O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

Transcript

1 O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim f lim f λ Στις θέσεις, όπου οι καμπύλες δεν «συναντώνται» έχουμε μόνο πλευρικά όρια (μεταξύ τους άνισα) με την προϋπόθεση ότι εκατέρωθεν του ορίζεται η συνάρτηση Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής,β, αλλά α, τότε lim f lim f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής α,, αλλά δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής,β, τότε lim f lim f O ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Αν υπάρχουν στο R τα όρια των συναρτήσεων f και g στο τότε: ) lim f g lim f lim g ) lim κf κ lim f 3) lim f g lim f lim g f lim f 4) lim εφοσον lim g g lim g 5) lim f lim f 6) lim κ f κ lim f εφοσον f κοντα στο ν 7) lim f lim f, ν * ν Προσοχή: Μπορεί να υπάρχει το lim f g και να μην υπάρχουν τα όρια των f, g στο lim lim C C ν ν lim ν * Αν P,Q πολυώνυμα, τότε P P lim P P lim = εφοσον Q lim ημ=ημ lim συν=συν Q Q Αν lim f λ, τότε λ μοναδικό lim f λ lim f λ lim f λ lim f λ lim f λ 3 3 Να βρεθεί το όριο lim

2 O3 Α Εύρεση ορίου της f Θέτω h την παράσταση του γνωστού ορίου Λύνω ως προς f την ισότητα Βρίσκω το όριο της f Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στη θέση ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Β Εύρεση του ορίου της f καιg Θέτω h και φ τις παραστάσεις των γνωστών ορίων Λύνω το σύστημα ως προς f και g Βρίσκω το όριο των f,g Να βρεθούν τα όρια των f και g στο 3 f, όταν lim lim 5f g 8 3, όταν lim3f 4g 6 3 O4 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ : ΡΗΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΖΥΓΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Α Παραγοντοποιώ τον αριθμητή και τον παρονομαστή (συνήθως με σχήμα Horner) μέχρι τη μορφή (αν τότε κοινός παράγοντας) Απλοποιώ τον κοινό παράγοντα και βρίσκω το όριο του πηλίκου (Ενδέχεται μετά από απλοποίηση να έχω πάλι απροσδιοριστία Αυτό σημαίνει ότι διπλή ρίζα Επαναλαμβάνω τα ίδια) Να βρεθεί το όριο lim Β Απροσδιοριστία και ο αριθμητής ή ο παρονομαστής είναι της μορφής α β, α β () Πολλαπλασιάζω με τη συζυγή παράσταση του αριθμητή ή παρονομαστή αντίστοιχα Παραγοντοποιώ απλοποιώ τον κοινό παράγοντα και βρίσκω το όριο Στην περίπτωση που και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι της μορφής () πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση και των δύο 5 3 Να βρεθούν τα όριο α lim β lim 5 3

3 O5 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ «ΡΙΖΑ ΣΕ ΡΙΖΑ» H ΡΙΖΑ ΣΕ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ Α Χρησιμοποιώ τον μετασχηματισμό A A A Έτσι δημιουργώ τετραγωνικό ριζικό και εφαρμόζω ιδιότητα ριζών κ κ και βρίσκω το όριο της υπόριζου ποσότητας κ Να βρεθεί το όριο lim Β Βρίσκω το όριο του αντίστροφου κλάσματος Μετά την αντίστροφη διαχωρίζω το κλάσμα κατάλληλα σε άθροισμα δύο ή περισσοτέρων κλασμάτων ώστε το καθένα να είναι απροσδιοριστία Να βρεθεί το όριο lim 8 4 O6 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ΚΥΒΙΚΟ ΡΙΖΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Α Κυβικό ριζικό: Πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους του κλάσματος με παράσταση της μορφής α αβ β 3 3 ώστε να δημιουργήσω διαφορά κύβων α β α βα αβ β Αν και οι δύο όροι περιέχουν κυβική ρίζα τότε με πολλαπλασιασμό των όρων δημιουργούμε συγχρόνως διαφορές κύβων (Αν χρειαστεί θέτω α, β τα δύο ριζικά για ευκολία στις πράξεις) Να βρεθεί το όριο lim 3 6 Β Κυβικό τετραγωνικό ριζικό: Αν υπάρχουν κυβική και τετραγωνική ρίζα ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ σε αριθμητή ΚΑΙ παρονομαστή πολλαπλασιάζω κατάλληλα ώστε να μορφοποιηθεί και διαφορά τετραγώνων και διαφορά κύβων Μπορούμε βοηθητικά να θέσουμε κάθε ρίζα α,β,γ,δ και έτσι οδηγούμαστε σε πιο απλές παραστάσεις( δες λυμένα παραδείγματα) 7 4 Να βρεθεί το όριο lim Γ Διαφορετικές τάξεις: Αν υπάρχουν κυβική και τετραγωνική ρίζα ΜΑΖΙ σε αριθμητή Ή παρονομαστή Βρίσκω το όριο λ του ενός όρου (προσθετέου) του αριθμητή Προσθέτω και αφαιρώ στον αριθμητή το όριο λ Διαχωρίζω κατάλληλα το κλάσμα σε (το καθένα πρέπει να είναι απροσδιοριστία)

4 Βρίσκω τα όρια των δύο κλασμάτων ξεχωριστά Να βρεθεί το όριο lim 3 6 O7 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α Δύο ριζικά στον αριθμητή και ένας σταθερός όρος: Βρίσκω τα όρια κάθε ριζικού και με βάση αυτά διαχωρίζω τον αριθμό σε, ένα για κάθε ριζικό Διαχωρίζω το κλάσμα σε, που το καθένα πρέπει να είναι απροσδιοριστία και δουλεύω το καθένα ξεχωριστά Παρατήρηση: Αν έχω 3 ριζικά και έναν σταθερό όρο τον αριθμό τον «σπάω» κατάλληλα σε τρεις αριθμούς και διαχωρίζω τρία κλάσματα 7 3 Να βρεθεί το όριο lim 4 Β Τρία ριζικά στον αριθμητή χωρίς σταθερό όρο: Το ένα ριζικό έχει αριθμητικό συντελεστή, πχ,3, Διαχωρίζω κατάλληλα το ριζικό με τον αριθμητικό συντελεστή και χωρίζω τα κλάσματα (το καθένα ) και δουλεύω ξεχωριστά Να βρεθεί το όριο lim O8 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ΡΙΖΙΚΟ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΙΖΟ ΚΑΙ ΑΛΛΗ ΤΑΞΗ Βρίσκω το ΕΚΠ όλων των τάξεων Έστω ν Θέτω y ν g και εκφράζω όλα τα ριζικά ως δυνάμεις του y Βρίσκω το όριο του y ν g όταν Βρίσκω τελικά το όριο με νέα μεταβλητή το y 3 3 Να βρεθεί το όριο lim 3 O9 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ: ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ f g Ή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΑ ΟΡΙΑ f : g ΑΓΝΩΣΤΩΝ Πολλαπλασιάζω και διαιρώ συγχρόνως κάθε όρο του γινομένου f g ή του f πηλίκου με τον διαιρέτη ή πολλαπλασιαστή που περιέχεται στο αντίστοιχο g δοσμένο όριο ώστε να μορφοποιηθεί η παράσταση του γνωστού ορίου Βρίσκω τα όρια και αντικαθιστώ

5 Παρατήρηση: Ότι επιθυμώ το δημιουργώ κατασκευαστικά (δομικά) με προσθαφαιρέσεις, πολλαπλασιασμούς, διαιρέσεις) f Αν lim και lim g 6, να βρεθεί το όριο lim f g O ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Δίνεται όριο παράστασης που περιέχει την f και ζητείται όριο παράστασης που επίσης περιέχει την f Βρίσκω από το δεδομένο (με τη μέθοδο της βοηθητικής Σ5Α) όριο, το όριο της f και στη συνέχεια απροσδιοριστία στο ζητούμενο Μορφοποιώ (συνήθως με προσθαφαίρεση στον αριθμητή) την παράσταση του ζητούμενου ορίου ώστε να γίνει μετασχηματισμός σε παραστάσεις με γνωστά όρια f f Αν lim 5, να βρεθεί το lim 5 6 O ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ: ΠΟΛΛΑΠΛΟΣ ΤΥΠΟΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Α Πολλαπλός τύπος: Βρίσκω τα πλευρικά όρια, παίρνοντας τον αντίστοιχο τύπο Αν τα πλευρικά όρια είναι ίσα τότε η κοινή τιμή είναι το όριο της συνάρτησης στο Αν τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα τότε η συνάρτηση δεν έχει όριο στο Παρατήρηση: Για να πάρω πλευρικά όρια πρέπει να υπάρχουν στον τύπο ανισότητες,, κλπ και όχι 3, Να βρεθούν τα όρια lim f και limf : f, 3 4, Β Καθορισμός παραμέτρων ύπαρξης ορίου: Βρίσκω τα πλευρικά όρια στη θέση που γίνεται αλλαγή τύπου Εξισώνω τα πλευρικά όρια ώστε να υπάρχει το όριο, οπότε έχω εξίσωση ως προς α ή β Με μια δεύτερη σχέση μεταξύ α, β (προκύπτει από την υπόθεση), έχω σύστημα το οποίο λύνω και βρίσκω τα α, β Να βρεθεί η παράμετρος α, ώστε να έχει όριο στο 3 η συνάρτηση α α, 3 f α, 3

6 O ΟΡΙΑ: ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Αν lim f τότε f κοντά στο (όχι σε όλο το D f ) Αν lim f τότε f κοντά στο Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και f g κοντά στο τότε lim f lim g Αν f κοντά στο τότε Αν f κοντά στο τότε lim f Το όριο «προσθέτει ισότητα» lim g Αν lim f lim g τότε f g κοντά στο Αν f g κοντά στο τότε lim f lim g Α ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ: Αν το όριο δεν περιέχει μορφή τότε υπολογίζω κανονικά το όριο 7 lim 3 Β ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΔΕΝ ΜΗΔΕΝΙΖΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΑΠΟΛΥΤΟ: Βρίσκω τα όρια της παράστασης που είναι μέσα στο απόλυτο Αν το όριο είναι θετικό, τότε και η παράσταση θετική κοντά στο ( «στόχο» ) Αν το όριο είναι αρνητικό τότε και η παράσταση αρνητική κοντά στο Έτσι απαλλάσσω τον τύπο από απόλυτα, κάνω άρση της απροσδιοριστίας και υπολογίζω τελικά το όριο 3 5 Να βρεθεί το όριο lim 3 5 Γ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΜΗΔΕΝΙΖΕΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ ΑΠΟΛΥΤΟ: Αν μηδενίζει τουλάχιστον ένα απόλυτο τότε παίρνω πλευρικά όρια, Κάνω πίνακα προσήμου για το απόλυτο που μηδενίζει εκατέρωθεν του Για τα απόλυτα που δεν μηδενίζουν κάνω απλοποίηση ανάλογα με το πρόσημο της παράστασης μέσα σε αυτό (περίπτωση Β) (Οι παραστάσεις αυτές δεν μεταβάλλονται στα πλευρικά όρια, μόνο αυτές που μηδενίζουν αλλάζουν πρόσημο εκατέρωθεν του ) 4 Να βρεθεί το όριο lim

7 O3 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Έστω συναρτήσεις f, g, h Αν h f g κοντά στο και lim h lim g λ, τότε lim f λ Βασικό γνώρισμα: Διπλή ανισότητα ή απόλυτο με ανισότητα Α Εύρεση του lim f απλός τύπος: Με πράξεις μετασχηματίζω τη σχέση ώστε μεταξύ των συμβόλων να υπάρχει μόνο η f (Απομονώνω την f στο μεσαίο μέλος) A f B (Η f δεν πρέπει να υπάρχει σε καμία περίπτωση στα άλλα δύο μέλη) Βρίσκουμε τα όρια των A, B Αν αυτά είναι ίσα με λ τότε lim f λ Αν τα όρια είναι διαφορετικά δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει το όριο, απλά δεν εφαρμόζεται το ΚΠ Διαλέγω άλλο τρόπο Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στην αντίστοιχη θέση, όταν για κάθε R ισχύει 4 6 f 3 5, Β Εύρεση του lim f σύνθετη μορφή: Απομονώνω την f στο μεσαίο μέλος Υπάρχει ενδεχόμενο να πάρω πλευρικά όρια (όταν διαιρέσουμε τα μέλη με παίρνω περιπτώσεις, ) Το κριτήριο παρεμβολής το εφαρμόζω σε κάθε πλευρικό όριο χωριστά Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στην αντίστοιχη θέση, όταν για κάθε R ισχύει 7 f 5 7, 3 Γ Εύρεση ορίων που περιέχουν την f Κατασκευάζω στο μεσαίο μέλος την παράσταση της οποίας θέλω να υπολογίσω το όριο Αν χρειαστεί παίρνω πλευρικά όρια g Αν για κάθε R είναι g, g f g και lim, να βρεθούν f τα όρια: : lim g : lim f 3 : lim Αν για κάθε R είναι f 6f 9, τότε lim f 3 Βρίσκω παράσταση μεγαλύτερη της f (αν f ) ή του τετραγώνου της οποίας να μπορώ να υπολογίσω το όριο (συνήθως ) f f g Στην συνέχεια εφαρμόζω Κ Π Αν lim 5f g και lim f g να δειχθεί ότι είναι lim f lim g

8 Διαπιστώνω ότι έχω γινόμενο δύο συναρτήσεων εκ των οποίων η μία έχει όριο και η άλλη είναι φραγμένη Ξεκινάω από την ανισότητα της φραγμένης και πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη της με την απόλυτη τιμή της συνάρτησης που τείνει στο Εφαρμόζω την ιδιότητα των απολύτων για να δημιουργήσω διπλή ανισότητα και εφαρμόζω Κ Π Χαρακτηριστικό γνώρισμα η ύπαρξη ορίων ημ, συν, ημ g, κλπ Υπολόγισε το lim ημ O4 lim f g Θέτω u g Βρίσκω το u lim g ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ (ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ) Αντικαθιστώ και έχω lim f g lim f u lim ln 4 uu O5 ημ ημα συν ΟΡΙΟ lim, lim α, lim Ισχύει ημ Α για καθε, η ισότητα ισχύει μόνο για = ημ Μορφοποιώ το κλάσμα ώστε να σχηματιστεί η παράσταση με lim Συνήθως πολλαπλασιάζω και διαιρώ με κατάλληλη παράσταση Θέτω u Βρίσκω u lim ημ ημu Άρα lim lim u u ημ 5 6 lim 6 8 ημ π ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν το τόξο Χ εκφράζεται σε μοίρες και όχι σε ακτίνια τότε lim 8 ημα ΛΗΜΜΑ: lim α με απόδειξη σε ασκήσεις Θέτω u α u lim α ημα ημu α lim α lim α α α u u ημ3 Υπολόγισε το όριο lim Β Σύνθετη μορφή: Διαιρώ όλους τους όρους με ή

9 Χρησιμοποιώ συζυγή παράσταση Πολλαπλασιάζω και διαιρώ συγχρόνως με συζυγή παράσταση 5συν ημ3 Να βρεθεί το όριο lim ημ ΓΕΝΙΚΑ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΟΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΠΙΟ ΕΥΚΟΛΟ ΤΡΟΠΟ ΜΕ ΤΟΝ ΚΑΝΟΝΑ De L Hospital ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ O6 ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν γνωρίζω το όριο κάποιας παραμετρικής παράστασης θέτω f την παράσταση, άρα ξέρω το lim f λ R Κάνω «χιαστή» και παίρνω τα όρια Έτσι βρίσκω μια σχέση ανάμεσα στα α, β Αν είναι ρητή η συνάρτηση με τη βοήθεια του σχήματος Horner κάνω παραγοντοποίηση για να βγάλω το, απλοποιώ και παίρνω το lim f και βρίσκω άλλη μια σχέση για τις παραμέτρους Λύνω το σύστημα, βρίσκω παραμέτρους (Δεν χρειάζεται επαλήθευση) Παρατήρηση: Στο ο βήμα δεν χρησιμοποιώ την τιμή του λ, αλλά ότι λ R, στο 3 ο βήμα χρησιμοποιώ την τιμή του λ 5α β Βρείτε τα α,β R ώστε να ισχύει lim O7 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ limf lim f lim f

10 lim f lim f lim f Αν lim f (όμοια για ) lim f lim f Αν τότε δεν υπάρχει το lim f lim f Να βρεθούν τα όρια της συνάρτησης f στις θέσεις,,,3,4 όταν η γραφική παράσταση της f είναι: Αν lim f Αν lim f, τότε f κοντά στο, τότε f κοντά στο Αν lim f, τότε lim f Αν lim f ή, τότε lim f Αν lim f και f τότε lim f

11 Αν lim f και f τότε lim f Αν lim f ή, τότε lim f l lim ν * ν Πράξεις που δεν επιτρέπονται:,,,,,, O8 ΟΡΙΟ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ α οδηγεί σε δεν υπάρχει όριο αριθμό οδηγεί σε α οδηγεί σε δεν υπάρχει όριο f Υπολογισμός lim σε μορφή α g ) Υπολογίζω το lim f λ ΜΟΡΦΗ α f f g g ) Υπολογίζω το lim g, τότε f f g g 3) Βρίσκω το πρόσημο της g εκατέρωθεν του (ίσως χρειαστεί πίνακας προσήμου) Αν αλλάζει το πρόσημο τότε δεν υπάρχει όριο f, λ Ανg τότε lim Άρα lim lim f lim λ g g g, λ f, λ Ανg τότε lim Άρα lim lim f lim λ g g g, λ lim, lim Παρατήρηση: Αν είναι αρχικά μορφή, τότε αίρω την απροσδιοριστία και μετά προκύπτει η α

12 O9 ΟΡΙΟ ΤΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Μορφή α, παράμετρος και ο παρονομαστής διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του f lim lim f, αφούg σταθερό πρόσημο τότε lim κατά g g g περίπτωση Εξετάζω το πρόσημο της f για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου Μηδενίζω την f και κάνω πίνακα προσήμου f, f, f και σε κάθε περίπτωση υπολογίζω το όριο Αν f τότε έχω μορφή, τότε η παράμετρος παίρνει συγκεκριμένες τιμές, τις αντικαθιστώ στο αρχικό όριο και αίρω την (Μορφή α, παράμετρος και ο παρονομαστής δεν διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του κάνω τις προηγούμενες ενέργειες και παίρνω πλευρικά όρια) α 5α 6 lim (Βασικό χαρακτηριστικό ζητάω όριο με, απροσδιοριστία και έχω διαφορά κλασμάτων) Προσθέτω τα δύο κλάσματα Παραγοντοποιώ και απλοποιώ Βρίσκω κανονικά το όριο 6 Να βρεθεί το όριο lim O ΟΡΙΟ ΤΟ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ Α: Ένα όριο: Θέτω την παράσταση του ορίου h Λύνω ως προς f Βρίσκω το όριο της f f εφ Να βρεθεί το όριο της συνάρτησης f στο όταν lim Β: Δύο όρια: Θέτω τις παραστάσεις των ορίων με h,φ Λύνω το σύστημα ως προς f,g Βρίσκω τα όρια των f,g lim f 3g 5 3 Να βρεθούν τα όρια των f και g στο, όταν, 3 limf 3g 3

13 O ΟΡΙΟ ΤΟ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Αν f g και lim g lim f Αν f g και lim g lim f Εφαρμόζεται το κριτήριο παρεμβολής Να βρεθεί το limg αν g O ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Για τον υπολογισμό αυτών των ορίων ελέγχω πρώτα αν έχει νόημα η αναζήτησή τους, πχ για να έχει νόημα το lim f πρέπει το πεδίο ορισμού να είναι της μορφής Df α,, ν αρτιος, ν περιττος, αν α ν lim α αναλογα αν, αν α lim 3 3, lim, lim 3 ν lim lim, ν * ν ν lim lim, ν * προσοχη ν O3 Α: Πολυωνυμικές Παίρνω το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου 3 lim 3 6 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΡΗΤΗ Β: Ρητές Παίρνω το όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων lim 4 ΠΡΟΣΟΧΗ: Πρέπει να γίνουν πρώτα όλες οι πράξεις σε αριθμητή παρονομαστή Αν έχω άθροισμα πολυωνυμικής και ρητής ή δύο ρητών και καταλήγω σε απροσδιοριστία τότε προσθέτω τις δύο συναρτήσεις (ένα κλάσμα) και μετά βρίσκω το όριο Παράδειγμα 3 3 Να βρεθεί το όριο lim

14 f Παρατηρήσεις: Έστω ρητή συνάρτηση P g Αν ο βαθμός της f είναι μεγαλύτερος του βαθμού της g το όριο είναι άπειρο Αν ο βαθμός της f είναι ίσος με το βαθμό της g τότε το όριο είναι στο R* (το πηλίκο των μεγιστοβάθμιων συντελεστών) Αν ο βαθμός της f είναι μικρότερος του βαθμού της g τότε το όριο είναι Δηλαδή αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος ή ίσος του βαθμού του παρονομαστή τότε το όριο είναι πραγματικός αριθμός O4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Η ΡΗΤΕΣ Α: Πολυωνυμικές Παραγοντοποιώ και μηδενίζω τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου Παίρνω περιπτώσεις για το πρόσημο του (αν χρειαστεί κάνω πίνακα προσήμου) Να βρεθεί το όριο lim 3 α α α Β: Ρητές Παραγοντοποιώ τους «οπτικά» μεγιστοβάθμιους συντελεστές Μηδενίζω τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου του αριθμητή Μηδενίζω τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου του παρονομαστή Παίρνω περιπτώσεις για το πρόσημο του πηλίκου των δύο παραπάνω (πίνακας προσήμου) 3 α α Να βρεθεί το όριο lim α α O5 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Η ΡΗΤΕΣ ν α Φέρνω τον τύπο της συνάρτησης στη μορφή κ β, όπου Α, Β είναι οι συντελεστές των «οπτικά» μεγιστοβάθμιων όρων (Οι Α, Β εξαρτώνται από παραμέτρους) Εξετάζω τις περιπτώσεις,,, Επιλέγω την περίπτωση για την οποία ισχύει το ζητούμενο της άσκησης 3 α β 5 α Να βρεθούν οι τιμές των α και β ώστε να είναι lim β α O6 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΡΙΖΙΚΑ Σε όλα τα ριζικά ελέγχω πρώτα αν έχει νόημα η αναζήτηση ορίου lim κ f, βρίσκω το lim f

15 Αν lim f τότε έχει νόημα η αναζήτηση ορίου Αν lim f τότε δεν έχει νόημα η αναζήτηση ορίου Α: Απλά ριζικά Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση μέσα στην υπόριζο ποσότητα βγάζοντας κοινό παράγοντα τον όρο κ όπου κ η τάξη της ρίζας, πχ αν έχω κυβική ρίζα βγάζω το 3 Εξάγω από το ριζικό το κ, δηλαδή Αν τότε, αλλιώς Υπολογίζω το όριο lim 3 6 κ κ Β: Ριζικά με κλάσμα Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση όπως προηγουμένως και στα ριζικά του αριθμητή και στον παρονομαστή και εξάγω εκτός των ριζικών το κ : Αν τότε, αλλιώς Κάνω παραγοντοποίηση, απλοποιώ και υπολογίζω το όριο 9 Να βρεθεί το όριο lim 4 O7 κ κ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΤΥΠΟΣ ΜΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΜΕ ΡΙΖΑ Στην περίπτωση αυτή υπάρχει το ενδεχόμενο να προκύψει απροσδιόριστη μορφή Αυτό το καταλαβαίνω από την αρχή κάνοντας τον εξής έλεγχο (στο πρόχειρο): βρίσκω τη διαφορά ή το άθροισμα των ριζών των μεγιστοβάθμιων όρων Αν η διαφορά κάνει τότε θα καταλήξω σε, αλλιώς δεν είναι απροσδιόριστη μορφή, πχ lim 6 5, άρα απροσδιόριστη μορφή Ελέγχω αν έχω α μ Αν έχω τότε πολλαπλασιάζω με συζυγή παράσταση Εφαρμόζω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση Απλοποιώ και υπολογίζω το όριο (όμοια και για κυβικά ριζικά) Παραδείγματα: ) Να βρεθεί το όριο lim 9 4 ) Να βρεθεί το όριο lim ) Να βρεθεί το όριο lim 3 6 3

16 O8 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΟΡΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ Χαρακτηριστικό γνώρισμα: άθροισμα 3 προσθετέων με τουλάχιστον ριζικά Διαχωρίζω κατάλληλα έναν από τους όρους (συνήθως αυτού που δεν έχει ρίζα) σε και έχουμε δύο αθροίσματα με όρους Βρίσκω το όριο του κάθε αθροίσματος χωριστά πχ επειδή , τότε 5 3, άρα Να βρεθεί το όριο lim O , ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση Καταλήγω σε όριο της μορφής hα Παίρνω περιπτώσεις hα, hα, h α Στην περίπτωση hα αντικαθιστούμε τις τιμές του α μία προς μία στον τύπο της f και βρίσκω το όριο κάνοντας χρήση της συζυγούς παράστασης Να βρεθεί το όριο για τις διάφορες πραγματικές τιμές της παραμέτρου α lim 4 α O3 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση Καταλήγω σε όριο της μορφής hα Αν hα τότε το όριο άπειρο Αν hα τότε το όριο άπειρο Αν hα τότε καταλήγω σε α μ οπότε δουλεύω με συζυγή Αναλόγως με το ζητούμενο της άσκησης κρατάω την αντίστοιχη περίπτωση, αν πχ θέλω το όριο να ανήκει στο R, κρατάω το hα lim α β 4 3, β Να βρεθούν οι παράμετροι α και β ώστε να είναι O3 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α: Μορφοποίηση παραστάσεων: Μορφοποιώ συνήθως με πολλαπλασιασμό και διαίρεση ή με διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή κατάλληλα ώστε να προκύψουν όροι με το γνωστό όριο Βρίσκω το όριο f Αν lim και lim 4f 3 3, να δειχθεί ότι είναι f 5 f lim, lim 3 4 f 3 4f 3 Β: Χρήση βοηθητικής: Θέτω τον τύπο ίσο με h

17 Λύνω ως προς f και βρίσκω το όριο του δεύτερου μέλους Όμοια δουλεύω αν έχω δύο όρια, θέτω h και φ αντίστοιχα (Σ5 Β) Να βρεθεί το lim f όταν ισχύει lim 3f 3 5 O3 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Α: Απλές εφαρμογές Με κατάλληλους μετασχηματισμούς μετασχηματίζω τη διπλή ανισότητα στη μορφή f () Βρίσκω τα όρια των, Αν τα όρια είναι ίσα με λ,, τότε το όριο της f είναι αντίστοιχα λ,, 3 Να βρεθεί το lim f αν για κάθε ισχύει f f 3 Β: «Μηδενική επί φραγμένη» Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση και προκύπτουν όροι που είναι γινόμενα συνάρτησης με όριο και φραγμένης συνάρτησης Εφαρμόζω κατάλληλα το κριτήριο παρεμβολής (Σ64) Να βρεθεί το όριο lim 3συν ημ συν Γ: Βασικά όρια lim, lim Με απόδειξη σε ασκήσεις Βασικό γνώρισμα ύπαρξη ημ,συν Κάνω «ανορθόδοξη» παραγοντοποίηση οπότε προκύπτουν τα παραπάνω όρια ή τα γινόμενα μηδενική επί φραγμένη Ενδέχεται να γίνει διαχωρισμός του κλάσματος σε δύο κλάσματα ή διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με τη μεγιστοβάθμια δύναμη του Παραδείγματα: 6 ημ συν ) Να βρεθεί το όριο lim 3 συν ν ) Να βρεθεί το όριο lim ημ

18 O33 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ Α: απλή συνάρτηση Εκθετική: α α lim α lim α lim e lim e lim α lim α Λογαριθμική: α lim log α lim log α lim ln lim ln lim log α lim log Δεν έχει νόημα το όριο της λογαριθμικής στο Για να θυμάμαι αυτά τα όρια σχεδιάζω πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις Υπολογισμός Αναλύω τις δυνάμεις ώστε να έχω μόνο α Βγάζω κοινό παράγοντα τον α ή διαιρώ με αυτόν αν χρειαστεί, 3 Απλοποιώ και υπολογίζω το όριο α

19 e e lim e Β: Σύνθετη συνάρτηση Θέτω u την παράσταση του εκθέτη στην εκθετική και την παράσταση στον λογάριθμο στη λογαριθμική Προσπαθώ με ιδιότητες να τις φέρω στη μορφή g α η' lng u Υπολογίζω το lim e η' lim ln u αντίστοιχα Παραδείγματα: ) Να βρεθεί το lim e uu uu 3 6 ) Να βρεθεί το lim ln Παρατήρηση: Αν εμφανίζεται πολλές φορές ο όρος α ή log θέτω u α και u lim u συνήθως παραγοντοποιώ αριθμητή και παρονομαστή (ή u log ) α Να βρεθεί το όριο lim α O34 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ Αναλύω τις δυνάμεις ώστε να έχω μόνο α, β, γ, Διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή με κατάλληλη εκθετική παράσταση Γενικά ακολουθώ τον εξής κανόνα: α) Αν i) Αν όλες οι βάσεις είναι μεγαλύτερες του διαιρώ με α όπου α η μεγαλύτερη βάση ii) Αν όλες οι βάσεις είναι μικρότερες του διαιρώ με α όπου α η μικρότερη βάση β) Αν i) Αν όλες οι βάσεις είναι μεγαλύτερες του διαιρώ με α όπου α η μικρότερη βάση ii) Αν όλες οι βάσεις είναι μικρότερες του διαιρώ με α όπου α η μεγαλύτερη βάση e Υπολόγισε το lim e 3 Παρατήρηση: Αν υπάρχουν και παράγοντες πολλαπλασιαστές, δυνάμεις του, διαιρώ και με τη μεγιστοβάθμια δύναμη του, εκτός της εκθετικής δηλαδή 3 e 3 Να βρεθεί το όριο lim

20 O35 ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΛΟΓΑΡΙΜΙΚΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ Αναλύω τις δυνάμεις ώστε να έχω μόνο α, β, γ, Παίρνω περιπτώσεις για την παράμετρο α, α, α Διαιρώ κατάλληλα με εκθετική παράσταση όπως (Σ86 ) 3 4α 3 Να βρεθεί το όριο lim, α α 3 O36 g Α: f με f : ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΟΡΙΟ f g - ΕΙΔΙΚΑ ΟΡΙΑ (Β ΛΥΚΕΙΟΥ) ) Στην περίπτωση που δεν έχω απροσδιοριστία της μορφής,,,, τότε Βρίσκω τα όρια lim f κ, lim g λ g Γράφω λ lim f κ (Το μπορεί να είναι πραγματικός ή άπειρο) lim e ln Να βρεθεί το όριο ) Στην περίπτωση που έχω απροσδιοριστία τότε εφαρμόζω την ιδιότητα των ln θ λογαρίθμων θ e Γράφω g g ln f g lnf f e e Συνεχίζω με την εύρεση του ορίου της g ln f Θέτω u gln f Οι απροσδιοριστίες αυτές αντιμετωπίζονται και με τον κανόνα Hospital (παράγωγοι) lim, κλπ Β: lim e, lim e Μετασχηματίζω (με προσθαφαιρέσεις ή πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις) τη βάση και τον εκθέτη ώστε να έχουμε τη μορφή η' h h Όταν τότε h, άρα lim h h e Όταν τότε h, άρα lim h h e Επειδή αυτά τα όρια είναι της μορφής f g αντιμετωπίζονται και με τον κανόνα Hospital (παράγωγοι) 3 Να βρεθεί το όριο lim h h

21 O37 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ: ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ Επειδή ακολουθία α ν είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Ν για να βρω το lim α βρίσκω το όριο της συνάρτησης f α, δηλαδή lim α lim f, άρα ν ν ν ν ισχύουν όλες οι προηγούμενες μέθοδοι και στα όρια των ακολουθιών ν ν Να βρεθεί το όριο της ακολουθίαςα ν αν ν ν O38 ΣΥΝΕΧΕΙΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Α: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ συνέχειας στο Διαπιστώνω οπτικά αν πάνω στην κατακόρυφη ευθεία η καμπύλη C f δεν διασπάται (δεν διαχωρίζεται πάνω κάτω) και επιπλέον η τιμή f (μαύρη κουκίδα) βρίσκεται πάνω στην καμπύλη Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής στο γιατί lim f lim f f Από τη γραφική παράσταση να διαπιστωθεί σε ποιες θέσεις είναι συνεχής ή ασυνεχής η συνάρτηση f ()

22 () (3) Β: ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω μια συνάρτηση f και Df Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο όταν lim f f ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ α) Υπάρχει το όριο, υπάρχει η αριθμητική τιμή αλλά είναι άνισα lim f f β) Αν D (δεν υπάρχει το f η f ασυνεχής f γ) Δεν υπάρχει το όριο (άνισα τα πλευρικά) δ) Ένα από τα πλευρικά όρια είναι άπειρο Γ: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β)

23 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον lim f f α και lim f f β α β O39 ΣΥΝΕΧΕΙΑ: ΠΡΑΞΕΙΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟ ΑΠΟ ΟΡΙΟ Α: ΠΡΑΞΕΙΣ Όλες οι γνωστές μας συναρτήσεις θα θεωρούνται συνεχείς ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥΣ Θα εξετάζω χωριστά τη συνέχεια με τον ορισμό στα σημεία που «σπάει» ο τύπος της συνάρτησης (πολύκλαδη) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις f ν f g, c f, c R, f g,, f, f με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα g που περιέχει το Αν η f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f τότε η σύνθεσή τουςgof είναι συνεχής στο Απόδειξη συνέχειας από συναρτησιακή σχέση ) Θέτω με h και φ τις συναρτήσεις που δίνονται ) Λύνω το σύστημα ως προς f και g 3) Οι f, g προέρχονται από πράξεις συνεχώς συναρτήσεων, άρα είναι συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις ημf g και f συνg είναι συνεχείς στο Δ να δειχτεί ότι και οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο Δ Παρατήρηση: Πολλές φορές η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο μπορεί να φανεί χρήσιμη Αν στο η f είναι συνεχής συνάρτηση και η kf λg ασυνεχής τότε να δειχτεί ότι και η συνάρτηση g είναι ασυνεχής στη θέση Β: ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΗ ΘΕΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΟΡΙΟ Βρίσκω το lim f (με έναν από τους γνωστούς τρόπους) οπότε λόγω συνέχειας στο θα ισχύει f lim f Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 4 να βρεθεί η τιμή f 4, όταν για κάθε ισχύει 4 8 4f 4 O4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΛΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Α: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ Η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλα τα σημεία στα οποία ορίζεται ο τύπος της ως έκφραση πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων

24 Στο σημείο που δεν ορίζεται ο τύπος βρίσκω το lim f λ, από τη σχέση που έχει «διάφορο» Αν λ f τότε f συνεχής στο, αν λ f τότε f ασυνεχής στο (όλες οι γνωστές συναρτήσεις θεωρούνται συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους) ημ Να εξεταστεί αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της η συνάρτηση f, όταν και f Β: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ είναι συνεχής (πράξεις συνεχών συναρτήσεων) Η f στο R Βρίσκω την τιμή f από τον κλάδο που έχει «ίσον» Βρίσκω τα πλευρικά όρια lim f, lim f Αν lim f lim f f, τότε η f είναι συνεχής στο 3, Να μελετηθεί η συνέχεια της συνάρτησης f 4 3,, συνεπώς σε όλο το R, Να μελετηθεί η συνέχεια της συνάρτησης f 4, Γ: ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ, ΡΗΤΟΙ, ΑΡΡΗΤΟΙ Αν Q, Q Για να είναι συνεχής στο πρέπει lim f lim f f Q R Q Λύνω την εξίσωση με άγνωστο και βρίσκω τα σημεία που είναι συνεχής O4 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΤΟ Η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής στη θέση, όπου αλλάζει τύπο ) Βρίσκω lim f, lim f ) Βρίσκω το f 3) Απαιτώ να ισχύει lim f lim f f 4) Λύνω την εξίσωση ή το σύστημα που προκύπτει και βρίσκω τις τιμές των α και β (Παρατήρηση: Ενδέχεται να μην υπάρχουν τέτοιες τιμές, δηλαδή η εξίσωση ή το σύστημα να είναι αδύνατο) (Δεν χρειάζεται επαλήθευση για τις παραμέτρους) ημ α, Να βρεθεί η παράμετρος α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση f 3α,

25 O4 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΤΟ Α: ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟΤΗΤΑΣ Αναλύω τη δοθείσα ισότητα (ή την έκφραση της άσκησης που καταλήγει σε ισότητα) Κάνω αλλαγή μεταβλητής και πράξεις Παραδείγματα: ) Αν η συνάρτηση f : R R είναι περιττή και συνεχής στο να δειχτεί ότι θα είναι συνεχής και στη θέση ) Αν οι συναρτήσεις f και g ικανοποιούν για κάθε R τη σχέση f g f ημ g συν να δειχτεί ότι είναι συνεχείς στο R Β: ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ Η ανισότητα που δίνεται ισχύει συνήθως για κάθε R, οπότε θέτω το και βρίσκω την τιμή f Εφαρμόζω κριτήριο παρεμβολής (ή το θεώρημα διάταξης) και βρίσκω το lim f Διαπιστώνω ότι lim f f Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, όταν για κάθε R ισχύει: () f 9 3,, () f , O43 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΟΡΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ Α: ΑΠΟ ΟΡΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ Θέτω όλη την παράσταση του ορίου της υπόθεσης h Λύνω ως προς f και βρίσκω το όριο της f Παρατήρηση: Αν στην παράσταση του ορίου έχω όρο της μορφής f α β συνήθως κάνω αλλαγή μεταβλητής θέτοντας α β u Παραδείγματα: 3f ημ 3 ) Αν f 3 και lim 4 να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι 3 συνεχής στο 3 f 3 f f 3 ) Αν η f είναι συνεχής στο 3 και lim 5, να βρεθεί το όριο lim 3 3 Β: ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ Λέγοντας συναρτησιακή σχέση εννοούμε σχέση της μορφής f y, f y Θέτω κατάλληλες τιμές στα, y (αφού η σχέση ισχύει για κάθε, y R βρίσκω ένα όριο ) και

26 Στην περίπτωση f y θέτω u, και στην περίπτωση f y, θέτω u και δουλεύω με αντικατάσταση Παρατήρηση: Αν ξέρω ότι η f είναι συνεχής στο, για να αποδείξω ότι είναι συνεχής στο R αρκεί να δείξω ότι είναι συνεχής στο ΤΥΧΑΙΟ α Παραδείγματα: ) Για τη συνάρτηση f ισχύει f y f f y αν η f είναι συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο R ) Για τη συνάρτηση f και για κάθε, y () για κάθε, y R Να αποδειχτεί ότι ισχύει η ισότητα f y f f y ότι αν είναι συνεχής στο θα είναι συνεχής και στο R * Να δειχτεί