ:657) Επιβλέπων Κ. Ευσταθίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία μελετάται η δομή και τα χαρακτηριστικά ενός νέου μετατροπέα ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (Digital to Analog Converter DAC). Η δομή του DAC βασίζεται στη γνωστή δομή του συμβατικού Ladder και θα μπορούσε να θεωρηθεί σαν μία δισδιάστατη ανάπτυξη του Ladder. Αυτό σημαίνει ότι η νέα μορφή του DAC χρησιμοποιεί σαφώς περισσότερες αντιστάσεις από τον συμβατικό Ladder, όμως δίνεται η δυνατότητα της ρύθμισης του ρεύματος εξόδου του κάθε κλάδου. Αυτό έχει ως συνέπεια τη δραματική βελτίωση της γραμμικότητας του DAC. Επιπλέον στην Εργασία αυτή μελετήθηκαν με χρήση της θεωρίας των πιθανοτήτων τα χαρακτηριστικά του απλού Ladder και χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν στη γραμμικότητα της νέας δομής Ladder. Τα θεωρητικά αποτελέσματα επιβεβαιώθηκαν με εξομοιώσεις. Τέλος, μία σχεδίαση σε φυσικό επίπεδο με την χρήση μόνο MOSFETS και CMOS τεχνολογίας (χωρίς την χρήση αντιστάσεων) σχεδιάσθηκε και εξομοιώθηκε στο Cadence ένας Ladder της νέας δομής. ABSTACT This Diploma Thesis studies on a new Digital to Analog Converter (DAC) structure developed in the Applied Electronics Laboratory of the University of Patras. The new DAC structure is based on the simple ladder combining several of them in a -dimentional grid. As result a high linearity DAC is derived after a simple calibration procedure. The Diploma Thesis presents results on probability of the simple Ladder, employs these results so as to forecast the linearity of the -dimentional Ladder, whereas confirms theoretical results with simulations. Finally, a DAC based on the -dimentional topology has been designed and simulated using Cadence, in the framework of this Diploma Thesis.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Σε αυτό το σημείο θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τον καθηγητή μας, κ. Κωνσταντίνο Ευσταθίου, για το πολύ ωραίο θέμα που μας εμπιστεύθηκε, καθώς και για την εποικοδομητική καθοδήγηση καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Οι επιστημονικές του γνώσεις αποτέλεσαν τη βάση της διπλωματικής μας εργασίας και χωρίς αυτές, η περάτωσή της θα ήταν πολύ πιο δύσκολη. Τέλος, θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε και να εκφράσουμε την ευγνωμοσύνη μας προς τους γονείς μας για τη διαρκή υποστήριξή τους, τόσο οικονομικά όσο και ψυχολογικά, δείχνοντας μας κατανόηση και εμπιστοσύνη.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTACT... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ LADDE DAC... 5. ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ LADDE DAC... 5.. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΥΠΩΝ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΓΙΑ ΣΕΙΡΙΑΚΟ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ5... Αντιστάσεις εν Σειρά... 6... Αντιστάσεις Παράλληλα... 6.. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑ LADDE DAC... 7..3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ.. 4-BITS LADDE DACS.... ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΕΝΟΣ LADDE DAC... 3 ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΤΟΥ LADDE DAC... 5 3. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΝΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΤΟΥ DAC... 5 3.. Η X ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΟ MSB... 6 3.. Η X ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΟ MSB-... 9 3..3 Η X ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΟ MSB-... 3..4 Η X ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΟ MSB-3... 5 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΑΘΕΤΑ BIT ΕΝΟΣ DAC... 8 3.. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΟΠΟΥ Η X ΕΙΝΑΙ ΣΤΟ BIT ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ... 9 3.. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΟΠΟΥ Η X ΕΙΝΑΙ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ BIT ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ:... 3 3..3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΟΠΟΥ Η X ΕΙΝΑΙ ΔΕΞΙΑ ΑΠΟ ΤΟ BIT ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΥΜΕ... 35 3.3 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΣΤΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΤΟΥ DAC... 37 3.3. ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΑΘΕΤΑ BIT ΕΝΟΣ DAC ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΙΑΣ X... 37 3.3.. Περίπτωση όπου η x είναι στο Bit που εξετάζουμε... 37 3.3.. Περίπτωση όπου η x είναι αριστερά από το bit που εξετάζουμε... 38 3.3..3 Περίπτωση όπου η x είναι δεξιά από το bit που εξετάζουμε:... 39 3.3. ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΚΑΘΕΤΑ BITS ΕΝΟΣ DAC, ΥΠΟ ΤΗΝ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ X 4 4 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΝΟΣ LADDE DAC... 45 4.. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΟΥ INL... 45 4.. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ INL... 46 4. ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ INL ΑΠΟ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ 5. DACS... 5 4.. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΞΟΜΟΙΩΣΗΣ... 5 4.. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ... 58 4.3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΝΑ ΠΑΡΟΥΜΕ ΕΝΑΝ X-BITS DAC... 74 5 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ DAC ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΥΨΗΛΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ... 77 5. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ DAC:... 77 5. Η ΡΥΘΜΙΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ DAC... 8 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 9

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις μέρες μας, μια τυπική επεξεργασία σήματος έχει αυξημένες απαιτήσεις, με αποτέλεσμα να γίνεται χρήση ψηφιακής παρά αναλογικής επεξεργασίας, αφού η πρώτη έχει μεγαλύτερες δυνατότητες. Κατά συνέπεια, η μετατροπή του σήματος είναι αναγκαία, δεδομένου ότι τις περισσότερες φορές τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι αναλογικά. Οι απαιτήσεις μετατροπής σήματος, όσον αφορά στην ταχύτητα μετατροπής, στην ανάλυση, στην ακρίβεια και στην κατανάλωση ισχύος αυξάνονται συνεχώς. Η σύγχρονη τεχνολογία για την μετατροπή του ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (DAC) επιδεικνύει τεχνικές οι οποίες έχουν επιτύχει σημαντικές βελτιώσεις όσον αφορά τα προαναφερθέντα χαρακτηριστικά. Ωστόσο υπάρχουν δυσκολίες που εμποδίζουν τον σχεδιασμό και την κατασκευή ενός DAC που να ικανοποιεί όλες τις απαιτήσεις. Αφενός οι κορυφαίοι DACs, όπως ο ΔΣ Conversion και οι dynamically calibrated πηγές ρεύματος προσφέρουν υψηλή γραμμικότητα και ανάλυση, αλλά χαμηλή ταχύτητα μετατροπής. Αφετέρου οι DACs που βασίζονται στην τοπολογία Ladder, προσφέρουν υψηλή ταχύτητα μετατροπής, μικρό χώρο υλοποίησης και χαμηλή κατανάλωση ενέργειας, αλλά χαμηλή απόδοση στη γραμμικότητα. Οι τεχνικές που μπορούν να προσφέρουν υψηλή απόδοση σε ταχύτητα, γραμμικότητα και ανάλυση περιλαμβάνουν τους Thermometer code DACs, με τίμημα τον χώρο υλοποίησης και τους laser trimmed Ladder DACs, που απαιτούν πολύ ακριβό εξοπλισμό κατασκευής. Συνδυάζοντας αυτές τις τεχνικές προέκυψαν οι υβριδικοί DACs και οι self-calibrated Ladders. Έτσι αντισταθμίστηκαν οι αυστηρές απαιτήσεις της ψηφιακής προς αναλογικής μετατροπής. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται μια πρώτη προσπάθεια παρουσίασης ενός νέου μετατροπέα ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (DAC), που βασίζεται στη γνωστή δομή του συμβατικού Ladder και ανταποκρίνεται στις αυστηρές απαιτήσεις, για ανάλυση, γραμμικότητα, ταχύτητα μετατροπής και κατανάλωση ισχύος. Η ιδέα της προτεινόμενης αρχιτεκτονικής ανήκει στον καθηγητή κ. Ευσταθίου Κωνσταντίνο, ο οποίος ήταν και αυτός που μας παρότρυνε να ασχοληθούμε με το συγκεκριμένο θέμα. Αναλυτικότερα, στο δεύτερο κεφάλαιο θα μελετηθούν με χρήση της θεωρίας των πιθανοτήτων η απόκλιση της ισοδύναμης αντίστασης εισόδου του απλού Ladder. Ακολούθως, στο τρίτο κεφάλαιο θα υπολογίσουμε τα στατιστικά χαρακτηριστικά όλων των ρευμάτων του DAC, εξάγοντας παράλληλα τις κατάλληλες σχέσεις που θα μας δίνουν τα αποτελέσματα αυτά. Σε αυτά τα δύο κεφάλαια παρουσιάζονται αποτελέσματα που προκύπτουν από την θεωρητική μελέτη αλλά και από κυκλωματική εξομοίωση. Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα μελετηθεί η γραμμικότητα του DAC σε σχέση με την ακρίβεια των αντιστάσεων που χρησιμοποιούμε για την υλοποίηση του DAC. Το αποτέλεσμα της μελέτης στο τέταρτο κεφάλαιο θα δώσει ακριβείς εμπειρικές σχέσεις για τον υπολογισμό του INL και DNL που προκύπτουν από τις εξομοιώσεις, χωρίς ωστόσο να επιτευχθεί μαθηματική απόδειξη αυτών. Παρ όλα αυτά, τα αποτελέσματα επαληθεύονται μέσα από κυκλωματικές εξομοιώσεις. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η αρχιτεκτονική του προτεινόμενου DAC, καθώς και ένα παράδειγμα του τρόπου λειτουργίας της όλης αρχιτεκτονικής. Τέλος να αναφέρουμε ότι λόγω της φύσεως (ερευνητικού χαρακτήρα) της διπλωματικής εργασίας ήταν αναγκαία η συνεργασία των δυο μας σε όλα τα στάδιά της. Όλες οι μελέτες και εξομοιώσεις έγιναν από κοινού. 3

4

Στατιστικά χαρακτηριστικά της ισοδύναμης αντίστασης του απλού Ladder DAC Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο μέρη. Αρχικά θα μελετήσουμε την απόκλιση της ισοδύναμης αντίστασης σε έναν απλό DAC, όταν όλες οι αντιστάσεις που τον αποτελούν παρουσιάζουν απόκλιση σ. Θα εξαχθούν μαθηματικές σχέσεις και θα γίνει επαλήθευση τους με κυκλωματική εξομοίωση. Στο δεύτερο μέρος του κεφαλαίου θα υπολογίσουμε την ισοδύναμη αντίσταση ενός απλού DAC, όταν μόνο μία αντίσταση παρουσιάζει απόκλιση σ.. Τυπική απόκλιση ισοδύναμης αντίστασης ενός Ladder DAC Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης της ισοδύναμης αντίστασης, θα μελετήσουμε τη βασική θεωρία αναφορικά με τον συνδυασμό δύο αντιστάσεων. Αφού το κάνουμε αυτό, θα υπολογίσουμε θεωρητικά το πώς διαδίδεται το σφάλμα των αντιστάσεων σε όλα τα bits ενός Ladder DAC. Τέλος, θα συγκρίνουμε τα θεωρητικά αποτελέσματα που υπολογίσαμε, με αυτά που προέκυψαν από εξομοίωση.. 4- bits Ladder DACs... Απόδειξη τύπων τυπικής απόκλισης για σειριακό και παράλληλο συνδυασμό αντιστάσεων (Με βάση τον απειροστικό λογισμό και τη θεωρία σφαλμάτων) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συλλογή με αντιστάσεις με μέση τιμή, καθώς και με τυπική απόκλιση σ. Πιο συγκεκριμένα Όπου i=,,3 = + σ (.) i Υποθέτουμε ότι η τιμή της ολικής αντίστασης, οποιουδήποτε συνδυασμού αυτών, είναι συνάρτηση των αντιστάσεων,, 3 i = f(,,...) (.) 3 Το ολικό διαφορικό της συναρτήσεως αυτής που δίνεται από τη σχέση: f f f d = d + d + d +... 3 3 δίνει ένα μέτρο της τυπικής απόκλισης του μεγέθους, εφόσον τα διαφορικά d, d, d 3 αντικατασταθούν με τα σφάλματα (αποκλίσεις) σ, σ, σ 3 των μεγεθών,, 3 Έτσι αν =... + + 3, τότε σύμφωνα με τα παραπάνω, η απόκλιση υπολογίζεται από τη σχέση: (.3) σ = ± ( σ + σ + σ +...) (.4) 3 και αντιπροσωπεύει την μέγιστη δυνατή απόκλιση της ποσότητας. Επειδή όμως τα σφάλματα στις προηγούμενες ποσότητες είναι τυχαία, η πιθανότητα να συμβαίνουν με την ίδια φορά, δηλαδή να προστίθενται ή να αφαιρούνται όλα μαζί, είναι πολύ μικρή. Για αυτό το λόγο, σύμφωνα με τη θεωρία σφαλμάτων, το τυχαίο, πιθανό σφάλμα της μετρήσεως δίνεται από τη σχέση 5

f f f σ = d = d + d + d3 +... 3 Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση, μπορούμε να αποδείξουμε τις σχέσεις της τυπικής απόκλισης, τόσο για τον εν σειρά συνδυασμό αντιστάσεων, όσο και για τον παράλληλο.... Αντιστάσεις εν Σειρά Έστω ότι παίρνουμε τυχαία δύο αντιστάσεις και, από ένα σύνολο αντιστάσεων με μέση τιμή, καθώς και με τυπική απόκλιση σ i. Έτσι θα έχουμε: = + σ και = + σ Η τιμή του σειριακού συνδυασμού τους είναι συνάρτηση των και, δηλαδή = f(, ) και πιο συγκεκριμένα f = +. Επίσης όπως αναφέραμε και πιο πάνω d = σ και d = σ. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: f f = = ( + ) = Με αντικατάσταση τώρα στη σχέση (.5) εύκολα υπολογίζουμε ότι η απόκλιση του σειριακού συνδυασμού δύο αντιστάσεων είναι:... Αντιστάσεις Παράλληλα (.5) σ = σ + σ (.6) Όπως και προηγουμένως, παίρνουμε τυχαία δύο αντιστάσεις και, από ένα σύνολο αντιστάσεων με μέση τιμή, καθώς και με τυπική απόκλιση σ i. Έτσι έχουμε: = + σ = + σ Η τιμή του παράλληλου συνδυασμού τους είναι συνάρτηση των και, δηλαδή = f(, ) και πιο συγκεκριμένα f =. Επίσης d = σ και d = σ. + Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: f ( + ) + + + = = = ( ) ( ) f ( + ) + + + = = = ( ) ( ) Αντικαθιστώντας τώρα στη σχέση (.7) μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκλιση του παράλληλου συνδυασμού δύο αντιστάσεων. 6

f ( ) ( ) f σ = d = d + d = σ + σ + + σ + σ σ σ σ = = + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ( + ) ( + ) ( + ) 4 σ σ 4 4 + σ = + σ σ 4 4 + σ = + Και αφού, η πιο πάνω σχέση παίρνει τη μορφή Συνοψίζοντας τα πιο πάνω, έχουμε: σ = σ + σ (.8) 4 Ο εν σειρά συνδυασμός δύο αντιστάσεων, θα μας δώσει μία αντίσταση με μέση τιμή ίση με = + και με τυπική απόκλιση σ = σ + σ. Ο παράλληλος συνδυασμός δύο αντιστάσεων, θα δώσει μία αντίσταση με μέση τιμή ίση με = και τυπική απόκλιση σ = σ + σ. + 4.. Θεωρητικός υπολογισμός τυπικής απόκλισης αντιστάσεων σε ένα ladder DAC Θεωρούμε ότι το κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο αντιστάσεων με μέση τιμή και τυπική απόκλιση σ i. Παρατηρώντας τώρα το κύκλωμα βλέπουμε ότι για να βρούμε την τυπική απόκλιση της ισοδύναμης αντίστασης στους διάφορους κόμβους, πρέπει να υπολογίσουμε πως διαδίδεται αυτή, από το LSBit κινούμενη προς το MSBit. Αξίζει να σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης της ισοδύναμης αντίστασης για ένα κόμβο, υποθέτουμε ότι κάθε ένας κόμβος αποτελείται από τρεις ίδιες αντιστάσεις,, εκ των οποίων η κάθε μια έχει τυπική απόκλιση σ. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι αντίθετα με τα άλλα bits, το LSBit αποτελείται από τέσσερις αντιστάσεις. Σχ. - Διάταξη αντιστάσεων σε ένα ladder DAC 7

Η μέση τιμή της αντίστασης, δεξιά του κόμβου, k=, είναι ίση με: = + = Ενώ η τυπική απόκλιση στον κόμβο αυτό είναι: σ σ σ σ σ = + = Κατά συνέπεια, η μέση τιμή της αντίστασης στο LSB (k=), δίνεται από τον παράλληλο συνδυασμό δύο αντιστάσεων, εκ των οποίων η κάθε μία αποτελείται από δύο ίδιες αντιστάσεις. Επομένως: = // = Και η τυπική απόκλιση στο Bit αυτό γίνεται: σ = σ + σ = σ + σ σ = σ 4 4 4 Ακολούθως, υπάρχει μία αντίσταση εν σειρά, από την οποία προκύπτει: = + = και η νέα απόκλιση γίνεται: σ 5 σ σ σ σ σ σ 4 4 = + = + = Άρα, στον επόμενο κόμβο (k=), η μέση τιμή θα είναι ίση με: = // = Και η τυπική απόκλιση είναι ίση με: 5 3 σ = σ + σ = σ + σ σ = σ 4 4 4 64 Με το ίδιο σκεπτικό υπολογίζουμε την τυπική απόκλιση και στους επόμενους κόμβους. Στον κόμβο (k=3), θα έχουμε: = + = 3 3 3 77 σ = σ + σ = σ + σ σ = σ 64 64 3 = // = 3 3 Και η τυπική απόκλιση θα είναι ίση με: 77 5 σ 3 = σ + σ 3 = σ + σ σ3 = σ 4 4 64 4 Στον κόμβο (k=4), θα έχουμε: 4 = + 3 4 = 8

5 9 σ = σ + σ = σ + σ σ = σ 4 4 4 3 4 = // = 4 4 4 Και η τυπική απόκλιση είναι ίση με: 9 377 σ 4 = σ + σ 4 = σ + σ σ4 = σ 4 4 4 6384 Στον κόμβο (k=5), θα έχουμε: = + ' = 5 4 5 377 966 σ = σ + σ = σ + σ σ = σ 6384 6384 5 4 5 = // = 5 5 5 Και η τυπική απόκλιση είναι ίση με: 966 549 σ 5 = σ + σ 5 = σ + σ σ5 = σ 4 4 6384 644 Με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να συνεχίσουμε για όσα bit θέλουμε, θεωρούμε όμως ότι τα πιο πάνω αποτελέσματα είναι αρκετά και ικανά για να εξαχθούν οι γενικές σχέσεις που τα περιγράφουν. Στον πιο κάτω πίνακα συνοψίζονται οι τιμές που υπολογίσαμε: Bit σ σ σ σ 3 3 σ 4 4 σ 5 5 4 3 64 5 4 377 6384 549 644 Παρατηρώντας αυτά τα νούμερα βλέπουμε μια συσχέτιση μεταξύ τους. Αν εξαιρέσουμε τον πρώτο bit, όλοι οι υπόλοιποι λόγοι δίνουν πανομοιότυπο αποτέλεσμα, το οποίο τείνει στο, (για σ θα μας δίνει. ). Όσον αφορά τους παρονομαστές εύκολα παρατηρείται ότι όλοι είναι σε δύναμη του! Όλα αυτά μας δείχνουν ότι η απόκλιση εξαρτάται από μια σταθερή σχέση ανάμεσα στα bits. 9

Στη συνέχεια φαίνεται ένας αναδρομικός τύπος που μας δίνει τα πιο πάνω νούμερα και που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για k-bits (k>). Να αναφέρουμε ότι ο πιο κάτω τύπος δεν επαληθεύεται για το πρώτο bit. σ = σ k + i= (4k ) k (4i 6) 3 Απλοποιώντας τον πιο πάνω τύπο καταλήγουμε στη σχέση: (.9) Για k=ισχύει: σk 5 6 k = σ + (.) 5 σ = σ (.) 4 Προκειμένου να ελέγξουμε την ορθότητα της πιο πάνω σχέσης, εξομοιώσαμε ένα μεγάλο αριθμό 4-bits Ladder DACs, ώστε να πάρουμε μεγάλη ακρίβεια στα αποτελέσματα και να τα συγκρίνουμε με τα αποτελέσματα που δίνουν οι πιο πάνω σχέσεις.

..3 Σύγκριση αποτελεσμάτων με εξομοίωση.. 4-bits Ladder DACs Πιο κάτω φαίνεται το γράφημα που πήραμε από τη συγκεκριμένη εξομοίωση. Τυπική Απόκλιση Ισοδύναμης Αντίστασης.5.48.46.44 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 Bit Σχ. - Σύγκριση τυπικής απόκλισης ισοδύναμης αντίστασης Οι κόκκινο κύκλοι δείχνουν τις θεωρητικές τιμές της τυπικής απόκλισης, ενώ οι μπλε κουκίδες δείχνουν την τυπική απόκλιση από τις τιμές που προκύπτουν από την εξομοίωση. Εύκολα παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα της εξομοίωσης ταιριάζουν απόλυτα με τα θεωρητικά που υπολογίσαμε προηγουμένως. Στη συνέχεια φαίνεται η / απόκλιση μεταξύ των θεωρητικών τιμών και αυτών που πήραμε από την εξομοίωση. Error / 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 Bit Σχ. -3 Λάθος επί τοις χιλίοις μεταξύ αποτελεσμάτων εξομοίωσης και θεωρίας. Από το γράφημα βλέπουμε ότι το σφάλμα είναι μικρότερο από τις χιλίοις.

. Υπολογισμός της ισοδύναμης αντίστασης ενός ladder DAC Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση όπου μόνο μία αντίσταση έχει σφάλμα. Αν υποθέσουμε ότι μια εκ των τριών αντιστάσεων ενός bit έχει τιμή x αντί. Τότε η ισοδύναμη αντίσταση E από το συγκεκριμένο κόμβο προς το MSB θα επηρεαστεί. Έστω ότι η x βρίσκεται στον κόμβο d=, εννοώντας έτσι ότι βρίσκεται στο bit : Σχ. -4 Διάταξη αντιστάσεων του κόμβου d= του ladder DAC + x Τότε η ισοδύναμη αντίσταση θα είναι ίση με: E = 3 + x Αν τώρα βρίσκεται στον κόμβο d=, δηλαδή στο επόμενο bit προχωρώντας προς το MSB (Bit ): Σχ. -5 Διάταξη αντιστάσεων του κόμβου d= του ladder DAC + E 5 + 3x η ισοδύναμη αντίσταση θα είναι: E = = 3 + E + 5x Με το ίδιο σκεπτικό, εξετάζουμε την περίπτωση όπου η x είναι στον κόμβο d= (Bit 3): d= Bit 3 Bit Bit E x Σχ. -6 Διάταξη αντιστάσεων του κόμβου d= του ladder DAC

+ E + x η ισοδύναμη αντίσταση θα είναι: E = = 3 + E 43 + x Παρατηρώντας τις προηγούμενες σχέσεις, προκύπτει μια γενική έκφραση E η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή: d d i i + x + = + + x i= i= i= i= d d d i+ i d+ d+ ( 4 ) + x ( 4 + ) + + ( 44 ) ( 4 ) Ed = d x d + + (.) (.3) 3

4

3 Μελέτη απόκλισης των ρευμάτων του ladder DAC Θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά των ρευμάτων ενός ladder DAC, υπό την παρουσία πιθανών αποκλίσεων στις τιμές των αντιστάσεων που τον αποτελούν. Η μελέτη θα ολοκληρωθεί σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο θα μελετήσουμε την επίδραση ενός σφάλματος (απόκλιση σε μια αντίσταση), που μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε Bit του DAC, ενώ στο δεύτερο στάδιο θα δούμε πως συμπεριφέρεται ο DAC αν όλα τα στοιχεία του παρουσιάσουν σφάλμα. 3. Επίδραση ενός σφάλματος στα ρεύματα του DAC Τα ρεύματα εξαρτώνται τόσο από το μέγεθος του σφάλματος, όσο και από την θέση που αυτό βρίσκεται. Σε αυτό το στάδιο, δεδομένου ότι το σφάλμα που παρουσιάζεται ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή είναι αρκετή. Θα μας απασχολήσει μόνο η εξάρτηση του ρεύματος από τη θέση του σφάλματος. Θα επισημάνουμε για ακόμα μια φορά ότι όλα τα Bits του DAC αποτελούνται από 3 αντιστάσεις εκτός το LSBit που αποτελείται από τέσσερις, αφού απαιτείται η γνώση του για την κατανόηση των όσων ακλουθούν. Σχ. 3- (α) (β) α. Το Bit του DAC, β. Tο LSB ενός DAC Το κάθε Bit αποτελείται από δύο κλάδους, τον οριζόντιο και τον κάθετο. Ο οριζόντιος κλάδος διαρρέεται από το ρεύμα Ih (horizontal), το οποίο θα τροφοδοτεί τα λιγότερο σημαντικά bits, ενώ από τον κάθετο κλάδο θα περνά το ρεύμα εξόδου Iv (vertical). Ονομάζουμε την αντίσταση που παρουσιάζει το σφάλμα x. Θεωρούμε ότι όλες οι άλλες αντιστάσεις του DAC δεν παρουσιάζουν σφάλμα και έχουν την κανονική τιμή. Η x μπορεί να βρίσκεται στο κάθετο ή στον οριζόντιο κλάδο, σε οποιονδήποτε Bit. Ανάλογα με την θέση της, θα επηρεάζονται τόσο τα ρεύματα Ih όσο και τα Iv. Τώρα θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις όπου η x βρίσκεται σε οποιοδήποτε Bit του DAC. 5

3.. Η x βρίσκεται στο MSB Σε ένα ιδανικό ladder DAC, το ρεύμα της πηγής Iref θα μοιράζεται δυαδικά σε κάθε Bit. Συγκεκριμένα στο MSB θα είναι Iref, στο MSB- θα είναι Iref 4 κλπ. Τοποθετώντας την x στο MSB, αυτή η ακρίβεια στην διαίρεση των ρευμάτων χάνεται. Πιο συγκεκριμένα αν στο κάθετο κλάδο του MSB ενός ιδανικού DAC, παρουσιαζόταν ένα σφάλμα με θετική τιμή (με αυτό εννοούμε ότι η x θα γινόταν μεγαλύτερη από την ), τότε το ρεύμα που θα περάσει από το συγκεκριμένο κλάδο θα μειωνόταν. Την ίδια στιγμή το οριζόντιο ρεύμα του ίδιου Bit θα αυξανόταν. Η διαίρεση του ρεύματος στα λιγότερα σημαντικά Bits γίνεται ιδανικά λόγω του ότι η x δεν τα επηρεάζει, όμως αφού το ρεύμα που τα τροφοδοτεί παρουσιάζει μια απόκλιση από το ιδανικό, τότε η απόκλιση αυτή θα διαδοθεί και στα επόμενα Bits. Μάλιστα, αυτή η απόκλιση θα έχει θετική τιμή. Σε περίπτωση που η ίδια αντίσταση παρουσίαζε σφάλμα με αρνητική τιμή, με το ίδιο σκεπτικό, το ρεύμα που θα περνούσε από το κάθετο κλάδο θα αυξανόταν. Το οριζόντιο ρεύμα του ίδιου Bit θα μειωνόταν και στα λιγότερα σημαντικά Bits το ρεύμα παρόλο που θα μοιραζόταν ιδανικά, θα παρουσίαζε μια μείωση σε σχέση με την ιδανική τιμή του. Όλα όσα αναφέραμε θα προσπαθήσουμε να τα αποδείξουμε χρησιμοποιώντας την ανάλυση κυκλωμάτων. Η πιο πάνω περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του MSB, περιγράφεται από το κύκλωμα: Σχ. 3- ladder DAC, με σφάλμα στο κάθετο κλάδο του MSBit. Στο κύκλωμα παρουσιάζεται η x ως,σ. Με αυτό τον τρόπο δείχνουμε ότι η μέση τιμή της α- ντίστασης είναι και παρουσιάζει μια τυπική απόκλιση σ. Στο MSB (το bit που βρίσκεται η x) μπορούμε να υπολογίσουμε το «κάθετο (vertical)» ρεύμα Iv του bit, καθώς και το «οριζόντιο (horizontal)» ρεύμα Ih που τροφοδοτεί τα λιγότερο σημαντικά bits του DAC: Ih Iv + x = Iref 3 + x = Iref 3 + x Η ύπαρξη της x στο MSB επηρεάζει και τα ρεύματα των λιγότερο σημαντικών bits. Στο MSB- τα ρεύματα είναι: Iv = Ih = Ih 4 6

+ x Iv = Ih 3 + x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Iv = Ih = Ih 4 + x Iv = Ih 4 3 + x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Αν τώρα το σφάλμα παρουσιαζόταν στον οριζόντιο κλάδο του MSB ενός ιδανικού DAC, και είχε θετική τιμή (με αυτό εννοούμε ότι η x θα γινόταν μεγαλύτερη από την ), τότε το ρεύμα που θα περάσει από το συγκεκριμένο κλάδο θα μειωνόταν. Το κάθετο ρεύμα του ίδιου Bit θα αυξανόταν. Τα λιγότερα σημαντικά Bits θα τροφοδοτούνταν με ένα μειωμένο ρεύμα το οποίο θα διαδιδόταν ιδανικά σε όλα τα Bits. Σε περίπτωση που η ίδια αντίσταση παρουσίαζε σφάλμα με αρνητική τιμή, με το ίδιο σκεπτικό, το ρεύμα που θα περνούσε από το οριζόντιο κλάδο θα αυξανόταν. Το κάθετο ρεύμα του ίδιου Bit θα μειωνόταν και στα λιγότερα σημαντικά Bits το ρεύμα παρόλο που θα μοιραζόταν ιδανικά, θα παρουσίαζε μια αύξηση σε σχέση με την ιδανική τιμή του. Όλα όσα αναφέραμε θα προσπαθήσουμε και πάλι να τα αποδείξουμε χρησιμοποιώντας την ανάλυση κυκλωμάτων. Η πιο πάνω περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του MSB, περιγράφεται από το κύκλωμα: Σχ. 3-3 ladder DAC, με σφάλμα στο οριζόντιο κλάδο του MSBit. Στο MSB (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: Ih Iv = Iref 3 + x + x = Iref 3 + x Και τα ρεύματα στα λιγότερα σημαντικά Bits: Στο MSB- το ρεύμα είναι: Iv = Ih = Ih 4 7

Iv = Ih 3 + x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Iv = Ih = Ih 4 Iv = Ih 4 3 + x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Συνοψίζοντας τα προηγούμενα μπορούμε να πούμε ότι το ρεύμα στους κάθετους κλάδους του DAC, όταν η x βρίσκεται MSB, περιγράφεται από τις πιο κάτω σχέσεις: Το ρεύμα στο MSB (στο bit που βρίσκεται η x) είναι: Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv = Iref 3 + x + x Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref 3 + x Το ρεύμα στα λιγότερα σημαντικά Bits (στα Bits που βρίσκονται δεξιά της x) είναι: Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv c ( x) a + c a 3 + x Iv c a+ c a 3 + x Όπου το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Σημειώνεται εδώ ότι το N συμβολίζει το αριθμό των Bits του DAC. Θα επαναλάβουμε την πιο πάνω διαδικασία, για διαφορετικές θέσεις της x, έτσι ώστε να μπορέσουμε να εξάγουμε κάποιες σχέσεις που να υπολογίζουν την τιμή του ρεύματος για οποιαδήποτε θέση της x. 8

3.. Η x βρίσκεται στο MSB- Αν η x βρίσκεται στο MSB-, όπως και προηγουμένως, θα επηρεαστούν τα ρεύματα των Bits που βρίσκονται αριστερά της, στο Bit που βρίσκεται η x αλλά και στα Bits που βρίσκονται δεξιά της. Θα εξετάσουμε και πάλι την περίπτωση όπου η x θα είναι στον κάθετο κλάδο αλλά και στον οριζόντιο και θα προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε τα αποτελέσματα. Ξεκινάμε υποθέτοντας ότι η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του MSB-, όπως φαίνεται πιο κάτω: Σχ. 3-4 ladder DAC, με σφάλμα στο κάθετο κλάδο του MSB-. Στο MSB (το Bit αριστερά της x) το ρεύμα υπολογίζεται: Σύμφωνα με αυτά που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η ύπαρξη μιας αντίστασης x στο MSB-, θα αλλάξει την ισοδύναμη αντίσταση την οποία βλέπουμε από το MSB. Πιο + x συγκεκριμένα θα βλέπουμε την ισοδύναμη αντίσταση E, που ισούται με E =. 3 + x Συνεπώς για το ρεύμα στο MSB προκύπτει: 3 + Ih = Iref x E + 3 + 5x Iv Iref Iref E + 5 + 3x = = E + 3 + 5x Στο MSB- (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: ( x) + x + Ih = Ih = Iref 3 + x + 5x 4 Iv = Ih = Iref 3 + x + 5x Η ύπαρξη της x στο MSB- επηρεάζει και τα ρεύματα των λιγότερο σημαντικών bits. Στο MSB- το ρεύμα είναι: Iv = Ih = Ih 4 9

( x) + Iv = Ih + 5x Στο MSB-3 το ρεύμα είναι: Iv3 = Ih3 = Ih 4 ( x) + Iv3 = Ih3 4 + 5x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Τώρα αν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο, το κύκλωμα θα γίνει: Σχ. 3-5 ladder DAC, με σφάλμα στον οριζόντιο κλάδο του MSB-. Στο MSB το ρεύμα είναι: 3 + Ih = Iref x E + 3 + 5x Iv Iref Iref E + 5 + 3x = = E + 3 + 5x Στο MSB- (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: 4 Ih = Ih = Iref 3 + x + 5x ( + x) + x Iv = Ih = Iref 3 + x + 5x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Iv = Ih = Ih 4 4 Iv = Ih + 5x Στο MSB-3 το ρεύμα είναι:

Iv3 = Ih3 = Ih 4 4 Iv3 = Ih3 4 + 5x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Έτσι συνοψίζοντας τα αποτελέσματα μπορούμε να πούμε ότι το ρεύμα στους κάθετους κλάδους του DAC, όταν η x βρίσκεται MSB-, περιγράφεται από τις πιο κάτω σχέσεις: Το ρεύμα στο MSB (στο bit που βρίσκεται αριστερά από τη x) είναι: 5 + 3x Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv = Iref + 5x 5 + 3x Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref + 5x Το ρεύμα στο MSB- (το Bit που βρίσκεται η x) είναι: 4 Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv = Iref + 5x ( + x) Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref + 5x Το ρεύμα στα λιγότερα σημαντικά Bits (στα Bits που βρίσκονται δεξιά της x) είναι: Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv c ( x) a + c a + 5x Iv c a+ c a + 5x Όπου το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Σημειώνεται εδώ ότι το N συμβολίζει το αριθμό των Bits του DAC. Εδώ παρατηρούμε ότι το ρεύμα στα αριστερά της x δεν επηρεάζεται από την θέση της x μέσα στο Bit, αφού καταλήγουμε στην ίδια σχέση στην περίπτωση που η x είναι είτε κάθετα είτε οριζόντια. Στην συνέχεια θα επαναλάβουμε την πιο πάνω ανάλυση με λιγότερες λεπτομέρειες, αφού στόχος της μελέτης δεν είναι η ίδια κυκλωματική ανάλυση του DAC, αλλά η εξαγωγή γενικών σχέσεων που να υπολογίζουν την τιμή του ρεύματος για οποιαδήποτε θέση της x.

3..3 Η x βρίσκεται στο MSB- Αν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο τότε: Σχ. 3-6 ladder DAC, με σφάλμα στο κάθετο κλάδο του MSB-. Στο MSB το ρεύμα θα είναι: Σύμφωνα με όσα είπαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η ύπαρξη μιας αντίστασης x στο MSB-, θα αλλάξει την ισοδύναμη αντίσταση την οποία βλέπουμε από το MSB. Άρα, από το MSB θα βλέπουμε την ισοδύναμη αντίσταση E, που ισούται με E =. Επομένως για το ρεύμα + 5x στο MSB 5 + 3x προκύπτει: 5 + Ih = Iref x E + 3 43+ x Iv Iref Iref E + + x = = E + 3 43+ x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Ομοίως, η ύπαρξη της x στο MSB-, επηρεάζει και το ρεύμα στο MSB-. Η ισοδύναμη αντίσταση που θα βλέπουμε από το MSB- τώρα θα είναι ίση με E. Άρα για το ρεύμα θα ισχύει: ( x) 4 3 + Ih = Ih = Iref E + 3 43 + x Iv Ih Iref ( x) E + 5 + 3 = = E + 3 43 + x Η ύπαρξη της x στο MSB- επηρεάζει και τα ρεύματα των λιγότερο σημαντικών bits. Στο MSB- (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: ( x) + x 4 + Ih = Ih = Iref 3E+ x 43+ x 8 Iv = Ih = Iref 3 + x 43 + x

Στο MSB-3 το ρεύμα είναι: Iv3 = Ih3 = Ih 4 ( x) 4 + Iv3 = Ih3 43 + x Στο MSB-4 το ρεύμα είναι: Iv4 = Ih4 = Ih3 4 ( x) 4 + Iv4 = Ih4 4 43 + x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Αν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο τότε: Σχ. 3-7 ladder DAC, με σφάλμα στον οριζόντιο κλάδο του MSB-. Στο MSB το ρεύμα είναι: 5 + Ih = Iref x E + 3 43+ x Iv Iref Iref E + + x = = E + 3 43+ x Στο MSB- το ρεύμα είναι: ( x) 4 3 + Ih = Ih = Iref E + 3 43 + x Iv Ih Iref ( x) E + 5 + 3 = = E + 3 43 + x Στο MSB- (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: 8 Ih = Ih = Iref + x 43 + x 3

( x) + x 4 + Iv = Ih = Iref + x 43 + x Στο MSB-3 το ρεύμα είναι: Iv3 = Ih3 = Ih 4 8 Iv3 = Ih3 43 + x Στο MSB-4 το ρεύμα είναι: Iv4 = Ih4 = Ih3 4 8 Iv4 = Ih4 4 43 + x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Έτσι συνοψίζοντας τα αποτελέσματα μπορούμε να πούμε ότι το ρεύμα στους κάθετους κλάδους του DAC, όταν η x βρίσκεται στο MSB-, περιγράφεται από τις πιο κάτω σχέσεις: Το ρεύμα στο MSB(Bit που βρίσκεται αριστερά της x) είναι: + x Όταν η x είναι είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref 43 + x Το ρεύμα στο MSB- (Bit που βρίσκεται αριστερά της x) είναι: Όταν η x είναι είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: Το ρεύμα στο MSB- (το Bit που βρίσκεται η x) είναι: 8 Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv = Iref 43 + x ( x) ( x) 5 + 3 Iv = Iref 43+ x 4 + Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref 43 + x Το ρεύμα στα λιγότερα σημαντικά Bits (στα Bits που βρίσκονται δεξιά της x) είναι: Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv c ( x) a + c a 43 + x a+ Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Ivc c a 43 + x Όπου: Το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. 4

Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Το N συμβολίζει το αριθμό των Bits του DAC. 3..4 Η x βρίσκεται στο MSB-3 Αν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο τότε: Σχ. 3-8 ladder DAC, με σφάλμα στον κάθετο κλάδο του MSB-3. Στο MSB το ρεύμα είναι: Η ισοδύναμη αντίσταση από το MSB επηρεάζεται από της x του MSB-3. Συγκεκριμένα γίνεται ίση με E =. Συνεπώς για το ρεύμα στο MSB προκύπτει: 43 + + x x 43 + Ih = Iref x E + 3 7+ 85x Iv Iref Iref E + 85 + 43x = = E + 3 7+ 85x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Εδώ η ισοδύναμη αντίσταση από το MSB- είναι ίση με E. Άρα για το ρεύμα θα ισχύει: ( + x) 4 5 Ih = Ih = Iref E + 3 7 + 85x Iv Ih Iref ( x) E + + = = E + 3 7 + 85x Στο MSB- το ρεύμα είναι: Από το MSB- η ισοδύναμη αντίσταση γίνεται ίση με E. Έτσι, το ρεύμα θα ισούται με: ( x) 8 3 + Ih = Ih = Iref E + 3 7 + 85x Iv Ih Iref ( x) E + 4 5 + 3 = = E + 3 7 + 85x 5

Στο MSB-3 (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: ( x) + x 8 + Ih3 = Ih = Iref 3 + x 7 + 85x 6 Iv3 = Ih = Iref 3 + x 7 + 85x Η ύπαρξη της x στο MSB-3 επηρεάζει και τα ρεύματα των λιγότερο σημαντικών bits. Στο MSB-4 το ρεύμα είναι: Iv4 = Ih4 = Ih3 4 ( x) 8 + Iv4 = Ih4 7 + 85x Στο MSB-5 το ρεύμα είναι: Iv5 = Ih5 = Ih4 4 ( x) 8 + Iv5 = Ih5 4 7 + 85x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Αν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο τότε: Σχ. 3-9 ladder DAC, με σφάλμα στον οριζόντιο κλάδο του MSB-3 Στο MSB το ρεύμα είναι: 43 + Ih = Iref x E + 3 7+ 85x Iv Iref Iref E + 85 + 43x = = E + 3 7+ 85x Στο MSB- το ρεύμα είναι: ( + x) 4 5 Ih = Ih = Iref E + 3 7 + 85x 6

Iv Ih Iref ( x) E + + = = E + 3 7 + 85x Στο MSB- το ρεύμα είναι: ( x) 8 3 + Ih = Ih = Iref E + 3 7 + 85x Iv Ih Iref ( x) E + 4 5 + 3 = = E + 3 7 + 85x Στο MSB-3 (το bit που βρίσκεται η x) το ρεύμα είναι: 6 Ih3 = Ih = Iref 3 + x 7 + 85x ( x) + x 8 + Iv 3 = Ih = Iref 3 + x 7 + 85x Στο MSB-4 το ρεύμα είναι: Iv4 = Ih4 = Ih3 4 6 Iv4 = Ih4 7 + 85x Στο MSB-5 το ρεύμα είναι: Iv5 = Ih5 = Ih4 4 6 Iv5 = Ih5 4 7 + 85x Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και τα ρεύματα στα υπόλοιπα Bits. Έτσι συνοψίζοντας τα αποτελέσματα μπορούμε να πούμε ότι το ρεύμα στους κάθετους κλάδους του DAC, όταν η x βρίσκεται MSB-3, περιγράφεται από τις πιο κάτω σχέσεις: Το ρεύμα στο MSB (Bit που βρίσκεται αριστερά της x) είναι: 85 + 43x Όταν η x είναι είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: Iv = Iref 7 + 85x Το ρεύμα στο MSB- (Bit που βρίσκεται αριστερά της x) είναι: Όταν η x είναι είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: Το ρεύμα στο MSB- (Bit που βρίσκεται αριστερά της x) είναι: Όταν η x είναι είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: ( x) + Iv = Iref 7+ 85x Iv ( x) 4 5 + 3 = Iref 7+ 85x 7

Το ρεύμα στο MSB-3 (το Bit που βρίσκεται η x) είναι: 6 Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Iv3 = Iref 7 + 85x Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Iv 3 ( x) 8 + = Iref 7 + 85x Το ρεύμα στα λιγότερα σημαντικά Bits (στα Bits που βρίσκονται δεξιά της x) είναι: Όταν η x είναι στον κάθετο κλάδο: Όταν η x είναι στον οριζόντιο κλάδο: Όπου: Iv c ( x) a + c a 7 + 85x Iv c a+ c a 7 + 85x Το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x. Και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Το N συμβολίζει το αριθμό των Bits του DAC. Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό μπορούμε να υπολογίσουμε το κάθετο ρεύμα σε κάθε bit, όταν η x βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο του DAC. Με μια προσεκτική ματιά στις σχέσεις για τα ρεύματα που έχουμε καταλήξει, διαπιστώνουμε ότι αν χωριστούν σε κάποιες ομάδες, θα υπάρξουν κάποιες ομοιότητες που μπορούν να μας οδηγήσουν σε μια πιο γενικευμένη μορφή. Αυτός θα είναι και ο στόχος μας στις επόμενες σελίδες. 3. Υπολογισμός του ρεύματος στα κάθετα Bit ενός DAC Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, θα προσπαθήσουμε να κατατάξουμε τις σχέσεις που περιγράφουν τα ρεύματα σε κατηγορίες, έτσι ώστε να γίνουν ορατές οι ομοιότητες που παρουσιάζουν. Με αυτό τον τρόπο θα μπορέσουμε να εξάγουμε μια γενικευμένη σχέση που θα μπορεί να υπολογίσει το ρεύμα ανεξαρτήτως της θέσης της x. Ανάλογα με τη θέση της x ως προς το bit που εξετάζουμε μπορούμε να διαχωρίσουμε τις περιπτώσεις όπου: Η x βρίσκεται στο bit που εξετάζουμε. Η x βρίσκεται αριστερά από το bit που εξετάζουμε. Η x βρίσκεται δεξιά από το bit που εξετάζουμε. Για την κάθε περίπτωση, από τις ανωτέρω, η x μπορεί να βρίσκεται στον κάθετο ή στον οριζόντιο κλάδο του bit. Να σημειώσουμε ότι για την τελευταία περίπτωση, όπου η x βρίσκεται δεξιά από το bit που εξετάζουμε, το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο θέσης της x. Παρακάτω ακολουθεί η μελέτη για την κάθε περίπτωση ξεχωριστά. 8

3.. Περίπτωση όπου η x είναι στο Bit που εξετάζουμε Σε αυτή την περίπτωση η x μπορεί να είναι είτε στον κάθετο κλάδο είτε στον οριζόντιο. Θα συγκεντρώσουμε τις σχέσεις που υπολογίζουν το ρεύμα για την περίπτωση που η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του Bit από τις παραγράφους.. έως..4 και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια γενική έκφραση. i. Όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο: Θα συγκεντρώσουμε τις σχέσεις που υπολογίζουν το ρεύμα για την περίπτωση που η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του Bit από τις παραγράφους.. έως..4 και θα προσπαθήσουμε να καταλήξουμε σε μια γενική έκφραση. Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB, είναι: Iv = Iref 3 + x 4 Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-, είναι: Iv = Iref + 5x Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-, είναι: Iv = Iref 8 43 + x 6 Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-3, είναι: Iv3 = Iref 7 + 85x Σχόλια παρατηρήσεις: Εύκολα μπορούμε να διακρίνουμε ότι ο αριθμητής περιλαμβάνει την πολλαπλασιασμένη με ένα συντελεστή που είναι συνάρτηση της θέσης που θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα. Περιγράφεται με δυνάμεις του δύο. Για την ακρίβεια περιγράφεται από την έκφραση c+, θεωρώντας ότι το c είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση του Bit που θα εξετάσουμε. Για την θέση του MSB το c παίρνει την τιμή και αυξάνεται μέχρι την τιμή N-, που αντιστοιχεί το LSB. Ο παρανομαστής αποτελείτε από το άθροισμα και x. Ο κάθε όρος είναι πολλαπλασιασμένος με ένα συντελεστή που αυξάνεται συναρτήσει της θέσης που θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα. Εξετάζοντας προσεκτικά τους συντελεστές μπορέσαμε να καταλήξουμε σε αθροίσματα όπου μπορούν να τους περιγράψουν με ακρίβεια. Ο συντελεστής του περιγράφεται από την σχέση 8 4 c ( c+ ) + ενώ ο συντελεστής του x από την σχέση 4. Το c είναι ένας ακέραιος που 3 3 3 3 εκφράζει τη θέση του Bit που θα εξετάσουμε και ισχύουν όσα έχουμε προαναφέρει. Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε τη γενική σχέση που δίνει το ρεύμα, για την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του bit που εξετάζουμε: Απλοποιώντας την, καταλήγει στην μορφή: Iv Iv c c ( c+ ) = Iref 8 c ( c+ ) + 4 + 4 x 3 3 3 3 c = Iref 6 c ( c+ ) + 84 + 4 x x (3.) (3.) 9

Όπου: c: είναι ακέραιος αριθμός και εκφράζει την θέση του Bit που θα εξετάσουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. ii. Όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο: Με το ίδιο σκεπτικό συγκεντρώνουμε τις σχέσεις από τις παραγράφους.. έως..4: + x Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB, είναι: Iv = Iref 3 + x Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-, είναι: Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-, είναι: Το ρεύμα στον κάθετο κλάδο του MSB-3, είναι: Σχόλια παρατηρήσεις: ( + x) Iv = Iref + 5x Iv Iv 3 ( x) 4 + = Iref 43 + x ( x) 8 + = Iref 7 + 85x Ο αριθμητής περιλαμβάνει τον όρο (+x) πολλαπλασιασμένο με ένα συντελεστή που είναι συνάρτηση της θέσης που θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα. Περιγράφεται από την έκφραση c, θεωρώντας ότι το c είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση του Bit που θα εξετάσουμε. Για την θέση του MSB το c παίρνει την τιμή και αυξάνεται μέχρι την τιμή N-, που αντιστοιχεί το LSB. Ο παρανομαστής παραμένει ίδιος με την προηγούμενη περίπτωση. Σύμφωνα με τα πιο πάνω η γενική σχέση που δίνει το ρεύμα, για την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του bit που εξετάζουμε: Iv Μπορεί να απλοποιηθεί στην μορφή: Όπου: Iv c c ( x) c + = Iref 8 c ( c+ ) + 4 + 4 x 3 3 3 3 ( + x) = c Iref 3 c ( c+ ) + 84 + 4 x x c: είναι η ίδια μεταβλητή που χρησιμοποιήσαμε και προηγουμένως. (3.3) (3.4) 3

3.. Περίπτωση όπου η x είναι αριστερά από το bit που εξετάζουμε: Σε αυτή την περίπτωση η x μπορεί να είναι είτε στον κάθετο κλάδο είτε στον οριζόντιο. i. Όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο: Εδώ θα προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε την έκφραση για το ρεύμα, στην περίπτωση που η x είναι στον κάθετο κλάδο. Πιο κάτω συγκεντρώσαμε τις αντίστοιχες σχέσεις που υπολογίζουν το ρεύμα, από τις ενότητες.. έως..4. Η x είναι στο MSB Το ρεύμα στο MSB- + x Iv 3 + x Το ρεύμα στο MSB- + x Iv 4 3 + x Το ρεύμα στο MSB-3 + x Iv3 8 3 + x Το ρεύμα στο MSB-4 + x Iv4 6 3 + x Το ρεύμα στο MSB-5 + x Iv5 3 3 + x Η x είναι στο MSB- - Iv Iv Iv Iv 5 3 4 ( x) + + 5x ( x) + 4 + 5x ( x) + 8 + 5x ( x) + 6 + 5x Η x είναι στο MSB- Η x είναι στο MSB-3 Το ρεύμα στο MSB- - - Το ρεύμα στο MSB- - - Το ρεύμα στο MSB-3 Το ρεύμα στο MSB-4 Το ρεύμα στο MSB-5 Iv Iv Iv 3 4 5 ( x) 4 + 43 + x ( x) 4 + 4 43 + x ( x) 4 + 8 43 + x Iv Iv 4 5 - ( x) 8 + 7 + 85x ( x) 8 + 4 7 + 85x 3

Σχόλια παρατηρήσεις: Εδώ ο αριθμητής περιλαμβάνει τον όρο (+x) πολλαπλασιασμένο με ένα συντελεστή που είναι συνάρτηση της θέσης που βρίσκεται η x. Περιγράφεται από την έκφραση a, θεωρώντας ότι το a είναι ένας ακέραιος που εκφράζει τη θέση της x. Το a παίρνει την τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N- (όταν η x βρίσκεται στο LSB). Ο παρανομαστής αποτελείται από το άθροισμα και x. Ο κάθε όρος είναι πολλαπλασιασμένος με ένα συντελεστή που αυξάνεται συναρτήσει της θέσης που βρίσκεται η x. Εξετάζοντας προσεκτικά τους συντελεστές μπορέσαμε να καταλήξουμε σε αθροίσματα όπου μπορούν να τους περιγράψουν με ακρίβεια. Ο συντελεστής του περιγράφεται από την σχέση 4 ( a+ ) ( a+ ) + ενώ ο συντελεστής του x από την σχέση 4. Το a είναι ένας ακέραιος που 3 3 3 3 εκφράζει την θέση της x και ισχύουν όσα έχουμε προαναφέρει. Τέλος, παρατηρούμε ότι ο παρανομαστής είναι πολλαπλασιασμένος με ένα συντελεστή, ο οποίος είναι συναρτήσει της απόστασης του bit που εξετάζουμε, από το bit που βρίσκεται η x. Δηλαδή είναι συνάρτηση του c-a. Πιο συγκεκριμένα ο συντελεστής περιγράφεται από την σχέση c a. Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε τη γενική σχέση που δίνει το ρεύμα, για την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του bit που εξετάζουμε: Iv c ( x) a + c a ( a+ ) ( a+ ) + 4 + 4 x 3 3 3 3 Απλοποιώντας την πιο πάνω σχέση καταλήγουμε στην: Iv Η σχέση θα ισχύει για c Όπου: c ( + x) = c a Iref 3 4 a ( a+ ) > a. + 84 + 4 x x Το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). ii. Όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο: Συγκεντρώνοντας και πάλι τις αντίστοιχες σχέσεις από τις παραγράφους.. έως..4 μπορούμε να καταλήξουμε σε μια γενική έκφραση. Στους πιο κάτω πίνακες φαίνονται συγκεντρωμένες οι σχέσεις που προέκυψαν για την περίπτωση που η x βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα. (3.5) (3.6) 3

Η x είναι στο MSB Το ρεύμα στο MSB- Iv 3 + x Το ρεύμα στο MSB- Iv 4 3 + x Το ρεύμα στο MSB-3 Iv3 8 3 + x Το ρεύμα στο MSB-4 Iv4 6 3 + x Το ρεύμα στο MSB-5 Iv5 3 3 + x Η x είναι στο MSB- - Iv Iv Iv Iv 5 3 4 4 + 5x 4 4 + 5x 4 8 + 5x 4 6 + 5x Η x είναι στο MSB- Το ρεύμα στο MSB- - - Το ρεύμα στο MSB- - - 8 Το ρεύμα στο MSB-3 Iv3 43 + x 8 Το ρεύμα στο MSB-4 Iv4 4 43 + x 8 Το ρεύμα στο MSB-5 Iv5 8 43 + x Iv Iv Η x είναι στο MSB-3 4 5-6 7 + 85x 6 4 7 + 85x Σχόλια παρατηρήσεις: Ο αριθμητής περιλαμβάνει τον όρο πολλαπλασιασμένο με ένα συντελεστή που είναι συνάρτηση της θέσης που βρίσκεται η x. Περιγράφεται από την έκφραση a+, θεωρώντας ότι το a είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση της x. Το a παίρνει την τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Ο παρανομαστής αποτελείται από το άθροισμα και x. Πιο συγκεκριμένα παρατηρούμε ότι είναι ακριβώς ίδιος με την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο. Ο συντελεστής του ( a+ ) περιγράφεται από την σχέση 4 ( a+ ) + ενώ ο συντελεστής του x από την σχέση 4. 3 3 3 3 Το a είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση της x και ισχύουν όσα έχουμε προαναφέρει. Τέλος, ομοίως με προηγουμένως παρατηρούμε ότι η κάθε σχέση είναι πολλαπλασιασμένη με ένα κλάσμα, το οποίο είναι συναρτήσει της απόστασης του bit που εξετάζουμε, από το bit που βρίσκεται η x. Δηλαδή είναι συνάρτηση του c-a. Πιο συγκεκριμένα το κλάσμα περιγράφεται από την σχέση. c a Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε τη γενική σχέση που δίνει το ρεύμα, για την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του bit που εξετάζουμε: 33

Iv c a+ c a ( a+ ) ( a+ ) + 4 + 4 x 3 3 3 3 Απλοποιώντας την πιο πάνω σχέση καταλήγουμε στην: Iv c ( c) a = Iref 3 4 a ( a+ ) Όπως και προηγουμένως η σχέση θα ισχύει για c Όπου: + 84 + 4 x x > a. Το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). (3.7) (3.8) 34

3..3 Περίπτωση όπου η x είναι δεξιά από το bit που εξετάζουμε Σε αυτή την περίπτωση το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της θέσης της x. i. Όταν η x βρίσκεται είτε στον κάθετο, είτε στον οριζόντιο κλάδο: Συγκεντρώνοντας τις αντίστοιχες σχέσεις από τις παραγράφους.. έως..4 μπορούμε να καταλήξουμε σε μια γενική έκφραση. Στον πιο κάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωμένες οι σχέσεις που προέκυψαν. Η x είναι στο MSB- Η x είναι στο MSB- Η x είναι στο MSB-3 Το ρεύμα στο MSB Το ρεύμα στο MSB- Το ρεύμα στο MSB- Iv 5 + 3x = Iref + 5x - Iv + x = Iref 43 + x ( x) 5 + 3 Iv = Iref 43 + x - - Iv 85 + 43x = Iref 7 + 85x ( x) + Iv = Iref 7 + 85x Iv ( x) 4 5 + 3 = Iref 7 + 85x Σχόλια παρατηρήσεις: Εύκολα μπορούμε να διακρίνουμε ότι ο αριθμητής περιλαμβάνει το άθροισμα και x. O κάθε όρος είναι πολλαπλασιασμένος με ένα κλάσμα, το οποίο είναι συναρτήσει της απόστασης του bit που εξετάζουμε, από το bit που βρίσκεται η x. Εξετάζοντας προσεκτικά τους συντελεστές μπορέσαμε να καταλήξουμε σε αθροίσματα όπου μπορούν να τους περιγράψουν με ακρίβεια. Ο συντελεστής του περιγράφεται από την σχέση 4 ενώ ο συντελεστής του x από την σχέση ( a c+ ) 3 3 4 ( a c) +. Το c είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση του Bit που θα εξετάσουμε. Για την 3 3 θέση του MSB το c παίρνει την τιμή και αυξάνεται μέχρι την τιμή N-, που αντιστοιχεί το LSB. Το a είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση της x. Το a παίρνει την τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). Ο παρανομαστής αποτελείται από το άθροισμα και x. Ο κάθε όρος είναι πολλαπλασιασμένος με ένα συντελεστή που αυξάνεται συναρτήσει της θέσης που βρίσκεται η x. Εξετάζοντας προσεκτικά τους συντελεστές μπορέσαμε να καταλήξουμε σε αθροίσματα όπου μπορούν να τους περιγράψουν με ακρίβεια. Ο συντελεστής του περιγράφεται από την σχέση 8 4 a ( a+ ) + ενώ ο συντελεστής του x από την σχέση 4. Το a είναι ένας ακέραιος που 3 3 3 3 εκφράζει τη θέση της x και ισχύουν όσα έχουμε προαναφέρει. Επίσης παρατηρούμε ότι η κάθε σχέση είναι πολλαπλασιασμένη με ένα συντελεστή που είναι συνάρτηση της θέσης που θέλουμε να υπολογίσουμε το ρεύμα. Περιγράφεται με δυνάμεις του δύο. Για την ακρίβεια περιγράφεται από την έκφραση c. Το c είναι ένας ακέραιος που εκφράζει την θέση του Bit που θα εξετάσουμε και ισχύουν όσα έχουμε προαναφέρει. Τώρα είμαστε σε θέση να διατυπώσουμε τη γενική σχέση που δίνει το ρεύμα, για την περίπτωση όπου η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του bit που εξετάζουμε: 35

Iv c ( a c+ ) ( a c) 4 4 3 3 + + x c 3 3 = Iref 8 a ( a+ ) + 4 + 4 x 3 3 3 3 Απλοποιώντας την πιο πάνω σχέση καταλήγουμε στην: Iv Η σχέση θα ισχύει για c Όπου: c ( a+ ) ( c) c c c a 4 + x + 4 x = Iref a ( a+ ) + 84 + 4 x x < a. (3.9) (3.) Το c μας δείχνει την θέση του Bit που υπολογίζουμε το ρεύμα. Για το MSB το c παίρνει τιμή και φτάνει μέχρι την τιμή N- που αντιστοιχεί στο LSB. Το a μας δείχνει τη θέση που βρίσκεται η x και παίρνει τιμές από (όταν η x βρίσκεται στο MSB) έως το N-(όταν η x βρίσκεται στο LSB). 36

3.3 Απόκλιση στα ρεύματα του DAC Για να μελετήσουμε το τι ακριβώς συμβαίνει σε έναν DAC όταν όλες οι αντιστάσεις του παρουσιάζουν σφάλμα, πρέπει πρώτα να μελετήσουμε την επίδραση μιας μόνο x στα ρεύματα του DAC. Στην προηγούμενη παράγραφο υπολογίσαμε τις γενικές σχέσεις που μας δίνουν τα ρεύματα που προκύπτουν με την παρουσία ενός σφάλματος, σε οποιανδήποτε θέση και αν εμφανιστεί αυτό. Γνωρίζοντας τις σχέσεις αυτές μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την επίδραση, απόκλιση που επιφέρει η x. Ακολούθως θα γενικεύσουμε την μελέτη μας για την περίπτωση όπου όλες οι αντιστάσεις του DAC παρουσιάζουν σφάλμα. 3.3. Απόκλιση ρεύματος στα κάθετα Bit ενός DAC υπό την επίδραση μιας x Στην παράγραφο 3., υπολογίσαμε τις γενικές σχέσεις των ρευμάτων για κάθε περίπτωση θέσης της x. Παίρνοντας μία-μία τις σχέσεις θα υπολογίσουμε τώρα την απόκλισή τους ως προς την x. 3.3.. Περίπτωση όπου η x είναι στο Bit που εξετάζουμε i. Όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο: Η σχέση που μας δίνει το ρεύμα στα κάθετα bits, όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο του συγκεκριμένου bit είναι: Iv c c = Iref 6 c ( c+ ) + 84 + 4 x x Όπου: c: είναι το bit που εξετάζουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. Η μεταβολή του ρεύματος ως προς την x είναι: d d c ( Ivc ) = Iref 6 c ( c+ dx dx ) + 84 + 4 x x d Iv = Iref ( ) ( 6) c ( c+ ) c 4 dx c ( c+ ) + 84 + 4 x x Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι αντιστάσεις είναι ίδιες και έτσι να ισχύει x=. Η προηγούμενη σχέση τώρα απλοποιείται και γίνεται: d dx 4 c c ( ) ( 6 c Ivc 4 ) Συνεπώς, τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τυπική απόκλιση του ρεύματος στα bits, που περιέχουν την x, είναι ίση με: σ σ = 4 c c ( ) ( 6 c Ivc Iref 4 ) ii. Όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο: (3.) Η σχέση που μας δίνει το ρεύμα στα κάθετα bits, όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο του συγκεκριμένου bit είναι: 37

Iv c ( + x) = c Iref 3 c ( c+ ) + 84 + 4 x x Όπου: c: είναι το bit που εξετάζουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. Η μεταβολή του ρεύματος ως προς την x είναι: d d c ( + x ) ( Ivc ) = Iref 3 c ( c+ dx dx ) + 84 + 4 x x d Iv = Iref 3 ( ) c ( + ) ( + ) c a c + 4 dx a ( a+ ) + 84 + 4 x x Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι αντιστάσεις είναι ίδιες και έτσι να ισχύει x=. Η προηγούμενη σχέση τώρα απλοποιείται και γίνεται: d dx 4 c c c ( Ivc ) ( 6 + 4 ) Κατά συνέπεια, τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τυπική απόκλιση του ρεύματος στα bits, που περιέχουν την x, είναι ίση με: σ σ = 4 + c c c ( Ivc ) Iref ( 6 4 ) 3.3.. Περίπτωση όπου η x είναι αριστερά από το bit που εξετάζουμε i. Όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο: (3.) Η σχέση που μας δίνει το ρεύμα στα κάθετα bit, όταν η x βρίσκεται στον κάθετο κλάδο αριστερά του bit είναι: Iv Η σχέση θα ισχύει για c > a. c ( + x) = c a Iref 3 4 a ( a+ ) + 84 + 4 x x Όπου: c: είναι το bit που εξετάζουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. a: είναι η θέση που βρίσκεται η x. Η μεταβολή του ρεύματος ως προς την x, υπολογίζεται με παραγώγιση αυτού. Άρα: d d c a ( + x ) ( Ivc ) = Iref 3 4 a ( a+ dx dx ) + 84 + 4 x x d Iv = Iref 6 ( ) c ( c) c a a 4 + 6 dx a ( a+ ) + 84 + 4 x x Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι αντιστάσεις είναι ίδιες και έτσι να ισχύει x=. Η προηγούμενη σχέση τώρα απλοποιείται και γίνεται: 38

d dx 4 c a ( Ivc ) ( 4 + ) Συνεπώς, τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τυπική απόκλιση του ρεύματος στα bits, όπου η x βρίσκεται στα αριστερά τους, είναι ίση με: σ σ = 4 + c a ( Ivc ) Iref ( 4 ) ii. Όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο: (3.3) Η σχέση που μας δίνει το ρεύμα στα κάθετα bits, όταν η x βρίσκεται στον οριζόντιο κλάδο αριστερά του bit είναι: Iv c ( c) a = Iref 3 4 a ( a+ ) Όπως και προηγουμένως: Η σχέση θα ισχύει για c > a. + 84 + 4 x x Όπου: c: είναι το bit που εξετάζουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. a: είναι η θέση που βρίσκεται η x. Η μεταβολή του ρεύματος ως προς την x, υπολογίζεται με παραγώγιση αυτού. Άρα: d d ( c) a ( Ivc ) = Iref 3 4 a ( a+ dx dx ) + 84 + 4 x x d Iv = Iref 3 ( ) c ( c) c a a 8 6 + 4 dx a ( a+ ) + 84 + 4 x x Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι αντιστάσεις είναι ίδιες και έτσι να ισχύει x=. Η προηγούμενη σχέση τώρα απλοποιείται και γίνεται: d dx ( Iv ) c c a 4 4 4 Επομένως, τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τυπική απόκλιση του ρεύματος στα bits, όπου η x βρίσκεται στα αριστερά τους, είναι ίση με: σ ( Iv ) c c 4 a σ 4 4 (3.4) 3.3..3 Περίπτωση όπου η x είναι δεξιά από το bit που εξετάζουμε: Αναφέραμε και προηγουμένως ότι για τη συγκεκριμένη περίπτωση το ρεύμα είναι ανεξάρτητο της θέσης της x στο bit που βρίσκεται(αν βρίσκεται δηλαδή στον κάθετο ή στον οριζόντιο κλάδο). Άρα η σχέση που μας δίνει το ρεύμα στα κάθετα bits, όταν η x βρίσκεται στον κάθετο ή οριζόντιο κλάδο δεξιά του bit είναι: Iv c ( a+ ) ( c) c c c a 4 + x + 4 x = Iref a ( a+ ) + 84 + 4 x x 39

Η σχέση θα ισχύει για c < a. Όπου: c: είναι το bit που εξετάζουμε, θεωρώντας ότι για το MSB αντιστοιχεί c=. a: είναι η θέση που βρίσκεται η x Η μεταβολή του ρεύματος ως προς την x, υπολογίζεται με παραγώγιση αυτού. Άρα: ( a+ ) c c c ( c) a d d 4 + x + 4 x ( Ivc ) = Iref a ( a+ dx dx ) + 84 + 4 x x Μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλες οι αντιστάσεις είναι ίδιες και έτσι να ισχύει x=. Η προηγούμενη σχέση τώρα απλοποιείται και γίνεται: d dx ( Iv ) c a ( c) 4 + 4 Συνεπώς, τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τυπική απόκλιση του ρεύματος στα bits, όπου η x βρίσκεται στα δεξιά τους, είναι ίση με: σ ( Iv ) c ( 4 a c ) c c σ 4 + Συνοψίζοντας, έχουμε για την τυπική απόκλιση του ρεύματος: Θέση της x, Τυπική απόκλιση του ρεύματος αν η x είναι: ως προς το bit που εξετάζουμε Στον κάθετο κλάδο Στον οριζόντιο κλάδο 4 Αριστερά c a c a Iref ( 4 + ) του bit Iref ( 4 4) 4 σ σ 4 c c Στο ίδιο bit ( 6 c c c c Iref 4 ) Iref ( 6 4 ) Δεξιά του bit ( + c) c ( ) σ a σ Iref 4 + 4 σ + 4 ( + c) c ( ) a σ Iref 4 + 4 (3.5) 4

3.3. Απόκλιση του ρεύματος στα κάθετα Bits ενός DAC, υπό την συνολική επίδραση των x Μέχρι τώρα μελετήσαμε την επίδραση μιας x στα ρεύματα του DAC. Γνωρίζοντας τώρα αυτά, μπορούμε να μελετήσουμε το τι συμβαίνει ακριβώς σε έναν DAC όταν όλες οι αντιστάσεις του παρουσιάζουν σφάλμα, περίπτωση η οποία αντιπροσωπεύει και την πραγματικότητα. Σχ. 3- ladder DAC, με σφάλμα σε όλες τις αντιστάσεις Υποθέτουμε ότι κάθε ένας κόμβος αποτελείται από τρεις ίδιες αντιστάσεις,, εκ των οποίων η κάθε μια έχει τυπική απόκλιση σ. Οι δύο βρίσκονται στον κάθετο κλάδο και η τρίτη στον οριζόντιο. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι αντίθετα με τα άλλα bits, το LSBit αποτελείται από τέσσερις αντιστάσεις. Κατά συνέπεια, η τυπική απόκλιση του ρεύματος σε ένα bit, για έναν N-bits ladder, είναι το άθροισμα των επί μέρους τυπικών αποκλίσεων του ρεύματος κάθε κόμβου. Η τυπική απόκλιση του ρεύματος στο MSB (c=) θα είναι: σ I MSB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N + c + + c σ 6 4 + 6 + 4 + 3 4 + + 4 + 4 c c c c c c a c N c η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή: σ I C a= c+ σ 6 56 84 56 56 64 64 6 + 4 + 6 4 + 6 + 6 4 4 5 5 5 5 5 5 Και αφού το c= τότε η σχέση γίνεται: c c c N c N N c σ I MSB σ 44 576 6 N + (3.6) 4 5 5 Η τυπική απόκλιση του ρεύματος για τα msb- έως lsb+ θα είναι: c c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N c a c a c c c c c c a + c c N+ + c c σ σic = Iref 4 + + 4 4 + 6 4 + 6 + 4 + 3 4 + + 4 + 4 a= a= ac =+ η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή: σ c c 56 c 56 N c 56 N 64 N c σ IC 4 4 c+ 4 4 6 + 6 4 + 6 + 6 4 (3.7) 4 5 5 5 5 Η τυπική απόκλιση του ρεύματος στο LSB (c=n-) θα είναι: σi LSB c c σ c a c a c c c c c c ( 4 + ) + ( 4 4) + ( 6 4 ) + ( 6 + 4 ) 4 a= a= η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή: 4

σ 4 6 σ ILSB 64 + 4 4 c+ 4 8 6 4 5 5 Θέτοντας c=n- έχουμε τελικά: Όπου: c c c c σ 56 384 σ I Iref 4 96 4 N 4 8 4 4 5 5 3N N N N LSB = + + (3.8) N είναι ο αριθμός των bits του DAC c δείχνει το bit στο οποίο μετράμε το ρεύμα. Οι σχέσεις που μας δίνουν την διασπορά του ρεύματος εμπεριέχουν το ρεύμα αναφοράς καθώς και τον λόγο σ/ που είναι ο coefficient of variance (CV) των αντιστάσεων. Μπορούμε να γενικεύσουμε τις παραπάνω σχέσεις, ανεξαρτητοποιώντας τες από την τιμή του ρεύματος. CVIMSB 44 576 6 N = CV + (3.9) 48 5 5 CVI 56 56 56 64 = CV 4 4 c + 4 4 6 + 6 4 + 6 + 6 4 (3.) c c c c N c N N c c+ 4 5 5 5 5 56 384 CVI CV 4 96 4 N 4 8 4 4 5 5 3N N N N LSB = + + (3.) N Χρησιμοποιώντας τις πιο πάνω σχέσεις και κάνοντας εξομοίωση.. 4-bit DACs παίρνουμε τα πιο κάτω αποτελέσματα: Bits Αποτέλεσμα με χρήση των πιο πάνω σχέσεων Αποτέλεσμα με χρήση εξομοίωσης MSB,57563,57549 3,5969,54869,45996,456776,394435,3993,333333,3368 9,6995,7355 8,848,689 7,338,348 6,5457,578 5,97669,974 4,888,883634 3,7786,78336,659,6545 LSB,4474,447549 4

Υπό μορφή γραφήματος γίνονται:.4..8.6 Σχ. 3-.4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 Bit Συντελεστής πολλαπλασιασμού του CV των αντιστάσεων για καθ ένα από τα bits ενός 4-bit ladder. Σχ. 3- Παρατηρήσεις: Σφάλμα επί τοις χιλίοις μεταξύ αποτελεσμάτων εξομοίωσης και θεωρίας. Στο πρώτο γράφημα φαίνεται η απόκλιση του συντελεστή πολλαπλασιασμού του CV της αντίστασης συναρτήσει του bit. Με κόκκινο απεικονίζονται τα αποτελέσματα των σχέσεων που αποδείξαμε και με μπλε τα αποτελέσματα από την εξομοίωση.. 4-bits Ladders. Από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι η απόκλιση που προκύπτει αποδεικνύεται ότι η θεωρία και τα αποτελέσματα της εξομοίωσης συμβαδίζουν. Το δεύτερο γράφημα επιβεβαιώνει ότι πράγματι η θεωρία και η πράξη συμβαδίζουν αφού το λάθος που προκύπτει είναι μικρότερο από.5%. 43

44

4 Μελέτη της γραμμικότητας ενός Ladder DAC Η γραμμικότητα αποτελεί ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά ενός DAC. Όλοι οι κορυφαίοι DACs, όπως ο ΔΣ Conversion και οι δυναμικές calibrated πηγές ρεύματος, χαρακτηρίζονται για τη καλή γραμμικότητά τους. Στους DACs το INL (Integral NonLinearity) αποτελεί ένα μέτρο ένδειξης της γραμμικότητας. Πιο συγκεκριμένα, το INL ορίζεται σαν το μέγιστο σφάλμα μετατροπής, αφού αφαιρεθεί το GAIN και το OFFSET error. Είναι ένα μέτρο της απόκλισης της πραγματικής εξόδου του μετατροπέα από μια ευθεία γραμμή πάνω στην οποία βρίσκονται τα ιδανικά ρεύματα του μετατροπέα. Γνωρίζοντας τα ρεύματα και την απόκλιση αυτών στο κάθε bit του DAC, μπορούμε να υπολογίσουμε το INL. Πρώτα όμως θα μελετήσουμε τη συμπεριφορά του INL. 4.. Συμπεριφορά του INL Έχουμε αναφέρει ότι το INL αποτελεί ένα μέτρο της απόκλισης της πραγματικής εξόδου του μετατροπέα από μια ευθεία γραμμή πάνω στην οποία βρίσκονται τα ιδανικά ρεύματα του μετατροπέα. Αυτό δείχνει και τα πιο κάτω γραφήματα. 8 6 Θεωρητική Πραγματική 4-4 6 8 Σχ. 4- Απόκλιση της πραγματικής εξόδου του DAC από την θεωρητική 45

.5.5 -.5 - -.5 4 6 8 Σχ. 4- Αριθμός ψηφιακής λέξης Τιμές του INL συναρτήσει της ψηφιακής λέξης Από το πιο πάνω σχήμα βλέπουμε ότι το INL μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Ουσιαστικά το INL οφείλεται στο σφάλμα των αντιστάσεων, που όπως είπαμε ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωστή μέση τιμή και διασπορά. Μπορούμε δηλαδή να χαρακτηρίσουμε το INL ως ένα τυχαίο σφάλμα, αφού γνωρίζουμε από τη θεωρία σφαλμάτων ότι τα τυχαία σφάλματα μεταβάλλονται και μπορεί να είναι και θετικά και αρνητικά, γεγονός το οποίο επιβεβαιώνεται για το INL. Στο κεφάλαιο 3 μελετήσαμε την επίδραση του εν λόγω σφάλματος στα ρεύματα των bits ενός DAC. Μέσα από τη συγκεκριμένη μελέτη εξαγάγαμε σχέσεις από τις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια την απόκλιση του ρεύματος στο κάθε bit του DAC. Εξομοιώνουμε λοιπόν. DACs και υπολογίζουμε τα ρεύματα στο κάθε bit του θεωρώντας ότι η πραγματική τιμή του είναι x. Η εξομοίωση δεν θα μας δώσει την τιμή x, αλλά κάποια άλλη, έστω x. Διάφορες εξομοιώσεις θα μας δίνουν διαφορετικά x, χωρίς βέβαια να αποκλείεται να πάρουμε και το x, μόνο που δεν θα ξέρουμε ποιο είναι. Τέλος σχεδιάζουμε την καμπύλη P(x). Η συνάρτηση P(x) αποτελεί την συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας, ή αλλιώς συνάρτηση κατανομής. 4.. Συνάρτηση κατανομής του INL Έχοντας υπολογίσει τις τιμές για το INL προηγουμένως (από εξομοίωση. DACs 8-bits και απόκλιση αντιστάσεων,5%), σχεδιάζουμε την καμπύλη κατανομής που προκύπτει και η οποία φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. 46

Πιθανότητα να έχω το INL Σχ. 4-3 Συνάρτηση κατανομής της μέσης τιμής του INL Η μορφή της πιο πάνω γραφικής μας παραπέμπει στη κατανομή Γάμμα. Αυτό επιβεβαιώνεται πιο κάτω, όπου κάναμε ταυτόχρονη εξομοίωση της κατανομής του μέσου όρου του INL με την κατανομή Γάμμα. Πιθανότητα να έχω το INL Σχ. 4-4 Η συνάρτηση κατανομής της μέσης τιμής του INL ακολουθεί κατανομή Γάμμα Για επιβεβαίωση ότι η πιο πάνω γραφική επαληθεύει την κατανομή του INL, θα επαναλάβουμε την εξομοίωση για διαφορετικές τιμές στον αριθμό των bits του DAC και σφάλματος. Εξομοίωση. DACs 5-bits και σφάλμα %: 47

Πιθανότητα να έχω το INL Σχ. 4-5 Εξομοίωση συνάρτησης κατανομής INL. DACs 5-bits και σφάλμα % 48

Εξομοίωση. DACs -bits και σφάλμα,5%: Πιθανότητα να έχω το INL Σχ. 4-6 Εξομοίωση συνάρτησης κατανομής INL. DACs -bits και σφάλμα,5% Παρατηρώντας τώρα τα σχήματα πιο πάνω βλέπουμε ότι όντως, το INL ακολουθεί την κατανομή γάμμα. Πιο συγκεκριμένα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του INL κατανομή γάμμα: x e θ Px ( ) = k θ Γ( k) Η παράμετρος k ορίζεται ως η παράμετρος shape στη γάμμα κατανομή και έχει την τιμή: k x (4.) minl k = sinl Η παράμετρος θ ορίζεται ως η παράμετρος rate στη γάμμα κατανομή και έχει την τιμή: Για τη συνάρτηση γάμμα ισχύει ότι: sinl θ = minl (4.) (4.3) a P(, a) = P( x) dx (4.4) Η πιο πάνω σχέση δίνει την πιθανότητα το αποτέλεσμα μιας μέτρησης να βρίσκεται στην περιοχή x a. Ισχύει επίσης ότι Pxdx ( ) = (4.5) Η πιο πάνω σχέση ονομάζεται συνθήκη κανονικοποίησης και υποδηλώνει πως το αποτέλεσμα της μέτρησης οπωσδήποτε βρίσκεται μέσα στην περιοχή <x<. Ακολουθεί εξομοίωση 5. DACs, με σκοπό να πετύχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στα αποτελέσματα. Θα γίνει επαλήθευση των αποτελεσμάτων του πρώτου πειράματος και παράλληλα θα γίνει μια πιο εκτεταμένη μελέτη σε αυτά. 49

4. Μελέτη του INL από εξομοίωση 5. DACs Στο πείραμα αυτό χρησιμοποιούμε 5. DACs με αντιστάσεις σε ΚΑΝΟΝΙΚΗ κατανομή και υπολογίζουμε στατιστικά χαρακτηριστικά των DACs για διάφορες διασπορές των αντιστάσεων (,, 5,,, 5 και ) και για διάφορα esolutions (4, 8, ). Για κάθε μία από τις εξομοιώσεις παρατίθενται αριθμητικά αποτελέσματα: Ν: Αριθμός των bits των Ladder. mean(): Η μέση τιμή των αντιστάσεων που χρησιμοποιήθηκαν στην εξομοίωση. stdev(): Η διασπορά των αντιστάσεων που χρησιμοποιήθηκαν στην εξομοίωση. minl: sinl: mdnl: sdnl: vsc N : ffsc N : Η μέση τιμή του INL των Ladder της εξομοίωσης. Η διασπορά του INL των Ladder της εξομοίωσης. Η μέση τιμή του DNL των Ladder της εξομοίωσης. Η διασπορά του DNL των Ladder της εξομοίωσης. Η μετρημένη διασπορά του ρεύματος της MSBit εξόδου του Ladder. Η θεωρητικά υπολογισμένη διασπορά του ρεύματος της MSBit εξόδου του Ladder. Οι παράμετροι kx (παράμετρος shape) και Th (παράμετρος rate) αφορούν την μορφή της διασποράς του INL που απεικονίζεται σε κάθε σχήμα με μπλε γραμμή. Ειδικά για τα σχήματα θα πρέπει να τονιστεί ότι με κόκκινη γραμμή παρουσιάζεται η κατανομή των τιμών INL όπως προέκυψαν από την εξομοίωση, ενώ η μπλε γραμμή παρουσιάζει την μορφή μιας Γάμμα κατανομής. Ο αναγνώστης θα διαπιστώσει και πάλι, την σύμπτωση της διασποράς του INL σε όλες τις εξομοιώσεις. Παρακάτω παρατίθενται τα αποτελέσματα εξομοιώσεων των 5. ladders η κάθε μία. 4.. Αποτελέσματα εξομοίωσης N = 4. mean( ) =. 5 5..4.6.8 stdev( ) =. minl = 3.43 3 sinl =.89 3 mdnl = 6.99 3 sdnl = 3.6898 3 vsc N = 3.58 3 ffsc N = 3.5778 3 kx = 3.4854 Th = 9.75939 4 5

5 N = 4. mean( ) =. 5..4.6.8 stdev( ) =. minl = 6.845 3 sinl = 3.6565 3 mdnl =. sdnl = 7.48 3 vsc N = 7.669 3 ffsc N = 7.556 3 kx = 3.4635 Th =.96497 3 5 N = 4. 4 3..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) = 5. minl =.7 sinl = 9.4 3 mdnl =.3 sdnl =.85 vsc N =.79 ffsc N =.79 kx = 3.47679 Th = 4.8868 3 3 N = 4. mean( ) =. stdev( ) = 9.998..4.6.8 minl =.339 sinl =.8 mdnl =.6 sdnl =.369 vsc N =.357 ffsc N =.358 kx = 3.4878 Th = 9.75563 3 5

5 N = 4. mean( ) =. stdev( ) =.9 5..4.6.8 minl =.68 sinl =.365 mdnl =.3 sdnl =.739 vsc N =.75 ffsc N =.76 kx = 3.469 Th =.9596 6 N = 4. mean( ) =. stdev( ) = 5.7 4..4.6.8 minl =.7 sinl =.9 mdnl =.37 sdnl =.843 vsc N =.788 ffsc N =.789 kx = 3.48548 Th =.48783.5 N = 4..5.5.5.5 mean( ) =. stdev( ) = 99.986 minl =.343 sinl =.84 mdnl =.637 sdnl =.37 vsc N =.3596 ffsc N =.3578 kx = 3.4396 Th =.99439 5

5 N = 8. mean( ) =. stdev( ) =. 5..4.6.8 minl =.6 sinl =.98 mdnl =.7 sdnl =.65 vsc N =.57 ffsc N =.57 kx = 4.977 Th =.455 8 N = 8. mean( ) =. 6 4..4.6.8 stdev( ) =.999 minl =. sinl =.595 mdnl =.53 sdnl =.7 vsc N =.43 ffsc N =.45 kx = 4.863 Th =.8954 4 N = 8. mean( ) =. 3.5.5 stdev( ) = 5. minl =.36 sinl =.49 mdnl =.545 sdnl =.374 vsc N =.865 ffsc N =.86 kx = 4.4399 Th =.7494 53

N = 8. mean( ) =..5.5.5.5.5 3 stdev( ) =.5 minl =.64 sinl =.98 mdnl =.9 sdnl =.65 vsc N =.573 ffsc N =.574 kx = 4.474 Th =.4556.8.6.4. 3 4 5 6 N = 8. mean( ) =. stdev( ) = 9.998 minl =.3 sinl =.596 mdnl =.549 sdnl =.33 vsc N =.448 ffsc N =.449 kx = 4.983 Th =.957.4.3.. 4 6 8 4 N = 8. mean( ) =. stdev( ) = 5.4 minl = 3.598 sinl =.49 mdnl = 5.385 sdnl = 3.758 vsc N =.86 ffsc N =.86 kx = 4.583 Th =.7755 54

..5..5 5 5 5 3 N = 8. mean( ) =. stdev( ) = 99.99 minl = 6.454 sinl = 3.6 mdnl =.37 sdnl = 6.47 vsc N = 5.7565 ffsc N = 5.743 kx = 4.647 Th =.47689 N =..8.6.4. 3 4 5 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.9888 sinl =.4783 mdnl =.6553 sdnl =.989 vsc N =.985 ffsc N =.959 kx = 4.7466 Th =.335.5.4.3.. 4 6 8 N =. mean( ) =. stdev( ) =. minl =.9737 sinl =.9545 mdnl = 3.39 sdnl =.97 vsc N =.83 ffsc N =.838 kx = 4.75486 Th =.4668 55

..5..5 5 5 5 N =. mean( ) =. stdev( ) = 4.999 minl = 4.9376 sinl =.387 mdnl = 8.67 sdnl = 4.9334 vsc N = 4.587 ffsc N = 4.5795 kx = 4.7857 Th =.5449..8.6.4. 5 5 5 3 35 4 45 N =. mean( ) =. stdev( ) = 9.998 minl = 9.8747 sinl = 4.7733 mdnl = 6.544 sdnl = 9.869 vsc N = 9.63 ffsc N = 9.589 kx = 4.79674 Th =.3734.5.4.3.. 4 6 8 N =. mean( ) =. stdev( ) =.9 minl = 9.744 sinl = 9.55 mdnl = 33.9 sdnl = 9.785 vsc N = 8.39 ffsc N = 8.379 kx = 4.7343 Th = 4.675 56

. N =. mean( ) =..5..5 5 5 5 stdev( ) = 5. minl = 49.4375 sinl = 3.899 mdnl = 8.679 sdnl = 49.3436 vsc N = 45.849 ffsc N = 45.7947 kx = 4.7945 Th =.5534. N =..8.6.4. 3 4 5 mean( ) =. stdev( ) = 99.969 minl = 99.56 sinl = 48.536 mdnl = 65.783 sdnl = 99.34 vsc N = 9.9 ffsc N = 9.5893 kx = 4.37536 Th = 3.3964 57

4.. Ανάλυση Αποτελεσμάτων Συγκεντρώνουμε τα αποτελέσματα των εξομοιώσεων που αφορούν στον μέσο όρο του INL και τα «κανονικοποιούμε» χρησιμοποιώντας την σχέση: minl Normalized minl = σ N Σημειώνουμε εδώ ότι οι τιμές των αποτελεσμάτων είναι σε LSBits. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα: σ minl (LSBits) Normalized minl (LSBits) N=4 N=8 N= N=4 N=8 N=.34.6.988.5.39.44.68..9888.5.387.49 5.7.36 4.9376.5.39.4.339.64 9.8747.9.39.4.68.3 9.744.5.389.4 5.7 3.598 49.4375.5.39.44.343 6.454 99.56.33.4.4 Διαπιστώνουμε ότι η μέση τιμή του INL είναι ανεξάρτητη από την τιμή της διασποράς των αντιστάσεων, ενώ εξαρτάται από την τιμή του resolution του ladder. (4.6).45.4 Μέση τιμή του INL (LSBits).35.3.5..5. 4 8 Σχ. 4-7 Μέση τιμή του INL συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων και της ανάλυσης του DAC 58

Παρόμοια συμπεριφερόμαστε και με τις άλλες παραμέτρους. Οι πίνακες των συγκεντρωτικών αποτελεσμάτων φαίνονται ξεχωριστά για κάθε μία από τις παραμέτρους. Όπως και στην μέση τιμή του INL, παρατηρούμε όμοια συμπεριφορά και στη διασπορά του INL. Η κανονικοποιημένη τιμή της είναι ανεξάρτητη από την τιμή της διασποράς των αντιστάσεων, ενώ εξαρτάται από την τιμή του resolution του ladder. σ σinl (LSBits) Normalized σinl (LSBits) N=4 N=8 N= N=4 N=8 N=.8.98.4783.39.64.68.37.595.9545.43.6.65 5.9.49.387.39.64.66.8.98 4.7733.38.64.65.365.596 9.55.4.64.66 5.9.49 3.899.39.66.67.84 3.6 48.536.5.77.76.8.75 Διασπορά του INL (LSBits).7.65.6.55.5.45.4.35 4 8 Σχ. 4-8 Διασπορά του INL συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων και της ανάλυσης του DAC 59

Ομοίως με το INL η κανονικοποιημένη μέση τιμή του DNL είναι ανεξάρτητη από την τιμή της διασποράς των αντιστάσεων, ενώ εξαρτάται από την τιμή του resolution του ladder. σ mdnl Normalized mdnl N=4 N=8 N= N=4 N=8 N=.6.7.6533.376.4.436..53 3.39.375.4.49 5.3.545 8.67.3763.4.435.6.9 6.544.3756.4.434.3.549 33.9.3759.43.43 5.37 5.385 8.679.3759.44.437.637.37 65.783.3773.43.447.4.45 Μέση τιμή του DNL (LSBits).4.395.39.385.38.375.37 4 8 Σχ. 4-9 Μέση τιμή του DNL συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων και της ανάλυσης του DAC 6

Αυτό συμβαίνει τέλος και για τη διασπορά του DNL σ σdnl Normalized σdnl N=4 N=8 N= N=4 N=8 N=.37.65.989.36.4.45.74.7.97.33.396.45 5.85.374 4.9334.33.4.49.369.65 9.869.36.4.48.739.33 9.785.39.43.48 5.843 3.758 49.3436.34.43.49.37 6.47 99.34.36.44.44.44 Διασπορά του DNL (LSBits).4.4.38.36.34.3.3.8 4 8 Σχ. 4- Διασπορά του DNL συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων και της ανάλυσης του DAC 6

Μόνο η κανονικοποιημένη μέση τιμή του ρεύματος του MSBit φαίνεται, όπως άλλωστε έχει υπολογιστεί και θεωρητικά, να είναι ανεξάρτητη ουσιαστικά από την τιμή του resolution. Εδώ θα πρέπει να τονιστεί ότι έχει ήδη αποδειχθεί θεωρητικά ότι η διασπορά του ρεύματος εξόδου του MSBit ενός Ladder είναι: που εκφυλίζεται για Ν>4 σε σ I MSB σ 44 576 + 6 4 5 5 N Iref σ σ σ IMSB = =,367 Iref 5 σ Measured mean I MSB Normalized mean I MSB N=4 N=8 N= N=4 N=8 N=.36.57.985.38.34.4.7.43.83.4.3.34 5.79.865 4.587.38.38.38.357.573 9.63.3.39.37.75.448 8.39.34.36.37 5.788.86 45.849.35.36.38.3596 5.7565 9.9.48.49.46 Μέση τιμή του IMSB.5.48.46.44.4.4.38.36.34.3.3 4 8 Σχ. 4- Μέση τιμή του MSBit συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων και της ανάλυσης του DAC 6

Τα παραπάνω αποτελέσματα δείχνουν ότι για έναν Ladder με συγκεκριμένο αριθμό bits υπάρχει σταθερός συντελεστής που σε συνάρτηση με την διασπορά των αντιστάσεων που χρησιμοποιούμε μας δίνει την τιμή της παραμέτρου που αφορά στα στατιστικά χαρακτηριστικά γραμμικότητας του ladder. Συνεπώς θα κάνουμε εξομοιώσεις αλλάζοντας το resolution (Ν) από 4 έως και 5 ώστε να δούμε πώς εξαρτάται η κάθε παράμετρος σε συνάρτηση με το resolution. Επιλέγουμε, για καλύτερη ακρίβεια στα αποτελέσματα, σ=ω και =Ω, ενώ πάλι, κάθε εξομοίωση περιλαμβάνει 5. ladders. N = 4. 5 5..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl = 3.397 3 sinl =.899 3 mdnl = 6.93 3 sdnl = 3.686 3 vsc N = 3.5756 3 ffsc N = 3.5778 3 kx = 3.48457 Th = 9.749377 4 5 N = 5. 5..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl = 7.63 3 sinl = 3.6888 3 mdnl =.4 sdnl = 7.5367 3 vsc N = 7.499 3 ffsc N = 7.554 3 kx = 3.83774 Th =.8898 3 63

3 N = 7...4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.33 sinl =.49 mdnl =.5 sdnl =.37 vsc N =.86 ffsc N =.86 kx = 4.6453 Th = 7.9384 3 6 N = 6. 4..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.49 sinl = 7.433 3 mdnl =.53 sdnl =.5 vsc N =.43 ffsc N =.43 kx = 4.3794 Th = 3.69496 3 N = 8. 5 5..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.6 sinl =.98 mdnl =.8 sdnl =.65 vsc N =.573 ffsc N =.57 kx = 4.9979 Th =.4497 64

8 N = 9. 6 4..4.6.8 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.9 sinl =.597 mdnl =.6 sdnl =.33 vsc N =.46 ffsc N =.45 kx = 4.39989 Th =.8998 4 N =. 3.5.5 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.46 sinl =.9 mdnl =.4 sdnl =.458 vsc N =.87 ffsc N =.9 kx = 4.7663 Th =.57576 N =. mean( ) =..5.5.5.5.5 3 stdev( ) =. minl =.498 sinl =.38 mdnl =.845 sdnl =.498 vsc N =.457 ffsc N =.4579 kx = 4.8797 Th =.49 65

N =..8.6.4. 3 4 5 mean( ) =. stdev( ) =. minl =.9864 sinl =.4776 mdnl =.6499 sdnl =.9873 vsc N =.958 ffsc N =.959 kx = 4.656 Th =.346.5.4.3.. 4 6 8 N = 3. mean( ) =. stdev( ) =. minl =.9776 sinl =.9545 mdnl = 3.387 sdnl =.973 vsc N =.8349 ffsc N =.838 kx = 4.976 Th =.4673.5..5..5 5 5 N = 4. mean( ) =. stdev( ) =. minl = 3.958 sinl =.984 mdnl = 6.683 sdnl = 3.9444 vsc N = 3.6637 ffsc N = 3.6636 kx = 4.8777 Th =.9647 66

.5..5 5 5 5 3 35 N = 5. mean( ) =. stdev( ) =. minl = 7.9 sinl = 3.85 mdnl = 3.9 sdnl = 7.955 vsc N = 7.383 ffsc N = 7.37 kx = 4.66796 Th =.8574 67

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των εξομοιώσεων και ευριστικές μεθόδους «curve fitting» διαπιστώνουμε ότι η απεικόνιση των αποτελεσμάτων της εξομοίωσης της μέσης τιμής του INL (μπλε σημεία) συμπίπτουν με καλή ακρίβεια με τα αποτελέσματα της παράστασης: που απεικονίζονται με κόκκινα σημεία. N ( ) ( ),4 Ν (4.7) Measured Normalized Fitted minl minl minl 4.34.3. 5.7.58.6 6.49.38.337 7.33.367.374 8.6.39.393 9.9.4.43.46.44.47.4934.49.4.9864.48.4 3.9776.44.4 4 3.958.4.4 5 7.9.4.4.45.4 Μέση τιμή του INL (LSBits).35.3.5..5..5 4 6 8 4 6 Normalized Fitted Σχ. 4- Σύγκριση κανονικοποιημένης minl, από εξομοίωση, με fitted minl 68

Ομοίως διαπιστώνουμε ότι η απεικόνιση των αποτελεσμάτων της εξομοίωσης της διασποράς του INL (μπλε σημεία) συμπίπτουν με καλή ακρίβεια με τα αποτελέσματα της παράστασης: που απεικονίζονται με κόκκινα σημεία. N (,5) ( ),65 Ν+ (4.8) Measured Normalized Fitted σinl σinl σinl 4.8.37.39 5.37.53.5 6.74.6.59 7.49.64.6 8.98.64.63 9.597.66.64.9.63.65.39.67.65.4776.66.65 3.9545.65.65 4.984.65.65 5 3.85.67.65.7 Διασπορά του INL (LSBits).65.6.55.5.45.4.35 4 6 8 4 6 Normalized Fitted Αριθμός των bits του DAC Σχ. 4-3 Σύγκριση κανονικοποιημένης σinl, από εξομοίωση, με fitted σinl 69

Ομοίως διαπιστώνουμε ότι η απεικόνιση των αποτελεσμάτων της εξομοίωσης της μέσης τιμής του DNL (μπλε σημεία) συμπίπτουν με καλή ακρίβεια με τα αποτελέσματα της παράστασης: που απεικονίζονται με κόκκινα σημεία. N,433( Ν ) (4.9) Measured Normalized Fitted mdnl mdnl mdnl 4.6.3756.378 5.4.3875.397 6.53.3953.397 7.5.4.4 8.8.46.47 9.6.47.45.4.45.49.855.43.43.6499.48.43 3 3.387.439.433 4 6.683.433.433 5 3.9.43.433.4 Μέση τιμή του DNL (LSBits).45.4.395.39.385.38.375.37 4 6 8 4 6 Normalized Fitted Σχ. 4-4 Σύγκριση κανονικοποιημένης mdnl, από εξομοίωση, με fitted mdnl 7

Και τέλος διαπιστώνουμε ότι η απεικόνιση των αποτελεσμάτων της εξομοίωσης της διασποράς του DNL (μπλε σημεία) συμπίπτουν με καλή ακρίβεια με τα αποτελέσματα της παράστασης: που απεικονίζονται με κόκκινα σημεία. N (,5) ( ),49 Ν+ (4.) Measured Normalized Fitted σdnl σdnl σdnl 4.37.34.33 5.75.355.356 6.5.375.38 7.37.398.396 8.65.4.4 9.33.48.46.458.4.47.4937.4.48.9873.4.49 3.973.49.49 4 3.9444.47.49 5 7.955.43.49.4 Διασπορά του DNL (LSBits).4.38.36.34.3.3.8 4 6 8 4 6 Normalized Fitted Αριθμός των Bits του DAC Σχ. 4-5 Σύγκριση κανονικοποιημένης σdnl, από εξομοίωση, με fitted σdnl 7

Από τις εξομοιώσεις τελικά μπορούμε να συνάγουμε ότι: Ένας N-Bits Ladder σε συνδεσμολογία ρεύματος που κατασκευάζεται με αντιστάσεις που έχουν μέση τιμή και κανονική διασπορά σ, θα έχει: Παράμετρος Μέση Τιμή (m) Διασπορά (σ) σ σ Ν+ ( ) INL, 4 N Ν (,5) ( ),65 N ( ) σ DNL,433 N Ν (,5) ( ), 49 N ( ) Πυκνότητα πιθανότητας k x θ e Px ( ) = k θ Γ( k) σ Ν+ k = ( m/ σ ) θ = σ / m Σημείωση: Οι τιμές της μέσης τιμής m και της διασποράς σ του INL και του DNL εκφράζονται σε LSBits. Επιπλέον από την θεωρία, που επιβεβαιώνεται και από τις εξομοιώσεις, διαπιστώνεται ότι η τιμή της διασποράς του ρεύματος εξόδου ενός Current Mode Ladder είναι: Για το MSBit: σ I MSB σ 44 576 + 6 4 5 5 Για τα λιγότερο σημαντικά bits (MSB- c=, MSB- c=): N σ 56 56 56 64 σ IC 4 4 c+ 4 4 6 + 6 4 + 6 + 6 4 4 5 5 5 5 Για το LSBit: c c c N c N N c σ 56 384 σ ILSB 4 + 96 4 N + 4 8 4 4 5 5 3N N N N x 7

Παρατηρήσεις Συμπεράσματα: Ας συνοψίσουμε τις μέχρι τώρα παρατηρήσεις που προέκυψαν. Ο μέσος όρος του INL είναι συνάρτηση του αριθμού των bits του DAC και της διασποράς του ρεύματος του MSBit του DAC. Η διασπορά του ρεύματος του DAC έχει υπολογιστεί μαθηματικά. Συνεπώς γνωρίζοντας τη διασπορά του ρεύματος του MSBit γνωρίζουμε ουσιαστικά και τον μέσο όρο του INL. Ο λόγος της μέσης τιμής του INL προς τη διασπορά του είναι συνάρτηση του αριθμού των bits του DAC. Επομένως, αν γνωρίζουμε τη μέση τιμή του INL ενός DAC μπορούμε να βρούμε και την διασπορά της. Ο λόγος της μέσης τιμής του INL προς τη διασπορά του είναι ανεξάρτητος του σφάλματος, μέχρι μιας οριακής τιμής. Ο λόγος της μέσης τιμής του INL προς την διασπορά του ρεύματος του MSBit του DAC είναι ανεξάρτητος του σφάλματος, μέχρι μιας οριακής τιμής. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του INL είναι συνάρτηση Γάμμα με παραμέτρους: minl o Shape: k = σ INL σ INL o ate: θ = minl o και συνάρτηση: x k x θ e Px ( ) = k θ Γ( k) 73

4.3 Πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC Γνωρίζοντας τώρα τη συμπεριφορά (πυκνότητα πιθανότητας) του INL, καθώς και τη συσχέτιση μεταξύ των παραμέτρων αυτής, μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια την πιθανότητα να πάρουμε ένα γραμμικό DAC, αν γνωρίζουμε το σφάλμα των στοιχείων του. Ένας DAC χαρακτηρίζεται γραμμικός όταν το INL του κυμαίνεται σε μια περιοχή ίση με LSB. Δηλαδή πρέπει να ισχύει.5 LSB INL.5 LSB (4.) Ο όρος LSB χαρακτηρίζει την ανάλυση ενός DAC. Συγκεκριμένα η μικρότερη μεταβολή ρεύματος η οποία μπορεί να υπάρξει στην έξοδο του DAC προκύπτει όταν το λιγότερο σημαντικό ψηφίο (LSB) στην ψηφιακή λέξη, μεταβάλλεται από λογικό σε λογικό. Αυτή η ελάχιστη μεταβολή ρεύματος αναφέρεται επίσης και σαν ανάλυση του μετατροπέα και δίνεται από την σχέση Έτσι ορίζεται και το LSB, το οποίο ισούται με Iref I LSB = (4.) N LSB = (4.3) Έχοντας υπόψη μας τη σχέση 3.3 (σχέση «γραμμικότητας» ενός DAC), καθώς επίσης και το γεγονός ότι γνωρίζουμε την συμπεριφορά του INL, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC. Πιο συγκεκριμένα, έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ποια η πιθανότητα να πάρουμε ένα - bits DAC, δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε αντιστάσεις με σφάλμα,5%. Βάση της μελέτης που προηγήθηκε είδαμε ότι γνωρίζοντας την ανοχή των στοιχείων (σφάλμα) του DAC, μπορούμε να υπολογίσουμε μαθηματικά τη μέση τιμή και τη διασπορά του INL. Επίσης γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του INL είναι συνάρτηση Γάμμα με παραμέτρους που εξαρτώνται αποκλειστικά από τη μέση τιμή και τη διασπορά του INL. N x k x θ e Px ( ) = k θ Γ( k) (4.4) Όπου: minl k = σ INL σ INL θ = minl Άρα, γνωρίζουμε και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του συγκεκριμένου DAC που θέλουμε να πάρουμε. Τέλος, για να υπολογίσουμε ποια η πιθανότητα να πάρουμε τον εν λόγω DAC, ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση πιθανότητας στο διάστημα όπου ο DAC να χαρακτηρίζεται γραμμικός βάση της σχέσης 4.. Δηλαδή, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να πάρουμε ένα -bits DAC θα ολοκληρώσουμε στο διάστημα έως,5 bits..5 P() = P( x) dx (4.5) Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC, έχοντας ως δεδομένο: Ανοχή σφάλματος στα στοιχεία (αντιστάσεις) του DAC:,5% 74

Σχ. 4-6 Πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC.. 3 4 5 6 6 8 4 Αριθμός των bits του DAC Πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων Το πιο πάνω σχήμα, μας λέει ότι η πιθανότητα να πάρουμε ένα DAC ανάλυσης μέχρι και 9 bits, με τα χαρακτηριστικά που αναφέραμε προηγουμένως είναι, δηλαδή % σίγουρο. Για μεγαλύτερο αριθμό bits παρατηρούμε ότι η πιθανότητα μειώνεται εκθετικά. Πιο κάτω φαίνεται γραφικά πιο το ποσοστό να πάρουμε DACs συγκεκριμένης ακρίβειας, συναρτήσει της διασποράς των αντιστάσεων. Και πάλι χρησιμοποιούμε ως δεδομένο: Ανοχή σφάλματος στα στοιχεία (αντιστάσεις) του DAC:,5% ( Ν+.5) P( Ν ) = P( x) dx (4.6) ( Ν.5).6 Ποσοστό των DACs.4. Σχ. 4-7. 5 5 5 Ακρίβεια του DAC Ποσοστό των DACs συναρτήσει της ακρίβειάς τους και της διασποράς των αντιστάσεων 75

Στην συνέχεια παρουσιάζεται η πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC για τις πέντε τιμές που μελετήσαμε και προηγουμένως, όσον αφορά τη διασπορά των αντιστάσεων (,%,,5%,,5%, %, %). Πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC.. 3 4 5 err=.% err=.5%. err=.5% err= % err= % Σχ. 4-8 6 4 6 8 4 6 Αριθμός των bits του DAC Πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC συναρτήσει διαφόρων τιμών για τη διασπορά των αντιστάσεων Το πιο πάνω γράφημα μας δίνει την πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC αν γνωρίζουμε τη διασπορά των αντιστάσεων που αποτελούν τον DAC. Μια εύλογη παρατήρηση είναι ότι καθώς αυξάνεται η διασπορά των αντιστάσεων του DAC, η πιθανότητα να πάρουμε έναν x-bits DAC μειώνεται εκθετικά. 76

5 Σχεδιασμός DAC ρεύματος υψηλής γραμμικότητας Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε την αρχιτεκτονική ενός DAC, που προτάθηκε από τον κ. Κ. Ευσταθίου και στηρίζεται σε ένα συμβατικό ladder. Με τη συγκεκριμένη αρχιτεκτονική επιτυγχάνεται υψηλή γραμμικότητα και μεγάλη ταχύτητα μετατροπής. Η ιδέα ήταν απλή: αφού η μη γραμμικότητα του συμβατικού ladder DAC οφείλεται στις αποκλίσεις των ρευμάτων σε κάθε Bit, μπορούμε να τις μειώσουμε στο ελάχιστο προσθέτοντας ένα απλό ladder στους κάθετους κλάδους του αρχικού DAC, δίνοντας με αυτό τον τρόπο, την δυνατότητα ρύθμισης του ρεύματος σε κάθε κλάδο. Έχοντας τις σχέσεις που δίνουν την απόκλιση στα ρεύματα του κάθε κλάδου, μπορούμε να υπολογίσουμε τις κατάλληλες ρυθμίσεις έτσι ώστε να έχουμε την ελάχιστη απόκλιση σε κάθε κλάδο. Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου παρουσιάζεται η αρχιτεκτονική και περιγράφεται η λειτουργία του προτεινόμενου DAC. Στην συνέχεια περιγράφεται λεπτομερώς η διαδικασία ρύθμισης του DAC. 5. Αρχιτεκτονική και λειτουργία του προτεινόμενου DAC: Στο σχήμα 5- απεικονίζεται η προτεινόμενη αρχιτεκτονική. Σε αυτό τον σχεδιασμό τα FETs με ονομασία QH και QV αντιπροσωπεύουν τις αντιστάσεις του οριζόντιου και κάθετου κλάδου αντίστοιχα, του σχήματος 5-7. Τα FETs είναι ιδίου μεγέθους, ενώ λειτουργούν στην γραμμική περιοχή και έχουν ενεργό αντίσταση ON. Σχ. 5- Αρχιτεκτονική του ρυθμιζόμενου DAC ρεύματος. Στον κάθετο κλάδο του κάθε Bit υπάρχει ένας Ν-bits Ladder, που λειτουργεί ως ρυθμιστής του ρεύματος του συγκεκριμένου bit. Η ρύθμιση αυτή επιτυγχάνεται, σύμφωνα με την ψηφιακή λέξη 77

που δημιουργεί η βαθμίδα Calibration Word και εφαρμόζει στο ρυθμιστή ρεύματος. Έτσι έχουμε τη δυνατότητα να προσαρμόσουμε το ρεύμα στο κάθε Bit πολύ κοντά στη βέλτιστη (θεωρητική) τιμή του. Ακολούθως το ρεύμα του κάθε Bit (I out ), αφού πρώτα δημιουργηθεί ένα «κλώνος» του από ένα καθρέφτη ρεύματος, οδηγείται στην έξοδο. Το μπλοκ διάγραμμα της αρχιτεκτονικής (σχήμα 5-) αποτελείται από υποσυστήματα (FBit m ), κάθε ένα από τα οποία αντιπροσωπεύουν ένα πλήρες Bit του DAC. Ένα υποσύστημα περιλαμβάνει τα FETs QH i και QV i, τον ρυθμιστή ρεύματος, τον καθρέφτη ρεύματος καθώς και τα κυκλώματα που απαιτούνται για την σειριακή διάδοση της ψηφιακής λέξης. Τα ψηφιακά σήματα Din, Dout, SCLK και LOAD είναι υπεύθυνα για την εκχώρηση της ψηφιακής λέξης. Τα αναλογικά σήματα Cin και Cout χρησιμοποιούνται για την κλιμάκωση του ρεύματος, ενώ το CI OUT είναι το ρεύμα εξόδου του κάθε κόμβου. Τέλος τα σήματα b k αντιπροσωπεύουν το αντίστοιχο bit της ψηφιακής λέξης εισόδου του DAC. Σχ. 5- Μπλοκ διάγραμμα του ρυθμιζόμενου DAC ρεύματος. Σχ. 5-3 Η βαθμίδα του Fbit. Στο σχήμα 5-3 παρουσιάζεται η βαθμίδα του Fbit από το μπλοκ διάγραμμα του σχήματος 5-, ενώ στο σχήμα 5-4 απεικονίζεται με περισσότερες λεπτομέρειες το υποσύστημα (FBit m ). Τα FETs QH k και QV k,a θα οδηγήσουν το ρυθμιστή ρεύματος, στον οποίο το κάθε Bit του εμφανίζεται σε ξεχωριστό υποσύστημα (CBit m ) και περιέχει το κύκλωμα ρύθμισης. Σκοπός του κυκλώματος ρύθμισης είναι η επιλογή της εξόδου (CI out, CI error ), από την οποία θα περάσει το ρεύμα εξόδου του υποσυστήματος (CBit m ). Η έξοδος CI out οδηγείτε σε ένα καθρέφτη ρεύματος (FET s M έως M4), ο οποίος δημιουργεί ένα κλώνο ρεύματος. Το ρεύμα αυτό οδηγείται στην έξοδο του υποσυστήματος (FBit m ) μέσω των FET s S και S. ενώ η έξοδος CI error παρέχει το ρεύμα σφάλματος, που αφήνεται στη γείωση (μέσω των FET s E και E). 78

Σχ. 5-4 Το Block FBit του ρυθμιζόμενου DAC ρεύματος. Σχ. 5-5 Η βαθμίδα του Cbit. Τέλος κάθε block CBit m (m= NC-), αντιπροσωπεύει ένα bit του ρυθμιστή, όπως φαίνεται στο σχήμα 5-6, και αποτελείται από έναν bit καταχωρητή και από έναν bit calibration ladder, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Ο calibration register αποτελείται από δύο D-FF s και επιτρέπει τη σειριακή είσοδο / παράλληλη οδήγηση των calibration words του DAC s. 79

Σχ. 5-6 Το Block CBit m του ρυθμιζόμενου DAC ρεύματος. Μόλις ανατεθούν οι calibration words, όλα τα FET s, με ονομασία Q, M και E λειτουργούν σε σταθερή κατάσταση (steady state), ανεξάρτητα από την ψηφιακή είσοδο των DAC s. Μόνο τα FET s S και S, κάθε calibration κόμβου, εναλλάσσουν την λειτουργίας τους ανάλογα με την λέξη του DAC. Αυτό συνεπάγει ότι τα περισσότερα από τα κυκλώματα λειτουργούν σε σταθερές συνθήκες, ενώ ένα μικρό μέρος τους μόνο χρειάζεται να εναλλάσσεται, συμβάλλοντας έτσι σε υψηλές επιδόσεις ταχύτητας. Δεδομένου ότι το ρεύμα στην πλειονότητα των FET s, είναι σταθερό, η κατανάλωση ενέργειας του κυκλώματος θα είναι περίπου ίση με V DD I EF. 5. Η ρύθμιση του προτεινόμενου DAC Έστω ότι έχουμε τις ακριβείς τιμές για τα ρεύματα ενός 8bit DAC. Οι τιμές αυτές παρουσιάζουν μια απόκλιση από τα ιδανικά ρεύματα, λόγω των σφαλμάτων που παρουσιάζουν οι αντιστάσεις του ίδιου DAC. Θέλουμε, τώρα, να υπολογίσουμε τη μέγιστη αρνητική απόκλιση από το ιδανικό ρεύμα και να βρούμε σε πιο Bit παρουσιάζεται αυτή. 8 Η μέγιστη αρνητική απόκλιση δίνεται από την σχέση: {( ) i } σ I = min Ite Iid (5.) i i i Όπου: i : το Bit που γίνεται ο έλεγχος. Το i παίρνει ακέραιες τιμές από (για το MSB) έως Ν- (για το LSB). Ite i : το ρεύμα στο Bit i. Iid : το ιδανικό ρεύμα στο Bit i. i Σημειώνεται εδώ ότι μπορούμε οι αποκλίσεις μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις 3-6 έως 3-8 του κεφαλαίου 3. Σε αυτή την περίπτωση η μέγιστη αρνητική απόκλιση δίνεται από την σχέση: Όπου: σi i { σith i i } = min (5.)