Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ.

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ.

Ειςαγωγό των mid-terms exams (Για το τμόμα μασ 22/11/2016 και ώρα 10.00-11.00).Προςοχή είναι υποχρεωτική η ςυμμετοχή ςασ (ποςοςτό 20%). υμμετοχό ςε εργαςύεσ (προαιρετικού ςτυλ) με την επύλυςη προβλημϊτων και μϋςω του προγρϊμματοσ R (matlab-mathematica????) (επιπρόςθετη βαθμολογύα). Τπαρξη εβδομαδιαύων εργαςιών ανα εβδομϊδα απο ομϊδα φοιτητών!!

1. Make use of the existing human capital, 2. Attain scientific respectability, 3. Help assure security with respects to claims of truth, 4. To understand Western economic behavior (Katzner,2003,Journal of Post Keynesian Economics 25(4) 561-572.)

Augustin Cournot (Cournot duopoly) Léon Walras (general competitive equilibrium. ) Francis Ysidro Edgeworth (Edgeworth Box) John von Neumann, John Forbes Nash, Jr. (game theory)

Harold Hotelling John Forbes Nash Ωςτόςο υπϊρχει και ο αντύλογοσ (Karl Popper discussed the scientific standing of economics in the 1940s and 1950s. He argued that mathematical economics suffered from being tautological or economic theory itself has been continuously more abstract and mathematical (Stigler, 1996) ) (Gruber and Boland 1986 vs Greenaway, 1990)

1950: Bertrand Russell (economics) 1972: Kenneth Arrow (economics) 1994: John Forbes Nash (economics) 2003: Clive W. J. Granger (economics) 2005: Robert J. Autmann, Thomas C. Schelling (economics)

Μελϋτη τησ Θεωρύασ και κατανόηςη τησ (π.χ διαφορικόσ & ολοκληρωτικόσ λογιςμόσ). Εφαρμογϋσ ςε οικονομικϊ προβλόματα και ςυςχϋτιςη των μαθηματικών με την οικονομικό θεωρύα.

ύνολο (set): υλλογό ςαφώσ καθοριςμϋνων και διακεκριμϋνων μεταξύ τουσ αντικειμϋνων. S {1,2,3,...9}, R { x \ θωνήεν αλθάβηηοσ},τ={x:x>11} τοιχεύα (Elements): Σα αντικεύμενα που απαρτύζουν ϋνα ςύνολο. Πληθικόσ Αριθμόσ: Αναφϋρεται ςτον αριθμό των ςτοιχεύων ενόσ ςυνόλου. Πεπεραςμϋνο (finite) και ϊπειρο (infinite) ςύνολο. Κενό ύνολο S Γραφό x: x ειναι θεηικος αριθμος x : x 11 B x A: x / 2

Σο ςύνολο των επιχειρόςεων που ανόκουν ςε ϋναν κλϊδο μιασ οικονομύασ. Σο ςύνολο των ςυνδυαςμών αγαθών και υπηρεςιών που μπορεύ να αγορϊςει ϋνασ καταναλωτόσ (ςύνολο καταναλωτικών δυνατοτότων). Σο ςύνολο των παραγόμενων ποςοτότων που εύναι τεχνολογικϊ ικανό μια επιχεύρηςη να παρϊγει και των ποςοτότων ειςροών που απαιτούνται (ςύνολο παραγωγόσ) Σο ςύνολο των αγοραςτών και των πωλητών ενόσ αγαθού (αγορϊ αγαθού).

Τποςύνολο (subset): Εϊν κϊθε ςτοιχεύο ενόσ ςυνόλου Α εύναι και ςτοιχεύο ενόσ ςυνόλου Β. A B Γνόςιο Τποςύνολο: Εϊν το Α εύναι υποςύνολο του Β και το Β δεν εύναι υποςύνολο του Α τότε το Α καλεύται γνόςιο υποςύνολο (proper set) A B ΙΑ: Εϊν A B B A De Morgan i I A A, A A i i i i i I

Ανακλαςτικό: A A Μεταβατικό: A B B C A C Αντιςυμμετρικό: A B B A A B

Ένωςη υνόλων: Σουλϊχιςτον ςε ϋνα από τα Α,Β. A B { x : x A x B} Σομό υνόλων: Εύναι το ςύνολο των κοινών τουσ ςτοιχεύων A B { x : x A x B} υμπλόρωμα: A B B A A' { x : x A x } A A Διαφορϊ υνόλων: A B { x : x A x B} { x : x A x B '}=A B ' A B ΞΕΝΑ ΤΝΟΛΑ

Διαμεριςμόσ (partition) του ςυνόλου U εύναι μια ομϊδα υποςυνόλων αυτού, ξϋνων μεταξύ των, η ϋνωςη των οπούων εύναι το U. S X i U n : X U X X, i, j 1,2,.., n, i j i i j Δυναμοςύνολο ενόσ ςυνόλου Χ: Εύναι το ςύνολο που ϋχει ωσ ςτοιχεύα του όλα τα υποςύνολα του Χ. P X A: A X i 1 n 2 ζηοιτεια

Σο ςύνολο των διατεταγμϋνων ζευγών (α,β) με a A, B καλεύται καρτεςιανό γινόμενο και ιςχύει ότι: A B a, : a A, B Παρϊδειγμα:Να υπολογύςετε τα καρτεςιανϊ γινόμενα A B, B A των A 1,2, B 3,5

Μεταθετικό: A B B A, A B B A Προςεταιριςτικό: A ( B C) ( A B) C, A ( B C) ( A B) C Επιμεριςτικό: A ( B C) ( A B) ( A C), A ( B C) ( A B) ( A C)

Σο ΙΚΑ καθορύζει 3 κατηγορύεσ ατόμων για την παροχό ςύνταξησ: ϊτομα ϊνω των 65 ετών (Α), ϊτομα με χαμηλό ειςόδημα (Β) και ϊτομα με προβλόματα υγεύασ (Γ ΟΒΑΡΑ). Από τα αρχεύα του γνωρύζει ότι : 1)300 ανόκουν ςτο Α ςύνολο 2)200 ςτο Γ 3)700 ςτο Β 4)50 εύναι ϊνω των 65 με προβλόματα υγεύασ 5)250 εύναι ϊνω των 65 με χαμηλό ειςόδημα 6)100 ϋχουν χαμηλό ειςόδημα και προβλόματα υγεύασ Να αποδεύξετε την ιςχύ των ιδιοτότων των ςυνόλων.

Πραγματικοί Αριθμοί Ρητοί Ακέραιοι Θετικοί Ακέραιοι 0 Άρρητοι Μη ακέραιοι Ρητοί Αρνητικοί Ακέραιοι

Αντιμεταθετικότητα: x y y x, xy yx, x, y R Προςεταιριςτικότητα: x ( y z) ( x y) z, x( yz) ( xy) z, x, y, z R Επιμεριςτικό Ιδιότητα: x( z y) yx xz, x, y, z R Εϊν x,y πραγματικού αριθμού τότε υπϊρχει z πραγματικόσ ώςτε z x y (ϋννοιεσ αντύθετου και διαφορϊσ) Τπϊρχει τουλϊχιςτον ϋνασ πραγματικόσ αριθμόσ διϊφοροσ του μηδενόσ. Εϊν x,y πραγματικού αριθμού με x διϊφορο του μηδενόσ τότε υπϊρχει z xz y πραγματικόσ ώςτε (ϋννοιεσ πηλύκου και αντύςτροφου)

Εϊν Αν x, y R ηόηε z R x z, y z x, y R με x>0 y 0 xy 0 Επύςησ εϊν x, y R με x>y y z x z (μεηαβαηικη)

Έςτω S υποςύνολο των πραγματικών αριθμών. Θα λϋμε ότι το S εύναι ϊνω φραγμϋνο εϊν: Τπϊρχει δηλαδό πραγματικόσ αριθμόσ ϋςτω α τϋτοιοσ ώςτε a R. : x a, x S, a sup S Αντύςτοιχα ορύζεται το κϊτω φρϊγμα ωσ b R : x b, x S, b inf S Σο υποςύνολο S θα εύναι φραγμϋνο εϊν υπϊρχει ϊνω και κϊτω φρϊγμα.

Κϊθε μη κενό ςύνολο πραγματικών αριθμών S το οπούο εύναι φραγμϋνο εκ των ϊνω ϋχει supremum. Τπϊρχει δηλαδό πραγματικόσ αριθμόσ ϋςτω α τϋτοιοσ ώςτε a R : x a, x S, a sup S αλλϊ.. Αντύςτοιχα ορύζεται το κϊτω φρϊγμα (infimum). Τα supremum, infimum είναι μοναδικοί αριθμοί εφόςον υπάρχουν.

Εϊν θεωρόςουμε δύο υποςύνολα Α,Β τότε κϊθε υποςύνολο του καρτεςιανού γινομϋνου των Α,Β καλεύται ςχϋςη μεταξύ αυτών (ςυμβ. xry ) Ανακλαςτικό xrx, x A Μεταβατικό xry, yrz xrz x A, y B, z F Αντιςυμμετρικό xry, yrx x y υμμετρικό xry, yrx Αςυμμετρικό xry, y R x Παραδεύγματα ςτα οικονομικϊ τϋτοιων ςχϋςεων;;

Εϊν x πραγματικόσ αριθμόσ η απόλυτη τιμό, 0 ορύζεται ωσ { xx x xx, 0 Ιδιότητεσ 1. x 2. 3. 4. xy x y x x y x y x y x y 4 a. x x... x x x... x 1 2 n 1 2 4 b. x x... x x x... x 1 2 n 1 2 4. c x y x y 4 d. x y x y n n

1. Eά x R ηόηε x+(+ )=+, x+( )=, x (+ )=, x ( ), x x 0 (+ ) ( ) 2. Eά x>0 ηόηε x(+ )=+, x( )= 3. Eά x<0 ηόηε x(+ )=, x( )= 4.(+ )+(+ )=(+ )(+ )=( )( )=(+ ) ( )(+ )=(+ )( )=( )

Σο ανϊπτυγμα x1 x2 x3... xn αρκετϋσ φορϋσ εύναι n πιο εύχρηςτο να γραφεύ ωσ εξόσ x i 1 Ιδιότητεσ: n cx cx cx cx... cx c x, c ζηαθερα i 1 2 3 n i 1 1 n 1 n c c c c... c nc, c ζηαθερα n n n ( x y ) x y i i i i 1 1 1 Ποτε με =!!!! x x n n n n n n i 2 2 x ( ),, i 1 i xi xi yi xi yi y 1 1 1 1 1 1 i n n 1 y i

Ο ΔΣΚ καταςκευϊζεται παύρνοντασ ϋνα καλϊθι n αγαθών ορύζοντασ για κϊθε αγαθό: q i p p i o i t { ό μονάδων ηοσ αγαθού i} { ή ηοσ αγαθού i ηον τρόνο 0} { ή ηοσ αγαθού i ηον τρόνο t} Άρα ο ΔΣΚ,μπορεύ να οριςτεύ ωσ n i 1 n i 1 pq i t pq i 0 i i 100

Σο διπλό ϊθροιςμα για μια μεταβλητό ςυμβολύζεται m n m n m ωσ xij και αναπτύςςεται ωσ εξόσ: i 1 j 1 1 2 (ανϊλυςη ειςροών-εκροών) ΙΔΙΟΣΗΣΕ: 1. 2. n m m n x ij i 1 j 1 j 1 i 1 m n m n i j i j i 1 j 1 i 1 i 1 m n n m n m 3. ( x y ) x y x x y x y ij i j ij ij i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 x ( x x... x ) ij i i in i 1 j 1 i 1

Λογικό πρόταςη καλεύται μια πρόταςη που περιϋχει μύα ό περιςςότερεσ μεταβλητϋσ και μπορεύ να χαρακτηριςτεύ ωσ αληθόσ/ψευδόσ για ςυγκεκριμϋνεσ τιμϋσ των μεταβλητών τησ. Οταν λϋμε ότι απο την πρόταςη p ςυνεπϊγεται η πρόταςη q εννοούμε ότι εϊν η p εύναι αληθόσ τότε και η q θα εύναι αληθόσ. Η λογικό πρόταςη όχι p ορύζεται να εύναι αληθόσ όταν η λογικό πρόταςη p εύναι ψευδόσ και να εύναι ψευδόσ όταν η p εύναι αληθόσ. Οταν p q τότε ιςχύει ότι όχι p ςυνεπϊγεται όχι q. Δύο λογικϋσ προτϊςεισ λϋγονται ιςοδύναμεσ όταν p q q p Για δύο λογικϋσ προτϊςεισ p,q ιςχύει ότι η λογικό πρόταςη p και q εύναι αληθόσ αν και η p και η q εύναι αληθόσ. Επύςησ η p ό q εύναι αληθόσ εϊν τουλϊχιςτον μια απο τισ p,q εύναι αληθόσ.

Κεφϊλαιο πρώτο Ξεπαπαδϋα-Γιαννύκου (ςελ.28-50). Κεφϊλαιο πρώτο απο Λουκϊκη (ςελ.16-55). Κεφϊλαιο δεύτερο (Λουκϊκησ) ημειώςεισ από το https://eclass.upatras.gr/courses/econ1240 /index.php

Να αποδεύξετε τουσ τύπουσ De Morgan. Εςτω ςύνολο Α υποςύνολο του R φραγμϋνο ϊνω. Επύςησ το ςύνολο B x R : x A. Δεύξτε ότι infb=-supa. Αςκόςεισ απο τον Λουκϊκη 7-13-14-16 (πρώτο κεφϊλαιο) και 9-11-13-14 (δεύτερο κεφϊλαιο) Να αποδειχτεύ η πρόταςη ότι κϊθε ϊρτιοσ ακϋραιοσ αριθμόσ μπορεύ να εκφραςτεύ ωσ ϊθροιςμα δύο πρώτων αριθμών.

E-mail:Kounetas@upatras.gr Ώρεσ Γραφεύου ΣΡΙΣΗ: 11:00-12:30 ΣΕΣΑΡΣΗ: 11:00-12:30 (Η κατόπιν επικοινωνίασ με τον διδάςκοντα)