Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης, σχετικής, και αθροιστικής συχότητας. Το τρόπο κατασκευής πιάκω συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω και τω γραφικώ τους παραστάσεω (Ραβδόγραµµα, ιάγραµµα συχοτήτω, Κυκλικό ιάγραµµα, Σηµειόγραµµα και Χροόγραµµα). Τη διαδικασία της οµαδοποίησης τω παρατηρήσεω σε ισοπλατείς κλάσεις και τη κατασκευή πίακα συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και τω ατίστοιχω Ιστογραµµάτω. Τη έοια της καµπύλης συχοτήτω και τη µορφή της σε συγκεκριµέες καταοµές. Το ορισµό και το τρόπο υπολογισµού τω µέτρω θέσης και διασποράς µιας καταοµής (µέση τιµή, σταθµικός µέσος, διάµεσος, εύρος, διακύµαση, τυπική απόκλιση.) καθώς και τις ιδιότητες της τυπικής απόκλισης στη καοική καταοµή. Το ορισµό του συτελεστή µεταβολής και του οµοιογεούς δείγµατος.
Τυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,..., κ ή F =, =,..., Επίκετρη γωία κυκλικού τοµέα: o φ = f 360 = 360 κ κ Μέση τιµή: x = t x = x x = xf = = = Σταθµικός µέσος: x σ = = = xw w ιάµεσος: δ= x + α = περιττός, 2 Εύρος: R = xmax xmn x + x + 2 2 δ= α = άρτιος 2 ιακύµαση: s (t x) 2 2 = = s = (t x) 2 κ 2 = 2 t 2 2 = 2 s = t = x x = s = κ 2 2 x = κ = 2 x 2 Τυπική απόκλιση: s= s 2 Συτελεστής µεταβολής: s CV = x
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα ο Μαθαίουµε τις αποδείξεις 49. Μαθαίουµε τις αποδείξεις ΘΕΩΡΙΑ 5: Να δείξετε ότι ισχύει: ) f + f 2 + f 3 +... + f k =, Απόδειξη: )0 f,=,2,..., κ 2 3 k + 2 + 3 +... +k ) f+ f2 + f 3 +... + f k = + + +... = = = ) 0 0 0 f
Στατιστική 50. Επααλαµβάουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα 2 ο Επααλαµβάουµε τις ασκήσεις - κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο Να λύσω τις ασκήσεις: Σελ. 79: Ασκήσεις Α Οµάδας 4, 5, 7, 8 Σελ. 80: Ασκήσεις Α Οµάδας 0,, 2 Σελ. 8: Ασκήσεις Α Οµάδας 4 Β Οµάδας 2, 4 Σελ. 83: Ασκήσεις Β Οµάδας 7 Σελ. 00: Ασκήσεις Α Οµάδας 3, 4, 5, 6, 7 Σελ. 0: Ασκήσεις Α Οµάδας 9, 0, 2 Σελ. 02: Ασκήσεις Α Οµάδας 7, 9, 20 Β Οµάδας Σελ. 03: Ασκήσεις Β Οµάδας 2, 3, 4, 5
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύουµε περισσότερες ασκήσεις 5. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις. Οι παρακάτω αριθµοί είαι το πλήθος τω τηλεφωικώ κλήσεω που πραγµατοποίησα σε µία µέρα 30 συδροµητές. Λύση: Να κατασκευάσετε: α. Tους πίακες συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω. β. Tο διάγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο. γ. Nα βρεθεί το ποσοστό τω συδροµητώ που πραγµατοποίησα:. τουλάχιστο 6 κλήσεις. 2. το πολύ 5 κλήσεις. 3. από 4 εως και 7 κλήσεις. α. Ο πίακας συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω είαι ο ακόλουθος: β. Το διάγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο είαι το παρακάτω: ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
Στατιστική 52. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο γ. Το ποσοστό τω συδροµητώ που πραγµατοποίησα:. τουλάχιστο 6 κλήσεις είαι: 00% F 5% = 00% 56,7% = 43,3% 2. το πολύ 5 κλήσεις είαι: F% 5 = 56,7% 3. από 4 εως και 7 κλήσεις είαι: F 7% F 3% = 83,3% 46,7% = 36,6% 2. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα και κατόπι α κατασκευάσετε το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. Λύση: N4 N4 80 Έχουµε: F 4% = 00 = 00 = 00 = 200 F% 40 Επίσης: F% F = = 0,= f άρα: 00 = f = 200 0, = 20 =Ν και 2 = f2 = 200 0,075= 5 Τότε: Ν 2 = + 2 = 20 + 5 = 35 3 = Ν3 Ν 2 = 80 35 = 45 και 5 = ( + 2 + 3 + 4) = 200 30 = 70 4
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύουµε περισσότερες ασκήσεις 53. Στο διπλαό διάγραµµα φαίεται το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω: 3. Σε κάποιους ασθεείς χορηγήθηκε έα έο ατιπυρετικό φάρµακο. Σε έλεγχο που διεεργήθηκε αά µία ώρα καταγράφηκα τα ποσοστά τω ασθεώ στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού. Τα ποσοστά φαίοται στο ακόλουθο πίακα: Να κατασκευασθεί το χροόγραµµα τω ποσοστώ τω ασθεώ στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και το χροόγραµµα τω ποσοστώ τω ασθεώ στους οποίους η θερµοκρασία δε σηµείωσε πτώση. Λύση: Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τα ποσοστά τω ασθεώ στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και τα ποσοστά τω ασθεώ στους οποίους η θερµοκρασία δε σηµείωσε πτώση: Το χροόγραµµα τω ποσοστώ τω ασθεώ στους οποίους παρατηρήθηκε πτώση του πυρετού καθώς και το χροόγραµµα τω ποσοστώ τω ασθεώ στους οποίους η θερµοκρασία δε σηµείωσε πτώση είαι το ακόλουθο:
Στατιστική 54. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 4. Σε έα κυκλικό διάγραµµα ο κυκλικός τοµέας της τιµής Α έχει κετρική γωία ίση µε 20 0. Α η µεταβλητή που µελετούµε παίρει τιµές Α, Β, Γ, και η τιµή Α έχει διπλάσια σχετική συχότητα από τη Β και τριπλάσια από τη Γ, α κατασκευάσετε το ατίστοιχο ραβδόγραµµα. Λύση: Έχουµε: o o φa 20 φ A = fa 360 fa = = = o o 360 360 3 fa Επίσης: fa = 2fB fb = = 2 6 fa fa = 3fΓ fγ = = 3 9 7 f = (fa + fb + f Γ) f = + + f = 3 6 9 8 5. Οι πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια εός προϊότος φαίοται στο διπλαό ραβδόγραµµα. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύουµε περισσότερες ασκήσεις 55. Λύση: Κατασκευάζουµε το παρακάτω βοηθητικό πίακα: 6. Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τω αριθµό πελατώ που επισκέφθηκα έα κατάστηµα σε µία χροική περίοδο 00 ηµερώ. α. Να συµπληρώσετε το πίακα: Λύση: β. Να κάετε:. Το ιστόγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο 2. Το ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % και το ατίστοιχο πολύγωο γ. Να βρείτε το ποσοστό τω ηµερώ στις οποίες επισκέφθηκα το κατάστηµα:. Λιγότεροι από 50 πελάτες 2. Από 35 εως 75 πελάτες 3. Από 43 εως 63 πελάτες. α. Ο πίακας συχοτήτω είαι ο ακόλουθος: ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
Στατιστική 56. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο β.. Το ιστόγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο είαι: 2. Το ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % και το ατίστοιχο πολύγωο είαι: γ.. Λιγότεροι από 50 πελάτες: Από το πίακα είαι: F 2 % = 20% f% 5 f% 2. Από 35 εως 75 πελάτες: Από τις κετρικές τιµές είαι: F 4% + = 59% 2 2 3. Από 43 εως 63 πελάτες: Με γραφική επίλυση στο ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % είαι: 50,3% 2% = 38,3%
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύουµε περισσότερες ασκήσεις 57. 7. Να υπολογιστεί η συχότητα που λείπει στο παρακάτω πίακα συχοτήτω α γωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είαι ίση µε 3,02 β. η διάµεσος είαι ίση µε 3,5 Λύση: α. 5 = 85 x = x 3,02 = (242 + 4 ω) 256,7 + 3,02ω= 242 + 4ω +ω 4,7 = 0,98ω ω = 5 β. Επειδη καµία από τις παρατηρήσεις δε ισούται µε 3,5 προφαώς η διάµεσος υπολογίζεται σα το ηµιάθροισµα τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω οι οποίες είαι διαδοχικοί αριθµοί έστω α και α +.Τότε: α+α+ = 3,5 2α+ = 7 α= 3 2 ηλαδή το 50% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες ή ίσες του 3 και το άλλο 50% είαι µεγαλύτερες ή ίσες του 4, οπότε: 23 + 7 + 20 = ω + 25. Άρα ω = 35. 8. Η βαθµολογία στα 0 µαθήµατα εός µαθητή είαι: 0,, 9, 0, 0, 5, 5, 5,, 0. Να υπολογίσετε: Λύση: α. Τη µέση τιµή. β. Τη διακύµαση. γ. Τη τυπική απόκλιση. δ. Το εύρος. ε. Το συτελεστή µεταβολής. Κατασκευάζουµε το διπλαό πίακα:
Στατιστική 58. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο α. 4 = x = x = 26 = 2,6 0 0 β. γ. s= 9,04 3 4 2 x 4 2 2 2 = 26 s = x = 678 = 67,8 58, 76 = 9, 04 0 = 0 0 0 δ. R = x max x mn = 9 0 = 9 ε. s 3 CV = = = 0,238 = 23,8% x 2,6 9. Μια καοική καταοµή έχει µέση τιµή 30 και τυπική απόκλιση 5. Να βρεθεί το ποσοστό τω παρατηρήσεω που περιέχοται στα διαστήµατα: Λύση: α. (25,35) β. (30,35) γ. (20,40) δ. (20,30) ε. (5,45) Είαι το δείγµα οµοιογεές; Επειδή η καταοµή είαι καοική ισχύει: α. Το διάστηµα (25,35) = (x s,x + s) περιέχει το 68% τω παρατηρήσεω περίπου. β. Το διάστηµα (30,35) = (x, x + s) περιέχει το 68%/2 = 34% τω παρατηρήσεω περίπου. γ. Το διάστηµα (20,40) = (x 2s,x + 2s) περιέχει το 95% τω παρατηρήσεω περίπου. δ. Το διάστηµα(20,30) = (x 2s,x) περιέχει το 95%/2 = 47,5% τω παρατηρήσεω περίπου. ε. Το διάστηµα (5, 45) = (x 3s, x + 3s) περιέχει το 99,7% τω παρατηρήσεω περίπου. Υπολογίζουµε το συτελεστή µεταβολής: Άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές. s 5 CV = = 0,66 = 6,6% x 30 0. Σε έα δείγµα µιας ποσοτικής µεταβλητής έχουµε v 2 t = 00, v t =4 30και Λύση: s= 5. Να βρεθεί το µέγεθος του δείγµατος α > 0. Από το τύπο της διακύµασης έχουµε: = =
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 3 ο Λύουµε περισσότερες ασκήσεις 59. 2 2 t 2 ( ) 2 4 30 2 = 2 ( ) = s = t 5 = 00 5 = 00 480 2 20+ 96 = 0 = 8 ή = 2 Επειδή > 0 έχουµε τελικά = 2.. Οι τιµές πώλησης δέκα ηλεκτρικώ συσκευώ (σε ευρώ) είαι: 265, 280, 280, 30, 400, 30, 280, 350, 280 και 265. Λύση: α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. β. Εά τα είδη πωληθού µε 0% έκπτωση, ποια από τα παραπάω µεγέθη θα αλλάξου και ποιες θα είαι οι τιµές τους µετά τη αλλαγή που θα υποστού; γ. Εά οι πελάτες επιβαρυθού µε 0 επιπλέο στη τιµή αγοράς για έξοδα µεταφοράς, ποια από τα παραπάω µεγέθη του ερωτήµατος β. θα αλλάξου και ποιες θα είαι οι τιµές τους µετά τη αλλαγή που θα υποστού; ιατάσσουµε τις τιµές κατά αύξουσα σειρά: 265, 265, 280, 280, 280, 280, 30, 30, 350, 400 α. Είαι 0 = x5 + x6 280 + 280 x = x = 3020 = 302 και δ= = = 280 0 0 2 2 β. Οι τιµές µε τη έκπτωση είαι οι : y = 0,9x, µε =,..., 0. Άρα έχουµε : y5 + y6 0,9x5 + 0,9x6 x5 + x6 y= 0,9x = 27,8 και δ y = = = 0,9 = 0,9δ x = 252 2 2 2 γ. Οι τιµές µε τη επιβάρυση είαι οι w = y + 0, =,..., 0. Άρα έχουµε : w = y + 0 = 28,8 και w + w y + 0+ y + 0 y + y 2 2 2 5 6 5 6 5 6 δ w = = = + =δ y + = 0 0 262 2. Στο διπλαό πίακα δίοται οι τιµές x µιας µεταβλητής και οι ατίστοιχες συχότητές τους και για τη µέση τιµή ισχύει: x 2. α. Να αποδείξετε ότι: κ 2 β. Α η διάµεσος της καταοµής είαι δ = 2,α βρείτε τα κ και λ.
Στατιστική 60. Λύουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: α. Έχουµε κ + 5 + λ + 2 + = 25λ = 7 - κ () κ+ 2 5+ 3 λ+ 4 2+ 5 Επίσης: x 2 2 κ + 0 + 3λ + 8 + 5 50 25 κ + 3λ 27 () κ+3(7-κ) 27 κ+5-3κ 27 2κ 24 κ 2 (2) β. Επειδή το σύολο τω παρατηρήσεω είαι περιττό ( = 25), η διάµεσος θα ισούται µε τη µεσαία παρατήρηση α διαταχθού σε αύξουσα σειρά (άρα είαι t 3 = 2), οπότε οι παρατηρήσεις µε τιµή θα είαι το πολύ 2. ηλαδή ισχύει: κ 2 (3) Από τις (2) και (3) προκύπτει κ = 2 και λόγω της () λ = 5. 3. Έστω έα σύολο παρατηρήσεω µε τιµές x, x 2, x 3 και x 4 και ατίστοιχες συχότητες (απόλυτες), f (σχετικές), Ν (αθροιστικές) και F (αθροιστικές σχετικές). Να βρείτε τη διάµεσο τω αριθµώ 0,,,, f 3, N, N 4, F 3, F 4. Λύση: Ισχύου: 0 f άρα 0 f 3 F 3 = f + f 2 + f 3 άρα f 3 F 3 F 4 = F 3 + f 4 = άρα F 3 F 4 = Η µεταβλητή παίρει τη τιµή x άρα και Ν = άρα = Ν Ν 4 = + 2 + 3 + 4 = άρα = Ν Ν 4 = Έτσι οι ειά αριθµοί σε αύξουσα σειρά είαι: 0, f 3, F 3, F 4,,, N, N 4,. Η διάµεσος αφού το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττό, ισούται µε τη µεσαία παρατήρηση, δηλαδή δ =.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 6. Λύουµε µόοι µας. Οι παρακάτω αριθµοί είαι το πλήθος επισκέψεω σε µουσεία που πραγ- µατοποίησα στη διάρκεια µιας σχολικής χροιάς 25 σχολεία. Να κατασκευάσετε: α. Τους πίακες συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω. β. Το διάγραµµα συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο. γ. Να βρεθεί το ποσοστό τω σχολείω που πραγµατοποίησα:. τουλάχιστο 2 επισκέψεις. 2. το πολύ 4 επισκέψεις. 3. από 3 εως και 5 επισκέψεις.
Στατιστική 62. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 2. Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα και κατόπι α κατασκευάσετε το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. 3. Η θερµοκρασία µιας µηχαής αυξάεται καθως αυτή εργάζεται. Σε έλεγχο που διεεργήθηκε αά µία ώρα καταγράφηκα οι θερµοκρασίες σε βαθµούς Κελσίου. Οι θερµοκρασίες φαίοται στο ακόλουθο πίακα: Να κατασκευασθεί το χροόγραµµα τω θερµοκρασιώ της µηχαής. Να συµπληρώσετε το χροόγραµµα α στις επόµεες 3 ώρες η θερµοκρασία παρουσιάζει 25% αύξηση επί της προηγούµεης τιµής της.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 63. 4. Σε έα κυκλικό διάγραµµα ο κυκλικός τοµέας της τιµής Α έχει κετρική γωία ίση µε 60 ο. Α η µεταβλητή που µελετούµε παίρει τιµές Α, Β, Γ, και η τιµή Β σχετική συχότητα ίση µε 0,2 και η τιµή έχει διπλάσια σχετική συχότητα από από τη Γ, α κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµ- µα και το ατίστοιχο ραβδόγραµµα. 5. Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τα ποσά σε ευρώ που ξοδεύου 00 µαθητές στο κυλικείο του σχολείου τους σε διάστηµα εός µηός. α. Να συµπληρώσετε το πίακα: β. Να κάετε το ιστόγραµµα αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω % και το ατίστοιχο πολύγωο. γ. Να βρείτε το ποσοστό τω µαθητώ που ξοδεύου:. Λιγότερο από 30 ευρώ 2. 35-55 ευρώ 3. 53-73 ευρώ. δ. Να βρείτε το µέσο ποσό χρηµάτω που ξοδεύου οι µαθητές.
Στατιστική 64. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 6. Οι βαθµοί εός υποψηφίου σε τέσσερα µαθήµατα µε άριστα το 0 ήτα 5, 7, 4 και 9. Οι συτελεστές στάθµισης ήτα ατίστοιχα 0.7,.2,.5 και x. Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή του συτελεστή στάθµισης x ώστε ο σταθµικός µέσος του υποψηφίου α υπερβαίει το 7.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 65. 7. Να υπολογιστεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή της συχότητας που λείπει στο παρακάτω πίακα συχοτήτω α γωρίζουµε ότι η διάµεσος είαι ίση µε 3. 8. Να υπολογιστεί η συχότητα που λείπει στο παρακάτω πίακα συχοτήτω α γωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είαι ίση µε 3,4 β. η διάµεσος είαι ίση µε 3,5 γ. Να υπολογιστεί σε κάθε περίπτωση ο συτελεστής µεταβολής.
Στατιστική 66. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 9. Στο παρακάτω πίακα δίεται η καταοµή συχοτήτω 70 µαθητώ εός Λυκείου για το αριθµό τω αδελφώ τους. Α x=3 και CV = /3, α βρεθού οι τιµές τω ακεραίω κ και λ καθώς και η διάµεσος της καταοµής.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 67. 0. Στα οµαδοποιηµέα δεδοµέα αποδείξτε γεωµετρικά ότι ισχύει ο ακόλουθος τύπος για τη διάµεσο δ=l /2 - N- + c όπου: v c: το πλάτος τω κλάσεω : η συχότητα της κλάσης L : το αριστερό άκρο της κλάσης που περιέχει τη διάµεσο δ N - : η αθροιστική συχότητα της προηγούµεης κλάσης : το µέγεθος του δείγµατος. Η βαθµολογία στα 0 µαθήµατα εός µαθητή είαι: 2, 08, 7, 3, 4,, 0, 0, 3, 3. Να υπολογίσετε: α. Τη µέση τιµή. β. Τη διακύµαση. γ. Τη τυπική απόκλιση. δ. Το εύρος. ε. Το συτελεστή µεταβολής.
Στατιστική 68. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 2. Εξετάστηκε έα δείγµα 200 ατόµω ως προς τη διάρκεια σε ηµέρες τω καλο- καιριώ διακοπώ του περασµέου έτους και προέκυψε ο διπλαός πίακας: α. Να κατασκευάσετε το πολύγωο τω αθροιστικώ συχοτήτω. β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο της καταοµής και τη τυπική απόκλιση.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 69. 3. Ο υπεύθυος Μarketng µιας ξεοδοχειακής µοάδας πραγµατοποίησε µια έρευα για το αριθµό ηµερώ παραµοής τω πελατώ τω ξεοδοχείω. Κατόπι έδωσε τα στοιχεία της έρευας µε το διπλαό πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω. α. Πόσοι πελάτες πέρασα από το ξεοδοχείο; β. Να γίει το πολύγωο συχοτήτω και ο πίακας απολύτω και αθροιστικώ συχοτήτω. γ. Να βρεθού η µέση τιµή, η διάµεσος, η διασπορά, η διακύµαση και η τυπική απόκλιση. δ. Χαρακτηρίστε τη καταοµή σα καοική, οµοιόµορφη ή καταοµή µε θετική ή αρητική ασυµµετρία.
Στατιστική 70. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 4. Σε έα δείγµα η µεταβλητή παίρει τις τιµές, 2, 3, 4 και 5. Να βρεθεί η διάµεσος σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις µε τη βοήθεια τω κυκλικώ διαγραµµάτω.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 7. 5. Για τους αριθµούς 4, 8, 2, 4, 0, 3, x, y είαι γωστό ότι x=7 και δ = 6. α. Να βρεθού οι αριθµοί x, y. β. Α προστεθού οι αριθµοί 7 + κ και 7 - κ η τυπική απόκλιση γίεται ίση µε 4. Να βρεθεί η έα µέση τιµή και ο αριθµός κ. γ. Ποια τιµή πρέπει α προστεθεί στις τιµές του ερωτήµατος (β) ώστε το δείγµα α γίει οµοιογεές;
Στατιστική 72. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 6. Ο διάµεσος βαθµός του Νίκου σε 3 τέστ είαι 90 εώ ο µέσος βαθµός του είαι 92. Α το εύρος τω βαθµώ είαι 6 ποιοί είαι οι βαθµοί του στα 3 τέστ;
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 73. 7. Η µέση τιµή µιας καοικής καταοµής είαι 25 και η διασπορά είαι 5. Να βρεθεί το ποσοστό τω παρατηρήσεω που περιέχοται στα διαστήµατα: α. (20,30) β. (25,35) γ. (0,40) δ. (0,35) ε. (5,40) Είαι το δείγµα οµοιογεές;
Στατιστική 74. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 8. Οι τιµές πώλησης δέκα ηλεκτρικώ συσκευώ (σε ευρώ) είαι: 235, 200, 80, 230, 235, 230, 280, 200, 200 και 235. α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή τη διάµεσο και τη διασπορά. β. Εά τα είδη πουληθού µε 5% έκπτωση, ποια από τα παραπάω µεγέθη θα αλλάξου και πως; γ. Εά οι πελάτες επιβαρυθού µε 20 επιπλέο στη τιµή αγοράς για έξοδα µεταφοράς, ποια από τα παραπάω µεγέθη θα αλλάξου και πώς; δ. Να βρεθεί η διαφορά τω συτελεστώ µεταβολής τω περιπτώσεω α. και γ.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 4 ο Λύουµε µόοι µας 75. 9. Μια βιοµηχαία κατασκευάζει κουτιά µε σκοπό τη συσκευασία γάλακτος σε 4 διαφορετικά µεγέθη. Για το ο µέγεθος έχουµε ποσοστό συσκευασίας 0% µε κόστος 8 αά κουτί, για το 2ο µέγεθος έχουµε ποσοστό συσκευασίας 20% µε κόστος 6 αά κουτί, για το 3ο µέγεθος έχουµε ποσοστό συσκευασίας 30% µε κόστος 4 αά κουτί και για το 4ο µέγεθος έχουµε ποσοστό συσκευασίας 40% µε κόστος 2 αά κουτί. α. Να βρεθεί το µέσο κόστος συσκευασίας και η τυπική απόκλιση κόστους. β. Α το κόστος συσκευασίας αυξηθεί κατά 0% α βρεθεί η έα τυπική απόκλιση κόστους συσκευασίας καθώς και η µεταβολή του συτελεστή µεταβολής.
Στατιστική 76. Λύουµε µόοι µας Βήµα 4 ο 20. ίεται το διπλαό ιστόγραµµα α- θροιστικώ συχοτήτω και το ατίστοιχο πολύγωο για τη καταοµή τω ηλικιώ υπαλλήλω µιας επιχείρησης. Να βρεθού: α. Πόσοι υπάλληλοι εργάζοται στη επιχείρηση. β. Ο αριθµός υπαλλήλω κάθε κλάσης. γ. Η µέση και η διάµεση ηλικία, το εύρος τω ηλικιώ και ο συτελεστής µεταβολής. δ. Να µετατραπεί σε κυκλικό διάγραµ- µα και α ααγραφού οι γωίες κάθε κυκλικού τοµέα. ε. Α ο γεικός διευθυτής θέλει α ρίξει τη µέση ηλικία στα 47,5 έτη πόσους επιπλέο υπαλλήλους πρέπει α προσλάβει στη κλάση [30,40); ζ. Α κάποιος υπάλληλος συταξιοδοτείται ότα συµπληρώσει το 70ο έτος της ηλικίας του ποια θα είαι η µέση ηλικία σε 0 χρόια;
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γώση µας 77. Ελέγχουµε τη γώση µας Θέµα ο Α. Να χαρακτηρίσετε σα σωστές ή λαθασµέες τις προτάσεις: α. Οι αθροιστικές συχότητες Ν µιας καταοµής εκφράζου το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της συχότητας. β. Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ µιας ποσοτικής µεταβλητής. γ. Το εµβαδό που περικλείεται από το πολύγωο συχοτήτω και το άξοα xx ισούται µε. δ. Οι κλάσεις στη οµαδοποίηση είαι διαστήµατα της µορφής [, ). ε. Οι παρατηρήσεις σε κάθε κλάση θεωρούµε ότι καταέµοται οµοιόµορφα. Β. Οι αποστάσεις (σε km) τω 24 κοιοτήτω εός οµού από το πλησιέστερο οσοκοµείο είαι: 5, 0, 8, 8, 3, 0, 4, 2, 4, 6, 5, 5, 6, 4, 7, 5, 4, 6, 7, 7, 5, 8, 0, 3. α. Να κατασκευάσετε πίακα συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω τω αποστάσεω. β. Πόσες κοιότητες απέχου από το οσοκοµείο περισσότερο από 8 km; γ. Πόσες κοιότητες απέχου από το οσοκοµείο από 7 εως 3 km;
Στατιστική 78. Ελέγχουµε τη γώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 2 ο Α. Να κάετε το πίακα συχοτήτω για τα παρακάτω διαγράµµατα που αφορού τη ίδια καταοµή συχοτήτω και α τα συµπληρώσετε.
Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Γεικής Παιδείας Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τη γώση µας 79. Θέµα 3 ο Α. Ποιο µέτρο θέσης θα επιλέγατε σα πιο κατάλληλο για το δείγµα 3 4 5 7 000, τη µέση τιµή ή τη διάµεσο; ικαιολογήστε τη απάτησή σας. Β. Η βαθµολογία εός µαθητή στα τέσσερα τεστ εός µαθήµατος ήτα (σε εκατοταβάθµια κλίµακα): 55, 30, 92, 49. Οι συτελεστές βαρύτητας σε καθέα ήτα ατίστοιχα, 2, 2 και 3. α. Να βρείτε τη µέση επίδοση του µαθητή στα τεστ. β. Να αλλάξετε σειρά στους συτελεστές βαρύτητας ώστε ο µαθητής α έχει:. τη καλύτερη δυατή µέση επίδοση. 2. τη χειρότερη δυατή µέση επίδοση. Γ. Σε 20 γραπτά µαθητώ της Β Λυκείου η µέση τιµή τω βαθµώ του Α Βαθµολογητή είαι 5. Ο Β βαθµολογητής έβαλε µοάδα λιγότερη σε 2 γραπτά και 3 µοάδες περισσότερες σε 3 γραπτά. Να βρεθεί η µέση τιµή τω βαθµώ του Β βαθµολογητή.
Στατιστική 80. Ελέγχουµε τη γώση µας Βήµα 5 ο Θέµα 4 ο s 2 ίεται η συάρτηση f µε τύπο: f(x) = x - x 0 2x όπου s και x η τυπική απόκλιση και η µέση τιµή εός δείγµατος ατίστοιχα α. Α η κλίση της f στο σηµείο Α(,f()) είαι θετική δείξτε ότι το δείγµα είαι οµοιογεές. β. Α ο συτελεστής µεταβλητότητας CV ισούται µε /2 βρείτε για ποιο x η συάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο καθώς και το είδος του ακροτάτου. γ. Α η συάρτηση f στο σηµείο Α(,f()) έχει εφαπτόµεη παράλληλη στη ευθεία y = -x + 5 και s 2 = 2, α βρείτε τη x. δ. Να βρείτε το λ R ώστε α ισχύει η εξίσωση: λ 2 f (x) + f (0) = f (0) για τις τιµές τω s και x του ερωτήµατος γ.