Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim lim lim[ i Δt0 Δt Δt0 Δt Δt0 Δt a ( t Δt - a ( t az ( t Δt - az ( t j k ] Δt Δt da da da z da i j k Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος
Εάν ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ a da σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση 0 d( ma m da d( a b da db d( ab da db b a ( d a b da db b a εσωτερικό εξωτερικό
Έστω σωματίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας μια συγκεκριμένη τροχιά και τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση Α. Η στιγμιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: ds ds r( t Α ds( t dr Δr r( t Δt Όπου η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο. Το διάνυσμα r ( t δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης. Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι το r ( t Δt Βλέπουμε εύκολα, ότι Δr r ( t Δt - r ( t Κατανοούμε ότι για Δt 0, Δr dr ds
dr ds Επομένως η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου θα είναι: dr Έστω, οι συντεταγμένες του σημείου Α. Τότε θα έχουμε: r( t r ( t ( t i ( t j dr d d Επομένως: i j хi j d d Θα ισχύει: х, Εντελώς ανάλογα: dr d d dz i j k i j zk Α
Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις διαστάσεις θα ισχύει: a i j Ενώ για τις 3 διαστάσεις: d d d d d d d d d d z i j k z a i j k d i d a i a j a k z ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων! j a i a j
Κατακόρυφη βολή μπάλας t u t a t
Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε διαστά- σεις στο πολικό σύστημα συντεταγμένων Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισμός dr Για το πολικό σύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει να ορίσουμε r το. Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαία διανύσματα του πολικού συστήματος. Τρ
Τα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται ως εξής:. Για σημείο Α φέρουμε την ΟΑ που ορίζει το ρ. Το μοναδιαίο διάνυσμα û ορίζεται κατά μήκος του ρ και με φορά από το Ο προς το Α. Ο û Α û х. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, το, είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά μέτρησης του φ. û ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ û
Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μας Εξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το οποίο περιγράφει τη θέση του σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου στις πολικές συντεταγμένες r ( t ( t uˆ Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουμε Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το ρ(t και το û είναι μεταβλητά ως προς το χρόνο Υπολογίζουμε το dr d[ t ( t ( d( t uˆ ] uˆ duˆ ( t Ο ( t d ( t û d r uˆ ] [ r du ˆρ Α û х
ος Τρόπος û û Σχεδιάζουμε τα μοναδιαία i διανύσματα και του καρτεσιανού συστήματος στο ίδιο σχήμα j j Ο i Α х Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα στους, άξονες με κοινή κορυφή το Ο û j Ο û i х
Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες και. û j Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει: uˆ cosi sin j ( Ο Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες και. û û Θα ισχύει: uˆ - si ni c os j ( Για να υπολογίσουμε την την ( ως προς το χρόνο duˆ / du ˆ sin d - i cos d Από τη ( παίρνουμε: j û i πρέπει να παραγωγίσουμε ( sin i cos j d - duˆ uˆ d х
& r& d dr,, && && r d d r Ταχύτητα σε πολικές u r
ος ος Τρόπος Έστω ότι σε χρόνο το σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε από τη θέση Α στη θέση Α. Τότε η θέση του θα προσδιορίζεται από τις συντεταγμένες ρ ρdρ (το dρ μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό και φ φdφ (το ίδιο και το dφ. Ο û Α û Α û û d х Τα μοναδιαία διανύσματα θα είναι τώρα και. û û Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα με κοινή κορυφή. d û û û O d û
Στην περίπτωση αυτή η μεταβολή του û θα είναι duˆ. Ενώ η μεταβολή του û, duˆ. ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΕΣ Ξέρουμε ότι uˆ uˆ ˆ du d û û û d ˆ du û. Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό duˆ duˆ d d d. μπορούμε να θεωρήσουμε το τόξο κύκλου ακτίνας. Επομένως: Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ˆ ότι το du είναι ταυτόχρονα κομμάτι της εφαπτομένης, δηλαδή είναι κάθετο στο û. Επομένως θα είναι παράλληλο προς το. û duˆ duˆ uˆ d uˆ duˆ uˆ d
ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης Δηλαδή αν ισχύει Θα έχουμε df d f ( f ( d F ( Όπου σταθερά. Στη Φυσική η σταθερά υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες του προβλήματος. Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω συνάρτηση f( με πεδίο ορισμού a b. Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δ i το κέντρο των οποίων είναι το i. Εάν από το i και με βάση το Δ i φέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ύψος το f( i θα έχουμε: a f( i i f( Δ i Όπου Ν το πλήθος των Δ i στα οποία χωρίσαμε το διάστημα ab και S εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f( και του άξονα. N S i f ( Δ i i b
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο Δ i 0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f( και του άξονα. Τότε γράφουμε: N S lim f ( i Δi f ( d i 0 i b a a f( i i f( Δ i b
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ Ο γενικός τύπος για το διάνυσμα θέσης του ΚΜ στην περίπτωση που έχουμε σημειακές (διάκριτες N μάζες είναι: r Αυτή η σχέση είναι στην πραγματικότητα 3 σχέσεις i N i N m r m i i i i m M i i M N m i N z i i M m M i r i z r i m i N i m z M i i
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ z Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα (ρσταθερό. r rdm dm ( M ( M ( M rdm M r M r dm Μ dm ( M ( M M M dm z ( M M zdm
Άσκηση : Λεπτή μη ομογενής ράβδος μήκους έχει πυκ τητα που δίδεται από τη σχέση ρ(ρ ο (ρ ο /, ρ ο γνωσ και απόσταση από το άκρο της. Ποια η θέση του Κ.Μ. τ d Στοιχειώδες τμήμα της d Αν η διατομή S τότε η στοιχειώδης μάζα του O ( M M dm αν ρ σταθερό!! (/( dm dv dm M dm 0 M S S 0 ( Sd ( ( d d
( ( M M d S d S dm dm 0 0 ( ( ( ( o o o o d S d S d S d S 0 0 0 0 ( ( d d 0 0 ( 3 3 0 6 5 3 3 d o ( d o 3 0 9 5 8 0 3 6 5 d d O
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Στην περίπτωση σημειακών μαζών (διάκριτη κατανομή μάζας η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση: I O N i i i m r O r i m i όπου m i η μάζα κάθε σωματιδίου και r i η απόστασή του από τον άξονα Ο.
ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση: O r dm I O ( M r dm
Άσκηση : Να βρείτε τη ροπή αδράνειας λεπτού ομογενούς δίσκου μάζας m και ακτίνας ως προς μια διάμετρό του (Υ Y - φ O - A d X I O ( hd r dm ( M dm dv Sd I - dm h - - cos sin 0 d
- - d h dm I - 0 sin ( sin cos d h I d d sin ( cos - 0 4 ** sin cos d h I ( ( 4 4 4 4 4 4 ** 4 M V hs I S h h h I
rrdr, θθdθ, φφdφ Ρ r dφ dθ dr A B Ε Δ dv (ΑΕ( ΑΕ( (ΑΒ(ΑΔ Θ Ζ Γ dvd dr rdφ rsinθdθ Η (ΑΕdr (ABrdθ (ΑΔ(ΡΑ dφ (ΡΑrsinθ
dv dvd dr rd rdφ rsin rsinθdθ : ( ( ( ( ( 4 sin 3 4 3 cos 3 sin sin 3 3 3 0 0,, - - d d d κος dω χειώδης όγ και ο στοι V r r V d d dr r drd d r V r
Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι dw F(, Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης. Fds Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή, δηλαδή από την. Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε ακολουθώντας την τροχιά. Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ds F
Ξέρουμε ήδη ότι: ds dr Επομένως για το έργο θα έχουμε: W Fdr Ας υποθέσουμε τώρα ότι: F P(, i Q(, j Ξέρουμε επίσης ότι: r i j Επομένως: dr di dj Άρα: W [ P(, d Q(, d] P(, d Q(, d Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το συναρτήσει του ή αντίστροφα. ds F
a a a tg e e n f(d f n n - - ln ln ln cos tan sin cos cos sin ( tg a a a a s f(d f - - ( ln sin arctan( a a rcsin( cot in ( - Συνήθη Συνήθη ολοκληρώματα ολοκληρώματα
- - ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ' ' f d g g f d f g g f g d f d g f Παραγοντική ολοκλήρωση - - d tg d tg tg Ι tg g f d Ι cos sin &, (? cos tg d tg I cos ln cos (cos tg g d g d d df f cos ( 0 4 sin cos d h I cos? d Ι
Αντικατάσταση μεταβλητής I f ( d t Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή με μια άλλη (t μέσω της φ(t f I ( t ( f g( t d ( t ' ( t ' ( t g( t Παράδειγμα d I cos t sin cos? d cos d cos d I cos - sin I - t
- - - t B t A t t t ( ( 0 ** - - B A B A B A Bt B At A - - t t t I t t I t t I - - - sin sin ln ln ln ln - t I
Γνωστή η ροπή αδράνειας κυλίνδρου I(/M I? Y Λεπτή «φέτα» σε ύψος από τον άξονα των, πάχους d d σαν κύλινδρος άρα η z O di ½(dm όπου X dm ρdvρsdρ(π d Άρα I I di I - 4 d
I? Y d I di I - 4 d z O I X di I - ( d I - ( - d... 5 4 I 3 V 5 3 5 8 5 5 m
Κύκλος Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή
ΒΑΘΜΙΔΑ Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: dw Fdr Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: dep -dw Επομένως, σ αυτή την περίπτωση: dep -Fdr Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια. Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη; Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. Έστω ότι, από τη σχέση: df Adr Θέλουμε να υπολογίσουμε το A.
ΒΑΘΜΙΔΑ Ξέρουμε ότι: dr di dj dzk A A i A j A k z Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(,,z ισχύει: f f f df d d dz z Τότε η σχέση df Adr γράφεται: f f f df d d dz A d Ad Az dz z Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα d, d, dz, εύκολα προκύπτει ότι: Επομένως: f f f f f f A A A z A i j k z z
ΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, από τη σχέση: df Adr Καταλήξαμε στη: f f f A i j k z Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής: f f f A f i j k z Όπου το ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABA και θεωρείται τελεστής: i j k z Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια.
ΒΑΘΜΙΔΑ Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: f f f A f gradf i j k z και τον όρο ΒΑΘΜΙΔΑ. Από το αρχικό μας πρόβλημα: dep -Fdr καταλήγουμε στο συμπέρασμα: E P E P E P F -EP -gradep -( i j k ΣΟΣ z Εάν Ε dr P const θα έχουμε Fdr 0 και για κάθε θα ισχύει F dr, επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, που ονομάζεται ισοδυναμική. Συνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά» είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα» μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια.
ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα : Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα; A ( i j k ( Ai A j Az k z A A A z ( diva z Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A
ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ Ο τελεστής έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά. A ( i j k ( Ai A j Azk z i j k rota curla z A A A ΤΟΥ A z ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟA ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι δυναμικό