Εξήγηση του νόμου του Båth με τη βοήθεια του φυσικού χρόνου Παπαδοπούλου Κωνσταντίνα Α.Μ. : 045 Τριμελής επιτροπή: Βαρώτσος Παναγιώτης Σαρλής Νικόλαος Σκορδάς Ευθύμιος (κύριος επιβλέπων)
ΝΟΜΟΣ Båth M max = M M ms as =. () Σε έναν κατάλογο σεισμικών γεγονότων, η μέση τιμή της διαφοράς μεταξύ των μεγεθών του κύριου σεισμού και του αντίστοιχου μεγαλύτερου μετασεισμού του έχει σταθερή τιμή ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύριου σεισμού. Figure : Οι μετασεισμοί που ακολούθησαν τον σεισμό της Σουμάτρα στις 6//004
Ο ΦΥΣΙΚΟΣ ΧΡΟΝΟΣ Για μια χρονοσειρά που αποτελείται απο Ν γεγονότα, ο φυσικός χρόνος ορίζεται ως k = k/ N και χρησιμοποιείται ως δείκτης για την πραγματοποίηση του k-οστού γεγονότος ενέργειας Q k. Μελετάται η εξέλιξη του ζεύγους ( ) ή αντίστοιχα του ( ) όπου, Σεισμικότητα: ( ) Figure k M ok, Q k k N pk = Q k/ n = Q n, k p Σεισμική ροπή k-οστού γεγονότος, μέτρο της ενέργειάς του. k = Διακύμανση του χ: N N = ( k pk k pk ) = k= k = () k N p M ok/ n = (3) Έχει βρεθεί πειραματικά ότι το τείνει στην τιμή 0.07 λίγες μέρες πριν από έναν κύριο σεισμό ενώ την στιγμή του κύριου σεισμού τείνει στο 0. Χρήση για ανάπτυξη μοντέλου για την εξήγηση του νόμου του Båth χρησιμοποιώντας δυο διαφορετικούς ορισμούς για τους μετασεισμούς. 3 M on
ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ: Καθώς πραγματοποιείται ένα σεισμικό γεγονός η τιμή του αλλάζει από σε k/( N ) του. και η αντίστοιχη πιθανότητα σε N Qk / n= Q n k k/ N αλλάζοντας έτσι και την τιμή Figure 3: The model proposed in order to understand the origin of Båth law. (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) p k Μικρές ενέργειες ώστε =0 εκτός από τις θέσεις k με και = l p = l m με p = p, p =. k p Αντικατάσταση στον ορισμό του m = p p( ) N (4) Αντικατάσταση p Q = / Q n Μέγεθος σεισμικής ροπής = 0.5M n Q n= n p Q = / Q n= n 4 και : ενέργεια που παρήγαγε ο σεισμός
(0 ) (0 = ( ).5.5M ) M (5). : μπορεί να πάρει την τιμή 0.07 και ένας μεγαλύτερος σεισμός αναμένεται όταν M M και για μεγαλύτερο του 0.5 M 0.74 M Το μέγιστο επιτρεπόμενο ώστε να υπάρξει ισχυρότερος σεισμός. Υπολογίζεται για και = = 0.07 Μοναδική συνθήκη λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης. = 0.070 Figure 4: M vs for (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) Αν θεωρήσουμε το πρώτο γεγονός ως τον κύριο σεισμό, τότε το δεύτερο (μεγαλύτερος μετασεισμός) πρέπει να έχει M > 0.74 ώστε το να μην γίνει ποτέ 0.070 και να μην υπάρξει μεγαλύτερος σεισμός «κοντά» στον κύριο. 5
Αντίθετα, αν M 0.74 υπάρχει πιθανότητα το να γίνει 0.07 και να πραγματοποιηθεί μεγαλύτερος σεισμός. Δεν χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του M. Υπάρχει επίσης πιθανότητα το να μην γίνει 0.07 «κοντά» στον κύριο σεισμό αλλά αργότερα οπότε συνεισφέρουν στο M. Πολύ λιγότερες περιπτώσεις. Αναμένουμε μεγαλύτερο του 0.74, όπως και στο νόμο του Båth. M Θεωρούμε μια σταθερή κατά τμήματα κατανομή πιθανότητας p( M ) = p0 ( M ) ( M M ) ( M M ) ( M M ) (6) (Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε M > M είναι λ φορές μεγαλύτερη από το να παρατηρήσουμε M M. Κόκκινη γραμμή Figure 5.) Κανονικοποιώντας: M ( 3 ) M = ( ) (7) Για προκύπτει M.086 τιμή πολύ κοντά στο. του νόμου του Båth! 6
Επεκτείνουμε το μοντέλο ώστε να πλησιάζει σε πειραματικές παρατηρήσεις και το να είναι μεγαλύτερο από M M (Η πιθανότητα να παρατηρήσουμε M > M είναι μ φορές μεγαλύτερη από το να παρατηρήσουμε M M. Μαύρη γραμμή Figure 5.) M ( 8) ( ) M = (8) Figure 5: The piecewise constant probability distribution assumed for (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) M Αντικαθιστώντας τιμές του μ όπως προκύπτουν από πειραματικά δεδόμενα προκύπτουν τιμές κοντά στο.! Μέγεθος σεισμικής ροπής: M = log0 0.7, 3 w M o M o σε dyn. cm 7 = 0 N. m Global Centroid Moment Tensor catalogue (CMT) με ελάχιστο αναφερόμενο μέγεθος 4.6 και μέγεθος κατωφλίου (πληρότητα) M c 5.3-5.4 για πριν το 004 και 5 για 004-00 7
. Shcherbakov (Shcherbakov et al(005). Aftershock statistics, Pure Appl. Geophys. 6, 05-076) Χωροχρονικό παράθυρο γύρω από κάθε κύριο σεισμό: έτος μετά από τον κύριο και σε τετράγωνο πλευράς μοίρες με κέντρο αυτόν. d(= L/ L ) 0.5M ms L = 0.0*0 km (9) L = km ενώ σε μέσα γεωγραφικά πλάτη. Δημιουργείται παράθυρο για κάθε σεισμό του καταλόγου και ο πρώτος σεισμός του κάθε παραθύρου θεωρείται ως κύριος μόνο αν έχει το μεγαλύτερο μέγεθος. Ο μέγιστος μετασεισμός θα είναι το δεύτερο μεγαλύτερο μέγεθος του παραθύρου. 300 ζεύγη κύριος σεισμός-μεγαλύτερος μετασεισμός. max Υπολογισμός M = M ms M as και σ για διάφορα μεγέθη κατωφλίου, δηλ. κτλ. M 5( ),thres ms M ms M ms Για δεν διαφέρει thres σημαντικά από το. (κίτρινη περιοχή ), 5.7 M =. 0.4 M Εξέταση αν οι κατανομές που αντιστ. σε διαφορετικά ms thres διαφέρουν στατιστικά. Παραγωγή 0 δειγμάτων με 5 τιμές M από κατανομές με = 5.7 & M, 3 M 7. 7 ms,thres M = M ms M as Figure 6: and versus the (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) max M ms, thres 8
t-test για την διαφορά των μ.τ των δειγμάτων. 5% πιθανότητα τα δείγματα να προέρχονται από κατανομές με την ίδια μ.τ. Οι κατανομές των M δεν είναι εύκολο να διακριθούν από λίγα πειραματικά δεδομένα.. Zaliapin (Zaliapin et al (008), Clustering analysis of seismicity and aftershock identification, Phys. Rev. Lett., 0.) Για κάθε σεισμό i σε έναν κατάλογο, θεωρούμε: t χρόνος πραγματοποίησης, i i γεωγραφικό πλάτος σε rad, γεωγραφικό μήκος, m μέγεθος. Για ένα ζεύγος i,j ορίζεται η απόσταση: d: Fractal διάσταση επικέντρων Πλησιέστεροι γείτονες t ij : xρόνος μεταξύ σεισμών i i d bm i tij( rij) 0, tij > 0 n = (0) ij, tij < 0 b: παράμετρος Gutenberg-Richter Και rij = R E arccos(sini sin j cosi cos j cos( j i)) η επικεντρική απόσταση. 637km Ακτίνα Γης Για κάθε σεισμό j, πηγαίνοντας προς τα πίσω στο χρόνο, βρίσκουμε τον πλησιέστερο γείτονα i και την αντίστοιχη απόστασή τους n ij (η ελάχιστη). Πλησιέστερος γέιτονας=parent και μπορεί να είναι ο parent πολλών άλλων σεισμών=offsprings. Κανονικοποιούμε τις χωρικές και χρονικές αποστάσεις ως προς το μέγεθος (rescaled time and distance): b = =.6 qbm i d pbm i d p = 0.5 T ij = t 0 ; R = ( r ) 0 ; q p ij ij ij = () 9
Δίκορφη διδιάστατη κατανομή Κορυφή : Background γεγονότα (όπως σε διαδικασία Poisson) 5 Κορυφή : Clustered γεγονότα με n ij < 0 (πιο κοντά στο χώρο και τον χρόνο από ότι η διαδικασία 5 Poisson προτείνει). Δεν χρησιμ. όσα n ij > 0 Τα γεγονότα του καταλόγου χωρίζονται σε singles και families που συνδέονται με τα parents δεσμούς 5 n ij < 0. Το μεγαλύτερο μέγεθος σε μια family θεωρείται ο κύριος σεισμός, τα γεγονότα πριν ως προσεισμοί και τα γεγονότα μετά ως μετασεισμοί. 344 ζεύγη κύριος σεισμός-μετασεισμός=families. Figure 7: The joint probability density (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) Για M ms, thres 5.8 δεν διαφέρει σημαντικά από το. (κίτρινη περιοχή M =. 0.4) Πλατώ γιά M ms, thres [6.8,8.] όπου το M κυμαίνεται με σ=0.06 γύρω από την τιμή.9 ενώ για Shcherbakov M ms με σ=0.07 γύρω από το, thres [7.,8.].53. Figure 8 (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39)
Σύγκριση με το μοντέλο Figure 9: CDF Shcherbakov Figure 0: CDF Zaliapin (Papadopoulou et al Earthq Sci (06) 9(6):3 39) M 7.5 Θεωρούμε (κοντά στο 7 του Båth και μεγαλύτερο ή ίσο του 3 M M με 5.35) ms [0, M ) M,3 ] ( M Δύο γραμμικά fit στα διαστήματα και μέχρι το 90%. Λόγος κλίσεων: = 3.08 0.9 και =.0 0.06 αντίστοιχα. Αντικατάσταση στη σχέση (8):.30 και.3 αντίστοιχα M Αντικαθιστώντας τις πειραματικές τιμές στο μοντέλο που προτάθηκε με βάση τον φυσικό χρόνο, παίρνουμε τον νόμο του Båth! c M c
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ!