ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΠΡΟΑΙΡΕΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ARBITRAGE 8.1. Γενικά Εδώ εξετάζουµε τους παράγοντες που επηρεάζουν τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης. Όπως θα δούµε οι τιµές τους θα πρέπει να βρίσκονται µέσα σε σαφή όρια, ειδάλλως δηµιουργούνται ευκαιρίες arbitrage. Υπό φυσιολογικές συνθήκες οι τιµές των παραγώγων αλλά και των υπόλοιπων κεφαλαιουχικών στοιχείων δεν είναι δυνατόν να δηµιουργούν συστηµατικά δυνατότητες arbitrage, διότι µόλις αυτές εµφανίζονται οι επενδυτές προσπαθούν αµέσως να τις εκµεταλλευτούν, και στην διαδικασία οι τιµές αυτο-διορθώνονται. Θα αναλύσουµε επίσης κάτω από ποιες συνθήκες είναι βέλτιστη η πρώιµη εξάσκηση των δικαιωµάτων Αµερικανικού τύπου. Θα αρχίσουµε εξετάζοντας τους παράγοντες που επιδρούν στην διαµόρφωση των τι- µών των δικαιωµάτων. Παρόλο που η ανάλυσή µας ισχύει για οποιοδήποτε υποκείµενη αξία, εδώ επικεντρωνόµαστε στα δικαιώµατα µετοχών. 8.2. Καθοριστικοί παράγοντες των τιµών των δικαιωµάτων Η τιµή των δικαιωµάτων εξαρτάται από µια σειρά παραγόντων. Συνολικά µπορούµε να διακρίνουµε έξι καθοριστικούς παράγοντες που επηρεάζουν την τιµή ενός δικαιώµατος προαίρεσης σε µετοχή: Η τρέχουσα τιµή της µετοχής Η τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος Η υπολειπόµενη διάρκεια έως την λήξη του δικαιώµατος Η µεταβλητότητα της τιµής της µετοχής 120

Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο Τα µερίσµατα που αναµένονται µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην επόµενη ενότητα, εξετάζουµε τι συµβαίνει στην τιµή του δικαιώµατος όταν αλλάζει κάποιος από τους παραπάνω παράγοντες ενώ οι υπόλοιποι παραµένουν σταθεροί. 8.2.1. Τιµή µετοχής Το κέρδος που προκύπτει από την εξάσκηση ενός δικαιώµατος αγοράς, αυξάνεται (µειώνεται) όσο µεγαλύτερη (µικρότερη) είναι η διαφορά της τρέχουσας τιµής της µετοχής από την τιµή εξάσκησης. Συνεπώς όσο αυξάνεται (µειώνεται) η τιµή της µετοχής τόσο αυξάνεται (µειώνεται) και η τιµή του δικαιώµατος αγοράς. Το αντίστροφο, ισχύει για ένα δικαίωµα πώλησης, όπου η αύξηση (µείωση) της τιµής της µετοχής προκαλεί µείωση (αύξηση) της τιµής του δικαιώµατος πώλησης. 8.2.2. Τιµή εξάσκησης Επειδή το κέρδος από την εξάσκηση ενός δικαιώµατος αγοράς εξαρτάται από το πόσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της µετοχής από την τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος, η αύξηση (µείωση) της τιµής εξάσκησης περιορίζει (διευρύνει) το κέρδος και άρα επιδρά αρνητικά (θετικά) στην αξία του δικαιώµατος. Για ένα δικαίωµα πώλησης η κατάσταση είναι αντίστροφη, καθώς η αύξηση (µείωση) της τιµής εξάσκησης συνεπάγεται και αύξηση (µείωση) της τιµής του δικαιώ- µατος. 8.2.3. Υπολειπόµενη διάρκεια Τόσο για τα δικαιώµατα αγοράς όσο και για τα δικαιώµατα πώλησης Αµερικανικού τύπου, η µεγαλύτερη (µικρότερη) υπολειπόµενη διάρκεια µέχρι την λήξη (residual maturity) µεταφράζεται σε µεγαλύτερη (µικρότερη) τιµή. Ο λόγος είναι ότι όσο µεγαλύτερος (µικρότερος) ο χρόνος µέχρι την λήξη τόσο µεγαλύτερες (µικρότερες) και οι πιθανότητες για τον κάτοχο του δικαιώµατος, να δηµιουργηθούν οι κατάλληλες συνθήκες που θα του επιτρέψουν να αποκοµίσει κέρδη. Αντίθετα όµως, τα δικαιώµατα Ευρωπαϊκού τύπου, δεν έχουν αναγκαστικά µεγαλύτερη αξία για µακρύτερες λήξεις. Ο λόγος είναι ότι µπορούν να ασκηθούν αποκλειστικά σε µία συγκεκριµένη ηµεροµηνία και όχι οποιαδήποτε στιγµή µέχρι την λήξη. Στην Εικόνα 8.1 βλέπουµε την γραφική απεικόνιση της αξίας ενός δικαιώµατος αγοράς ως συνάρτηση της υπολειπόµενης διάρκειας. 121

T = 0,25 έτη T = 0,5 έτη T = 0,75 έτη T = 1 έτος Εικόνα 8.1: Η αξία ενός δικαιώµατος αγοράς ως συνάρτηση της υπολειπόµενης διάρκειας (συνεχείς καµπύλες). Με την διακεκοµµένη καµπύλη η εσωτερική αξία του δικαιώµατος. 8.2.4. Μεταβλητότητα Η µεταβλητότητα (τυπική απόκλιση) είναι ένα στατιστικό µέγεθος που αντανακλά το εύρος των διακυµάνσεων της τιµής µιας µετοχής κατά την διάρκεια µιας χρονικής περιόδου. Η µεταβλητότητα συµβολίζεται µε το ελληνικό γράµµα σ. Όσο µεγαλύτερες και περισσότερο απότο- µες είναι αυτές οι διακυµάνσεις σε σχέση µε την µέση τιµή της µετοχής, τόσο µεγαλύτερη είναι και η µεταβλητότητα. Στην Εικόνα 8.2 βλέπουµε την χρονική εξέλιξη των τιµών δύο µετοχών κατά την ίδια χρονική περίοδο. Η αρχική τιµή είναι ίδια και για τις δύο µετοχές. Παρατηρείστε πόσο µεγαλύτερο είναι το εύρος των διακυµάνσεων για την µετοχή µε µεταβλητότητα 35% σε σχέση µε την µετοχή µε µεταβλητότητα 15%. Από την Εικόνα 8.2 είναι εµφανές ότι όσο αυξάνεται η µεταβλητότητα τόσο αυξάνονται και οι πιθανότητες ότι η µετοχή θα αυξήσει σηµαντικά ή θα µειώσει σηµαντικά την τιµή της, σε σχέση µε τα τρέχοντα επίπεδα. Για τον κάτοχο µιας µετοχής (ή ενός ΣΜΕ σε µετοχή), τα παραπάνω δύο αποτελέσµατα αντισταθµίζουν το ένα το άλλο. ηλαδή, η αύξηση της µεταβλητότητας αυξάνει το δυνητικό κέρδος αλλά και την δυνητική ζηµία του κατόχου της µετοχής (ή του ΣΜΕ στη µετοχή) µε συµµετρικό τρόπο. Ωστόσο, δεν συµβαίνει το ίδιο και µε τον κάτοχο ενός δικαιώµατος αγοράς ή πώλησης στη µετοχή. 122

σ = 35% σ = 15% Εικόνα 8.2: Χρονική εξέλιξη των τιµών δύο µετοχών µε ίδια αρχική τιµή και διαφορετικές µεταβλητότητες. Ο κάτοχος ενός δικαιώµατος αγοράς επωφελείται από την αύξηση της τιµής της µετοχής, ενώ έχει περιορισµένο κίνδυνο απωλειών στην περίπτωση της µείωσης της τιµής της µετοχής, γιατί το περισσότερο που µπορεί να χάσει είναι τα χρήµατα που πλήρωσε για την αγορά του δικαιώµατος. Παροµοίως, κάτοχος ενός δικαιώµατος πώλησης επωφελείται από την πτώση της τι- µής της µετοχής, ενώ έχει περιορισµένο κίνδυνο απωλειών στην περίπτωση της αύξησης της τιµής της µετοχής, Με άλλα λόγια λοιπόν, η αξία των δικαιωµάτων αυξάνεται όταν αυξάνεται η µεταβλητότητα. Αντίστροφα, όταν µειώνεται η µεταβλητότητα, µειώνεται και η αξία των δικαιωµάτων. 8.2.5. Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο Το επιτόκιο δίχως κίνδυνο, επηρεάζει την τιµή του δικαιώµατος λιγότερο ξεκάθαρα απ ότι οι προηγούµενοι παράγοντες. Στην πράξη έχει παρατηρηθεί γενικά ότι όταν αυξάνονται (µειώνονται) τα επιτόκια τότε αυξάνεται (µειώνεται) και η τιµή των δικαιωµάτων αγοράς, ενώ αντίθετα µειώνεται (αυξάνεται) η τιµή των δικαιωµάτων πώλησης. Μία πιθανή ερµηνεία είναι η παρακάτω. Ο αγοραστής ενός δικαιώµατος αγοράς σε µετοχή, καταβάλλει κατά την αγορά του δικαιώµατος ένα µέρος µόνο του κεφαλαίου που θα χρειαζόταν για να αγοράσει την µετοχή απ ευθείας από την τρέχουσα αγορά. Το κεφάλαιο που του αποµένει µπορεί να το επενδύσει µέχρι την λήξη του δικαιώµατος µε το επιτόκιο δίχως κίνδυνο. Όσο µεγαλύτερο το επιτόκιο, τόσο µεγαλύτερη η απόδοση της επένδυσής του και συνεπώς η αξία του δικαιώµατος αγοράς και το α- ντίστροφο. 123

σ = 40% σ = 20% Εικόνα 8.3: Η αξία ενός δικαιώµατος αγοράς ως συνάρτηση της µεταβλητότητας της υποκείµενης αξίας (συνεχείς καµπύλες). Με την διακεκοµµένη καµπύλη η εσωτερική αξία του δικαιώµατος. Εικόνα 8.4: Η αξία ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου (European put) ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής (συνεχής καµπύλη). Με την διακεκοµµένη καµπύλη η εσωτερική αξία του δικαιώµατος. Παρατηρούµε ότι η αξία ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου για κάποιες τιµές της υποκείµενης αξίας µπορεί να είναι µικρότερη της εσωτερικής του αξίας. 124

Πίνακας 8.1: Σύνοψη της επίδρασης στη τιµή των δικαιωµάτων, της µεταβολής των διαφόρων παραγόντων από τους οποίους εξαρτάται. Ευρωπαϊκός τύπος Αµερικανικός τύπος Μεταβολή ικαίωµα Αγοράς ικαίωµα Πώλησης ικαίωµα Αγοράς ικαίωµα Πώλησης Τιµή µετοχής! " # " # $ # " # " Τιµή εξάσκησης! # " # " $ " # " # Μεταβλητότητα! " " " " $ # # # # Υπολειπόµενη!?? " " διάρκεια $?? # # Επιτόκιο! " # " # $ # " # " Μέρισµα! # " # " $ " # " # Για τον αγοραστή ενός δικαιώµατος πώλησης ή αύξηση του επιτοκίου δίχως κίνδυνο συνεπάγεται µείωση της παρούσας αξίας του µελλοντικού εισοδήµατος που θα λάβει από την εξάσκηση του δικαιώµατος (πώληση της µετοχής). Συνεπώς όσο µεγαλύτερο το επιτόκιο τόσο µικρότερη η αξία του δικαιώµατος πώλησης και το αντίστροφο. Γενικά, η επίδραση των µεταβολών του επιτοκίου δίχως κίνδυνο στην αξία των δικαιωµάτων είναι πολύ µικρή, κυρίως γιατί οι λήξεις των δικαιωµάτων είναι σχετικά σύντοµες. Ειδικά, στην περίπτωση των δικαιωµάτων σε µετοχές η επίδραση αυτή µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα. 8.2.6. Μερίσµατα Ο κάτοχος ενός δικαιώµατος αγοράς ή πώλησης σε µετοχή δεν καρπώνεται το µέρισµα που διανέµει η µετοχή, σε αντίθεση φυσικά µε το κάτοχο της µετοχής. Από την άλλη, η διανοµή µερίσµατος έχει ως αποτέλεσµα την αναπροσαρµογή της τιµής της µετοχής προς τα κάτω, µετά την ηµεροµηνία αποκοπής µερίσµατος. Αυτό είναι αρνητικό για τον κάτοχο δικαιώµατος αγοράς στην µετοχή, και θετικό για τον κάτοχο δικαιώµατος πώλησης στην µετοχή. Έτσι λοιπόν, η αξία των δικαιωµάτων αγοράς σχετίζεται αρνητικά µε το µέγεθος του αναµενόµενου µερίσµατος, και η αξία των δικαιωµάτων πώλησης σχετίζεται θετικά µε το µέγεθος του αναµενόµενου µερίσµατος. Ο Πίνακας 8.1 δίνει µία σύνοψη του τρόπου µε τον οποίο η τιµή των δικαιωµάτων επηρεάζεται από τους παραπάνω παράγοντες. 125

8.3. Υποθέσεις για την εξαγωγή των ορίων των τιµών των δικαιω- µάτων προαίρεσης Οι υποθέσεις που κάνουµε για να εξάγουµε τα όρια arbitrage, για τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης, είναι παρόµοιες µε τις αντίστοιχες υποθέσεις για τις τιµές των προθεσµιακών συµβάσεων και ΣΜΕ. Συγκεκριµένα υποθέτουµε ότι υπάρχουν έστω και µερικοί συµµετέχοντες στις αγορές, όπως για παράδειγµα οι µεγάλες επενδυτικές τράπεζες, για τους οποίους ισχύει: εν υπάρχουν προµήθειες ή κόστη συναλλαγών. Όλα τα κέρδη από τις συναλλαγές είναι υποκείµενα στον ίδιο φορολογικό συντελεστή. Υπάρχει η δυνατότητα να δανείζονται και να δανείζουν µε το επιτόκιο δίχως κίνδυνο. Εκµεταλλεύονται άµεσα τις τυχόν ευκαιρίες για arbitrage όταν και αν αυτές δη- µιουργηθούν. 8.4. Συµβολισµοί Θα χρησιµοποιήσουµε τους παρακάτω συµβολισµούς: S : η τρέχουσα τιµή της µετοχής, X : η τιµή εξάσκησης του δικαιώµατος, T : ο χρόνος ως την λήξη του δικαιώµατος (σε έτη), S T : η τιµή της µετοχής στην λήξη του δικαιώµατος, r : το επιτόκιο δίχως κίνδυνο για χρόνο T, C : η αξία (τιµή) ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου, P : η αξία (τιµή) ενός δικαιώµατος πώλησης Αµερικανικού τύπου, c : η αξία (τιµή) ενός δικαιώµατος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου, p : η αξία (τιµή) ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου, D : η παρούσα αξία των µερισµάτων που θα δώσει η µετοχή µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. 126

8.5. Άνω όρια τιµών δικαιωµάτων αγοράς Ένα δικαίωµα αγοράς Αµερικανικού ή Ευρωπαϊκού τύπου, δίνει στον κάτοχό του την δυνατότητα να αγοράσει µια µετοχή σε συγκεκριµένη τιµή. Ότι και να γίνει, το δικαίωµα αγοράς της µετοχής, δεν µπορεί να αξίζει περισσότερο από την ίδια την µετοχή. Έτσι λοιπόν, η τιµή της µετοχής αποτελεί ένα πάνω όριο για την τιµή του δικαιώµατος. Είναι λοιπόν: c S και C S (8.1) Εάν οι παραπάνω σχέσεις δεν ισχύουν, τότε ένας arbitrageur µπορεί να αποκοµίσει σίγουρο κέρδος δίχως την ανάληψη κινδύνου, εάν αγοράσει την µετοχή και πουλήσει το δικαίωµα α- γοράς στη µετοχή. 8.6. Άνω όρια τιµών δικαιωµάτων πώλησης Ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου, δίνει στον κάτοχό του την δυνατότητα να πουλήσει µια µετοχή σε συγκεκριµένη τιµή, έως µια συγκεκριµένη ηµεροµηνία. Όσο λοιπόν κι αν µειωθεί η τιµή της µετοχής, το δικαίωµα πώλησης δεν είναι δυνατόν να αξίζει περισσότερο από την τιµή εξάσκησης Χ. Έτσι λοιπόν: P X (8.2) Επειδή ένα δικαίωµα πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου µπορεί να ασκηθεί µόνον στην λήξη, η τιµή του οποιαδήποτε χρονική στιγµή δεν είναι δυνατόν να είναι µικρότερη από την παρούσα αξία της τιµής εξάσκησης Χ. Έτσι λοιπόν: p Xe (8.3) Εάν δεν ίσχυε αυτό, τότε ένας arbitrageur θα µπορούσε µπορεί να αποκοµίσει σίγουρο κέρδος δίχως την ανάληψη κινδύνου, εάν πουλούσε το δικαίωµα πώλησης και επένδυε τα χρήµατα µε το επιτόκιο δίχως κίνδυνο. 127

8.7. Κάτω όρια τιµών για δικαιώµατα αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου σε Όταν δεν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Το κάτω όριο για την τιµή ενός δικαιώµατος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου σε µία µετοχή που δεν αποδίδει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος είναι: ( S Xe,0) c max (6.4) Η ανισότητα (8.4) επισηµαίνει ότι δεν είναι δυνατόν να έχουµε αρνητικές τιµές για το δικαίω- µα. Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι εάν δεν ισχύει η παραπάνω ανισότητα δηµιουργούνται δυνατότητες arbitrage. Έστω, λοιπόν ότι S = 20 ευρώ, Χ = 18 ευρώ, r = 10% ετησίως, και Τ = 1 έτος. Στην περίπτωση αυτή έχουµε: c > max 0,10 ( 20 18e, 0) = 3, 71 Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι η τιµή του δικαιώµατος έχει διαµορφωθεί σε 3 ευρώ, δηλαδή χα- µηλότερα από το θεωρητικό ελάχιστο των 3,71 ευρώ. Στην περίπτωση αυτή, ένας arbitrageur µπορεί να αγοράσει το δικαίωµα αγοράς και να πουλήσει ανοικτά (short sell) την µετοχή. Αυτό µεταφράζεται σε µια εισροή 20 3 = 17 ευρώ ανά µετοχή, τα οποία εάν επενδυθούν για ένα έτος µε 10%, θα γίνουν 17e 0,10 = 18,79 ευρώ ανά µετοχή. Στη λήξη του δικαιώµατος, µετά από ένα έτος, εάν η τιµή της µετοχής είναι µεγαλύτερη από 18 ευρώ, τότε ο arbitrageur ασκεί το δικαίωµα (αγοράζει την µετοχή προς 18 ευρώ) και κλείνει την θέση της ανοικτής πώλησης (επιστρέφει την µετοχή που πούλησε δίχως να την έχει στην κατοχή του), πραγµατοποιώντας έτσι κέρδος ίσο µε : 18,79-18 = 0,79 ευρώ ανά µετοχή Εάν στη λήξη του δικαιώµατος η τιµή της µετοχής είναι χαµηλότερη από 18 ευρώ, τότε η µετοχή αγοράζεται από την τρέχουσα αγορά και κλείνει η θέση ανοικτής πώλησης. Στην περίπτωση αυτή, ο arbitrageur έχει ακόµη µεγαλύτερο κέρδος. Για παράδειγµα, αν η τιµή της µετοχής ισούται µε 17 ευρώ, το κέρδος του arbitrageur αντιστοιχεί σε: 18,79-17 = 1,79 ευρώ ανά µετοχή 128

Όταν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην περίπτωση που αναµένεται ότι η µετοχή θα δώσει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος η σχέση (6.4) γίνεται: ( S D Xe,0) c max (8.5) όπου D είναι η παρούσα αξία του µερίσµατος (ή των µερισµάτων) που θα δώσει η µετοχή. ηλαδή εάν µετά από χρόνο t, όπου t < T, δοθεί µέρισµα d ευρώ ανά µετοχή, τότε η σχέση (6.5) γίνεται: rt ( S de Xe,0) c max (8.6) όπου D = de rt 8.8. Κάτω όρια τιµών για δικαιώµατα πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου Όταν δεν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Το κάτω όριο για την τιµή ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου σε µία µετοχή που δεν αποδίδει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος είναι: ( Xe rt ) p max S,0 (8.7) Θα δείξουµε µε ένα παράδειγµα ότι εάν δεν ισχύει η παραπάνω ανισότητα δηµιουργούνται δυνατότητες arbitrage. Έστω, λοιπόν ότι S = 37 ευρώ, Χ = 40 ευρώ, r = 5% ετησίως, και Τ = έξι µήνες. Στην περίπτωση αυτή έχουµε: p > max 0,5 0,5 ( 40e 37, 0) = 2, 01 Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι η τιµή του δικαιώµατος έχει διαµορφωθεί σε 1 ευρώ, δηλαδή χα- µηλότερα από το θεωρητικό ελάχιστο των 2,01 ευρώ. Στην περίπτωση αυτή, ένας arbitrageur µπορεί να δανειστεί 38 ευρώ ανά µετοχή για έξι µήνες και να αγοράσει και το δικαίωµα πώλησης (1 ευρώ) αλλά και την µετοχή (37 ευρώ). Στο τέλος των έξι µηνών, ο arbitrageur θα πρέ- 129

πει να επιστρέψει στον δανειστή του 38e 0,5x0,5 = 38,96 ευρώ ανά µετοχή. Εάν τότε η τιµή της µετοχής είναι χαµηλότερη από 40 ευρώ, ο arbitrageur θα ασκήσει το δικαίωµα (θα πουλήσει την µετοχή προς 40 ευρώ) και θα ξεπληρώσει το δάνειο επιστρέφοντας 38,96 ευρώ ανά µετοχή, πραγµατοποιώντας κέρδος: 40 38,96 = 1,04 ευρώ ανά µετοχή Εάν στη λήξη του δικαιώµατος η τιµή της µετοχής είναι µεγαλύτερη από 40 ευρώ, τότε ο arbitrageur δεν ασκεί το δικαίωµα, πουλάει την µετοχή, ξεπληρώνει το δάνειο και έχει ακόµη µεγαλύτερο κέρδος. Για παράδειγµα, εάν η τιµή της µετοχής ισούται µε 42 ευρώ, το κέρδος του arbitrageur αντιστοιχεί σε: 42 38,96 = 3,04 ευρώ ανά µετοχή. Από την εξίσωση (8.7) συνάγεται ότι ένα δικαίωµα πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου σε µετοχή που δεν διανέµει µέρισµα έως την λήξη του δικαιώµατος µπορεί να αξίζει λιγότερο από την εσωτερική του αξία. Πράγµατι, σε πολλές περιπτώσεις συµβαίνει ακριβώς αυτό. Αυτό µπορούµε να το δούµε στην Εικόνα 8.4 όπου παρίσταται διαγραµµατικά η αξία ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου ως συνάρτηση της τιµής της µετοχής. Παρατηρούµε ότι κάτω από µία συγκεκριµένη τιµή µετοχής η αξία του δικαιώµατος είναι µικρότερη της εσωτερικής του αξίας. Αυτή η τιµή της µετοχής µεταβάλλεται καθώς µειώνεται η υπολειπόµενη διάρκεια. Όταν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην περίπτωση που αναµένεται ότι η µετοχή θα δώσει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος η σχέση (8.7) γίνεται: ( D + Xe rt ) p max S,0 (8.8) 130

8.9. Πρώιµη εξάσκηση δικαιωµάτων Αµερικανικού τύπου σε µετοχές Όταν δεν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην ενότητα αυτή θα δείξουµε καταρχήν πως δεν είναι ποτέ βέλτιστη η εξάσκηση ενός δικαιώµατος αγοράς Αµερικανικού τύπου σε µετοχή που δεν αποδίδει µέρισµα, πριν από την λήξη του δικαιώµατος. Ας πάρουµε, για παράδειγµα, ένα δικαίωµα αγοράς Αµερικανικού τύπου σε µετοχή µε τρέχουσα τιµή 50 ευρώ, που δεν δίνει µέρισµα µέχρι την λήξη η οποία είναι σε ένα µήνα, µε τιµή εξάσκησης 40 ευρώ. Το δικαίωµα είναι εντός χρηµατικού ισοδύναµου (in the money) και ο κάτοχός του µπορεί κάλλιστα να δελεαστεί να ασκήσει το δικαίωµα άµεσα. Ωστόσο, εάν η πρόθεση του επενδυτή είναι να κρατήσει στην κατοχή του την µετοχή πάνω από ένα µήνα, η εξάσκηση του δικαιώµατος δεν είναι σωστή ενέργεια. Το καλύτερο που θα µπορούσε να κάνει, είναι να κρατήσει το δικαίωµα και να το ασκήσει στο τέλος του µήνα (θα µπορούσε επίσης να κάνει ανοικτή πώληση της µετοχής και να κρατήσει το δικαίωµα). Στην περίπτωση αυτή, η τιµή εξάσκησης των 40 ευρώ, θα πληρωθεί ύστερα από έναν µήνα, κερδίζοντας τους αντίστοιχους τόκους πάνω στα 40 ευρώ για ένα µήνα. Από την στιγµή που η µετοχή δεν δίνει µέρισµα µέχρι την λήξη, δεν θυσιάζεται κανένα εισόδηµα. Ένα επιπλέον πλεονέκτηµα που έχει η αναµονή σε σχέση µε την άµεση εξάσκηση του δικαιώµατος είναι ότι πάντοτε υπάρχει η πιθανότητα να πέσει η τιµή της µετοχής κάτω από 40 ευρώ µέσα σε έναν µήνα. Εάν συµβεί αυτό, ο επενδυτής δεν θα ασκήσει το δικαίωµα και µάλιστα θα είναι ικανοποιηµένος που περίµενε. Το παράδειγµα αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχει κανένα πλεονέκτηµα όταν κάποιος προχωράει σε πρώιµη εξάσκηση, εάν σχεδιάζει να κρατήσει την µετοχή στην κατοχή του και µετά την λήξη του δικαιώµατος (στο παράδειγµα αυτό ένας µήνας). Τι γίνεται όµως στην περίπτωση που ο επενδυτής νοµίζει ότι η µετοχή είναι υπερτιµηµένη και αναρωτιέται αν πρέπει να ασκήσει το δικαίωµα και να πουλήσει την µετοχή; Στην περίπτωση αυτή, ο επενδυτής θα βγει περισσότερο κερδισµένος αν πουλήσει το δικαίωµα παρά εάν το ασκήσει. Το δικαίωµα θα αγοραστεί, πιθανότατα, από κάποιον άλλο επενδυτή ο οποίος θα θελήσει να κρατήσει την µετοχή στην κατοχή του. Σίγουρα υπάρχουν τέτοιοι επενδυτές, αλλιώς η τρέχουσα τιµή της µετοχής δεν θα ήταν 50 ευρώ. Η τιµή στην οποία θα πουληθεί το δικαίωµα σίγουρα θα είναι µεγαλύτερη από την εσωτερική του αξία των 10 ευρώ. Αυτό µπορούµε να το καταλάβουµε παρατηρώντας την σχέση (8.4) που µας δίνει το κάτω όριο για την τιµή του δικαιώµατος. Η ποσότητα Xe -rt είναι η παρούσα αξία της τιµής εξάσκησης Χ και άρα είναι µικρότερη από την τιµή εξάσκησης. Συνεπώς, το κάτω όριο της τιµής του δικαιώµατος θα είναι µεγαλύτερο από την εσωτερική 131

του αξία S X. Για επιτόκιο δίχως κίνδυνο 10%, η ελάχιστη τιµή του δικαιώµατος στο παράδειγµά µας βρίσκεται από την εξίσωση (8.4) ότι είναι: 50-40e -0,10x(1/12) = 10,33 ευρώ Στην συνέχεια θα δείξουµε ότι εάν ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου σε µετοχή που δεν αποδίδει µέρισµα, είναι εντός χρηµατικού ισοδύναµου (in the money) τότε είναι δυνατόν να είναι βέλτιστη η εξάσκηση του δικαιώµατος πριν από την λήξη. Ας πάρουµε για παράδειγµα, µία υποθετική οριακή κατάσταση, όπου η τιµή εξάσκησης είναι 10 ευρώ και η τιµή της µετοχής είναι µηδέν (φυσικά στην πράξη δεν µπορεί να παρατηρηθεί αυτή η τιµή). Αν κάποιος επενδυτής ασκήσει άµεσα το δικαίωµα πώλησης, τότε θα έχει κέρδος 10 ευρώ. Στην περίπτωση που ο επενδυτής περιµένει και δεν προχωρήσει σε άµεση εξάσκηση του δικαιώµατος, το κέρδος του είναι δυνατόν να είναι µικρότερο από 10 ευρώ αλλά όχι µεγαλύτερο από 10 ευρώ, γιατί δεν υπάρχουν αρνητικές τιµές µετοχών. Εξάλλου, είναι προτιµότερο να λάβει κανείς 10 ευρώ τώρα, παρά στο µέλλον. Με άλλα λόγια, είναι προτιµότερο, στην περίπτωση των δικαιωµάτων πώλησης, να προχωράει ο επενδυτής σε άµεση εξάσκηση του δικαιώµατος εφόσον κρίνει ότι αυτό τον συµφέρει. Όταν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Εάν αναµένεται διανοµή µερίσµατος πριν από την λήξη ενός δικαιώµατος Αµερικανικού τύπου, µπορεί να είναι βέλτιστο να ασκηθεί το δικαίωµα την τελευταία ηµέρα πριν την αποκοπή του µερίσµατος. Ο λόγος είναι ότι η αποκοπή του µερίσµατος θα προκαλέσει πτώση στην τιµή της µετοχής άρα και στην αξία του δικαιώµατος. Πρέπει να επισηµανθεί όµως ότι η εξάσκηση του δικαιώµατος αγοράς δεν είναι βέλτιστη σε καµία άλλη χρονική στιγµή µέχρι την λήξη του δικαιώµατος. Η διανοµή µερίσµατος γενικά τείνει να ελαττώνει την πιθανότητα πρώιµης εξάσκησης του δικαιώµατος πώλησης Αµερικανικού τύπου. Ένας λόγος είναι ότι η διανοµή µερίσµατος ίσως αυξήσει το κάτω όριο της τιµής του δικαιώµατος, άρα µετά την ηµεροµηνία αποκοπής ίσως το δικαίωµα έχει µεγαλύτερη χρονική αξία. Γενικά όµως, µπορούµε να πούµε ότι ένα εντός χρη- µατικού ισοδύναµου δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου µπορεί να ασκηθεί ανά πάσα στιγµή. 132

8.10. Κάτω όρια τιµών για δικαιώµατα αγοράς Αµερικανικού τύπου Όταν δεν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Επειδή όπως είδαµε στην ενότητα 8.9, δεν είναι ποτέ βέλτιστη η πρώιµη εξάσκηση Αµερικανικού τύπου δικαιώµατος αγοράς µετοχής που δεν αποδίδει µέρισµα, συνάγεται ότι η τιµή του δικαιώµατος είναι ίδια µε αυτή του αντίστοιχου δικαιώµατος Ευρωπαϊκού τύπου, δηλαδή C = c. Άρα από την εξίσωση (8.4) έχουµε ότι: ( S Xe,0) C max (8.9) Ένα ασθενέστερο κάτω όριο για το C είναι το : C max( S X, 0) (8.10) Εάν δεν ισχύει η ανισότητα (8.7) ένας arbitrageur µπορεί να αγοράσει το δικαίωµα αγοράς πληρώνοντας C ευρώ, να το ασκήσει (να αγοράσει την µετοχή προς Χ ευρώ) και να πουλήσει την µετοχή προς S, µε ένα καθαρό κέρδος (S - Χ C) ευρώ. Όταν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην περίπτωση που αναµένεται ότι η µετοχή θα δώσει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος η σχέση (8.10) γίνεται: C max( S D X, 0) (8.11) 8.11. Κάτω όρια τιµών για δικαιώµατα πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου Εφόσον, όπως είδαµε στην παράγραφο 8.9, υπάρχουν περιστάσεις που συµφέρει στον επενδυτή να ασκήσει πρώιµα ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου σε µετοχή δίχως µέρισµα, εξάγεται ότι το δικαίωµα αυτό αξίζει πάντοτε περισσότερο από το αντίστοιχο δικαίωµα Ευρωπαϊκού τύπου. Με άλλα λόγια, είναι πάντοτε P > p. Συγκεκριµένα το κάτω όριο για την τιµή δικαιώµατος πώλησης Αµερικανικού τύπου σε µετοχή δίχως µέρισµα, είναι: P max( X S, 0) (8.12) 133

Εάν δεν ισχύει η παραπάνω ανισότητα ένας arbitrageur µπορεί να αγοράσει την µετοχή και το δικαίωµα πώλησης, και έπειτα να ασκήσει το δικαίωµα, αποκοµίζοντας ένα καθαρό κέρδος. Επιπλέον, αυτό µπορεί να γίνει οποιαδήποτε στιγµή (και όχι αποκλειστικά στη λήξη του δικαιώµατος), ανεξάρτητα από το αν η µετοχή δίνει µέρισµα ή όχι. Από την εξίσωση (8.7) συνάγεται ότι ένα δικαίωµα πώλησης Αµερικανικού τύπου δεν µπορεί να αξίζει λιγότερο από την εσωτερική του αξία. 8.12. Η σχέση ισοτιµίας δικαιωµάτων αγοράς - πώλησης Όταν δεν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Ανάµεσα στις τιµές ενός δικαιώµατος αγοράς και ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου στην ίδια µετοχή που δεν διανέµει µέρισµα έως την λήξη των δικαιωµάτων, υπάρχει µία ένα προς ένα σχέση που είναι γνωστή σχέση ισοτιµίας δικαιωµάτων αγοράς πώλησης (putcall parity). Συγκεκριµένα : c p = S Xe (8.13) Μπορούµε να αποδείξουµε ότι ισχύει η παραπάνω σχέση χρησιµοποιώντας επιχειρήµατα arbitrage για τις περιπτώσεις που c p > S Xe και c p < S Xe. Οι συγκεκριµένες θέσεις που πρέπει να πάρουµε για να εκµεταλλευτούµε τις συνθήκες arbitrage που δηµιουργούν οι δύο ανισότητες είναι γνωστές ως ανάστροφη µετατροπή (reverse conversion) ή απλώς α- ναστροφή (reversal). Για τον Αµερικανικό τύπο η σχέση (8.13) δεν ισχύει. Η αντίστοιχη σχέση είναι η παρακάτω ανισότητα: S X < C P < S Xe (8.14) Όταν αναµένεται µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος Στην περίπτωση που αναµένεται ότι η µετοχή θα δώσει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος η σχέση (8.10) γίνεται: c p = S Xe rt D (8.15) 134

Για τον Αµερικανικό τύπο η αντίστοιχη σχέση είναι η παρακάτω ανισότητα: S D X < C P < S Xe (8.16) Παράδειγµα 8.1 Ας πάρουµε για παράδειγµα, ένα δικαίωµα αγοράς Αµερικανικού τύπου σε µετοχή που δεν διανέµει µέρισµα µέχρι την λήξη του δικαιώµατος, µε τιµή εξάσκησης 20 ευρώ, λήξη σε πέντε µήνες, και τιµή δικαιώµατος 1,5 ευρώ. Σύµφωνα µε όσα έχουµε πει, την ίδια ακριβώς τιµή θα έχει και το αντίστοιχο δικαίωµα αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου. Έστω επίσης, ότι η τρέχουσα τιµή της µετοχής είναι 19 ευρώ και το επιτόκιο δίχως κίνδυνο είναι 10% ετησίως. Με βάση την Εξίσωση (8.13), η τιµή ενός δικαιώµατος πώλησης Ευρωπαϊκού τύπου, µε τιµή εξάσκησης 20 ευρώ και λήξη σε 5 µήνες θα είναι: 1,5 p = 19 20e 0,10 ( 5 /12) p = 1,68 Από την Εξίσωση (8.14) έχουµε: 19 20 < 1,5 P < 19 20e 0,10 ( 5 /12) 1,68 < P < 2,50 135

Πίνακας 8.2: Άνω και κάτω όρια για τις τιµές των δικαιωµάτων προαίρεσης Άνω όριο Κάτω όριο Ευρωπαϊκός τύπος ικαίωµα αγοράς (δίχως µέρισµα) c S c max( S Xe,0) ικαίωµα πώλησης (δίχως µέρισµα) p Xe ( p max Xe rt S,0 ) ικαίωµα αγοράς (µε µέρισµα) c S c max( S D Xe,0) ικαίωµα πώλησης (µε µέρισµα) p Xe ( p max D + Xe rt S,0 ) Αµερικανικός τύπος ικαίωµα αγοράς (δίχως µέρισµα) C S C max( S X,0) ικαίωµα πώλησης (δίχως µέρισµα) P X P max( X S,0) ικαίωµα αγοράς (µε µέρισµα) C S C max( S D X,0) ικαίωµα πώλησης (µε µέρισµα) P X P max( X S,0) 136