Όποιος είχε την τύχη να έχει στη ζωή έναν σωστό πατέρα, κρατάει ένα ξίφος. Μπορεί να ορµήσει στη ζωή

Όποιος είχε την τύχη να έχει στη ζωή έναν σωστό πατέρα, κρατάει ένα ξίφος. Μπορεί να ορµήσει στη ζωή Όποιος είχε την τύχη να έχει στη ζωή µια καλή µητέρα, κατέχει ασπίδα. Μπορεί να αµυνθεί στη ζωή Όποιος είχε την ευτυχία να έχει και τους δυο γονείς σωστούς και καλούς αυτός έχει ένα χρέος. Να νικήσει! Αφιερώνεται εξαιρετικά στους γονείς µου

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συγκεκριµένη εργασία είναι αποτέλεσµα της προσπάθειας στα πλαίσια εκπόνησης της διπλωµατικής µου εργασίας κατά το τελευταίο έτος των προπτυχιακών µου σπουδών. Όπως φαίνεται από τον τίτλο ασχολείται µε την µελέτη σύγχρονων κεραιών για κινητά και τοπικά ασύρµατα δίκτυα µε την δηµοφιλή αριθµητική µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Στις µέρες µας η µείωση του µεγέθους των κινητών τηλεφώνων, αλλά και η επιθυµία για συνδυασµό πολλαπλών λειτουργιών οδήγησαν στην κατασκευή νέων κεραιών που έχουν µικρό µεγέθους και µπορούν να λειτουργούν σε πολλές µπάντες συχνοτήτων. Η ποικιλία τέτοιων κεραιών είναι µεγάλη και φυσικά το παρόν σύγγραµµα αρκείται να ασχοληθεί µε µερικά παραδείγµατα τέτοιων κεραιών. Κλείνοντας, θα ήθελα εκφράσω τις θερµές µου ευχαριστίες στον καθηγητή κ. Τσιµπούκη Θεόδωρο, όχι µόνο για την ευκαιρία που µου έδωσε να ασχοληθώ µε αυτή την εργασία, αλλά και για τις συζητήσεις που κάναµε, τις πολύτιµες συµβουλές του και την εµπιστοσύνη που µου έδειξε. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω το ιδάκτορα Μηχανικό κ. Κανταρτζή Νικόλαο για τη βοήθεια και την ευγένειά του και ιδιαίτερα τον υποψήφιο ιδάκτορα Ζυγκιρίδη Θεόδωρο για τις πολύτιµες κατευθύνσεις και τον χρόνο που αφιέρωσε σε µένα κάνοντας ευκολότερο το δικό µου έργο. Θεσσαλονίκη, Νοέµβριος 2002 Ψώµος Βασίλης 3

4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...7 1. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ...9 1.1 Εισαγωγή...9 1.2 Οι Εξισώσεις του Maxwell...9 1.3 Ο αλγόριθµος του Υee...10 1.4 Πεπερασµένες διαφορές...12 1.5 Οι εξισώσεις του Maxwell µε πεπερασµένες διαφορές...12 1.6 Αριθµητική Ευστάθεια και Εισαγωγή της Πηγής...14 1.7 Απορροφητικές συνθήκες...15 1.8 Ορισµός του Τέλεια Προσαρµοσµένου Στρώµατος (PML)...16 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗΣ ΜΙΑΣ ΚΕΡΑΙΑΣ ΜΕ ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ XFDTD...21 2.1 Εισαγωγή...21 2.2 Καθορισµός των ιαστάσεων και του Πλήθους των Κεραιών...21 2.3 Σχεδιασµός της Γεωµετρίας του Προβλήµατος...24 2.4 Εισαγωγή του Παλµού ιέγερσης...29 2.5 Καθορισµός Συνθηκών Τερµατισµού του Υπολογιστικού Χώρου...33 2.6 Πραγµατοποίηση Προσοµοίωσης και Παρουσίαση Αποτελεσµάτων...33 5

3. ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΚΕΡΑΙΩΝ ΓΙΑ ΚΙΝΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΑ ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΙΚΤΥΑ...39 3.1 Επίπεδη Κεραία Ανεστραµµένου F ιπλής Ζώνης...39 3.2 Microstrip κεραία µε αυλάκωση σχήµατος C...46 3.3 Εσωτερική Patch Κεραία ιπλής Ζώνης...51 3.4 Microstrip Κεραία µε Αυλάκωση για Λειτουργία ιπλής Ζώνης...60 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...71 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...73 6

Εισαγωγή Η πλειοψηφία των σύνθετων προβληµάτων του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου αντιµετωπίζεται κυρίως µε αριθµητική προσοµοίωση στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές µιας και οι αναλυτικές λύσεις είναι περιορισµένες και αφορούν, κατά κανόνα, σε σχετικά απλές γεωµετρίες ή προϋποθέτουν σηµαντικές παραδοχές. Ταυτόχρονα η δύναµη των Η/Υ µεγαλώνει, ενώ παράλληλα το κόστος τους γίνεται συνεχώς και πιο προσιτό. Συνέπεια αυτής της πραγµατικότητας είναι η ολοένα επεκτεινόµενη χρήση των υπολογιστικών µεθόδων και οι συνεχείς προσπάθειες βελτιστοποίησής τους. Μερικές από τις πλέον γνωστές και ευρέως χρησιµοποιούµενες αριθµητικές µεθόδους είναι η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων, η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών (στο πεδίο του χρόνου ή της συχνότητας), η µέθοδος των ροπών και άλλες. Η εµπειρία έχει δείξει ότι καµία µέθοδος δεν µπορεί να θεωρηθεί αποτελεσµατική για όλο το φάσµα των εφαρµογών. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται συνοπτικά οι βασικές αρχές της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain Method, FDTD). Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχοληθούµε µε την περιγραφή του προηγµένου υπολογιστικού πακέτου (XFDTD) και τέλος στο τρίτο κεφάλαιο θα παρουσιάσουµε τα αποτελέσµατα διαφόρων προσοµοιώσεων σε προβλήµατα σύγχρονων κεραιών των οποίων η αναλυτική αντιµετώπιση είναι ιδιαίτερα δύσκολο να πραγµατοποιηθεί. 7

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουµε µια συνοπτική εισαγωγή στην µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου. Αρχικά, θα δώσουµε µια σύντοµη περιγραφή της µεθόδου, ξεκινώντας από τις εξισώσεις του Maxwell, εξετάζοντας τoν αλγόριθµο του Yee, εξάγοντας έτσι στην τελική µορφή των διακριτοποιηµένων εξισώσεων του Maxwell, βάσει του αλγορίθµου αυτού. Στη συνέχεια, θα παρατεθούν κάποιοι χαρακτηριστικά της µεθόδου (χωρικό και χρονικό βήµα), αλλά και οι απορροφητικές συνθήκες. 1.2 Οι εξισώσεις του Maxwell Οι εξισώσεις του Maxwell που ισχύουν για γραµµικά, ισοτροπικά και οµογενή µέσα είναι οι παρακάτω: * H 1 σ = E H (1.1α) t µ µ E 1 σ = H E (1.1β) t ε ε και καταλήγουν στις εξής 6 διαφορικές εξισώσεις, εάν προχωρήσουµε σε ανάλυση του τελεστή της στροφής σε καρτεσιανό σύστηµα ορθοκανονικών συντεταγµένων: E H H t ε y z x 1 z y = σe x (1.2α) Ey 1 Hx H z = σe y t ε z x Ez 1 Hy H x = σe z t ε x y Hx 1 Ey E z * = σ H x t µ z y (1.2β) (1.2γ) (1.3α) 9

Hy 1 Ez Ex * = σ H y t µ x z Hz 1 E E x y * = σ H z t µ y x (1.3β) (1.3γ) Οι έξι παραπάνω διαφορικές εξισώσεις, αποτελούν τη βάση της αριθµητικής µεθόδου FDTD, που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Υee. 1.3 Ο αλγόριθµος του Υee Το 1966 ο Υee, αφού εργάστηκε πάνω στα προβλήµατα που παρουσίαζαν οι µέχρι τότε αριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης ηλεκτροµαγνητικών προβληµάτων, διατύπωσε ένα σύνολο απλών προτάσεων σχετικά µε το πώς θα έπρεπε να γίνει µια τέτοια προσέγγιση. Οι προτάσεις αυτές είναι οι θεµελιώδεις αρχές του αλγορίθµου του Yee και είναι οι παρακάτω: 1. Γίνεται ταυτόχρονη επίλυση και προσδιορισµός και των δύο πεδιακών εντάσεων, χρησιµοποιώντας τις δύο συζευγµένες εξισώσεις στροφής του Μaxwell, οι οποίες συνδυάζουν το ηλεκτρικό µε το µαγνητικό πεδίο στο χώρο και στο χρόνο. Έτσι επιτυγχάνουµε ενιαία µελέτη του ηλεκτροµαγνητικού φαινοµένου και συνεπώς οι υπολογισµοί είναι ακριβείς. 2. Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου τοποθετούνται στον τρισδιάστατο χώρο σε συγκεκριµένες θέσεις σχηµατίζοντας το «κελί του Yee». Αυτό φαίνεται στο σχήµα 1.1. ηλαδή, κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου περιβάλλεται από τέσσερις συνιστώσες του µαγνητικού πεδίου, και κάθε συνιστώσα του µαγνητικού πεδίου περιβάλλεται από τέσσερις συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου. Επιπλέον η απόσταση µιας συνιστώσας ηλεκτρικού πεδίου από µια συνιστώσα µαγνητικού πεδίου είναι /2, όπου η διάσταση µίας πλευράς ενός τετραγωνικού κελιού. Αυτή η περιγραφή αποτελεί µια απλή, παραστατική εικόνα του πραγµατικού πεδίου. 3. Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου τοποθετούνται στο χρόνο µε ανάλογο τρόπο, χρησιµοποιώντας την τεχνική leapfrog. Αυτή φαίνεται στο σχήµα 1.2. ηλαδή, το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο δεν υπολογίζονται τις ίδιες χρονικές στιγµές, αλλά διαχωρίζονται από µια χρονική διαφορά t /2, όπου t το χρονικό βήµα. Έτσι ο αλγόριθµος λειτουργεί ως εξής: σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή, για να γίνει ο υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου, χρησιµοποιούµε για δεδο- 10

z Εy Εx Ηz Εx Εz Εy Εz Εz Ηy Ηx y Εx x Εy Σχήµα 1.1 Θέσεις των συνιστωσών του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στο «κελί του Yee» µένα τις τιµές του µαγνητικού πεδίου που έχουν υπολογιστεί την προηγούµενη χρονική στιγµή (τα οποία έχουν αποθηκευτεί στη µνήµη). Ολοκληρώνεται ο υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου και ο υπολογισµός του νέου µαγνητικού πεδίου γίνεται µε βάση τις τιµές του ηλεκτρικού πεδίου που µόλις έχουν υπολογιστεί. Ο κύκλος αυτός τον υπολογισµών συνεχίζεται µέχρι το πέρας του επιθυµητού αριθµού των χρονικών βη- µάτων. t ή n x ή i Σχήµα 1.2 11

1.4 Πεπερασµένες διαφορές Η παράσταση των διανυσµάτων του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στο χώρο και στο χρόνο γίνεται µε τον συµβολισµό που πρότεινε ο Yee. Συγκεκριµένα εάν f είναι η συνιστώσα ενός διανύσµατος, τότε η τιµή της συνάρτησης f στο ση- µείο ( ijk,, ) = ( i xi, yi, z) του χώρου τη χρονική στιγµή t n = n t, θα συµβολίζεται ως: f ( i x, j y, k z, n t) = f ijk,, n. Η τιµή της f τη χρονική στιγµή t n στο ση- µείο ( i 1/2, j, k) από το ανάπτυγµα της f σε σειρά Taylor θα είναι: (( 1/2 ),,, ) f i x j y k z n t = f n i 1/2, j, k n x f = f ijk,, + Ο 2 x και όµοια στο σηµείο ( i + 1/2, j, k) την ίδια χρονική στιγµή: (( 1/2 ),,, ) f i + x j y k z n t = f n i+ 1/2, j, k n ijk,, ijk.. 2 ( x ) n x f = f ijk,, + + Ο 2 x n 2 ( x ) (1.4α) (1.4β) Αφαιρώντας τις παραπάνω δύο σχέσεις και αµελώντας τους όρους που περιλαµβάνουν δυνάµεις του x µεγαλύτερες και ίσες του δύο, υπολογίζουµε µια προσεγγιστική έκφραση για την παράγωγο της f ως προς x, η οποία προφανώς έχει ακρίβεια 2 ης τάξης. Έτσι η έκφραση του Yee για την πρώτη χωρική παράγωγο της f ως προς x, την χρονική στιγµή t n είναι: n n n f f fi+ j k fi j k = = +Ο x x x x ( i x, j y, k z, n t) i, j, k ( ) 1/2,, 1/2,, 2 (1.5α) ενώ η πρώτη χρονική παράγωγος της f ως προς το χρόνο στο σηµείο ( ijk,, ) του χώρου θα δίνεται ανάλογα από την έκφραση: f f f f = = + Ο x x t ( i x, j y, k z, n t) i, j, k 2 2 όπου οι όροι Ο ( x ) και ( t ) µηδέν όσο αυξάνει το τετράγωνο του n n+ 1/2 n 1/2 ijk,, ijk,, 2 ( t ) (1.5β) Ο είναι το σφάλµα προσέγγισης το οποίο τείνει στο x. 1.5 Οι εξισώσεις του Maxwell µε πεπερασµένες διαφορές Προκειµένου να είναι υλοποιήσιµος ο υπολογισµός του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου εφαρµόζουµε τα παραπάνω στις εξισώσεις του Maxwell, ώστε να 12

πάρουµε τις αριθµητικές τους προσεγγίσεις. Για παράδειγµα ας εφαρµόσουµε τα παραπάνω στην εξίσωση (1.2γ). Αντικαθιστώ, όπου: E t z E z n+ 1 n E i, j, k + 1/ 2 z i, j, k + 1/ 2 t H y x H y x H H n+ 1/2 n+ 1/2 H y i+ 1/2, j, k+ 1/2 y i 1/2, j, k+ 1/2 x n+ 1/2 n+ 1/2 x H ij, + 1/2, k+ 1/2 x ij, 1/2, k+ 1/2 y E z E ε ε + n n 1 z + E ijk,, + 1/2 z ijk,, + 1/2 ijk,, 1/2 και ijk,, 1/2 2 σ σ + οπότε και προκύπτει: E n+ 1 n n+ 1/2 n+ 1/2 z E,, 1/2 z,, 1/2 1 H ijk ijk y H + + i+ 1/2, jk, + 1/2 y i 1/2, jk, + 1/2 t = ε ijk,, x n+ 1/2 n+ 1/2 n+ 1 n Hx H, 1/2, 1/2 x E, 1/2, 1/2 z + E ij+ k+ ij k+ ijk,, + 1/2 z ijk,, + 1/2 σ ijk,, y 2 (1.6α) οπότε επιλύοντας ως προς n 1 E + + προκύπτει: z ijk,, 1/2 E 2ε σ t 2 t t n+ 1 ijk,, + 1/2 ijk,, + 1/2 n z = E,, 1/2 z + ijk+ ijk,, 1/2 2 ijk,, 1/2 ijk,, 1/2 t + ε + σ + 2εijk,, + 1/2 σijk,, + 1/2 H H H H x y n+ 1/2 n+ 1/2 n+ 1/2 n+ 1/2 y 1/2,, 1/2 y 1/2,, 1/2 x i+ j k+ i j k+ i, j+ 1/2, k+ 1/2 x i, j 1/2, k+ 1/2 (1.6β) Λαµβάνοντας υπ όψη ότι x = y = z = και δηµιουργώντας µεταβλητές για τους συντελεστές κάθε συνιστώσας του πεδίου, µπορούµε να γράψουµε την (1.6β) ως εξής: n+ 1 n z = ijk,, + 1/2 a ijk,, + 1/2 z ijk,, + 1/2 E C E όπου: n+ 1/2 n+ 1/2 n+ 1/2 n+ 1/2 ( i+ 1/2, j, k+ 1/2 i 1/2, j, k+ 1/2 ) + C H H H + H b ijk,, + 1/2 y y x ij, + 1/2, k+ 1/2 x ij, 1/2, k+ 1/2 C a ijk,, + 1/2 2ε = 2ε σ ijk,, + 1/2 ijk,, + 1/2 σ ijk,, + 1/2 ijk,, + 1/2 t t (1.6γ) 13

και Cb ijk,, + 1/2 = 2ε 2 t / σ ijk,, + 1/2 ijk,, + 1/2 t Από την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών τώρα µπορούµε να γράψουµε: ez[i][j][k]=ca[i][j][k]*ez[i][j][k] +cb[i][j][k]*(hy[i][j][k]-hy[i-1][j][k] -hx[i][j][k]+hx[i][j-1][k]) Παρατηρώ ότι η νέα τιµή της συνιστώσας του πεδίου εξαρτάται µόνο από την προηγούµενη τιµή της συνιστώσας στο συγκεκριµένο σηµείο του χώρου και από τις προηγούµενες τιµές των γειτονικών συνιστωσών του άλλου πεδίου. Με ακριβώς ανάλογο τρόπο προκύπτουν και οι υπόλοιπες εξισώσεις. 1.6 Αριθµητική Ευστάθεια και Εισαγωγή της Πηγής Η αριθµητική αστάθεια είναι ένα ανεπιθύµητο φαινόµενο, συνηθισµένο σε εφαρµογές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων µε αριθµητικές µεθόδους, όπου οι τιµές των αγνώστων τους αυξάνουν ανεξέλεγκτα µε την πάροδο του χρόνου. Η αριθµητική ευστάθεια εξαρτάται από τις τιµές που παίρνουν οι µεταβλητές x, y, z και t. Γι αυτό και η εκλογή των τιµών τους δεν είναι αυθαίρετη, αλλά περιορίζεται από µια συνθήκη που τις σχετίζει µεταξύ τους. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα ανώτατο φράγµα στο µέγεθος του t, οποίο είναι συνάρτηση των x, y, z και δίνεται από τη σχέση: 1 t (1.7α) 2 2 2 c 1 ( x) + 1 ( y) + 1 ( z) η οποία ονοµάζεται συνθήκη Courant. Εάν x = y = z =, δηλαδή για τετραγωνικό κελί, τότε η σχέση απλοποιείται στην: t / c 3 (1.7β) Η επόµενη ενέργειά µας είναι η εισαγωγή της διέγερσης στον υπολογιστικό χώρο, κάτι που γίνεται δίνοντας για κάθε χρονικό βήµα την τιµή µιας συνάρτησης (συνήθως γκαουσιανής ή ηµιτονοειδούς µορφής) σε µια από τις πεδιακές συνιστώσες σε ένα συγκεκριµένο σηµείο, το σηµείο τροφοδοσίας. Για την πρώτη περίπτωση, η διέγερση θα είναι ο παλµός της σχέσης 1.8 n ( n n0 ) / n decay z ijk,, 1/2 0 2 E = E e (1.8) + 14

όπου η µέγιστη τιµή του εµφανίζεται στο χρονικό βήµα n 0 ενώ το n decay καθορίζει το πλήθος των χρονικών βηµάτων που απαιτούνται για να µειωθεί το πλάτος του παλµού από την τιµή E 0 στο 1/e της µέγιστης τιµής του. Στην περίπτωση ηµιτονοειδούς διέγερσης συχνότητας f 0 περιγράφεται από τη σχέση 1.9 ( π ) n z =,, 1/2 0 sin 2 ijk+ 0 (1.9) E E f n t 1.7 Απορροφητικές Συνθήκες Η µέθοδος FDTD χρησιµοποιείται για ένα πλήθος πεδιακών προβληµάτων σε «ανοιχτούς» χώρους, που δεν περιορίζονται δηλαδή από κάποιο εξωτερικό όριο. Όµως ο χώρος στον οποίο πραγµατοποιούνται οι υπολογισµοί δεν µπορεί να εκτείνεται στο άπειρο, γιατί αυτό θα απαιτούσε την την ύπαρξη απεριόριστης µνήµης τόσο για τη διαχείριση των δεδοµένων, όσο και για την αποθήκευσή τους. Συνεπώς χρειάζονται κατάλληλες συνθήκες που να επιτρέπουν την προσοµοίωση του ελεύθερου χώρου στον πεπερασµένο σε µέγεθος υπολογιστικό χώρο, καθιστώντας τα όρια του διαφανή και πλήρως ανακλαστικά. Η πιο σηµαντική κατηγορία τέτοιων τεχνικών είναι οι απορροφητικές οριακές συνθήκες. Η εφαρµογή των τελευταίων γίνεται στα όρια του υπολογιστικού χώρου, ό- που και είναι αδύνατος ο υπολογισµός του ηλεκτρικού πεδίου µε τις συνήθεις εξισώσεις του αλγορίθµου του Yee. Αυτό, διότι εκεί απαιτείται η γνώση του πεδίου σε θέσεις εκτός της περιοχής όπου πραγµατοποιείται η προσοµοίωση (ας µην ξεχνάµε ότι κάθε συνιστώσα υπολογίζεται από τις τέσσερις συνιστώσες που την περιβάλλουν). Οι απορροφητικές συνθήκες είναι επιθυµητό να διαθέτουν συγκεκριµένες ιδιότητες, όπως: να παράγουν όσο το δυνατό µικρότερα ανακλώµενα κύµατα, να είναι αποτελεσµατικές σε όσο το δυνατό µικρότερες αποστάσεις από τα σηµεία που µας ενδιαφέρουν ή από τη δοµή που µοντελοποιούµε, έτσι ώστε χώρος προσοµοίωσης να µην παίρνει απαγορευτικά µεγάλες διαστάσεις, να είναι αποτελεσµατικές ανεξάρτητα από την πόλωση του προσπίπτοντος κύµατος, της συχνότητας του και της γωνίας προσπτώσεως. Κατά καιρούς έχουν προταθεί και χρησιµοποιηθεί διαφόρων ειδών απορροφητικές συνθήκες και µπορούν να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες µε πιο δηµοφιλείς δύο από αυτές. Στην πρώτη κατηγορία, στις οποίες ανήκουν οι χρονικά παλαιότερες, η κυρίαρχη ιδέα είναι ότι το πεδίο σε οποιοδήποτε σηµείο στα όρια του υπολογιστικού χώ- 15

ρου µπορεί να υπολογιστεί από τις τιµές του πεδίου σε γειτονικά σηµεία. Ενδεικτικά, α- ναφέρουµε τις συνθήκες που προτάθηκαν από τους Engquist και Majda, Mur. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν εκείνες οι συνθήκες στις οποίες περιβάλλεται ο υπολογιστικός χώρος µε ένα απορροφητικό υλικό. Ο κυριότερος και σηµαντικότερος εκπρόσωπος αυτής της κατηγορίας είναι το Τέλεια Προσαρµοσµένο Στρώµα (Perfectly Matched Layer- ΡΜL,) το οποίο αποτελεί µια σχετικά νέα εξέλιξη [Berenger, 1994]. Μέχρι σήµερα θεωρείται, αλλά και έχει αποδειχτεί, ότι για την προσοµοίωση του ελεύθερου χώρου αποτελεί την πιο αποτελεσµατική από το σύνολο των απορροφητικών συνθηκών. 1.8 Ορισµός του Τέλεια Προσαρµοσµένου Στρώµατος (PML) Οι εξισώσεις του Maxwell για την περίπτωση του ΤΕ κύµατος σε δύο διαστάσεις είναι: ε ε 0 0 E t E y t x H + σex = y H + σey = x Hz E x µ 0 + σ H z = z z E t y x y (1.10α) (1.10β) (1.10γ) Το τέλεια προσαρµοσµένο στρώµα ορίζεται ως ένα µέσο µε απώλειες, στο ο- πιό δεν ισχύουν οι παραπάνω εξισώσεις, αλλά αυτές που προκύπτουν αν διαχωριστεί η συνιστώσα Hzx και την H zy. Οι εξισώσεις, τότε που προκύπτουν είναι: H z σε δύο άλλες, την ε ε 0 0 E t E y t x ( Hzx Hzy ) + + σyex = y ( Hzx Hzy ) + + σxey = x H zx µ 0 + σ xh zx = t H zy µ 0 σ y t E y x E + H zy = x x (1.11α) (1.11β) (1.11γ) (1.11δ) όπου οι παράµετροι σ x και σ y δηλώνουν ηλεκτρική αγωγιµότητα και οι παράµετροι σ x και σ y δηλώνουν µαγνητικές απώλειες. Οι απώλειες αυτές προκαλούν την εκθετι- 16

κή εξασθένηση των διαδιδόµενων πεδίων εντός της περιοχής του PML. Εάν επιβληθεί στις αγωγιµότητες η ικανοποίηση των σχέσεων: σx σx = και ε µ 0 0 σy σy = (1.12) ε µ 0 0 η εξασθένηση πραγµατοποιείται ανεξάρτητα από τη συχνότητα του κύµατος και χωρίς να επηρεάζεται από την αντίσταση του. Επιπλέον στις επιφάνειες που συνδέουν το υλικό PML µε αυτό του υπολογιστικού χώρου τα δύο υλικά παρουσιάζουν µηδενική ανάκλαση. x y x y Εάν σ = σ = σ = σ = 0, οι τέσσερις παραπάνω εξισώσεις (1.11) µετατρέπονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ελεύθερο κενό χώρο. Εάν σx = σ και y x y σ = σ = 0 µετατρέπονται στις αντίστοιχες του Maxwell για ένα χώρο µε ηλεκτρικές απώλειες. Τέλος, εάν σx = σy και σx σy =, οι εξισώσεις (1.11) µετατρέπονται σε αυτές που χαρακτηρίζουν ένα υλικό απορρόφησης, του οποίου η αντίσταση είναι προσαρµοσµένη µε αυτή των επίπεδων κυµάτων που διεισδύουν στο υλικό αυτό. Το υλικό PML µε σ = σ = 0, µπορεί να απορροφήσει ένα επίπεδο κύµα, y y του οποίου οι συνιστώσες E, H διαδίδονται κατά µήκος του άξονα του x, όχι όµως y zx το επίπεδο κύµα µε συνιστώσες E, H που διαδίδεται κατά µήκος του άξονα του y. x zy Βάσει αυτής ακριβώς της ιδιότητας του υλικού PML, δηλαδή της απορρόφησης του κύµατος σε συγκεκριµένες κατευθύνσεις διάδοσης, κατασκευάζουµε τα τέλεια προσαρµοσµένα στρώµατα που θα περιβάλλουν τον υπολογιστικό χώρο µας Είναι φανερό ότι για ένα διδιάστατο χώρο χρειάζονται τέσσερα στρώµατα από υλικό PML. Χρησιµοποιώντας την τετράδα των παραµέτρων ( σx, σx, σy, σy) για την περιγραφή του κάθε µέσου το κενό θα περιγράφεται από την τετράδα ( 0, 0, 0, 0 ). Έτσι τα στρώµατα που θα βρίσκονται στις πλευρές x min και x max θα περιγράφονται από την τετράδα ( σ, σ,0,0) ενώ αυτά στις πλευρές y min και y max από την τετράδα ( 0, 0, y, y) x x σ σ όπως φαίνεται και στο σχήµα 1.3. 17

( σx1, σx1, σy2, σy2) ( 0, 0, σy2, σ y2) ( σx2, σx2, σy2, σy2) τέλειος αγωγός ( σ, σ,0,0) x1 x1 ( σ, σ,0,0) x2 x2 πηγή ( σx1, σx1, σy1, σy1) Σχήµα 1.3 ( 0, 0, σy1, σ y1) ( σx2, σx2, σy1, σy1) Προσοµοίωση ελεύθερου υπολογιστικού χώρου µε την τεχνική PML Η έκφραση µίας οποιασδήποτε συνιστώσας του κύµατος, όταν ικανοποιείται η σχέση (2.10) δίνεται από την σχέση: j ( t ( x cos ysin )/ c) ( cos / 0 ) ( y sin / x c 0cy ) 0e ω φ + φ e σ φ ε e σ φ ε ψ = ψ (1.13) όπου ψ 0 το αρχικό πλάτος του στρώµατος. Ο πρώτος όρος δηλώνει ότι η διεύθυνση διαδόσεως του κύµατος είναι κάθετη στη διεύθυνση διαδόσεως του ηλεκτρικού πεδίου και ότι η ταχύτητα διαδόσεως είναι λύση µε c. Οι δυο επόµενοι όροι δείχνουν την εκθετική µείωση του κατά µήκος των αξόνων x και y αντίστοιχα. Όταν το κύµα εισέλθει στο τέλεια προσαρµοσµένο στρώµα και κατά τη διάδοση του µέσα σε αυτό, θα υφίσταται µία συνεχή εκθετική εξασθένηση. Κάποια στιγµή θα φτάσει στο τέλεια αγώγιµο τοίχωµα, θα ανακλαστεί και κατά την επιστροφή του θα συνεχίσει να αποσβένει. Όπως φαίνεται από τους δυο τελευταίους όρους της σχέσης (1.13) η εξασθένηση εξαρτάται από την αγωγιµότητα. Στην πράξη έχει παρατηρηθεί ότι απότοµες µεταβολές στην αγωγιµότητα δηµιουργούν ανεπιθύµητες αριθµητικές ανακλάσεις. Γι αυτό η αγωγιµότητα θα πρέπει να αυξάνει οµαλά από την τιµή 0 στην επιφάνεια που διαχωρίζει τον κενό χώρο από το υλικό PML µέχρι µια µέγιστη τιµή σ max στο τέλος της ζώνης. Όλα τα παραπάνω φαίνονται στο σχήµα 1.4. 18

σ max y σ υλικό PML ( 0, 0, σy2, σ y2) φ τέλειος αγωγός y Εκθετική εξασθένηση των συνιστωσών του πεδίου E ή Η Επιφάνεια µηδενικής ανάκλασης Σχήµα 1.4 Λειτουργία του υλικού PML 19

20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΙΑΣ ΚΕΡΑΙΑΣ ΜΕ ΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΑΚΕΤΟ XFDTD 2.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (FDTD) είναι σήµερα µία ευρέως χρησιµοποιούµενη µέθοδος για τη µελέτη των προβληµάτων του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. Η διάδοση αυτή οδήγησε στην ανάπτυξη διάφορων υπολογιστικών πακέτων µε σηµαντικότερο εκπρόσωπο το πρόγραµµα XFDTD της REMCOM. Σ αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρηθεί να γίνει µία σύντοµη παρουσίαση του προγράµµατος µέσω ενός παραδείγµατος. Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλή- µατος µε το XFDTD µπορεί να συνοψισθεί στα παρακάτω βήµατα: Καθορισµός του χωρικού βήµατος και του αριθµού των κελιών που θα χρησιµοποιήσουµε. Σχεδιασµός της γεωµετρίας του προβλήµατος. Εισαγωγή του παλµού διέγερσης. Καθορισµός των οριακών συνθηκών τερµατισµού του υπολογιστικού χώρου του προβλήµατος. Εκτέλεση του προγράµµατος και παρουσίαση των αποτελεσµάτων. 2.2 Καθορισµός των διαστάσεων και του πλήθους των κελιών H βέλτιστη επιλογή του χωρικού βήµατος είναι καθοριστική, τόσο για την ορθή µελέτη όσο και για την γρήγορη εκτέλεση του προγράµµατος. Ο πρώτος περιορισµός της διάστασης του κελιού του Yee είναι ότι οι πλευρές του πρέπει να είναι µικρότερες από το µικρότερο µήκος κύµατος για το οποίο θέλου- µε να έχουµε ακριβή αποτελέσµατα. Μάλιστα, µια συνηθισµένη επιλογή είναι κάθε πλευρά του κελιού ( x, y, z) να έχει διάσταση το 1/10 του µικρότερου µήκους κύµατος. Ο δεύτερος περιορισµός έρχεται από την ίδια τη γεωµετρία του προβλήµατος. Κάθε κατασκευή έχει τα δικά της λεπτά χαρακτηριστικά. Το µέγεθος του κελιού θα πρέπει να είναι τέτοιο, ώστε να αποδίδονται τα τελευταία κατά το δυνατόν ακρι- 21

βέστερα και να ανταποκρίνονται στις πραγµατικές διαστάσεις του προβλήµατος. Ο περιορισµός αυτός σχετίζεται µε τον αριθµό των κελιών που θα χρησιµοποιήσουµε. Άλλωστε, οι απαιτήσεις σε υπολογιστική δύναµη και χρόνο είναι ανάλογες µε τον α- ριθµό των κελιών. Συγκεκριµένα η χωρητικότητα σε bytes και ο αριθµός των υπολογισµών που χρειάζονται δίνεται από τη σχέση: συνιστωσες bytes υλικα bytes Χωρητικoτητα = NC 6 4 + 6 2 κελι συνιστωσα κελι υλικο Αριθµoς υπολογισµων = NC 80/χρονικo βηµα όπου NC = NX NY NZ ο συνολικός αριθµός των κελιών. Είναι προφανές, ότι οι δυο τελευταίοι περιορισµοί έρχονται ο ένας σε αντίθεση µε τον άλλο, διότι όσο κερδίζουµε σε λεπτοµέρεια, τόσο αυξάνονται οι απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ και χρόνο από τη πύκνωση του πλέγµατος. Έτσι πάντοτε χρειάζεται ένας συµβιβασµός. Ξεκινώντας το XFDTD εµφανίζεται η αρχική οθόνη του προγράµµατος, όπου επιλέγοντας File New (εικόνα 2.1) προκύπτει το παράθυρο 2.2, που µας δίνει τη δυνατότητα να διαλέξουµε µια νέα γεωµετρία ή εργασία. Εικόνα 2.1 Το µενού αρχείου Εικόνα 2.2 Παράθυρο δηµιουργίας νέας γεωµετρίας ή εργασίας Επιλέγοντας τη κατασκευή µιας νέας γεωµετρίας, ζητείται ο καθορισµός του µεγέθους και του αριθµού των κελιών, όπως φαίνεται στην εικόνα 2.3. 22

Εικόνα 2.3 Παράθυρο δηµιουργίας νέας γεωµετρίας καθορίζοντας το µέγεθος και τον αριθµό των κελιών Στο παράδειγµά µας, η κεραία που θα προσοµοιώσουµε φαίνεται στο σχήµα 2.1. τέλειος αγωγός 1.5 διηλεκτρικό υπόστρωµα Wf=1.5 Wg=1.5 22 τροφοδοσία y 22 Σχήµα 2.1 Γεωµετρία της κεραίας z x Λαµβάνοντας υπ όψη την γεωµετρία της κεραίας, θα µπορούσαµε να επιλέξουµε x = y = 0.5mm για να προσοµοιωθεί ικανοποιητικά η λεπτοµέρεια της αυλάκωσης, που έχει πλάτος 1.5 mm. Επειδή, όµως, θα πρέπει να προσεγγίσουµε µε τετραγωνικά κελιά και τη διαγώνια γραµµή, που απεικονίζεται µε κόκκινο χρώµα στο σχήµα 2.1, επιλέγουµε τελικά x = y = 0.25mm. Θέτουµε επίσης z = 0.5mm µιας και το ύψος του διηλεκτρικού είναι 1.5mm. Όσον αφορά στο συνολικό αριθµό 23

των κελιών, επειδή το αγώγιµο επίπεδο είναι διπλάσιο σε διαστάσεις και η απόστασή του από τα όρια του υπολογιστικού χώρου (για την αξιοπιστία των υπολογισµών) πρέπει να είναι τουλάχιστον δέκα κελιά, διαµερίζουµε τον άξονα x σε 44 0.25 + 10 + 10 = 196 κελιά. Όµοια για τον y άξονα. Για τον άξονα z έχουµε: 1.5 0.5 + 10 + 10 = 23 κελιά. Τέλος, ορίζουµε τα υλικά θα χρησιµοποιήσουµε. Στο παράδειγµά µας χρησι- µοποιούµε µη µαγνητικά υλικά, γι αυτό και µόνο η επιλογή Electric είναι τσεκαρισµένη. 2.3 Σχεδιασµός της Γεωµετρίας του Προβλήµατος Το αποτέλεσµα που θα προκύψει από την ενεργοποίηση του πλέγµατος ( ) φαίνεται στην εικόνα 2.5, όπου βλέπουµε µια τοµή του πλέγµατος στο επίπεδο ΧΥ. Εικόνα 2.4 Το επίπεδο ΧΥ της γεωµετρίας του πλέγµατος που προσοµοιώνει τον υπολογιστικό χώρο Με το κουµπί επιλογής επεξεργασίας της γεωµετρίας ( ) εµφανίζονται ταυτόχρονα το παράθυρο µε την παλέτα των υλικών και το παράθυρο µε τα εργαλεία χειρισµού της γεωµετρίας που φαίνονται αντίστοιχα στις εικόνες 2.6 και 2.7. 24

Εικόνα 2.5 Παράθυρο ορισµού νέου υλικού Εικόνα 2.6 Παράθυρο παλέτας υλικών Από την εικόνα 2.6 φαίνεται ότι οι αρχικές επιλογές υλικών που έχουµε είναι αυτή του τέλειου αγωγού και του κενού χώρου. Αν θέλουµε να προσθέσουµε άλλο υλικό, όπως στην περίπτωσή µας το υλικό του υποστρώµατος, επιλέγουµε Add Choose Color, ώστε να ορίσουµε το χρώµα του, οπότε εµφανίζεται το παράθυρο της εικόνας 2.5. Από εκεί θα καθορίσουµε τα χαρακτηριστικά και το όνοµα του νέου υλικού. Για το παράδειγµά µας (µε το όνοµα substrate), η αγωγιµότητα είναι προφανώς 0S m, η σχετική διηλεκτρική σταθερά 2.2F m. Στη συνέχεια σχεδιάζουµε τη γεωµετρία του προβλήµατος. Τα εργαλεία που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε βρίσκονται στο παράθυρο της εικόνας 2.7, όπου φαίνονται ορισµένα βοηθητικά αντικείµενα που δηµιουργήσαµε για την κατασκευή της γεωµετρίας του σχήµατος 2.1. 25

Εικόνα 2.7 Παράθυρο εργαλείων χειρισµού της γεωµετρίας Πριν ξεκινήσουµε, όµως, θα περιγράψουµε αυτά τα εργαλεία. Επιλέγοντας ( ) και βλέποντας το µενού που προκύπτει (εικόνα 2.8) βλέπουµε τις διαθέσιµες επιλογές. Εικόνα 2.8 Μενού εισαγωγής νέων αντικειµένων Εικόνα 2.9 Μενού επιλογών Με την πρώτη επιλογή του µενού ( ) µπορούµε να σχεδιάσουµε στον ορθογωνικό χώρο οποιοδήποτε σχήµα µε τη βοήθεια των εργαλείων της εικόνας 2.10. Εικόνα 2.10 Εργαλεία ελεύθερης σχεδίασης 26

Στην περίπτωση εισαγωγής διηλεκτρικών υλικών στο πλέγµα, οι θέσεις τους ευθυγραµµίζονται µε αυτό, ενώ στην περίπτωση εισαγωγής µαγνητικών υλικών, οι θέσεις τους µετατοπίζονται κατά µισό κελί ως προς όλες τις κατευθύνσεις. Κάτω από τη διαχωριστική γραµµή (εικόνα 2.8), εκτός από την ελεύθερη σχεδίαση, υπάρχουν φόρµες προκατασκευασµένων σχηµάτων. Οι τελευταίες παρουσιάζουν πλεονέκτηµα στη χρήση τους. Αυτό, διότι µετά την κατασκευή ενός αντικειµένου µπορούµε να το τροποποιήσουµε εάν θέλουµε. Σε αντίθεση µε τον ελεύθερο τρόπο κατασκευής όπου δεν δίνεται τέτοια δυνατότητα, καθώς πρέπει να απενεργοποιηθεί το πρώτο αντικείµενο και η σχεδίαση να πραγµατοποιηθεί από την αρχή. Αρχικά σχεδιάσαµε δύο παραλληλόγραµµα από τέλειο αγωγό χρησιµοποιώντας την προκατασκευασµένη φόρµα. Το πλαίσιο διαλόγου φαίνεται στην εικόνα 2.11, όπου επιλέξαµε τις κατάλληλες συντεταγµένεςοδηγίες για την κατασκευή ενός τετράγωνου αγώγιµου επίπεδου γείωσης. Εικόνες 2.11-12 Πλαίσια διαλόγου για την εισαγωγή του τετράγωνου επίπεδου γείωσης και του τετράγωνου ακτινοβολούντος στοιχείου αντίστοιχα. ώσαµε, κατ αρχήν, τις συντεταγµένες του κέντρου του, που αποτελούν συνήθως και τις συντεταγµένες του κέντρου του επιπέδου που θέλουµε να σχηµατισθεί. Χρειάστηκε να δηλώσουµε ακόµη το επιθυµητό µήκος και πλάτος, για να έχουµε την ορθή περιγραφή του σχήµατος. Προκειµένου να τοποθετηθεί σωστά στο πλέγµα επιλέξαµε και τη θέση του στο χώρο, δηλώνοντας το επίπεδο όπου θέλουµε να σχηµατισθεί. Παρόµοια φτιάξαµε και το άνω τµήµα της κεραίας (εικόνα 2.12). Τώρα, τα δύο 27

αυτά αντικείµενα φαίνονται στο παράθυρο εργαλείων επεξεργασίας γεωµετρίας (εικόνα 2.7). Για να τα ενεργοποιήσουµε και να εµφανιστούν στο πλέγµα τα επιλέγουµε και θέτουµε, ενώ από το µενού του (εικόνα 2.9) διαλέγουµε. Στην συνέχεια κατασκευάσαµε το ορθογώνιο διηλεκτρικό υπόστρωµα της κεραίας. Αυτό έγινε µε τη χρήση της προκατασκευασµένης φόρµας, αφού πριν επιλέξαµε από την παλέτα των υλικών το διηλεκτρικό substrate. Το πλαίσιο διαλόγου φαίνεται στην εικόνα 2.13. Για την κατασκευή του ορίσαµε τρία σηµεία, που φαίνονται στο πλαίσιο διαλόγου. Οµοίως, ενεργοποιώντας το νέο αντικείµενο παρατηρούµε ότι επικαλύπτει τα δύο προηγούµενα, κάτι που δεν είναι επιθυµητό. Το γεγονός αυτό αντιµετωπίζεται µε µια νέα επιλογή από το µενού του, την. Σχήµα 2.13 Πλαίσιο διαλόγου για την εισαγωγή του ορθογώνιου παραλληλόγραµµου διηλεκτρικού υποστρώµατος Επειδή το σχήµα της σχισµής δεν µπορεί να προσεγγιστεί µε καµιά τυποποιη- µένη µορφή, για την κατασκευή του χρησιµοποιούµε την ελεύθερη σχεδίαση. Το υλικό το οποίο χρησιµοποιείται είναι πάλι το διηλεκτρικό substrate. Από τα εργαλεία ε- λεύθερης σχεδίασης, εικόνα 2.10, επειδή θέλουµε να σχεδιάσουµε επιφάνεια στο επίπεδο ΧΥ, χρησιµοποιούµε τις επιλογές και. Το κουµπί τοποθετεί στο πλέγµα µόνο υλικό του οποίου η κατεύθυνση είναι κατά τον άξονα x, σε µια προεπιλεγµένη περιοχή. Προφανώς η ίδια εργασία θα µπορούσε να γίνει µε το κουµπί, το οποίο σχεδιάζει οµάδες από διδιάστατα κελιά που βρίσκονται µέσα στην παραπάνω περιοχή. Στο τέλος αφήνουµε τις λεπτοµέρειες του σχήµατος που σχεδιάζονται µε τα κουµπιά και, τα οποία είναι κουµπιά που τοποθετούν το υλικό µε το αρι- 28

στερό κλικ του ποντικιού. Το πρώτο τοποθετεί απλές ακµές ενός κελιού και το δεύτερο µεµονωµένα κελιά. Πριν θέσουµε ενδείκνυται να ονοµάσουµε το αντικείµενό µας. Το αποτέλεσµα της σχεδίασης φαίνεται στην εικόνα 2.15. Εικόνα 2.15 Η αυλάκωση στο ακτινοβολών επίπεδο της κεραίας και λεπτοµέρεια Η σχεδίαση της κεραία µας έχει πάρει την τελική της µορφή. Μία τρισδιάστατη απεικόνιση φαίνεται στην εικόνα 2.16. Εικόνα 2.16 Η κεραία στην ολοκληρωµένη της σχεδιαστικά µορφή 2.4 Εισαγωγή του Παλµού ιέγερσης Αφού σχεδιάσαµε την γεωµετρία της κεραίας, εισάγουµε την πηγή και τον εσωτερικό αγωγό του οµοαξονικού καλωδίου τροφοδοσίας. 29

Ας ξεκινήσουµε από το τελευταίο, του οποίου η εισαγωγή είναι σχεδιαστικό πάλι θέµα. Από το µενού της εισαγωγής νέων αντικειµένων της εικόνας 2.8 επιλέγου- µε.τότε εµφανίζεται το µενού της εικόνας 2.17, όπου απλά συµπληρώνουµε τις συντεταγµένες του αρχικού και τελικού σηµείου του σύρµατος. Εικόνα 2.17. Πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής του σύρµατος Εικόνα 2.18 Μενού δεξί κλικ Η πηγή καταλαµβάνει το χώρο µιας ακµής ενός κελιού και εισάγεται εύκολα µε δύο τρόπους. Ένας τρόπος είναι µε το κουµπί, οπότε και µας ζητείται να αποδεχθούµε τη δηµιουργία παραµέτρων εκτέλεσης του προγράµµατος, δηλαδή ενός αρχείου *.fdtd, απαραίτητο για να εκτελεστεί η εργασία µας. Επιλέγοντας ΟΚ φτάνουµε στο πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής της πηγής (εικόνα 2.19). Ο δεύτερος τρόπος είναι µέσα από τη γεωµετρία, µε µεγέθυνση, στην ακµή που θέλουµε να τοποθετήσουµε την πηγή. Εκεί µε δεξί κλικ εµφανίζεται το µενού της εικόνας 2.18. Επιλέγου- µε και κατόπιν από την ίδια διαδικασία καταλήγουµε πάλι στο πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής της πηγής. Η τελευταία διαδικασία έχει το πλεονέκτηµα ότι τώρα η θέση ( xyz,, ) της πηγής είναι αυτόµατα συµπληρωµένη, όπως επίσης και η κατεύθυνσή της. Επιπλέον, µπορούµε να διαλέξουµε εάν και πόσο θα παρουσιάζει χωρητική ή επαγωγική συµπεριφορά, την εσωτερική της αντίσταση και το πλάτος του σήµατος. Πρέπει, επίσης, να ενεργοποιήσουµε την επιλογή υπολογισµού των S- παραµέτρων προκειµένου να πάρουµε το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης. Στο τέλος διαλέγουµε. 30

Εικόνα 2.19 Πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής της πηγής Η εισαγωγή της διέγερσης γίνεται µε το κουµπί. Μπορούµε να διαλέξουµε διάφορα είδη διεγέρσεων, όµως θα εδώ θα ασχοληθούµε µε την γκαουσιανή και την ηµιτονοειδή διέγερση. Την πρώτη την χρησιµοποιούµε για να εντοπίσουµε τις συχνότητες συντονισµού της κεραίας από το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης. Το πλαίσιο διαλόγου της γκαουσιανής διέγερσης φαίνεται στην εικόνα 2.20. Έχουµε επιλέξει 14 2 = 16384 χρονικά βήµατα. Το πλάτος του παλµού έχει τεθεί 5 2 = 32. 31

Εικόνα 2.20 Πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής γκαουσιανής διέγερσης Την ηµιτονοειδή διέγερση την χρησιµοποιούµε για τα διαγράµµατα ακτινοβολίας των συχνοτήτων συντονισµού που υπολογίσαµε στην πρώτη περίπτωση. Το πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής της ηµιτονοειδούς διέγερσης φαίνεται στην εικόνα 2.21. Ως συχνότητα επιλέξαµε 1.58Ghz µετά από επεξεργασία του διαγράµµατος του συ- 14 ντελεστή ανάκλασης. Τα χρονικά βήµατα τα επιλέγουµε αρκετά, 2 = 16384, ώστε κατά τη διάρκεια του τρεξίµατος να ολοκληρωθούν αρκετές περίοδοι του σήµατος διέγερσης. Στην περίπτωση επιλογής πολύ λίγων χρονικών βηµάτων το πρόγραµµα αυτόµατα προειδοποιεί για τον µικρό αριθµό των περιόδων του σήµατος που θα εµφανιστούν. Εικόνα 2.21 Πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής ηµιτονοειδούς διέγερσης 32

2.5 Καθορισµός Συνθηκών Τερµατισµού του Υπολογιστικού Χώρου Ο καθορισµός των συνθηκών τερµατισµού γίνεται από το µενού του, ε- πιλέγοντας 2.22., οπότε εµφανίζεται το παράθυρο Εικόνα 2.22 Πλαίσιο εισαγωγής των συνθηκών τερµατισµού του υπολογιστικού χώρου Ως απορροφητικές συνθήκες µπορούµε να επιλέξουµε ανάµεσα στη Liao και το PML, όπου µπορούµε να καθορίσουµε το πάχος του. 2.6 Πραγµατοποίηση της Προσοµοίωσης και Παρουσίαση Αποτελεσµάτων Τώρα είµαστε στο στάδιο εκτέλεσης της εργασίας µας. Όπως είπαµε και παραπάνω, θα εφαρµόσουµε δυο διαφορετικές διεγέρσεις. Πρώτα την γκαουσιανή διέγερση και στη συνέχεια την ηµιτονοειδή. Σ αυτή την περίπτωση προτείνεται ο έλεγχος της επιλογής υπολογισµού των S-παραµέτρων στο πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής της πηγής (εικόνα 2.19) ώστε να είναι ενεργοποιηµένη: Στη συνέχεια, για να εκτελέσουµε την εργασία πατάµε και από το µενού του, εικόνα 2.23, επιλέγουµε. 33

Εικόνα 2.23 Μενού αποτελεσµάτων Εικόνα 2.24 Υπολογισµός S-παραµέτρων µε FFT Όταν ολοκληρωθεί η προσοµοίωση, µπορούµε να δούµε τα αποτελέσµατα από το αντίστοιχο µενού ή, αν πρόκειται για γραφικές παραστάσεις, κατευθείαν από το κουµπί συντόµευσης. Εδώ, µας ενδιαφέρει ο συντελεστής ανάκλασης, γι αυτό και είναι χρήσιµο από το µενού των αποτελεσµάτων να επιλέξουµε, οπότε και εµφανίζεται το παράθυρο της εικόνας 2.24. Ε- πιλέγοντας µέγεθος FFT µεγαλύτερο από τον αριθµό των χρονικών βηµάτων θα πετύχουµε µια πιο αναλυτική (στη συχνότητα) απεικόνιση του συντελεστή ανάκλασης. Το πλαίσιο διαλόγου για την εµφάνιση γραφικών παραστάσεων φαίνεται στην εικόνα 2.25. Εικόνα 2.25 Πλαίσιο διαλόγου για την επιλογή γραφικών παραστάσεων 34

Μπορούµε να διαλέξουµε ανάµεσα σε δυο τύπους γραφικών παραστάσεων: των δεδοµένων συναρτήσει του χρόνου ή της συχνότητας. Επιλέγουµε για κάθε περίπτωση την γραφική παράσταση που επιθυµούµε και πατάµε. Εάν θέλουµε να σβήσουµε µια γραφική παράσταση, αυτό γίνεται µε το. Πατώντας εµφανίζεται το παράθυρο της εικόνας 2.26, απ όπου µπορούµε να επιλέξουµε κάποια χαρακτηριστικά της γραφικής µας παράστασης. Τέτοια είναι τα το χρώµα και ο τύπος της γραµµής, ο τίτλος της παράστασης και οι τίτλοι των αξόνων. Για τους τελευταίους µπορούµε να επιλέξουµε το µήκος τους καθορίζοντας το αρχικό και τελικό σηµείο, αλλά µπορούµε να διαλέξουµε και ανάµεσα σε πολικές ή καρτεσιανές συντεταγµένες. Αφού διευκρινίσουµε τα χαρακτηριστικά που θέλουµε να έχει η γραφική µας παράσταση, για να ολοκληρωθεί επιλέγουµε Εικόνα 2.26 Πλαίσιο διαλόγου επιλογών για την γραφική παράσταση Στην περίπτωση που η διέγερσή µας είναι ηµιτονοειδής έχουµε τη δυνατότητα να υπολογίσουµε αποτελέσµατα για το εγγύς πεδίο. Από το µενού επιλογών του θέτουµε και από το παράθυρο διαλόγου του (εικόνα 2.27) διαλέγουµε το επίπεδο. Επίσης, θέτουµε το αρχικό και τελικό χρονικό βήµα, όπως και τη συχνότητα λήψης των δειγµάτων. Στην προκειµένη περίπτωση υπολογίσαµε είκοσι 35

αποτελέσµατα στα τελευταία 500 χρονικά βήµατα, στο επίπεδο ακριβώς επάνω από το επίπεδο της κεραίας. Εικόνα 2.27 Πλαίσιο διαλόγου εγγύς πεδίου Το εγγύς πεδίο εµφανίζεται µε το κουµπί. Εικόνα 2.28 Πλαίσιο διαλόγου µακρινού πεδίου Το διάγραµµα ακτινοβολίας προϋποθέτει τον υπολογισµό των δεδοµένων µακρινού πεδίου. Αυτό γίνεται µέσα από το µενού των αποτελεσµάτων (εικόνα 2.23) µε την επιλογή του, οπότε και εµφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου για το µακρινό πεδίο (εικόνα 2.28). Από εκεί επιλέγουµε το επίπεδο που θέλουµε να υπολογίσουµε το µακρινό πεδίο, ορίζοντάς το σε πολικές συντεταγµένες. Από τους 36

υπολογισµούς αυτούς παίρνουµε και το αντίστοιχο επίπεδο του διαγράµµατος ακτινοβολίας. y ϕ = 0 x z θ = 0 Σχήµα 2.2 Τα θ και φ σε σχέση µε το καρτεσιανό επίπεδο Εφ όσον έχουµε υπολογίσει το µακρινό πεδίο για τα επίπεδα που θέλουµε µε ανάλογη εργασία µε πριν, από το πλαίσιο διαλόγου για την επιλογή αποτελεσµάτων (εικόνα 2.25) και επιλογών για τις γραφικές παραστάσεις (εικόνα 2.26) παίρνουµε τα επιθυµητά αποτελέσµατα. 37

38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΡΑΙΩΝ 3.1 Επίπεδη Κεραία Ανεστραµµένου F ιπλής Ζώνης Η ανάπτυξη µικρών ενσωµατωµένων κεραιών διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο στην πρόοδο των ραγδαία επεκτεινόµενων ασύρµατων εφαρµογών τηλεπικοινωνίας. Η πρόοδος στις ασύρµατες επικοινωνίες υπόσχεται αµφίδροµες υπηρεσίες φωνής, δεδοµένων, αλλά και εικόνας διαθέσιµες οποτεδήποτε και οπουδήποτε. Τα ασύρµατα συστήµατα επικοινωνίας κατασκευάζονται σε ποικίλα µεγέθη που κυµαίνονται από µικρές φορητές συσκευές ως ασύρµατα τοπικά δίκτυα. Η επιθυµία για συνδυασµό πολλαπλών λειτουργιών και υπηρεσιών µε τον ίδιο εξοπλισµό έχει δηµιουργήσει την ανάγκη για κεραίες που µπορούν να λειτουργούν σε πολλές µπάντες συχνοτήτων. Ικανοποιητικά αποτελέσµατα διπλής-περιοχής λειτουργίας έχουν επιτευχθεί µε επίπεδες κεραίες ανεστραµµένου F (planar inverted-f antenna, PIFA) για τα κινητά τηλέφωνα. Εδώ περιγράφεται µια κεραία διπλής ζώνης PIFA που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για ασύρµατες τοπικές εφαρµογές δικτύων. Η προτεινόµενη PIFA χρησιµοποιεί µια τροφοδοσία µόνο. Η ικανοποιητική λειτουργία σε δύο διαφορετικές συχνότητες επιτεύχθηκε µε στοιχείο σε σχήµα ανάστροφου L και την χάραξη σχισµών στην ακτινοβολούσα κεραία. Η αυλάκωση στην κεραία δίνει µια πιο συµπαγή µορφή η οποία αποδεικνύεται αρκετά οικονοµική, όσο αναφορά στο χώρο που καταλαµβάνει, χωρίς ταυτόχρονα να υποβαθµίζεται η ορθή λειτουργία της στις συχνότητες ενδιαφέροντος. Η διακύµανση των συχνοτήτων συντονισµού της κεραίας ερευνήθηκε σε σχέση µε την διάσταση της αυλάκωσης σχήµατος U που έχει η κεραία. Μια τέτοια κεραία παρουσιάστηκε στην [Salonen et al., 2000] και τα αποτελέσµατα των πειραµατικών της µετρήσεων θα συγκριθούν µε αυτά της προσοµοίωσής µας. Η κεραία έχει διαστάσεις l = 40mm µήκος και w = 35mm πλάτος, ενώ οι διαστάσεις της αυλάκωσης είναι l2 = 27mm, w2 = 11mm, l3 = 8mm και G = 2mm. Το ακτινοβολούν στοιχείο γειώνεται µε µια λωρίδα βραχυκύκλωσης πλάτους 9mm και ύψους 10mm, η οποία τοποθετείται στη µια γωνία του ενώ τροφοδοτεί- 39

ται κοντά στη λωρίδα βραχυκύκλωσης χρησιµοποιώντας οµοαξονικό καλώδιο. Η σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας µπορεί να προσαρµοστεί στα 50 Ω µε τον κατάλληλο έλεγχο της θέσης τροφοδοσίας σε σχέση µε τη λωρίδα βραχυκύκλωσης. βραχυκυκλωτήρας l=40 oι διαστάσεις δίδονται σε mm 12.5 9 70 100 30 κελιών στους άξονες Χ, Υ και Ζ αντίστοιχα. Είναι ένα σχετικά µικρό συτροφοδοσία w2=11 l2=27 l3=8 w=25 G=2 Σχήµα 3.1. Η γεωµετρία της επάνω επιφάνειας της κεραίας µε µία τροφοδοσία, µε αυλάκωση σχήµατος U, διπλής ζώνης PIFA. Η γεωµετρία της PIFA κεραίας διπλής µπάντας µε αυλάκωση σχήµατος U φαίνεται στο σχήµα 3.1. Tο µήκος l και το πλάτος w της PIFA καθορίζουν τη χαµηλότερη συχνότητα συντονισµού, η οποία µπορεί να προσεγγιστεί από τον τύπο (1) c f = (1) 4( w + l) όπου c η ταχύτητα του φωτός. Η δεύτερη συχνότητα συντονισµού µπορεί να καθοριστεί περίπου από την (1) στην οποία το µήκος l και το πλάτος w αντικαθίστανται από το l 2 και το w 2 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.1. Για την ανώτερη συχνότητα συντονισµού η (1) δίνει µια ελαφρώς χαµηλότερη συχνότητα συντονισµού σε σχέση µε το πείραµα. Η προσθήκη της αυλάκωσης δεν έχει καµία επίδραση στη χαµηλότερη συχνότητα συντονισµού η οποία και παραµένει στα 1.2 GHz. Αντίθετα παρατηρήθηκε ότι αυξανο- µένου του G η ανώτερη συχνότητα συντονισµού µειώνεται, όπως µειώνεται επίσης και ο συντελεστής ανάκλασης. Τα αποτελέσµατα από τις πειραµατικές µετρήσεις, φαίνονται στο σχήµα 3.2. Για την προσοµοίωση της κεραίας χρησιµοποιήσαµε πλέγµα διαστάσεων 40

γκριτικά µε τα υπόλοιπα πλέγµα, µιας και η γεωµετρία της κεραίας είναι απλή. Στο σχήµα 3.4 απεικονίζεται µια τρισδιάστατη άποψη της προσοµοιωµένης κεραίας. Την εργασία και για τα δυο διαφορετικά πλάτη των σχισµών την πραγµατοποιήσαµε για 16384 βήµατα. Το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης για τις δυο τιµές του G (=1mm,2mm) φαίνεται στο σχήµα 3.3. Βλέπουµε ότι η δεύτερη συχνότητα συντονισµού µετακινείται από τα 2.22 GHz για G=2mm σε 2.31 GHz για G=1mm, ενώ ταυτόχρονα µειώνεται ο συντελεστής ανάκλασης για την µείωση του G κατά 1mm.Τα διαγράµµατα ακτινοβολίας για τις δύο αυτές συχνότητες φαίνονται στα σχήµατα 3.5-3.7 για G=2mm στα 2.22 GHz και στα σχήµατα 3.7-3.10 για G=1mm στα 2.31 GHz. 0 Measured Results -2-4 -6 Return loss / db -8-10 -12-14 -16-18 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 Frequency / GHz Σχήµα 3.2. Συντελεστής ανάκλασης µετά από µετρήσεις. 41

G=1mm G=2mm Σχήµα 3.3. Συντελεστής ανάκλασης µετά από προσοµοίωση. y z x Σχήµα 3.4 Τρισδιάστατη απεικόνιση της προσοµοιωτικής κατασκευής της κεραίας διπλής ζώνης PIFA µε αυλάκωση σχήµατος U 42

Για G=2mm παίρνουµε τα παρακάτω διαγράµµατα ακτινοβολίας για τη δεύτερη συχνότητα συντονισµού f=2.22 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.5 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΧY επίπεδο στα 2.22 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.6 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΧΖ επίπεδο στα 2.22 GHz 43

Εθ Εφ Σχήµα 3.7 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΖY επίπεδο στα 2.22 GHz Για G=1mm παίρνουµε τα παρακάτω διαγράµµατα ακτινοβολίας για τη δεύτερη συχνότητα συντονισµού f=2.31 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.8 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΧY επίπεδο στα 2.31 GHz 44

Εθ Εφ Σχήµα 3.9 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΖΧ επίπεδο στα 2.31 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.10 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΖY επίπεδο στα 2.31 GHz 45

3.2 Microstrip κεραία µε αυλάκωση σχήµατος C Οι κεραίες µικροταινίας (microstrip antennas) παρουσιάζουν πλεονεκτήµατα έναντι των συµβατικών κεραιών. Συγκεκριµένα, έχουν µικρό µέγεθος, µικρή ισχύ α- κτινοβολίας, είναι ελαφριές και έχουν χαµηλό κόστος παραγωγής. Εντούτοις, για πολλές εφαρµογές όπως η δορυφορική επικοινωνία και τα κινητά τηλέφωνα, οι microstrip κεραίες ηµίσεως κύµατος που τοποθετούνται σε ένα χαµηλού κόστους διηλεκτρικό υπόστρωµα είναι ακόµα πάρα πολύ µεγάλες σε µέγεθος για να προσαρ- µοστούν στα φορητά τερµατικά. Προκειµένου να καλυφθεί η απαίτηση για συστήµατα κινητών τηλεπικοινωνιών οι microstrip κεραίες συνεχίζουν να αποτελούν αντικεί- µενο έντονης επιστηµονικής έρευνας. Μεταξύ των διάφορων σχεδίων microstrip patch κεραιών, αυτές µε σχισµή µπορούν να έχουν σηµαντικά µειωµένο µέγεθος για µια δεδοµένη συχνότητα λειτουργίας που επιθυµούµε. Ωστόσο, υπάρχουν δύο κύρια µειονεκτήµατα. Το ένα είναι η πολύ στενή απόσταση που χωρίζει την σχισµή από την τροφοδοσία. Μάλιστα, επειδή η εγγύτητα αυτών των δυο pin πρέπει να ταιριάζει µε την αντίσταση της κεραίας στην οµοαξονική τροφοδοσία, συχνά απαιτείται ακρίβεια θέσης κλάσµατος χιλιοστού, γεγονός που αυξάνει την πολυπλοκότητα κατασκευής κεραιών τέτοιου τύπου. Το δεύτερο µειονέκτηµα είναι ότι το εύρος ζώνης παρουσιάζεται ελαττωµένο έναντι αυτού της συµβατικής patch κεραίας. Μια άλλη µέθοδος για τη µείωση του µεγέθους είναι να χρησιµοποιηθούν υ- λικά υψηλής διηλεκτρικής σταθεράς. Το γεγονός αυτό οδηγεί σε ελάττωση του κέρδους. Αν και η προσθήκη στρωµάτων υψηλής διηλεκτρικής σταθεράς πάνω στην κεραία µπορεί να βελτιώσει το κέρδος των κεραιών, το πάχος τους αυξάνεται πολύ. Μια τέτοια κεραία κατασκευάστηκε στην [Cui et al., 2000] και τα αποτελέσµατα θα συγκριθούν µε αυτά της προσοµοίωσης. Η κεραία έχει τετραγωνική µορφή πλάτους L = 22mm. Το υπόστρωµα που χρησιµοποιούµε έχει διηλεκτρική σταθερά r ε = 2.2 και πάχος h = 1.5mm. Η κεραία έχει αυλάκωση σχήµατος C για να κατεβάσει τη συχνότητα συντονισµού και είναι τοποθετηµένη στην άκρη του patch. Το πάχος της σχισµής είναι W = 1.5mm και η απόσταση της αυλάκωσης από την άκρη g του patch είναι W = 1.5mm. Η κεραία τροφοδοτείται από οµοαξονικό καλώδιο στη f διαγώνια κατάληξη της αυλάκωσης, έτσι ώστε η αντίσταση εισόδου της κεραίας να είναι 50Ω. Η παραπάνω κεραία απεικονίζεται στο σχήµα 3.11. To γειωµένο επίπεδο που χρησιµοποιήθηκε έχει διαστάσεις 44 44mm. Ο συντελεστής ανάκλάσης µετά 46

από προσοµοίωση µε την µέθοδο των ροπών (ΜοΜ) εικονίζεται στο σχήµα 3.12 και η συχνότητα συντονισµού υπολογίστηκε στα 1.48 GHz. Για την προσοµοίωση της κεραίας χρησιµοποιήθηκε πλέγµα διαστάσεων 196 196 23 κελιών στους άξονες Χ, Υ και Ζ αντίστοιχα. Στο σχήµα 3.14 φαίνεται µια τρισδιάστατη απεικόνιση της κεραίας. Το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης της κεραίας που προέκυψε από την προσοµοίωση φαίνεται στο σχήµα 3.13. H συχνότητα συντονισµού βρέθηκε στα 1.58 GHz. Τα διαγράµµατα ακτινοβολίας για την συχνότητα αυτή φαίνονται στα σχήµατα 3.15-3.17. τέλειος αγωγός h=1.5 oι διαστάσεις δίδονται σε mm διηλεκτρικό υπόστρωµα Wf=1.5 Wg=1.5 22 τροφοδοσία y z x L=22 Σχήµα 3.11 Η γεωµετρία της συµπαγούς microstrip κεραίας µε αυλάκωση σχήµατος C 47

Σχήµα 3.12 ιάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης από προσοµοίωση µε την µέθοδο των ροπών (ΜΟΜ) Σχήµα 3.13. Συντελεστής ανάκλασης µετά από προσοµοίωση. 48

y z x Σχήµα 3.14 Τρισδιάστατη απεικόνιση προσοµοιωτικής κατασκευής της microstrip κεραίας µε αυλάκωση σχήµατος C ιαγράµµατα ακτινοβολίας για την συχνότητα συντονισµού 1.58 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.15 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΧY επίπεδο στα 1.58 GHz 49

Εθ Εφ Σχήµα 3.16 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΖΧ επίπεδο στα 1.58 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.17 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΖY επίπεδο στα 1.58 GHz 50

3.3 Εσωτερική Patch Κεραία ιπλής Ζώνης Η ανάπτυξη µικρών κεραιών για κινητά τηλέφωνα έχει προξενήσει ιδιαίτερο ενδιαφέρον λόγω της συνεχούς µείωσης του µεγέθους των κινητών τηλεφώνων. Επίσης, αυξάνονται ολοένα οι απαιτήσεις να κρατηθεί το ποσό της µικροκυµατικής ι- σχύος που απορροφάται από το χρήστη κάτω από τα τυποποιηµένα επίπεδα. Μια τέτοια κεραία παρουσιάστηκε στην [Olikainen et al, 2000] ως η πρώτη εσωτερική κεραία κινητών τηλεφώνων που καλύπτει τις συχνότητες Ε-GSM900 (880 ΜHz-960 MHz), GSM1800 (1710 MHz-1880 MHz), DECT (1880 MHz-1900 MHz), PCS1900 (1850 MHz-1990 MHz), και UMTS (1900 MHz-2170 MHz), µε συντελεστή ανάκλασης S 6dB και υψηλή αποδοτικότητα ακτινοβολίας. Η κεραία αυτή αποτελείται από τρία µικρά patches, ένα για τη χαµηλή µπάντα συχνοτήτων και δύο για την υψηλή µπάντα συχνοτήτων. Το κοµµάτι για την χαµηλή µπάντα (κοµµάτια a-c στο σχήµα 4.13) και το ένα για την υψηλή µπάντα (κοµµάτι d) ενώθηκαν για να σχηµατίσουν ένα στοιχείο διπλής ζώνης το οποίο έχει µόνο ένα short circuit και µία τροφοδοσία. Αυτό το στοιχείο διπλής ζώνης µορφοποιήθηκε σε ένα σχήµα τύπου µαιάνδρου (meander like) για να ταιριάζει καλύτερα στη γεωµετρία του κινητού τηλεφώνου. Το τρίτο κοµµάτι (e) τοποθετείται δίπλα στο κοµµάτι του στοιχείου διπλής ζώνης υπεύθυνο για την υψηλή µπάντα συχνοτήτων για να αποκτήσει εκεί διπλή συχνότητα συντονισµού, αλλά και εύρος αντίστασης. Το διηλεκτρικό ανάµεσα στα patches και στο γειωµένο επίπεδο είναι ο αέρας. Η κεραία τροφοδοτείται µε ένα καλώδιο στο στοιχείo διπλής ζώνης στο patch για τις υψηλές συχνότητες. Οι συνολικές διαστάσεις του ακτινοβολούντος στοιχείου της κεραίας είναι 40mm 30.4mm 7.2mm (πλάτος µήκος πάχος) και είναι τοποθετηµένο επάνω σε γειωµένο επίπεδο διαστάσεων 40mm 110mm 0.3mm (πλάτος µήκος πάχος). Το µήκος και το πλάτος του γειωµένου επιπέδου επιλέχθηκαν έτσι ώστε να είναι περίπου ίδια µε τις αντίστοιχες διαστάσεις της πλακέτας ενός τυπωµένου κυκλώµατος τυπικού κινητού τηλεφώνου. Η παραπάνω διάταξη απεικονίζεται στο σχήµα 3.18. Το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης µετά από πειραµατικές µετρήσεις εικονίζεται στο σχήµα 3.19 και οι συχνότητες συντονισµού βρέθηκε ότι ήταν 0.92 GHz, 1.71 GHz και 2.17 GHz. Τα διαγράµµατα ακτινοβολίας φαίνονται στο σχήµα 3.31. Για την προσοµοίωση της κεραίας χρησιµοποιήθηκε πλέγµα διαστάσεων 130 100 25 κελιών στους άξονες Χ, Υ και Ζ αντίστοιχα. Στο σχήµα 3.21 φαίνεται 51

µια τρισδιάστατη απεικόνιση της κεραίας. Το διάγραµµα του συντελεστή ανάκλασης της κεραίας που προέκυψε από την προσοµοίωση φαίνεται στο σχήµα 3.20. Οι συχνότητες συντονισµού βρέθηκαν στα 0.94 GHz, στα 1.70 GHz και στα 2.06 GHz. Τα διαγράµµατα ακτινοβολίας γι αυτές τις συχνότητες φαίνονται στα σχήµατα 3.22-3.26,3.25.-3.27 και 3.28-3.30 αντίστοιχα. 4 5 3.5 oι διαστάσεις δίδονται σε mm a βραχυκυκλωτήρας 1.5 b 2 short circuit c 1.5 1.5 2 4.3 τροφοδοσία d e 1.5 y z x Σχήµα 3.18 Γεωµετρία του ακτινοβολούν επιπέδου της εσωτερικής patch κεραίας διπλής ζώνης Σχήµα 3 19 ιάγραµµα συντελεστή ανάκλασης µετά από µετρήσεις. 52

Σχήµα 3.20 ιάγραµµα συντελεστή ανάκλασης µετά από προσοµοίωση y z Σχήµα 3.21 Τρισδιάστατη απεικόνιση της εσωτερικής patch κεραίας για κινητά τηλέφωνα. x 53

ιαγράµµατα ακτινοβολίας για την συχνότητα συντονισµού 0.942 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3 22. ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ΧY επίπεδο στα 0.942 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3 23 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZΧ επίπεδο στα 0.942 GHz 54

Εθ Εφ Σχήµα 3.24 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZY επίπεδο στα 0.942 GHz ιαγράµµατα ακτινοβολίας για την συχνότητα συντονισµού 1.704 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.25 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο XY επίπεδο στα 1.704 GHz 55

Εθ Εφ Σχήµα 3.26 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZX επίπεδο στα 1.704 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.27 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZY επίπεδο στα 1.704 GHz 56

ιαγράµµατα ακτινοβολίας για την συχνότητα συντονισµού 2.06 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.28 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο XY επίπεδο στα 2.06 GHz Εθ Εφ Σχήµα 3.29 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZX επίπεδο στα 2.06 GHz 57

Εθ Εφ Σχήµα 3.30 ιάγραµµα ακτινοβολίας στο ZY επίπεδο στα 2.06 GHz 58

Σχήµα 3.31 ιαγράµµατα ακτινοβολίας που προέκυψαν από µετρήσεις [ oooe ], θ E ϕ και προσοµοίωση [ Εθ Εφ ] για την ίδια κεραία τοποθετηµένη όµως διαφορετικά στο χώρο από τη δική µας κατασκευή, όπως δείχνει το σχήµα 3.32. δική µας κατασκευή y y πειραµατική κατασκευή z x z x Σχήµα 3.32 Η διαφορά τοποθέτησης των κεραιών στο χώρο. Κάθε φορά είναι τοποθετηµένες στο γραµµοσκιασµένο επίπεδο. 59

3.4 Microstrip Κεραία µε Αυλάκωση για Λειτουργία ιπλής Ζώνης Η κεραία αυτή είναι ορθογώνια µε διαστάσεις L = 76mm µήκος και W = 60mm πλάτος. Στο ένα άκρο της, κατά πλάτος, τοποθετείται βραχυκύκλωµα µε διαστάσεις Lg = 60mm µήκος και 5mm ύψος. Η αυλάκωση έχει πλάτος 10mm µήκος Ls = 50mm και βρίσκεται σε S = 50mm απόσταση από την λωρίδα βραχυκύκλωσης. Η τροφοδοσία γίνεται µε οµοαξονικό καλώδιο και η αντίσταση εισόδου της κεραίας είναι 50Ω. Η κεραία αυτή εικονίζεται στο σχήµα 3.33. Lg=60 5 τροφοδοσία oι διαστάσεις δίδονται σε mm S=50 L=76 Ls=50 10 W=60 Σχήµα 3.33 Γεωµετρία της microstrip κεραίας διπλής ζώνης µε αυλάκωση 16 Η παραπάνω κεραία κατασκευάστηκε από τους [Takashi Amano et at, 1999] και τα αποτελέσµατα από τις πειραµατικές µετρήσεις για το συντελεστή ανάκλασης φαίνονται στο σχήµα 3.35. Η συχνότητα συντονισµού βρέθηκε στα 0.85 GHz και 1.9 GHz. Για την προσοµοίωση της χρησιµοποιήσαµε πλέγµα 132 182 40 κελιών. Μια τρισδιάστατη άποψη της κεραίας φαίνεται στο σχήµα 3.34. Επίσης, διερευνήθηκε η περίπτωση της µείωσης του µήκους της αυλάκωσης σε Ls = 30mm. Ο συντελεστής ανάκλασης και για τις δυο περιπτώσεις δίνεται στο σχήµα 3.35. Για Ls = 50mm βρήκαµε συχνότητες συντονισµού στα 0.9 GHz και 2.02 GHz, ενώ για Ls = 30mm στα 0.85 GHz και 2.47 GHz. Παρατηρούµε ότι η µείωση του µήκους της αυλάκωσης, ενώ επηρεάζει ανεπαίσθητα την πρώτη προκαλεί αύξηση της δεύτερης συχνότητας συντο- 60

νισµού. Τα διαγράµµατα ακτινοβολίας για την δεύτερη περίπτωση φαίνονται στα σχήµατα 3.36-3.41. Στην συνέχεια προκειµένου να πετύχουµε αύξηση του εύρους ζώνης της κεραίας µας εκτός από το µήκος της αυλάκωσης Ls = 30mm τροποποιήσαµε και το µήκος του βραχυκυκλώµατος µειώνοντάς το στο µισό, έτσι Lg = 30mm. Η προσοµοίωση της νέας αυτής κατασκευής έγινε µε ακριβώς τα ίδια χαρακτηριστικά. Το διάγραµµα ακτινοβολίας σε αντιπαράθεση µε αυτό της προηγούµενης φαίνεται στο σχήµα 3.36. Οι νέες συχνότητες συντονισµού είναι 0.79 GHz 2.03 GHz και 2.3 GHz. Τα διαγράµ- µατα ακτινοβολίας για αυτές τις συχνότητες φαίνονται στα σχήµατα 3.42-3.50. y z Σχήµα 3.34 Τρισδιάστατη άποψη της προσοµοιωτικής κατασκευής της κεραίας x 61