Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Ιουνίου 2015 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια για τις απαντήσεις. Σελίδες για πρόχειρο θα σας δοθούν χωριστά. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες (και ονοματεπώνυμο και ΑΜ στο πρόχειρο). Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1 2 3 Σύνολο Κ Ε Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
ΑΜ: Σελ. 2 από 7 Ζήτημα 1 [3 μονάδες]. Να αποδείξετε ότι σε κάθε σωρό (ισοσταθμισμένο «αριστερά» δέντρο) με n στοιχεία στο οποίο log n είναι φυσικός αριθμός (log ο λογάριθμος με βάση 2), το ύψος h της ρίζας ισούται ακριβώς με log n. Απάντηση: Έστω h το ύψος της ρίζας. Από τον ορισμό του σωρού, για 0 i h 1, υπάρχουν 2 i κορυφές βάθους i, ενώ σε βάθος h υπάρχει αριθμός κορυφών μεταξύ 1 και 2 h. Άρα για το συνολικό αριθμό κορυφών n ισχύει: 1 + + 2 h 1 + 1 = 2 h n 1 + + 2 h 1 + 2 h = 2 h+1 1 < 2 h+1. Άρα, λογαριθμίζοντας, h log n < h + 1. Αφού log n φυσικός, συμπεραίνουμε ότι h = log n.
ΑΜ: Σελ. 3 από 7 Θέμα 2. Στο αγώνισμα μίνι-τρίαθλο οι αθλητές καλούνται να κολυμπήσουν πέντε φορές το μήκος μιας πισίνας, στη συνέχεια να διασχίσουν με ποδήλατο μια απόσταση 10 χλμ και τέλος να τρέξουν μια απόσταση 2 χλμ, αυστηρά με αυτή τη σειρά. Οι διοργανωτές έχουν στη διάθεσή τους μια λίστα n αθλητών καθώς και μια εκτίμηση για τον κάθε αθλητή i ότι θα κολυμπήσει σε χρόνο w i, θα χρειαστεί για το ποδήλατο χρόνο b i, και τέλος χρόνο r i για το τρέξιμο. Για λόγους ασφαλείας ισχύει ο περιορισμός ότι μόνο ένας αθλητής μπορεί να κολυμπάει στην πισίνα, δηλαδή ο επόμενος αθλητής μπορεί να ξεκινήσει μόνο όταν ο προηγούμενος έχει βγει από την πισίνα. Θεωρούμε ότι δεν υπάρχει κενός χρόνος στην πισίνα κατά τη διάρκεια του αγωνίσματος, δηλαδή ο επόμενος αθλητής ξεκινάει τη στιγμή που ο προηγούμενος βγαίνει από την πισίνα. Στα άλλα δύο αγωνίσματα, είναι δυνατόν να συμπέσουν οι αθλητές. Επειδή οι οργανωτές είναι βιαστικοί, θέλουμε να σχεδιάσουμε μία διάταξη των αθλητών στην εκκίνηση έτσι αν όντως κάνει ο καθένας τον αντίστοιχο εκτιμώμενο χρόνο στο κάθε αγώνισμα, τότε η διοργάνωση θα λήξει όσον το δυνατόν νωρίτερα, δηλαδή ο χρόνος τερματισμού του τελευταίου αθλητή (ή των τελευταίων αθλητών, σε περίπτωση σύγχρονου τερματισμού στο τέλος περισσότερων του ενός αθλητών) να είναι ο νωρίτερος δυνατός (ο χρόνος έναρξης της διοργάνωσης, δηλαδή ο χρόνος εκκίνησης του πρώτου αθλητή, θεωρείται σταθερός και δεδομένος). Ζήτημα 2α [3 μονάδες]. Δώστε, χωρίς οποιοδήποτε σχολιασμό, έναν αλγόριθμο διάταξης των αθλητών στην εκκίνηση (βασισμένο σε κάποια έκφραση των εκτιμώμενων χρόνων w i, b i, r i ) που οδηγεί στο νωρίτερο δυνατό χρόνο λήξης της διοργάνωσης. Απάντηση: Διατάσσουμε τους αθλητές στην εκκίνηση κατά φθίνουσα σειρά b i +r i. Η διάταξη αθλητών με ίσους χρόνους b i +r i γίνεται με οποιονδήποτε τρόπο.
ΑΜ: Σελ. 4 από 7 Ζήτημα 2β [1 μονάδα]. Να αποδείξετε προσεκτικά και σύντομα ότι ο αλγόριθμος που δώσατε στο προηγούμενο ερώτημα όντως παράγει διάταξη των αθλητών με το νωρίτερο δυνατό χρόνο λήξης της διοργάνωσης. Υπόδειξη: Θεωρήστε μια διάταξη των αθλητών στην εκκίνηση όπου υπάρχουν δύο αθλητές i, j που δεν ακολουθούν τη σειρά του αλγορίθμου σας αποδείξτε πρώτα ότι τότε θα υπάρχουν και δύο διαδοχικοί, στην εκκίνηση, αθλητές i, j = i + 1 που δεν ακολουθούν τον αλγόριθμο. Στη συνέχεια αντιστρέψτε τη σειρά εκκίνησης αυτών των διαδοχικών αθλητών και εξηγήστε το λόγο που, και μετά την αντιστροφή, η διοργάνωση δεν τελειώνει αργότερα. Απάντηση: Θα δείξουμε ότι ο αλγόριθμος που δώσαμε στο (2α) παράγει μια βέλτιστη διάταξη χρησιμοποιώντας ένα επιχείρημα ανταλλαγής. Έστω μία βέλτιστη λύση που δεν ακολουθεί τον αλγόριθμο που δώσαμε. Τότε αυτή η λύση πρέπει να περιέχει δύο αθλητές i και j που ο i προηγείται του j στην εκκίνηση αλλά b i + r i b j + r j. Καλούμε ένα τέτοιο ζευγάρι αντιστροφή. Αν ο j δεν είναι προγραμματισμένος να ξεκινήσει αμέσως μετά τον i στην βέλτιστη λύση, αρχίζουμε να κοιτάμε τους αθλητές από τον i προς τον j. Πρέπει να υπάρχει ένα διαδοχικό στην εκκίνηση ζευγάρι αθλητών i, j = i + 1 (ο ένας μπορεί να είναι ο i ή ο j) ώστε b i + r i b j + r j, διαφορετικά θα είχαμε b i + r i > b j + r j. Καταλήγουμε ότι αν υπάρχει μια τουλάχιστον αντιστροφή, υπάρχει πάντα μια τουλάχιστον αντιστροφή που αφορά διαδοχικούς, στην εκκίνηση, αθλητές. Ας επικεντρώσουμε σε μία αντιστροφή διαδοχικών αθλητών i, j = i+1. Ο χρόνος εκκίνησης του i είναι s i, ο χρόνος τερματισμού του s i +w i +b i +r i. Αντίστοιχα, ο χρόνος εκκίνησης του j είναι s i + w i και τερματισμού του s i + w i + w j + b j + r j. Ας αντιστρέψουμε τη σειρά τους στη διάταξη. Ο νέος χρόνος τερματισμού του j θα είναι σίγουρα μικρότερος αφού ξεκινάει νωρίτερα. Ο χρόνος τερματισμού του i θα είναι s i + w j + w i + b i + r i s i + w j +w i +b j +r j δηλαδή το πολύ όσο και προηγούμενος χρόνος τερματισμού του j. Παρατηρούμε ότι ο χρόνος τερματισμού των υπολοίπων αθλητών παραμένει αμετάβλητος καθώς οι προηγούμενοι δεν επηρεάζονται και ο επόμενος εκκινεί σε χρόνο s i + w i + w j και στις δύο περιπτώσεις. Άρα αντιστρέφοντας τους αθλητές αυτούς αποκλείεται να μεγαλώσει ο τελικός χρόνος λήξης της διοργάνωσης. Έχουμε όμως τουλάχιστον μία λιγότερη αντιστροφή από την προηγούμενη διαδικασία στη διάταξη, άρα επαναλαμβάνοντας και σημειώνοντας ότι ο αριθμός των αντιστροφών είναι πεπερασμένος, καταλήγουμε σε μία διάταξη που ακολουθεί τον αλγόριθμό μας και με συνολικό χρόνο λήξης της διοργάνωσης το πολύ όσο της βέλτιστης λύσης. Άρα ο αλγόριθμός μας παράγει μια βέλτιστη λύση.
ΑΜ: Σελ. 5 από 7 Θέμα 3. Έστω πεπερασμένη ακολουθία a r, r = 0,..., n πραγματικών μήκους n + 1 όπου n N (όχι αναγκαία μονότονη). Θέλουμε να μελετήσουμε τις διάφορες προσεγγίσεις για σχεδιασμό αλγορίθμου που υπολογίζει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος k + 1 (k N) αύξουσας (όχι αναγκαία γνησίως) υπακολουθίας a lr, r = 0,... k της (a r ), της οποίας ο πρώτος όρος είναι o a 0 και o τελευταίος ο a n (δηλ. a l0 = a 0 και a lk = a n ). Στη θεωρούμενη ως «μη αποδεκτή» περίπτωση εισόδου όπου a 0 > a n, o αλγόριθμος θέλουμε να επιστρέφει 0, αφού τότε δεν υπάρχει αύξουσα υπακολουθία με πρώτο όρο το a 0 και τελευταίο το a n. Υπενθύμιση: Εξ ορισμού της υπακολουθίας έχουμε ότι l r < l r+1, r = 0,..., k 1, δηλαδή οι όροι μιας υπακολουθίας επιλέγονται εξ αριστερών προς τα δεξιά από την αρχική ακολουθία, αλλά δεν είναι αναγκαία διαδοχικοί σε αυτήν. Π.χ. για την ακολουθία 1, 7, 5, 6, 7, 2, 2, 8 ο αλγόριθμος πρέπει να επιστρέψει 5, διότι η υπακολουθία 1, 5, 6, 7, 8 έχει τους περισσότερους όρους με τις προϋποθέσεις που αναφέρθηκαν. Ζήτημα 3α [2 μονάδες]. Να δοθεί αντιπαράδειγμα που αποδεικνύει τη μη ορθότητα της πλεονεκτικής προσέγγισης, σύμφωνα με την οποία ο αλγόριθμος ξεκινά με τον a 0 και σε κάθε βήμα επιλέγει τον επόμενο όρο στην ακολουθία εισόδου που είναι τουλάχιστον ίσος με τον τρέχοντα, απορρίπτοντας όρους μικρότερους του τρέχοντα, και στο τέλος επιστρέφει το πλήθος των όρων που επιλέχθηκαν. Το αντιπαράδειγμα να είναι για ακολουθία για την οποία a n a r, r = 0,..., n. Απάντηση: Αν εφαρμόσουμε πλεονεκτική προσέγγιση στην ακολουθία 1, 5, 2, 3, 6 θα πάρουμε ως απάντηση 3 διότι θα επιλέξουμε τους όρους 1, 5, 6. Όμως η σωστή απάντηση είναι 4, το μήκος της αύξουσας υπακολουθίας 1, 2, 3, 6.
ΑΜ: Σελ. 6 από 7 Ζήτημα 3β [2 μονάδες]. Να δοθεί αλγόριθμος δυναμικού προγραμματισμού. Ο αλγόριθμος να περιγραφεί με τον κατάλληλο αναδρομικό τύπο (υπόδειξη: δύο μεταβλητών) και με σύντομη περιγραφική εξήγηση για τον τρόπο λειτουργίας του. Να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στις «μη αποδεκτές» καθώς και στις οριακές περιπτώσεις (π.χ. ακολουθία με έναν όρο). Να δικαιολογηθεί σύντομα η ορθότητα του αλγορίθμου. Απάντηση: Για i j, καλούμε OP T (i, j) το μεγαλύτερο μήκος αύξουσας υπακολουθίας της ακολουθίας a i, a i+1,..., a j, 0 i j n, η οποία (υπακολουθία) έχει πρώτο όρο το a i και τελευταίο το a j (αν a j < a i, ορίζουμε OP T (i, j) = 0). Το OP T (i, j) δίνεται από τον αναδρομικό τύπο: OP T (i, j) = 1, αν i = j, 2, αν i < j και a i a j και ( s)(i < s < j και a i a s a j ), max {s: i<s<j και ai a s a j } OP T (i, s) + OP T (s, j) 1, αν ( s)(i < s < j και a i a s a j ), 0, αλλιώς. Η πρώτη και η δεύτερη γραμμή στον παραπάνω ορισμό καλύπτουν τις οριακές καταστάσεις: ακολουθία με έναν μόνον όρο, και, αντίστοιχα, αποδεκτή ακολουθία με τουλάχιστον δύο όρους, αλλά με όλους τους ενδιάμεσα ευρισκόμενους όρους να έχουν μέγεθος γνησίως μικρότερο από τον πρώτο ή γνησίως μεγαλύτερο από τον τελευταίο, δηλαδή δεν υπάρχει ενδιάμεσος όρος ενδιάμεσου μεγέθους (οπότε δεν μπορούμε να συμπεριλάβουμε στην υπακολουθία ενδιάμεσο όρο). Η δεύτερη γραμμή καλύπτει και την περίπτωση όπου j = i+1, διότι τότε δεν υπάρχουν ολωσδιόλου ενδιάμεσοι όροι. Η τρίτη γραμμή καλύπτει αναδρομικά την περίπτωση ακολουθίας με τουλάχιστον τρεις όρους και με τουλάχιστον έναν ενδιάμεσο όρο ενδιάμεσου μεγέθους (ο οποίος μπορεί να συμπεριληφθεί στην υπακολουθία). Το 1 μπήκε για να μη μετρήσει τέτοιος ενδιάμεσος όρος δύο φορές. Τέλος, η τελευταία γραμμή καλύπτει τις μη αποδεκτές ακολουθίες. Ο αλγόριθμος δίνει τιμές στα OP T (i, j) με σειρά αύξουσας διαφοράς j i (ξεκινώντας από τα ζεύγη όπου i = j) και καταγράφοντας στη μνήμη τα διαδοχικά λαμβανόμενα αποτελέσματα, ώστε να τα χρησιμοποιήσει όποτε τα χρειαστεί στην αναδρομή. Σταματά στο ζεύγος i = 0 και j = n.
ΑΜ: Σελ. 7 από 7 Πρόσθετος χώρος για απάντηση στο Ζήτημα 3β.