Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 4 Εξάμηο: 7 ο Ασκήσεις: -4 Εισαγωγή στη Αστοομία Έα ομογεές μεσοαστικό έφος έχει μάζα Μ ΜΗ (μία μάζα Ηλίου) και πυκότητα ^ mp/m^ Η πείοδος αξοικής πειστοφής του είαι έτη Ποια θα είαι η πείοδος πειστοφής του αστέα που θα ποκύψει από το έφος, ότα αυτό συσταλεί βαυτικά; Υποθέστε ότι κατά τη συστολή ο αστέας δε υφίσταται απώλεια μάζας και ότι η ακτία του αστέα που ποκύπτει είαι ίση με RΗ m V R Θεωώτας το μεσοαστικό έφος ως σφαιικό έχουμε: m 4 πr M *989* 5 5* 4 *67* * Ε συεχεία χησιμοποιούμε τη αχή διατήησης της στοφομής οπότε: L L I ω I ω με Ι τη οπή αδαείας σφαίας και ω τη γωιακή α α ταχύτητα, για τα οποία ισχύει: I mr ω π 5 T Συεπώς : π π 5 m R m R M * ( 5* ) M * ( 696 * ) 5 T 5 T T 7 T 5 * yers 644se Κατά ποιο ποσοστό μεταβάλλεται η ηλιακή σταθεά κατά τη διάκεια του έτους, λόγω του ότι η εκκετότητα, e, της τοχιάς της Γης δε είαι ακιβώς μηδέ, αλλά ισούται με 7; Για τη ηλιακή σταθεά, κατά τη διάκεια του έτους, έχουμε: L R, με R, R ( e) R mx ( + e) L L Οπότε ατίστοιχα ποκύπτει ότι: mx R R δηλαδή: mx m
- - L εώ: 4 π ( + e) ( 7) L mx 5 4 π e 98 967 ( ) ( ) Συοψίζοτας παίουμε για το ποσοστό μεταβολής της ηλιακής σταθεάς ότι: mx ( 5 967) 68 Πόση είαι η ακτία hwrzshild που ατιστοιχεί στη μάζα (α) της Γης, (β) εός ηλεκτοίου, (γ) του Σείιου Β και (δ) του Γαλαξία μας; Πόση θα είαι η μέση πυκότητα του καθεός από τα πααπάω σώματα, α όλη η μάζα του ήτα συγκετωμέη σε σφαία ακτίας ίσης με τη ατίστοιχη ακτία hwrzshild; Τις μάζες τω πααπάω σωμάτω μποείτε α τις ααζητήσετε στο βιβλίο και τις σημειώσεις Η ακτία hwrzshild εός αστέα μάζας Μ δίδεται από το τύπο: GM M M R και η ατίστοιχη μέση πυκότητα από το τύπο: 4 R πr Επομέως για:
- - α) Μάζα Γης 7 *667 * *5977 * R 887m ( 9979 * ) *5977 * 7 7 4* gr / m ( 887) β) Μάζα Ηλεκτοίου * 667 * *9* R 55 5* m ( 9979* ) * 9* 7 8796 * gr / m 55 ( 5 * ) γ) Μάζα Σείιου Β (Μ,5* M ) * 667 * *5*989 * R 5 * m ( 9979 * ) *5*989* 6 676* gr / m 5 ( * ) δ) Μάζα Γαλαξία ( ) M * M *667 * * *989* R 6 95* m * ( 9979* ) 5 845* gr / m *989* 6 ( 95* ) 4 Παατηητής, σε θεωητικά άπειη απόσταση από μια μελαή οπή μάζας Μ, παατηεί τη ακτιοβολία, τη οποία εκπέμπει η ύλη που πειφέεται γύω από τη μελαή οπή, και βίσκει ότι η γαμμή Lymn α (λ 6 Ǻ) παατηείται στο οπτικό παάθυο και σε μήκος κύματος λ 45 Ǻ Σε πόση απόσταση από τη μελαή οπή βίσκεται η ύλη που εκπέμπει τη ακτιοβολία; Έχουμε τη σχέση λ λ GM r, με λ το μήκος κύματος σε
- 4 - απόσταση r R και λ το μήκος κύματος σε άπειη απόσταση λ GM Ααπτύσσοτας το δεξιό μέος της σχέσης κατά Tylr παίουμε λ r GM Όμως R, οπότε ποκύπτει: λ R λ r r R λ λ λ 45 R 45 6 685* R *667 * r 685 M 67 * * M ( 9979 * ) 5 Η υδοστατική ισοοπία εός ψυχού, σφαιικά συμμετικού d r dp αστέα πειγάφεται από τη εξίσωση + 4 πg Για το r εσωτεικό τω αστέω ετοίω, μια ποσεγγιστική σχέση μεταξύ της πίεσης και της πυκότητας είαι η PK^, όπου Κ45 ^- m^5*kg^- *s^- Γι αυτή τη συγκεκιμέη επιλογή, δείξτε ότι η εξίσωση της υδοστατικής ισοοπίας ικαοποιείται από μια ααλυτική λύση της μοφής sinx/x, όπου xr/α, με και α σταθεές, για συγκεκιμέη επιλογή της σταθεάς α (ποιά;) Υπολογίστε τη ακτία του αστέα Ποια είαι η φυσική σημασία της σταθεάς ; Με βάση τις πααπάω υποθέσεις, εξατάται η ακτία του αστέα από τη κετική πυκότητα; Tί πιστεύετε ότι θα ισχύει στο όιο χαμηλής μάζας για τους αστέες ετοίω; Αχικά έχουμε: dp dp d dx x s x K d dx x Πολλαπλασιάζω: r dp ( x) x s x K K x ( x s x ) Πααγωγίζω: d r dp d dx r dp dx K ( s x xsin x s x) K ( s x xsin x s x) xsin xk
- 5 - d r dp r x K x Ε συεχεία: ( ) xsin xk Ατικαθιστώ στη εξίσωση της υδοστατικής ισοοπίας οπότε: K K K K G οεδ πg πg Η ζητούμεη τιμή της σταθεάς που ικαοποιεί τη υδοστατική εξίσωση 45* * ισοοπίας είαι: 84 5 8 *667 * π Στη επιφάεια αστέα έχουμε πίεση και πυκότητα ίση με μηδέ, επομέως έχουμε: P x x π x Άα η ζητούμεη ακτία είαι: r x 84 5* π 4 4m Θέτοτας r x x lim x δηλαδή η σταθεά εκφάζει τη πυκότητα στο κέτο του αστέα Από τα πααπάω ποκύπτει ότι η ακτία είαι αεξάτητη της κετικής πυκότητας για αυτή τη υδοστατική εξίσωση και ότι στο όιο χαμηλής μάζας, η ακτία θα αυξάει