Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.

Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Έλα ζώκα εξεκεί ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν. Σε κηα ζηηγκή αζθείηαη πάλσ ηνπ κηα νξηδόληηα ζηαζεξή δύλακε F, όπσο ζην ζρήκα. i) Σε πνηα δηεύζπλζε ζα θηλεζεί ην ζώκα; ii) Η επηηάρπλζε πνπ ζα απνθηήζεη ην ζώκα ζα κεηαβάιιεη: i) Με βάζε ην ν λόκν ηνπ Νεύησλα F ma ην ζώκα ζα απνθηήζεη ζηαζεξή επηηάρπλζε ίδηαο δηεύζπλζεο κε ηε δύλακε. Αιιά ηόηε ην ζώκα ζα απνθηήζεη θαη ηαρύηεηα ζηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη ζα θηλεζεί επζύγξακκα κε ηαρύηεηα ην κέηξν ηεο νπνίαο ζα ππαθνύεη ζηελ εμίζσζε π=α t. ii) Από ηε ζηηγκή πνπ ε επηηάρπλζε θαη ε ηαρύηεηα, ηελ νπνία ζα απνθηήζεη ην ζώκα, ζα έρνπλ ηελ ίδηα θαηεύζπλζε, ζα αιιάδεη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο, αιιά όρη ε θαηεύζπλζή ηεο. Σσζηό ην α). Β) Έλα ζώκα κάδαο kg εξεκεί ζην θάησ άθξν λήκαηνο κήθνπο L=m, ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ έρεη δεζεί ζε ζηαζεξό ζεκείν Ο. Δθηξέπνπκε ην ζώκα ώζηε ην λήκα λα γίλεη νξηδόληην, όπσο ζην ζρήκα (ζέζε Α), θαη ην αθήλνπκε λα θηλεζεί. Γίλεηαη g=10m/s. F ά a a F F ά 1) Να ζρεδηάζεηε ηηο δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα, ακέζσο κόιηο α- θεζεί λα θηλεζεί, ζηε ζέζε Α θαη λα ππνινγηζηνύλ ηα κέηξα ηνπο. Οη δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα, είλαη ην βάξνο θαη ε ηάζε ηνπ λήκαηνο, όπσο εκθαλίδνληαη ζην δηπιαλό T ζρήκα. Γηα ηα κέηξα ηνπο έρνπκε: w w=mg= 10Ν=0Ν θαη T m 0 όπνπ ε ηάζε ηνπ λήκαηνο παίδεη ην ξόιν ηεο θεληξνκόινπ, αθνύ είλαη ε κνλαδηθή δύλακε πνπ έρεη ηε δηεύζπλζε ηεο αθηίλαο, ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο πνπ ζα δηαγξάςεη ην ζώκα. Αιιά ηε ζηηγκή πνπ αθήλεηαη ε ηαρύηεηα είλαη κεδεληθή ζπλεπώο θαη ην κέηξν ηεο ηάζεο είλαη επίζεο κεδεληθό. Σπκπέξαζκα; Σην ζώκα αζθείηαη κόλν ην βάξνο w!!! ) Να ππνινγίζηε ηελ επηηάρπλζε πνπ ζα απνθηήζεη ην ζώκα ζηε ζέζε Α. Η επηηάρπλζε απηή ζα κεηαβάιεη: www.likonet.gr 1

Δθαξκόδνληαο ην ν λόκν ηνπ Νεύησλα βξίζθνπκε: ΣF=mα mg=mα α= g=10m/s. Καηαθόξπθε κε θνξά πξνο ηα θάησ, ίδηα κε ην βάξνο. Η επηηάρπλζε απηή έρεη δηεύζπλζε εθαπηόκελε ζηελ θπθιηθή ηξνρηά, ζπλεπώο ίδηα δηεύζπλζε κε ηελ ηαρύηεηα. Απηό ζεκαίλεη όηη ζα κεηαβάιιεη κόλν ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο. Σσζηό ην α). 3) Μεηά από ιίγν ην ζώκα θηάλεη ζηελ αξρηθή ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ (ζέζε Γ κε θαηαθόξπθν λήκα), κε ηαρύηεηα κέηξνπ π 1. Να ηελ ζρεδηάζηε ζην ζρήκα. Τν κέηξν ηεο κπνξνύκε λα ην ππνινγίζνπκε: i) Φξεζηκνπνηώληαο ηνπο ηύπνπο ηεο νκαιήο θπθιηθήο θίλεζεο. ii) Δλεξγεηαθά, δειαδή κε ρξήζε ηνπ ζεσξήκαηνο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ή ηεο δηαηήξεζεο ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο. Να δηθαηνινγήζηε ηελ επηινγή ζαο. Η ηαρύηεηα π 1 ζηε ζέζε Γ είλαη νξηδόληηα, εθαπηόκελε ζηελ θπθιηθή ηξνρηά πνπ δηαγξάθεη ην ζώκα. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην κέηξν ηεο ζα πξέπεη λα δνπιέςνπκε ελεξγεηαθά, είηε κε ρξήζε ηνπ ζεσξήκαηνο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο είηε εθαξκόδνληαο ηελ δηαηήξεζε ηεο κεραληθήο ελέξγεηαο. Οη εμηζώζεηο θίλεζεο γηα ηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε, δελ κπνξνύλ λα εθαξκνζηνύλ, αθνύ ε θίλεζε δελ είλαη νκαιή θπθιηθή. Τν ζώκα δελ θηλείηαη κε ηαρύηεηα ζηαζεξνύ κέηξνπ. 4) Να ππνινγίζηε ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο π 1 ζηε ζέζε Γ. T a Καηά ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο ε κεραληθή ελέξγεηα δηαηεξείηαη, αθνύ ην βάξνο είλαη ζπληεξεηηθή δύλακε, ελώ ε ηάζε ηνπ λήκαηνο δελ παξάγεη έξγν, αθνύ είλαη δηαξθώο θάζεηε ζηε κεηαηόπηζε. Σπλεπώο, νξίδνληαο ην νξηδόληην επίπεδν πνπ w πεξλά από ην θαηώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο Γ, σο επίπεδν κεδεληθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο, έρνπκε: K U K U 1 0 mgl m1 0 1 gl 1 101,5m / s 5m / s 5) Να βξεζεί ε επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο ζηε ζέζε Γ. Η επηηάρπλζε απηή ζα κεηαβάιεη: Η επηηάρπλζε ζηε ζέζε απηή είλαη θεληξνκόινο κε θαηεύζπλζε πξνο ην θέληξν Ο ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο θαη κέηξν: a a 5 1,5 1 m / s 0m / s www.likonet.gr

Η επηηάρπλζε απηή είλαη θάζεηε ζηελ ηαρύηεηα θαη κεηαβάιιεη κόλν ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο θαη όρη ην κέηξν ηεο. Σσμπέρασμα: Η επηηάρπλζε ηζνύηαη κε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο: d a dt Αλ ε επηηάρπλζε έρεη ηελ ίδηα δηεύζπλζε κε ηελ ηαρύηεηα, ηόηε κεηαβάιιεη κόλν ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο. Έηζη ζην ζρήκα (1) ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο απμάλεηαη, ελώ ζην ζρήκα () κεηώλεηαη. a a a a a a a ( 1) () ( 3) (4) ( 4a) 1 Αλ ε επηηάρπλζε είλαη θάζεηε ζηελ ηαρύηεηα, ζρήκα (3), ηόηε κεηαβάιιεηαη κόλν ε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο, αιιά όρη ην κέηξν ηεο. Τέινο, αλ ην δηάλπζκα ηεο επηηάρπλζεο ζρεκαηίδεη θάπνηα άιιε γσλία κε ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο, λζρήκα (4), ζα πξνθαιεί κεηαβνιή ΚΑΙ ζην κέηξν ΚΑΙ ζηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο. Σην ζρήκα (4 α ) εύθνια κπνξείηε λα δείηε όηη ζηελ πεξίπησζε απηή ε επηηάρπλζε κπνξεί λα α- λαιπζεί ζε δπν ζπληζηώζεο, όπνπ ε ζπληζηώζα α 1 κεηαβάιιεη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο, ελώ ε ζπληζηώζα α ηελ δηεύζπλζή ηεο. 6) Να ππνινγηζηεί ε ηάζε ηνπ λήκαηνο ζηε ζέζε Γ. Από ην ν λόκν ηνπ Νεύησλα (ζεκειηώδε λόκν ηεο δπλακηθήο) παίξλνπκε: F ma Τ-w=m α κ Τ=mg+mα κ = 10Ν+ 0Ν=60Ν. 7) Σηε ζπλέρεηα ην ζώκα θηάλεη ζε κηα ζέζε Γ, όπνπ ην λήκα ζρεκαηίδεη κε ηελ θαηαθόξπθε γσλία ζ, ό- πνπ εκζ=0,6 θαη ζπλζ=0,8. Γηα ηε ζέζε απηή λα βξεζνύλ: i) Η ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο π. h w T w w Οξίδνληαο ην νξηδόληην επίπεδν πνπ πεξλά από ην ζεκείν ηεο ηξνρηάο Γ, σο επίπεδν κεδεληθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο, έρνπκε: K U K U 1 0 mgh m 0 gh Αιιά από ην ζρεκαηηδόκελν ηξίγσλν κε θάζεηε πιεπξά h θαη ππνηείλνπζα L έρνπκε: h h L νπόηε: L www.likonet.gr 3

ii) Η θεληξνκόινο επηηάρπλζε:. gh gl 101,50,8m / s 5m / s a 5 m / s 16m /. s 1,5 Με θαηεύζπλζε πξνο ην θέληξν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο Ο. iii) Πάξηε δύν θάζεηνπο άμνλεο, ν έλαο ζηε δηεύζπλζε ηεο αθηίλαο θαη ν άιινο ζηε δηεύζπλζε ηεο εθαπηόκελεο ζηε ζέζε Γ. Αλαιύζηε ηηο δπλάκεηο πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα πάλσ ζηνπο άμνλεο απηνύο θαη ζηε ζπλέρεηα: α) Υπνινγίζηε ηελ επηηάρπλζε ζηε δηεύζπλζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ. Τη κεηξάεη ε επηηάρπλζε απηή; β) Υπνινγίζηε ην κέηξν ηεο ηάζεο Τ ηνπ λήκαηνο. Σην παξαπάλσ ζρήκα έρνπλ ζρεδηαζηεί ην βάξνο θαη ε ηάζε ηνπ λήκαηνο Τ πνπ αζθνύληαη ζην ζώκα. Αλαιύνπκε ην βάξνο ζε δπν ζπληζηώζεο w =mg ημθ= 10 0,6Ν=1Ν και w =mg συνθ= 10 0,8Ν=16Ν. a Δθαξκόδνληαο ηώξα ην ν λόκν ηνπ Νεύησλα ζηνπο δπν άμνλεο έρνπκε: ΣF =m α w =m α a w m 1 6m / s, Με δηεύζπλζε ηε δηεύζπλζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ, ίδηα κε ηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο, αιιά κε αληίζεηε από ηε θνξά ηεο ηαρύηεηαο. Σπλεπώο ε επηηάρπλζε απηή κεηαβάιιεη ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο. Σηελ πεξίπησζή καο δε, επεηδή έρεη αληίζεηε θνξά, ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο κεηώλεηαη (επηβξαδπλόκελε θίλεζε) Η ζπληζηώζα απηή ηεο επηηάρπλζεο, νλνκάδεηαη επιτρόχια επιτάχυνση (α ε ) θαη ηζνύηαη κε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο. β) Σηε δηεύζπλζε ηεο αθηίλαο: ΣF =m α Τ -w =m α Όπνπ α =α θ ε γλσζηή καο θεληξνκόινο επηηάρπλζε. Έηζη: Τ =w +m α κ =16Ν+ 16Ν=48Ν a Σσμπέρασμα: a a a F Σε θάζε θακππιόγξακκε θίλεζε, ε ηαρύηεηα είλαη εθαπηόκελε ζηελ ηξνρηά ζε θάζε ζεκείν (ζθεθηείηε νξηδόληηα βνιή ή θπθιηθή θίλεζε). Η επηηάρπλζε όκσο έρεη ηελ θαηεύζπλζε ηεο ζπληζηακέλεο δύλακεο θαη θαηεπζύλεηαη πάληα πξνο ην εζσηεξηθό κέξνο ηεο ηξνρηάο. Η επηηάρπλζε απηή, κπνξεί λα αλαιπζεί ζε δπν ζπληζηώζεο. Μία, ζηε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο, ε νπνία νλνκάδεηαη επιτρότια επιτάτσνση θαη ε ν- www.likonet.gr 4

πνία επζύλεηαη γηα ηελ αιιαγή ηνπ κέηξνπ ηεο ηαρύηεηαο θαη κία θάζεηε ζηελ ηαρύηεηα, ε νπνία νλνκάδεηαη κεντρομόλος επιτάτσνση, ε νπνία πξνθαιεί κεηαβνιή ζηελ δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο. dmargaris@gmail.com www.likonet.gr 5