Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Transcript

1 στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα Β= Α> ln Α <Β ln Β ln Α> Α = = Β Α Β Α Σύνοψη γραφικών παραστάσεων Εκθετική: Α, < Α Λογαριθμική: log A, < Α Πεδίο Ορισμού R δηλ. R (, δηλ. > Σύνολο Τιμών (, δηλ. Α > R δηλ. log A R Σημείο Τομής με (, Σημείο Τομής με (, Ασύμπτωτη (= (= Βασική Ιδιότητα Μονοτονία Οι Α και log A είναι συμμετρικές ως προς την = <Α< Γν. φθίνουσα, = Α> Γν. αύξουσα,,, Οι Α και Α =/Α είναι συμμετρικές ως προς τον <Α< Γν. φθίνουσα log Α> Γν. αύξουσα ln,log Οι log A και log /Α είναι συμμετρικές ως προς τον πχ., ln έντονο: έντονο: ln parmnids5

2 Για παραμετρικές ασκήσεις : Η συνάρτηση f ( = Α : έχει πεδίο ορισμού το R όταν Α> έχει πεδίο ορισμού το (, όταν Α= (μηδενική έχει πεδίο ορισμού το Ζ όταν Α< είναι σταθερή όταν Α= (πεδίο ορισμού=r είναι εκθετική όταν < Α (πεδίο ορισμού=r είναι γνησίως μονότονη όταν < Α (πεδίο ορισμού=r είναι (ένα προς ένα όταν < Α (πεδίο ορισμού=r είναι γνησίως αύξουσα όταν Α> (πεδίο ορισμού=r είναι γνησίως φθίνουσα όταν < Α< (πεδίο ορισμού=r <Α Επίλυση Εκθετικών και Λογαριθμικών Εξισώσεων Χρειαζόμαστε την ιδιότητα : Για εκθετικές: Για λογαριθμικές: log Γ B A A Γ = A Β=Γ logγ Α= log Β Α=Β Γενικά: f f Α = Γ f Β Α=Β Επίλυση Εκθετικών και Λογαριθμικών Ανισώσεων Χρειαζόμαστε μια συνάρτηση γνησίως μονότονη, δηλ. είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα ( είναι η συνάρτηση που διατηρεί την φορά των ανισώσεων. Γνησίως φθίνουσα ( είναι η συνάρτηση που αντιστρέφει την φορά των ανισώσεων. Για εκθετικές: B A A Γ A αν Α> Β Γ A αν <Α< Β Γ Για λογαριθμικές: log A B log AΓ αν Α> Β Γ αν A <Α< Β Γ Γενικά: f ( Α f ( Β αν f A Β αν f A Β Περίεργα Α= Β Α = ή Β= και Α ή Α= και Β= κ, κ Ζ Α= Β Γ Β Γ Α Α Β Γ Α =Α Α= ή Α = Α = ή και Γ Β Γ= Α Γ Α Α ή Α= και Β Γ= κ, κ Ζ A parmnids5

3 Εξισώσεις κι ανισώσεις του Εξισώσεις κι ανισώσεις του Α με Α> = = = 8 5 αδύνατη αδύνατη = λύνεται με γιατί > γιατί > = λογάριθμους < < < 8 < 5 αδύνατη αδύνατη < λύνεται με γιατί > γιατί > < λογάριθμους > > 8 > 5 > αληθές αληθές > λύνεται με γιατί > άρα R > λογάριθμους άρα R γιατί = 5 αδύνατη > = αδύνατη γιατί > Α με <Α< 6 = 8 = 4 = = 7 λύνεται με = 4 λογάριθμους < 5 γιατί αδύνατη > < αδύνατη γιατί > 6 < 8 < 4 < 7 λύνεται με > 4 λογάριθμους > 5 αληθές γιατί > άρα R > αληθές 6 > 8 > 4 > 7 λύνεται με άρα R < 4 λογάριθμους parmnids5

4 Για εκθετικές εξισώσεις: Με εκθετικό,αφού καταλήξω στην μορφή καταλήξω στην μορφή Α =Β αν Β, η εξίσωση είναι αδύνατη Γ αν Β>, η εξίσωση έχει λύση, είτε γραφώ το Β σαν δύναμη του Α, δηλαδή Β=Α οπότε Γ η εξίσωση γίνεται Α =Α =Γ είτε σε περίπτωση που δεν γράφεται το Β σαν δύναμη του Α, η εξίσωση λύνεται με λογαρίθμους. Ενδέχεται να θέσω το εκθετικό Α = ω, εάν επαναλαμβάνεται αρκετές φορές. Με εκθετικά οι περιπτώσεις είναι τρεις: είτε το εκθετικό είναι δύναμη του άλλου άρα θέτω το εκθετικό με μικρότερη βάση Α = ω Α είτε τα εκθετικά είναι άσχετα και διαιρώ τα πάντα με το ένα εκθετικό και θέτω = ω Β είτε τα εκθετικά έχουν ρίζες που μοιάζουν στις βάσεις τους και το γινόμενο τους ισούται με ακέραιο αριθμό είτε έχουν ρίζες που δεν μοιάζουν και το ένα είναι δύναμη του άλλου, οπότε θέτω το εκθετικό Α = ω. Με εκθετικά οι περιπτώσεις είναι τρεις: είτε όλα τα εκθετικά είναι δυνάμεις του ιδίου άρα θέτω το εκθετικό με μικρότερη βάση Α = ω είτε τα εκθετικά είναι δυνάμεις εκθετικών άρα διαιρώ τα πάντα με κατάλληλη δύναμη του ενός Α εκθετικού και θέτω = ω, βγαίνει πολυωνυμική εξίσωση Β ειδικά αν εχω Α, AB, B διαιρώ με B, ενώ αν έχω Α, A B, AB, B διαιρώ με B είτε η εξίσωση λύνεται με ομαδοποίηση. Για εκθετικές ανισώσεις: Οι ανισώσεις λύνονται με ανάλογη μέθοδο με τις εξισώσεις κι επειδή η εκθετική συνάρτηση Α >, όταν διαιρώ με εκθετικό όλα τα μέλη, δεν αλλάζει φορά η ανίσωση. Όταν καταλήξω σε εκθετικά και στα μέλη με ίδιες βάσεις, η φορά παραμένει ίδια αν η βάση > ειδάλλως αλλάζει, < 9 7 < < < <, πουισχυει R < < Πρόσημο εκθετικού ( κα λ Για να βρω πρόσημο εκθετικού αρκεί να λύσω ποτέ είναι θετικό, μετά συμπληρώνω ομοίως. πχ. 4 > > 4 ομοίως 4 = = και 4 < > 4 > > 8 > > < 4 _ parmnids5 4

5 Εκφωνήσεις ( i 9 < ( ii 5 7 λυμένες εκθετικές ανισώσεις 45 7 < iv < iii 4 8 v 4 ( vi 4 9 > 56 ( vii 6 ( viii Λύσεις (i. 9 < ( < < < < < 7 (ii ω 45 7 ω 5 7 < < ω < ω < 9ω ω ω ω = ω ω> ω 5 ωω ω < ω ω ω 7 ω ω < 5 4ω < 6 ω < 9 < ω < ω <, πουισχυει R < < < =ω ω ω 8 ω ω 8 (iii. 5 > 5 (iv. < 5 < 5 5 (v. ω ή ω 8 4 ω αδυνατη γιατι > ω < < > Παρατηρούμε ότι ( ( 4 ( = = = = ( ( ( = ω 4 4 ω = 4 ω v> ωω ω 4ω ω = 4ω ω 4ω 7 4 ω 7 4 ω = = 7 4, ομοίως 7 4 = ( = = 7 4 ω ( parmnids5 5

6 ( vi 4 9 > 56 ( ( ( > ( ( > > ( 4 = = =, 9 = = =, 6 = = = ( = ω ή > 5 > 5 ω > 5ω ω 5ω > ω < ω > ω < < < > ω > > > < (vii. (vii > > < < < οµοιως < > = = > > < < οµοιως < < = = γινόμενο ( άρα = > Θέτω = ω, ω ω ω ήω ω αδυνατη γιατι > ω parmnids5 6

7 αλυτες σε εκθετικές. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: * (α (β [ ] > [ > ] (γ < 6 (δ π π (ε [ < < ] [ ] [ ] (στ [ ] (ζ (, ] { } (η 7 8 (θ [ ] [ ] ( ( 5 5 (ι ( ( (κ, [ ]. Δίνεται η συνάρτηση 6 f = 4 9 (α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ( (β Να αποδείξετε ότι η f ( είναι άρτια (γ Να λυθεί η εξίσωση f = f (. Δίνεται η συνάρτηση f ( = ( ( ** R, f = f, =± (α Να αποδείξετε ότι η f ( είναι περιττή (β Να λυθεί η εξίσωση f ( = 4 6 (γ Να βρείτε τα διαστήματα του για τα οποία η γραφική παράσταση της g = f ( βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα. f ( = f, =, > parmnids5 7

8 4. Έστω α R και μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : R R (α Να βρείτε τις τιμές του α (β Να λυθεί η εξίσωση f f ( = f f (γ Να λυθεί η ανίσωση με τύπο f = ( α α 5 (δ Να βρείτε τον αριθμό α, αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Β(,9 (ε Έστω g, h( οι συναρτήσεις που προκύπτουν από την f ( για α = και α = αντίστοιχα. Για ποιες του για τα οποία η γραφική παράσταση της g( βρίσκεται χαμηλότερα από την γραφική παράσταση της h( ; α > = [ ] α = > 5. Έστω f = (α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( 6 (β Να δείξετε ότι f ( = όταν R {, } (γ Να λυθεί η ανίσωση f 7,,,,, (δ Να βρείτε τις τιμές του α R έτσι ώστε η συνάρτηση g = f ( α να είναι σταθερή στο R 6 (ε Έστω h = f. Να λυθεί η εξίσωση h ( h ( = f ( R {, }, (, 4] { }, α =, = λ f = ορισμένη στο R με λ R λ (α Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς την μονοτονία για τις διάφορες τιμές του λ R λ (β Αν λ= να λυθεί η ανίσωση f ( > λ 4λ (γ Αν λ, να λυθεί η ανίσωση ( ( f f (δ Να βρείτε το λ αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( διέρχεται από το σημείο Α ( f (, (ε Για λ= θεωρούμε τις συναρτήσεις g = f ( 4 και h = f ( 5. Να βρείτε h 6. Δίνεται η συνάρτηση τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των g( και (στ Για λ= να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης P = ( 4 ( f 4 ( ( f αν λ, : f, αν λ = : f σταθερη, αν λ, : f (,,,, (,7,, [, [, λ = και 4 parmnids5 8

9 Ιδιότητες Δυνάμεων a a a a ν =, a = a =, a a, a ν a a a = a a a β γ β γ = a : a = a γ β βγ γ = ( a = a = ( a β γ β γ β γ β ( aβ γ γ γ γ = a β γ a a a β =, γ = β β β α ν a β = β α ν ν ν α = α = α α = α ν µ ν µ µ ν α = α, α > µ µ ν α = α, α > Ιδιότητες Λογαρίθμων ln ΝΕΠΕΡΙΟΙ ln =, R =, > ln αβ = lnα ln β α 4 ln = lnα ln β β β 5 ln a = βlnα 6 log β lnα a = ln β ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ log =, R log, log αβ = logα log β α log = logα log β β log a β = > = βlogα lnα log a = ln ln = log Απέξω log = log ln = ln = ln = ln = log = log = log = log = Προσοχή α. Προσέχουμε αν η δύναμη βρίσκεται στον λογάριθμο ή στην λογαριθμισμένη ποσότητα πχ. ln ln ln = ln = ln σαν συμβολισμοί διότι ενώ ln = ln σαν το ημ β. Οι ιδιότητες των λογαρίθμων γενικά δεν ισχύουν σε συναρτήσεις λόγω πεδίου ορισμού πχ. ln ln σαν διαφορετικά πεδία ορισμού διότι το ln έχει προορισμό > ενώ το ln έχει περιορισμό > Γι αυτό σε οποιαδήποτε λογαριθμική εξίσωση πρώτα βρίσκουμε τους περιορισμούς και αφού την λύσουμε εφαρμόζοντας ιδιότητες λογαρίθμων, ελέγχουμε εάν οι λύσεις είναι δέκτες με βάση τους περιορισμούς. Στις λογαριθμικές ανισώσεις κάνουμε συναλήθευση της λύσης της ανίσωσης με τους περιορισμούς για να βρούμε την λύση της άσκησης. parmnids5 9

10 Εξισώσεις κι ανισώσεις του = = = αδύνατη αδύνατη ln = ln γιατί > γιατί > = ln < < < αδύνατη αδύνατη ln < ln γιατί > γιατί > < ln > > > Α=Β> ln Α= ln Β <Α<Β ln Α< ln Β αληθές αληθές ln > ln γιατί > άρα R > ln άρα R Εξισώσεις κι ανισώσεις του ln ln = 6 ln = ln = 7 ln 6 = = = = 6 ln = ln 7 = ln < 6 ln < ln < 7 ln 6 < < < < < < 6 ln 7 < ln 7 7 < < ln > 6 ln > ln > 7 Α=Β Α = Α<Β Α < Β Β ln 6 > > > > 6 ln > ln 7 > 7 parmnids5

11 Εξισώσεις κι ανισώσεις του = = = αδύνατη αδύνατη log = log γιατί > γιατί > = log < < < αδύνατη αδύνατη log < log γιατί > γιατί > < log > > > Α=Β> log Α= log Β <Α<Β log Α< log Β αληθές αληθές log > log γιατί > άρα R > log άρα R Εξισώσεις κι ανισώσεις του log log = 6 log = log = 7 log 6 log = = = = 6 log 7 = 7 = log < 6 log < log < 7 log 6 log < < < < < < 6 log 7 < < < log > 6 log > log > 7 7 Α=Β Α = Α<Β Α < Β Β log 6 log > > > > 6 log 7 > 7 > parmnids5

12 Εκθετικές που λύνονται μονό με λογάριθμους: Α µε Α> < 5 = 5 > 5 ln < ln5 ln = ln5 ln > ln5 ln < ln5 ln = ln5 ln > ln5 κι επειδή ln > ln = ln ln5 < ln ln ln5 < ln ln ln5 = ln ln ln5 = ln ln ln5 > ln ln ln5 > ln Α µε <Α< < 7 ln < ln 7 ln < ln 7 = 7 ln = ln 7 ln = ln 7 > 7 ln > ln 7 ln > ln 7 κι επειδή ln < ln = ln ln 7 > ln ln ln 7 > ln ln ln 7 = ln ln ln 7 = ln ln ln 7 < ln ln ln 7 < ln parmnids5

13 Έστω η συνάρτηση λυμένη με εκφράσεις για γραφική παράσταση f = ln 6 λ, λ R της οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον 7 άξονα στο σημείο Μ με τετμημένη ln. α. Να αποδείξετε ότι λ = β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( γ. Να βρείτε το σημείο που η γραφική παράσταση της f( τέμνει τον άξονα, εφόσον υπάρχει δ. Να βρείτε τα διαστήματα του για τα οποία η γραφική παράσταση της f( βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα ε. Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της f( βρίσκεται χαμηλότερα από την γραφική παράσταση της g = στ. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α ώστε η συνάρτηση h ( f ( a γνησίως φθίνουσα στο R = να είναι 7 7, ln ln f = 7 f ( = ln ( 6 λ = ln ( 6 λ = ln 7 λ = ln 7 ln 7 λ = ln ln 7 λ = ln 7 ln λ = α. Μ : = άρα Μ C f = ln 6 Πρέπει 6> > 6 που ισχύει διότι >, άρα R β. f ( ln 6 γ. : = άρα f = ln ( 6 = ln ( 6 = = 6 = = 6 ln = ln ( 6 = ln ( 6,άρα τέμνει τον στο σημείο Β ( δ. > 6 ln > ln ( 6 > ln ( 6 f > ln 6 > ln 6 > > 6 > ε. f g ( ln 6 < ( ln 6 < ln ( 6 < > 6 > 6< Θέτω = 6 < (, (, < ή> < < αδύνατη γιατί > > > ln > ln > ln ln 6 ( ln 6, στ. Πρέπει f ( a ( α α ( < < < ln 6 < < ln 6 < 6 α ln( 6 ln 6 α α α < < < < < 6 < 6 < 6 6 ( α ( ( α ( ln 6 < ln < ln 6 ln 6 < < ln 6 < 6 parmnids5

14 Να βρείτε τα πεδία ορισμού στις συναρτήσεις: 5 f = ln 4 g = λυμένη με πεδία ορισμού, ln ln, ln ( ( P = > 4 f = ln 4 Πρέπει > > ln > ln > 5 > 8 > 4 5 = = 4 Ομοίως 5 < < 4 > > ln > ln 4 > ln > ln ln > ln 4 4 = = ln Ομοίως 4 4 < < ln = ln < ln διοτι < ln = g 5 4 γινόμενο 5 4 ln άρα (, 4 ( ln, Πρέπει ln ln ln ln > > > > ln ( P = ln = ln,, ln ln ln ln > ή > > ( ] άρα, (, Πρέπει ( > ( < (, ln ln ln ln < < < < < < < < parmnids5 4 =

15 λυμένες λογαριθμικές άνισώσεις Εκφωνήσεις. ln (.. > ln log > ln ln log log 5 log ( ( log ( log 5 log log > αφού αποδείξετε ότι log 6 ln ln > ln ln ln ln ln ln 6 log log = αφού αποδείξετε ότι log log9 ln8 ln log ln ln ( 7. ln ( ln ( ( ln. ln ln 8 log ln ln = όταν > parmnids5 5

16 Λύσεις. ln ( > Πρέπει > > > > ln > ln ln ln ln > > > ln( ln( > > > ( > Θέτω = > > Hornr > > > ( ( >, > > > > > ln > αφού ln < ln = διοτι < > ln log >. > Πρέπει log log > > log > > < < < ln log > ( > log > > log > ln log log > < < < < < αφού διοτι < > = >. ln ln > Πρέπει > > > parmnids5 6

17 ln ln ln ln Θέτω ln = ή ln ln ln ln ή < ή > log log 5 log 6 4. Πρέπει > που ισχύει γιατί, > R (οπότε δεν χρειάζεται συναλήθευση log log 5 log 6 log log log 5 log 6 log log > ( Θέτω = 6 6 πουισχυει διοτι > log( 5. Πρέπει > > log( log( ( ( log ( log ( log ( log ( log log ( ( log ( log log ( log ( log ( Θέτω log ( = ή parmnids5 7

18 ( log log,,,9 ( log log 99,9 ή > log 6. 5 > Πρέπει > > > log log 5 log log 5 log log log 5 ( log log log log 5 Θέτω log = log log 5 log log 5 = = = β 4αγ log 4 log 5 log 4log 5 = ( log 4log = ( log 4( log log = = = = ( log 4log 4log ( log 4log 4 ( log, β ± log ± log = = α log log = = log = log log log = log = log log = log5 < διοτι < log log 5 5 log log 5 log, log 5 log log log 5 5, 5, 5, 5 > log log log log > αφού αποδείξετε ότι = Απόδειξη Υπόδειξης log log log log = log = log log log = log log, που ισχύει Πρέπει > parmnids5 8

19 log log = log log log log log log > > 5 7 > log log log log 5 7 > 5 7 > Θέτω log = 5 7 > 5 7 > <, 6 ή> 4 log <,6 <,6 αδύνατη γιατί log > > > > > > > log log log 4 4 log > > > log 8. 6 Πρέπει > ln ln 6 ln ln6 ln ln6 ln Θέτω ln = ln ln ln ln ln ln6 ln ln > ln = διοτι > 4 ln ln6 ln ln 4 ln ln ( ln ln ln ln ln ln ln 4 ln ln ln > 9. ln ln > parmnids5 9

20 ln ln Πρέπει < > ln= ln ln ln ln > ln ln > ln ln ln ( ln > Πρέπει ln ln > > > ln ln > ln ln > ln ln > ln ln ( ( ( ln( ln ln > ln > > > < > > διότι > = αφού > >. ln Πρέπει > > > > ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Θέτω ln = 4 4 ή ln ln ln ln parmnids5

21 ή > < ή ln ln ln ln. ln ln αφού αποδείξετε ότι ln = όταν > Απόδειξη Υπόδειξης ln ln ln ln ln = ln = ln ln = ln ln = ln, που ισχυει ln > Πρέπει > > > > ln ln ln ln ln 6 ln ln ln Παρατηρούμε ότι ln ln ln ln ln = = λόγω υπόδειξης = = λόγω υπόδειξης ln ln ln = = = 6 6,, [ ] [ [, ] [, [, > log. Πρέπει > > parmnids5

22 log log log log Θέτω log = R ln R > log log log log log log log log log > > > log. 9 log9 > > Πρέπει > > > > 9 > log log9 log log9 9 log log 9 log9 log log log 9 log ( log log log log 9 log 9 log ( log log log log 9 log log log log log log 9 log log Θέτω log = ( ( log log log log log log log log log log log log ( log ( log ( ( log ή log αφού log > log = διοτι >, log log log log log parmnids5

23 ή < ή > ln8 ln Πρέπει > ln8 ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 ln 9 Θέτω = ln 6 6, [ ], πουισχυει διοτι > = ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln < > R (οπότε δεν χρειάζεται συναλήθευση Θέτω = parmnids5

24 5 6 [,] ln ln ln ln ln ln Κι επειδή ln < ln = διοτι < ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 6. log ln > Πρέπει > > ln ln log ln log ln ln ln Θέτω ln = ln> ln= ln ln ln ( ln ln Κι επειδή < ln < ln < ln ln < ln ln < > 7. ln ( ln ( > > Πρέπει > > > ( ( ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln parmnids5 4

25 ( ( ln ln ( ln ln ln > ln > ln > < < < < ln ( ln ( = = ή= Ομοίως ln ln < < ή> ( > > > > ln ( = = Ομοίως ln < < ln ln ( ( ln ln ln ( γινόμενο ( ( ln ln ln ( (,] Άρα (,] (,] > R (οπότε δεν χρειάζεται συναλήθευση Hornr Θέτω = [ ] [ 7 6 6,, ή parmnids5 5

26 ln ln ln ln ln ln 9. > > Πρέπει > > ( ln ln > > > > > 9 Ομοίως ( ( ln = = 9 ln < < 9 ln ln > ln > > > ln = = Ομοίως ln < < 9 ln ( ln γινόμενο Άρα,,, >. ln ln 8 ( ( parmnids5 6

27 Πρέπει > > 8> > 8 ( ( ln( 8 ln ( ln ln 8< 9 ln ln 8 ln ln 8 ( ( ( ( ln 8 ln ln 8 ln ln ln 8 ln ln 8 ln ln 8 ln 8 ln > ln 8 > ln 8 > 8 >,αδυνατη Ομοίως ( ( ( ( ln 8 ln = 8 =, αδυνατη ln 8 ln < 8 <, πουισχυει ( ln ln > > > > Ομοίως ( ( ln = = ln < < ( ln 8 ln 8 > > 8 > > 9 Ομοίως ( ( ln 8 = = 9 ln 8 < < ( ( ln 8 ln ln ( 8 ln ( γινόμενο ( ( ( ( ln 8 ln ln ln 8 ( 8,9 8 < 9 ( 8,9 Άρα ( 8,9 parmnids5 7