x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

Transcript

1 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a) b) c) ii) (8 μονάδες) Να προσδιοριστούν τα a, b R, ώστε η συνάρτηση + a π + bsi < να είναι παραγωγίσιμη στο Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η a b a+ b si si si cos. iii) (5 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού τριγωνομετρική σχέση ( a) ( b) αποδείξτε ότι: cos cos y y,, y. Λύση i) a) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης λογαρίθμου συναρτήσεως: l ( ) και τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου συναρτήσεων έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) 6 ] ( ) ( ) ( ) 6 > ( ) 8 ( ) b)

2 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Με τον κανόνα παραγώγισης ρίζας συναρτήσεως: ( ) και τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου συναρτήσεων έχουμε: ( 5 ) ( + ) ( 5 )( + ) ( + ) 9 ( + ) ( + ) 5 ( + ) > g 5 9 ( + ) c) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του αθροίσματος, του γινομένου και της παραγώγου τριγωνομετρικών συναρτήσεων έχουμε: h si cos ta ( ta ) si + si + ta + ta ( ) h si cos ta + ta > ii) Πρέπει αρχικά να είναι συνεχής στο : > ( + a) + b π > lim lim lim lim si + + b + a + b > a () Επίσης πρέπει οι πλευρικές παράγωγοι να είναι ίσες στο : π > + a + b > () () ( ) cos π + π b + a + bπ > a () 8 8 Από τις () και () έχουμε:

3 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: b π b π b b b π b π > > > > b b ( π ) ( π ) > π Τότε η () λόγω της () δίνει: a () π () iii) Θεωρούμε την συνάρτηση ορισμένη στο [,y] με τύπο cos H είναι συνεχής στο [,y], παραγωγίσιμη στο (,y) με παράγωγο: cos (cos ) cos( si) si cos si άρα από το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού υπάρχει ξ στο (,y) τέτοιο ώστε: y y cos cos si ( ξ) ( ξ) > y y > ( ξ ) ( ξ ) y y > y y y > cos cos si cos cos επειδή ( ξ ) y si. y Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα L Hospital, να υπολογίσετε τα όρια: + α) lim si lim l β) + ii) (8 μονάδες) Για τη συνάρτηση, αφού υπολογίσετε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, να αποδείξετε ότι ( ). Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της παραγώγου και τον κανόνα L Hospital.

4 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: iii) (7 μονάδες) Αν μία συνάρτηση ( ) έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο, χρησιμοποιώντας τον κανόνα L Hospital δείξτε ότι ( + y) ( + y) + lim 6 y y Υπόδειξη: Θεωρήστε τον αριθμητή ως συνάρτηση του y και εφαρμόστε τον κανόνα L Hospital. Λύση i) α) Με διαδοχικές εφαρμογές του κανόνα L Hospital έχουμε: ( + ) ( si ) + lim lim lim si cos ( ) ( cos( )) si + + lim lim lim lim ( si( )) cos β) Παρατηρούμε αρχικά ότι: l l( ) l( ) l Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε με κανόνα L Hospital το όριο: ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim lim Επειδή όμως lim l( y) y με [ ] y θα έχουμε ότι: lim + ( l ) ii) Από τον ορισμό της παραγώγου: ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( )

5 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: lim lim ( ) lim ( ) lim Επειδή ισχύει: lim + αν θέσουμε: > θα έχουμε από την () με διαδοχικές εφαρμογές του κανόνα L Hospital ότι: lim lim lim lim lim lim lim lim () ( ) ( ) Για την () θα λάβουμε υπόψιν μας ότι για ισχύει: Επομένως για την () τώρα θα έχουμε πάλι από τον ορισμό της παραγώγου ότι: ( ) lim lim lim χρησιμοποιώντας την ίδια αλλαγή μεταβλητής όπως πριν και με διαδοχικές εφαρμογές του κανόνα L Hospital έχουμε ότι: ( ) ( ) ( ) i lim lim lim lim l m () iii) Θεωρούμε τον αριθμητή ως συνάρτηση του y και εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital με παραγωγίσεις ως προς y: ( + y) ( + y) + + y + y + lim lim y y y ( y ) () 5

6 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) y y y y y y lim lim y y y y ( y ) + y + y + y + y + y + y lim lim y y ( ) y y ( y) ( y) lim 6 + () 6 + () lim + 8lim + y y y 8 6 Άσκηση. (5 μονάδες) Δίνεται η συνάρτηση +. i) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την καμπυλότητα, τα σημεία καμπής της και τις ασύμπτωτες που τυχόν έχει. ii) Να γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της. Λύση i) Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο με τον κανόνα του πηλίκου: ( )( + ) ( ) + + > >, ( + ) άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η πρώτη παράγωγος δεν μηδενίζεται ποτέ, άρα δεν υπάρχουν ακρότατα. Υπολογίζουμε την δεύτερη παράγωγο με τον κανόνα του πηλίκου: 5 ( 5 ) ( + ) 5 ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 5 ( + )( + - ) ( + ) ( + ) > 5 ( ) + Παρατηρούμε ότι το κλάσμα είναι πάντα θετικό, άρα το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου εξαρτάται από τον παράγοντα ( ) συνεπώς έχουμε ότι: 6

7 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: όταν < < l< > l η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλ. είναι κοίλη όταν > > l> < l η στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, δηλ. είναι κυρτή όταν l l τότε η έχει σημείο καμπής. Λαμβάνοντας το όριο της συνάρτησης στο βρίσκουμε ότι: lim lim,5 + lim + + άρα η έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y-,5. Λαμβάνοντας το όριο της συνάρτησης στο + με χρήση του κανόνα L Hospital βρίσκουμε ότι: ( ) ( + ) lim lim lim άρα η έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y. Για να κάνουμε μία πρόχειρη γραφική παράσταση υπολογίζουμε ακόμη που τέμνει τους άξονες: ( ),667 l,986 + Άρα μία πρόχειρη γραφική παράσταση είναι: 7

8 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Δηλαδή έχουμε μία σιγμοειδή καμπύλη (καμπύλη σχήματος S). Άσκηση. (5 μονάδες) ( ) i) (5 μονάδες) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor κέντρου τη συνάρτηση. ii) (5 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το παραπάνω ανάπτυγμα υπολογίστε το όριο lim. iii) (5 μονάδες) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα. ()d σε μορφή σειράς. Πόσους όρους πρέπει να κρατήσουμε ώστε το σφάλμα να είναι μικρότερο του -6 ; Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι: Αν σε μία εναλλάσσουσα σειρά, ( ) a, a >, χρησιμοποιήσουμε το μερικό άθροισμα k a, το σφάλμα που προκύπτει δεν υπερβαίνει (κατ απόλυτη τιμή) τον πρώτο όρο που αγνοούμε, δηλαδή τον όρο a k+. Δείτε επίσης το παράδειγμα της σελίδας και την άσκηση 5 της σελίδα στο κεφάλαιο Σειρές Taylor στο Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό. Λύση 8

9 i) Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Θα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της εκθετικής συνάρτησης: !!! 5! 6! θέτοντας - έχουμε ότι: ( ) +...!!! 5! 6!! Συνεπώς έχουμε ότι: 5 6 ( ) ( ) +... >!!! 5! 6!! ( ) ()!!! 5! 6! ( + )! ii) Από το ανάπτυγμα () που βρήκαμε έχουμε ότι: ( ) () lim + ( + )! iii) Ολοκληρώνοντας όρο προς όρο το ανάπτυγμα () ως προς έχουμε ότι: + + d d + d + ( + )! ( + )! + ( + )! + ή πιο αναλυτικά: 5 ( ) d Άρα το ζητούμενο ορισμένο ολοκλήρωμα, επειδή. /5, θα είναι:.. + d ( + )!( + ) >.. d ( ) ( + )!( + ) 5 + d ( ) a + ( + )! ( + ) 5 () όπου θέσαμε: a ( )! ( ) Το ολοκλήρωμα γράφεται αναλυτικά ως σειρά:. d Σύμφωνα με την υπόδειξη το σφάλμα που θα έχουμε αν κρατήσουμε στο άθροισμα τους όρους μέχρι k θα είναι κατ απόλυτη τιμή μικρότερο από τον όρο α k+, επομένως πρέπει τελικά να πάρουμε k τέτοιο ώστε: a 6. k + < ( k )! ( k ) 5 k Παίρνοντας διαδοχικά k,,,,... και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι: 9

10 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: a,a,a,a 9 5 η σε γραφή με δεκαδικά ψηφία: a (.) a a (.) (.) a ( ) < Επομένως αρκεί να πάρουμε k όρους στο άθροισμα της σειράς (). Τότε βρίσκουμε: I.9677 ενώ η πραγματική τιμή είναι: Ι Πράγματι, το σφάλμα βρίσκεται μετά το 6ο δεκαδικό ψηφίο. Άσκηση 5. ( μονάδες) Υπολογίστε τα επόμενα ολοκληρώματα : i) (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε την αλλαγή μεταβλητής: για το.) και τον τριγωνομετρικό τύπο ii) l ( ) / d (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε παραγοντική ολοκλήρωση) iii) (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε παραγοντική ολοκλήρωση) iv) (Υπόδειξη: Χωρίστε σε δύο κλάσματα/ολοκληρώματα. Για το πρώτο χρησιμοποιήστε την αλλαγή μεταβλητής: και στο δεύτερο προσπαθήστε να εμφανίσετε την παράγωγο της υπόριζης ποσότητας). Λύση i) Θέτουμε: sit > 9 9si si Επίσης τότε ισχύει: t t > 9 > 9 9 9si cost t >

11 d Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: cost dt Αντικαθιστώντας τα ανωτέρω στο ολοκλήρωμα έχουμε: 9si t cost dt 9 t si cos Όμως γνωρίζουμε ότι: tdt () cost si t () άρα η () λόγω της () γίνεται: cost I 9 dt cost cost t sit dt dt t d t > I t si tcos t t si tcos t () Όμως τώρα βλέπουμε ότι: si t > si t > t arcsi () όπου arcsi τοξημ στα ελληνικά. Στο ακόλουθο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: si t cost 9 (5) Επομένως η () λόγω των (), (5) δίνει τελικά: I arcsi 9 I arcsi 9 + c ii) Το αόριστο ολοκλήρωμα με παραγοντική ολοκλήρωση γίνεται: d l ( l ) d l

12 l Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: ( ) d l d l 9 Επομένως το ορισμένο ολοκλήρωμα θα είναι: l d l l l l l () l l iii) Το αόριστο ολοκλήρωμα με παραγοντική ολοκλήρωση γίνεται: l( + ) ld l( + ) ( l( + ) d ( + ) d l( + ) d + ( + ) d I l Από την ταυτότητα: + () + > ( ) ( )( + ) + ( + ) > ( )( + ) + + () Λόγω της () η () δίνει: ( + ) + d I l + l + + arcta > 9 όπου arcta() τοξεφ () στα ελληνικά. I l + + arcta + c iv) + I d d + d I + I () Για το Ι έχουμε όταν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής sit > d cost dt κι επίσης είναι t arcsi() τοξημ(). Επομένως έχουμε:

13 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: cos cos cos I d t dt si t dt cos t dt cos dt t arcsi t t t Για το Ι κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής: () > d d > d d > d d > d και αυτό γίνεται: + d d () + I Έτσι το () λόγω () και () γίνεται: I arcsi + c d