Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:

Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1

ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΔΙΣΚΟΣ Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΧΕΤΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ & ΕΚΤΕΛΕΙ ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ Ένας κυκλικός δίσκος μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,2m ισορροπεί σε οριζόντιο επίπεδο. Την χρονική στιγμή t=0, ασκείται στον κυκλικό δίσκο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=15Ν & αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει (ο συντελεστής τριβής μ σε κάθε περίπτωση παίρνει την ελάχιστη δυνατή τιμή) κατά μήκος του οριζοντίου επιπέδου. Εάν ο φορέας της δύναμης βρίσκεται στο επίπεδο του δίσκου και απέχει απόσταση y από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: F 1. Να προσδιορίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις και να κατασκευάσετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. α α fy β Τ fy γ µ fy 2. Ποια η φόρα και ποιο το μέτρο της τριβής, όταν η δύναμη F ασκειται στα σημεια C, Ρ; 3. Σε πόση απόσταση (y) από το οριζόντιο επίπεδο πρέπει να ασκηθεί η δύναμη F, ώστε η συνολική δύναμη που δέχεται ο κυκλικός δίσκος από αυτό να είναι ίση με το βάρος του; 4. Αν σε κάποια χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια του κυκλικού δίσκου είναι Κ=90π J και η δύναμη F ασκείται σε απόσταση από το οριζόντιο επίπεδο ίση με εκείνη που προκύπτει από το ερώτημα 3, να προσδιορίσετε τον αριθμό των περιστροφών που έχει εκτελέσει ο κυκλικός δίσκος καθώς και το διάστημα που έχει διανύσει ως αυτή τη χρονική στιγμή. Δίνεται: Ι ύ ί mr, g10m s 2

Απάντηση: T ωufxacn WR F+ g Ερώτημα 1: Στο κυκλικό δίσκο ασκούνται οι εξής δυνάμεις: Το βάρος του W, η οριζόντια δύναμη F και η αντίδραση FA από το οριζόντιο επίπεδο στο σημείο Κ, την οποία αν την αναλύσουμε σε συνιστώσες, η μια από αυτές θα είναι κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω (αντίδραση Ν), ενώ η άλλη θα είναι οριζόντια (Στατική Τριβή Τ Δε μπορούμε να γνωρίζουμε εξαρχής τη φορά της). Υποθέτουμε ότι η τριβή Τ έχει φορά προς τα αριστερά. Τότε από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα έχουμε: Στ I α. W0Ν0ΤRFy R I α.. R ΤRFy R I α. α TR FRy R I R R 2T 2F y α R m Από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα έχουμε: ΣF mα FTmα TFm α Οπότε με συνδυασμό των παραπάνω σχέσεων θα έχουμε: R 2T 2F y α R 2F mα 2F yr m α R m TFmα 3

2R F mα 2Fy R= mr α 2mRα mrα 2RF2Fy R α 2F 3mR α 215 340,2 α 12,5 y, α m,ym s και TFmα TF 2F m 3mR ytf 3R 2y 3R T1550y, T N,y m T15 30,22y 30,2 Σχόλιο 1! Αν η τιμή της τριβή Τ είναι θετικός αριθμός τότε έχει φορά προς τα αριστερά, όπως υποθέσαμε αρχικά. Αντίθετα αν η τιμή της είναι αρνητικός αριθμός έχει φορά προς τα δεξιά. Σχόλιο 2! Για y=0 προκύπτει Τ = F. Δηλαδή όταν η δύναμη F ασκείται στο κατώτερο σημείο, ο κυκλικός δίσκος δεν κινείται. Ο κυκλικός δίσκος για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, πρέπει να ισχύει: Τ Τ Τ µν W T µwµ Τ W F F R µ F W 2F 3RW yµ3 8 5 4 άρα µ 3 8 5 4 Για την απόσταση y θα ισχύει:, Γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων α fy Τ fy µ fy 4

Ερώτημα 2: Όταν η δύναμη F ασκείται στο σημείο C y=r=0,2m, Όταν η δύναμη F ασκείται στο σημείο P y=2r=0,4m y R0,2m y R 0,2m T C 1550y T C 1550R y 2R 0,4m T P 1550y y 2R 0,4m T P 15502R y R 0,2m T C 5N0φορά προς τα αριστερά y 2R 0,4m T P 5N 0φοράπρος τα δεξιά Ερώτημα Α.3: Η συνολική δύναμη που δέχεται ο κυκλικός δίσκος από το οριζόντιο επίπεδο είναι: Διανυσµατικά F A N T Κατα Μέτρο: F A N T Οπότε, η δύναμη FA γίνεται ίση με το βάρος W του δίσκου (FA=W, κατά μέτρο), όταν μηδενιστεί η τριβή. Δηλαδή: Τ0Τ1550y0y 15 50 m 0,3m Άρα έχουμε FA=W όταν η Δύναµη F ασκείται σε απόσταση 0,3m από το οριζόντιο επίπεδο. Ερώτημα Α.4: Αριθμός των περιστροφών που εκτελεί ο δίσκος, μέχρι τη στιγμή που η Κινητική του ενέργεια γίνεται 90π J είναι: Σε 1 περιστροφή ο δίσκος διαγράφει γωνία 2π Σε n1 περιστροφές ο δίσκος διαγράφει γωνία θ1 1 n 2π θ n θ 2π Το διάστημα που διανύει ως αυτή τη χρονική στιγμή είναι: S R θ 5

Για τον υπολογισμό της γωνίας θ1 εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (η τριβή είναι μηδέν διότι y=0,3m, οπότε WT=0, WN=0, WW=0) Κ. Κ. W Fµ. W F. Τελικά: KFS Fy R θ S R KFRθ Fy R θ θ K Fy θ 90π 15 0,3 rad θ 20π rad S Rθ S 0,2 20π m S 4π m n θ 2π n 20π 2π περιστροφές n 10περιστροφές Επιμέλεια Θεμάτων: 6