Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton
|
|
- Καλυψώ Δασκαλόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Εστωέναπολυώνυμο p(k)βαθμούμεγαλύτερουήίσουτου nκαιέστωο πίνακαςa n n.ανθέλουμεναυπολογίσουμετοp(a)τότεδιαιρούμετοp(k)μετο χαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)του Aκαιβλέπουμεότι p(a) = δ A (A)π(A)+ v(a) = v(a)όπου v(k)είναιτουπόλοιποτηςδιαίρεσηςδιότι δ A (A) = 0. Συνεπώς το θεώρημα Cayley - Hamilton μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον υπολογισμότης n-οστήςδύναμηςενόςπίνακα. Εστωέναςπίνακας A m m καιέστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε την n-οστή του δύναμη. Διαιρούμε(θεωρητικά) το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμεk n = δ A (k)π(k)+v(k)όπουv(k) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης και προφανώς είναι βαθμού μικρότερου ή ίσου του m. Αυτό που πρέπει να υπολογίσουμε είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου v(k)οιοποίοιείναιτοπολύm.σεαυτόθαμαςβοηθήσουνοιιδιοτιμέςτουπίνακα Aδιότιθαικανοποιούντηνεξίσωση k n i = δ A (k i )π(k i )+v(k i ) = v(k i )λόγωτου ότι είναι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου. Στην περίπτωση που κάποια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας δυο ή παραπάνω τότε φτιάχνουμε τις επιπλέον εξισώσειςπουχρειαζόμαστεπαραγωγίζονταςτηνεξίσωση k n = δ A (k)π(k)+v(k) ως προς k και έπειτα αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή. Δηλαδή, αν μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας l τότε θα κατασκευάσουμε μια εξίσωση αντικαθιστώντας την ιδιοτιμήστηνισότητα k n = δ A (k)π(k)+v(k)καιάλλες l εξισώσειςπαραγωγίζονταςτηνισότητααυτή l φορέςκαιαντικαθιστώνταςκάθεφοράτηνιδιοτιμή αυτή. Ετσι, κάθε ιδιοτιμή πολλαπλότητας l θα προσφέρει l διαφορετικές εξισώσεις. Επομένως, αν το πολυώνυμο v(k) είναι m βαθμού τότε χρειαζόμαστε mεξισώσειςενώοιρίζεςτουχαρακτηριστικούπολυωνύμου,έστωοι z,,z t πολλαπλότητας l,,l t αντίστοιχα,θαείναιτέτοιεςώστε l + +l t = m. Στην περίπτωση όπου έχουμε μιγαδικές ρίζες τις φέρνουμε στην πολική μορφή τους,δηλαδήαν z = x+iyείναιμιαρίζατουχαρακτηριστικούπολυωνύμουτην γράφουμεστηνμορφήz = r(cosθ+isinθ)όπουr = x 2 +y 2 καιθ = arctan y x. Αν z είναι μια μιγαδική ρίζα τότε επίσης ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου θα είναι και η συζυγής της. Είναι ιδιαίτερα βολικό το σύστημα εξισώσεων που θα προκύψει να μην περιέχει μιγαδικούς αριθμούς. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες τότε το αντίστοιχο σύστημα εξισώσεων για τον
2 2 υπολογισμό του v(k) θα περιέχει εξισώσεις με μιγαδικούς αριθμούς οι οποίες μάλισταθαείναιανάζεύγη. Θαυπάρχειδηλαδήμιαεξίσωσημεδεξίμέλοςτον μιγαδικόαριθμό z n καιάλλημιαμεδεξίμέλοςτοναριθμό z n.σεαυτέςτιςπεριπτώσεις αντικαθιστούμε τις δυο αυτές εξισώσεις με την εξίσωση που προκύπτει αν προσθέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη και με την εξίσωση που θα προκύψει αν αφαιρέσουμε τις εξισώσεις κατά μέλη. Αφούυπολογίσουμετοπολυώνυμοv(k),τότεαπότηνσχέσηk n = δ A (k)π(k)+ v(k)καιβάζονταςόπου kτονπίνακα Aπροκύπτειότι A n = v(a)αφούαπότο θεώρημα Cayley-Hamiltonέχουμεότι δ A (A) = 0. Με το θεώρημα των Cayley-Hamilton μπορούμε πάντοτε(σε αντίθεση με την μέθοδο της διαγωνοποίησης) να υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη ενός πίνακα (είτε έχει πραγματικές ιδιοτιμές είτε μιγαδικές ανεξαρτήτου πολλαπλότητας) διότι το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα παρεμβολής τύπου Hermite. Σύμφωνα με το θεώρημα του βιβλίου P. Davis, Interpolation and Approximation, Dover, 975 το πρόβλημα αυτό έχει πάντοτε λύση και είναι μοναδική. Παραδειγμα Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα P όπου ( ) 0 P = εφαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton. Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακαοιοποίεςείναι k = και k 2 =.Στηνσυνέχειαγράφουμε k n = t(k)δ P (k)+v(k) δηλαδήδιαιρούμε(θεωρητικά)το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ P (k) οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού, το v(k) = ak+b.εφαρμόζονταςτοθεώρηματωνcayley-hamiltonέχουμεότιp n = v(p)αφού δ P (P) = 0απότοθεώρηματων Cayley-Hamilton. Αυτόσημαίνει ότιαρκείναυπολογίσουμετους a,b. Γιανατοκάνουμεαυτόχρειαζόμαστεδυο εξισώσεις με αγνώστους τα a, b. Αντικαθιστώντας τις δυο ιδιοτιμές στην εξίσωση k n = t(k)δ P (k)+v(k)προκύπτειτοσύστηματωνδυοεξισώσεων n = a+b n = a+b τουοποίουηλύσηείναι a = n και b = 2 2 ( n ).Άρα ( ) n 0 P n = ap +bi 2 2 = n 2
3 Παραδειγμα 2 Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα 6 0 P = Οιιδιοτιμέςείναιοι k = (διπλή)και k 2 = 5δηλαδήτοχαρακτηριστικό πολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k ) 2 (k +5). Διαιρούμεθεωρητικάτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμε k n = t(k)δ P (k) + v(k)όπου v(k) = ak 2 + bk + c. Πρέπεινασχηματίσουμετρεις εξισώσειςμεαγνώστουςτους a,b,c.αντικαθιστώνταςτηνιδιοτιμή k = στην παραπάνωσχέσηπροκύπτειότι n = 9a+b+c.Αντικαθιστώνταςτηνιδιοτιμή 5έχουμεακόμημιαεξίσωσηηοποίαείναι( ) n 5 = 25a 5b+c.Γιαναπάρουμε ακόμημιαεξίσωσηπαραγωγίζουμετηνσχέση k n = t(k)δ P (k)+v(k)μιαφορά και αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή. Αυτό κάνουμε πάντα όταν έχουμε ιδιοτιμές πολλαπλότητας δυο και πάνω. Αν δηλαδή μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας m τότεθαπαραγωγίσουμετηνσχέσηαυτήδιαδοχικά m φορές(καισεκάθε παραγώγιση αντικαθιστούμε την ιδιοτιμή για να λάβουμε μια εξίσωση) για να λάβουμεακόμη m εξισώσεις. Οπότεπροκύπτειηεξίσωση n n = 6a+b.Λύνονταςτιςτρειςαυτέςεξισώσεις υπολογίζουμετους a,b,c.στηνσυνέχειαυπολογίζουμετον P 2 οοποίοςείναι P 2 = Τελικά P n = ap 2 +bp +c = 2a a+c 2a+6b 0 4a+2b a+b+c a+b+c Παραδειγμα Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα P =
4 4 Τοχαρακτηριστικόπολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k ) (k 2) 2. Εχειδηλαδή δυο ιδιοτιμές πολλαπλότητας και 2 αντίστοιχα. Διαιρούμε θεωρητικά το k n με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και έχουμε k n = t(k)δ P (k) + v(k)όπου v(k) = a 4 k 4 + a k + a 2 k 2 + a k + a 0. Πρέπει νασχηματίσουμε5εξισώσειςμεαγνώστουςτους a 0,,a 4. Γιαναγίνειαυτό θαπαραγωγίσουμεκατάλληλατηνεξίσωση k n = t(k)δ P (k) + v(k). Αντικαθιστώντας τις δυο ιδιοτιμές στην εξίσωση αυτή λαμβάνουμε τις εξισώσεις n = a 4 +a +a 2 +a +a 0 2 n = 2 4 a 4 +2 a +2 2 a 2 +2a +a 0 Στηνσυνέχειαπαραγωγίζουμεμιαφοράτηνεξίσωση k n = t(k)δ P (k)+v(k)και έχουμε nk n = t (k)δ P (k)+t(k)δ P (k)+v (k). Στηντελευταίααυτήεξίσωση αντικαθιστούμε τις δυο ιδιοτιμές και έτσι λαμβάνουμε ακόμη δυο εξισώσεις οι οποίες είναι n = 4a 4 +a +2a 2 +a 2 n n = 4 2 a a +2 2a 2 +a Τέλος, παραγωγίζουμε ακόμη μια φορά την ισότητα nk n = t (k)δ P (k)+t(k)δ P(k)+v (k) καιέχουμε n(n )k n 2 = t (k)δ P (k)+2t (k)δ P (k)+t(k)δ P (k)+v (k).αντικαθιστούμε στην εξίσωση αυτή την ιδιοτιμή λαμβάνοντας έτσι την πέμπτη ισότητα η οποία είναι n(n ) = 2a 4 +6a +2a 2 Στηνσυνέχειαυπολογίζουμετουςπίνακες P 4,P,P 2 καισχηματίζουμετον πίνακα P n οοποίοςθαείναι P n = a 4 P 4 +a P +a 2 P 2 +a P +a 0 I 5 5. Παραδειγμα 4 Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των Cayley-Hamilton για να υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη πινάκων με μιγαδικές ιδιοτιμές. Ας δούμε πως εργαζόμαστε στην περίπτωση αυτή σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εστω ο πίνακας P =
5 Οπίνακαςαυτόςέχειιδιοτιμέςτους k =, k 2 = +i 6 και k = i 6. Διαιρούμε(θεωρητικά)το k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοτουπίνακα P καιέχουμε k n = δ P (k)t(k)+v(k)όπου v(k) = ak 2 +bk+cέναπολυώνυμοδευτέρου βαθμού. Στην συνέχεια αντικαθιστούμε τις τρεις ιδιοτιμές στην εξίσωση αυτή. Κάθεμιγαδικόαριθμό x + iyτονμετατρέπουμεστηνπολικήτουμορφή ωςεξής x+iy = r(cosφ+isinφ)όπου r = x 2 +y 2 και φ = arctan y x. Ετσι έχουμε ότι k 2 = ( cos π +isin π ) k = ( cos π isin π ) Αντικαθιστώνταςτιςιδιοτιμέςστηνεξίσωση k n = δ P (k)t(k) + v(k)έχουμετις εξισώσεις n (cos nπ +isin nπ n (cos nπ isin nπ n = a+b+c ) ) = a 2 ( cos 2π +isin 2π = a 2 ( cos 2π isin 2π ) +b ) +b Προσθέτοντας την δεύτερη εξίσωση με την τρίτη προκύπτει η εξίσωση n cos nπ = a 2 cos 2π +b cos π +c ενώ αν αφαιρέσουμε την τρίτη από την δεύτερη προκύπτει η εξίσωση n sin nπ = a 2 sin 2π +b sin π Τελικά έχουμε τρεις εξισώσεις με τρεις αγνώστους οι οποίες είναι n cos nπ n sin nπ n = a+b+c = a 2 cos 2π +b cos π +c = a 2 sin 2π +b sin π 5 ( cos π +isin π ) +c ( cos π isin π ) +c
6 6 Λύνοντας τις εξισώσεις λαμβάνουμε τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c οι οποίοι είναι a = ( 7 cos nπ n +5 sin nπ ) n ( b = 7 cos nπ n +9 sin nπ ) n ( c = 6 2 cos nπ n + 2 sin nπ ) n καιέτσι P n = ap 2 +bp +ci 2 2. Παραδειγμα 5 Θα υπολογίσουμε την n-οστή δύναμη του πίνακα A = ( 5 Τοχαρακτηριστικόπολυώνυμοείναιτο δ P (k) = (k 4) 2. Εχειδηλαδήμια ιδιοτιμή πολλαπλότητας 2. Αν προσπαθήσουμε να διαγωνοποιήσουμε τον πίνακα θαδούμεότιέχειμονάχαέναιδιοδιάνυσματο v = (,)επομένωςοπίνακαςδεν είναι διαγωνοποιήσιμος. Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα των Cayley-Hamilton. Διαιρούμεθεωρητικάτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοκαιέχουμε k n = δ P (k)t(k)+v(k)όπουv(k) = ak+b.πρέπεινακατασκευάσουμεδυοεξισώσειςμε αγνώστους τους a, b. Η πρώτη εξίσωση προκύπτει αντικαθιστώντας την ιδιοτιμή στηνεξίσωσηk n = δ P (k)t(k)+v(k)ηοποίαείναι4a+b = 4 n.γιαναπροκύψεικαι μιαδεύτερηθαπαραγωγίσουμετηνεξίσωση k n = δ P (k)t(k)+v(k)καιέπειταθα αντικαταστήσουμετηνιδιοτιμή. Ετσιπροκύπτειηεξίσωση a = n4 n. Τελικά b = 4 n ( n)και a = 4 n n. Άρααπότοθεώρηματων Cayley-Hamilton προκύπτει ότι A n = aa+bi 2 2 = ( 5n4 n +4 n ( n) 4 n n n4 n ) n4 n +4 n ( n) )
7 7 Ελάχιστο πολυώνυμο Για την περίπτωση υπολογισμού της n-οστής δύναμης ενός πίνακα A το ελάχιστο πολυώνυμο q(k) μπορεί να παίξει σημαντικό ρόλο διότι μπορεί να αντικαταστήσει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο μιας και q(a) = 0. Υποθέστε για παράδειγμα ότιτοχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)είναιτο δ A (k) = (k ) 5 (k 2) 4. Στηνπερίπτωσηαυτή,διαιρώνταςτο k n μετοχαρακτηριστικόπολυώνυμοθα προκύψει ως υπόλοιπο ένα πολυώνυμο όγδοου βαθμού. Για να το υπολογίσουμε θα χρειαστούμε 9 εξισώσεις άρα οι πράξεις είναι σημαντικά πολλές. Υποθέστε όμωςότιτοελάχιστοπολυώνυμοτουπίνακαείναιτο q(k) = (k )(k 2). Μπορούμεναδιαιρέσουμεμεαυτότο k n καιαπότηνδιαίρεσηθαπροκύψειένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Θα χρειαστούμε μονάχα δυο εξισώσεις για να το υπολογίσουμε. Επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζουμε το ελάχιστο πολυώνυμο σε τέτοιου είδους περιπτώσεις. Σε μια τέτοια περίπτωση δοκιμάζουμε μήπως ο πίνακας Aμηδενίζειτο (k )(k 2)οπότεθαείναιτοελάχιστοπολυώνυμο. Μπορούμε να συνεχίσουμε με τον τρόπο αυτό(δοκιμάζοντας) για να εντοπίσουμε τοελάχιστοπολυώνυμοτοοποίοθαέχειτηνμορφή (k ) r (k 2) r 2. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε(και θα τυποποιήσουμε) την κλασική διαδικασία εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου που στηρίζεται στην απαλοιφή Gauss αν και το πλήθος των πράξεων είναι επίσης μεγάλο. Το πλεονέκτημα της διαδικασίας αυτής είναι ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Υπάρχουν και άλλες(πιο περίπλοκες) τεχνικές εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου με μικρότερο πλήθος πράξεων. Μεθοδολογία εύρεσης του ελαχίστου πολυωνύμου Εστω A n n και δ(k) = k n +b n k n + +b 0 τοχαρακτηριστικόπολυώνυμό του.προφανώς δ(a) = 0. Εστω ότι το ελάχιστο πολυώνυμο έχει την μορφή με r n. Προφανώς η σχέση q(k) = k r +a r k r + +a 0 b r A r + +b 0 I n n = 0 n n () μαςοδηγείστοότιb r = b r 2 = = b 0 = 0διότιαλλιώςθαυπήρχεπολυώνυμο μικρότερου βαθμού το οποίο να μηδενίζεται από τον A. Δηλαδή, οι πίνακες
8 8 I n n,a,,a r είναιγραμμικώςανεξάρτητοιενώοιi n n,a,,a r,a r είναι γραμμικώς εξαρτημένοι. Προφανώς και οι πίνακες I n n,a,,a r,a r,a r+,,a n είναι επίσης γραμμικώς εξαρτημένοι. Εστω C n 2 r οπίνακαςοοποίοςστηνπρώτηστήληείναιτοποθετημένατα στοιχεία του μοναδιαίου πίνακα. Δηλαδή στις n πρώτες θέσεις της πρώτης στήλης βρίσκεται η πρώτη στήλη του μοναδιαίου, στις επόμενες n θέσεις βρίσκεται η δεύτερη στήλη του μοναδιαίου κ.τ.λ. Στις n πρώτες θέσεις της δεύτερης στήλης τοποθετούμε την πρώτη στήλη του A, στις επόμενες n θέσεις την δεύτερη στήλη του A κ.τ.λ. Συνεχίζουμε έτσι γεμίζοντας τις στήλες του πίνακα C τοποθετώνταςκαιτονπίνακαa r.οπίνακαςπουκατασκευάσαμεείναιοπίνακαςτων εξισώσεων.εφόσονοιπίνακες I,A,A 2,,A r είναιγραμμικώςανεξάρτητοι τότεοαναγμένοςκλιμακωτόςπίνακαςτου Cθαέχειτηνμορφή Ĉ = όπουτοπλήθοςτωνηγετικώνμονάδωνείναιίσομε r. Εστω D n 2 (n+ r)οπίνακαςοοποίοςπεριέχειστιςστήλεςτουτουςπίνακες A r,,a n μετονίδιοτρόποόπωςκατασκευάσαμετον C.Κατασκευάζουμετον πίνακα B = (C D)(οοποίοςείναιοπίνακαςτουσυστήματος2)καιυπολογίζουμε τον αναγμένο κλιμακωτό πίνακά του. Προφανώς, το πλήθος των ηγετικών μονάδωνθαείναιίσομε rοιοποίεςθαείναιτοποθετημένεςστις rπρώτεςστήλες του πίνακα B. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα a n A n +a n A n + +a 0 I n n = 0 n n (2) έχειάπειρεςλύσειςμε n+ rελεύθερεςπαραμέτρους.θέτουμετονάγνωστο a r = καιτους a r+ = a r+2 = = a n = 0καιλύνουμεωςπροςτους υπόλοιπους. Τότε το πολυώνυμο q(k) = a 0 +a k + +a r k r +k r
9 είναι τέτοιο ώστε q(a) = 0 και είναι στην πραγματικότητα το ελάχιστο πολυώνυμοτου A. Τοότιείναιτοελάχιστοπροκύπτειαπότογεγονόςότιοι I,A,,A r είναιγραμμικώςανεξάρτητοικαιτοότιέχεισυντελεστήμεγιστοβάθμιου τη μονάδα. Συνοψίζοντας,αν A n n έναςδοσμένοςπίνακαςτότεκατασκευάζουμετονπίνακα B n 2 (n+)οοποίοςπεριέχειστιςστήλεςτουτουςπίνακες I,A,,A n. Υπολογίζουμετοναναγμένοκλιμακωτό ˆB.Τοπλήθος rτωνηγετικώνμονάδων (οιοποίεςθαβρίσκονταιστις rπρώτεςστήλες)μαςδίνουντονβαθμότουελαχίστου πολυωνύμου. Στην συνέχεια εργαζόμαστε στο σύστημα των εξισώσεων πουπροκύπτειαπότοναναγμένοκλιμακωτότουbθέτονταςτονάγνωστοa r = καιτους a r+ = = a n = 0. Λύνουμεωςπροςτουςυπόλοιπουςαγνώστους λαμβάνοντας έτσι τους συντελεστές του ελαχίστου πολυωνύμου. Το αποτέλεσμα θα είναι ότι το ελάχιστο πολυώνυμο είναι το 9 q(k) = k r ˆB r,r+ k r ˆB r,r+ k r 2 ˆB,r+ Παραδειγμα 6 Εστω ο πίνακας A = Θα υπολογίσουμε το ελάχιστο πολυώνυμο. Για τον σκοπό αυτό θα κατασκευάσουμετονπίνακα Bχρησιμοποιώνταςτους I,A,A 2,A.Οπίνακας Bείναι B =
10 0 και ο αναγμένος κλιμακωτός του είναι ˆB = Συνεπώςτοπλήθοςτωνηγετικώνμονάδωνείναιτοοποίοσημαίνειότιτοελάχιστο πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού(και άρα συμπίπτει με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο). Γιανατουπολογίσουμεθέτουμε a 4 = καιλύνονταςέχουμεότι a 0 = 8, a = και a 2 = 4(δείτετηντελευταίαστήλητου ˆB). Συνεπώς,το ελάχιστο(και χαρακτηριστικό πολυώνυμο) είναι το q(k) = δ(k) = k +4k 2 +k 8 Παραδειγμα 7 Εστω ο πίνακας A = θακατασκευάσουμετονπίνακα Bχρησιμοποιώνταςτους I,A,A 2,A. Εχουμε B = 9 27 και ο αναγμένος κλιμακωτός του είναι ˆB =....
11 Το πλήθος των ηγετικών μονάδων είναι 2 επομένως ο βαθμός του ελαχίστου πολυωνύμουείναι2. Θέτουμε a 2 = και a = 0καιλύνονταςωςπροςτους υπόλοιπους έχουμε ότι(δες την τρίτη στήλη του αναγμένου κλιμακωτού) q(k) = k 2 +2k 5 = (k +5)(k ) Αυτόσημαίνειότιοπίνακας Aέχειιδιοτιμέςτις k = 5και k 2 =. Η εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα είναι μέρος ενός γενικότερου προβλήματος το οποίο είναι(ο ορισμός και) η εύρεση συνάρτησης ενός πίνακα. Για τον λόγο αυτό παρουσιάζουμε το επόμενο παράδειγμα. Παραδειγμα8(Συναρτηση ενος πινακα) Εστω A n n έναςτετραγωνικόςπίνακαςμεχαρακτηριστικόπολυώνυμο δ A (k)καιμιασυνάρτηση fηοποίαείναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές του A. Εστω ότι προσεγγίζουμε την συνάρτηση f με ένα πολυώνυμο m βαθμού, το p(k). Διαιρώντας το p(k) με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A προκύπτει ότι p(k) = π(k)δ A (k)+v(k) όπου v(k)είναιέναπολυώνυμοτοπολύ n βαθμούμιαςκαιτοχαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι n βαθμού. Μπορούμε να υπολογίσουμε το v(k)(κατά τα γνωστά) κατασκευάζοντας n εξισώσεις χρησιμοποιώντας τις ιδιοτιμές του A. Για παράδειγμα,αντικαθιστώνταςτο kμετην k ιδιοτιμήπροκύπτειηεξίσωση v(k ) = p(k ) Επειδή το πολυώνυμο p(k) προσεγγίζει την f(x) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τοδεξίμέλοςμετηντιμήτης f στην k (προκειμένουναέχουμεκαλύτερη ακρίβεια) δηλαδή θα προκύψει η εξίσωση v(k ) = f(k ) Αν μια ιδιοτιμή είναι πολλαπλότητας δύο ή παραπάνω τότε σχηματίζουμε τις επιπλέον εξισώσεις παραγωγίζοντας και έτσι θα έχουμε για παράδειγμα v (k ) = f (k ) υποθέτοντας ότι η παράγωγος της f είναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές. Με τον τρόποαυτόνθαυπολογίσουμετοπολυώνυμο v(k)καιορίζουμεως f(a)ναείναι
12 2 το v(a), δηλαδή f(a) := v(a). Με αυτή την μέθοδο υπολογίζονται συναρτήσεις πινάκων σε μαθηματικό λογισμικό όπως για παράδειγμα στο Maple. Παρατηρήστε ότι το πολυώνυμο v(k) είναι ανεξάρτητο του πολυωνύμου p(k) και προφανώς του βαθμού του. Δηλαδή, με οσοδήποτε μεγάλου βαθμού πολυώνυμο pπροσεγγίσουμετην f(x)στιςιδιοτιμέςτουπίνακα Aθακαταλήξουμεστοίδιο υπόλοιπο v(k) διαιρώντας με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο πίνακας v(a) εξαρτάται μονάχα από την συνάρτηση f και τις ιδιοτιμές του πίνακα A και όχι από την οποιαδήποτε προσέγγιση της συνάρτησης f. Ας το δούμε σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Εστω ο πίνακας ( ) 5 A = ο οποίος έχει ως ιδιοτιμή την k = 4 πολλαπλότητας δύο. Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι δεν είναι διαγωνοποιήσιμος επομένως δεν μπορούμε(μέσω διαγωνοποίησης) ναυπολογίσουμεένανπίνακα Bτέτοιονώστε B 2 = A.θαπροσπαθήσουμενατο κάνουμε εφαρμόζοντας τα παραπάνω. Θα πρέπει να δημιουργήσουμε δυο εξισώσεις μεαγνώστουςτουςσυντελεστές aκαι bτουπολυωνύμου v(k) = ak + b. Εδώ f(x) = xηοποίαείναικαλάορισμένηστηνιδιοτιμήτου Aόπωςεπίσηςκαιη παράγωγος της. Ετσι έχουμε 4a+b = f(4) = 2 a = f (4) = 4 Επομένωςυπολογίσαμετοπολυώνυμο v(k)τοοποίοείναι v(k) = 4 k+.δηλαδή οπίνακας B = v(a) = 4 A+I 2 2θαείναιτέτοιοςώστε B 2 = A.Κάνονταςτους υπολογισμούς διαπιστώνουμε ότι πράγματι ισχύει. Μπορούμε να γενικεύσουμε τους υπολογισμούς μας και να υπολογίσουμε τον A t όπου t R. Διαλέγουμε f(x) = x t καιόπωςπρινυπολογίζουμετα a,bτα οποία είναι τέτοια ώστε a = t4 t b = ( t)4 t Άραοπίνακας A t είναιωςεξής ( 5t4 t A t +( t)4 t t4 t ) = t4 t t4 t +( t)4 t
13 καιμάλισταβλέπουμεότι A t I 2 2 καθώς t 0. Επιπλέον,θέτοντας t = έχουμεσταχέριαμαςτοναντίστροφοτου A. Για παράδειγμα ο πίνακας ( ) 0 B = 0 2 δενείναιαντιστρέψιμος. Βλέπουμεεπίσηςότιησυνάρτηση f(x) = x t είναι καλά ορισμένη στις ιδιοτιμές μονάχα όταν t > 0 άρα μπορούμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του πίνακα αλλά μόνο θετικές. Ετσι έχουμε ότι ( ) 0 2 t B t = 0 2 t, t > 0 ΣημειώστεότιοB t δενσυγκλίνειστονμοναδιαίοκαθώς t 0. ΑποδεικνύεταιότιοA q με q Qκαι A n n οποιοσδήποτεπίνακαςσυμπίπτειμε τον v(a)αντονυπολογίσουμεόπωςστηνπροηγούμενησυζήτηση.αντο q < 0 αυτό ισχύει προφανώς όταν ο A είναι αντιστρέψιμος.
Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εϕαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton
Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εϕαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός του πίνακα A n, n Z Νίκος Χαλιδιάς Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Υπολογισμός του πίνακα A n, n Z Νίκος Χαλιδιάς Τμήμα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου Εστω πίνακας αριθμών A m m και έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραa (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0
Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
/8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότεραA B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού
//04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος
9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12- Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss
.4 Σχέση ισοδυναμίας, γραμμικά συστήματα και απαλοιφή Gauss Σχέση ισοδυναμίας. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών Q και η σχέση της ισότητας σε αυτό που ορίζεται ως εξής: Δύο στοιχεία α, γ Q είναι ίσα αν
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU
Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΝικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου
Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Θεωρημα 1 Εστω s S μια οποιαδήποτε κατάσταση μιας αδιαχώριστης Μαρκοβιανής αλυσίδας.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΚαθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραόπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)
ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΠοιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (1 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού:
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΟι Μιγαδικοί Αριθμοί
Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)
6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότερα= (2)det (1)det ( 5)det 1 2. u
www.maths.gr, Ενδεικτικές Λύσεις ης Εργασίας ΦΥΕ4 έτους -. Οι Λύσεις είναι για την βοήθεια των φοιτητών, σε ΘΕΜΑ ο 5 6 4 6 4 5 det 4 5 6 ()det ()det ()det 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ()( ) ()( 6 ) ()( ) 5 4 4 det
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότερα============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:
http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότερα3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3
ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε
Διαβάστε περισσότερα1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,
Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι
94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότερα3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα