ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η απόδοση μαθηματικής υπόστασης στην έννοια της κίνησης στο φυσικό χώρο και της μαθηματικής αναπαράστασής της απαιτεί καταρχάς τη θεώρηση ενός σημειακού γεωμετρικού προτύπου που καλούμε υλικό σημείο Η κίνηση ενός υλικού σημείου εκφράζεται στον ευκλείδειο χώρο ως συνεχής απεικόνιση ορισμένη στο χρονικό άξονα ή σ ένα διάστημά του ως εξής: x :I Κάθε χρονική στιγμή το υλικό σημείο καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση στο χώρο η οποία προσδιορίζεται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και υποδεικνύεται από το διάνυσμα θέσης: x () t = x (), t x (), t x () t ( ) 1 2 Η τροχιά της κίνησης αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και το γράφημά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στον αριθμητικό χώρο-χρόνο Οι τροχιές στον ευκλείδειο χώρο δεν είναι απαραίτητα λείες, όμως για να οριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σημείου χρειάζεται οι συνιστώσες συναρτήσεις της θέσης του να είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: x :I, i = 1, 2, i

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 29 Στιγμιότυπα της κίνησης στο χώρο και της χωροχρονικής εξέλιξης ενός υλικού σημείου Η ταχύτητα με την οποία το υλικό σημείο διανύει την τροχιά του εκφράζεται, τη χρονική στιγμή t I, με το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο xt (): x () t = ( x (), t x (), t x () t ) xt 1 2 () και, την ίδια στιγμή, η επιτάχυνση εκφράζεται με το διάνυσμα: x () t = ( x (), t x (), t x () t ) xt 1 2 () Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης μιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο Κάθε χρονική στιγμή, το διάνυσμα της επιτάχυνσης αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντρομόλο συνιστώσα του: όπου x () t =γ () t +γ () t ε κ γ () t xt ε () και γ () t xt () κ

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης προκαλεί καμπύλωση της τροχιάς, ενώ η επιτρόχια συνιστώσα της επιδρά αποτρεπτικά στην καμπύλωση της τροχιάς Αν η κεντρομόλος συνιστώσα είναι μηδενική: γκ 0, τότε η τροχιά είναι ευθύγραμμη και αν επιπλέον η επιτρόχια συνιστώσα είναι επίσης μηδενική: γε 0, τότε η κίνηση στο χώρο είναι ευθύγραμμη ομαλή: x () t = x + v t = ( x + v t, x + v t, x + v t), x, v 1 1 2 2 Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της Η καμπυλότητα της τροχιάς, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: + κ :I, x ( t) x( t) κ() t = x ( t) Η στρέψη της τροχιάς, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: τ :I, < x () t x(), t x() t > τ() t = 2 x ( t) x( t) Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της καμπυλότητας τόσο εντονότερη είναι η καμπύλωση της τροχιάς και η κίνηση είναι ευθύγραμμη μόνο όταν η καμπυλότητα είναι παντού μηδενική Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή της στρέψης τόσο εντονότερη είναι η εκτροπή της τροχιάς από το να είναι επίπεδη και η κίνηση είναι επίπεδη μόνο όταν η στρέψη είναι παντού μηδενική Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς τα οποία δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμέτρησής της στον ευκλείδειο χώρο Τα χαρακτηριστικά αυτά εμπεριέχονται στο τρίεδρο Frenet της τροχιάς, δηλαδή στο θετικά προσανατολισμένο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων που, κάθε στιγμή, προσαρτάται στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς και, εφόσον εκεί δεν μηδενίζεται η καμπυλότητα, ορίζεται από τα μοναδιαία διανύσματα:

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 1 x () t T( t) =, N() t = B() t T() t, x ( t) x () t x() t B( t)= x ( t ) x ( t ) Τρίεδρο Frenet σε κάποιο σημείο μιας τροχιάς στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Η έκφραση των συναρτήσεων που προσμετρούν την καμπυλότητα και τη στρέψη μιας τροχιάς σε κάθε σημείο της προκύπτει με μεταχρονισμό του χρονικού άξονα, δηλαδή με κατάλληλη αναπαραμέτρηση της αριθμητικής του διαβάθμισης Ο μεταχρονισμός δεν επηρεάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και ορίζεται από την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των αντίστοιχων χρονικών διαστημάτων: s :I I, s () t = t, όπου, λαμβάνοντας υπόψη το μήκος του διανυθέντος τμήματος της τροχιάς από μια αρχική στιγμή t έως μια δεδομένη στιγμή t, θέτουμε: t s ( t) = x ( u) du t Η αμφιμονοσήμαντη αυτή απεικόνιση είναι αμφιπαραγωγίσιμη, δηλαδή η ίδια και η αντίστροφή της είναι παραγωγίσιμες, εφόσον δεν μηδενίζεται η ταχύτητα Έτσι, όταν εξετάζουμε μια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο: x :I, x() t ( x1(), t x2(), t x() t ) =, ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση: όπου x :I, ( ) = ( 1( ), 2( ), ( )) x t x t x t x t, x ( t ) = x ( st ()) = x () t, t I Ο μεταχρονισμός αυτός δεν επηρεάζει τη διεύθυνση της ταχύτητας της κίνησης αλλά αλλοιώνει την αριθμητική τιμή της ως εξής:

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 1 dx i d( xi s ) dxi ds = = dt dt dt dt 1, i = 1, 2, Συνεπώς, η ταχύτητα της μεταχρονισμένης κίνησης έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: ds d t = xu ( ) du= xt ( ) dt dt t x ( t ) = x ( t) dt / ds = 1 και η σταθερότητα αυτή επιβάλλει το μηδενισμό της επιτρόχιας επιτάχυνσης, άρα: x ( t ) x ( t ), t I * Μεταχρονισμός του χρονικού άξονα και το τρίεδρο Frenet σε αντίστοιχο σημείο της τροχιάς Ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα προφανώς αλλοιώνει το γραμμικό χαρακτήρα του χρόνου, αλλά διαμορφώνει το κατάλληλο θεωρητικό υπόβαθρο που προσφέρεται για τον ορισμό και τον υπολογισμό της καμπυλότητας και της στρέψης μιας τροχιάς Εξάλλου, ο αμφιμονοσήμαντος και αμφιπαραγωγίσιμος χαρακτήρας του συγκεκριμένου μεταχρονισμού διασφαλίζει την ασφαλή επαναφορά των υπολογιστικών συμπερασμάτων στο φυσικό γραμμικό πλαίσιο του χρόνου Η επιτάχυνση της συγκεκριμένης μεταχρονισμένης κίνησης έχει μηδενική επιτρόχια επιτάχυνση και κατά συνέπεια είναι κάθετη στην ταχύτητα σε κάθε σημείο της τροχιάς Έτσι, αυτή η επιτάχυνση καθίσταται αποκλειστικός παράγοντας που κάθε χρονική στιγμή καθορίζει το μέτρο της καμπύλωσης της τροχιάς Είναι λοιπόν λογικό η καμπυλότητα της τροχιάς να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς το μέτρο της επιτάχυνσης της μεταχρονισμένης κίνησης: + κ :I, κ ( t ) = x ( t ) * Η ορθογωνιότητα ταχύτητας και επιτάχυνσης ισχύει μόνο όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό: < x ( t ), x ( t ) >= 1 d < x ( t ), x ( t dt ) >= 0 < x ( t ), x ( t ) >= 0 x ( t ) x ( t ), t I

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Συνακόλουθα, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, ορίζεται το τρίεδρο Frenet της μεταχρονισμένης κίνησης ως το θετικά προσανατολισμένο ορθοκανονικό σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων: Ας σημειωθεί ότι: T ( t ) = x ( t ), 1 N ( t ) = T ( t ), B( t ) = T ( t ) N ( t ) κ ( t ) B( t ) N ( t ), t I * Η στρέψη της τροχιάς είναι λογικό να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς την αριθμητική τιμή: τ :I, τ ( t ) = B( t )/ N ( t ) Οι συναρτήσεις κ και κ, όπως και οι συναρτήσεις τ και τ, δεν ορίζονται απαραίτητα στο ίδιο διάστημα του χρονικού άξονα, όμως λαμβάνουν ίδιες τιμές σε κάθε σημείο της τροχιάς xt () = x ( t ) όταν δώσουμε του ακόλουθους ορισμούς: + κ :I, κ (): t =κ ( st ()) και τ :I, τ (): t =τ ( st ()), T(): t = T( st ()), N(): t = N( st ()), B(): t = B( st ()), t I Το τρίεδρο Frenet που προσαρτάται σε κάθε σημείο της τροχιάς παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη συμπεριφορά της κίνησης στο χώρο, πριν την εκδήλωσή της, οι οποίες δεν είναι ορατές από το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς Κάθε χρονική στιγμή, το πρώτο μοναδιαίο διάνυσμά του υποδεικνύει την κατεύθυνση της τροχιάς, το δεύτερο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την ευθύγραμμη πορεία και το τρίτο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την επίπεδη πορεία Μια απλή υπολογιστική διαδικασία υποδεικνύει ότι, στη μεταχρονισμένη διαβάθμιση του χρονικού άξονα, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας αλλά και της εκτροπής από την ευθύγραμμη και επίπεδη πορεία μπορεί να αναγνωστεί στον ακόλουθο πίνακα: * Η συγραμμικότητα αυτή που επιτρέπει τον ορισμό της στρέψης προκύπτει από το ότι: B ( t ) B ( t ) και B( t ) T( t ) και οι σχέσεις αυτές προκύπτουν ως εξής: B d ( t ) = 1 < B ( t ), B ( t ) >= 1 < B ( t ), B ( t ) >= 0 < B ( t ), B ( t ) >= 0, t I, dt d < B ( t ),T( t ) >= 0 < B ( t ),T( t ) >= 0 < B ( ),T ( ) >+< B ( ),T t t t ( t ) >= 0 dt < B ( ),T ( ) >= < B ( ),T ( ) >= < B ( ), κ ( ) N t t t t t t ( t ) >= 0, t I

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Επανερχόμενοι στην κανονική διαβάθμιση του χρονικού άξονα θα διαπιστώσουμε την ανάγκη εισαγωγής ενός διορθωτικού συντελεστή: υ( t) : = xt ( ) Έτσι, στην κανονική γραμμική διαβάθμιση του χρονικού άξονα, ο προηγούμενος πίνακας αναδιατυπώνεται ως εξής: T() t 0 () 0 T() κ t t N() t = υ() t κ() t 0 τ() t N() t B() 0 τ() 0 t t B() t Η πρώτη και τελευταία γραμμή του πίνακα δίνουν αντίστοιχα τον ορισμό της καμπυλότητας και της στρέψης της τροχιάς που με την εισαγωγή του διορθωτικού παράγοντα εκφράζεται ως εξής: T() t =κ() t υ() t N() t και B() t = τ() t υ() t N() t Η ενδιάμεση γραμμή του πίνακα * δίνει μια αξιοσημείωτη πληροφορία η οποία στην κανονική γραμμική διαβάθμιση του χρονικού άξονα εκφράζεται ως εξής: N() t = κ() t υ () t T() t + τ() t υ() t B() t Οι πληροφορίες αυτές υποδεικνύουν την έκφραση που αποκτούν τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο σύστημα αξόνων του τριέδρου Frenet: x () t = υ()t() t t και x 2 () t =υ ()T() t t +κ() t υ ()N() t t Η έκφραση της ταχύτητας είναι αναμενόμενη, όμως στην έκφραση της επιτάχυνσης εμφανίζονται δυο όροι, ο πρώτος που υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και ο δεύτερος που υποδεικνύει το ρυθμό εκτροπής της διεύθυνσής της από την ευθύγραμμη πορεία Όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό τότε ισχύει: x 2 () t =κ() t υ ()N() t t * Η απόδειξη αυτής της σχέσης προκύπτει από την κλασική ορθοκανονική ανάπτυξη ενός διανύσματος σε μια ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: V =< V,T > T +< V,N > N +< V,B > B

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 5 Από αυτή την ορθοκανονική ανάπτυξη της ταχύτητας και της επιτάχυνσης μιας κίνησης στο τρίεδρο Frenet προκύπτουν οι τύποι της καμπυλότητας και της στρέψης, όπως αυτοί δόθηκαν στην αρχή της ενότητας * Η υπολογιστική διαδικασία μεταχρονισμού του χρονικού άξονα είναι γενικά περίπλοκη και έτσι αναδεικνύεται η πρακτική αξία αυτών των τύπων από τους οποίους, με έναν απλό υπολογισμό, προκύπτουν απευθείας οι τιμές της καμπυλότητα και η στρέψη μιας τροχιάς που εξελίσσεται στο χώρο: xt ( ) xt ( ) κ () t = xt ( ) < xt () xt (), xt () > και τ () t = 2 xt ( ) xt ( ) Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της το τρίεδρο Frenet * Η ορθοκανονική ανάπτυξη της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο τρίεδρο Frenet έχει ως εξής: x () t = υ()t() t t και 2 x () t =υ ()T() t t +κ() t υ ()N() t t Αρκεί ένα απλός υπολογισμός ώστε να καταλήξουμε στους κλασικούς τύπους της καμπυλότητας και της στρέψης: x() t x () t = κ() t υ ()B() t t x () t x() t x () t x() t = κ() t υ () t x ( t) x( t) xt ( ) xt ( ) κ () t = xt ( ) d t t t t t t t t t t t t t dt 2 6 < () (), xt xt xt () >=κ () t υ () t τ() t και x () t x () t = κ() t υ () t x ( ) 2 2 () = υ ()T() + κ() υ ()N() = κ() υ ()N() + = κ() υ () τ ()B() + < xt () xt (), xt () > τ () t = xt ( ) xt ( ) 2

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Παραδείγματα υπολογισμού της καμπυλότητας και της στρέψης τροχιών Η τροχιά μιας κυκλικής ελικοειδούς κίνησης στο χώρο διαγράφεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου κυκλικής βάσης έτσι ώστε ο φορέας της ταχύτητάς της να διατηρεί σταθερή γωνία με τον άξονα του κυλίνδρου Θεωρώντας το σύστημα αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο, έτσι ώστε ο κατακόρυφος άξονάς του να συμπίπτει με τον άξονα του κυλίνδρου, η ομαλή κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής: x :, x( t) ( a cs t, a sin t, bt) Η ταχύτητα αυτής της κίνησης έχει σταθερό μέτρο: =, a > 0, b 0 xt ( ) = ( asin t, acs t, b) xt ( ) = a 2 + b 2 = v, άρα η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: xt ( ) = ( acs t, asin t, 0) xt ( ) = a Με απευθείας εφαρμογή των τύπων της καμπυλότητας και της στρέψης προκύπτει: και a κ () t = a + b b a + b, τ () t = 2 2 2 2 1 T( t ) = ( a sin ta, cs tb, ), v 1 N( t ) = ( a cs t, a sin t,0), B( t ) = ( b sin t, b cs ta, ) v τ () t > 0 τ () t < 0 Τρίεδρο Frenet κυκλικών ελικοειδών τροχιών στον ευκλείδειο χώρο * Στην περίπτωση της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης ο μεταχρονισμός είναι απλός: t s() t = v dt = v t 0 * Στην περίπτωση b = 0, η στρέψη είναι μηδενική και προκύπτει η καμπυλότητα κ ( t) = 1/ a, άρα πρόκειται για επίπεδη κυκλική τροχιά ακτίνας a και το τρίεδρο Frenet εκφυλίζεται σε δυο ορθογώνιους άξονες

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 7 Θέτοντας t = st () προκύπτει η μεταχρονισμένη κίνηση:, x ( t ) x( t / v) ( acs( t / v), asin t(/ v), bt / v) x : = = Όπως είναι αναμενόμενο η ταχύτητά της έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: 1 x ( t ) = asin( t / v), acs( t / v), b v ( ) και η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: 1 x ( t ) = acs( t / v), asin( t / v), 0 v 2 ( ) που το μέτρο της υποδεικνύει την καμπυλότητα της τροχιάς σε κάθε σημείο της: a κ ( t) : =κ ( t ) = x ( t ) = 2 2 a + b Το τρίεδρο Frenet ορίζεται σε κάθε σημείο της τροχιάς από τα μοναδιαία διανύσματα: Από τη σχέση 1 T ( t ) = x ( t ) = ( asin( t / v), acs( t / v), b) v 1 N ( t ) = x ( t ) = ( cs( t / v), sin( t / v), 0) κ ( t ) 1 B( t ) = T( t ) N ( t ) = bsin t(/ v), bcs( t / v), a v, ( ) B( t ) = τ ( t )N ( t ) προκύπτει η στρέψη της τροχιάς σε κάθε σημείο της: b τ ( t): =τ ( t ) = a + b 2 2 Αν η βάση της επιφάνειας του κυλίνδρου στην οποία διαγράφεται η ελικοειδής τροχιά δεν είναι κυκλική αλλά ελλειπτική και ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή γωνία προς ένα δεδομένο σταθερό άξονα στο χώρο, τότε η καμπυλότητα και η στρέψη δεν είναι σταθερές αλλά έχουν μεταξύ τους σταθερό λόγο Η σταθερότητα της γωνίας που σχηματίζεται από το διάνυσμα της ταχύτητας με ένα δεδομένο άξονα προφανώς δεν επηρεάζεται από το μεταχρονισμό της διαβάθμισης του χρονικού άξονα: t s ( t) = x ( u) du t

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θεωρώντας το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του δεδομένου άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης προκύπτει: < x ( t ), ξ>= cs θ, t I Από μια αρχική στιγμή t έως μια στιγμή t του μεταχρονισμένου χρονικού άξονα, η ανύψωση της τροχιάς στην κατεύθυνση του άξονα περιέλιξης προσμετράται ως εξής: h( t ) =< x ( t ) x ( t ), ξ> και προκύπτει: dh ( t ) =< x ( t ), ξ>=< T( t ), ξ>=< T( t ), ξ>= csθ dt Ο ρυθμός ανύψωσης της τροχιάς είναι λοιπόν σταθερός, άρα: ht ( ) = t cs θ και στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου προκύπτει: hst (()) = st ()csθ Ο σταθερός άξονας περιέλιξης της τροχιάς είναι ορθογώνιος προς το μοναδιαίο διάνυσμα N( t) του τριέδρου Frenet, άρα περιέχεται στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγμή από τα δυο άλλα μοναδιαία διανύσματα T( t) και B( t) : < T( t), ξ>= cs θ < T(), t ξ>=<κ() t υ()n(), t t ξ>= 0 Από την ορθοκανονική ανάπτυξη στο σύστημα αναφοράς Frenet προκύπτει: άρα ξ=<ξ,t() t > T() t +<ξ,n() t > N() t +<ξ,b() t > B() t ξ= csθ T() t + sinθ B() t Παραγωγίζοντας και εφαρμόζοντας τους τύπους Frenet προκύπτει: τ()sin t θ =κ()cs t θ άρα ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη είναι σταθερός: κ() t / τ () t = tgθ Αντίστροφα, αν ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη μιας τροχιάς είναι σταθερός τότε η τροχιά είναι ελικοειδής Πράγματι, επιλέγοντας μια γωνία τέτοια ώστε tg θ=κ () t / τ() t, ορίζεται κάθε χρονική στιγμή το διάνυσμα: V() t = csθ T() t + sinθ B() t και προκύπτει:

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 9 V() t = κ()cs t θ τ()sin t θ N()=0 t ( ) Το διάνυσμα αυτό διατηρείται λοιπόν σταθερό στην πάροδο του χρόνου και ορίζει ένα σταθερό άξονα στον οποίο περιελίσσεται ελικοειδώς η τροχιά, αφού το διάνυσμα της ταχύτητάς της διατηρεί σταθερή γωνία με το μοναδιαίο διάνυσμα ξ= V/ V αυτού του άξονα: < T( t), ξ>= cs θ Η ανύψωση μιας ελικοειδούς τροχιάς στον ευκλείδειο χώρο Οι ελικοειδείς τροχιές χαρακτηρίζονται λοιπόν από τη σταθερότητα του λόγου της στρέψης προς την καμπυλότητα με την προϋπόθεση μη μηδενισμού τους και στην περίπτωση όπου και η στρέψη και η καμπυλότητα είναι σταθερές τότε πρόκειται για κυκλικές ελικοειδείς τροχιές Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο μπορείτε με μια απλή υπολογιστική διαδικασία να αποφανθείτε εύκολα για το ποιές από τις ακόλουθες κινήσεις ορίζουν ελικοειδείς τροχιές στον ευκλείδειο χώρο και να προσδιορίσετε τον άξονα περιέλιξής τους και τα υπόλοιπα γεωμετρικά χαρακτηριστικά τους: xt ( ) = ( 2 t, t 2, t /), () = ( 2 + ) x t t t, t, t t, xt () = ( ch,sh, t t t ), () = ( + 2, 2,1+ 2 ) xt t t t t t

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1 Έχεις πειστεί για το ότι η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς και ότι δεν επηρεάζονται από το μεταχρονισμό της διαβάθμισης του χρονικού άξονα; 2 Έχεις πειστεί για το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη στρέψη και την καμπυλότητα των τροχιών; Σχεδίασα στην ακόλουθη εικόνα την τροχιά στο χώρο και την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ευθύγραμμης παλινδρομικής κίνησης και μιας επίπεδης κυκλικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποια συμπεράσματα για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτών των κινήσεων; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: 1 Ο Νεύτωνας, στη νεαρή του ηλικία, προσπαθούσε να εντοπίσει σε κάθε σημείο μιας τροχιάς το αντίστοιχο κέντρο της καμπυλότητάς της ταυτίζοντάς την τοπικά με το τόξο ενός κύκλου Πώς εντοπίζονται σήμερα αυτά τα κέντρα καμπυλότητας και τι σηματοδοτεί ο γεωμετρικός τους τόπος για μια τροχιά; Θα ήθελα να δω μερικά απλά παραδείγματα 2 Έχεις αντιληφθεί ποιες φυσικές πληροφορίες εμπεριέχει το τρίεδρο Frenet μιας τροχιάς; Με το μηχανικό κατασκεύασμα που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα προσπαθώ να αναδείξω την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ταλαντωτικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για την ταχύτητα και την επιτάχυνσή της;