Ελαχιστοποίηση κόστους

Ελαχιστοποίηση κόστους Διάλεξη Ελαχιστοποίηση κόστους Μια επιχείρηση ελαχιστοποιεί το κόστος της αν παράγει κάθε δεδοµένο επίπεδο προϊόντος 0 στο µικρότερο δυνατό κόστος. Η ) συµβολίζει το µικρότερο δυνατό παραγωγής µονάδων προϊόντος. Η ) είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους της επιχείρησης.!! Ελαχιστοποίηση κόστους Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Όταν η επιχείρηση αντιµετωπίζει δεδοµένες τιµές συντελεστών = (,,, n ), η συνάρτηση συνολικού κόστους µπορεί να γραφεί ως,, n,).! Ας πάρουµε µια επιχείρηση που παράγει ένα προϊόν και χρησιµοποιεί δύο συντελεστές παραγωγής. Η συνάρτηση παραγωγής είναι = f(, ). Ας πάρουµε το επίπεδο παραγωγής 0 ως δεδοµένο. Με δεδοµένες τις τιµές των συντελεστών και, το κόστος ενός συνόλου εισροών (, ) είναι.!4 4 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Για δεδοµένες τιµές των, και, το πρόβληµα που έχει να λύσει η επιχείρηση είναι min, 0 Υπό τον περιορισµό f (, ) =.!5 Τα επίπεδα των (,,) και (,,) στο συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για εισροές και. Το (µικρότερο δυνατό) παραγωγής µονάδων του προϊόντος είναι,, ) = (,, ) (,, ).!6 5 6 Παράγωγες συναρτήσεις συντελεστών Γραµµές ίσου κόστους Με δεδοµένα τα, και, πώς µπορούµε να εντοπίσουµε το συνδυασµό που ελαχιστοποιεί το κόστος; Πώς υπολογίζουµε τη συνάρτηση συνολικού κόστους; Μια καµπύλη που περιλαµβάνει όλους τους συνδυασµούς εισροών που έχουν το ίδιο κόστος λέγεται καµπύλη ίσου κόστους. π.χ., δεδοµένων των και, η γραµµή ίσου κόστους των 00 έχει την εξίσωση = 00.!7!8 7 8 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Γραµµές ίσου κόστους Γενικά, µε δεδοµένα τα και, η εξίσωση της γραµµής ίσου κόστους είναι = c και c = +. Γραµµές ίσου κόστους c + c + c < c Η κλίση είναι - /.!9!0 9 0 Γραµµές ίσου κόστους κλίσεις = - /. c + c + c < c Η γραµµή ίσου προϊόντος Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) f(, ) 4 Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους Όλοι οι συνδυασµοί εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος. Ποιος είναι ο πιο φτηνός; f(, ) f(, )!6 5 6 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης κόστους Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f (, ) = Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f (, ) = (β) κλίση γρ. ίσου κόστους = κλίση γρ. ίσου προϊόντος f(, )!7 f(, ) 7 Το πρόβληµα της ελαχιστοποίηση κόστους Σε ένα εσωτερικό συνδυασµό εισροών που ελαχιστοποιεί το κόστος (α) f (, ) = (β) κλίση γρ. ίσου κόστους = κλίση γρ. ίσου προϊόντος MP = TRS = MP at (, ). f(, ) 8 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas Ας πάρουµε µια συνάρτηση παραγωγής Cobb-Dougas / / = f (, ) =. Οι τιµές των συντελεστών είναι και. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης της επιχείρησης;!0 9 0 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb- Dougas Στο συνδυασµό (, ) που ελαχιστοποιεί το κόστος παραγωγής µονάδων προϊόντος: (α) / / = ( ) ( ) και (β) / = = / / ( / )( ) ( ) / / / ( / )( ) ( ) =.! Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas / / = ( ) ( ) (α) (β) =.! Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb- Dougas / / = ( ) ( ) = (α) (β) Από τη (β), =.. Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb- Dougas / / = ( ) ( ) (α) (β) = Από τη (β), =. Αντικαθιστούµε στην (α) και έχουµε. /! $ = # & =! / / " % " # $ ( ) &. %! 4 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas / / = ( ) ( ) (α) (β) = Από τη (β), =. Αντικαθιστούµε στην (α) και έχουµε. /! $ = # & =! / / " % " # $ ( ) &. % / και =! " # $ Είναι η παράγωγη ζήτηση & για την εισροή. % Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas / = =! " # $ Αφού και & % / /! $ = # & =! " % " # $ & % Είναι η παράγωγη ζήτηση για την εισροή. 5 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb- Dougas Εποµένως ο πιο φτηνός συνδυασµός εισροών που παράγουν µονάδες προϊόντος είναι ( (,, ), (,, ) )! / / =!,. " # $! $ $ & # & # " % " % & % 6 Παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης συντελεστών Σταθερά και.!!!!7!8 7 8 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών Παράγωγες καµπύλες ζήτησης συντελεστών Σταθερά και. Σταθερά και.!!!! ( ) ( ) ( ) (! ) ( ) ( )!!! ( ) (! )!9 9 ( ) (! )!0!!!!!!!! Σταθερά και.!! ( ) (!! ) (! )! ( ) (!! )! (! )! Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών Σταθερά και. ( ) (!! ) (! ) 0 Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών (!! ) (! ) ( ) ( ) (! ) Γραµµή επέκτασης προϊόντος (!! ) (! ) ( )!!!!!! ( ) (!! ) (! ) ( ) (!! ) (! )! ( ) (!! )! (! ) Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04 Διάλεξη -0

Παράγωγες καμπύλες ζήτησης συντελεστών (!!! ) (!! ) (! ) Σταθερά και. Γραµµή επέκτασης προϊόντος (! ) (!!! ) (!! )!!!!!!!!! (! ) (!!! ) (!! ) (! ) (!!! ) (!! ) Παράγωγη ζήτηση για εισροή Παράγωγη ζήτηση για εισροή! Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas Για τη συνάρτηση παραγωγής 4 / / 4 = f(,) = Ο πιο φτηνός συνδυασµός εισροών που παράγει µονάδες προϊόντος είναι ( (,, ), (,, ) )! / / =!,. " # $! $ $ & # & # " % " % & %!4 4 Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι,, ) = (,, ) (,, ) Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb- Dougas Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι,, ) = (,, ) (,, ) / /! $! $ = # & + # & " % " %!5!6 5 6 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas Ελαχιστοποίηση κόστους: Cobb-Dougas Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι,, ) = (,, ) (,, ) / /! $! $ = # & + # & " % " % / / / / / / =! " # $ % & + 7!7 Και η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι,, ) = (,, ) (,, ) / /! $! $ = # & + # & " % " % / / / / / / =! " # $ % & + / =! $ #. " 4 & % 8!8 Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι = min{ 4, }. Οι τιµές των εισροών και είναι δεδοµένες. Ποιες είναι οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης για τις εισροές και ; Ποια είναι η συνάρτηση συνολικού κόστους; Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά 4 = min{4, }!9!40 9 40 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά 4 = Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά 4 = Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασµός που παράγει µονάδες προϊόντος; min{4, } min{4, }!4!4 4 4 = Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά 4 = Που είναι ο πιο φτηνός συνδυασµός που παράγει µονάδες προϊόντος; min{4, } Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι = min{ 4, } και οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης (,, ) = και 4 (,, ) =. = /4!4!44 4 44 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Ελαχιστοποίηση κόστους: τέλεια συµπληρωµατικά Μέσο παραγωγής (ΜΣΚ) Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι = min{ 4, } και οι παράγωγες συναρτήσεις ζήτησης (,, ) = 4 και (,, ) =. Άρα η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι,, ) = (,, ) (,, )! $ = + = # &. 4 " 4 % 45!45 Για θετικά επίπεδα προϊόντος, το µέσο µιας επιχείρησης που παράγει µονάδες είναι,, ) AC(,, ) =. 46!46 Αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Οι ιδιότητες των αποδόσεων κλίµακας µιας επιχείρησης προσδιορίζουν το πώς µεταβάλλεται το µέσο κόστος σε σχέση µε το επίπεδο του προϊόντος. Ας υποθέσουµε ότι η επιχείρηση παράγει µονάδες προϊόντος. Πώς µεταβάλλεται το µέσο κόστος της επιχείρησης αν η επιχείρηση παράγει µονάδες προϊόντος;!47 Σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί το διπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών.!48 47 48 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Σταθερές αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί το διπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής διπλασιάζεται.!49 Αν µια επιχείρηση έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί το διπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής διπλασιάζεται Το µέσο κόστος παραγωγής δεν µεταβάλλεται.!50 49 50 Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής υπερδιπλασιάζεται.!5!5 5 5 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει φθίνουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υπερδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής υπερδιπλασιάζεται Το µέσο κόστος παραγωγής αυξάνεται.!5 Αν µια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υποδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών.!54 5 54 Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υποδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής υποδιπλασιάζεται. Αύξουσες αποδόσεις κλίµακας και ΜΣΚ Αν µια επιχείρηση έχει αύξουσες αποδόσεις κλίµακας, τότε ο διπλασιασµός του επιπέδου του προϊόντος από σε απαιτεί υποδιπλασιασµό των ποσοτήτων των εισροών. Το παραγωγής υποδιπλασιάζεται. Το µέσο κόστος παραγωγής µειώνεται!55!56 55 56 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Μονάδα προϊόντος AC() Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ Φθίνουσες α.κ. Σταθερές α.κ. Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ Τι συνεπάγονται τα πιο πάνω για το σχήµα των συναρτήσεων συνολικού κόστους; Αύξουσες α.κ.!57!58 57 58 ) ) Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ Το Μ.Κ αυξάνει µε το αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. κλίση = )/ = AC( ). κλίση = )/ = AC( ). ) Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ ) Το Μ.Κ αυξάνει µε το αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. ) κλίση = )/ = AC( ). κλίση = )/ = AC( ). 59 60 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ Το Μ.Κ µειώνεται µε το αν η τεχνολογία παρουσιάζει αύξουσες α.κ. ) κλίση = )/ ) = AC( ). κλίση = )/ = AC( ). Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ ) ) Το Μ.Κ αυξάνει µε το αν η τεχνολογία παρουσιάζει φθίνουσες α.κ. ) κλίση = )/ = AC( ). κλίση = )/ = AC( ). 6 6 ) = ) Αποδόσεις κλίµακας και ΣΚ ) Το Μ.Κ είναι σταθερό µε το αν η τεχνολογία παρουσιάζει σταθερές α.κ. ) κλίση = )/ = )/ = )/ και AC( ) = AC( ). Μακροχρόνια µια επιχείρηση µπορεί να µεταβάλει όλους τους συντελεστές παραγωγής. Ας υποθέσουµε ότι µια επιχείρηση δεν µπορεί να µεταβάλει το επίπεδο της εισροής από. Πώς συγκρίνεται το βραχυχρόνιο συνολικό κόστος παραγωγής του µε το µακροχρόνιο κόστος παραγωγής του ;!64 6 64 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του µακροχρόνιου κόστους είναι min, 0 4 υπό τον περιορισµό f (, ) =. Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του βραχυχρόνιου κόστους είναι min υπό τον περιορισµό 0 f (, ) =.!65 Το πρόβληµα ελαχιστοποίησης του βραχυχρόνιου κόστους είναι το ίδιο µε το πρόβληµα µακροχρόνιου κόστους, υπό τον πρόσθετο περιορισµό ότι =. Αν η µακροχρόνια επιλογή για το ήταν τότε ο πρόσθετος περιορισµός = δεν επηρεάζει και το βραχυχρόνιο και µακροχρόνιο κόστος συµπίπτουν.!66 65 66 Το βραχυχρόνιο πρόβληµα είναι το ίδιο µε το µακροχρόνιο υπό τον επιπλέον περιορισµό ότι =. Αλλά, αν η µακροχρόνια επιλογή για τότε ο επιπλέον περιορισµός = εµποδίζει την επιχείρηση να επιτύχει το µακροχρόνιο κόστος της και το βραχυχρόνιο κόστος είναι υψηλότερο από το µακροχρόνιο.!67!!! Ας πάρουµε τρία επίπεδα προϊόντος!68 67 68 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

!!! Μακροχρόνια όταν η επιχείρηση είναι ελεύθερη να επιλέξει τα και, οι συνδυασµοί που ελαχιστοποιούν το κόστος είναι...!!! Μακροχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος!69!70 69 70!!! Μακροχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος Μακροχρόνια κόστη:!!! Ας υποθέσουµε τώρα ότι η επιχείρηση υπόκειται στο βραχυχρόνιο περιορισµό =.!7!7 7 7 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

!!! Βραχυχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος Μακροχρόνια κόστη:!!!!!! Βραχυχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος Μακροχρόνια κόστη:!!!!7!74 7 74!! Μακροχρόνια κόστη:! Βραχυχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος!!! Βραχυχρόνια κόστη : cs( ) > )!! Μακροχρόνια κόστη:! Βραχυχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος!!! Βραχυχρόνια κόστη : cs( ) > ) cs(! ) =! )!75!76 75 76 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04

!! Μακροχρόνια κόστη:! Βραχυχρόνια γραµµή επέκτασης προϊόντος!!! ) = Βραχυχρόνια κόστη : cs( ) > ) cs(! ) =! ) cs(!! ) >!! )!77 Το βραχυχρόνιο υπερβαίνει το µακροχρόνιο εκτός από το επίπεδο του προϊόντος όπου ο περιορισµός του βραχυχρόνιου επίπεδου εισροής είναι η επιλογή του µακροχρόνιου επιπέδου εισροής. Αυτό συνεπάγεται ότι η µακροχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σηµείο µε µια συγκεκριµένη βραχυχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους.!78 77 78 Μια βραχυχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους έχει πάντα ένα κοινό σηµείο µε τη µακροχρόνια καµπύλη συνολικού κόστους και σε όλα τα άλλα σηµεία είναι πάνω από την καµπύλη µακροχρόνιου κόστους. c s () ) F =!!!!! 79 Διάλεξη -0 Ελαχιστοποίηση Κόστους - 5 March 04