Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 α) p q r (p s) ((s t) t) 1. p q r προϋπόθεση 2. p s προσωρινή υπόθεση 3. s t προσωρινή υπόθεση 4. p e 1 5. s ΜP 2,4 6. t ΜP 3,5 7. (s t) t i 3, 6 8. (p s) ((s t) t) i 2, 7 β) p (q r) (q r), s, s p, t q, u t, u r q r 1. p (q r) (q r) προϋπόθεση 2. s προϋπόθεση 3. s p προϋπόθεση 4. t q προϋπόθεση 5. u t προϋπόθεση 6. u r προϋπόθεση 7. p MP 3, 2 8. (q r) (q r) MP 1 9. (q r) e 1 8 10. q προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 11. r προσωρινή υπόθεση r i 10 12. q r i 10,11 u MT 6, 11 13. (q r) e 8 u e 12 14. e 13,12 t MP 5,13 15. r i 11-14 q MP 4,14 16. q r i 10,11 q r i 10,16 17. (q r) e 8 18. e 23,24 19. q r e 18 20. q r e 9, 10-19
γ) p (q 1 q 2 ), q 1 q 2 p 1. p (q 1 q 2 ) προϋπόθεση 2. q 1 q 2 προϋπόθεση 3. p προσωρινή υπόθεση 4. q 1 q 2 MP 1,3 5. q 1 προσωρινή υπόθεση q 2 προσωρινή υπόθεση 6. q 1 e 2 q 2 e 2 7. e 5,6 e 5,6 8. e 4, 5-7 9. p i 3-8 δ) r (q p) r (p q) 1. r (q p) προϋπόθεση 2. r r LEM 3. r προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 4. r (p q) i 4 q p MP 1,3 5. p προσωρινή υπόθεση 6. p e 4 7. e 5,6 8. q e 7 9. p q i 5-8 10. r (p q) i 9 11. r (p q) e 2, 3-10
Άσκηση 2 α) p q r (p s) (s t) Η συνεπαγωγή είναι ορθή αν η πρόταση (p s) (s t) είναι ορθή σε κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας που ικανοποιείται η προϋπόθεση p q r. Προσέξτε ότι το r δεν επηρεάζει την πρόταση μας και ότι για να ικανοποιείται η προϋπόθεση μας πρέπει να είναι True. Επομένως λαμβάνουμε υπόψη μόνο τις περιπτώσεις που το r είναι True. p q s t p q r p s s t (p s) (s t) T T T T T T T T T T T F T T F F T T F T T F T T T T F F T F T T T F T T F T T T T F T F F T F F T F F T F F T T T F F F F F T T F T T T F T T T F T T F F T F F F T F T F T T T F T F F F T T T F F T T F T T T F F T F F T F F F F F T F T T T F F F F F T T T Ο πιο πάνω πίνακας παρουσιάζει τον πίνακα αληθείας της προϋπόθεσης και του συμπεράσματος του σημασιολογικού επακόλουθου. Παρατηρούμε ότι σε μια από αυτές τις γραμμές, το συμπέρασμα παίρνει την τιμή False (ενώ η προϋπόθεση είναι True). Συνεπώς, η συνεπαγωγή δεν είναι ορθή. β) (p q) r, r p, q (p r) r q Η συνεπαγωγή είναι ορθή αν η πρόταση r q είναι ορθή σε κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας που ικανοποιούνται οι τρεις προϋποθέσεις (p q) r, r p και q (p r).
p q r p q (p q) r r p q (p r) r q T T T T F T T T T T F T T F T T T F T T F T T T T F F T T F T F F T T T F T T T F T F T T T T T F F T F F T T T F F F F F T T F Από τον πίνακα αλήθειας προκύπτει ότι η συνεπαγωγή είναι ορθή Άσκηση 3 α) Σύνολο { } Για να δείξουμε ότι το σύνολο τελεστών { } είναι επαρκές αρκεί να δείξουμε ότι οι τελεστές,,, και μπορούν να αντικατασταθούν μέσω ισοδύναμων προτάσεων που χρησιμοποιούν μόνο τελεστές από το σύνολο. Οι ζητούμενες ισοδυναμίες είναι: 1. p p p 2. p q ( p q) (p q) (p q) 3. p q ( p q) (p p) (q q) (p p) (q q) (p p) (q q) (p p) (q q) 4. p q p q (p q) p (q q) p (q q) p (q q) p (q q) Ισοδυναμία 1: Ισοδυναμία 2: p p p q p q p q (p q) (p q) T T F F F T Ισοδυναμία 3: p q p p q q (p p) (q q) (p p) (q q) (p p) (q q) T T F T T F T F F T T F F F T F (p p) (q q) (p p) (q q) (p p) (q q) (p p) (q q) T T F F T F T T F F T T F T F T T F T F T F F T T F T F
Ισοδυναμία 4: p q q q p (q q) p (q q) p (q q) p (q q) p (q q) p (q q) p (q q) T T F T F T T F T F T F F T F T F T F F T T F T (β) Θα αποδείξουμε ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε τον τελεστή χρησιμοποιώντας τους τελεστές,. Συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι οποιαδήποτε πρόταση φ που περιέχει μια ατομική πρόταση p και τους τελεστές, είναι τέτοια ώστε αν [[p]] = T τότε [[φ]] = Τ. Επομένως φ p. H απόδειξη γίνεται με επαγωγή στον αριθμό των τελεστών της πρότασης φ. - Αν ο αριθμός των τελεστών της φ είναι 0, τότε φ = p και προφανώς φ p. - Έστω ότι η πρόταση ισχύει για κάθε πρόταση με λιγότερους από k τελεστές. - Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση φ έχει ακριβώς k τελεστές. Υπάρχουν οι ακόλουθες περιπτώσεις. φ = φ 1 φ 2. Ισχύει ότι οι προτάσεις φ 1 και φ 2 έχουν λιγότερους από k τελεστές, επομένως, από την υπόθεση της επαγωγής, για [[p]] = T, [[φ 1 ]] = T και [[φ 2 ]] = T. Συνεπώς, [[φ]] = Τ Τ = Τ. φ = φ 1 φ 2. Ισχύει ότι οι προτάσεις φ 1 και φ 2 έχουν λιγότερους από k τελεστές, επομένως, από την υπόθεση της επαγωγής, για [[p]] = T, [[φ 1 ]] = T και [[φ 2 ]] = T. Συνεπώς, [[φ]] = Τ Τ = Τ. Το ζητούμενο έπεται. Άσκηση 4 α) (s p) (p q s r) (p s q) (T s) Βήμα 1 Μάρκαρε όλα τα s ( s p) (p q s r) (p s q) (T s ) Βήμα 2 Μάρκαρε όλα τα p ( s p ) ( p q s r) ( p s q) (T s ) Βήμα 3 Μάρκαρε όλα τα q ( s p ) ( p q s r) ( p s q ) (T s ) Βήμα 4 Μάρκαρε όλα τα r ( s p ) ( p q s r ) ( p s q ) (T s ) Βήμα 5 Επέστρεψε ότι η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη.
Ανάθεση τιμών: Αφού έχουν μαρκαριστεί όλες οι ατομικές προτάσεις, η ανάθεση τιμών που προκύπτει από την εκτέλεση του αλγόριθμο είναι η [[s]] = [[p]] = [[q]] = [[r]] = Τ β) (p q s ) (s p) (T s) (p s q) Βήμα 1 Μάρκαρε όλα τα s (p q s ) ( s p) (T s ) (p s q) Βήμα 2 Μάρκαρε όλα τα p ( p q s ) ( s p ) (T s ) ( p s q) Βήμα 3 Μάρκαρε όλα τα q ( p q s ) ( s p ) (T s ) ( p s q ) Βήμα 4 Επέστρεψε ότι η πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη. Άσκηση 5 Κανόνας εισαγωγής: (,, ) ifelse i Κανόνες εξαγωγής:, (,, ) ifelse e 1, (,, ) ifelse e 3 Ακολουθεί η απόδειξη του ζητούμενου επακόλουθου: s, q, ifelse(p, q r, s r) r 1. s προϋπόθεση 2. q προϋπόθεση 3. ifelse(p, q r, s r) προϋπόθεση 4. q r προσωρινή υπόθεση 5. q e 4 6. e 23,24 7. (q r) i 4-6, (,, ), (,, ) ifelse e 2 ifelse e 4
8. p ifelse e 3 3,7 9. s r ifelse e 2 3,8 10. s προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 11. e 1,10 12. r e 11 13. r e 9, 10-12 Άσκηση 7 φ = [((p q) r) (r s)] ( t s) Impl_Free(φ) = Impl_Free(((p q) r) (r s)) Impl_Free ( t s) = [Impl_Free((p q) r) Impl_Free(r s)] ( Impl_Free( t) Impl_Free(s)) = [ Impl_Free(p q) Impl_Free(r) Impl_Free(r) Impl_Free( s)] ( t s) = [ (Impl_Free(p) Impl_Free(q)) r r s] ( t s) = [ (p q) r r s] ( t s) NNF( ( (p q) r r s) ( t s)) = NNF( ( (p q) r r s)) (NNF( t) NNF(s)) = NNF( (p q) r r s)) (NNF(t) s) = [NNF( (p q)) NNF( r) NNF( r) NNF( s)] (t s) = [NNF(p q) r NNF(r) NNF(s)] (t s) = [NNF(p) NNF(q) r r s] (t s) =(p q r r s) (t s) CNF_rec((p q r r s) (t s)) = Distr(CNF_rec(p q r r s), CNF_rec(t s)) =Distr((CNF_rec(p) CNF_rec(q) CNF_rec( r) CNF_rec(r) CNF_rec(s)), Distr(CNF_rec(t), CNF_rec(s)) = Distr((p q r r s), Distr(t, s)) = Distr((p q r r s), t s) = Distr(p, t s) Distr(q, t s) Distr( r, t s) Distr(r, t s) Distr(s, t s) = (p t s) (q t s) ( r t s) (r t s) (s t s) Η πρόταση δεν είναι έγκυρη.