Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1. Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή κτλ (συμβολισμός ή κτλ) για τις παρακάτω συναρτήσεις

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1. Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή κτλ (συμβολισμός ή κτλ) για τις παρακάτω συναρτήσεις"

Ὠριγένης Παπαντωνίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1 Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή κτλ (συμβολισμός ή κτλ) για τις παρακάτω συναρτήσεις = 1 3 Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης) = ( ) = +(1 ) 1 υπολογίστε τα και. Δώστε τα οριακά προϊόντα και ως συναρτήσεις του = () = () π.χ +1 = = µ = ( ) = = ( ) = p ln ()+ + + = ( )= ln( 1 )+ 4 1

2 Άσκηση Υπολογίστε το διάνυσμα κλίσης O της συνάρτησης ( ) = Υπόδειξη: O = Ã Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε.! = Ã O = 0.! Άσκηση 3 Υπολογίστε το οριακό φυσικό προϊόν του κεφαλαίου και της εργασίας = καθώς και τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης κεφαλαίου με εργασία = και εργασίας με κεφάλαιο = = = = = = για τις παρακάτω συναρτήσεις παραγωγής και σχολιάστε Υποκατάστατες εισροές με συγκεκριμένο παραμετρικό περιορισμό = 1, 0, 0 1 Υποκατάστατες εισροές =, 0, 0 Τέλεια υποκατάστατες εισροές = +, 0

3 Άσκηση 4 Υπολογίστε την οριακή χρησιμότητα = και = των αγαθών καθώς και τον οριακό λόγο υποκατάστασης του αγαθού με και του αγαθού με = = για τις παρακάτω συναρτήσεις χρησιμότητας Τύπου Cobb-Douglas με περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = 1, 0 1 Τύπου Cobb-Douglas χωρίς περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) =, 0 Λογαριθμικού τύπου Cobb-Douglas χωρίς περιορισμό στις σταθμίσεις προτίμησης των δύο αγαθών (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = ln + ln, 0 Ημι-γραμμικού τύπου (υποκατάστατα αγαθά) ( ) = ln +, 0 Γραμμικού τύπου (τέλεια υποκατάστατα αγαθά) ( ) = +, 0 Μη-παραγωγίσιμη (παγίδα...) (τέλεια συμπληρωματικά αγαθά π.χ αριστερό και δεξί παπούτσι...) ( ) =min{ } 3

4 Άσκηση 5 Έστω ένα άτομο που ζεί δύοχρονικέςπεριόδους1 Η συνάρτηση χρησιμότητάς του εξαρτάται από την κατανάλωση 1 την περίοδο 1 και σύμφωνα με τις παρακάτω συναρτήσεις χρησιμότητας ( 1 ) = ln 1 + ln ( 1 ) = ln 1 + ( 1 ) = ( 1 ) = 1 + Θεωρείστε ότι 0 1αντιστοιχεί στις χρονικές προτιμήσεις του καταναλωτή, καθώς 0 τότε ο καταναλωτής γίνεται ολοένα και πιο ανυπόμονος και δεν επιλέγει ποτέ να καταναλώσει τη δεύτερη χρονική περίοδο ενώ καθώς 1 τότε κατανέμει ισοβαρώς στη χρησιμότητά του την κατανάλωση των χρονικών περιόδων 1 και. Επίσης, θεωρείστε ότι η παράμετρος όπου δίνεται, μετρά την ελαστικότητα υποκατάστασης, δηλαδή πως μεταβάλεται ποσοστιαία ο λόγος των δύο εισροών 1 όταν μεταβληθεί κατά 1% ο οριακός λόγος υποκατάστασης ³ ln 1 ελαστικότητα υποκατάστασης = ln ( 1 ) ή ln ( 1 ) ln ³ 1 = 1 Υπολογίστε τις οριακές χρησιμότητες της κατανάλωσης ανά χρονική περίοδο, 1 και και τον οριακό λόγο υποκατάστασης 1 = 1 καιπροβείτεσεοικονομικήερμηνεία 4

5 0.0.1 Παράδειγμα με ελαστικότητα υποκατάστασης = 1 Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas Τότε ( 1 )= 1 Άρα δηλαδή οπότε και 1 = 1 1 = = = 1 µ ln ( 1 ) = ln +ln µ = ln ln ln ( 1 ) ³ = 1 ln 1 ³ ln 1 ln ( 1 ) = 1 µ 1 µ Παράδειγμα με ελαστικότητα υποκατάστασης σε συνάρτηση παραγωγής Έστω οι συναρτήσεις παραγωγής () : = min { } (): = (): = ( + ) Βρείτε την ελαστικότητα υποκατάστασης Έχουμε (I) συνάρτηση παραγωγής Leontief, ημεγαλύτερηδυνατήκαμπύλωσητων καμπυλών ίσου προϊόντος (έχουν σχήμα L) με ελαστικότητα υποκατάστασης =0 5

6 αφού μία μεταβολή στον δεν οδηγεί σε μεταβολή στον λόγο K Q Q 1 Q (II) συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas, βλ παραπάνω άσκηση χρησιμότητας L = = 1 (III) Τέλεια υποκατάστατες εισροές. γραμμικές!! Οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι = µ ln ( )=ln ln ( ) ln =0 ln = ln ( ) = 6

7 K Q 3 Q 1 Q L Άσκηση 6 Υπολογίστε την Ιακωβιανή μήτρα πρώτων μερικών παραγώγων για τις συναρτήσεις... 1 = 1 ( ) = = ( ) =5+ (1 + ) δηλαδή βρείτε τα διανύσματα κλίσεων O 1 O αναστρέψτε τα (O 1 ) 0 (O ) 0 και τοποθετήστε τα σε μία μήτρα µ (O = 1 ) 0 (O ) 0 Άσκηση 7 Ελέγξτε αν οι παρακάτω ομάδες συναρτήσεων εξαρτώνται γραμμικά ή μηγραμμικά 1 = + =exp ª και 1 = + + = 1 ln = 4 + 7

8 Άσκηση 8 Βρείτε το ολικό διαφορικό των συναρτήσεων = ( ) = + + +ln( +5) = ( ) = + ( ) = Άσκηση 9 Είναι γνωστό ότι ln = () = δείχνει το ρυθμό μεγέθυνσης μίας μεταβλητής στο χρόνο αφού δίνει ποσοστιαία μεταβολή και () δίνει ποσοστιαία μεταβολή στο χρόνο. Για παράδειγμα αν () = τότε ln = () = = δηλαδή σταθερή ποσοστιαία μεταβολή (100 )% στο χρόνο. Έστω η συνάρτηση παραγωγής = () ()() όπου () παριστά τεχνολογική πρόοδο ή αύξηση της παραγωγικότητας με ρυθμό μεγέθυνσης, () το κεφάλαιο με ρυθμό μεγέθυνσης να δίνεται από το και () η εργασία με ρυθμό μεγέθυνσης ίσομετορυθμόμεγέθυνσης του εργατικού δυναμικού ή του πληθυσμού. Τα δείχνουν μερίδια κεφαλαίου και εργασίας στη παραγωγή. Δείξτε ότι = + + δηλαδή ο ρυθμός μεγέθυνσης του προϊόντος δίνεται από το άθροισμα των ρυθμών μεγέθυνσης της τεχνολογίας, του κεφαλαίου και της εργασίας με τους δύο τελευταίους ρυθμούς να σταθμίζονται με τα αντίστοιχα μερίδια παραγωγής 8

9 Άσκηση 10 Βρείτε τις ολικές παραγώγους =;, =; στη παρακάτω συνάρτηση Κατόπιν, για εξάσκηση, θέστε = ( 1 ) 1 = () = () ( 1 )=( 1 ) με 1 =5 +1 και =ln() και υπολογίστε αναλυτικά τις ολικές παραγώγους =;, =; Άσκηση 11 Έστω η συνάρτηση παραγωγής = (Ω) = +(1 )Ω όπου ένα σοκ παραγωγικότητας και Ω οι ώρες εργασίας ενώ (1 ) το μερίδιο της εργασίας στην παραγωγή. Αν τα σοκ παραγωγικότητας μειώνουν τις ώρες εργασίας Ω = () με 0 0 τότε υπολογίστε την ολική παράγωγο και δείξτε ότι 1 υπονοεί 1 Απάντηση Άρα = + Ω Ω = + Ω Ω = + Ω 0 =1+(1 ) 0 =1+(1 )0 1 (1 )

10 Άσκηση 1 Με βάση το θεώρημα των πεπλεγμένων συναρτήσεων βρείτε τις παρακάτω παραγώγους (μερικές ή ολικές) Άσκηση 13 ( ) =5 +=0 ( ) =ln(5 +)+3 +6 =0 ( ) = ln()+ln()+ =0 ( ) = =0 ( ) =ln()+ 3 =0 ( ) = =0 =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; =; Έστω ότι το εθνικό προϊόν και το επίπεδο του επιτοκίου οι ενδογενείς μεταβλητές και 0 0 οι εξωγενείς μεταβλητές όπου 0 κρατικές δαπάνες που ελέγχονταιαπότοκράτοςκαι 0 η προσφορά χρήματος που ελέγχεται από την κεντρική τράπεζα. ( ) συμβολίζει τη ζήτηση χρήματος στην οικονομία όπου 0 και 0 Επίσης = 0 1, = ( ), 0 1 και 0 Για μία απλή κλειστή οικονομία, σας δίνεται το παρακάτω σύστημα εξισώσεων = ( )+()+ 0 () = Χρησιμοποιείστε ένα σύστημα πεπλεγμένων και βρείτε αν μία αυξηση των κρατικών δαπανών αυξάνει το επιτόκιο Σημειώσεις: y = F όπου y =() και 1 = 0, = 0 ενώ 1 ( 0 0 ) = ( ( )) () 0 =0 ( 0 0 ) = () 0 =0 Δείτε ότι 1 =1 (1 ) µ 1 1 µ 0 0 µ µ 1 (1 ) 0 0 = = Ã µ 1 0! 10

Σχετικά έγγραφα

Σύνολο ασκήσεων 5. = = ( ) = = ( ) = p ln ( ) Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης)

Σύνολο ασκήσεων 5. = = ( ) = = ( ) = p ln ( ) Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης) Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1 Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή,, (συμβολισμός ή,, ) για τις παρακάτω συναρτήσεις = 1 3 = ( 1 3 4 )= 1 1 3+5 3 +8ln( 1 )+ 4 = ( ) = +3 + +3 = ( ) = p ln ()+ +