Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Ε Σ Τ Ρ Ο Χ Ι Ε Σ Τ Ε Χ Ν Η Τ Ω Ν Δ Ο Ρ Υ Φ Ο Ρ Ω Ν Σ Τ Ο Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Δ Υ Ν Α Μ Ι Κ Ο Τ Η Σ Γ Η Σ

ΣΤΕΛΛΑ ΤΖΙΡΤΗ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΠΘ Π Ε Ρ Ι Ο Δ Ι Κ Ε Σ Τ Ρ Ο Χ Ι Ε Σ Τ Ε Χ Ν Η Τ Ω Ν Δ Ο Ρ Υ Φ Ο Ρ Ω Ν Σ Τ Ο Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Δ Υ Ν Α Μ Ι Κ Ο Τ Η Σ Γ Η Σ ΠΜΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: Χ ΒΑΡΒΟΓΛΗΣ - Κ ΤΣΙΓΑΝΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 007

Περιεχόμενα σελ Πρόλογος Εισαγωγή 3 Κεφάλαιο 1 4 Κεφάλαιο : Τροχιές Δορυφόρων 10 Κεφάλαιο 3: Εξισώσεις κίνησης και αριθμητική επίλυση 8 Κεφάλαιο 4: Αποτελέσματα 48 Κεφάλαιο 5: Συμπεράσματα 80 Παράρτημα 8 Βιβλιογραφία 9 1

Πρόλογος Στόχος αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της συμπεριφοράς των τροχιών με παγωμένη τιμή της κλίσης (frozen inclination orbits), των τροχιών δηλαδή που η επίδραση του ισημερινού εξογκώματος της Γης δεν μετακινεί το περίκεντρό τους Πιο συγκεκριμένα, επιλέγονται οι τροχιές τύπου Molniya και Tundra, που βρίσκονται κοντά στον ακριβή συντονισμό 1: και 1:1 με την περίοδο περιστροφής της Γης, αντίστοιχα Το ζητούμενο είναι να εξετάσουμε τη συμπεριφορά των τροχιών αυτών υπό την επίδραση του πραγματικού δυναμικού της Γης, του δυναμικού δηλαδή που πέρα από τον όρο 1/r περιλαμβάνει και όρους διαταραχής Οι όροι αυτοί περιγράφουν την ανομοιογένεια στην κατανομή μάζας της Γης και τις αποκλίσεις από το σφαιρικό σχήμα Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: στην πρώτη λαμβάνουμε υπ όψη μόνο τον όρο που περιγράφει το ισημερινό εξόγκωμα της Γης, ενώ στη δεύτερη περιλαμβάνουμε στην έκφραση του δυναμικού και κάποιους επιπλέον όρους Ο διαχωρισμός αυτός έχει νόημα, μιας και το εξόγκωμα κατά μήκος του ισημερινού είναι η σημαντικότερη απόκλιση, σε πρώτη προσέγγιση, από το σφαιρικό σχήμα της Γης Σε κάθε περίπτωση, αναλύονται οι τιμές των στοιχείων της τροχιάς, για μια σειρά τροχιών οι οποίες διαφέρουν κατά το μεγάλο ημιάξονα και εξετάζεται η συμπεριφορά τους Οι επιδράσεις της Σελήνης και του Ήλιου στα στοιχεία της τροχιάς δεν θα συμπεριληφθούν στη μελέτη, αν και σε τροχιές σε σχετικά μεγάλο ύψος, όπως οι τροχιές τύπου Tundra, μπορεί να είναι εξίσου σημαντικές με τον σημαντικότερο όρο διαταραχής Ακόμη, δεν θα ασχοληθούμε καθόλου με την επίδραση της γήινης ατμόσφαιρας, παρ όλο που το περίκεντρο των τροχιών με μεγάλη εκκεντρότητα (πχ 07) είναι σε τέτοιο ύψος από την επιφάνεια της Γης που θα μπορούσε να τις επηρεάσει Έτσι λοιπόν, στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται τα συστήματα αναφοράς τα οποία θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια και δίνονται περιληπτικά τα χαρακτηριστικά των αδιατάρακτων τροχιών (τύπου Kepler) Επιπλέον, αφού αναφερθούν συνοπτικά οι κατηγορίες των διαταραχών που μπορούν να επηρεάσουν την κίνηση ενός δορυφόρου, δίνεται έμφαση στις διαταραχές εξαιτίας της ανομοιογένειας της Γης και την έκφραση του δυναμικού που τις περιγράφει Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναφέρονται τα βασικά είδη των τροχιών, τα χαρακτηριστικά και η χρησιμότητά τους Σε κάθε περίπτωση παρουσιάζονται τα σχετικά ίχνη τους στην επιφάνεια της Γης Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται, στα διάφορα συστήματα αναφοράς και συντεταγμένων, οι εξισώσεις κίνησης ενός δορυφόρου υπό την επίδραση του διαταραγμένου δυναμικού της Γης Στη συνέχεια περιγράφεται η διαδικασία που ακολουθείται για την αριθμητική επίλυσή τους και ο τρόπος επεξεργασίας των αποτελεσμάτων Τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των δεδομένων παρουσιάζονται στο κεφάλαιο τέσσερα, ενώ στο τελευταίο κεφάλαιο αναφέρονται τα συμπεράσματα τα οποία προέκυψαν από αυτήν Τέλος, στο παράρτημα παρατίθεται ο κώδικας σε Fortran 90 που χρησιμοποιήθηκε για να ληφθούν τα δεδομένα μας

Εισαγωγή Αν και το πρώτο διαστημόπλοιο εκτοξεύτηκε το 1957, η μελέτη των τροχιών των δορυφόρων είχε ήδη ξεκινήσει δύο αιώνες νωρίτερα Ξεκινώντας από τον Newton και το νόμο της βαρύτητας, οι επιστήμονες προσπαθούσαν συνεχώς να αναπτύξουν και να τελειοποιήσουν αναλυτικές θεωρίες που θα περιέγραφαν την κίνηση του μοναδικού φυσικού δορυφόρου της Γης, της Σελήνης Σήμερα, αρκετές χιλιάδες τεχνητών δορυφόρων βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τη Γη, μαζί με αναρίθμητα διαστημικά σκουπίδια Ο λόγος της ύπαρξής τους δεν οφείλεται μόνο στην επιθυμία των ανθρώπων να ξεφύγουν από τη δισδιάστατη επιφάνεια της Γης Σε πολλές περιπτώσεις, οι τεχνητοί δορυφόροι είναι ο μόνος διαθέσιμος τρόπος για να μελετήσουμε πχ τα φαινόμενα της ανώτερης ατμόσφαιρας ή να πάρουμε εικόνες του διαστήματος σε οποιοδήποτε μήκος κύματος, χωρίς την παρεμβολή και τις ανεπιθύμητες συνέπειες της ατμόσφαιρας Άλλωστε, η φύση των πραγμάτων είναι αυτή που απαιτεί την απομάκρυνση από την επιφάνεια της Γης για τη συλλογή εικόνων μεγάλης κλίμακας ή για την παγκόσμια κάλυψη των δικτύων επικοινωνίας Τέλος, ομάδες δορυφόρων, σε παρόμοιες αλλά κατάλληλα μετατοπισμένες τροχιές, παρέχουν τα μέσα για ακριβή προσδιορισμό της θέσης, αλλά και την πλοήγηση αεροσκαφών σε όλο τον κόσμο Ένα ευρέως γνωστό παράδειγμα είναι το σύστημα GPS, το οποίο επιτρέπει στους χρήστες του να καθορίσουν με μεγάλη ακρίβεια τη θέση τους, μετρώντας τις καθυστερήσεις στα σήματα που λαμβάνονται από τουλάχιστον τέσσερις δορυφόρους Το σύστημα GPS αποτελείται από 4 συνολικά δορυφόρους σε έξι τροχιακά επίπεδα, με κλίση 55 ο ως προς το ισημερινό επίπεδο Πέρα από τη Γη, οι τεχνητοί δορυφόροι έχουν συμβάλει σημαντικά στην εξερεύνηση άλλων σωμάτων του ηλιακού μας συστήματος Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, η αποστολή Μαγγελάνος χαρτογράφησε με υψηλή ανάλυση την επιφάνεια της Αφροδίτης, αποδεικνύοντας ότι ένας πλανήτης με μέγεθος παρόμοιο με της Γης μπορεί να έχει τελείως διαφορετική γεωλογική εξέλιξη Πολλές αποστολές στη Σελήνη, αποκάλυψαν νέα στοιχεία γι αυτήν Για παράδειγμα, το διαστημόπλοιο Lunar Prospector ανίχνευσε μια ασθενή μαγνητόσφαιρα Ακόμη, οι αποστολές Mars Pathfinder και Mars Global Surveyor συνεισέφεραν σημαντικά στην κατανόηση του Άρη, ιδιαίτερα όσον αφορά στην ύπαρξη τεράστιων δεξαμενών νερού στο παρελθόν Η ακριβής γνώση της τροχιάς του δορυφόρου ανά πάσα στιγμή είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό των φυσικών ποσοτήτων που καθορίζουν την κίνηση Το κατά πόσο τα υπολογιζόμενα χαρακτηριστικά της τροχιάς διαφέρουν από τα πραγματικά, εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το μοντέλο βαρύτητας που χρησιμοποιούμε Για το λόγο αυτό, είναι αναγκαίο να συμπεριλάβουμε στις εκφράσεις οι οποίες περιγράφουν το βαρυτικό πεδίο του σώματος που μας ενδιαφέρει, επιπλέον όρους διαταραχών Έτσι, όπως θα δούμε και εδώ, ξεκινώντας από την κλασική έκφραση του δυναμικού, επιβάλουμε διαταραχές και εξετάζουμε την εξέλιξη των τροχιών σε κάθε περίπτωση Εφόσον οι τιμές των όρων διαταραχής δεν είναι γνωστές, μπορούμε να τις προσδιορίσουμε από παρατηρήσεις του εύρους μεταβολής και της συχνότητας του μεγέθους που μας ενδιαφέρει Σκοπός μας είναι να κατανοήσουμε τις μεταβολές που προκαλούν οι διάφοροι όροι διαταραχής και να εφαρμόσουμε αντίστοιχες μεθόδους σε άλλα ουράνια σώματα με λιγότερες ή πιο αβέβαιες παρατηρήσεις (ή ακόμα και με μεταβλητές τιμές των όρων διαραραχής) 3

1 Συστήματα αναφοράς και συστήματα συντεταγμένων Ξεκινώντας με τα συστήματα αναφοράς, θα θεωρήσουμε ένα αδρανειακό σύστημα με αρχή το κέντρο μάζας της Γης Στο γεωκεντρικό αυτό σύστημα (τα μεγέθη θα συμβολίζονται με μικρά γράμματα), ο άξονας z θα συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής της Γης, και το επίπεδο x-y με το ισημερινό επίπεδο Ο άξονας x έχει κατεύθυνση τέτοια, ώστε να δείχνει το εαρινό ισημερινό σημείο Η κατεύθυνση του άξονα y είναι αυτή που απαιτείται για να σχηματιστεί από τους τρεις άξονες ένα ορθοκανονικό, δεξιόστροφο σύστημα Στην ουσία βέβαια, το σύστημα αυτό δεν είναι απολύτως αδρανειακό, αλλά οι επιταχύνσεις που δέχεται κατά την περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι τόσο μικρές, ώστε μπορούμε να το θεωρήσουμε προσεγγιστικά αδρανειακό, τουλάχιστον για μερικές περιφορές του δορυφόρου Για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα, η προσέγγιση αυτή ισχύει μόνο για χαμηλά ύψη Η μεταπτωτική κίνηση του άξονα περιστροφής της Γης εξαιτίας των δυνάμεων που δέχεται από τον Ήλιο και τη Σελήνη, αλλά και η κίνηση του επιπέδου της εκλειπτικής (ως προς το πραγματικό ουράνιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς) που προκαλείται από το ελκτικό πεδίο των πλανητών, έχουν σαν αποτέλεσμα την αργή κίνηση του συστήματος αυτού ως προς τα αστέρια Έτσι, για να είμαστε πιο ακριβείς ορίζουμε το σύστημα αναφοράς για μια συγκεκριμένη ημερομηνία, πχ για την 1 η Ιανουαρίου του έτους 000 Το μη αδρανειακό σύστημα που θα χρησιμοποιήσουμε (τα μεγέθη θα συμβολίζονται με μικρά τονούμενα γράμματα), ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και το αδρανειακό που περιγράψαμε παραπάνω, με τη διαφορά ότι περιστρέφεται μαζί με τη Γη Για t =0 θεωρούμε ότι τα δύο συστήματα αναφοράς συμπίπτουν Για t>0, ενώ οι άξονες z και z συνεχίζουν να ταυτίζονται, οι άξονες x και y έχουν περιστραφεί ως προς τους x και y κατά γωνία n earth t, όπου n earth η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης Όσον αφορά στα συστήματα συντεταγμένων, εκτός από τις καρτεσιανές θα χρησιμοποιήσουμε τις σφαιρικές (r, θ, φ) και τις γεωγραφικές συντεταγμένες (r Γ, φ Γ, λ Γ ) Στις σφαιρικές συντεταγμένες, το r συμβολίζει το διάνυσμα θέσης με αρχή το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων και πέρας το δορυφόρο, το θ τη γωνία η οποία μετράται από τη θετική φορά του άξονα z ως το διάνυσμα θέσης και το φ τη γωνία που σχηματίζεται από τον άξονα x ως την προβολή του διανύσματος θέσης στο επίπεδο x-y, με φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού Σχήμα 1: Ορισμός των σφαιρικών συντεταγμένων 4

Στις γεωγραφικές συντεταγμένες τώρα, το r Γ ορίζεται όπως το r, ενώ τα λ Γ και φ Γ συμβολίζουν το γεωγραφικό μήκος και πλάτος, αντίστοιχα Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=0, ο μεσημβρινός του Greenwich είναι πάνω στον άξονα x του αδρανειακού συστήματος αναφοράς, ενώ για t>0 έχει περιστραφεί κατά γωνία n earth t Το γεωγραφικό σύστημα συντεταγμένων έχει νόημα μόνο στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς μιας και ορίζεται πάνω στην περιστρεφόμενη Γη Σχήμα : Ορισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων Ακόμη θα χρησιμοποιήσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο της τροχιάς (με κεφαλαία γράμματα) Χ, Υ, Ζ Το κέντρο του συστήματος αυτού είναι το κέντρο της τροχιάς, ενώ το επίπεδο Χ-Υ συμπίπτει με το επίπεδο της τροχιάς Ο άξονας Ζ είναι κάθετος στο επίπεδο αυτό και παράλληλος με το διάνυσμα της στροφορμής h O άξονας Χ κατευθύνεται προς το περίκεντρο και ο Υ έχει τέτοια κατεύθυνση ώστε να σχηματίζεται ένα δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα Στο παρακάτω σχήμα, το επίπεδο της τροχιάς Χ-Υ έχει κλίση i ως προς το ισημερινό επίπεδο x-y Τα δύο επίπεδα τέμνονται στην γραμμή των συνδέσμων Το σημείο τομής από το οποίο το σώμα περνάει για πρώτη φορά σε θετικές τιμές του άξονα z ονομάζεται αναβιβάζων σύνδεσμος, ενώ το αντιδιαμετρικό του σημείο ονομάζεται καταβιβάζων σύνδεσμος H γωνία Ω ανάμεσα στον άξονα x και τη γραμμή των συνδέσμων ονομάζεται μήκος ή ορθή αναφορά του αναβιβάζοντος συνδέσμου Επίσης, η γωνία ω που σχηματίζει το ακτινικό διάνυσμα r p του περικέντρου με τη γραμμή των συνδέσμων καλείται γωνία του περικέντρου Στις αδιατάρακτες τροχιές, στις οποίες τα Ω, ω και i διατηρούνται σταθερά με το πέρασμα του χρόνου, το σύστημα του επιπέδου της τροχιάς μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά αδρανειακό Όταν υπάρχουν όμως διαταραχές, τα στοιχεία αυτά μπορεί να μεταβάλλονται με το χρόνο, οπότε η κλίση του επιπέδου της τροχιάς ή η διεύθυνση του άξονα των X δεν είναι σταθερά και επομένως το σύστημα αυτό δεν μπορεί να θεωρηθεί αδρανειακό 5

Σχήμα 3: Ορισμός του επιπέδου της τροχιάς και των στοιχείων που καθορίζουν τον προσανατολισμό της Νόμοι και εξίσωση του Kepler Οι τρεις νόμοι του Kepler είναι οι εξής: 1 Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι έλλειψη, με τον Ήλιο να βρίσκεται στη μία εστία της έλλειψης Το ακτινικό διάνυσμα με αρχή τον Ήλιο και πέρας τον κάθε πλανήτη, διαγράφει σε ίσους χρόνους ίσα εμβαδά (η εμβαδική ταχύτητα είναι σταθερή) 3 Το τετράγωνο της περιόδου περιφοράς Τ ενός πλανήτη είναι ανάλογο της τρίτης δύναμης του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς του α: 4π 3 T = α, (1) μ όπου μ = G M (M η μάζα του σώματος που βρίσκεται στη μία εστία της έλλειψης) Ορίζοντας την μέση κίνηση n = π/τ, ο τρίτος νόμος του Kepler παίρνει τη μορφή: n a 3 = μ () Οι τροχιές τύπου Kepler, ανάλογα με τις τιμές του μεγάλου ημιάξονα α, της εκκεντρότητας e και της ενέργειας χωρίζονται σε κύκλους, ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές Εμείς θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με τις ελλειπτικές τροχιές, οι οποίες, εφόσον δεν λαμβάνουμε υπ όψη τις διάφορες διαταραχές, είναι κλειστές Για κάποια δεδομένη χρονική στιγμή, μπορούμε να προσδιορίσουμε πλήρως τη θέση ενός αντικειμένου σε οποιαδήποτε τροχιά τύπου Kepler με δύο τρόπους: είτε δίνοντας το διάνυσμα θέσης και το διάνυσμα ταχύτητας είτε τα στοιχεία α, e, i, Ω, ω και Μ Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται στοιχεία της τροχιάς Τα πρώτα πέντε από αυτά έχουν οριστεί παραπάνω Το έκτο ονομάζεται μέση ανωμαλία και ορίζεται από τη σχέση Μ = n (t - to) (3) 6

Το to ονομάζεται χρόνος διάβασης του περικέντρου και είναι η χρονική στιγμή κατά την οποία ο δορυφόρος περνάει από το περίκεντρο της τροχιάς του Τα στοιχεία α και e προσδιορίζουν το σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς, ενώ τα i, Ω και ω καθορίζουν τον προσανατολισμό της Για να προσδιοριστεί όμως η ακριβής θέση του δορυφόρου στο χώρο απαιτείται και η τιμή της μέσης ανωμαλίας Μ Αντί της Μ μπορεί να χρησιμοποιηθεί η αληθής ανωμαλία v, η οποία ορίζεται με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος Στο ίδιο σχήμα ορίζεται και η έκκεντρη ανωμαλία Ε Σχήμα 4: Ορισμός της έκκεντρης και της αληθούς ανωμαλίας Στις αδιατάρακτες τροχιές, οι τιμές των α, e, i, Ω και ω παραμένουν σταθερές, ενώ οι τιμές των παραμέτρων Μ, v και Ε, οι οποίες σχετίζονται με τη θέση του δορυφόρου, μεταβάλλονται με το χρόνο Γνωρίζοντας την έκκεντρη ανωμαλία, μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο που έχει περάσει από τη στιγμή που ο δορυφόρος πέρασε από το περίκεντρο Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση Μ = Ε e sinε, (4) η οποία ονομάζεται εξίσωση του Kepler To αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή η εύρεση της έκκεντρης ανωμαλίας για οποιαδήποτε χρονική στιγμή, δεν επιδέχεται αναλυτική λύση σε κλειστή μορφή, αλλά επιλύεται εύκολα με τη χρήση αριθμητικών μεθόδων Μια χρήσιμη εξίσωση ακόμη, είναι η r = α (1 e cose), (5) η οποία συνδέει την απόσταση του δορυφόρου από την κύρια εστία με την έκκεντρη ανωμαλία, την εκκεντρότητα και το μεγάλο ημιάξονα της τροχιάς 7

Διαταραγμένες τροχιές Οι τροχιές που υπολογίζονται θεωρώντας ότι ασκείται στους δορυφόρους μόνο η βαρυτική έλξη της Γης αποτελούν μια εξιδανίκευση Στην πραγματικότητα ασκούνται επιπρόσθετες δυνάμεις, οι οποίες πρέπει να ληφθούν υπ όψη μιας και μεταβάλλουν, ανάλογα με την περίπτωση, κάποια από τα στοιχεία της τροχιάς Μία από τις πιο σημαντικές διαταρακτικές δυνάμεις προκαλείται από την ανομοιογένεια της Γης Η Γη δεν έχει απόλυτα σφαιρικό σχήμα, αλλά ούτε και ομοιόμορφη κατανομή μάζας Το γεγονός αυτό δημιουργεί διαταραχές στην κίνηση των δορυφόρων, με αποτέλεσμα να μεταβάλλονται τα στοιχεία της τροχιάς Διαταρακτικές δυνάμεις βαρυτικής φύσεως ασκούνται και εξαιτίας του Ήλιου, της Σελήνης και των υπόλοιπων σωμάτων του Ηλιακού Συστήματος Οι δυνάμεις αυτές γίνονται σημαντικές στις περιπτώσεις τροχιών που βρίσκονται σε μεγάλο ύψος, όπως οι γεωστατικές Η συνεισφορά τους έγκειται κυρίως στη μεταβολή της κλίσης των τροχιών Οι παραπάνω δυνάμεις, οι οποίες πηγάζουν από το βαρυτικό πεδίο των σωμάτων, είναι συντηρητικές Στις μη συντηρητικές δυνάμεις συγκαταλέγεται η πίεση της ηλιακής ακτινοβολίας, η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπ όψη στους δορυφόρους με μεγάλη επιφάνεια Η δύναμη αυτή προκαλεί αλλαγή στην εκκεντρότητα των γεωστατικών τροχιών Μη συντηρητική δύναμη είναι και η αεροδυναμική τριβή Η τελευταία γίνεται σημαντική στις τροχιές χαμηλού ύψους και τείνει να μειώνει την τιμή του μεγάλου ημιάξονα και να κυκλοποιεί την τροχιά Το διαταραγμένο δυναμικό της Γης Για να συμπεριλάβουμε στη μελέτη μας το πεπλατυσμένο σχήμα της Γης και την ανομοιογενή κατανομή της μάζας, θα πρέπει να προσθέσουμε στο δυναμικό U(r) = -μ/r και κάποιους ακόμη όρους οι οποίοι θα περιγράφουν τους παράγοντες αυτούς Το δυναμικό U, γραμμένο σε γεωγραφικές συντεταγμένες, παίρνει τη μορφή U(r Γ, φ Γ, λ Γ ) = -μ/r Γ +B(r Γ, φ Γ, λ Γ ), (6) όπου το B(r Γ, φ Γ, λ Γ ) είναι κατάλληλο ανάπτυγμα σε σφαιρικές αρμονικές που διορθώνει την μη συμμετρική κατανομή μάζας της Γης Συμβολίζοντας με R e τη μέση ισημερινή ακτίνα της Γης και με r την γεωκεντρική απόσταση ενός οποιουδήποτε σημείου Ρ έξω από αυτήν, το B(r Γ, φ Γ, λ Γ ) έχει τη μορφή n μ Re B(r Γ, φ Γ, λ Γ ) = J n Pn (sin φγ ) + rγ n= rγ + n m= 1 R r e Γ n ( C nm cos mλ Γ + S nm sin mλγ ) Pnm (sin φγ ) (7) Στην παραπάνω έκφραση τα J n και J nm είναι οι αρμονικοί συντελεστές τάξης 0 και ανώτερης τάξης, αντίστοιχα, οι οποίοι δηλώνουν μεταβολές κατά το γεωγραφικό πλάτος Τα Ρ nm είναι τα πολυώνυμα Legendre βαθμού n και τάξης m, ενώ τα Ρ n τα πολυώνυμα Legendre βαθμού n και μηδενικής τάξης Τα C nm είναι οι αρμονικοί συντελεστές για n 0 και υποδηλώνουν μεταβολές κατά το γεωγραφικό μήκος Τέλος, τα S nm είναι οι αρμονικοί συντελεστές για n = m και δηλώνουν μεταβολές και κατά γεωγραφικό μήκος και κατά γεωγραφικό πλάτος Με τους παραπάνω συντελεστές 8

υπεισέρχονται στο δυναμικό οι διαταραχές που οφείλονται στο πεπλατυσμένο σχήμα της Γης Οι τιμές τους δεν είναι σταθερές αλλά μεταβάλλονται με το πέρασμα του χρόνου Για το έτος 1984, κάποιες από τις τιμές ήτανε οι εξής: J = 1086 10-6, J 3 = -53 10-6, J 4 = -161 10-6, C 1 = S 1 = 0, C = 157 10-6, C 31 = 19 10-6, C 3 = 031 10-6, S = -09 10-6, S 31 = 07 10-6, C 3 = -01 10-6 Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής J είναι τουλάχιστον 400 φορές μεγαλύτερος από τους υπόλοιπους συντελεστές, οι οποίοι μπορούν να μην ληφθούν υπ όψη σε πρώτη προσέγγιση Η τιμή των συντελεστών C nm και S nm δεν μειώνεται απαραίτητα με την αύξηση του βαθμού τους, αλλά ο παράγοντας εξασθένιση του κάθε όρου της σειράς R r e Γ n του δυναμικού εξασφαλίζει την 9

Τροχιές δορυφόρων Οι τροχιές των δορυφόρων κατηγοριοποιούνται ανάλογα με κάποια βασικά χαρακτηριστικά τους, όπως η εκκεντρότητα, η κλίση, το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας και η περίοδος Παρακάτω περιγράφονται μερικά σημαντικά είδη τροχιών και παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράμματα λ Γ φ Γ (γεωγραφικές συντεταγμένες) Τροχιές χαμηλού ύψους Η μεγάλη πλειοψηφία των δορυφόρων τοποθετούνται σε σχεδόν κυκλικές τροχιές (e 0 ) σε ύψος 300 1500 km από την επιφάνεια της θάλασσας Κάτω από αυτό το όριο, η τροχιά του δορυφόρου θα επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από την αντίσταση της γήινης ατμόσφαιρας Τροχιές σε μεγαλύτερα ύψη, από την άλλη μεριά, δεν επιλέγονται για πολλούς λόγους: ένας δορυφόρος σε χαμηλό ύψος δεν υφίσταται την επίδραση της ατμόσφαιρας, ενώ επωφελείται από την υψηλή ανάλυση που του παρέχει η μικρή απόσταση από την επιφάνεια της Γης Τέλος, χρειάζεται λιγότερη ισχύ για να τοποθετηθεί σε τροχιά, σε σχέση με τα μεγαλύτερα ύψη Οι τροχιές σε χαμηλά ύψη παρουσιάζουν μια μεγάλη ποικιλία κλίσεων Η κλίση της τροχιάς καθορίζεται από το γεωγραφικό πλάτος της τοποθεσίας που γίνεται η εκτόξευση Στο παρακάτω διάγραμμα έχουμε το επίγειο ίχνος (ground track) ενός δορυφόρου σε τροχιά χαμηλού ύψους, σε ύψος 500 km από την επιφάνεια της Γης, e = 001, i = ο, Ω = 0 και ω = -π/ για χρόνο τριών περιόδων Οι τιμές των λ Γ και φ Γ έχουν υπολογιστεί χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη τις διαταραχές στο κεντρικό δυναμικό της Γης LEO e=001, i= o cwr ί Vdiataracέ V 1 ϕ @ d egree s D 0-1 - -150-100 -50 0 50 100 150 λ@degrees D Διάγραμμα 1: Το ίχνος στην επιφάνεια της Γης μιας τροχιάς τύπου LEO για χρονικό διάστημα τριών περιόδων Εξαιτίας της περιστροφής της Γης, το ίχνος του δορυφόρου στην επιφάνεια της Γης μετατοπίζεται από περίοδο σε περίοδο Με άλλα λόγια, μέχρι να εκτελέσει ο 10

δορυφόρος μια περιφορά γύρω από τη Γη, αυτή έχει περιστραφεί κατά μερικές μοίρες, με αποτέλεσμα να μην επανέρχεται στο ίδιο σημείο, αλλά να έχει μετατοπιστεί προς τα δυτικά, μιας και η Γη περιστρέφεται από δυτικά προς ανατολικά Το ίχνος αυτό είναι χαρακτηριστικό όλων των σχεδόν κυκλικών τροχιών χαμηλού ύψους Εάν συμπεριλάβουμε στο κεντρικό δυναμικό της Γης τον όρο που περιέχει το J και πάρουμε το διάγραμμα λ Γ φ Γ, θα παρατηρήσουμε ότι οι γραμμές έχουν γίνει πιο παχιές (οι τιμές των στοιχείων της τροχιάς είναι ίδιες με του παραπάνω διαγράμματος και η ολοκλήρωση έχει γίνει για διάστημα 5 ημερών): Διάγραμμα : Το ίχνος στην επιφάνεια της Γης μιας τροχιάς τύπου LEO για χρονικό διάστημα πέντε ημερών Γεωσύγχρονες και γεωστατικές τροχιές Οι δορυφόροι που βρίσκονται σε τέτοιες τροχιές έχουν περίοδο περιφοράς ίση με την περίοδο περιστροφής της Γης (συντονισμός 1/1) Αυτός ο συγχρονισμός σημαίνει ότι για έναν παρατηρητή σε μια συγκεκριμένη τοποθεσία στη Γη, ένας δορυφόρος σε γεωσύγχρονη τροχιά θα επιστρέφει ακριβώς στο ίδιο σημείο του ουρανού ακριβώς την ίδια ώρα κάθε ημέρα Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει ο GM μεγάλος ημιάξονας να έχει τιμή α = = 6633 R e, όπου R e η ακτίνα της ( π / Τ) Γης Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία η τροχιά είναι (σχεδόν) κυκλική (e 0) και βρίσκεται πάνω από τον ισημερινό (i 0) ονομάζεται γεωστατική Ένας γεωστατικός δορυφόρος παραμένει συνεχώς στην ίδια θέση στον ουρανό, όπως τον παρατηρούμε από τη Γη και έχει τη δυνατότητα να εποπτεύει το ίδιο τμήμα της o επιφάνειάς της, το οποίο έχει εύρος 180 σε γεωγραφικό μήκος και πλάτος Η ιδέα ότι ένας δορυφόρος σε ύψος 35 800 km από την επιφάνεια της θάλασσας θα έχει περίοδο περιφοράς ίση με την περίοδο περιστροφής της Γης ανήκει στους Tsiolkovsky (1918) και Noordung (199), ενώ πρώτος ο Arthur Clarke ανέφερε σε άρθρο του το 1945 ότι δορυφόροι σε γεωσύγχρονες τροχιές μπορούν να 1 / 3 sin 1 ( R / a) 160 e o 11

χρησιμοποιηθούν στην τηλεπικοινωνία Σήμερα, περίπου 300 δορυφόροι βρίσκονται σε γεωσύγχρονες τροχιές, εξυπηρετώντας διάφορες τηλεπικοινωνιακές δραστηριότητες Τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των γεωστατικών τροχιών επιβάλλουν κάποιους περιορισμούς στο χώρο, οι οποίοι ορίζονται με διεθνείς κανονισμούς Το προβλεπόμενο παράθυρο ο συνήθως καλύπτει μια περιοχή ± 01 σε γεωγραφικό μήκος, αποτρέποντας έτσι την παρεμβολή των σημάτων μεταξύ γειτονικών δορυφόρων Για να διατηρήσουν οι δορυφόροι την καθορισμένη τους θέση, η τροχιά τους υποβάλλεται σε διορθώσεις, συνήθως σε εβδομαδιαία βάση οι οποίες στην ουσία διορθώνουν τις μεταβολές που προκαλούν τα βαρυτικά πεδία της Γης, της Σελήνης και του Ήλιου Πέρα από τις τηλεπικοινωνίες, μια γεωστατική τροχιά έχει ενδιαφέρον και για τους μετεωρολογικούς δορυφόρους: ένας μόνο δορυφόρος μπορεί να παρέχει μια σχεδόν ημισφαιρική κάλυψη της Γης (160 ο x 160 ο σύμφωνα με τον υπολογισμό που έγινε παραπάνω) με χαμηλή ανάλυση, καθιστώντας τον ιδιαίτερα χρήσιμο για τη μελέτη καιρικών φαινομένων σε παγκόσμια κλίμακα Τέλος, οι γεωστατικοί δορυφόροι αποκτούν όλο και μεγαλύτερη σημασία σαν συμπληρωματικοί στα παραδοσιακά συστήματα πλοήγησης, παρέχοντας έτσι μεγαλύτερη ακρίβεια και αξιοπιστία στους χρήστες τους Το ίχνος ενός δορυφόρου σε γεωστατική τροχιά στην επιφάνεια της Γης φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα Οι τιμές των στοιχείων της τροχιάς που χρησιμοποιήθηκαν στους υπολογισμούς είναι α = 416 km, e = 001, i = ο, Ω = 0 και ω = -π/ Το γεωγραφικό μήκος διατηρείται σχεδόν σταθερό κατά τη διάρκεια της περιφοράς, όπως ήταν αναμενόμενο, εξαιτίας της πολύ μικρής εκκεντρότητας: Διάγραμμα 3: Το ίχνος στην επιφάνεια της Γης μιας τροχιάς τύπου GEO Για να πάρουμε το παραπάνω διάγραμμα, αγνοήσαμε τους όρους διαταραχής στο δυναμικό Εάν συμπεριλάβουμε και τον όρο που περιέχει το J τότε η μορφή του διαγράμματος θα είναι η παρακάτω: 1

Διάγραμμα 4: Το ίχνος στην επιφάνεια της Γης μιας τροχιάς τύπου GEO για χρονικό διάστημα 5 ημερών Πολικές τροχιές Ένας δορυφόρος βρίσκεται σε πολική τροχιά όταν περνάει πάνω ή σχεδόν πάνω από τους πόλους της Γης, όταν έχει δηλαδή κλίση σχεδόν 90 ο Εκτός από την περίπτωση της πολικής γεωσύγχρονης τροχιάς, ο δορυφόρος θα περνάει πάνω από τον ισημερινό σε διαφορετικό γεωγραφικό μήκος σε κάθε περίοδο, επιτυγχάνοντας τη μέγιστη κάλυψη της επιφάνειας της Γης Οι πολικές τροχιές παρέχουν εικόνες υψηλής ανάλυσης σε μια ευρεία ζώνη συχνοτήτων, από τις ραδιοσυχνότητες μέχρι την οπτική περιοχή, χωρίς να παρεμποδίζονται από σύννεφα και οποιουδήποτε είδους καιρικά φαινόμενα Πέρα από την παγκόσμια ή σχεδόν παγκόσμια κάλυψη, υπάρχουν κι άλλες απαιτήσεις που επηρεάζουν την επιλογή των πολικών τροχιών Για παράδειγμα, το ίχνος του δορυφόρου στην επιφάνεια της Γης θα πρέπει να είναι συνεχές και απαλλαγμένο από κενά, για να εξασφαλιστεί ότι κάθε σημείο της Γης θα είναι ορατό ξανά και ξανά Επιπλέον, οι τροχιές θα πρέπει να είναι κυκλικές, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται σταθερό ύψος από την επιφάνεια της Γης κατά τη λήψη διαδοχικών εικόνων της ίδιας περιοχής Το ίχνος μιας πολικής τροχιάς έχει την εξής μορφή (α = 68756 km, e = 001, i = 90 ο, Ω = 0 και ω = 0): 13

Polar e=001, i=90 o cwr ί Vdiatarac έ V 75 50 ϕ @ d egree s D 5 0-5 -50-75 -150-100 -50 0 50 100 150 λ@degrees D Διάγραμμα 5: Το ίχνος στην επιφάνεια της Γης μιας τροχιάς τύπου Polar για χρονικό διάστημα μιας ημέρας Τροχιές με μεγάλη εκκεντρότητα και παγωμένη τιμή της κλίσης (frozen inclination orbits) Για να τεθεί ένας δορυφόρος σε γεωστατική τροχιά, καταλαμβάνει αρχικά μια τροχιά με μεγάλη εκκεντρότητα, η οποία στη συνέχεια μετατρέπεται σε κυκλική με έναν κατάλληλο ελιγμό στο απόγειο Στην περίπτωση αυτή η τροχιά μεγάλης εκκεντρότητας εξυπηρετεί σαν ενδιάμεση τροχιά Σε κάποιες περιπτώσεις όμως μια τέτοια τροχιά επιλέγεται σκόπιμα Σημαντικό παράδειγμα αποτελούν οι Ρωσικοί δορυφόροι τύπου Molniya και Tundra Οι τροχιές τύπου Molniya («αστραπή»), εκτός από τη μεγάλη εκκεντρότητα, χαρακτηρίζονται από την τιμή της κλίσης που πρέπει να είναι ίση με cos 1 1 6343 5 o (κρίσιμη τιμή) και την περίοδο περιφοράς τους που είναι κοντά στις 1 ώρες Η χρήση τους έγινε αναγκαία μιας και οι επικοινωνία των περιοχών που βρίσκονται κοντά στους πόλους δεν ήταν δυνατόν να καλυφθεί από δορυφόρους σε γεωστατικές τροχιές Μεγάλο μέρος της πρώην Σοβιετικής Ένωσης και ιδιαίτερα της Ρωσίας βρίσκεται σε μεγάλα γεωγραφικά πλάτη Για να γίνει η μετάδοση σε τέτοια πλάτη από μια γεωστατική τροχιά απαιτείται σημαντική ισχύς Από την άλλη μεριά, σε μια τυπική, σχεδόν κυκλική πολική τροχιά, ο δορυφόρος θα βρισκόταν μεν πάνω από τα ζητούμενα γεωγραφικά πλάτη, αλλά αυτό θα γινόταν για σύντομο χρονικό διάστημα Η λύση σε αυτό το πρόβλημα ήταν να χρησιμοποιηθούν πολύ ελλειπτικές τροχιές Εφόσον η ταχύτητα ενός δορυφόρου είναι συνάρτηση της απόστασής του από το κέντρο της Γης, ο δορυφόρος θα περνάει πολύ γρήγορα από το περίγειο, ενώ θα χρειάζεται πολύ περισσότερο χρόνο για να καλύψει το αντιδιαμετρικό τμήμα της τροχιάς, στο οποίο βρίσκεται το απόγειο Η κλίση επιλέγεται να έχει την κρίσιμη τιμή, καθώς τότε η γωνία του περικέντρου ω δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, έτσι ώστε το απόγειο να διατηρεί την ίδια θέση σε κάθε περίοδο Μια πιο ακριβής ανάλυση βέβαια, δείχνει ότι όταν η τιμή της κλίσης είναι κοντά στην κρίσιμη, το ω ταλαντώνεται 14

Ένας τυπικός δορυφόρος τύπου Molniya με περίοδο σχεδόν 1 ώρες, βρίσκεται πάνω από τη Ρωσία δύο φορές την ημέρα, για περίπου 8 ώρες Για την πλήρη κάλυψη της περιοχής απαιτούνται μόνο τρεις δορυφόροι Μια κατά τα άλλα όμοια τροχιά, αλλά με περίοδο περίπου 4 ώρες ονομάζεται τύπου Tundra Στις γεωσύγχρονες αυτές τροχιές το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου μπορεί να μεταβάλλεται πολύ ή λίγο, ανάλογα αν η εκκεντρότητα έχει μεγάλη τιμή ή όχι Μια άλλη εφαρμογή των ελλειπτικών τροχιών είναι στην επιστημονική έρευνα: για να μελετήσουμε τη μαγνητόσφαιρα της Γης και την αλληλεπίδραση Γης Ήλιου, απαιτούνται δορυφόροι σε απόσταση μεγαλύτερη από 15 0 ακτίνες από το κέντρο της Γης Οι δορυφόροι σε τροχιές τύπου Molniya και Tundra χρησιμοποιούνται και ως κατασκοπευτικοί, μιας και βρίσκονται για μεγάλο χρονικό διάστημα πάνω από συγκεκριμένες περιοχές Στο σημείο αυτό είναι απαραίτητο να διευκρινιστεί ότι οι τροχιές Molniya και Tundra ορίζονται σαν εκείνες οι τροχιές που έχουν περίοδο περιφοράς ακριβώς 1 και 4 ώρες, αντίστοιχα, λαμβάνοντας τον όρο διαταραχής J στο δυναμικό Οι υπόλοιπες τροχιές, με περίοδο περίπου 1 ή περίπου 4 ώρες ονομάζονται τροχιές τύπου Molniya και Tundra Τα ίχνη των δορυφόρων σε τέτοιου τύπου τροχιές παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον Ας δούμε για παράδειγμα τη μορφή του διαγράμματος λ Γ φ Γ για μια 1 τροχιά τύπου Molniya με α = 6561 km, e= 07, i = cos -1, Ω = 0 και ω = -π/ και μια 5 τροχιά τύπου Tundra, με α = 4163 km και ίδιες τιμές στα υπόλοιπα στοιχεία της τροχιάς Τα διαγράμματα αυτά έχουν ληφθεί για χρονικό διάστημα μίας ημέρας και οι υπολογισμοί έγιναν θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν όροι διαταραχής στο δυναμικό Διάγραμμα 6: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya με e = 07 και ω = -π/ 15

Διάγραμμα 7: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = -π/ Τα γεωγραφικά πλάτη που καλύπτει ένας δορυφόρος κυμαίνονται από φ = -i ως φ = i, όπου i η κλίση της τροχιάς, ενώ τα γεωγραφικά μήκη από λ = -180 ο ως λ=180 ο, για όλες τις κατηγορίες τροχιών, εκτός από τις γεωσύγχρονες (πχ τύπου Tundra) και τις γεωστατικές Στις περιπτώσεις αυτές, τα γεωγραφικά μήκη από τα οποία περνάει, είναι το αποτέλεσμα της περιφοράς του δορυφόρου γύρω από τη Γη και της περιστροφής της Γης, οι οποίες, λόγω της μη μηδενικής κλίσης και της εκκεντρότητας της τροχιάς, πραγματοποιούνται με διαφορετικές ταχύτητες Στα παρακάτω διαγράμματα, έχουμε μια τροχιά τύπου Molniya, με α = 6561 km, e = 04, i 1 = cos -1, Ω = 0 και w = -π/ και μια τροχιά τύπου Tundra, με α = 4163 km και 5 ίδιες τιμές στα υπόλοιπα στοιχεία H πρώτη καλύπτει όλα τα γεωγραφικά πλάτη, ενώ η δεύτερη από - 40 ως -140 περίπου Συγκριτικά με την τροχιά τύπου Tundra για e = 07 που παρουσιάζεται στο διάγραμμα 7 τα γεωγραφικά πλάτη είναι διαφορετικά λόγω διαφορετικής εκκεντρότητας Διάγραμμα 8: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 04 και ω = -π/ 16

Διάγραμμα 9: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = -π/ Η τιμή της γωνίας του περικέντρου ω καθορίζει τα γεωγραφικά πλάτη πάνω από τα οποία θα βρίσκεται το περίκεντρο Έτσι, για ω = -π/, όπως είχαμε στα παραπάνω διαγράμματα, το περίκεντρο είναι στο νότιο ημισφαίριο και το απόκεντρο στο βόρειο, ενώ για ω = π/ συμβαίνει το αντίστροφο Για ω = 0 και ω = π το περίκεντρο βρίσκεται στον ισημερινό και μάλιστα πάνω στο σημείο τομής του επιπέδου του ισημερινού με την θετική και την αρνητική, αντίστοιχα, πλευρά του άξονα Χ του αδρανειακού συστήματος αναφοράς Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα για τις τροχιές τύπου Molniya (α = 6561 km) και Tundra (α = 4163 km), 1 με e = 04 και 07, i = cos -1, Ω = 0 και ω = + π/, 0 και π: 5 ω = + π/: Διάγραμμα 10: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω = π/ 17

Διάγραμμα 11: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 04 και ω = π/ Σχήμα 1: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = π/ 18

Διάγραμμα 13: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = π/ ω = 0: Διάγραμμα 14: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω =0 19

Διάγραμμα 15: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω = 0 Διάγραμμα 16: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = 0 0

Διάγραμμα 17: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = 0 ω = π: Διάγραμμα 18: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω = π 1

Διάγραμμα 19: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = π Διάγραμμα 0: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = π

Διάγραμμα 1: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = π Όπως η τιμή της γωνίας του περικέντρου ω καθορίζει το γεωγραφικό πλάτος στο οποίο θα είναι το περίκεντρο της τροχιάς, με παρόμοιο τρόπο, η τιμή του αναβιβάζοντα συνδέσμου Ω καθορίζει το γεωγραφικό μήκος του περικέντρου Για Ω = 0, το περίκεντρο έχει λ = 0, δηλαδή βρίσκεται πάνω στο μεσημβρινό του Greenwich Δίνοντας διάφορες τιμές στο Ω μπορούμε να στρέψουμε την τροχιά και να στρέψουμε το περίκεντρο πάνω από την περιοχή που θέλουμε Τα παραπάνω διαγράμματα για τις τροχιές τύπου Molniya και Tundra είναι για χρονικό διάστημα μίας ημέρας Εφόσον όμως δεν λαμβάνουμε υπόψη τις διαταραχές στο δυναμικό δεν έχει σημασία για πόσο χρονικό διάστημα επιλύουμε τις εξισώσεις κίνησης, μιας και τα ίχνη στην περίπτωση αυτή δεν αλλάζουν Όταν όμως συμπεριλάβουμε στο δυναμικό και όρους διαταραχής, τότε τα ίχνη μετατοπίζονται και τείνουν να καλύψουν ολόκληρη την περιοχή -180 ο λ Γ 180 ο, -90 ο φ Γ 90 ο, εάν το χρονικό διάστημα ολοκλήρωσης είναι αρκετό και βρισκόμαστε έξω από την περιοχή συντονισμού Τα τέσσερα πρώτα από τα διαγράμματα που ακολουθούν έχουν ληφθεί συμπεριλαμβάνοντας τον όρο που περιέχει το J σαν διαταραχή στο δυναμικό, ενώ για τα υπόλοιπα τέσσερα περιλαμβάνονται και οι υπόλοιποι όροι διαταραχής Το διάστημα ολοκλήρωσης είναι 5 ημέρες και είναι αρκετό για να φανεί η μετατόπιση των ιχνών, όχι όμως για να καλυφθεί ολόκληρη η περιοχή λ Γ φ Γ που αναφέρθηκε παραπάνω Η αρχική τιμή του ω είναι -π/ 3

Διάγραμμα : Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών Διάγραμμα 3: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 04 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών 4

Διάγραμμα 4: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών Διάγραμμα 5: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών 5

Διάγραμμα 6: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 07 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών Διάγραμμα 7: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Molniya, με e = 04 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών 6

Διάγραμμα 8: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών Διάγραμμα 9: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 04 και ω = -π/, για χρονικό διάστημα 5 ημερών Για e = 04 η επίδραση των διαταραχών στο ίχνος της τροχιάς είναι μικρότερη σε σχέση με την περίπτωση που έχουμε e = 07 Από την άλλη μεριά, τα διαγράμματα είναι παρόμοια είτε κρατώντας μόνο τον όρο J στο δυναμικό, είτε κρατώντας περισσότερους όρους διαταραχής Παρακάτω, παρατίθενται, χωρίς να αποδεικνύονται, οι σχέσεις που δίνουν το ρυθμό μεταβολής των στοιχείων α, e, i, Ω και ω, όταν έχουμε σαν όρο διαταραχής μόνο το J Οι σχέσεις αυτές προκύπτουν από τις πλανητικές εξισώσεις του Lagrange και αφορούν τη μέση τιμή των στοιχείων της τροχιάς ανά περίοδο 7

dα = dt de dt = di dt = 0 (8) dω dt 3 nj cosi Re = (1 e ) a (9) dω 3 nj = dt 4 (1 5cos (1 e ) i) Re a (10) Από την (10) φαίνεται ότι για να μην μετακινείται το περίκεντρο με το πέρασμα του χρόνου, θα πρέπει να είναι 1 5cos i = 0, δηλαδή i =cos -1 o 1/ 5 6343 3 Εξισώσεις κίνησης και αριθμητική επίλυση Πριν προχωρήσουμε στην εύρεση των εξισώσεων κίνησης, είναι απαραίτητο να περιγράψουμε τους μετασχηματισμούς, οι οποίοι μας βοηθούν να μετατρέψουμε τα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν στα διάφορα συστήματα αναφοράς και συντεταγμένων που θα χρησιμοποιήσουμε Μετασχηματισμοί Μετασχηματισμός από σφαιρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες και αντίστροφα (στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων) x = r sinθ cosφ (11) y = r sinθ sinφ (1) z = r cosθ (13) r = θ = φ = x + + y z (14) 1 z cos (15) r 1 x tan (16) y Μετασχηματισμός των καρτεσιανών συντεταγμένων από το αδρανειακό στο μη αδρανειακό σύστημα το οποίο έχει περιστραφεί κατά γωνία w t x cos wt = y sin wt z 0 sin wt cos wt 0 0 X 0 Y 1 Z (17) 8

x = x cos wt y sin wt (17-α) y = x sin wt + y cos wt (17-β) z = z (17-γ) Μετασχηματισμός των σφαιρικών συντεταγμένων από το αδρανειακό στο μη αδρανειακό σύστημα το οποίο έχει περιστραφεί κατά γωνία w t r = r (18) φ = φ + w t (19) θ = θ (0) Μετασχηματισμός από σφαιρικές συντεταγμένες στο αδρανειακό και στο μη αδρανειακό σύστημα σε γεωγραφικές συντεταγμένες r Γ = r = r (1) λ Γ = φ w t = φ () φ Γ = 90 ο θ = 90 ο θ (3) Σχήμα 5: Σχέση ανάμεσα σε σφαιρικές και γεωγραφικές συντεταγμένες στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Η έκφραση (7) για τους όρους διαταραχής και η (6) για το συνολικό δυναμικό μπορεί να μετασχηματιστεί σε καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγμένες στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς, με τη βοήθεια των εξισώσεων μετασχηματισμού που παρατέθηκαν παραπάνω Έτσι λοιπόν, χρησιμοποιώντας τις 9

σχέσεις (18)-(0) το U(r Γ, φ Γ, λ Γ ) γράφεται σε σφαιρικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα ως εξής: μ U(r, θ, φ, t ) = - + + r n μ Re J n Pn (cosθ ) r n= r + n m= 1 R r e n [ Cnm cos[ m( φ neartht)] + S nm sin[ m( φ neartht)]] Pnm (cosθ ) (4) Χρησιμοποιώντας στη συνέχεια τις σχέσεις (14)-(17) που μετασχηματίζουν τις σφαιρικές συντεταγμένες σε καρτεσιανές, μπορούμε να πάρουμε από την (4) την έκφραση του δυναμικού σε καρτεσιανές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων: μ U(x, y, z, t ) = - + + r n μ Re z J n Pn r n= r r + n m= 1 R r e n 1 y 1 y z [ C nm cos[ m(tan neartht)] + S nm sin[ m(tan neartht)]] Pnm,(5) x x r όπου το r δεν αντικαθίσταται από το x + + y z για λόγους απλότητας Με τη βοήθεια τώρα των σχέσεων (18)-(0) που μετατρέπουν τις σφαιρικές συντεταγμένες από το αδρανειακό στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, έχουμε από την (4): μ U(r, θ, φ ) = - + + r n μ Re J n Pn (cosθ ') r' n= r' + n m= 1 n Re [ C r' nm cos( mφ ') + S nm sin( mφ' )] Pnm (cosθ ') (6) Τέλος, για να πάρουμε το δυναμικό σε καρτεσιανές συντεταγμένες στο μη αδρανειακό σύστημα, θα εφαρμόσουμε στην (5) τις σχέσεις (17α)-(17γ) που μετασχηματίζουν τις καρτεσιανές συντεταγμένες από το ένα σύστημα αναφοράς στο άλλο Έτσι, θα έχουμε μ U(x, y, z, t ) = - + + r n μ Re z J n Pn r n= r r n + m= 1 Re r n [ C nm cos[ m(tan 1 x sin n x cos n earth earth t + y cos n t y sin n earth earth t n t earth t)] + 30

+ S nm sin[ m(tan 1 x sin n x cos n earth earth t + y cos n t y sin n earth earth t n t earth t)]] P nm z' (7) r Εάν μετασχηματίσουμε την (6), η οποία είναι γραμμένη στο μη αδρανειακό σύστημα, από σφαιρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν θα πάρουμε σωστά αποτελέσματα, καθώς από τις σχέσεις μετασχηματισμού απουσιάζει ο χρόνος Μετασχηματισμός των στοιχείων της τροχιάς αδρανειακό σύστημα (x, y, z) και αντίστροφα από το επίπεδο της κίνησης στο Αναφέρθηκε παραπάνω ότι η θέση ενός δορυφόρου κάποια χρονική στιγμή t μπορεί να προσδιοριστεί είτε από τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας, είτε από τα στοιχεία της τροχιάς Για να μετατρέψουμε από τα [α, e, i, Ω, ω, Μ] στα [r, u] και το αντίστροφο, χρησιμοποιούμε τους μετασχηματισμούς που δίνονται παρακάτω: Μετασχηματισμός από [α, e, i, Ω, ω, Μ] σε [r (X, Y, Z) u (U x, U Y, U Z )] Βρίσκουμε τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης r (x, y) στο επίπεδο της τροχιάς από τις σχέσεις και x = α (cose e) (8) y = α 1 e sin E (9) Στη συνέχεια μπορούμε να βρούμε το μέτρο του διανύσματος θέσης r από τις τιμές των x και y ή χρησιμοποιώντας κατ ευθείαν τη σχέση (5) Οι συνιστώσες του διανύσματος της ταχύτητας u (u x, u y ) βρίσκονται από τις σχέσεις και u x = u y = x y = - (n α /r) sine (30) = (n α /r) 1 e cos E (31) Για να μετατρέψουμε τώρα τις συντεταγμένες των διανυσμάτων θέσης και ταχύτητας από το επίπεδο της τροχιάς στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς (σε καρτεσιανές συντεταγμένες) θα χρειαστούμε τους πίνακες στροφής cosω sin ω 0 Ρ 1 = (3) sin ω cosω 0 0 0 1 1 0 0 Ρ = (33) 0 cos i sin i 0 sin i cos i 31

cos Ω sin Ω 0 Ρ 3 = (34) sin Ω cos Ω 0 0 0 1 Ορίζοντας τον πίνακα Ρ ως Ρ = Ρ 3 Ρ Ρ 1, (35) έχουμε T T [ X Y Z] = P[ x y 0] (63) και T T [ U U U ] = P[ u u 0] x y z x y, (37) όπου το Τ συμβολίζει τον ανάστροφο πίνακα Μετασχηματισμός από [r (X, Y, Z) u (U x, U Y, U Z )] σε [α, e, i, Ω, ω, Μ] Κατ αρχήν υπολογίζουμε τον μεγάλο ημιάξονα της τροχιάς, α: α = μ μ r u (38) Από την τιμή του α μπορούμε να βρούμε την περίοδο του δορυφόρου και τη μέση κίνηση Για να υπολογιστούν τα e και i πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος της στροφορμής h από τη σχέση h = r x u, (39) οπότε τα e και i θα είναι e = h 1 (40) μa και i = cos 1 h z h (41) Στη συνέχεια, για να βρούμε την τιμή του Ω θα χρειαστούμε τις σχέσεις που δίνουν το ημίτονο και το συνημίτονό του: sinω = hz hx ± = (4) h sin i h + h x y 3

h y h y cosω = m = (43) h sin i h + h x y Το πάνω πρόσημο αντιστοιχεί σε θετικές τιμές του h z, ενώ το κάτω σε αρνητικές Χρησιμοποιούμε και τους δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς για να βρούμε τη σωστή γωνία Ω Εάν υπολογίζαμε μόνο το ημίτονο θα βρίσκαμε δύο διαφορετικές τιμές για το Ω από 0 ως π (ή από -π ως π) Το ίδιο αν υπολογίζαμε μόνο το συνημίτονο Παίρνοντας όμως και τα δύο, κρατάμε μόνο την τιμή της γωνίας που αντιστοιχεί και στους δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς Οι τιμές της έκκεντρης ανωμαλίας Ε υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο από τις σχέσεις sine = r u / ( e μα ) (44) cose = (α r)/(α e) (45) Η αληθής ανωμαλία v δίνεται από τις 1 e sin E sin v = (46) 1 e cos E cos E e cos v = (47) 1 e cos E και η γωνία του περικέντρου ω από τις Z sin( ω + v) = (48) r sin i X cos Ω + Υ sin Ω cos(ω + v) = (49) r Τέλος, μένει να υπολογίσουμε τη μέση ανωμαλία Μ από την εξίσωση του Kepler (σχέση (4)) Εξισώσεις κίνησης Θα βρούμε τις εξισώσεις κίνησης με τη βοήθεια της συνάρτησης Hamilton σε σφαιρικές και καρτεσιανές συντεταγμένες στα δύο συστήματα αναφοράς, αδρανειακό και περιστρεφόμενο Σφαιρικές συντεταγμένες (αδρανειακό σύστημα) Αρχικά θα γράψουμε την κινητική ενέργεια Τ σε σφαιρικές συντεταγμένες, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετασχηματισμού (11)-(13): 33

Τ = 1 x + y + z = 1 Η συνάρτηση Lagrange γράφεται: L = T(r, θ, φ) U(r, θ, φ, t) = Οι ορμές p r, p θ, p φ θα βρεθούν από τις σχέσεις: r + ( r θ ) + ( r sin θ φ) (50) 1 r + ( r θ ) + ( r sin θ φ) U(r, θ, φ, t) (51) L p r = = r (5) r L p θ = = r θ (53) θ L p φ = = r sin θ φ, (54) φ οι οποίες λύνοντας ως προς r, θ, φ, γίνονται: r = p r (55) p θ θ = r φ = p φ r sin θ (56) (57) Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στην έκφραση για την κινητική ενέργεια, παίρνουμε: Τ = 1 p p θ φ p + + r (58) r r sin θ Η συνάρτηση Hamilton θα δίνεται από την 3 Η = p q L, (59) i= 1 i i όπου p i οι γενικευμένες ορμές και q i οι γενικευμένες συντεταγμένες Η (59) με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων γίνεται: 34

Η = ),,, ( sin 1 sin t r U r p r p p r p r p p r r φ θ θ θ φ θ φ θ + + + + + = = ),,, ( sin 1 t r U r p r p p r φ θ θ φ θ + + + (60) Για τις παραγώγους των ορμών έχουμε: + = = 3 r p r H p r θ r U r p θ φ 3 sin (61) = = θ θ H ṗ θ θ θ φ U r p 3 sin cos (6) = = φ φ H ṗ φ U (63) Οι εξισώσεις (55)-(57) και (61)-(63) αποτελούν τις ζητούμενες εξισώσεις κίνησης Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που το δυναμικό δεν εξαρτάται από τη γωνία φ (πχ όταν κρατάμε μόνο το J από τους όρους διαταραχής), τότε αυτή είναι αγνοήσιμη συντεταγμένη Καρτεσιανές συντεταγμένες (αδρανειακό σύστημα) Όπως και παραπάνω, η κινητική ενέργεια θα είναι η Τ = + + 1 z y x, (64) ενώ η συνάρτηση Lagrange η L = T (x, y, z) U(x, y, z, t) = + + 1 z y x U(x, y, z, t) (65) Οι ορμές p x, p y, p z δίνονται από τις σχέσεις: x x L p x = = (66) y y L p y = = (67) 35

L p z = = z, (68) z ή αλλιώς x = p x, (69) y = p y, (70) z = p z, (71) οπότε η κινητική ενέργεια γράφεται τώρα ως 1 Τ = ( p x + py + pz ) (7) Με τη βοήθεια της σχέσης (56) έχουμε για τη συνάρτηση Hamilton: 1 x + H = p p + p ( p + p + p ) U ( x, y, z, t) + y z x y z = 1 x y z + = ( p p + p ) U ( x, y, z, t) + (73) Για τις παραγώγους των ορμών, έχουμε: p x H = x U = x (74) p y H = y U = y (75) p z H = z U = z (76) Οι εξισώσεις (69)-(71) και (74)-(76) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης για την περίπτωση των καρτεσιανών συντεταγμένων στο αδρανειακό σύστημα Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις στην περίπτωση αυτή φαίνονται απλούστερες από τις αντίστοιχες στις σφαιρικές συντεταγμένες, στην πραγματικότητα όμως δεν είναι, μιας και η μορφή του δυναμικού σε καρτεσιανές είναι πιο πολύπλοκη Σφαιρικές συντεταγμένες (μη αδρανειακό σύστημα) Για να πάρουμε την κινητική ενέργεια θα εφαρμόσουμε στην (50) τους μετασχηματισμούς των σχέσεων (18)-(0), οπότε θα έχουμε: 36

Τ = 1 r' + ( r' θ ') + [ r' sin θ '( φ' + n earth )] (77) Η συνάρτηση Lagrange γράφεται ως εξής: L = T(r, θ, φ ) U(r, θ, φ ) = 1 r' + ( r' θ ' ) + [ r' sin θ ' ( φ' + n earth )] U(r, θ, φ ) (78) Οι ορμές p r, p θ, p φ θα είναι οι : L p r = = r' (79) r' L p θ = = r' θ ' (80) θ ' L p φ = = r sin θ ( φ' + n ) earth, (81) φ Λύνοντας ως προς r, θ, φ, έχουμε: r ' = p r (8) p θ = θ r (83) φ = p φ ' r r sin sin θ n θ earth (84) Έτσι, η κινητική ενέργεια γίνεται: Τ = p r p p θ φ + + (85) r r sin θ Από την (65) βρίσκουμε για τη συνάρτηση Hamilton: p p 1 p p θ φ θ φ Η= pr + + n p p U( r,, ) earth φ r + θ φ r r sin θ + + r r sin θ 1 p p φ = θ pr + + n p U ( r,, ) earth φ + θ φ (86) r r sin θ 37

Οι παράγωγοι των ορμών είναι οι p r H pθ = = 3 r r + r 3 p φ sin U θ r (87) ṗ θ = H θ = pφ cosθ U 3 r sin θ θ (88) p φ H U = = (89) φ φ Οι εξισώσεις κίνησης είναι οι (8)-(84) και (87)-(89) Καρτεσιανές συντεταγμένες (μη αδρανειακό σύστημα) Για να εκφράσουμε την κινητική ενέργεια στο μη αδρανειακό σύστημα θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (17α)-(17γ), οπότε θα καταλήξουμε στη σχέση: Τ = 1 x + y + z (90) Η συνάρτηση Lagrange γράφεται ως L = T (x, y, z ) U(x, y, z, t) = Οι ορμές p x, p y, p z δίνονται από τις σχέσεις: ή αλλιώς 1 x + y + z U(x, y, z, t) (87-98) L p x = = x (91) x L = = y (9) y p y L = = z, (93) z p z x = p, (94) x y = p, (95) y z = p, (96) z 38

οπότε η κινητική ενέργεια παίρνει τη μορφή 1 Τ = ( p p p ) + (97) x y + z Εφαρμόζονται την (55) παίρνουμε για τη συνάρτηση Hamilton: 1 x + H = p p + p ( p + p + p ) U ( x, y, z, t) + y z x y z = 1 x y z + = ( p p + p ) U ( x, y, z, t) Οι παράγωγοι των ορμών, θα είναι: + (98) p x p y H = x H = y U = x U = y (99) (100) p z H = z U = (101) z Και πάλι, αν και οι εξισώσεις κίνησης (94)-(96) και (99)-(101) φαίνονται απλές, όταν υπολογίσουμε τις παραγώγους του δυναμικού ως προς τις συντεταγμένες x, y, z, θα διαπιστώσουμε ότι είναι πολυπλοκότερες σε σχέση με όλες τις παραπάνω περιπτώσεις Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων κίνησης Από την παραπάνω ανάλυση, διαπιστώσαμε ότι η μορφή των εξισώσεων κίνησης είναι απλούστερη εάν αυτές εκφραστούν σε σφαιρικές συντεταγμένες στο μη αδρανειακό σύστημα Στη μορφή αυτή το δυναμικό δεν περιέχει το χρόνο και η συντεταγμένη φ είναι αγνοήσιμη (ισχύει και για τις σφαιρικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα) όταν λαμβάνουμε υπόψη μόνο τον όρο που περιέχει το J σαν διαταραχή, ή γενικά μόνο τους όρους J n Επομένως, αυτή η μορφή θα μας διευκολύνει περισσότερο κατά την αριθμητική επίλυσή τους Η πορεία που ακολουθείται είναι η εξής: δίνουμε αρχικές τιμές στα στοιχεία της τροχιάς, δηλαδή στα στοιχεία α, e, i, Ω, ω και M = n (t to), ώστε να καθορίσουμε πλήρως την αρχική θέση του δορυφόρου Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newton Raphson βρίσκουμε την τιμή της έκκεντρης ανωμαλίας E από την εξίσωση του Kepler Από τις τιμές αυτές υπολογίζονται οι συντεταγμένες θέσης και ταχύτητας στο επίπεδο της τροχιάς και οι οποίες, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες σχέσεις μετασχηματισμού, εκφράζονται στη συνέχεια στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς (καρτεσιανές συντεταγμένες) Από εκεί μετατρέπονται σε σφαιρικές συντεταγμένες στο ίδιο σύστημα αναφοράς και τέλος σε σφαιρικές συντεταγμένες στο μη αδρανειακό σύστημα Εφόσον έχουμε πλέον τις αρχικές συνθήκες στο σύστημα αναφοράς και στο σύστημα συντεταγμένων που τις θέλουμε, επιλύουμε τις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Runge Kutta 4 ης τάξης Στη συνέχεια, μετατρέπουμε και πάλι τα αποτελέσματα σε σφαιρικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα, σε καρτεσιανές συντεταγμένες στο 39

αδρανειακό σύστημα, στις συντεταγμένες του επιπέδου της τροχιάς και τέλος στα στοιχεία της τροχιάς Το πρόγραμμα που εκτελεί την παραπάνω διαδικασία γράφτηκε αρχικά σε Mathematica, οπότε δοκιμάστηκαν διάφορες αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των ΔΕ, όπως η Adams, και οι μέθοδοι Runge-Kutta διαφόρων τάξεων και για διάφορα βήματα Επιλύοντας τις ΔΕ για διάστημα μερικών περιόδων, τα αποτελέσματα ήταν σχετικά ικανοποιητικά, αυξάνοντας όμως το χρόνο ολοκλήρωσης σε κάποια χρόνια, τα αριθμητικά σφάλματα γίνονταν σημαντικά Διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος αυτού, όπως μείωση του βήματος ή αύξηση της ακρίβειας χρησιμοποιώντας τις εντολές Accuracy Goal και Precision Goal δεν είχαν ως αποτέλεσμα την επιθυμητή ακρίβεια, ενώ τελικά ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος γινόταν απαγορευτικά μεγάλος Γράφοντας το πρόγραμμα σε Fortran 90 και χρησιμοποιώντας διπλή ακρίβεια, το πρόβλημα αυτό ξεπεράστηκε Έτσι, η μέθοδος Runge-Kutta 4 ης τάξης, με βήμα 1/10000 της περιόδου Τ της τροχιάς που μελετάμε κάθε φορά δίνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα και σε κάθε περίπτωση τα αριθμητικά σφάλματα είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερα από τις μεταβολές των μεγεθών Το βήμα Τ/10000 για μια τροχιά με περίοδο 4 ώρες αντιστοιχεί σε 864 δευτερόλεπτα, ενώ όσο ελαττώνεται η περίοδος της τροχιάς, τόσο ελαττώνεται και το βήμα Οι μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι εξής: θέτοντας G = 1 και M e = 1, οπότε μ = G M e = 1, ένας δορυφόρος θα έχει περίοδο περιφοράς γύρω από τη Γη ίση με π, όταν ο μεγάλος ημιάξονάς του έχει τιμή ίση με 1, σύμφωνα με τη 4π 3 σχέση T = α, στην αδιατάρακτη περίπτωση Αυτό αντιστοιχεί σε μια πλήρη μ περιφορά γύρω από τη Γη, η οποία διαρκεί 3 ώρες, 56 λεπτά και 409053 δευτερόλεπτα περίπου, οπότε χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση και τις τιμές των σταθερών G και M e καταλήγουμε ότι η τιμή 1 του μεγάλου ημιάξονα, στις μονάδες που χρησιμοποιούμε, αντιστοιχεί σε 416,93077337 km Έτσι, πολλαπλασιάζοντας όλα τα μεγέθη που εκφράζουν μήκος με 416,93077337 km, παίρνουμε την τιμή τους σε km Για να εκφράσουμε το χρόνο σε ημέρες αρκεί να διαιρέσουμε με π, ενώ για να τον πάρουμε σε έτη διαιρούμε με π 365 Με το βήμα που αναφέρθηκε παραπάνω, για μια τροχιά με περίοδο π στις μονάδες που περιγράφηκαν, απαιτούνται 10000 βήματα για να καλύψουμε χρονικό διάστημα μίας ημέρας και 10000 x 10 x 365 = 36500000 για 10 χρόνια, που είναι και το συνολικό διάστημα ολοκλήρωσης που χρησιμοποιούμε Για τροχιές με τη μισή περίοδο (πχ τύπου Molniya) χρειαζόμαστε διπλάσιο αριθμό βημάτων κτλ Στην περίπτωση αυτή, ο όγκος των δεδομένων είναι τεράστιος, οπότε τελικά αποθηκεύονται οι τιμές των μεγεθών κάθε 500 βήματα Τα αριθμητικά σφάλματα σε κάθε βήμα ελέγχονται με δύο τρόπους: υπολογίζοντας την τιμή της συνάρτησης Hamilton σε κάθε βήμα, στο σύστημα αναφοράς και συντεταγμένων στο οποίο επιλύουμε τις ΔΕ κίνησης, αλλά και συγκρίνοντας τις τιμές του διανύσματος θέσης r και της έκκεντρης ανωμαλίας Ε που δίνει το πρόγραμμα για την αδιατάρακτη περίπτωση με τις αντίστοιχες τιμές από την εξίσωση του Kepler Αυτό γίνεται με τον εξής τρόπο: σε κάθε βήμα επιλύουμε την εξίσωση του Kepler χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newton Raphson για να υπολογίσουμε την τιμή της έκκεντρης ανωμαλίας Ε και στη συνέχεια από την εξίσωση r = α (1 e cose) υπολογίζουμε και το r Η διαδικασία αυτή ακολουθείται όταν δεν έχουμε διαταραχές στο δυναμικό, οπότε η διαφορά των r και Ε που υπολογίζονται με αυτόν τον τρόπο από τα αντίστοιχα που προκύπτουν από την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης, μας δίνει ένα μέτρο των αριθμητικών σφαλμάτων της ολοκλήρωσης σε κάθε βήμα, αλλά και πώς αυτά εξελίσσονται με το χρόνο Ο πρώτος τρόπος ελέγχου των αριθμητικών σφαλμάτων της αριθμητικής ολοκλήρωσης, δηλαδή υπολογίζοντας τη συνάρτηση Hamilton είναι πιο αξιόπιστος, μιας και γίνεται απευθείας από τις τιμές των ορμών και των συντεταγμένων θέσης, χωρίς να 40

χρειάζεται να καλέσουμε κάποια άλλη αριθμητική μέθοδο, όπως γίνεται με τη μέθοδο Newton Raphson στη δεύτερη περίπτωση Τα παρακάτω διαγράμματα αναφέρονται σε μία αδιατάρακτη τροχιά τύπου 1 Tundra, με α = 416,9307734 km, e = 07, i = cos -1, Ω = 0, ω = 0 και παρουσιάζουν 5 τη διαφορά της έκκεντρης ανωμαλίας και του διανύσματος θέσης, που προκύπτουν από την επίλυση των εξισώσεων κίνησης, από τις αντίστοιχες τιμές που δίνουν η εξίσωση του Kepler και η r = α (1 e cose) Σύμφωνα με το δεύτερο από τα διαγράμματα αυτά, τα αριθμητικά σφάλματα μας απομακρύνουν το ανώτερο μέχρι 750 m από το «πραγματικό» σημείο που θα έπρεπε να βρίσκεται ο δορυφόρος Τα αριθμητικά σφάλματα γίνονται μεγαλύτερα στις τροχιές τύπου Molniya με e = 07 (δr 1km) και σημαντικά μικρότερα για μικρότερες τιμές της εκκεντρότητας Διάγραμμα 30: Εξέλιξη των αριθμητικών σφαλμάτων με το χρόνο στις τιμές της έκκεντρης ανωμαλίας Διάγραμμα 31: Εξέλιξη των αριθμητικών σφαλμάτων με το χρόνο στις τιμές του διανύσματος θέσης r Τα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζουν την συνάρτηση Hamilton σε συνάρτηση με το χρόνο για μια τροχιά τύπου Tundra, με τιμές των στοιχείων της τροχιάς όπως και παραπάνω, στην αδιατάρακτη περίπτωση και στην περίπτωση που συμπεριλαμβάνεται στο δυναμικό ο όρος J Η συνάρτηση Hamilton εκφράζεται στις μονάδες του συστήματος που περιγράφηκαν παραπάνω ( για Τ = π, α = 1) 41

Διάγραμμα 3: Εξέλιξη των αριθμητικών σφαλμάτων στις τιμές της συνάρτησης Hamilton στην αδιατάρακτη περίπτωση Διάγραμμα 33: Εξέλιξη των αριθμητικών σφαλμάτων στις τιμές της συνάρτησης Hamilton, με τον όρο J σαν διαταραχή Αν και η συνάρτηση Hamilton φαίνεται να μεταβάλλεται με το χρόνο, εάν προσέξουμε την κλίμακα του άξονα των y, θα παρατηρήσουμε ότι στην πραγματικότητα είναι σχεδόν σταθερή Ελέγχοντας τις τιμές της με ακρίβεια 16 δεκαδικών ψηφίων, θα διαπιστώσουμε ότι δύο διαδοχικές τιμές της διαφέρουν στο 1 ο -13 ο δεκαδικό ψηφίο, ενώ η τιμή της για t = 0 διαφέρει από την τιμή της για t = 10 y μετά το 8 ο δεκαδικό ψηφίο Αυτό συμβαίνει γιατί, αν και χρησιμοποιούμε μια μέθοδο τετάρτης τάξης, το βήμα μας είναι αρκετά μικρό Ανάλυση Τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν για την ανάλυση, αφορούν στις τροχιές Molniya και Tundra, με εκκεντρότητες 04 και 07 και γωνίες του περικέντρου 0, ± π/ και π Για την περίπτωση που η γωνία του περικέντρου ω είναι ίση με 0 ο, ξεκινήσαμε υπολογίζοντας εννιά τροχιές για κάθε κατηγορία (Molniya με e=07, 4

Molniya με e=04, Tundra με e=07, Tundra με e=04) Ο μεγάλος ημιάξονας κάθε τροχιάς διαφέρει από αυτόν της προηγούμενης και της επόμενης κατά 50 km Πιο συγκεκριμένα, έχουμε μία κεντρική τροχιά, της οποίας ο μεγάλος ημιάξονας α έχει την τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο 1 ώρες για τις Molniya και 4 ώρες για τις Tundra (υπολογισμένη θεωρώντας ότι δεν υπάρχουν διαταραχές) Οι υπόλοιπες τροχιές, έχουν μεγάλους ημιάξονες με τιμές α - 00 km, α - 150 km, α - 100 km, α - 50 km, α + 50 km, α + 100 km, α + 150 km, α + 00 km Για ω = ± π/ και π παίρνουμε μόνο την κεντρική τροχιά για κάθε περίπτωση Τα στοιχεία της κάθε τροχιάς για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις έχουν υπολογιστεί δύο φορές, μία κρατώντας μόνο τον όρο J στο δυναμικό της Γης και μία κρατώντας επιπλέον τους όρους J 3, J 4, C 1, C, C 31, C 3, S 1, S, S 31 και S 3 Κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων στη δεύτερη περίπτωση, εντοπίστηκε προσεγγιστικά η περιοχή συντονισμού στο εύρος τιμών του α που αναφέρθηκε παραπάνω Έτσι, για να καθορίσουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια το εύρος του συντονισμού και την τιμή του α στην οποία εμφανίζεται, πήραμε περισσότερες τροχιές, για τιμές του μεγάλου ημιάξονα που διαφέρουν κατά 10 km Πιο συγκεκριμένα, για τις τροχιές τύπου Molniya, με e = 07, πήραμε πιο πυκνές τροχιές για το διάστημα 0 Δα 100 km, για e = 04 στο διάστημα -50 Δα 50 km, ενώ για τις τροχιές τύπου Tundra με e = 07 στο -50 Δα 100 km και για e = 04 στο -100 Δα 100 km Για την περίπτωση που κρατάμε μόνο τον όρο J σαν διαταραχή και για τις τροχιές τύπου Tundra με e = 07 μελετήθηκαν τροχιές με Δα = 10 km για το διάστημα - 10 Δα 10 km, ενώ για τις τροχιές τύπου Tundra με e = 04 και Molniya με e = 07 και 04 δεν εξετάστηκαν παραπάνω τροχιές πέρα από αυτές που αναφέρθηκαν αρχικά (Δα = ± 00, ± 150, ± 100, ± 50, 0) Τα δεδομένα που μελετήθηκαν αφορούν στα στοιχεία α, e, i, Ω, ω και καλύπτουν αρχικά χρονικό διάστημα 10 ετών Σε κάθε περίπτωση σχεδιάζονται τα διαγράμματα μέγεθος χρόνος που δείχνουν σε γενικές γραμμές τη συμπεριφορά των μεγεθών, αλλά και το διάγραμμα λ Γ φ Γ Αυτό όμως που μας ενδιαφέρει κυρίως είναι να βρούμε τις βασικές συχνότητες κάθε στοιχείου, οπότε ακολουθείται η εξής διαδικασία Κατ αρχήν μετατρέπουμε τα μεγέθη στις επιθυμητές μονάδες Όσα από αυτά έχουν διαστάσεις μήκους, πολλαπλασιαζόμενα με 416,93077337 μετρώνται σε km, ενώ εκείνα που εκφράζουν γωνίες μετρώνται σε μοίρες (το πρόγραμμα τα μετατρέπει κατ ευθείαν σε μοίρες, οπότε δεν χρειάζεται να κάνουμε καμία μετατροπή στη συνέχεια) Ο χρόνος διαιρείται με π 365 και έχει ως μονάδα μέτρησης το έτος Το διάγραμμα μέγεθος χρόνος μας δείχνει εάν υπάρχει γραμμική τάση ή όχι Στην περίπτωση που υπάρχει, την αφαιρούμε προσαρμόζοντας στα δεδομένα μας μια ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Το επόμενο βήμα είναι να κάνουμε μετασχηματισμό Fourier για να εντοπίσουμε τις βασικές συχνότητες που παρουσιάζονται κάθε φορά, φροντίζοντας ώστε ο αριθμός των δεδομένων μας να είναι δύναμη του Για να το επιτύχουμε αυτό, αναγκαστικά δεν λαμβάνουμε υπ όψη έναν αριθμό δεδομένων Για παράδειγμα, εάν έχουμε 70000 δεδομένα, θα αγνοήσουμε τις τελευταίες 4464 τιμές, ώστε οι πρώτες 65536 τιμές που θα κρατήσουμε να είναι ακριβώς 16 Από το μετασχηματισμό Fourier προκύπτει το διάγραμμα πλάτος συχνότητα, οπότε εντοπίζουμε τις συχνότητες με το σημαντικότερο πλάτος και τις καταγράφουμε Για την εκτέλεση της παραπάνω διαδικασίας χρησιμοποιείται το Origin Για τις περιπτώσεις που θέλουμε να υπολογίσουμε το εύρος μεταβολής του μεγέθους στη χρονική περίοδο που μελετάμε χρησιμοποιούμε τη Mathematica Στη συνέχεια εφαρμόζεται η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω για το μήκος του αναβιβάζοντα συνδέσμου Ω, σε μία τροχιά τύπου Tundra, με Δα = -00 km (α = 419693077337 km), e = 04, i = cos -1 1/ 5, Ω = 0 και ω = 0 43

1 Διάγραμμα Ω t 0 D Linear Fit of WNEW_D -5-10 Y Axis Title -15-0 -5-30 0 4 6 8 10 X Axis Title Προσαρμογή ευθείας ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα Ω = -3,14784 t + 3,433E-5 3 Διάγραμμα Ω t μετά την αφαίρεση της τάσης 4 Μετασχηματισμός Fourier διάγραμμα πλάτους - συχνότητας Στο διάγραμμα αυτό ο οριζόντιος άξονας (συχνότητες) είναι σε λογαριθμική κλίμακα, ώστε να φαίνεται εάν υπάρχουν κορυφές σε χαμηλές συχνότητες Υπάρχει μία μικρή 44

κορυφή για f = 5-6 y -1, που αντιστοιχεί σε Τ 66 d Η σημαντικότερη κορυφή είναι για f = 365 y -1 ενώ οι υπόλοιπες σε υψηλότερες συχνότητες είναι πολλαπλάσιά της 45

4 Αποτελέσματα Πριν ξεκινήσουμε να περιγράφουμε τα χαρακτηριστικά της κάθε κατηγορίας τροχιών, έχει ενδιαφέρον να παρουσιάσουμε τα διαγράμματα μέγεθος χρόνος των στοιχείων της τροχιάς για ορισμένες περιπτώσεις Πιο συγκεκριμένα, τα παρακάτω διαγράμματα αφορούν σε μια τροχιά τύπου Molniya, με α = 656098196 km, e = 04, i = cos -1 1/ 5, Ω = 0, ω = 0 Στους υπολογισμούς, αγνοούμε όλους τους όρους διαταραχής στο δυναμικό, εκτός από το J Εκτός από τα διαγράμματα μέγεθος χρόνος, παρουσιάζονται ακόμη το διάγραμμα x y (προβολή της τροχιάς στο επίπεδο x y) και το φ Γ λ Γ (ίχνος της τροχιάς στην επιφάνεια της Γης) Το σύμβολο ww που εμφανίζεται στα διαγράμματα αντιστοιχεί στη γωνία του περικέντρου ω, ενώ το W στο μήκος του αναβιβάζοντα συνδέσμου Ω 46

Διαγράμματα 34: Διαγράμματα α, e, i, Ω, ω t για μια τροχιά τύπου Molniya, με τον όρο J σαν διαταραχή 47

Διάγραμμα 35: Διάγραμμα x y για μια τροχιά τύπου Molniya, με τον όρο J σαν διαταραχή Διάγραμμα 36: Διάγραμμα φ Γ λ Γ για μια τροχιά τύπου Molniya, με τον όρο J σαν διαταραχή Στα παραπάνω διαγράμματα, τα στοιχεία α, e και i κάνουν περιοδικές ταλαντώσεις, η μέση τιμή τους όμως ανά περίοδο είναι μηδέν, όπως άλλωστε περιμέναμε από τις εξισώσεις (8) (10) Το Ω μεταβάλλεται συνολικά κατά 180 ο περίπου σε διάστημα 10 ετών Το ω κάνει και αυτό περιοδικές ταλαντώσεις, εμφανίζει όμως και μια πολύ μικρή «τάση», η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι στην περιοχή της τροχιάς αυτής υπάρχει κάποιος συντονισμός Τα διαγράμματα που ακολουθούν περιγράφουν και αυτά μια τροχιά τύπου Molniya, με αρχικές τιμές των στοιχείων της τροχιάς όπως και στην παραπάνω περίπτωση, με τη διαφορά ότι τώρα το δυναμικό περιλαμβάνει και τους υπόλοιπους όρους διαταραχής Μάλιστα, η συγκεκριμένη τιμή του μεγάλου ημιάξονα τυχαίνει να είναι κοντά στο κέντρο του συντονισμού, η συμπεριφορά των στοιχείων όμως στην περιοχή αυτή θα αναλυθεί παρακάτω 48

49

Διαγράμματα 37: Διαγράμματα α, e, i, Ω, ω t για μια τροχιά τύπου Molniya, με περισσότερους όρους διαταραχής στο δυναμικό, εκτός από το J Διάγραμμα 38: Διάγραμμα x y για μια τροχιά τύπου Molniya, με περισσότερους όρους διαταραχής στο δυναμικό, εκτός από το J Διάγραμμα 39: Διάγραμμα φ Γ λ Γ για μια τροχιά τύπου Molniya, με περισσότερους όρους διαταραχής στο δυναμικό, εκτός από το J 50

Αυτό που παρατηρούμε στα παραπάνω διαγράμματα είναι το εξής: Κατ αρχήν, εμφανίζεται μια έντονη συχνότητα, η οποία επιδρά στα στοιχεία α, e, i και ω και προκαλεί σημαντική αύξηση στο εύρος μεταβολής τους Ακόμη, τα στοιχεία e και i αρχίζουν να παρουσιάζουν τάση, η οποία δεν υπήρχε στην περίπτωση που έχουμε μόνο τον όρο J σαν διαταραχή, ενώ οι μεταβολές στο ω γίνονται εντονότερες Παρακάτω, θα περιγράψουμε τα χαρακτηριστικά της κάθε κατηγορίας τροχιών και θα τα συγκρίνουμε με τα χαρακτηριστικά των υπόλοιπων κατηγοριών, για ω = 0 αρχικά και για ω = ± π/ ή π στη συνέχεια Οι τιμές των συχνοτήτων στο κείμενο αναφέρονται στην κεντρική τροχιά, ενώ ο τρόπος με τον οποίο μεταβάλλονται καθώς αλλάζει η τιμή του ημιάξονα θα περιγράφεται από τα αντίστοιχα διαγράμματα Molniya Kρατώντας μόνο τον όρο J στο δυναμικό e = 07 Η χαμηλότερη συχνότητα που παρουσιάζεται είναι η f 50 y -1, η οποία -1 αντιστοιχεί σε περίοδο περίπου 73 d Η αμέσως μεγαλύτερη είναι η f 730 y (περίοδος 1 h), ενώ στο διάγραμμα συχνότητας πλάτους που προκύπτει από το μετασχηματισμό Fourier παρουσιάζονται και πολλές ακόμη κορυφές, οι οποίες είναι πολλαπλάσιες της f 730 y -1 Στα στοιχεία α, e, i και ω oι κορυφές αυτές εμφανίζονται συνήθως σε ομάδες των 4-5 κορυφών που διαφέρουν μεταξύ τους κατά 50 y -1 Στα στοιχεία αυτά, οι κορυφές που αντιστοιχούν στις υψηλές συχνότητες είναι ισάξιες σε πλάτος ή και σημαντικότερες από την 50 y -1, ενώ στο Ω, όπου δεν παρατηρείται η 50 y -1, η σημαντικότερη κορυφή αντιστοιχεί σε συχνότητα περίπου 730 y -1 Τα εύρη μεταβολής των στοιχείων της τροχιάς δεν δικαιολογούνται από το πλάτος μίας μόνο κορυφής, αλλά προκύπτουν από τη σύνθεση περισσότερων Τάση εμφανίζει μόνο το Ω, ενώ το ω εμφανίζει μια πολύ μικρή κλίση της τάξης των 00 ο /y, η οποία μάλλον αποδίδεται σε μια αργή περιοδικότητα (> 10 y), που πιθανόν θα εκδηλωθεί υπολογίζοντας την τιμή του ω για πολύ μεγαλύτερο χρονικό διάστημα Οι τιμές αυτές των τάσεων συμφωνούν με τις θεωρητικά υπολογιζόμενες τιμές τους από τις σχέσεις (8) (10) Στο σημείο αυτό, είναι απαραίτητο να σημειωθεί πως όταν μιλάμε για τάση στα Ω και ω, τα οποία είναι γωνίες, στην ουσία αναφερόμαστε σε περιοδική μεταβολή, αφού οι τιμές που μπορούν να πάρουν είναι από 0 ως 360 ο Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν πώς μεταβάλλεται η μέση τιμή του α, το εύρος μεταβολής του α και του ω και η τιμή της χαμηλότερης συχνότητας των α, Ω και ω για τις διάφορες αποκλίσεις Δα από την κεντρική τροχιά: 51

6700 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 6600 6500 6400 6300-00 -100 0 Δα@km D 100 00 Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 886 884 88 88 878 876 874 5-00 -100 0 100 00 Δα@km D α: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 515 51 505 50 495-00 -100 0 100 00 Δα@km D Διαγράμματα 40: Μέση τιμή, εύρος μεταβολής και συνάρτηση του Δα βασική συχνότητα του α ως 5

W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 740 7375 735 735 730 775 75-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 41: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω με το Δα w: Εύ ρο ς μ τ αβο λ ής @ d egree s D 055 055 05 0475 045 045 04-00 -100 0 100 00 Δα@km D 5 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 515 51 505 50 495-00 -100 0 100 00 Δα@km D Διαγράμματα 4: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω σαν συνάρτηση του Δα 53

e=04 Η συχνότητα των 50 y -1 εξαφανίζεται από όλα τα στοιχεία της τροχιάς, ενώ συνεχίζουν να υπάρχουν οι υψηλότερες συχνότητες που είναι πολλαπλάσιες της 730 y -1 Η συχνότητα των 730 y -1 εμφανίζεται μόνο στο Ω και το ω Το πλάτος των κορυφών μειώνεται και αυτό συνεπάγεται την αντίστοιχη μείωση και του εύρους μεταβολής Η μείωση αυτή φαίνεται καλύτερα στα παρακάτω διαγράμματα: Μέσ ς τ ι μές @ k m D 6700 6600 6500 6400-00 -100 0 100 00 Δα@km D Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 145 14 1375 135 135 13 175 15-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διαγράμματα 43: Μέση τιμή και εύρος μεταβολής του α ως συνάρτηση του Δα 54

W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 7375 735 735 730 775 75 75-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 44: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 0056 00555 0055 00545 0054 00535-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 7375 735 735 730 775 75 75-00 -100 0 100 00 Δα@km D Διαγράμματα 45: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω σαν συνάρτηση του Δα 55

Τα παραπάνω διαγράμματα, τόσο για e = 07, όσο και για e = 04 δεν παρουσιάζουν ενδείξεις που να δηλώνουν την ύπαρξη συντονισμού στην περιοχή -00 Δα 00 km που μελετήσαμε Οι μέσες τιμές του α συνεχώς αυξάνονται με την αύξηση του Δα, ενώ το εύρος μεταβολής μειώνεται Σχεδιάζοντας προσεγγιστικά ένα διάγραμμα φάσης α φ (τα α και φ = Ω + ω + Μ - nearth t είναι συζυγείς μεταβλητές) παρατηρούμε ότι στην περιοχή του συντονισμού θα έπρεπε η μέση τιμή του α να σταθεροποιείται και το εύρος μεταβολής, ενώ είναι μικρό μακριά από το συντονισμό, να αυξάνεται σταδιακά, να γίνεται μέγιστο στην περιοχή της διαχωριστικής καμπύλης και στη συνέχεια να παρουσιάζει κάποια μείωση Τα δύο πιθανά ενδεχόμενα στην περίπτωση αυτή είναι τα εξής: είτε η περιοχή συντονισμού βρίσκεται έξω από την περιοχή που εξετάσαμε, είτε το διάστημα Δα = 50 km δεν είναι αρκετά μικρό ώστε να την εντοπίσουμε Σχήμα 6: Προσεγγιστικό διάγραμμα της περιοχής συντονισμού Κρατώντας περισσότερους όρους διαταραχής στο δυναμικό e = 07 Η χαμηλότερη συχνότητα που εμφανίζεται εδώ είναι η y -1 (αντιστοιχεί σε περίοδο 05 έτους) για την κεντρική τροχιά, η οποία αυξάνεται ή μειώνεται καθώς μεταβάλλεται το Δα, με τον τρόπο που φαίνεται στα παρακάτω διαγράμματα Η συχνότητα των y -1 διαφέρει σημαντικά από την 50 y -1 που υπήρχε κρατώντας μόνο τον όρο J του δυναμικού Επιπλέον, το πλάτος της είναι πολύ μεγαλύτερο από το αντίστοιχο της 50 y -1, αλλά ακόμη και έτσι δεν είναι ικανό από μόνο του να δικαιολογήσει το εύρος μεταβολής των στοιχείων της τροχιάς Η κορυφή αυτή εμφανίζεται σε όλα τα στοιχεία της τροχιάς και είναι η σημαντικότερη στα α, e, i, ενώ στο Ω σημαντικότερη είναι η 730 y -1 Τάση εμφανίζουν και τα στοιχεία e και το i, η οποία πιθανόν να οφείλεται σε ταλάντωση με περίοδο μεγαλύτερη των 10 ετών Το ω παρουσιάζει μη γραμμική τάση, που ίσως και αυτή να οφείλεται σε περιοδικότητα την οποία θα διαπιστώσουμε εάν αυξήσουμε το χρόνο ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης Πρακτικά βέβαια, για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, μπορούμε να την «αντιμετωπίσουμε» ως τάση Στα παρακάτω διαγράμματα, εκτός των άλλων απεικονίζεται και το εύρος μεταβολής του e και του i ως συνάρτηση του Δα 56

6700 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 6600 6500 6400 6300-00 -100 0 Δα@km D 100 00 α: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 180 160 140 10 100-00 -100 0 100 00 Δα@ km D 10 α: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 8 6 4 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διαγράμματα 46: Μέση τιμή, εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του α ως συνάρτηση του Δα 57

e: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής 00045 0004 00035 0003 0005 000 00015 0001-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διάγραμμα 47: Εύρος μεταβολής του e ως συνάρτηση του Δα i: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 1 1 08 06 04 0 0-00 -100 0 Δα@km D 100 00 Διάγραμμα 48: Εύρος μεταβολής του i ως συνάρτηση του Δα W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 740 7375 735 735 730 775 75-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 49: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα 58

w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ o D 0 15 10 5 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 10 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 8 6 4 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διαγράμματα 50: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω ως συνάρτηση του Δα Στο πρώτο από τα διαγράμματα 46 παρατηρούμε ότι οι μέσες τιμές του α αρχικά αυξάνονται καθώς αυξάνεται το Δα, ενώ στην περιοχή Δα = 0 km ως Δα = 90 km οι μέσες τιμές σταθεροποιούνται Το δεύτερο δείχνει ότι το εύρος μεταβολής του α αρχικά αυξάνεται, έχει μέγιστο για Δα = 0 km, στη συνέχεια μειώνεται, παίρνοντας την ελάχιστη τιμή για Δα 50 km, αυξάνεται και πάλι ως το Δα = 90 km, όπου παρουσιάζει μέγιστη τιμή και τέλος μειώνεται Η συμπεριφορά αυτή δηλώνει ότι βρισκόμαστε στην περιοχή συντονισμού Τα μέγιστα αντιστοιχούν στη διαχωριστική καμπύλη Το Δα για το οποίο το εύρος μεταβολής παίρνει την ελάχιστη τιμή στην περιοχή του συντονισμού μας δείχνει το κέντρο του συντονισμού Όταν το α ταλαντώνεται με το ελάχιστο πλάτος στην περιοχή του συντονισμού, τα e, i και ω ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση του i και του ω ακολουθεί την κίνηση του e, λόγω κάποιου τοπικού, προσεγγιστικού ολοκληρώματος 59

της κίνησης που τα συνδέει Η βασική συχνότητα στα α και ω είναι η ίδια και μειώνεται καθώς πλησιάζουμε στην περιοχή του συντονισμού από οποιαδήποτε πλευρά, ενώ σταθεροποιείται και αυξάνεται ελαφρά μέσα στην περιοχή του συντονισμού Για το Ω η συχνότητα είναι σταθερή και αντιστοιχεί περίπου σε περίοδο μισής ημέρας Παρατηρώντας στα διαγράμματα Fourier τη συμπεριφορά της χαμηλής συχνότητας του συστήματος διαπιστώνουμε ότι αυτή αυξάνεται για τροχιές πλησιέστερα στο κέντρο του συντονισμού και κυριαρχεί σε όλα τα στοιχεία της τροχιάς, ακόμα και στο Ω, στο οποίο δεν εμφανίζεται καν σε τροχιές μακριά από το συντονισμό Ας δούμε για παράδειγμα, πώς μεταβάλλεται το πλάτος της χαμηλής συχνότητας στα παρακάτω διαγράμματα Fourier, τα οποία προκύπτουν κατά την επεξεργασία των τιμών του μεγάλου ημιάξονα α για τις τροχιές τύπου Molniya, με e = 07, i = cos -1 1/ 5, Ω = 0, ω = 0 και α = 656098095+Δα, με Δα = 00, 0, 50 km Για Δα = 00 και 0 km δίνονται και τα διαγράμματα Fourier για το μήκος του αναβιβάζοντα συνδέσμου Ω Για Δα = 00 km, βρισκόμαστε έξω από την περιοχή του συντονισμού και το πλάτος της χαμηλής συχνότητας στο διάγραμμα του α είναι περίπου 5 km Για Δα = 0 km βρισκόμαστε πάνω στη διαχωριστική καμπύλη του διαγράμματος α φ και το πλάτος της χαμηλής συχνότητας γίνεται μέγιστο (~ 40 km) Το φάσμα των συχνοτήτων αρχίζει να γίνεται συνεχές, στοιχείο που ίσως υποδηλώνει την ύπαρξη χάους Παρατηρώντας το διάγραμμα α-t όμως, κάτι τέτοιο δεν επαληθεύτεται Αυτό σημαίνει, ότι στην περίπτωση που πράγματι έχουμε χαοτική κίνηση, αυτή εκδηλώνεται για χρονικό διάστημα μεγαλύτερο των 10 ετών Για Δα = 50 km, είμαστε πολύ κοντά στο κέντρο του συντονισμού Στην τελευταία περίπτωση, το πλάτος του συντονισμού μειώνεται κάπως και είναι περίπου 30 km Εάν πάρουμε το διάγραμμα φ Γ λ Γ για το συγκεκριμένο Δα θα παρατηρήσουμε ότι το ίχνος του δορυφόρου δεν καλύπτει όλο το διάγραμμα, όπως γίνεται για Δα μακριά από το συντονισμό, αλλά κάνει ταλαντώσεις γύρω από μια θέση ισορροπίας Για το Ω, ενώ όταν Δα = 00 km (μακριά από το συντονισμό) η κορυφή στις χαμηλές συχνότητες είναι σχετικά ασήμαντη, με πλάτος 0005 ο, για Δα = 0 km (διαχωριστική καμπύλη) το πλάτος της γίνεται περίπου 0035 ο Διάγραμμα 51: Διάγραμμα Fourier για το α, μιας τροχιάς τύπου Molniya, μακριά από την περιοχή του συντονισμού 60

Διάγραμμα 5: Διάγραμμα Fourier για το Ω, μιας τροχιάς τύπου Molniya, μακριά από την περιοχή του συντονισμού Διάγραμμα 53: Διάγραμμα Fourier για το α, μιας τροχιάς τύπου Molniya κοντά στη διαχωριστική καμπύλη 61

Διάγραμμα 54: Διάγραμμα Fourier για το Ω, μιας τροχιάς τύπου Molniya κοντά στη διαχωριστική καμπύλη Διάγραμμα 55: Διάγραμμα Fourier για το α, μιας τροχιάς τύπου Molniya κοντά στο κέντρο του συντονισμού Αναφέρθηκε παραπάνω ότι πάνω στη διαχωριστική καμπύλη του διαγράμματος φάσεων (Δα = 0 km) εμφανίζεται χάος στην περίπτωση του α Αξίζει επομένως να εξετάσουμε τη συμπεριφορά των στοιχείων της τροχιάς ως συνάρτηση του χρόνου για το συγκεκριμένο Δα, η οποία φαίνεται στα παρακάτω διαγράμματα 6

63

Διαγράμματα 56: Διαγράμματα α, e, i, Ω, ω - t κοντά στη διαχωριστική καμπύλη του συντονισμού Τα παραπάνω διαγράμματα δεν παρουσιάζουν «ενδείξεις» ύπαρξης χάους Επομένως, ο χρόνος που απαιτείται για να εκδηλωθεί είναι μεγαλύτερος από τα 10 έτη e=04 Η συχνότητα των y -1 που υπήρχε για e=07 μετακινείται προς τα κάτω και παίρνει την τιμή 0334 y -1 (περίοδος περίπου 3 y) για την κεντρική τροχιά Η f = 0334 y -1 εμφανίζεται στα στοιχεία α, e, i και ω και μπορεί να κυριαρχεί ή όχι, ενώ στο Ω έχει ασήμαντο πλάτος σε περιοχές μακριά από το συντονισμό Τότε, η κυριότερη συχνότητα έχει τιμή περίπου 730 y -1 Όσο πλησιάζουμε όμως προς το συντονισμό, το πλάτος της χαμηλής συχνότητας γίνεται όλο και μεγαλύτερο Παρατηρούμε ότι κρατώντας μόνο τον όρο που περιέχει το J στο δυναμικό, δεν εμφανίζεται χαμηλή συχνότητα για την ίδια τιμή της εκκεντρότητας, επομένως η f = 0334 y -1 που υπάρχει εδώ, οφείλεται ξεκάθαρα στην επίδραση των επιπλέον όρων Γραμμική τάση έχουν όλα τα στοιχεία της τροχιάς εκτός από το α Για το ω ισχύει ό,τι και στην περίπτωση με e = 07 64

Μέσ ς τ ι μές @ k m D 6700 6600 6500 6400-00 -100 0 100 00 Δα@km D Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 45 40 35 30 5 0 15-00 -100 0 100 00 Δα@ km D 8 α: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 6 4 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διαγράμματα 57: Μέση τιμή, εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του α ως συνάρτηση του Δα 65

7375 W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 735 735 730 775 75 75-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 58: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 5 15 1 05 0-00 -100 0 Δα@km D 100 00 8 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 6 4 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διάγραμμα 59: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω ως συνάρτηση του Δα 66

Εδώ η περιοχή του συντονισμού εμφανίζεται για -10 Δα 0 km και έχει εύρος 30 km που είναι αρκετά μικρότερο σε σχέση με τα 70 km για e = 07 Το κέντρο του συντονισμού είναι για Δα 0 km Η μορφή και η ερμηνεία των διαγραμμάτων δεν διαφέρει από την περίπτωση με e = 07 Εδώ όμως, τα διαγράμματα Fourier δεν δείχνουν χαοτική συμπεριφορά για τα Δα που είναι κοντά στη διαχωριστική καμπύλη Tundra Κρατώντας μόνο τον όρο J στο δυναμικό e = 07 Η σημαντικότερη κορυφή που παρατηρείται στις χαμηλές συχνότητες είναι για f 10 y -1 (περίοδος περίπου 365 d) Η κορυφή αυτή, αν και εμφανίζεται σε όλα τα στοιχεία της τροχιάς εκτός από το Ω, δεν είναι η κυριότερη Στα στοιχεία αυτά υπάρχουν ακόμη ζεύγη ή ομάδες κορυφών οι οποίες είναι πολλαπλάσιες της f 365 y -1 (περίοδος 1 d) και είναι σχεδόν όλες εξίσου σημαντικές σε πλάτος Οι συχνότητες της ίδιας ομάδας διαφέρουν μεταξύ τους κατά περίπου 10 y -1 Στο Ω οι κορυφές είναι πιο ξεκάθαρες και δεν υπάρχουν πλέον ομάδες Η f 10 y -1 στην περίπτωση αυτή έχει αμελητέο πλάτος, ενώ η σημαντικότερη συχνότητα είναι η f 365 y -1 Γραμμική τάση εμφανίζει μόνο το Ω, της οποίας η τιμή συμφωνεί με αυτή που υπολογίζεται θεωρητικά 4300 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 400 4100 4000-00 -100 0 100 00 Δα@km D 67

557 Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 556 555 554 553 55-00 -100 0 100 00 Δα@km D α: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 10 1015 101 1005 10 995 99 985-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διαγράμματα 60: Μέση τιμή, εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του α ως συνάρτηση του Δα 368 W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 367 366 365 364 363-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 61: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα 68

w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 0036 00358 00356 00354 0035 0035-00 -100 0 100 00 Δα@km D w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 10 1015 101 1005 10 995 99 985-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 61: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω ως συνάρτηση του Δα Αναζητώντας την ύπαρξη συντονισμού, μελετήθηκαν τροχιές με τιμές του μεγάλου ημιάξονα που διαφέρουν κατά 10 km στην περιοχή -10 Δα 10 km, ενώ έχουμε και τροχιές για Δα = ± 150, ± 00 km Παρ όλ αυτά, δεν υπάρχουν στοιχεία που να παραπέμπουν στην ύπαρξη συντονισμού στην περιοχή αυτή Επομένως, για να τον εντοπίσουμε, πρέπει, είτε να διευρύνουμε το διάστημα των Δα που μελετάμε, στην περίπτωση που ο συντονισμός εμφανίζεται εκτός της περιοχής αυτής, είτε να πάρουμε πυκνότερες τροχιές μέσα σε αυτό το διάστημα, στην περίπτωση που ο συντονισμός βρίσκεται στο διάστημα -00 Δα 00 km e=04 Όπως συνέβη και στις τροχιές τύπου Molniya, για e= 04 η κορυφή των 10 y - 1 εξαφανίζεται, ενώ συνεχίζουν να υπάρχουν κορυφές σε συχνότητες πολλαπλάσιες της 365 y -1 Καμία από αυτές δεν φαίνεται να κυριαρχεί στα α, e, i, και w, στο Ω -1 όμως η f 365 y έχει σημαντικά μεγαλύτερο πλάτος από τις πολλαπλάσιες συχνότητές της Το εύρος μεταβολής των στοιχείων της τροχιάς είναι πολύ μικρότερο από το αντίστοιχο για e = 07, μιας και το πλάτος των κορυφών είναι αρκετά 69

μικρότερο Γραμμική τάση έχει μόνο το Ω Η μικρή κλίση που παρουσιάζει το ω μπορεί να ερμηνευτεί και εδώ σαν πολύ αργή περιοδικότητα 4300 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 400 4100 4000-00 -100 0 100 00 Δα@km D Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 781 78 779 778 777 776 775 774-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διαγράμματα 6: Μέση τιμή και εύρος μεταβολής του α ως συνάρτηση του Δα 367 W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 366 365 364 363-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 63: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα 70

w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 00144 00143 0014 00141 0014-00 -100 0 100 00 Δα@km D 367 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 366 365 364 363-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 64: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω ως συνάρτηση του Δα Ούτε στην περίπτωση αυτή εντοπίστηκε η περιοχή του συντονισμού, για τους ίδιους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω Κρατώντας περισσότερους όρους διαταραχής στο δυναμικό e = 07 Η κορυφή των 10 y -1 που είχαμε κρατώντας μόνο τον όρο του δυναμικού που περιέχει το J μειώνεται σημαντικά και εμφανίζεται στα 055695 y -1 ( περίοδος περίπου y) Το πλάτος της συχνότητας αυτής είναι πολύ αυξημένο για την κεντρική τροχιά, μειώνεται όμως καθώς κινούμαστε σε μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές του μεγάλου ημιάξονα Στην κεντρική τροχιά η κορυφή που αντιστοιχεί στην f 055695-1 y είναι η επικρατέστερη, στις υπόλοιπες τροχιές όμως μπορεί να μην διαφέρει σημαντικά από τα πλάτη των υπόλοιπων κορυφών Η συχνότητα αυτή εμφανίζεται και στο Ω στις περισσότερες περιπτώσεις, με πλάτος που είναι συγκρίσιμο με το πλάτος της f 365 y -1 Εκτός από τις 055695 y -1 και f 365 y -1 στα διαγράμματα 71

Fourier παρατηρούνται κι άλλες σημαντικές κορυφές, ιδιαίτερα όσο απομακρυνόμαστε από την κεντρική τροχιά, που όμως είναι πολλαπλάσιες της f 365 y -1 Επιπλέον, έχουμε ομάδες κορυφών με παρόμοιο πλάτος Οι κορυφές της ίδιας ομάδας διαφέρουν μεταξύ τους κατά 10 y -1 περίπου Τάση παρουσιάζουν τα i, Ω και ω, ενώ το εύρος μεταβολής των α και e είναι αρκετά μεγαλύτερο σε σύγκριση με την περίπτωση που έχουμε μόνο το J στο δυναμικό 4300 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 400 4100 4000-00 -100 0 100 00 Δα@km D 130 Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ k m D 10 110 100 90 80 70 60-00 -100 0 Δα@km D 100 00 7

6 α: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 5 4 3 1 0-00 -100 0 Δα@km D 100 00 Διαγράμματα 65: Μέση τιμή, εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του α ως συνάρτηση του Δα 368 W: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 367 366 365 364 363-00 -100 0 100 00 Δα@ km D Διάγραμμα 65: Μεταβολή της βασικής συχνότητας του Ω ως συνάρτηση του Δα w: Εύ ρ ο ς Μ τ αβο λ ής @ d egree s D 1 1 08 06 04 0 0-00 -100 0 Δα@km D 100 00 73

6 w: Σ υ χ ν ό τ ητ α @1êyD 5 4 3 1 0-00 -100 0 Δα@ km D 100 00 Διαγράμματα 66: Εύρος μεταβολής και βασική συχνότητα του ω ως συνάρτηση του Δα Η περιοχή του συντονισμού εντοπίζεται για 10 Δα 70 km To εύρος της είναι 60 km (παρόμοιο με την περίπτωση των τροχιών τύπου Molniya), ενώ το κέντρο του συντονισμού είναι προσεγγιστικά για Δα = 40 km Η ερμηνεία των διαγραμμάτων είναι όμοια με την περίπτωση των τροχιών τύπου Molniya με e = 07 Και εδώ τα διαγράμματα Fourier που παίρνουμε από την ανάλυση του μεγάλου ημιάξονα υποδηλώνουν την πιθανή ύπαρξη χάους στις τροχιές που βρίσκονται πλησιέστερα στη διαχωριστική καμπύλη Σχεδιάζοντας το ίχνος του δορυφόρου στην επιφάνεια της Γης για το Δα που είναι πιο κοντά στο κέντρο του συντονισμού, παρατηρούμε ότι δεν καλύπτεται όλο το διάστημα φ Γ λ Γ, αλλά ότι έχουμε ταλαντώσεις γύρω από μια θέση ισορροπίας Τα διαγράμματα που ακολουθούν είναι για χρονικό διάστημα 10 ετών Το πρώτο είναι για Δα = 0 και καλύπτει πυκνά όλο το διάγραμμα και το δεύτερο για Δα = 40 km Διάγραμμα 67: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07, έξω από την περιοχή του συντονισμού, για χρονικό διάστημα 10 ετών 74

Διάγραμμα 68: Το ίχνος μιας τροχιάς τύπου Tundra, με e = 07, κοντά στο κέντρο του συντονισμού, για χρονικό διάστημα 10 ετών e = 04 Η βασική συχνότητα είναι η f = 033417 y -1, η οποία είναι η επικρατέστερη στην κεντρική τροχιά, αλλά χάνει σε πλάτος, όταν το α μειώνεται ή αυξάνεται Η συχνότητα αυτή είναι λίγο μικρότερη από την f = 055695 y -1 που συναντήσαμε για e=07 και ακριβώς ίση με τη χαμηλότερη συχνότητα στις τροχιές τύπου Molniya, με e = 04, με τους ίδιους όρους στο δυναμικό Την συναντάμε σε όλα τα στοιχεία της τροχιάς εκτός από το Ω, στο οποίο η σημαντικότερη συχνότητα είναι η f 365 y -1 Η f = 055695 y -1 αν και εμφανίζεται στο Ω, στην ουσία είναι αμελητέα, αφού το πλάτος της είναι τουλάχιστον δύο τάξεις μεγέθους μικρότερο από της f 365 y -1 Γραμμική τάση παρουσιάζουν τα e, i και Ω Για το ω ισχύει ό,τι και στην περίπτωση με e = 07 Τα εύρη μεταβολής του α είναι σημαντικά μικρότερα από το αντίστοιχα για e = 07, οπωσδήποτε όμως μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα εύρη για e = 04, αλλά κρατώντας μόνο τον όρο J στο δυναμικό 4300 Μέσ ς τ ι μές @ k m D 400 4100 4000-00 -100 0 100 00 Δα@km D 75