ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ηµχ = ηµθ χ = 0 0 κ + θ ή χ = 0 0 κ + 80 0 - θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ή χ = κ + - θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) κ ακέραιος συνχ = συνθ χ = 0 0 κ ± θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ ± θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) εφχ = εφθ χ = 80 0 κ + θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) σφχ = σφθ χ = 80 0 κ + θ ( τύοι λύσεων σε µοίρες ) χ = κ + θ ( τύοι λύσεων σε ακτίνια ) Εφαρµογές ) Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις : α) ηµχ = α) ηµχ = ( βρίσκουµε γωνία µε ηµχ = ηµ χ = κ + ή χ = κ + - χ = χ = κ + ή χ = κ + - χ = κ + β) συνχ = γ) εφχ - = 0 δ) σφχ + ηµίτονο, ράγµατι ηµ = ) ( εφαρµόζουµε τους τύους για το ηµ µε θ = ) ή χ = κ + 5 µε κ ακέραιο = σφχ β) συνχ = ( όµοια βρίσκουµε γωνία µε συν, δηλαδή συν0 = ) συνχ = συν0 ( εφαρµόζουµε τους τύους για το συν µε θ = 0 )
χ = κ ± 0 χ = κ γ) εφχ - = 0 εφχ = δ) εφχ = εφχ = εφ χ = κ + σφχ + ( βρίσκουµε γωνία µε εφ, δηλαδή = εφ ) ( εφαρµόζουµε τους τύους για την εφ µε θ = ) = σφχ σφχ = σφχ + σφχ - σφχ = σφχ = ( βρίσκουµε γωνία µε σφ, δηλαδή = σφ ) σφχ = σφ ( εφαρµόζουµε τους τύους της σφ µε θ = ) χ = κ + ) Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ηµχ + = 0 β) εφ χ - = 0 γ) σφ χ + σφχ = 0 δ) συν χ + συνχ + = 0 α) ηµχ + = 0 ηµχ = - ηµχ = - ( ) Οως και στα ροηγούµενα αραδείγµατα, βρίσκουµε γωνία µε ηµ, -. Εειδή είναι ηµ =, αό τα αντίθετα τόξα ( ηµ(-θ) = ηµθ ) έχουµε : - = ηµ - Ετσι αό ( ) έχουµε : ( ) ηµχ = ηµ - ( εφαρµόζουµε τους τύους του ηµ µε θ = - / )
χ = κ + - ή χ = κ + - - χ = κ - χ = κ - ή χ = κ + + ή χ = κ + β) εφ χ - = 0 εφ χ = εφχ = - ( ) ή εφχ = ( ) ( όµοια όως στο αράδειγµα α εειδή είναι εφ = και αό τα αντίθετα τόξα εφ(-θ) = - εφθ άρα έχουµε εφ - = - ) ( ) εφχ = - εφχ = εφ - ( αό τους τύους ) χ = κ - ( ) εφχ = εφχ = εφ χ = κ + γ) σφ χ + σφχ = 0 σφχ ( σφχ + ) = 0 σφχ = 0 ( ) ή σφχ = - ( ) σφχ = 0 ( είναι σφ = 0 ) σφχ = σφ ( αό τους τύους ) χ = κ + ( ) σφχ = - ( όµοια όως στα αραδείγµατα α, β εειδή σφ = και αό αντίθετα τόξα είναι σφ(-χ) = - σφχ άρα σφ - = - ) εοµένως σφχ = - σφχ = σφ - χ = κ - δ) συν χ + συνχ + = 0 ( ) Θέτουµε συνχ = ω και εοµένως η ( ) ω + ω + = 0 = β - αγ = - = 9-8 = > 0
ω = - β ± = - ±, = α ω = - + = - ω = - - = - και εοµένως αφού ω = συνχ έχουµε : συνχ = - ( ) ή συνχ = - ( ) Η ( ) συνχ = - ροφανώς είναι αδύνατη αφού - συνχ ( ) συνχ = - ( είναι συν0 = και εειδή συν( - θ) = - συνθ άρα έχουµε συν( - 0 ) = - δηλαδή συν = - ) συνχ = συν ( αό τους τύους ) χ = κ ± Παρατηρήσεις: Είναι γνωστό ότι - ηµχ και είσης - συνχ Ετσι οι εξισώσεις της µορφής ηµχ = α ή συνχ = α µε α < - ή α > ροφανώς είναι αδύνατες. Για αράδειγµα οι εξισώσεις : ηµχ = -, ηµχ =,5, συνχ =, συνχ = - είναι όλες αδύνατες. Γνωρίζουµε ότι στα αντίθετα τόξα ισχύει ηµ(-χ) = - ηµχ, εφ(-χ) = - εφχ, σφ(-χ) = - σφχ αλλά όµως συν(-χ) = συνχ. Ετσι αφού για αράδειγµα είναι ηµ = είναι ηµ - = -. Οµοια εφ = άρα εφ - = -. Τα ράγµατα αλλάζουν όµως µε το συν. Πράγµατι συν - = συν =. Ετσι εειδή συν(-χ) = - συνχ έχουµε : = συν άρα - = συν - Να λυθούν οι αρακάτω εξισώσεις : α) συν χ - ηµ χ = β) ηµχ = - συνχ γ) συν χ + ηµ χ + συνχ + = 0 δ) εφχ - σφχ = 0 α) συν χ - ηµ χ = συν χ - ( - συν χ ) = συν χ - + συν χ =
( αφού ηµ χ = - συν χ ) συν χ = συν χ = () συνχ = - ( εειδή συνχ = - = συν άρα - () η συνχ = () = συν - ) ( ) συνχ = συν - χ = κ ± ( - ) χ = κ ± 5 ( ) συνχ = συνχ = συν χ = κ ± β) ηµχ = - συνχ ( µε συνχ 0 * ) ( και εειδή = εφ είναι - = εφ - ) εφχ = εφ - χ = κ - ηµχ συνχ = - συνχ συνχ εφχ = - Αν συνχ = 0 τότε αό την ισότητα ηµχ = - συνχ ροφανώς ροκύτει και ηµχ = 0 το οοίο είναι αδύνατο αφού τότε ηµ χ + συν χ = 0 + 0 = 0 άτοο αφού ισχύει ηµ χ + συν χ =. Αρα τελικά είναι συνχ 0 Αό τα ροηγούµενα αραδείγµατα ( αλλά και αό τα εόµενα ) ροκύτει το εξής συµέρασµα : Στις τριγων. Εξισώσεις συµφέρει να έχουµε ένα µόνο τριγων. Αριθµό (.χ µόνο ηµ ή µόνο συν ) Ετσι στην α) εξίσωση συν χ - ηµ χ = θέτοντας ηµ χ = - συν χ η εξίσωση γίνεται συν χ - ( - συν χ ) = και έχει λέον ένα τριγ. Αριθµό ( συνχ ). Οµοια στην β) εξίσωση ηµχ = - συνχ διαιρόντας µε συνχ έχουµε εφχ = - άρα άλι ένα τριγων. Αριθµό ( εφχ ) γ) συν χ + ηµ χ + συνχ + = 0 ( ) Εειδή ως γνωστόν είναι ηµ χ = - συν χ έχουµε : ( ) συν χ + ( - συν χ ) + συνχ + = 0 - συν χ + συνχ + = 0 = β - α γ = - ( - ) = > 0 5
- + συνχ = - β = - = - = - ± ± ± = - άρα : α ( - ) - - - = - συνχ = αδύνατη αφού - συνχ ή συνχ = - ( είναι - = συν ) συνχ = συν χ = κ ±,κ ακέρ. δ) εφχ - σφχ = 0 ( ) Γνωρίζουµε ότι σφχ = και εοµένως έχουµε : εφχ ( ) εφχ - εφχ = 0 εφ χ - = 0 εφχ = ± έτσι ( ι ) εφχ = ( είναι = εφ ) εφχ = εφ χ = κ + ( ιι ) εφχ = - ( εειδή = εφ άρα - = εφ - ) εφχ = εφ - χ = κ - ) Να λυθούν οι εξισώσεις : α) σφ χ - = β) ηµ χ = α) σφ χ - = ( ) Είναι = σφ εοµένως έχουµε : ( ) σφ χ - = σφ χ - = κ + χ = κ + + χ = κ + 5 χ = κ + 5 χ = κ + 5 β) ηµ χ = ( )
( ) ηµ χ = ( ι ) ηµ χ = χ = κ + χ = κ + η ηµ χ = ηµ χ = ηµ χ = ± ± = ηµ ) ηµ χ = ηµ ( εειδή η χ = κ + - χ = κ + 5 5) Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης εφχ - εφχ εφχ = 0 στο διάστηµα [ 0, ] εφχ - εφχ εφχ = 0 εφχ ( - εφχ ) = 0 εφχ = 0 ή - εφχ = 0 ( ι ) εφχ = 0 ( είναι 0 = εφ0 ) εφχ = εφ0 χ = κ + 0 χ = κ ( ιι ) - εφχ = 0 εφχ = ( και εειδή = εφ ) εφχ = εφ χ = κ + Οι γενικές λύσεις της εξίσωσης είναι αυτές ου βρήκαµε στους τύους ( Α ) και ( Β ). Αό αυτές θέλουµε εκείνες ου ανήκουν στο διάστηµα [ 0, ]. Ετσι έχουµε : χ = κ, κ ακεραιος χ = κ, κ ακεραιος ( Α ) χ [ 0, ] 0 χ κ κ 0 0 0 κ 0 κ 0 κ και εειδή κ ακέραιος άρα οι τιµές του κ είναι 0,,, και εοµένως αό τον τύο χ = κ για κ = 0,,, έχουµε χ = 0 ( για κ = 0 ), χ = ( για κ = ) χ = ( για κ = ) και χ = = ( για κ = ) 7
( Β ) χ = κ +, κ ακεραιος χ [ 0, ] χ = κ +, κ ακεραιος 0 χ 0 κ + 0 κ + 0 κ + - κ + - - - κ κ - - κ και εειδή κ ακέραιος ροφανώς κ = 0. Αό τον τύο χ = κ + για κ = 0 ροκύτει χ =. Ετσι τελικά αό ( Α ) και ( Β ) οι λύσεις της εξίσωσης ου ανήκουν στο διάστηµα [ 0, ] είναι : χ = 0,,,,. ) ίνεται η εξίσωση : λ συνχ = ηµ χ - + λ + α) Αοδείξτε ότι η αραάνω εξίσωση έχει λύση για κάθε λ ε R. β) Αν µία λύση της εξίσωσης είναι η χ = να βρεθεί ο λ γ) Για την τιµή του λ ου βρήκατε να βρείτε τις υόλοιες λύσεις της εξίσωσης στο διάστηµα [ -, ] α) λ συνχ = ηµ χ - + λ + ( ) Είναι ηµ(-α) = - ηµα, έτσι ηµ χ - = - ηµ αό τα συµληρωµατικά τόξα είναι ηµ - χ ( ) Εί λέον - χ = συνχ ( ) Προφανώς αό ( ) και ( ) ηµ χ - = - συνχ ( ) ( ) ( ) λ συνχ = - συνχ + λ + ( λ + ) συνχ = λ + ( αφού λ + 0 εειδή λ - ) λ + συνχ = λ + ( 5 ) Για να έχει λύση η ( 5 ) αφού - συνχ ρέει : 8
λ + λ + λ + - - ( Α ) και λ + λ + λ + λ + ( Α ) - ( και εειδή λ + > 0 ) λ + ( λ + ) λ + - ( λ + ) λ + λ + - λ - λ + λ + 0 = β - α γ = - = - 5 < 0, α = > 0 ( Β ) λ - + λ + λ + + και εοµένως η λ + λ + 0 ισχύει για κάθε λ + ( B ) ( λ + ) λ ε R λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ - λ + 0 = β - α γ = ( - ) - = - 7 < 0 και α = > 0 λ - + λ - λ + + ισχύει είσης για κάθε λ ε R και εοµένως όµοια η λ - λ + 0 Ετσι τελικά αό ( Α ) και ( Β ) ( αφού και οι δύο ισχύουν για κάθε λ ε R ) η αρχική εξίσωση έχει λύση για κάθε λ ε R. Β) Εφ όσον µία λύση της εξίσωσης είναι η χ = ροφανώς ρέει να εαληθεύει την εξίσωση δηλαδή λ συνχ = - συνχ + λ + λ συν = - συν + λ + και εειδή συν = άρα λ = - + λ + λ = - + λ + λ - λ + = 0 ( λ - ) = 0 λ - = 0 λ = γ) Για λ = η εξίσωση γίνεται : λ συνχ = - συνχ + λ + συνχ = - συνχ + + συνχ = 9
συνχ = ( και εειδή = συν ) συνχ = συν χ = κ ±. ( όλες οι λύσεις της εξίσωσης ) Θέλουµε τις λύσεις της εξίσωσης στο [ -, ] δηλαδή - χ - κ + - - κ - χ = κ ± - κ - / - + / κ + / - κ κ - - κ κ Αό () και εειδή κ ακέραιος είναι κ = 0 χ = κ + χ = κ = 0 Οµοια αό () είναι άλι κ = 0 χ = κ - χ = - κ = 0 - κ - κ () () 7) Να λυθούν οι εξισώσεις : α ) ηµ χ = ηµ χ και β) εφ χ συν χ + εφ χ συν χ = 0 Οι τύοι είλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων εφαρµόζονται σε οοιαδήοτε ισότητα της µορφής : ηµ χ = ηµ α χ = κ + α ή χ = κ + ( - α ) όµοια συν χ = συν α χ = κ + α ή χ = κ - α και είσης εφ χ = εφ α χ = κ + α κ ε Ζ α) ηµ χ = ηµ χ χ = κ + χ () ή χ = κ + ( - χ ) () Η () : χ = κ + χ χ - χ = κ χ = κ, κ ε Ζ Η () : χ = κ + ( - χ ) χ + χ = κ + χ = κ + χ = κ +, κ ε Ζ β) εφ χ συν χ + εφ χ συν χ = 0 εφ χ ( συν χ + συν χ ) = 0 εφ χ = 0 () ή συν χ + συν χ = 0 () Η () : εφ χ = 0 εφ χ = εφ 0 χ = κ, κ ε Ζ Η () : συν χ + συν χ = 0 συν χ = - συν χ συν χ = συν ( - χ ) χ = κ + - χ ή χ = κ - + χ χ = κ + ή χ = κ - 0
χ = κ + ή χ = κ - 8)Να λυθούν οι εξισώσεις : α) συν χ = ηµ χ και β) εφ χ + = σφ χ Γνωρίζουµε ότι : ηµ χ = συν - χ όως και σφ χ = εφ - χ Αό τα ροηγούµενα φαίνεται ότι για να ειλύσουµε µία τριγωνοµετρική εξίσωση ρέει να καταλήξουµε σε µία ισότητα της µορφής ηµ χ = ηµ α ή συν χ = συν α ή εφ χ = εφ α ή σφ χ = σφ α Έτσι είναι ααραίτητο στις αραάνω εξισώσεις η µετατροή του ηµ σε συν στην ρώτη και της σφ σε εφ στην δεύτερη α) συν χ = ηµ χ συν χ = συν - χ χ = κ + - χ ή χ = κ - - χ χ + χ = κ + ή χ - χ = κ - χ = κ + χ = κ + ή ή χ = κ - χ = κ -, κ ε Ζ β) εφ χ + = σφ χ εφ χ + = εφ - χ χ + = κ + - χ χ = κ + - χ = κ - χ = κ -, κ ε Ζ 8
Εργασίες - Ασκήσεις ) α) Στις αρακάτω εξισώσεις συµληρώστε τα κενά στην διαδικασία είλυσης τους : ι) ηµχ = ιι) συνχ = 0 ιιι) εφχ = ιν) σφχ = ηµχ =.... συνχ =... εφχ =... σφχ =.... ηµχ = ηµ... συνχ = συν... εφχ = εφ... σφχ = σφ... χ =........ χ =....... χ =....... χ =....... β) Γράψτε για κάθε µία αό τις αραάνω εξισώσεις τρεις συγκεκριµένες γωνίες ( µερικές λύσεις ) οι οοίες είναι λύσεις τους. ) Να ειλυθούν οι αρακάτω εξισώσεις : συνχ - α) ηµχ = ηµχ + β) = 0 γ) εφχ + 5 0 = Στην συνέχεια ειλύστε τις αραάνω εξισώσεις θέτοντας αντί χ, χ (.χ. στην α) ηµχ = ηµχ + ) ι) χ = κ ) Γνωρίζοντας ότι : = ηµ, = συν α) Ισχύει : = ηµ -, - = ηµ - = συν -, - = συν - ( υογραµµίστε τις σωστές ισότητες ) συνχ + β) οι εξισώσεις : ηµχ + = 0, = έχουν λύση : ( αντιστοιχίστε κάθε εξίσωση στην κατάλληλη λύση ) ±, ιι) χ = κ - η χ = κ + 7 ιιι) χ = κ + 5 ή
χ = κ + νι) χ = κ ± ιν) χ = κ ν) χ = κ + η χ = κ + 5 ) Στην Α στήλη δίνεται µία εξίσωση και στην Β στήλη η λύση της. Εχοντας υ όψη τις δύο ρώτες στήλες συµληρώστε στην στήλη τις λύσεις των εξισώσεων της Γ στήλης Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ ΣΤΗΛΗ ΣΤΗΛΗ ηµχ = χ = κ + ηµχ =.................. συνχ = - χ = κ εφχ = χ = κ + σφχ = - χ = κ - ± συν χ = -.................. εφ χ - =.................. σφ χ + = -.................. 5) Να λυθούν οι εξισώσεις : α) ηµ χ - συνχ = β) ηµχ ηµχ = ηµχ γ) ηµ χ = συνχ δ) εφχ εφχ = ε) ηµ χ = ( - συνχ ) στ) εφ χ - εφ χ + = 0 ζ) συν χ + 5 ηµχ = - η) εφχ + σφχ = - ) Οµοια να λυθούν οι εξισώσεις : ι) ηµχ = - ηµ ιι) συνχ = - συν χ - 8 ιιι) εφ(χ + 0 0 ) = - εφ0 0 ιν) σφ χ = - εφ50 7) Να βρεθούν οι λύσεις των εξισώσεων : α) συνχ + = 0 και β) εφ χ = στο διάστηµα ( 0, )
8) Δίνεται η συνάρτηση : f(χ)=ημ(χ) + α)να βρείτε την ερίοδο της συνάρτησης β)να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης γ) Να βρείτε τα σημεία ου η γραφική αράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ / χ στο διάστημα [0,] 9) Δίνεται η συνάρτηση f(χ)= συν χ - α) Να βρείτε την ερίοδο της συνάρτησης β)να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης γ) Να βρείτε τα σημεία ου η γραφική αράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ / χ στο διάστημα [0,] δ) Να κάνετε γραφική αράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0,]