ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα Θέλουμε να ελέγξουμε την ικανότητα ενός «υποψήφιου» δοκιμαστή κρασιών Το τεστ εφαρμόζεται παρουσιάζοντας στον υποψήφιο τρία δείγματα κρασιών, δυο από τα οποία προέρχονται από το ίδιο κρασί και ζητώντας του αφού τα δοκιμάσει να βρει το διαφορετικό κρασί. Το τεστ αυτό πραγματοποιείται n στο πλήθος φορές Ουσιαστικά δηλαδή θέλουμε να ελέγξουμε την εξής άγνωστη στατιστική παράμετρο: p = η πιθανότητα ο υποψήφιος να βρει το διαφορετικό κρασί σε μια δοκιμή των 3 κρασιών

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα Ορίζουμε Μηδενική υπόθεση Η 0 : p = 1/3 (το άτομο μας δουλεύει ψιλό γαζί) Εναλλακτική υπόθεση Η a : p > 1/3 (τίμιο το άτομο) Ο έλεγχος στατιστικών υποθέσεων μας δίνει τον τρόπο για να κρίνουμε (αποφασίσουμε) για την ορθότητα (αποδοχή) της Η 0.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα Για τον έλεγχο αυτών των υποθέσεων χρειαζόμαστε ένα στατιστικό (μια τ.μ.) που να μας δίνει πληροφορίες (που να εμπεριέχει «μέσα» του) την άγνωστη παράμετρο. n x n x PX ( = x) = p(1 p) x= 0,1, 2... n x Θα χρησιμοποιήσουμε την τ.μ. Χ. Θα πρέπει τώρα (πριν εφαρμόσουμε το τεστ) να κατασκευάσουμε έναν κανόνα για να πάρουμε απόφαση για το αν η Μηδενική υπόθεση Η 0 αληθεύει ή όχι.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα Περιοχή απόρριψης ή κρίσιμη περιοχή C: Ένα σύνολο τιμών του στατιστικού Χ που χρησιμοποιούμε, που θα μας οδηγήσει στο να απορρίψουμε την Η 0 και να προτιμήσουμε την Η α από την Η 0. Αν το πείραμα δώσει στο Χ μια αριθμητική τιμή που βρίσκεται εντός του C, τότε απορρίπτουμε την Η 0, διαφορετικά δεν απορρίπτουμε την Η 0.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (α) Πως κατασκευάζουμε κρίσιμες περιοχές; (β) Πως αξιολογούμε τις κρίσιμες περιοχές;

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ (β) Πως αξιολογούμε τις κρίσιμες περιοχές; Σφάλμα τύπου Ι: Απορρίπτω Η 0 όταν Η 0 αληθής, με πιθανότητα = α Σφάλμα τύπου ΙΙ: Δέχομαι Η 0 όταν Η α αληθής, με πιθανότητα = β Στατιστικός Δέχομαι Η 0 Απορρίπτω Η 0 Φύση Η 0 αληθής Η α αληθής Ορθή απόφαση Πιθανότητα = 1-α Σφάλμα τύπου ΙΙ Πιθανότητα = β Σφάλμα τύπου Ι Πιθανότητα = α Ορθή απόφαση Πιθανότητα = 1-β

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ p-value είναι το μικρότερο επίπεδο σημαντικότητας (η μικρότερη πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι) στο οποίο μπορεί να απορριφθεί η Η 0. Γενικά, απορρίπτουμε την Η 0 σε επίπεδο σημαντικότητας α% αν p-value < α

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Τα βασικά μέρη ενός στατιστικού τεστ 1. Μηδενική Η 0 και εναλλακτική Η α υπόθεση Η μηδενική υπόθεση είναι συνήθως το «αντίθετο» του ισχυρισμού που θέλουμε να ελέγξουμε 2. Το προκαθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας, α 3. Την στατιστική συνάρτηση ελέγχου του τεστ ΤS και την κρίσιμη περιοχή C 4. Την τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου όταν αντικαταστήσουμε τα δεδομένα (τις παρατηρήσεις μας). 5. Συμπέρασμα

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΤΕΣΤ Παραμετρικά στατιστικά τεστ είναι εκείνα στα οποία είναι γνωστή η συναρτησιακή μορφή της κατανομής του πληθυσμού από τον οποίο λαμβάνεται το δείγμα και οι παράμετροι της κατανομής (μερικές ή όλες) είναι άγνωστες. Οι υποθέσεις εδώ γίνονται επί των αγνώστων παραμέτρων της κατανομής.

Ι. EΝΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑ σ 2 γνωστή n < 30 (κανονικός πληθ.) 1. Τεστ για το μ ενός πληθυσμού σ 2 άγνωστη n > 30 σ 2 γνωστή σ 2 άγνωστη n < 30 (κανονικός πληθ.) μ γνωστό 2. Τεστ για σ 2 ενός πληθυσμού μ άγνωστο n > 30 δεν θα το δούμε 3. Τεστ για την παράμετρο p της διωνυμικής κατανομής ΙΙ. ΔΥΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Α. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 2 σ Χ γνωστή n Χ, n Υ < 30 (κανονικοί πληθ.) 2 σ Υ γνωστή 1. Τεστ για τη διαφορά μ Χ μ Υ σ 2 2 Χ = σ Υ 2. Τεστ για σ 2 2 Χ = σ Υ n Χ, n Υ > 30 άγνωστες Β. ΜΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

Παράδειγμα 1. Μία βιομηχανία τυροκομικών γνωρίζει ότι με τη χρήση μίας παραδοσιακής μεθόδου παραγωγής τυριού η ποσότητα τυριού που παράγεται από 1000 κιλά γάλακτος είναι μία τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο 300 κιλά και τυπική απόκλιση 11 κιλά τυρί. Ας υποθέσουμε ότι προτείνεται μία νέα μέθοδος, με τον ισχυρισμό ότι αυτή αυξάνει τη μέση ποσότητα του τυριού που παράγεται από 1000 κιλά γάλακτος, ενώ αφήνει την τυπική απόκλιση ανεπηρέαστη. Η μέθοδος δοκιμάζεται 10 φορές, όπου κάθε δοκιμή καταλήγει και σε μία μέτρηση της ποσότητας τυριού που παράγονται από 1000 κιλά γάλακτος. Έστω ότι ο μέσος των 10 αυτών μετρήσεων ήταν 305 κιλά τυρί. (α) Να ελεγχθεί ο παραπάνω ισχυρισμός στα επίπεδα σημαντικότητας α=5% και α=10%. (β) Να υπολογισθεί η ισχύς του τεστ για α = 0,05 και μ = 310.

Παράδειγμα 2. Στο Παρ. 1, ας υποθέσουμε ότι η νέα μέθοδος απλώς δοκιμάζεται, χωρίς να υπάρχει κανένας ισχυρισμός ότι είναι αποτελεσματικότερη από την παραδοσιακή. Υπάρχει, με άλλα λόγια, περισσότερη αβεβαιότητα τώρα για την τιμή του μ. Να διατυπωθούν οι υποθέσεις Η 0 και Η α και να ελεγχθεί η Η 0 στα επίπεδα σημαντικότητας α = 5% και α = 10%. Επίσης, ν απαντηθεί το ερώτημα (β) του Παρ. 1.

Παράδειγμα 3. Βιομηχανία η οποία παράγει ελαιόχρωμα σε κουτιά του ενός κιλού ισχυρίζεται ότι η επιφάνεια η οποία καλύπτεται από το χρώμα ενός κουτιού είναι κατά μέσο όρο 66 τ.μ.. Για τον έλεγχο του ισχυρισμού αυτού πάρθηκαν 12 τέτοια κουτιά και βρέθηκε ότι η μέση επιφάνεια η οποία καλύφθηκε από το χρώμα τους είναι x = 65 τ.μ. και η τυπική απόκλιση s = 3. Εάν η κατανομή των επιφανειών οι οποίες καλύπτονται από το χρώμα τέτοιων κουτιών είναι η κανονική, τότε να ελέγξετε Η 0 : μ 66, Η α : μ < 66 με α = 5%

Παράδειγμα 4. Δίνεται τ.δ. μεγέθους 10 από ένα πληθυσμό με κατανομή 2 N( μ, σ ) και με 2 S = 12.6. Με επίπεδο σημαντικότητας α = 5% να ελεγχτεί Η 0 : σ 2 = 9 vs Η α : σ 2 > 9

Παράδειγμα 5. Έστω ότι σε μία μεγάλη πόλη η μηνιαία δαπάνη για κρέας (σε χιλ. δρχ.) μίας τετραμελούς οικογένειας κατανέμεται κανονικά με διακύμανση σ 2. Σ επίπεδο α = 5%, να ελέγξετε την υπόθεση Η 0 : σ 2 =20 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : σ 2 20, αν σ ένα τυχαίο δείγμα 15 τέτοιων οικογενειών η διακύμανση είναι S 2 =7,5.

Παράδειγμα 6. Ο Υπουργός Υγείας ισχυρίζεται ότι το ποσοστό των μη καπνιστών στην Ελλάδα είναι τουλάχιστον 65%. Για τον έλεγχο αυτού του ισχυρισμού ρωτήθηκαν τυχαία 500 Έλληνες και από αυτούς οι 311 δήλωσαν ότι δεν καπνίζουν. Με επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 να ελεγχθεί ο ισχυρισμός του Υπουργού. Η κατανομή που διέπει το πρόβλημά μας είναι η διωνυμική. Έχουμε να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : p 0.65 vs Η α : p < 0.65

Παράδειγμα 7. Δυο μηχανές Μ 1 και Μ 2 αυτόματης συσκευασίας ενός προϊόντος έχουν ρυθμιστεί να γεμίζουν πακέτα με βάρος 80 κιλά το καθένα. Υπάρχουν υπόνοιες ότι οι δυο μηχανές δε λειτουργούν ομοιόμορφα ως προς το βάρος που γεμίζουν τα πακέτα. Για το λόγο αυτό λαμβάνονται 8 πακέτα από την παραγωγή της Μ 1 και 7 πακέτα από την παραγωγή της Μ 2 και βρίσκεται ότι οι μέσες τιμές αυτών είναι αντίστοιχα 94.3 και 85.7 κιλά. Επίσης βρίσκεται ότι η τυπική απόκλιση αυτών είναι 5.7 και 6.2 κιλά αντίστοιχα. Αν οι κατανομές της απόδοσης σε κιλά των δυο μηχανών είναι οι κανονικές 2 2 N ( μ1, σ ), N( μ2, σ ) αντίστοιχα, με επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, να ελέγξετε εάν αληθεύουν οι παραπάνω υπόνοιες.

Παράδειγμα 8. Έστω δυο ανεξάρτητα τ.δ. από κανονικούς πληθυσμούς N ( μ, σ ) 2 1 1 2 και N( μ2, σ 2 ) έστω ότι n 1 =10, n 2 = 8, S 2 1 = 7.14, σημαντικότητας α = 0.05 να ελεγχθεί: 2 S = 2 3.21. Με επίπεδο Η 0 : σ = σ vs Η α : 2 2 1 2 σ > σ 2 2 1 2

Παράδειγμα 9. Επιθυμούμε να δοκιμάσουμε την επίδραση δυο φαρμάκων Α και Β σε 10 ασθενείς οι οποίοι πάσχουν από αϋπνία. Εάν x i = ώρες ύπνου που οφείλονται στην επίδραση του φαρμάκου Α και y i = ώρες ύπνου που οφείλονται στην επίδραση του φαρμάκου Β, μετά τη λήψη των δυο φαρμάκων από τους 10 ασθενείς έχουμε τα εξής αποτελέσματα: x i = 1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4 y i = 0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0 Με επίπεδο σημαντικότητας α = 0.01 να ελεγχθεί αν το φάρμακο Α είναι αποτελεσματικότερο από το Β.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.1. Μία εταιρεία παράγει εδώ και πολλά χρόνια λυχνίες τηλεοράσεων και γνωρίζει ότι η μέση διάρκεια ζωής τους είναι 1200 ώρες με τυπική απόκλιση 300 ώρες. Το τμήμα ερευνών της, όμως, προτείνει μία νέα διαδικασία παραγωγής, με τον ισχυρισμό ότι αυτή θ αυξήσει τη διάρκεια ζωής των λυχνιών. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτό, ο διευθυντής της εταιρείας ζητά να παραχθούν 100 λυχνίες με τη νέα διαδικασία και να μετρηθεί η διάρκεια ζωής τους. Έστω ότι η μέση διάρκεια ζωής των λυχνιών αυτών ήταν 1265 ώρες. (α) Να ελέγξετε την υπόθεση Η 0 : μ = 1200 έναντι της Η 1 : μ > 1200 σ επίπεδο σημαντικότητας α = 5%. Να υπολογίσετε την p-value και να τη χρησιμοποιήσετε για να κάνετε τον ίδιο έλεγχο σ επίπεδο α = 1%. (β) Να υπολογίσετε τη δύναμη του ελέγχου στο μέρος (α), όταν το επίπεδο σημαντικότητας είναι α = 0,01, αν στην πραγματικότητα η μέση διάρκεια ζωής των λυχνιών είναι μ 1 = 1240 ώρες. Να εξηγήσετε το αποτέλεσμα. Κατόπιν, να κάνετε το ίδιο για την περίπτωση μ 1 = 1260 ώρες και να συγκρίνετε τα αποτελέσματα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.2. Μία καταγγελία αναφέρει ότι τα χάρτινα κιβώτια ενός συγκεκριμένου απορρυπαντικού δεν έχουν, κατά μέσο όρο, το αναγραφόμενο βάρος, το οποίο είναι 5 κιλά. Έστω ότι ένα τυχαίο δείγμα 16 τέτοιων κιβωτίων έδωσε x = 4,85265 και s = 0,43952 κιλά. (α) Πώς πρέπει να διατυπώσετε τις υποθέσεις Η 0 και Η 1 ; (β) Τί πρέπει να υποθέσετε για τον πληθυσμό για να προχωρήσετε στον έλεγχο της Η 0 ; (γ) Να υπολογίσετε την τιμή Ρ και να τη χρησιμοποιήσετε για να ελέγξετε την Η 0 σ επίπεδο α = 5%.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9.8. Σ ένα εργοστάσιο κονσερβών, ο υπεύθυνος επί της παραγωγής γνωρίζει ότι το καθαρό βάρος μίας κονσέρβας είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή. Επειδή πρόσφατα έχει αλλάξει η μέθοδος παραγωγής και ο υπεύθυνος φοβάται μήπως η διακύμανση του πληθυσμού (σ 2 ) έχει ξεπεράσει τα 25 (γραμμάρια) 2, ένα όριο που θεωρείται ως το ανώτατο επιτρεπτό, πήρε ένα τυχαίο δείγμα n = 9 κονσερβών, για να ελέγξει την υπόθεση ότι η διακύμανση δεν ξεπερνά αυτό το όριο. Το δείγμα έδωσε τα ακόλουθα καθαρά βάρη: 250, 253, 249, 255, 257, 244, 252, 248, 260. (α) Σ επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, να ελέγξετε την υπόθεση Η 0 : σ 2 25 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : σ 2 > 25 (β) Σ επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, να ελέγξετε την υπόθεση Η 0 : σ 2 = 20 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : σ 2 20

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 1. Από κανονικό πληθυσμό Ν(μ, σ 2 = 4) λαμβάνεται τυχαίο δείγμα μεγέθους n = 16, προκειμένου να ελεγχθεί η υπόθεση Η 0 : μ = 10 έναντι της H 1 : μ > 10 σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 i) Να προσδιοριστεί η περιοχή απόρριψης. ii) Αν ίσχυε ότι μ = 11 με τι πιθανότητα θα παίρναμε σωστή απόφαση;

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 2. Θέλοντας να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ του λίτρου της βενζίνης στα πρατήρια των Αθηνών επισκεφτήκαμε τυχαία n = 10 βενζινάδικα από όπου καταγράψαμε τις τιμές (σε δρχ): 280.3, 282.8, 278.5, 283.1, 290.0, 284.9, 284.4, 279.8, 291.1, 286.7 Να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05 την υπόθεση μ=290 έναντι της μ<290 α) στην περίπτωση που το σ είναι άγνωστο και β) στην περίπτωση που γνωρίζουμε ότι σ = 4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 3. Έστω ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε το μέσο χρόνο μ που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να μεταβεί από το σταθμό Α στο σταθμό Β. Χρονομετρώντας τη διαδρομή αυτή 10 φορές σημειώνουμε τους χρόνους (σε seconds) 357, 337, 351, 357, 350, 352, 360, 353, 377, 372 α) Να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 0.01 την υπόθεση μ=360 έναντι της μ 360. β) Να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 0.01 την υπόθεση σ=30 έναντι της σ<30.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 4. Έστω ότι ένα μεγάλο κόμμα θέλει να εκτιμήσει το ποσοστό p των ψηφοφόρων μιας μεγάλης πόλης που προτίθενται να το ψηφίσουν στις επερχόμενες βουλευτικές εκλογές. Το αντίστοιχο ποσοστό σε ένα τυχαίο δείγμα n=500 ψηφοφόρων βρέθηκε ίσο με 40%. Να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05 την υπόθεση p 35% έναντι της p > 35%

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 5. Έστω μ 1 και μ 2 οι μέσοι χρόνοι εξυπηρέτησης των πελατών από δύο ταμίες μιας τράπεζας. Αν 234, 99, 234, 174, 188, 107, 173, 172 και 105, 194, 77, 33, 159, 150, 167, 127, 169, 166 είναι δειγματοληπτικά κάποιοι χρόνοι (σε sec) εξυπηρέτησης των δύο αυτών υπαλλήλων αντίστοιχα, μπορούμε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 α) να πούμε ότι οι δύο υπάλληλοι έχουν διαφορετική απόδοση; β) να πούμε ότι ο πρώτος υπάλληλος έχει μεγαλύτερη απόδοση από το δεύτερο; (είναι γνωστό ότι σ1=σ2=40)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 6. Έστω μ 1 η μέση τιμή πώλησης ενός προϊόντος σε μία περιοχή Α και μ 2 η μέση τιμή πώλησης του ίδιου προϊόντος σε μία περιοχή Β. Υποθέτουμε ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά και με ίση διασπορά στις δύο περιοχές. Επιλέγουμε τυχαία 3 τιμές από την περιοχή Α και 3 τιμές από την περιοχή Β. Αν οι τιμές αυτές είναι 112, 106, 121 (περιοχή Α) 107, 93, 97 (περιοχή Β), μπορούμε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, να πούμε ότι η μέση τιμή πώλησης στην περιοχή Α είναι υψηλότερη από την αντίστοιχη στην περιοχή Β; (Η 0 : μ 1 = μ 2, H 1 :μ 1 > μ 2 )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 7. Έστω μ 1 η μέση τιμή πώλησης ενός προϊόντος σε μία περιοχή Α και μ 2 η μέση τιμή πώλησης του ίδιου προϊόντος σε μία περιοχή Β. Η μέση τιμή και η διασπορά ενός τ.δ. 10 τιμών πώλησης από την περιοχή Α βρέθηκε 100.9 και 8.76667 αντίστοιχα. Επίσης, η μέση τιμή και η διασπορά ενός τ.δ. 20 τιμών πώλησης από την περιοχή Β βρέθηκε 104.45 και 12.9974 αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά και με ίση (αλλά άγνωστη) διασπορά και στις δύο περιοχές, να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% α) αν η μέση τιμή πώλησης στην Α είναι διαφορετική από την αντίστοιχη στην Β. β) αν η μέση τιμή πώλησης στην Α είναι χαμηλότερη από την αντίστοιχη στην Β.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 8. Στην προηγούμενη άσκηση που αφορούσε τις τιμές πώλησης ενός προϊόντος σε δύο περιοχές Α και Β υποθέσαμε ότι οι διασπορές των τιμών στις περιοχές αυτές είναι ίσες. Να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν όντως οι δύο αυτές διασπορές είναι ίσες.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 9. Σε τυχαίο δείγμα n = 50 τσιγάρων ορισμένης μάρκας υπολογίσαμε μέση περιεκτικότητα σε νικοτίνη x = 0.0185 mgr και τυπική απόκλιση s = 0.008 mgr Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η μέση περιεκτικότητα σε νικοτίνη σε όλα τα τσιγάρα της μάρκας αυτής δεν διαφέρει από 0.010 mgr σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 10. Σε τυχαίο δείγμα n = 20 λαμπτήρων ορισμένης μάρκας υπολογίσαμε μέση διάρκεια ζωής x = 1005 ώρες και τυπική απόκλιση s = 12 ώρες. Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η μέση διάρκεια ζωής στο σύνολο των λαμπτήρων ισούται με 1000 ώρες, με εναλλακτική υπόθεση ότι είναι μεγαλύτερη στο επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05. Η κατανομή μπορεί να υποτεθεί κανονική.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 11. Η τυπική απόκλιση του βάρους του περιεχομένου στα corn-flakes ορισμένης μάρκας ισούται με σ = 22.7 gr. και η παραγωγός επιχείρηση, θεωρώντας ότι η διασπορά του βάρους είναι πολύ μεγάλη, κάνει νέα ρύθμιση του μηχανήματος συσκευασίας. Αν σε τυχαίο δείγμα n = 25 κουτιών, τα οποία συσκευάστηκαν μετά τη ρύθμιση, υπολογίσαμε s = 21.3 gr., να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η διακύμανση του πληθυσμού δεν μειώθηκε στο επίπεδο σημαντικότητας α = 0.01. Η κατανομή του βάρους μπορεί να υποτεθεί κανονική.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 12. Μηχάνημα γεμίζει ορισμένο τύπο μπύρας με άγνωστη μέση περιεκτικότητα και τυπική απόκλιση σ = 0.02 lt. Ο παραγωγός, που ενδιαφέρεται ιδιαίτερα να μην αυξηθεί η διασπορά της περιεκτικότητας, ελέγχει την τιμή της σ καθημερινά σε τυχαίο δείγμα n = 13 μπουκαλιών. Ζητείται: (α) Να οριστεί η κρίσιμη περιοχή για τον έλεγχο αυτόν, αν το επίπεδο σημαντικότητας επιλεγεί ίσο με 0.01 (β) Αν σε ορισμένο τυχαίο δείγμα υπολογίσαμε τυπική απόκλιση ίση με 0.028, να δοθεί γραφικά το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στο οποίο μπορεί να απορριφθεί η Η 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Lap 13. To μεγάλο πολυκατάστημα Α κρατά κάποια ισορροπία στις τιμές με το ανταγωνιστικό του πολυκατάστημα Β, με την έννοια ότι το 50% των τιμών του είναι χαμηλότερες. Αν σε τυχαίο δείγμα n = 300 ειδών του ανταγωνιστικού καταστήματος Β βρήκαμε 206 είδη με χαμηλότερες τιμές, δικαιολογούν τα δεδομένα μας την υποψία ότι το ανταγωνιστικό κατάστημα κάνει πόλεμο τιμών;