Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο d. Τότε υπάρχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων του A των οποίων ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο d. Αποδειξη. Το σύνολο A αποτελείται από τους ακέραιους {n, n 2, }. Αν d = n τότε έχουμε τελειώσει. Αλλιώς ψάχνουμε τον επόμενο ακέραιο που ανήκει στο A ο οποίος να μην είναι πολλαπλάσιος του n. Εστω ο n k2 δεν είναι πολλαπλάσιος του n. Τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης d k2 του συνόλου {n, n k2 } είναι αυστηρά μικρότερος του n. Συνεχίζουμε την διαδικασία αυτή, βρίσκοντας στην συνέχεια έναν ακέραιο, τον n k, τέτοιον ώστε n k l n +l 2 n k2 για οποιουσδήποτε ακέραιους l, l 2 N. Αν δεν υπάρχει τέτοιος ακέραιος στο A τότε ο d είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των {n, n k2 } οπότε έχουμε τελειώσει αλλιώς ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των {n, n n2, n k }, έστω d k είναι αυστηρά μικρότερος του d k2. Με την λογική αυτή θα κατασκευάσουμε μια αυστηρά ϕθίνουσα ακολουθία ακεραίων d kn η οποία σε πεπερασμένα βήματα θα πάρει την τιμή d. Λημμα 2 Εστω τα σύνολα A = {n N : Pii n > 0} και B = {n N : f n (i i) > 0} για μια δοσμένη κατάσταση i μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του συνόλου A είναι ίσος με εκείνον του B. Αποδειξη. Θα δώσουμε δυο διαϕορετικές αποδείξεις. Στην πρώτη απόδειξη θα χαρακτηρίσουμε κατά κάποιον τρόπο τα στοιχεία του B σε σχέση με τα στοιχεία του A. Εστω ότι A = {n, n 2,, }. Λόγω του ότι f n (i i) Pii n για κάθε n N ισχύει ότι οποιοδήποτε n B τότε και n A επομένως B A. Αν d A και d B είναι οι μέγιστοι κοινοί διαιρέτες των A και B αντίστοιχα τότε προϕανώς d A d B. Σημειώστε ότι n B αϕού είναι ο μικρότερος ακέραιος τέτοιος ώστε P n ii > 0 άρα και f n (i i) > 0. ος τρόπος. Λόγω του λήμματος υπάρχει ένα πεπερασμένου πλήθους σύνολο Â τέτοιο ώστε d A = dâ. Σύμϕωνα με την κατασκευή του συνόλου Â (βλέπε λήμμα ) το σύνολο αυτό έχει την μορϕή Â = {n, n k2,, n km }. Εστω κάποιος
2 ακέραιος n l με l = k 2,, k m. Αϕού P n l ii > 0 υπάρχουν μονοπάτια τα οποία ξεκινούν από την κατάσταση i και καταλήγουν στην i μετά από n l βήματα. Αν σε αυτά δεν υπάρχει μονοπάτι που να μην περνά ενδιάμεσα από το i τότε f nl (i i) = 0 άρα n l / B. Ομως αυτό σημαίνει ότι σε όλα τα μονοπάτια η αλυσίδα έχει επισκεϕθεί την i ενδιάμεσα, έστω στο n l A βήμα σε κάποιο μονοπάτι. Τότε P n l n l ii > 0 και αυτό με την σειρά του σημαίνει ότι n l n l = n t A όπου n t < n l ή αλλιώς n l = n l + n t. Ομως τα n l και n l (είτε ανήκουν στο Â είτε όχι) γράϕονται ως γραμμικός συνδυασμός των προηγούμενων στοιχείων του n l που ανήκουν στο Â άρα το ίδιο συμβαίνει και με τον n l το οποίο είναι άτοπο. Άρα, Â B και επομένως d A = d B. Με τον τρόπο αυτό όχι μόνο αποδείξαμε ότι τα σύνολα A και B έχουν τον ίδιο μέγιστο κοινό διαιρέτη αλλά γνωρίζουμε και την μορϕή που έχουν τα στοιχεία του B. Το B λοιπόν περιέχει όλα τα στοιχεία του Â και οποιοδήποτε άλλο στοιχείο που ανήκει στο B και δεν ανήκει στο Â θα είναι σίγουρα γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του Â, δηλαδή αν n B τότε θα υπάρχουν l i N τ.ω. l n + l m n km = n. Αν δεν ίσχυε αυτό τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του B θα ήταν μικρότερος του Â. Τα ίδια ισχύουν και για το A, δηλαδή περιέχει όλο το Â και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του είναι γραμμικοί συνδυασμοί στοιχείων του Â. 2 ος τρόπος. Θα αποδείξουμε ότι ο d B διαιρεί όλα τα στοιχεία του A. Εστω ότι αυτό δεν ισχύει και έστω ο n A είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν διαιρείται από τον d B. Τότε n = ad B + b με 0 < b < d B. Επομένως P n ii = n k= f k (i i)p n k ii = a r= f rdb (i i)p ad B+b rd B ii Ο d B δεν διαιρεί επίσης τον (a r)d B +b < n οπότε αναγκαστικά (a r)d B +b / A αλλιώς θα ήταν άτοπο με την υπόθεση ότι ο n A είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν διαιρείται από τον d B. Επομένως ισχύει ότι P ad B+b rd B ii = 0 για κάθε r =, 2,, a. Από αυτό όμως προκύπτει ότι Pii n = 0 το οποίο είναι άτοπο. Το λήμμα αυτό έχει θεωρητική αξία αλλά και πρακτική όπως θα δούμε στα επόμενα παραδείγματα. Θα δούμε ότι σε μερικές περιπτώσεις βολεύει ιδιαίτερα να υπολογίσουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη του συνόλου {n N : f n (i i) > 0} αντί του συνόλου {n N : Pii n > 0}. Οσον αϕορά το πλήθος των στοιχείων του B υπάρχουν περιπτώσεις όπου το σύνολο B είναι πεπερασμένο και περιπτώσεις όπου είναι άπειρο.
Ασκηση Να εξεταστεί ως προς την περιοδικότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα με πίνακα μετάβασης 0 0 /2 0 /2 /2 /2 0 Λυση. Η κατάσταση είναι απορροϕητική, απεριοδική και επαναληπτική. Οι καταστάσεις 2, είναι μεταβατικές αϕού υπάρχει θετική πιθανότητα να απορροϕηθούν στην και επομένως η πιθανότητα να επιστρέψει στην κατάσταση 2 ή είναι αυστηρά μικρότερη της μονάδας. Επίσης, οι δυο καταστάσεις συνεπικοινωνούν άρα θα έχουν την ίδια περίοδο. ος τρόπος. Για να εξετάσουμε την περιοδικότητα των καταστάσεων 2, θα υπολογίσουμε τον πίνακα P n χρησιμοποιώντας το θεώρημα Cayley-Hamilton ως πρώτο τρόπο. Εύκολα υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές οι οποίες είναι k =, k 2 = /2, k = /2. Άρα σχηματίζουμε τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους για να υπολογίσουμε τις σταθερές του πολυωνύμου v(k) = ak 2 + bk + c το οποίο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης k n : δ P (k) όπου το δ P (k) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του P. Οι εξισώσεις είναι οι εξής a + b + c =, a 4 b 2 + c = ( )n 2 n, a 4 + b 2 + c = 2 n Θα μελετήσουμε την κατάσταση και το συμπέρασμα λόγω επικοινωνίας θα ισχύει και για την 2. Για να βρούμε την περιοδικότητα της χρειαζόμαστε την πιθανότητα P n. Το θεώρημα Cayley-Hamilton μας πληροϕορεί ότι δ P (P ) = 0 επομένως, αν k n = δ P (k)t(k) + v(k), P n = δ P (P )t(p ) + v(p ) = ap 2 + bp + ci Για να υπολογίσω το P n θα χρειαστώ μόνο το P 2 το οποίο εύκολα βρίσκω και είναι το P 2 = /4. Άρα από την ισότητα για τον P n έχω ότι P n = ap 2 + bp + ci = a 4 + c
4 Από το σύστημα για τα a, b, c υπολογίζω εύκολα το b αϕαιρώντας την δεύτερη εξίσωση από την τρίτη και βρίσκω b = ( )n και αντικαθιστώντας το b στην 2 n τρίτη εξίσωση υπολογίζω την ποσότητα P n = a + c = +( )n. 4 2 n+ Δηλαδή, διαπιστώνουμε ότι για n = 2k έχουμε ότι P 2k = 2 = > 0 ενώ 2 2k+ 2 2k για n = 2k + προκύπτει ότι P 2k+ = 0. Άρα, η κατάσταση και επομένως και η κατάσταση 2 είναι περιοδικές με περίοδο 2. 2 ος τρόπος. Ενας δεύτερος τρόπος είναι να υπολογίσουμε την περιοδικότητα εϕαρμόζοντας το λήμμα 2. Παρατηρούμε ότι f (2 2) = 0 f 2 (2 2) = /4 > 0 και f m (2 2) = 0 για m. Συνεπώς {n N : f n (2 2) > 0} = {2} άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο 2 και επομένως η περίοδος των δυο καταστάσεων είναι d = 2. Ασκηση 4 Εστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα με πίνακα μετάβασης τον 0 0 0 /2 0 /2 0 0 /2 0 /2 0 0 0 και σύνολο καταστάσεων το S = {, 2,, 4}. Να εξεταστεί ως προς την περιοδικότητα. Οι καταστάσεις, 4 είναι απορροϕητικές ενώ οι 2, συνεπικοινωνούν και είναι μεταβατικές. Θα εξετάσουμε τις καταστάσεις 2, ως προς την περιοδικότητα. Προϕανώς θα έχουν την ίδια περίοδο λόγω συνεπικοινωνίας. Υπολογίζοντας τις πιθανότητες f n (2 2) προκύπτει ότι f (2 2) = 0, f 2 (2 2) = /4 και f m (2 2) = 0 για m. Συνεπώς ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του {n N : f n (2 2) > 0} είναι ίσος με το 2 και λόγω του προηγούμενου λήμματος το 2 είναι και η περίοδος των καταστάσεων 2 και. Για να βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα υπολογίζοντας τον P n μπορούμε να αποδείξουμε επαγωγικά ότι P22 2k = και P 2k+ 2 2k 22 = 0 επομένως προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα.
5 Παραδειγμα 5 Εστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα με πίνακα μετάβασης 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Η κατάσταση είναι απορροϕητική ενώ οι καταστάσεις 2,,4,5 συνεπικοινωνούν και είναι μεταβατικές αϕού υπάρχει θετική πιθανότητα να απορροϕηθούν στην. Θα υπολογίσουμε την περίοδο των καταστάσεων αϕού υπολογίσουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη του συνόλου {n N : f n (2 2) > 0}. Βλέπουμε ότι f (2 2) = 0 και f 2 (2 2) > 0 αϕού μπορεί η αλυσίδα να ξεκινήσει από την 2 να μεταβεί στην και να επιστρέψει στην 2. Στην συνέχεια διαπιστώνουμε ότι f (2 2) > 0 εϕόσον η αλυσίδα μπορεί να ξεκινήσει από την 2 να μεταβεί στην έπειτα στην 4 και μετά ξανά στην 2. Αυτό όμως σημαίνει ότι το σύνολο {n N : f n (2 2) > 0} περιέχει τουλάχιστον τους αριθμούς 2 και επομένως ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του συνόλου θα είναι η μονάδα. Επίσης, η κατάσταση ως απορροϕητική είναι απεριοδική επομένως όλες οι καταστάσεις είναι απεριοδικές. Τα ίδια συμπεράσματα θα είχαμε βγάλει αν υπολογίζαμε τους P 2 και P.