ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

Transcript

1 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή ποσοτική µεταβλητή. Σ Λ 3. * Ο αριθµός τω απουσιώ τω µαθητώ της Γ Λυκείου είαι συεχής ποσοτική µεταβλητή. Σ Λ 4. * Συχότητα της τιµής x µιας µεταβλητής Χ είαι ο φυσικός αριθµός, που δείχει πόσες φορές εµφαίζεται η τιµή x της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 5. * Το άθροισµα όλω τω συχοτήτω µιας καταοµής είαι ίσο µε. Σ Λ 6. * Η συχότητα της τιµής x µιας µεταβλητής Χ είαι αρητικός αριθµός. Σ Λ 7. * Α διαιρέσουµε τη συχότητα µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχότητα f της τιµής x. Σ Λ 8. * Το άθροισµα όλω τω σχετικώ συχοτήτω µιας καταοµής είαι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. Σ Λ 9. * Το σύολο τω ζευγώ (x, f ), όπου f η σχετική συχότητα της τιµής x, αποτελεί τη καταοµή τω σχετικώ συχοτήτω. Σ Λ 0. * Οι αθροιστικές συχότητες Ν και οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F µιας καταοµής χρησιµοποιούται µόο στη περίπτωση τω ποιοτικώ µεταβλητώ. Σ Λ. * Οι αθροιστικές συχότητες Ν µιας καταοµής εκφράζου το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της τιµής x. Σ Λ 6

2 2. * Οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F µιας καταοµής εκφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µεγαλύτερες ή ίσες της τιµής x. Σ Λ 3. * Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ µιας ποσοτικής µεταβλητής. Σ Λ 4. * Ότα θέλουµε α κάουµε τη γραφική παράσταση τω τιµώ της µεταβλητής Χ: αριθµός αδελφώ µαθητώ της Γ Λυκείου χρησιµοποιούµε το διάγραµµα συχοτήτω. Σ Λ 5. * Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόο ποιοτικώ δεδοµέω. Σ Λ 6. * Το κυκλικό διάγραµµα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισµέος σε κυκλικούς τοµείς τα εµβαδά τω οποίω είαι ατιστρόφως αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες. Σ Λ 7. * Το σηµειόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική απεικόιση της διαχροικής εξέλιξης µιας εξεταζόµεης µεταβλητής. Σ Λ 8. * Tο διπλαό σχήµα είαι έα χροόγραµµα. Σ Λ 9. * Ότα το πλήθος τω τιµώ µιας µεταβλητής είαι αρκετά µεγάλο είαι απαραίτητο α ταξιοµηθού τα δεδοµέα σε κλάσεις. Σ Λ 20. * Πλάτος κλάσης εός δείγµατος οοµάζεται το άθροισµα του κατώτερου και του αώτερου ορίου της κλάσης. Σ Λ 2. * Ότα ο αριθµός τω κλάσεω για µια συεχή µεταβλητή είαι αρκετά µικρός και το πλάτος τω κλάσεω είαι αρκετά µεγάλο τότε η πολυγωική γραµµή συχοτήτω τείει α πάρει τη µορφή µιας οµαλής καµπύλης, η οποία οοµάζεται καµπύλη συχοτήτω. Σ Λ 22. * Η καταοµή συχοτήτω µε κωδωοειδή µορφή λέγεται καοική καταοµή. Σ Λ 62

3 23. * Η διπλαή καταοµή είαι ασύµµετρη µε αρητική ασυµµετρία. Σ Λ 24. * Σε όλες τις περιπτώσεις οι κλάσεις εός δείγµατος έχου όλες το ίδιο πλάτος. Σ Λ 25. * Το εύρος του δείγµατος χρησιµοποιείται για α κατασκευάσουµε ισοπλατείς κλάσεις. Σ Λ 26. * Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης εός δείγµατος µπορού α ατιπροσωπευθού από τις κετρικές τιµές τους. Σ Λ 27. * Το κέτρο κάθε κλάσης εός δείγµατος ισούται µε τη ηµιδιαφορά τω άκρω της κλάσης. Σ Λ 28. * Το πλάτος τω κετρικώ τιµώ ισοπλατώ κλάσεω εός δείγµατος ισούται µε το πλάτος τω κλάσεω αυτώ. Σ Λ 29. * Η γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω µιας καταοµής µε οµαδοποιηµέα δεδοµέα γίεται µε το ιστόγραµµα συχοτήτω. Σ Λ 30. * Στο ιστόγραµµα συχοτήτω κατασκευάζουµε διαδοχικά ορθογώια καθέα από τα οποία έχει εµβαδό ίσο µε τη σχετική συχότητα της κάθε κλάσης. Σ Λ 3. * Ο σταθµικός µέσος χρησιµοποιείται σε όλες τις περιπτώσεις όπως και ο αριθµητικός µέσος. Σ Λ 32. * ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω είαι η τιµή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες και το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή. Σ Λ 33. * ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η µεσαία παρατήρηση, ότα ο είαι περιττός. Σ Λ 34. * ιάµεσος (δ) εός δείγµατος παρατηρήσεω οι οποίες 63

4 έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται η ηµιδιαφορά τω δύο µεσαίω παρατηρήσεω, ότα ο είαι άρτιος αριθµός. Σ Λ 35. * Η διάµεσος (δ) εός δείγµατος είαι έα µέτρο διασποράς. Σ Λ 36. * Η µέση τιµή εός συόλου παρατηρήσεω είαι έα µέτρο θέσης. Σ Λ 37. * Επικρατούσα τιµή εός δείγµατος παρατηρήσεω ορίζεται η τιµή µε τη µεγαλύτερη σχετική συχότητα. Σ Λ 38. * Ορίζουµε ως κ εκατοστιαίο σηµείο ή Ρ κ εκατοστηµόριο εός συόλου παρατηρήσεω τη τιµή εκείη για τη οποία το πολύ κ% τω παρατηρήσεω είαι µικρότερες του Ρ κ και το πολύ (00 - κ) % τω παρατηρήσεω είαι µεγαλύτερες από τη τιµή αυτή. Σ Λ 39. * Για το Q τεταρτηµόριο εός συόλου παρατηρήσεω έχουµε αριστερά το πολύ 75% τω παρατηρήσεω και δεξιά το πολύ 25% τω παρατηρήσεω. Σ Λ 40. * Το Q 2 τεταρτηµόριο εός συόλου παρατηρήσεω ισούται µε τη διάµεσο. Σ Λ 4. * Έχουµε τις παρατηρήσεις: 0,,, 2, 2, 2, 3, 4, 5. ) Η διάµεσος είαι 2. Σ Λ ) Το τεταρτηµόριο Q είαι ίσο µε. Σ Λ ) Το τεταρτηµόριο Q 3 είαι ίσο µε 4. Σ Λ 42. * Η επικρατούσα τιµή τω παρατηρήσεω 0,, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7 είαι ο αριθµός 7. Σ Λ 43. * Ο συτελεστής µεταβολής ή συτελεστής µεταβλητότητας (CV) είαι αεξάρτητος από τις µοάδες µέτρησης. Σ Λ 44. * Ο συτελεστής µεταβλητότητας εκφράζει τη µεταβλητότητα τω δεδοµέω απαλλαγµέη από τη επίδραση της µέσης τιµής. Σ Λ 45. * Ο συτελεστής µεταβλητότητας (CV) παριστάει έα 64

5 µέτρο απόλυτης διασποράς και όχι σχετικής διασποράς. Σ Λ 46. * Έα δείγµα τιµώ µιας µεταβλητής είαι οµοιογεές α ο συτελεστής µεταβολής ξεπερά το 0%. Σ Λ 47. * Α οι παρατηρήσεις εκφράζοται σε cm και η διακύµαση εκφράζεται σε cm. Σ Λ 48. * Τα µέτρα διασποράς εκφράζου τις αποκλίσεις τω τιµώ µιας µεταβλητής γύρω από τα µέτρα κετρικής τάσης. Σ Λ 49. * Το εύρος ή κύµαση (R) εός δείγµατος παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισµα της µεγαλύτερης και της µικρότερης παρατήρησης. Σ Λ 50. * Το εύρος εός δείγµατος βασίζεται στις δύο ακραίες παρατηρήσεις και είαι αξιόπιστο µέτρο διασποράς. Σ Λ 5. * Το εδοτεταρτηµοριακό εύρος είαι η διαφορά του πρώτου τεταρτηµορίου Q από το τρίτο τεταρτηµόριο Q 3. Σ Λ 52. * Η διακύµαση ή διασπορά είαι ο µέσος όρος τω τετραγώω τω αποκλίσεω τω παρατηρήσεω t από τη µέση τιµή τους x. Σ Λ 53. * Τα µέτρα θέσης δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο κατακόρυφο άξοα Oy. Σ Λ 54. * Τα µέτρα διασποράς µας δίου πόσο επεκτείοται οι παρατηρήσεις γύρω από το κέτρο τους. Σ Λ 55. * Τα µέτρα ασυµµετρίας καθορίζου τη µορφή της καταοµής. Σ Λ 56. * Τα µέτρα ασυµµετρίας εκφράζοται µόο σε συάρτηση µε τα µέτρα θέσης. Σ Λ 57. * Η αάλυση παλιδρόµησης είαι ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση µεταξύ δύο ή περισσότερω µεταβλητώ µε απώτερο σκοπό τη πρόβλεψη µιας από αυτές µέσω τω άλλω. Σ Λ 58. * Στη απλή γραµµική παλιδρόµηση υπάρχει µόο µια αεξάρτητη µεταβλητή Χ και µια εξαρτηµέη µεταβλητή 65

6 Υ η οποία µπορεί α προσεγγιστεί ικαοποιητικά από µια γραµµική συάρτηση του Χ. Σ Λ 59. * Η γραµµική παλιδρόµηση εµφαίζεται µόο σε πειραµατικές µελέτες και όχι σε µη πειραµατικές. Σ Λ 60. * Ότα µας εδιαφέρει τι συµβαίει µε το βάρος (Υ) τω παιδιώ ότα αλλάζει το ύψος τους (Χ) τότε η Υ είαι η αεξάρτητη µεταβλητή και η Χ η εξαρτηµέη. Σ Λ 6. * Ότα µας εδιαφέρει τι συµβαίει µε το βάρος (Υ) τω παιδιώ ότα αλλάζει το ύψος τους (Χ) τότε εδιαφερό- µαστε για τη παλιδρόµηση του βάρους (Υ) πάω στο ύψος (Χ). Σ Λ 62. * Η µέθοδος τω ελαχίστω τετραγώω χρησιµοποιείται για τη εύρεση της εξίσωσης της καλύτερης ευθείας γραµµής σε έα διάγραµµα διασποράς, που προσαρµόζεται στα δεδοµέα. Σ Λ 63. * Η ευθεία y = α + β x καλείται ευθεία ελαχίστω τετραγώω ή ευθεία παλιδρόµησης της X (πάω) στη Y. 64. * Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω y = α + β x διέρχεται Σ Λ από το σηµείο ( x, y ) και έχει συτελεστή διεύθυσης το β. 65. * Στη εξίσωση ελαχίστω τετραγώω y = α + β x η Σ Λ τιµής της εκτιµήτριας α της παραµέτρου α παριστάει τη τιµή της εξαρτηµέης µεταβλητής Υ ότα x = * Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω y = α + β x δε διέρχεται από τη αρχή τω αξόω ότα α = 0. Σ Σ Λ Λ 67. * Ο συτελεστής διεύθυσης β της ευθείας ελαχίστω 66

7 τετραγώω y = α + β x παριστάει τη µεταβολή της εξαρτηµέης µεταβλητής Υ ότα το Χ µεταβληθεί κατά µία µοάδα. 68. * Στη ευθεία ελαχίστω τετραγώω y = α + β x, ότα Σ Λ β < 0 και το x αυξηθεί κατά µία µοάδα, τότε το αυξάεται κατά β µοάδες. 69. * Η συσχέτιση είαι διαδικασία µελέτης πληθυσµού µε µια µεταβλητή. Σ Λ 70. * Ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης είαι έα µέτρο που µας δίει το βαθµό συγκέτρωσης τω σηµείω του διαγράµµατος διασποράς γύρω από τη ευθεία παλιδρόµησης. 7. * Ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης εκφράζεται σε συγκεκριµέες µοάδες µέτρησης. Σ Λ 72. * Α r είαι ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ και Υ ισχύει πάτοτε ότι - r +. Σ Λ 73. * Α ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης r δύο µεταβλητώ Χ και Υ πλησιάζει το + τότε τα σηµεία του διαγράµµατος διασποράς τείου α βρίσκοται σε µια ευθεία µε συτελεστή διεύθυσης β > +. Σ Λ 74. * Α για το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης r δύο µεταβλητώ Χ και Υ ισχύει r = +, τότε οι µεταβλητές Χ και Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες. Σ Λ 75. * Α για το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης r δύο µεταβλητώ Χ και Υ ισχύει r = 0, τότε οι µεταβλητές Χ και Υ είαι γραµµικά ασυσχέτιστες. Σ Λ y Σ Σ Λ Λ 67

8 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τις παρακάτω µεταβλητές διακριτή ποσοτική είαι Α. το βάρος µαθητώ. Β. η µηιαία καταάλωση ρεύµατος. Γ. ο χαρακτηρισµός της διαγωγής τω µαθητώ.. ο αριθµός απουσιώ. Ε. η ποιότητα του περιεχοµέου τω βιβλίω. 2. * Το ζεύγος που αποτελεί τη καταοµή συχοτήτω είαι Α. (x, ). Β. (x, f ). Γ. (, f ).. (x f, x ). Ε. (f, x ). 3. * Σε έα δείγµα µεγέθους µε συχότητα της τιµής x µιας µεταβλητής Χ η σχετική συχότητα f ισούται µε Α. f =. Β. f =. Γ. f = -.. f =. Ε. f = * Α x, x 2,, x κ είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, τότε α στη τιµή x ατιστοιχίσουµε τη συχότητα ισχύει Α κ = 00. Β κ =. Γ κ = κ κ = κ. Ε κ = * Α x, x 2,, x κ είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, κ, τότε για τις σχετικές συχότητες f, f 2,, f κ ισχύει Α. f + f f κ = 00. Β. f + f f κ = κ 2. Γ. f + f f κ =.. f + f f κ = 00κ. Ε. f + f f κ = κ. 68

9 6. * Στο κυκλικό διάγραµµα συχοτήτω α συµβολίσουµε µε α το ατίστοιχο τόξο εός κυκλικού τµήµατος τότε το α ισούται µε Α Β. 360 f. Γ. 90 f Ε. 80 f. 7. * Κατά τη οµαδοποίηση παρατηρήσεω, α R είαι το εύρος του δείγµατος και κ ο αριθµός τω κλάσεω, το πλάτος τω κλάσεω c θα είαι Α. c κ R. Β. c R κ. Γ. c κ R.. c κ - R. Ε. c R - κ. 8. * Από τις παρακάτω καταοµές συχοτήτω () (2) (3) (4) αυτή που προσεγγίζει καλύτερα τη καοική είαι η Α. (). Β. (2). Γ. (3).. (4). Ε. καµία από τις παραπάω. 9. * Από τις παρακάτω καταοµές συχοτήτω () (2) (3) (4) οµοιόµορφη είαι η Α. (). Β. (2). Γ. (3).. (4). Ε. καµία από τις παραπάω. 69

10 0. * Α α, β είαι τα άκρα τω κλάσεω σε µια οµαδοποίηση παρατηρήσεω, οι κλάσεις είαι της µορφής Α. (α, β). Β. [α, β). Γ. (α, β].. [α, β]. Ε. όλα τα παραπάω.. * Σε έα δείγµα µεγέθους α οι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ είαι t, t 2,, t. Τότε η µέση τιµή x ισούται µε Α. 2 t =. Β. t =. Γ. 2. = 2 t.. Ε. = 2 t - t =. 2. * Α σε κάθε τιµή x, x 2,, x εός συόλου δεδοµέω δώσουµε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται µε τους συτελεστές στάθµισης (βαρύτητας) w, w 2,, w, τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από το τύπο Α. x = w x =. Β. x = w x = =. Γ. x = w w x = =.. x = x w x = =. Ε. x = 2 w x = =. 3. * Στις παρατηρήσεις 0,, 2, 2, 3, 4, 5, 6 η επικρατούσα τιµή είαι Α.. Β. 2. Γ Ε * Στις παρατηρήσεις 0,, 2, 3, 4, 5 η επικρατούσα τιµή είαι Α. 0. Β.. Γ Ε. καµία από τις παραπάω. 5. * Μέτρο θέσης είαι 70

11 Α. το εύρος. Β. το εδοτεταρτηµοριακό εύρος. Γ. η διάµεσος.. η διακύµαση. Ε. η τυπική απόκλιση. 6. * Α η καµπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είαι καοική, τότε το εύρος ισούται περίπου µε Α. 2 τυπικές αποκλίσεις. Β. 3 τυπικές αποκλίσεις. Γ. 4 τυπικές αποκλίσεις.. 5 τυπικές αποκλίσεις. Ε. 6 τυπικές αποκλίσεις. 7. * Α η καµπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είαι καοική, τότε το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα Α. ( x + s, x + 2s). B. ( x - s, x + 2s). Γ. ( x - s, x + s).. ( x - 2s, x + 2s). E. ( x - 3s, x + 3s). 8. * Α η καµπύλη συχοτήτω για το χαρακτηριστικό που εξετάζουµε είαι καοική, τότε το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστηµα Α. ( x - s, x + s). B. ( x - 2s, x + s). Γ. ( x - 2s, x + 2s).. ( x - s, x + 3s). E. ( x - 3s, x + 3s). 9. * Η µέση τιµής µιας καοικής καταοµής είαι 25 και η τυπική απόκλιση είαι 5. Το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µεταξύ 20 και 30 είαι περίπου Α. 34%. B. 65%. Γ. 68%.. 95%. E. 99,7%. 20. * Η µέση τιµή µιας καοικής καταοµής είαι 20 και η τυπική απόκλιση είαι 3. Το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µεταξύ 4 και 26 είαι περίπου Α. 34%. B. 47,5%. Γ. 68%.. 95%. E. 99,7%. 7

12 2. * Η µέση τιµής µιας καοικής καταοµής είαι 30 και η τυπική απόκλιση είαι 3. Το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι µεταξύ 30 και 33 είαι περίπου Α. 34%. B. 47,5%. Γ. 68%.. 95%. E. 99,7%. 22. * Έα εργοστάσιο κατασκευάζει µεταλλικούς δίσκους για τη λειτουργία µιας µηχαής. Η καταοµή συχοτήτω ως προς τη διάµετρό τους είαι καοική µε µέση τιµή (διάµετρο) 32 cm και τυπική απόκλιση 0,2 cm. ) Α αγοράσουµε έα τέτοιο δίσκο η διάµετρός του είαι σχεδό βέβαιο ότι θα βρίσκεται στο διάστηµα µεταξύ Α. 33,5 cm και 35,2 cm. B. 3,4 cm και 32,6 cm. Γ. 29,2 cm και 3,4 cm.. 32,6 cm και 35,5 cm. E. 20,7 cm και 22,3 cm. ) Α διαλέξουµε έα τέτοιο δίσκο στη τύχη, πρέπει α ελέγξουµε τη λειτουργία της µηχαής για πιθαή βλάβη, ότα η διάµετρός του είαι Α. 3,5 cm. B. 3,7 cm. Γ. 3,2 cm.. 3,9 cm. E. 32,5 cm. 23. * Σε έα δείγµα µεγέθους, α x, x 2,, x κ είαι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε συχότητες ατίστοιχα, 2,, κ και α f είαι οι σχετικές συχότητες, ποια (ή ποιες) από τις παρακάτω σχέσεις δε ορίζει τη µέση τιµή x του δείγµατος Α. x = Γ. x = κ = κ = x. Β. x = κ = 2 x f. x f.. οι σχέσεις Α και Γ. 24. * Με βάση τη ευθεία παλιδρόµησης y = 5 + 2x, µε 0 x, η προβλεπόµεη τιµή y για x = 25 είαι Α. 5. Β. 25. Γ Ε. δε µπορούµε α ξέρουµε. 72

13 25. * Ο συτελεστής µεταβολής εκφράζεται από το λόγο s 2 s x Α. 00%. B. 00%. Γ. 00%. x x s. x 2 00%. E. sx 2 00%. s 26. * Στις περιπτώσεις που δίεται έµφαση (διαφορετική βαρύτητα) στις τιµές x, x 2,, x εός συόλου δεδοµέω σα µέτρο θέσης χρησιµοποιούµε Α. τη διάµεσο. B. το αριθµητικό µέσο. Γ. το σταθµικό µέσο.. τα εκατοστηµόρια. E. τη επικρατούσα τιµή. 27. * Ο συτελεστής διεύθυσης β της ευθείας y = α + β x παριστάει τη µεταβολή της εξαρτηµέης µεταβλητής Υ ότα το Χ µεταβληθεί κατά Α. µία µοάδα. B. δύο µοάδες. Γ. τρεις µοάδες.. α µοάδες. E. β µοάδες. 28. * Στη ευθεία y = α + β x, α β > 0 και το x αυξηθεί κατά µία µοάδα, τότε το y αυξάεται κατά Α. µία µοάδα. B. δύο µοάδες. Γ. τρεις µοάδες.. α µοάδες. E. β µοάδες. 29. * Με βάση τη ευθεία παλιδρόµησης y = ,25x, µε 0 x 5, η προβλεπόµεη τιµή y για x = 0 είαι Α. 2,25. B Γ. 7, E. δε µπορούµε α ξέρουµε. 73

14 30. * Α r = - είαι ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ, Υ, τότε Α. οι Χ, Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες. B. οι Χ, Υ είαι αρητικά γραµµικά συσχετισµέες. Γ. έχουµε τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση.. έχουµε τέλεια αρητική γραµµική συσχέτιση. E. δε έχουµε γραµµική συσχέτιση. 3. * Α r είαι ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ, Υ και - < r < 0, τότε Α. οι Χ, Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες. B. οι Χ, Υ είαι αρητικά γραµµικά συσχετισµέες. Γ. έχουµε τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση.. έχουµε τέλεια αρητική γραµµική συσχέτιση. E. δε έχουµε γραµµική συσχέτιση. 32. * Στο διπλαό σχήµα έχουµε το διάγραµµα διασποράς δύο µεταβλητώ Χ και Υ. Στη περίπτωση αυτή Α. οι Χ, Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες. B. οι Χ, Υ είαι αρητικά γραµµικά συσχετισµέες. Γ. έχουµε τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση.. έχουµε τέλεια αρητική γραµµική συσχέτιση. E. δε έχουµε γραµµική συσχέτιση. 74

15 33. * Στο διπλαό σχήµα έχουµε το διάγραµµα διασποράς δύο µεταβλητώ Χ και Υ. Στη περίπτωση αυτή Α. οι Χ, Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες. B. οι Χ, Υ είαι αρητικά γραµµικά συσχετισµέες. Γ. έχουµε τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση.. έχουµε τέλεια αρητική γραµµική συσχέτιση. E. δε έχουµε γραµµική συσχέτιση. 34. * Α r είαι ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ, Υ τότε ισχύει πάτοτε Α. - < r +. B. - r +. Γ. - r < r < -. E. r 2. Ερωτήσεις ατιστοίχισης 75

16 . * Ατιστοιχίστε καθέα µέτρο της στήλης Α µε το σύµβολό του στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Μέτρο Σύµβολο Α. εύρος Β. εδοτεταρτηµοριακό εύρος Γ. διακύµαση. τυπική απόκλιση Ε. συτελεστής µεταβολής. s 2 2. Q 3. R 4. s 5. f 6. CV 7. x 76

17 2. * Ατιστοιχίστε κάθε ποσοστό τω παρατηρήσεω µιας καοικής ή περίπου καοικής καµπύλης της στήλης Α µε το διάστηµά του που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Ποσοστό ιάστηµα. ( x - s, x + s) Α. 68% 2. (2 x - s, 2x + s) Β. 95% 3. ( x - 2s, x + 2s) Γ. 99,7% 4. ( x - 3s, x + 3s) 5. (3 x - s, 3x + s) 77

18 3. * Ατιστοιχίστε κάθε µέτρο που βρίσκεται στη στήλη Α µε τη ατίστοιχη παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Μέτρο Παράσταση. Q 3 - Q Α. µέση τιµή ( x) 2. = t Β. εδοτεταρτηµοριακό εύρος (Q) Γ. διακύµαση (s 2 ) 2 3. (t - x ). τυπική απόκλιση (s) 4. 2 s Ε. συτελεστής µεταβολής (CV) 5. x s 00% 6. = = x w w 78

19 4. * Ατιστοιχίστε κάθε διάγραµµα διασποράς της στήλης Α µε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β ιάγραµµα διασποράς Συτελεστής δύο µεταβλητώ Χ, Υ γραµµικής συσχέτισης r y (A). r 0 x 2. r - 0,2 y 3. r + 0,8 (B) 4. r = + x 5. r - 0,8 y 6. r + 0,2 ( Γ) x 79

20 5. * Ατιστοιχίστε κάθε συτελεστή γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ, Υ της στήλης Α µε τη γραµµική συσχέτιση τω µεταβλητώ Χ, Υ της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Συτελεστής Γραµµική συσχέτιση τω Χ, Υ γραµµικής συσχέτισης r Α. r = 0. οι Χ, Υ είαι θετικά γραµµικά συσχετισµέες Β. r = + 2. οι Χ, Υ είαι αρητικά γραµµικά συσχετισµέες Γ. 0 < r < + 3. έχουµε τέλεια θετική γραµµική συσχέτιση 4. οι Χ, Υ είαι γραµµικά ασυσχέτιστες 80

21 Ερωτήσεις συµπλήρωσης - σύτοµης απάτησης. * Έα σύολο στο οποίο εξετάζουµε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του λέγεται 2. * Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έα πληθυσµό λέγοται 3. * Οι δυατές τιµές που µπορεί α πάρει µια µεταβλητή λέγοται 4. * ιακρίουµε τις µεταβλητές σε: α)..., τω οποίω οι τιµές δε είαι αριθµοί και β)..., τω οποίω οι τιµές είαι αριθµοί και διακρίοται σε: )..., που παίρου µόο µεµοωµέες τιµές και )..., που µπορού α πάρου οποιαδήποτε τιµή εός διαστήµατος πραγµατικώ αριθµώ. 5. * Έας τρόπος για α πάρουµε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόµαστε για κάποιο πληθυσµό είαι α εξετάσουµε όλα τα άτοµα του πληθυσµού ως προς το χαρακτηριστικό που µας εδιαφέρει. Η µέθοδος αυτή συλλογής τω δεδοµέω οοµάζεται 6. * Οι αρχές και οι µέθοδοι για τη συλλογή και αάλυση δεδοµέω από πεπερασµέους πληθυσµούς είαι το ατικείµεο της που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής. 7. * Μετά τη συλλογή τω στατιστικώ δεδοµέω είαι ααγκαία η κατασκευή συοπτικώ, ώστε α είαι εύκολη η καταόησή τους και η εξαγωγή σωστώ συµπερασµάτω. 8

22 8. * Ας υποθέσουµε ότι x, x 2,, x κ είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, κ. Στη τιµή x ατιστοιχίζεται η, δηλαδή ο φυσικός αριθµός που δείχει πόσες φορές εµφαίζεται η τιµή x της εξεταζόµεης µεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. 9. * Οι ποσότητες x,, f για έα δείγµα συγκετρώοται σε έα συοπτικό πίακα, που οοµάζεται ή απλά. 0. * Για µια µεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ (x, ) λέµε ότι αποτελεί τη και το σύολο τω ζευγώ (x, f ), ή τω ζευγώ (x, f %), τη.. * Στη περίπτωση τω ποσοτικώ µεταβλητώ εκτός από τις συχότητες και f χρησιµοποιούται συήθως και οι λεγόµεες και οι οι οποίες εκφράζου το πλήθος και το ποσοστό ατίστοιχα τω παρατηρήσεω που είαι µικρότερες ή ίσες της τιµής x. 2. * Α διαιρέσουµε τη συχότητα µε το µέγεθος του δείγµατος, προκύπτει η της τιµής x. 3. * Το χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιµώ µιας ποιοτικής µεταβλητής. Στη περίπτωση που έχουµε µια ποσοτική µεταβλητή χρησιµοποιείται το διάγραµµα. 4. * Το διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο τω ποιοτικώ όσο και τω ποσοτικώ δεδοµέω, ότα οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είαι σχετικά λίγες. 82

23 5. * Η γραφική παράσταση εός πίακα συχοτήτω µε οµαδοποιηµέα δεδοµέα γίεται µε το. Στο οριζότιο άξοα εός συστήµατος ορθογωίω αξόω σηµειώουµε, µε κατάλληλη κλίµακα, τα όρια τω κλάσεω. Στη συέχεια κατασκευάζουµε διαδοχικά ορθογώια καθέα από τα οποία έχει βάση ίση µε το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το * Να συµπληρωθεί ο πίακας, ο οποίος παρουσιάζει τους αεξεταστέους µαθητές της Α Λυκείου: Μαθήµατα x f % Αρχαία Ελληικά 6 Νέα Ελληικά 5 Αγγλικά 8 Μαθηµατικά 8 Φυσική 0 25 Χηµεία 7. * Μερικά από τα αποτελέσµατα τω εκλογώ σ έα εκλογικό τµήµα δίοται στο παρακάτω πίακα: Κόµµατα Συχότητα Σχετική συχότητα (ψήφοι) f % Α Β 50 Γ Πόσους ψήφους πήρε καθέα από τα κόµµατα Α, Β, Γ και ; 83

24 8. * Στο διπλαό σχήµα έχουµε το ιστόγραµµα τω εβδοµαδιαίω αποδοχώ εός δείγµατος από τους υπαλλήλους εός οργαισµού. Να συµπληρώσετε το ατίστοιχο πίακα: υ ,5 0 α) Συχοτήτω. β) Σχετικώ συχοτήτω f % x αποδοχές σε χιλιάδες δρχ. Αποδοχές σε χιλιάδες δρχ. [25, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50) [50, 55) [55, 65) [65, 90) f % * Τα µας δίου τη θέση του κέτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα και τα ή µας δείχου πόσο οι παρατηρήσεις εκτείοται γύρω από το κέτρο τους. 20. * Ειδική περίπτωση εκατοστηµορίω είαι τα Ρ 25, Ρ 50, Ρ 75 τα οποία καλούται και συµβολίζοται µε, ατίστοιχα. 84

25 2. * Τα µέτρα που χρησιµοποιούται για τη περιγραφή της θέσης εός συόλου δεδοµέω πάω στο οριζότιο άξοα Οx είαι: α) β) γ) δ) ε) 22. * Τα σπουδαιότερα µέτρα διασποράς ή µεταβλητότητας είαι: α) β) γ) δ) 23. * Το µέτρο το οποίο µας βοηθά στη σύγκριση οµάδω τιµώ, που είτε εκφράζοται σε διαφορετικές µοάδες µέτρησης είτε εκφράζοται στη ίδια µοάδα µέτρησης, αλλά έχου σηµατικά διαφορετικές µέσες τιµές, είαι ο. 24. * Σε µια έρευα µεταξύ 500 αέργω για το χρόο σε µήες που είαι άεργοι προέκυψε ο παρακάτω πίακας: Χρόος αεργίας f % F % [0, 3) 9 [3, 6) 38,6 [6, 2) 24,4 [2, 24) 3,6 [24, 36) 4,4 α) Να συµπληρώσετε το πίακα. β) Να κατασκευάσετε πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. γ) Να εκτιµήσετε τη διάµεσο από το πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω και τα Q, Q

26 25. * Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: x f N F f % F % 8 0, , ,9 5 0 Σύολο 26. * Ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση µεταξύ δύο ή περισσότερω µεταβλητώ µε απώτερο σκοπό τη πρόβλεψη µιας από αυτές µέσω τω άλλω χαρακτηρίζεται µε τη οοµασία. 27. * Η απλούστερη περίπτωση παλιδρόµησης είαι η απλή γραµµική παλιδρόµηση, κατά τη οποία υπάρχει µόο µια αεξάρτητη µεταβλητή και η εξαρτηµέη µεταβλητή, η οποία µπορεί α προσεγγιστεί ικαοποιητικά από µια γραµµική συάρτηση του Χ. 28. * Α αυτό που µας εδιαφέρει είαι το τι συµβαίει µε το βάρος (Υ) τω παιδιώ ότα αλλάζει το ύψος τους (Χ) τότε εδιαφερόµαστε για τη παλιδρόµηση του. 29. * Η µέθοδος που χρησιµοποιείται για τη εκτίµηση τω παραµέτρω α και β µιας ευθείας άρα και για τη εύρεση της εξίσωσης της καλύτερης ευθείας γραµµής σ έα διάγραµµα διασποράς, που προσαρµόζεται στα δεδοµέα, είαι η. 30. * Η ευθεία y = α + β x καλείται ή της Υ πάω στη Χ. 86

27 3. * Έα µέτρο που µας δίει το µέγεθος της γραµµικής σχέσης ή το βαθµό συγκέτρωσης τω σηµείω του διαγράµµατος διασποράς γύρω από τη ευθεία παλιδρόµησης είαι ο λεγόµεος. 32. * Ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης είαι τω χρησιµοποιούµεω µοάδω µέτρησης τω µεταβλητώ Χ και Υ. 33. * Έστω r είαι ο συτελεστής γραµµικής συσχέτισης δύο µεταβλητώ Χ και Υ. Α ) 0 < r < +, τότε οι Χ, Υ είαι. ) - < r < 0, τότε οι Χ, Υ είαι. ) r = +, τότε έχουµε και όλα τα σηµεία βρίσκοται πάω σε µια ευθεία µε κλίση. v) r = -, τότε έχουµε και όλα τα σηµεία βρίσκοται πάω σε µια ευθεία µε κλίση. v) r = 0, τότε και οι µεταβλητές Χ, Υ είαι. Ερωτήσεις αάπτυξης. ** Έγιε µια δειγµατοληπτική έρευα για το βάρος τω εµπορευµάτω µιας αποθήκης λαχαικώ. Βρήκαµε ότι τα βάρη 0 κιβωτίω είαι σε κιλά 7, 2, 2, 5, 8, 22, 24, 25, 9, 20. Να βρείτε: α) Ποιος είαι ο πληθυσµός. β) Ποιες είαι οι µοάδες. γ) Ποιο είαι το δείγµα. δ) Ποια είαι η µεταβλητή και ποιες οι τιµές της. 2. ** Σ έα Λύκειο θέλουµε α εξετάσουµε τη επίδοση 0 µαθητώ στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήου. Πήραµε τις επόµεες βαθµολογίες 5,, 0, 0, 4, 6, 9, 8, 3, 7. Να βρείτε: α) Ποιος είαι ο πληθυσµός. β) Ποια είαι τα άτοµα. γ) Ποια είαι η µεταβλητή. 87

28 δ) Το είδος της µεταβλητής είαι ) ποιοτική ή ποσοτική, ε) Ποιες είαι οι παρατηρήσεις. ) συεχής ή διακριτή. 3. ** Σε µια δειγµατοληπτική έρευα του βάρους τω µαθητώ της τρίτης τάξης εός ηµοτικού Σχολείου 5 µαθητές είχα τα επόµεα βάρη σε κιλά: 23, 25, 25, 26, 27, 30, 28, 28, 29, 24, 26, 26, 23, 27, 30. Να βρείτε: α) Το σύολο τω τιµώ της µεταβλητής Χ (όπου Χ είαι το βάρος τω µαθητώ). β) Τη συχότητα τω τιµώ της µεταβλητής Χ. 4. ** Μελετάµε τους µαθητές της Γ τάξης εός Λυκείου ως προς το βαθµό απολυτηρίου τους, τη διαγωγή τους, το αριθµό απουσιώ, τη κατεύθυση που παρακολουθού, το βάρος τους. Να βρείτε: α) Ποιες από τις µεταβλητές αυτές είαι ) ποιοτικές, ) ποσοτικές. β) Από τις ποσοτικές µεταβλητές, ποιες είαι ) διακριτές, ) συεχείς. 5. ** Οι παρακάτω αριθµοί παρουσιάζου τις εδείξεις εός ζαριού το οποίο ρίξαµε 30 φορές Να κατασκευάσετε πίακα: α) Συχοτήτω. β) Αθροιστικώ συχοτήτω. 88

29 6. ** Σε µια πόλη µετρήσαµε τη µεγαλύτερη ηµερήσια θερµοκρασία επί 30 συεχείς ηµέρες και βρήκαµε (σε βαθµούς Κελσίου): α) Να κατασκευάσετε πίακα: ) Συχοτήτω. ) Αθροιστικώ συχοτήτω. β) Πόσες ηµέρες η θερµοκρασία ήτα: ) Μικρότερη από 23 C; ) Μεγαλύτερη από 24 C; ) Τουλάχιστο 24 C; 7. ** Ο αριθµός τω µαθητώ τω 6 τµηµάτω εός Λυκείου είαι: α) Να κατασκευάσετε πίακα: ) Σχετικώ συχοτήτω. ) Αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. β) Να κάετε το διάγραµµα: ) Συχοτήτω. ) Αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω. γ) Να κάετε το πολύγωο τω συχοτήτω. 8. ** Οι αποστάσεις (σε km) τω 26 κοιοτήτω εός οµού από το πλησιέστερο οσοκοµείο είαι: α) Να κατασκευάσετε πίακα: ) Συχοτήτω. ) Αθροιστικώ συχοτήτω τω αποστάσεω. β) Πόσες κοιότητες απέχου από το οσοκοµείο περισσότερο από 0 km; 89

30 9. ** Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τη καταοµή (%) του πληθυσµού της Ελλάδας κατά τις απογραφές τω ετώ 95, 96, 97. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα σχετικώ συχοτήτω. Έτος απογραφής Αστικός πληθυσµός % Ηµιαστικός πληθυσµός % Αγροτικός πληθυσµός % 95 37,7 4,8 47, ,3 2,9 43, ,2,6 35,2 0. ** Σε έα κυκλικό διάγραµµα παριστάοται οι εξαγωγές της χώρας µας αξίας δρχ. κατά το έτος 980 αάλογα µε το µέσο µεταφοράς. Η γωία του κυκλικού τοµέα για µέσο µεταφοράς θαλασσίως είαι 80. Το 3,97% της αξίας τω εξαγωγώ έγιε σιδηροδροµικώς. Οι µεταφορές που έγια οδικώς ήτα τετραπλάσιες σε αξία από αυτές που έγια αεροπορικώς. Να µετατρέψετε το κυκλικό διάγραµµα σε ραβδόγραµµα σχετικώ συχοτήτω.. ** α) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίακας: Ήπειρος Έκταση f % Αµερική 20,8 Ασία 44 Αφρική 30,5 Ευρώπη 0,5 Ωκεαία 9 4,8 β) Να σχεδιάσετε το κυκλικό διάγραµµα. 90

31 2. ** Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τις εξαγωγές της χώρας µας κατά το 977, αάλογα µε το µέσο µεταφοράς. Μέσο µεταφοράς Αξία σε εκατ. δρχ. Θαλασσίως Σιδηροδροµικώς Οδικώς Αεροπορικώς Να κάετε το ατίστοιχο κυκλικό διάγραµµα. 3. ** Το διπλαό πολύγωο συχοτήτω παρουσιάζει τους βαθµούς τω φοιτητώ µιας σχολής στο µάθηµα της Στατιστικής. Να κατασκευάσετε πίακα: α) Συχοτήτω που ατιστοιχού στο πολύγωο αυτό. φοιτητές βαθµός β) Σχετικώ συχοτήτω για το ίδιο πολύγωο. 4. ** Χρησιµοποιώτας το παρακάτω πίακα συχοτήτω που δίει τη καταοµή συχοτήτω 50 οικογεειώ ως προς το αριθµό τω παιδιώ τους, α βρεθεί ο αριθµός και το ποσοστό τω οικογεειώ που έχου α) τουλάχιστο παιδί, β) πάω από 3 παιδιά, γ) από 3 έως και 5 παιδιά, δ) το πολύ 6 παιδιά, ε) ακριβώς 6 παιδιά. Αριθµός Αριθµός παιδιώ (x ) οικογεειώ ( )

32 5. ** Το βάρος εός ζώου κατά τους πρώτους 0 µήες της ζωής του φαίεται στο πίακα: Μήες Βάρος σε κιλά 2 3 4,5 5, , Να γράψετε το χροόγραµµα της εξέλιξης του βάρους του. 6. ** Στα διόδια Σχηµαταρίου η τροχαία σηµείωε στο χροικό διάστηµα µιας ώρας το συολικό αριθµό αυτοκιήτω που είχα περάσει. Έτσι, από το µεσηµέρι ως τις 8 µ.µ., προέκυψε ο παρακάτω πίακας: Χρόος (ώρες) 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 20:00 Συ. αριθµ. αυτοκ Να γράψετε το ατίστοιχο χροόγραµµα. 7. ** Εξετάστηκε έα δείγµα 400 οικογεειώ ως προς το αριθµό τω παιδιώ τους και προέκυψε ο παρακάτω πίακας: Αριθµός Αριθµός ( ) παιδιώ (x ) οικογεειώ f f % x Ν α) Να συµπληρώσετε το πίακα. β) Να κάετε το διάγραµµα συχοτήτω. γ) Να υπολογίσετε: ) Τη µέση τιµή. ) Τη διάµεσο της καταοµής. 92

33 8. ** Στο διπλαό ιστόγραµµα σχετικώ συχοτήτω σβήστηκε κατά λάθος το ορθογώιο της κλάσης [, 3). Να κατασκευάσετε το ορθογώιο αυτό. 9. ** Οι παρακάτω αριθµοί δίου (σε cm) τα ααστήµατα εός δείγµατος 4 µαθητώ εός σχολείου α) Να υπολογίσετε τη διάµεσο. β) Να οµαδοποιήσετε τα ααστήµατα σε κλάσεις πλάτους 5 cm και α προσδιορίσετε γραφικά τη διάµεσο από το διάγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. γ) Να συγκρίετε τα δύο αποτελέσµατα. 20. ** Οι υπάλληλοι µιας εταιρείας έχου τις παρακάτω ηλικίες: α) Να οµαδοποιήσετε τις ηλικίες αυτές σε 8 κλάσεις ίσου πλάτους. β) Να βρείτε πόσοι υπάλληλοι είαι: ) Μεγαλύτεροι τω 44 χρόω. ) Μικρότεροι τω 35 χρόω. γ) Να κατασκευάσετε το ατίστοιχο ιστόγραµµα συχοτήτω τω ηλικιώ. 93

34 2. ** Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τη διάρκεια ζωής 400 οθοώ τηλεόρασης από τη παραγωγή εός εργοστασίου. α) Να συµπληρώσετε το πίακα: ιάρκεια ζωής σε ώρες λειτουργίας [400, 500) 5 [500, 600) 45 [600, 700) 60 [700, 800) 75 [800, 900) 70 [900, 000) 60 [000, 00) 50 [00, 200) 25 f % Ν F % 400 β) Να κατασκευάσετε: ) Το ιστόγραµµα συχοτήτω. ) Το ιστόγραµµα σχετικώ συχοτήτω. ) Το ιστόγραµµα σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. 22. ** Ο αριθµός τω µαθητώ τω 6 τµηµάτω εός Λυκείου είαι: 3, 27, 28, 30, 29, 3, 2, 27, 29, 29, 28, 28, 30, 29, 27, 29. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή της µεταβλητής αριθµός µαθητώ αά τµήµα. 23. ** Να υπολογίσετε τη µέση τιµή της µεταβλητής του παρακάτω πίακα: Ηλικία σε χρόια [0, 4) 3 [4, 8) 5 [8, 2) 6 [2, 6) 6 [6, 20)

35 24. ** Η µέση τιµή επτά αριθµώ είαι 5. Οι πέτε από αυτούς τους αριθµούς είαι οι 3, 4, 5, 6,. Να βρείτε τους άλλους δύο αριθµούς α γωρίζουµε ότι ο έας είαι διπλάσιος του άλλου. 25. ** Τα ύψη 8 αθλητώ µιας οµάδας καλαθοσφαίρισης (µπάσκετ µπωλ) είαι (σε cm): 72, 75, 83, 77, 90, 93, 89, 95. α) Να βρείτε: ) Το µέσο ύψος τω αθλητώ. ) Τη διάµεσο τω υψώ. ) Το εύρος (R) τω υψώ. β) Επίσης, σε καθεµιά από τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις, α βρείτε: ) Το µέσο ύψος τω αθλητώ. ) Τη διάµεσο τω υψώ. ) Το εύρος (R) τω υψώ. Περίπτωση : Φεύγει ο αθλητής µε το ύψος 72 cm. Περίπτωση 2: Έρχεται ακόµα έας αθλητής µε ύψος 97 cm. Περίπτωση 3: Φεύγει ο αθλητής µε το ύψος 95 cm και έρχεται έας αθλητής µε ύψος 98 cm. 26. ** Η βαθµολογία εός µαθητή στα τέσσερα τεστ εός µαθήµατος ήτα (σε εκατοταβάθµια κλίµακα): 38, 67, 43, 72. Η βαρύτητα σε καθέα ήτα ατίστοιχα, 2, 2 και 3. Να βρείτε τη µέση επίδοση του µαθητή στα τεστ. 27. ** Σ έα τεστ πήρα µέρος 00 µαθητές προκειµέου ο καθέας α απατήσει σε 200 ερωτήσεις. Η βαθµολογία είαι ή 0, αάλογα α ο µαθητής απατάει ή όχι στη ερώτηση. Ο επόµεος πίακας δείχει τα αποτελέσµατα της βαθµολογίας. Βαθµοί Συχότητα [60, 80) 5 [80, 00) 20 [00, 20) 26 [20, 40) 30 [40, 60) 5 [60, 80)

36 α) Να κατασκευάσετε: ) Το ιστόγραµµα. β) Να βρείτε τη επικρατούσα τιµή. ) Το πολύγωο τω συχοτήτω. 28. ** Η βαθµολογία στα 0 µαθήµατα εός µαθητή είαι: 3, 9, 6, 0, 5, 2,, 0, 20, 4. Να υπολογίσετε: α) Τη µέση τιµή. β) Τη διακύµαση. γ) Τη τυπική απόκλιση. δ) Τη διάµεσο. ε) Τα τεταρτηµόρια Q, Q 2, Q 3. στ) Το εδοτεταρτηµοριακό εύρος τω βαθµώ. ζ) Το εύρος (R). η) Το συτελεστή µεταβολής (CV). 29. ** ίεται ο πίακας: Κλάσεις Κέτρο κλάσης (x ) [4, 6) 7 [6, 8) 3 [8, 0) 7 [0, 2) 8 [2, 4) 29 [4, 6) [6, 8) 5 ΣΥΝΟΛΑ 00 x x - x (x - x) 2 (x - x) 2 α) Να συµπληρώσετε το πίακα. β) Να υπολογίσετε: ) Τη µέση τιµή. ) Τη διακύµαση. ) Τη τυπική απόκλιση της καταοµής. v) Το συτελεστή µεταβολής. γ) Να κάετε το ιστόγραµµα. 96

37 δ) Να βρείτε τη επικρατούσα τιµή. 30. ** Οι µηιαίες αποδοχές εός δείγµατος 70 υπαλλήλω εός οργαισµού δίοται στο επόµεο πίακα: Αποδοχές σε χιλιάδες δρχ. Κετρικές τιµές x 2 x [30, 35) 8 [35, 40) 0 [40, 45) 6 [45, 50) 5 [50, 55) 0 [55, 60) 8 [60, 65) 3 ΣΥΝΟΛΑ 70 x x 2 α) Να συµπληρώσετε το πίακα. β) Να υπολογίσετε: ) Τη µέση τιµή. ) Τη διακύµαση. ) Τη τυπική απόκλιση της καταοµής. v) Το συτελεστή µεταβολής. 3. ** Η ατοχή 00 ηλεκτρικώ συσκευώ δίεται από το επόµεο πίακα: Χρόος ατοχής σε ώρες Αριθµός συσκευώ f % F % [000, 200) 8 [200, 400) 6 [400, 600) 28 [600, 800) 32 [800, 2000) 2 [2000, 2200) 4 [2200, 2400) 0 ΣΥΝΟΛΑ 00 97

38 α) Να συµπληρώσετε το πίακα. β) ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωο συχοτήτω. ) Να βρείτε τη επικρατούσα τιµή. γ) ) Να κατασκευάσετε το πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω. ) Να βρείτε τη διάµεσο. ) Το πρώτο και τρίτο τεταρτηµόριο. δ) Πόσες συσκευές έχου διάρκεια ατοχής µικρότερη από τη µέγιστη συχότητα; 32. ** α) Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα στο οποίο παρουσιάζοται οι απουσίες 75 µαθητώ µιας τάξης εός Λυκείου, α γωρίζουµε ότι ο µέσος όρος τω απουσιώ είαι 2. Απουσίες Μαθητές x 0 x 20 y β) Να υπολογίσετε: ) Τη διακύµαση s 2. s ) Το συτελεστή µεταβλητότητας (CV = ). x 33. ** H τυπική απόκλιση µιας µεταβλητής Χ είαι ίση µε το µηδέ. Α t, t 2,, t είαι οι τιµές της Χ και x η µέση τιµή, δείξτε ότι t = t 2 = = t = x. 34. ** Α είαι x = 3 και 5 5 = 5 = α) (x + 0) β) (2x + 3) 2 = x 2 = 23, α υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 5 = 98

39 35. ** Εξετάζουµε έα δείγµα µαθητώ εός σχολείου ως προς τη βαθµολογία τους σ έα διαγώισµα. Έστω x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση. α) Ποια θα είαι η έα µέση τιµή και ποια η έα τυπική απόκλιση ότα η βαθµολογία κάθε µαθητή αυξηθεί κατά: ) 2 µοάδες ) C µοάδες; β) Τι συµπεραίετε από τα παραπάω για τη µέση τιµή και τη διακύµαση; 36. ** Η µέση τιµή τω παρατηρήσεω t, t 2,, t µιας µεταβλητής Χ εός δείγµατος µεγέθους είαι x. Να βρείτε το αριθµητικό µέσο τω παρατηρήσεω: α) t + λ, t 2 + λ,, t + λ β) t - λ, t 2 - λ,, t - λ t γ) λt, λt 2,, λt δ) t, 2 t,, για λ 0 λ λ λ ε) λt + κ, λt 2 + κ,, λt + κ 37. ** Στο παρακάτω πίακα δίοται οι βαθµοί 0 µαθητώ σε δύο εξετάσεις εός µαθήµατος. Πρώτη εύτερη εξέταση (x) εξέταση (y)

40 α) Παραστήστε τα σηµεία σ έα σύστηµα ορθογωίω αξόω. β) Προσαρµόστε στα δεδοµέα µια ευθεία ελαχίστω τετραγώω µε αεξάρτητη µεταβλητή τη x. γ) Παραστήστε γραφικά τη ευθεία αυτή. 38. ** α) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίακας: x y x 2 xy y Σx = Σy = Σx 2 = Σxy = Σy 2 = β) Προσαρµόστε µια ευθεία ελαχίστω τετραγώω στα δεδοµέα του παραπάω πίακα παίροτας τη x ως αεξάρτητη µεταβλητή. γ) Σχεδιάστε τη ευθεία. δ) Εκτιµήστε τη τιµή του y ότα x = 2. 00

41 39. ** Στο παρακάτω πίακα δίοται οι τελικοί βαθµοί (σε εκατοταβάθµια κλίµακα) στη Άλγεβρα και τη Γεωµετρία 0 µαθητώ που διαλέχθηκα τυχαία από µια µεγάλη οµάδα µαθητώ εός Λυκείου. Άλγεβρα (x) Γεωµετρία (y) α) Προσαρµόστε στα δεδοµέα µια ευθεία ελαχίστω τετραγώω µε αεξάρτητη µεταβλητή τη x και σχεδιάστε τη. β) Έας µαθητής πήρε 72 µοάδες στη Άλγεβρα. Τι βαθµό ααµέεται α έχει στη Γεωµετρία; 40. ** Για οκτώ ζεύγη παρατηρήσεω (x, y) έχουµε Σx = 56, Σy = 40, Σxy =364, Σx 2 = 524, Σy 2 = 256. α) Να υπολογίσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. β) Να ερµηεύσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. 0

42 4. ** Στο παρακάτω πίακα δίοται οι µέσες τιµές χρεογράφω και οµολογιώ στο Χρηµατιστήριο της Νέας Υόρκης για τα έτη (σε δολάρια). Έτος Μέση τιµή τω χρεογράφω Μέση τιµή τω οµολογιώ α) Να υπολογίσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. β) Να ερµηεύσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. γ) Να διατυπώσετε το συµπέρασµά σας. Σηµείωση: Το έτος χρησιµεύει µόο για α καθοριστεί η ατιστοιχία µεταξύ τω x και y. 42. ** α) Να υπολογίσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης µεταξύ τω τιµώ x και y του παρακάτω πίακα: x y β) Πολλαπλασιάστε κάθε x επί 2 και προσθέστε 6. Πολλαπλασιάστε κάθε y επί 3 και αφαιρέστε 5. Υπολογίστε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης µεταξύ τω έω τιµώ. 43. ** Στο παρακάτω πίακα δίοται οι ηλικίες και οι (συστολικές) πιέσεις αίµατος 0 γυαικώ. Ηλικία (x) σε έτη Πίεση αίµατος (y)* * σε ακέραια προσέγγιση cm Hg α) Να υπολογίσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης µεταξύ τω x και y. β) Να βρείτε τη ευθεία παλιδρόµησης ελαχίστω τετραγώω της y ως προς x. γ) Εκτιµήστε τη πίεση µιας γυαίκας ηλικίας 45 ετώ. 02

43 44. ** α) Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: x y x - x y - y (x - x) 2 (y - y) 2 (x - x ) (y - y) Σύολα 2,5 4, ,5-4,0 4 3,5 7 6,5 4 2,5 β) Να υπολογίσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. 45. ** Στο παρακάτω πίακα δίοται οι βαθµοί 0 φοιτητώ σε δύο εξετάσεις εός µαθήµατος. Πρώτη εύτερη εξέταση x εξέταση y x 2 xy y Σx = Σy = Σx 2 = Σxy = Σy 2 = α) Να συµπληρώστε το πίακα. β) Να υπολογίσετε και α ερµηεύσετε το συτελεστή γραµµικής συσχέτισης. 03

44 Η παρακάτω ερώτηση είαι αοικτό πρόβληµα και συίσταται µόο για οµαδική εργασία. Υπάρχει γραµµική συσχέτιση τω ωρώ που έας µαθητής βλέπει τηλεόραση και της επίδοσής του στα Νέα Ελληικά; 04