ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ Επιβλέπων καθηγητής: Χατζηνικήτας Αγαπητός Επίκουρος καθηγητής Εγκρίθηκε από την τριελή εξεταστική επιτροπή: Χατζηνικήτας Αγαπητός ηητράκος Θεοδόσης Παπασαλούρος Ανδρέας Επίκουρος καθηγητής Λέκτορας Επίκουρος καθηγητής

Περιεχόενα Εισαγωγή. Ιστορικό... Προβλήατα που θέλουε να επιλύσουε. Μια ιδανική TR: Το hemostat. Μερικά απλά οντέλα βιολογικής ανάπτυξης.. Η εκθετική ανάπτυξη...3.. Η λογιστική εξίσωση...3..3 Μία γενική Batch Reactor....5. Το hemostat.. Η συνεχής ροή......6.. Η κινητική Michaelis-menten...6..3 Η αδιάστατη ορφή του hemostat..7.3 Αναλύοντας τις εξισώσεις hemostat.3. Σηεία ισορροπίας του hemostat... 9.3. Οι παράετροι α και α...9.3.3 Nullclines του hemostat....3.4 Γραικοποίηση γύρω απο τα σηεία ισορροπίας.3.5 Η αναλλοίωτη ευθεία...3.6 Μελετώντας το πορτραίτο φάσεων.4.3.7 Βελτιστοποίηση του hemostat..5.3.8 Τι συβαίνει ε τα προϊόντα...6 3 hemostat ε τροποποιηένη κινητική 3. Το MMI-TR 8 3. Η αναλλοίωτη ευθεία..9 3.3 Nullclines 9 3.4 Σταθερές καταστάσεις.9 3.5 Γραικοποίηση γύρω απο τα σηεία ισορροπίας. 3.6 Μελετώντας το πορτραίτο φάσεων. 3.7 Βελτιστοποίηση... 3.8 Απο την MMI-TR στο hemostat..... 3.9 Περίληψη και σύγκριση των TRs..3 4 Άλλοι τύποι TR 4. hemostat σε σειρά.7 i

4. hemostat ε επανακυκλοφορία.8 4.3 hemostat όπως σε αντιδραστήρες ενζύων..9 5 Ελεγχόενες TRs και το turbidostat 5. Οι ελεγχόενες TRs 3 5. Η αναλλοίωτη ευθεία για ελεγχόενη TR έσω του D..34 5.3 Η Turbidostat.. 35 5.4 Το πορτραίτο φάσεων ενός Turbidostat.....37 6 Ανταγωνισός στο hemostat 6. Ανταγωνισός σε πεπερασένο χρόνο 38 6.. Σηεία ισορροπίας..38 6.. Οι παράετροι a και a.4 6..3 Γραικοποίηση γύρω απο τα σηεία ισορροπίας...4 6. Ανταγωνισός όταν t...4 6.. Γραικοποίηση γύρω απο τα σηεία ισορροπίας.43 Παραρτήατα Α. Γραικοποίηση Ευστάθεια.44 Β. Θεώρηα π-buchingham.45 Γ. Η έθοδος Euler..48 ii

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία ελετά τη ικροβιακή ανάπτυξη βακτηρίων σε βιοχηικούς αντιδραστήρες (βιοαντιδραστήρες). Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζουε το βιοχηικό αντιδραστήρα και περιγράφουε διάφορους τύπους επικεντρώνοντας την προσοχή ας στο hemostat. Στο δεύτερο κεφάλαιο διερευνούε δύο απλά οντέλα βιολογικής ανάπτυξης: την εκθετική και τη λογιστική ανάπτυξη που λαβάνεται από την πρώτη λαβάνοντας υπόψη τη συγκέντρωση του υποστρώατος. Η εκθετική αύξηση εφανίζεται συνήθως όταν υπάρχει αφθονία πόρων και ο πληθυσός των βακτηρίων είναι πολύ ικρός. Η λογιστική εξίσωση περιγράφει πώς ένας πληθυσός αναπτύσσεται όταν έχουε περιορισένους πόρους. Εισάγοντας στη λογιστική εξίσωση τους όρους που περιγράφουν την εισροή και εκροή θρεπτικών συστατικών στον αντιδραστήρα ας και την Michaelis-Menten κινητική ελετάε το Monods hemostat. Η ποιοτική και ποσοτική συπεριφορά του οντέλου ας καθορίζεται από τον προσδιορισό των σηείων ισορροπίας, τις nullclines, τις αδιάστατες παραέτρους α, α καθώς επίσης και από το πορτραίτο φάσεων. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωένο σε ένα νέο οντέλο, το MMI-TR, όπου η Michaelis-Menten κινητική είναι κατάλληλα προσαροσένη στο TR (ontinuous tirred Tank Reactor). Το MMI-TR δίνει διαφορετικά πορτραίτα φάσεων που καταδεικνύουν την ανταπόκρισή του σε εγάλες τιές του Χ. Στη συνέχεια συγκρίνουε το οντέλο αυτό ε το Monods hemostat που είναι εφοδιασένο ε ανταγωνιστικό υπόστρωα και αναστολή προϊόντος. Στο τέταρτο κεφάλαιο ελετάε την εν σειρά συνδεσολογία δύο hemostats, το hemostat ε επανακυκλοφορία και τρία hemostat ε διαφορετικές κινητικές. Στο hemostat ε επανακυκλοφορία παρατηρούε ότι πορούε να επιτύχουε ρυθό αναπαραγωγής βακτηρίων εγαλύτερο από το ρυθό αραίωσης. Η συνδεσολογία σε σειρά ας επιτρέπει να ελέγχουε τον πληθυσό των ώριων βακτηρίων. Στο πέπτο κεφάλαιο περιγράφουε πως λειτουργεί ια ελεγχόενη TR και ερευνάε το Turbidostat που αποτελεί ια από τις απλούστερες περιπτώσεις ελεγχόενων TR. Στο τελευταίο κεφάλαιο εισάγουε δύο πληθυσούς βακτηρίων στο οντέλο ας και παρατηρούε πως ανταποκρίνεται σε πεπερασένο ή άπειρο χρόνο. iii

Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή ου κύριο Χατζηνικήτα Αγαπητό για τη συνεχή υποστήριξη και καθοδήγηση κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας. Παράλληλα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κύριο Κωνσταντίνο Χουσιάδα για τη δηιουργία προγράατος που υπολογίζει το ονοπάτι Euler. iv

Κεφάλαιο Εισαγωγή. Ιστορικό Η οντελοποίηση της βιολογικής ανάπτυξης σε αντιδραστήρες ε τη χρήση δυναικών συστηάτων άρχισε το 95 όταν οι Monod [8], [9], [], [], [] Novick και zilard [6], [7] ανέπτυξαν την εθοδολογία της Συνεχούς Αναδευόενης εξαενής Αντιδραστήρων (ontinuous tirred Tank Reactors) που διέφερε από τους παραδοσιακούς Batchreactors. Ως βιοχηικό αντιδραστήρα θεωρούε κάθε συσκευή όπου πραγατοποιείται ία χηική ή βιοχηική αντίδραση όπως για παράδειγα ανάπτυξη βακτηρίων ή ενζύων. Ο βιοχηικός αντιδραστήρας αποτελεί την πιο σηαντική συσκευή των βιοηχανικών χηικών διεργασιών και συναντάται σε πολλές παραγωγικές εγκαταστάσεις όπως για παράδειγα σε φαρακευτικές βιοηχανίες. Υπάρχουν διάφοροι τύποι βιοχηικών αντιδραστήρων όπως: οι Batch, οι Fed Batch και οι onitnuous Reactors. Η όνη επέβαση στους αντιδραστήρες Batch είναι η εισαγωγή ενός πληθυσού βακτηρίων και διαλύατος διατροφής. Τίποτα δεν εισέρχεται ούτε εξέρχεται από τον αντιδραστήρα έχρι το τέλος της διαδικασίας. Στους Fed Batch σε προκαθορισένο χρόνο εισάγουε έσω ίας εισόδου θρεπτικά συστατικά αλλά δεν συλλέγουε προϊόντα. Σε αντίθεση στους ontinuous Reactors ή hemostats υπάρχει συνεχόενη εισροή θρεπτικών συστατικών καθώς και συγκοιδή προϊόντων. Η κινητική TR για την ανάπτυξη κυττάρων αναφέρεται και ως οντέλο του αύρου κουτιού αφού όλες οι ένδο- και έξω-κυτταρικές αντιδράσεις είναι συγκεντρωένες σε ία συνολική αντίδραση. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τα οντέλα αυτά έχουν πολλά κοινά σηεία ε την ενζυατική κινητική (όπου συνήθως σε ία αντίδραση υπάρχει ένα υπόστρωα και ένα προϊόν) όπως είναι η κινητική Michaelis-Menten και χρησιοποιείται στην ιδανική TR (hemostat) που συχνά αναφέρεται και σαν οντέλο Monods. Ένα hemostat (στα ελληνικά ε τον όρο hemostat χαρακτηρίζουε τη στατικότητα του χηικού περιβάλλοντος) αποτελείται από έναν αντιδραστήρα που περιέχει ένα πληθυσό βακτηρίων πυκνότητας Χ(t) και ένα υπόστρωα πυκνότητας (t) για τροφή των βακτηρίων. Το υπόστρωα συνήθως είναι υγρό και τροφοδοτεί τα κύτταρα ε δραστικές χηικές ουσίες όπως πηγές άνθρακα, αζώτου και άλλα στοιχεία. Ο αντιδραστήρας τροφοδοτείται ε σταθερή ως προς τον χρόνο ροή F θρεπτικών συστατικών συγκέντρωσης από ένα είδος αποθέατος θρεπτικών συστατικών. Για να διατηρηθεί σταθερός ο όγκος του ίγατος στον αντιδραστήρα, θεωρούε ότι η εισροή ισούται ε την εκροή οπότε βακτήρια ή/και προϊόντα συλλέγονται.

, F,, F,, Σχήα. Η ιδανική TR ή hemostat: Το κατακόρυφο βέλος αναπαριστά την εισροή θρεπτικών συστατικών, ε συβολίζουε το ρυθό ανάπτυξης των βακτηρίων (συντελεστής γέννησης) και το οριζόντιο βέλος συβολίζει την εκροή ενός έρους του υποστρώατος, βακτηρίων ή/και προϊόντων.. Προβλήατα που ελετάε Η παρούσα εργασία αρχικά κάνει ία επισκόπηση της ήδη υπάρχουσας γνώσης για τους βιοαντιδραστήρες (βιοχηικοί αντιδραστήρες) και στη συνέχεια τους οντελοποιεί κατασκευάζοντας κατάλληλο σύστηα συνήθων διαφορικών εξισώσεων το οποίο επιλύεται γραφικά. Τα ερωτήατα που απαντούε είναι τα ακόλουθα:. Ποια είναι τα είδη των διαθέσιων βιοαντιδραστήρων;. Αν ο πληθυσός των βακτηρίων αναπαράγεται σύφωνα ε ια από τις κινητικές ορφές, τότε πώς θα εξελιχθεί; (πίνακας σελ.4) 3. Αν το οντέλο ου δεν είναι ρεαλιστικότότε ποιούς παράγοντες πρέπει να λάβω υπόψη ου ώστε να το τροποποιήσω;

Κεφάλαιο Στο παρόν κεφάλαιο ελετάε: την εκθετική ανάπτυξη, τη λογιστική εξίσωση και το Batchreactor. Εισάγουε τη σχετική ορολογία και εξηγούε πώς κατασκευάζοντε οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη συπεριφορά των οντέλων αυτών. Εστιάζουε στις εξισώσεις hemostat που αποτελούν σηείο αναφοράς και για τα υπόλοιπα κεφάλαια της παρούσας εργασίας.. Μερικά απλά οντέλα βιολογικής ανάπτυξης.. Η εκθετική ανάπτυξη Ένα τέτοιο οντέλο περιγράφεται από τη συνήθη διαφορική εξίσωση d (t) = (t) όπου Χ η πυκνότητα των βακτηρίων και ο συντελεστής γέννησης τους. Αν = σταθ. > τότε η λύση της προηγούενης εξίσωσης είναι: () t e t = εάν ( t ) = =. Για να ελέγξουε την παραγωγή των βακτηρίων εισάγουε ια νέα ποσότητα (t) που περιγράφει τη συγκέντρωση των θρεπτικών συστατικών... Η λογιστική εξίσωση Εάν υποθέσουε ότι: α) κάθε ονάδα πυκνότητας βακτηρίων παράγει k ονάδες απογόνων στη ονάδα του χρόνου και β) για κάθε ονάδα απογόνων απαιτούνται α = σταθ. > ονάδες θρεπτικών συστατικών, τότε το σύστηα των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει το οντέλο ας είναι: και d (t) = () (t), ε = ( ) = k d(t) = α ( ) (t). Με αντικατάσταση του = ( ) = k παίρνουε το σύστηα: 3

d = k ( a ) d = αk () b Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (α) ε α και προσθέτοντάς την στην εξίσωση (b) παίρνουε d( +α ) = ( + α )( t) = + α = σταθερά. Επειδή () = και + α η προηγούενη λύση γράφεται ισοδύναα t () = α t (). Η εξίσωση (α) τότε γράφεται ως εξής d (t) (t) (t) = k ( a(t)) (t) = k ( ) (t) = r( ) (t) () t r a B > B> Άρα το σύστηα των συνήθων διαφορικών εξισώσεων ανάγεται στην επίλυση ίας όνο εξίσωσης, της λογιστικής εξίσωσης d (t) (t) = r( ) (t) (.) B Ο παράγοντας r( ), που αντιστοιχεί στο παλιό ας, ονοάζεται εσωτερικός B παράγοντας της ταχύτητας ανάπτυξης (growth-speed) και το Β αποτελεί τη φέρουσα ικανότητα. Η εξίσωση (b) παροοίως οδηγεί στην d(t) (t) = r( ) (t) α B που περιγράφει τo ρυθό εταβολής της συγκέντρωσης των θρεπτικών συστατικών. Από την (.) διαπιστώνουε ότι για ικρές τιές του Χ συγκριτικά ε το Β, δηλαδή < << B, πορούε να προσεγγίσουε την (.) από ία εκθετική συνάρτηση, οπότε το οντέλο ας παρουσιάζει εκθετική ανάπτυξη για πολύ ικρή αρχική πυκνότητα πληθυσού. Ο όρος αντιστοιχεί στην επίδραση του συνωστισού που αναστέλλει το ρυθό B αναπαραγωγής. Επίσης όρος ( ) για και r >, καθορίζει το πρόσηο της B d. ιακρίνουε τις ακόλουθες περιπτώσεις 4

d ) = =, έχουε την τετριένη λύση. ) < < B ( ) >, οπότε ο πληθυσός αυξάνεται. B d 3) = B =, ο πληθυσός είναι σταθερός. d 4) > B < και ο πληθυσός ειώνεται. Ένας ικρός πληθυσός αρχικά αυξάνεται εκθετικά ενώ ετά ο όρος ( ) B αρχίζει να παίζει σηαντικό ρόλο. Αν κάποια στιγή η = B τότε θα προκύψει ένας σταθερός πληθυσός ενώ για > Β το θα ειώνεται έχρις ότου λάβει την τιή = B. Τα Χ = και Χ=Β είναι θέσεις ισορροπίας ή στάσιες καταστάσεις. Η λύση της (.) είναι: () t = B + ( B ) e rt, αν < < B και πορεί να υπολογιστεί ε τη έθοδο των χωριζοένων εταβλητών...3 Μία γενική Batch Reactor Πριν εισάγουε την ορολογία για το hemostat ας εξετάσουε τη γενίκευση της λογιστικής: το Batch Reactor. Σε ένα δοχείο (αντιδραστήρα) αφού εισάγουε ένα διάλυα τροφής ε συγκέντρωση και ένα ικρό πληθυσό βακτηρίων κλείνουε το καπάκι. Υποθέτοντας ότι έχουε κάποιο είδος κινητικής για το, έχουε τις εξισώσεις: d (t) = (t) ( α) d(t) = α (t) ( b) (.) Όπως και στην λογιστική εξίσωση κατασκευάζουε τον όρο α ( a) + b οπότε βρίσκουε ότι: (t) = + α( (t)). Yποθέτοντας ότι << η προηγούενη σχέση απλοποιείται στην: = α (t). Απαλείφοντας την και υποθέτοντας ότι = (Χ), καταλήγουε στην: d (t) = ( ) (t) (.3) 5

. Το hemostat Το hemostat αποτελείται από δύο κυρίως έρη. Μια δεξαενή θρεπτικών ουσιών και ένα θάλαο ανάπτυξης, τον αντιδραστήρα, στον οποίο τα βακτήρια αναπαράγονται. Μέσω ιας εισόδου προστίθενται θρεπτικά συστατικά και έσω ιας εξόδου συγκεντρώνουε τα βακτήρια. Σκοπός του hemostat είναι να έχουε όσο το δυνατόν σταθερές τιές για τα και επιτρέποντας έτσι σταθερό ρυθό συγκοιδής... Η συνεχής ροή Θεωρούε F = Fin = Fout ε διαστάσεις όγκου/χρόνο. Από ία είσοδο F in παίρνουε ένα διάλυα θρεπτικών συστατικών συγκέντρωσης ε διαστάσεις άζας/όγκο (η άζα πορεί να ετριέται σε moles, kilograms, molecule κ.τ.λ ). Στο εσωτερικό του αντιδραστήρα έχουε έναν πληθυσό βακτηρίων πυκνότητας Χ ε διαστάσεις άζα/όγκο και πυκνότητα θρεπτικών συστατικών ε διαστάσεις επίσης άζα/όγκο. Τροποποιώντας την εξίσωση (.) προσθέτοντας όρους που περιγράφουν: την εισροή διαλύατος θρεπτικών συστατικών, την εκροή βακτηρίων και υποθέτοντας ότι = () έχουε καινούριος όρος d (t) F = ( ) (t) (t) V d(t) F F = α ( ) (t) (t) + V V καινούριος όρος (.4) Θέτουε F/V = D. Ο D είναι ο συντελεστής αραίωσης που περιγράφει το έρος του όγκου που αντικαθίσταται στη ονάδα του χρόνου. Ο όρος F/V περιγράφει τον αριθό των παραγόενων βακτηρίων που αποακρύνονται στη ονάδα του χρόνου. Ο όρος -D αντιστοιχεί στην εκροή των θρεπτικών ουσιών ενώ ο όρος + D στην εισροή των θρεπτικών συστατικών... Η κινητική Michaelis-Menten Θα ελετήσουε τώρα το ρυθό αναπαραγωγής () χρησιοποιώντας την κινητική Michaelis-Menten. Αυτό αποτελεί και το «αύρο κουτί» που συχνά αναφέρεται ως κινητική Monods. Για ικρές θετικές τιές του αναένουε ο ρυθός αναπαραγωγής να είναι σχεδόν γραικός σύφωνα ε τα πειραατικά δεδοένα και τις ελέτες που έχουν πραγατοποιηθεί στην κινητική ενζύων. Έστω ( ). Για την κινητική Michaelis-Menten είναι: 6

( ) = K + N Η νέα σταθερά K N (σταθερά κορεσού του υποστρώατος) αντιστοιχεί σε εκείνη τη συγκέντρωση θρεπτικών συστατικών για την οποία το =. Για ικρές τιές του και υποθέτοντας ότι << K παίρνουε ( ), δηλαδή το () είναι K N σχεδόν γραικό. Η ποτέ δεν επιτυγχάνεται καθώς το αυξάνει οπότε ισχύει: N ( ) <. Έτσι η είναι ο έγιστος ρυθός αναπαραγωγής που επιτυγχάνεται όταν η θρεπτική ουσία είναι απεριόριστη. Με αυτό το () το οντέλο γίνεται: d (t) (t) = (t) D(t) K N + (t) d(t) (t) α D(t) D = K + + N (t) (.5) Μια πιο γενική TR θα πορούσε να περιγραφεί από τις εξισώσεις: d = (, Ω) D + D d = α (, Ω) D+ D (.6) όπου Ω κάποιες άλλες πιθανές εταβλητές (όπως, παραπροϊόντα, το ph, κλπ) που πορούν να επηρεάσουν το ρυθό αναπαραγωγής, και η πυκνότητα των βακτηρίων που εισάγονται έσω της εισόδου. Θα προσπαθήσουε τώρα να κατανοήσουε τη δοή της (.6)...3 Η αδιάστατη ορφή του hemostat Οι εξισώσεις (.5) περιέχουν τις ακόλουθες διαστατικές παραέτρους:,,, KN D α και. Χρησιοποιώντας το Θεώρηα-π του Βuchingham( Παράρτηα Β) [] πορούε να προσδιορίσουε τον αριθό των ανεξάρτητων αδιάστατων παραέτρων και να τις εκφράσουε συναρτήσει των τεσσάρων παλαιών. Χρησιοποιώντας διαστατική ανάλυση έχουε: d M = 3 L T M = K =. L, [ ] [ N ] 3 7

M Επειδή = θα έχουε ότι [ 3 ] =. Η δεύτερη εξίσωση δίνει K N + L T T 3 M / L [ α ] = = όπως αναενόταν. Αντικαθιστούε τώρα τα,, και t ε 3 M/ L ˆ, ˆ και t tˆ αντίστοιχα. Τα σύβολα χώρις καπέλο είναι αδιάστατες εταβλητές και οι ˆ, ˆ και ˆt (σε δευτερόλεπτα, χρόνια, λεπτά) αντιστοιχούν στις ονάδες-διαστάσεις όποιες και αν είναι αυτές. Με αντικατάσταση η εξίσωσή ας (.5) γίνεται: d (t) ˆ (t) ˆ = ˆ ˆ (t) D(t) tˆ K (t) ˆ N + d(t) ˆ (t) ˆ (t) ˆ D(t) ˆ = α + D tˆ K (t) ˆ N + Για να πάρουε την αδιάστατη ορφή πολλαπλασιάζουε την πρώτη ε tˆ / ˆ και την δεύτερη ε tˆ / ˆ. Οπότε έχουε ˆ ˆ ˆ ˆ KN D t =, KN, D = = α ˆ t = α και ε περαιτέρω αντικατάσταση των td ˆ α = ˆt = και α = = = D ˆ K ˆ N παίρνουε: d (t) (t) = α (t) (t) + (t) d(t) (t) = (t) (t) + α + (t) (.7) Αποδεικνύεται έτσι ότι το hemostat εξαρτάται αποκλειστικά απο δύο αδιάστατες παραέτρους..3 Μελέτη των εξισώσεων του hemostat Για τις εξισώσεις hemostat: Προσδιορίζουε τα σηεία ισορροπίας, τις Null- lines, εξετάζουε τα πεδία ορισού των παραέτρων α και α, γραικοποιούε το σύστηα (.7) γύρω από τα σηεία ισορροπίας και βρίσκουε ια αναλλοίωτη ευθεία..3. Σηεία Ισορροπίας του hemostat Για να υπολογίσουε τα σηεία ισορροπίας λύνουε το σύστηα: 8

d (t) ( t) (t) = α (t) (t) = = α (t) (t) + (t) + (t) d(t) (t) (t) = (t) (t) + α = = (t) (t) + α (t) + + (t) ιακρίνουε τις ακόλουθες περιπτώσεις: ) Η τετριένη λύση =. Με αντικατάσταση αυτής στη δεύτερη σχέση παίρνουε = α. Οπότε ένα σηείο ισορροπίας είναι το: (, ) = (, α ). ) Μη-τετριένη λύση. Από την (.) έχουε: = α + = και αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση παίρνουε: α = αα. α Τελικά τα δύο σηεία ισορροπίας είναι: οπότε ( ), = (, α ), = αα, α α ( ) (.8).3. Οι παράετροια καια Θα ελετήσουε τώρα την επίδραση των α και α στα σηεία ισορροπίας. Η αδιάστατη παράετρος α = εκφράζει το έγιστο ρυθό αναπαραγωγής υπό D την παρουσία έκπλυνσης (flushing factor). Το δεύτερο σηείο ισορροπίας θα έχει θετική τεταγένη = έτσι ώστε να υπάρχει πληθυσός. Αρα α > και θα α πρέπει να περιορίσουε το ποσοστό αραίωσης έτσι ώστε να είναι ικρότερο από το έγιστο ρυθό αναπαραγωγής. Από την τετριένη λύση επειδή = α = η αδιάστατη παράετρος α K N εκφράζει το ποσό του που έχουε και ετράται σε ονάδες K N. Για ικρές τιές των και K N πλησιάζουε το. Οπότε για ικρό K N παίρνουε εγάλο α και αντίστροφα. Η τετριένη λύση υπαγορεύει ότι η = α πρέπει να είναι α πάλι θετική για να υπάρχει πληθυσός. Αυτό συβαίνει όταν α > α. 9

Παρατηρούε ότι αν ο όρος ( α ) είναι ικρός (εγάλη εκροή ή αδύναο ρυθό αναπαραγωγής) χρειαζόαστε εγάλο α (εγάλη έκπλυνση ή αδύναο ρυθό αναπαραγωγής) δηλαδή απαιτείται περισσότερη τροφή έτσι ώστε να έχουε γρήγορη αναπαραγωγή. Το οντέλο ας υποδεικνύει ότι όσο πιο εύκολη είναι η αναπαραγωγή τόσο ικρότερη ανάγκη διατροφής έχουε..3.3 Null-lines του hemostat Χρήσιη πληροφορία για τη συπεριφορά των δυναικών συστηάτων παρέχουν οι null-clines, οι γραές δηλαδή για τις οποίες: d d = ή =. Γνωρίζουε ότι στην τοή δύο null-clines υπάρχει ένα σηείο ισορροπίας. Από την πρώτη και δεύτερη εξίσωση παρατηρούε ότι οι null-clines δίνονται από τις σχέσεις: = = ή = α ( α )( ) + = = Οι null-clines είναι εύκολο να σχεδιαστούν και στο πρώτο τεταρτηόριο πορούε να σχηατίσουε ια αρκετά καλή εικόνα για το πώς η αρχική κατάσταση (, ) εξελίσσεται στο (Χ, )-επίπεδο (Σχήα.)..3.4 Γραικοποίηση γύρω από τα σηεία ισορροπίας Θέλουε να ελετήσουε πώς το hemostat ανταποκρίνεται σε ικρές διαταραχές στη γειτονιά αυτών των σηείων ισορροπίας. Το ερώτηα που ας απασχολεί σχετίζεται ε την ευστάθεια της λύσης. Οι συνθήκες ευστάθειας: tr( A ) < και det( A ) > (περιγράφονται στο Παράρτηα Α) θα χρησιοποιηθούν για να αναλύσουε τη συπεριφορά του hemostat στα σηεία ισορροπίας. Οι ιδιοτιές του γραικοποιηένου πίνακα Α είναι πραγατικές εάν ισχύει η σχέση: 4det( A) + tr( A) >. Βρίσκουε ότι (βλ. Παράρτηα Α) [] : α a a(,) a (, ) + ( + ) A(,) = =. a(,) a(,) + ( + )

) Αντικαθιστώντας το σηείο ισορροπίας ( ), = (, α ) παίρνουε: αα αα tr( A) = + α + α A(, α ) = α αα det( A) α = + + + α Η συνθήκη det( A ) > ισοδύναα γράφεται αα αα + > > + α + α αα και έρχεται σε αντίθεση ε την προηγούενη συνθήκη α > <. α + α Οπότε αυτό το σηείο ισορροπίας δεν είναι ευσταθές. ) Στο δεύτερο σηείο ισορροπίας (, ) = αα, ε α α αντικατάσταση του όρου = σ, έχοντας υπόψη ότι το σ >, παίρνουε: ( + ) σα tr( A) = σ < A = σ. det( A) = σ > α Άρα το η τετριένο σηείο ισορροπίας είναι ευσταθές. Επειδή 4det( A) + tr( A) = 4σ + σ + σ + = ( σ ) >. οι τροχιές σε ία γειτονική περιοχή του (, ) ιδιοδιανύσατα είναι πραγατικά. Κατευθύνονται προς το (, ) δεν είναι σπειροειδείς αφού τα..3.5 Η αναλλοίωτη ευθεία Στην υποενότητα αυτή θα ελετήσουε την ευθεία (t) = α(t) + αα. Όλες οι λύσεις προσεγγίζουν ασυπτωτικά την αναλλοίωτη ευθεία. Από την (.7) : d = α ( a) + d = + α ( b) + και ε ( a) + α( b) παίρνουε:

d ( + α )( t ) = αα ( + α )( t ). Η γενική της λύση είναι η : ( + α )( t) = Ke + αα t και ικανοποιεί την ιδιότητα ( + α )( t) αα. t Έτσι, όταν t έχουε + α = αα = α + αα και οι λύσεις που βρίσκονται στο θετικό τεταρτηόριο του επιπέδου (, ) ασυπτωτικά προσεγγίζουν αυτή την ευθεία. Επίσης για Χ = θα έχουε = α που είναι το τετριένο σηείο ισορροπίας ενώ για = παίρνουε = αα. Η ευθεία αυτή περνάει και από το η τετριένο σηείο ισορροπίας. Η αναλλοίωτη ευθεία έχει την κατεύθυνση ενός από τα ιδιοδιανύσατα. Θυόαστε ότι σα A =, σ = > σ ( + ) α oπότε η γενική λύση του γραικοποιηένου συστήατος έχει τη ορφή t () Z(t) = e t () Οι ιδιοτιές λ είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: λt λ ασ det ( A Iλ ) = det = σ λ α λ( σ + + λ) + σ = λ = και λ = σ.. Από τη συνθήκη: 4det( A) + tr( A) > αναέναε πραγατικές ιδιοτιές και οι συνθήκες ευστάθειας υποδείκνυαν ότι θα πρέπει να είναι αρνητικές. Η εξίσωση για την εύρεση των ιδιοδιανύσατων ( A Iλ ) = δίνει: ( λ ) ασ υ α σ σ υ α A I = = =

( λ ) Επιηκύνοντας το ιδιοδιάνυσα σηείο (, ) σ ασ υ α υ α A I = = = στη θετική και αρνητική κατεύθυνση από το πορούε εύκολα να παρατηρήσουε ότι αυτή είναι η ίδια ευθεία ε την = α+ αα. Έτσι ια κατάσταση που αρχίζει στην αναλλοίωτη ευθεία δεν πορεί να φύγει από αυτήν. Παρατήρηση Από το θεώρηα ύπαρξης και οναδικότητας των λύσεων των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, δύο τροχιές δεν πορούν να τένονται. Οπότε η αναλλοίωτη ευθεία δεν πορεί να τένει άλλες τροχιές. Αυτό βοηθάει στην κατανόηση της συπεριφοράς των τροχιών στη γειτονιά της αναλλοίωτης ευθείας (βλ. σχήα.). Η αναλλοίωτη ευθεία: συπεράσατα Μπορούε να συπεράνουε ότι η αναλλοίωτη ευθεία θεωρείται επόδιο για τις λύσεις. Καία λύση που βρίσκεται στο άνω χωρίο ως προς την ευθεία δεν πορεί να εισέλθει στο κάτω χωρίο και αντίστροφα. Φτιάχνοντας το πορτραίτο φάσεων ε την βοήθεια της Matlab πορούε να διαπιστώσουε ότι οι λύσεις κοντά στο η τετριένο σηείο ισορροπίας δεν πορούν να ακολουθήσουν σπειροειδή τροχιά..3.6 Μελετώντας το πορτραίτο φάσεων Στο πορτραίτο φάσεων δηιουργούε τροχιές εφαρόζοντας τη έθοδο Euler [3] : d = n + n t + n οι οποίες ονοάζονται ονοπάτι του Euler. Το πορτραίτο φάσεων αυτού του είδους συστηάτων ας δίνει πολλές πληροφορίες. Για α = και α = 4 έχουε απεικονίσει στο Σχήα. την αναλλοίωτη ευθεία, τις null-clines και το ονοπάτι Euler ξεκινώντας από ικρές συγκεντρώσεις βακτηρίων και θρεπτικών συστατικών. Παρατηρούε ότι η κατάσταση αρχικά οδεύει προς εγαλύτερα ποσά διατροφής (τα βακτήρια αναπαράγονται αργά) και όταν υπάρχει επαρκής ποσότητα διατροφής η κατάσταση πηγαίνει προς αύξηση του πληθυσού των βακτηρίων ειώνοντας έτσι την αύξηση της διατροφής και δηιουργώντας ία κλίση προς τα δεξιά. Στην πορεία γίνεται σχεδόν παράλληλη ε την αναλλοίωτη ευθεία και τελικά προσεγγίζει ασυπτωτικά τη στάσιη κατάσταση. Στο Σχήα. (όπως και στα επόενα σχήατα) πορούε να προσδιορίσουε τη θέση του α από το σηείο τοής της αναλλοίωτης ευθείας ε τον -άξονα (στην τετριένη στάσιη κατάσταση δεν υπάρχουν βακτήρια και απόθεα-συγκέντρωση θρεπτικών συστατικών). Το σηείο αα πορεί επίσης να ευρεθεί από το σηείο τοής της αναλλοίωτης ευθείας ε τον -άξονα. 3

Σχήα.: Το πορτραίτο φάσεων του hemostat.η αύρη γραή ε κουκκίδες είναι η αναλλοίωτη ευθεία, η κόκκινη διακεκοένη ε κουκκίδες καπύλη είναι το ονοπάτι Euler και οι συνεχόενες d d γραές είναι οι null-clines. Τα βέλη αντιπροσωπεύουν το διανυσατικό πεδίο,. To ονοπάτι Euler προσεγγίζει την αναλλοίωτη ευθεία αλλά ποτέ δεν την περνάει..3.7 Βελτιστοποίηση του hemostat Επειδή η βελτιστοποίηση του hemostat βασίζεται στη βέλτιστη τιή του συλλέκτη αραίωσης D, εγκαταλείπουε την αδιάστατη ορφή του συστήατος και επιστρέφουε στο γενικό οντέλο (.6). Η βέλτιστη τιή θα υπολογιστεί από την d έκφραση ( D ) προσδιορίζοντας τα κρίσια σηεία της αντίστοιχης συνάρτησης. dd Το οντέλο περιγράφεται από το σύστηα: d (t) = (t) D(t). d(t) = α (t) D(t) + D Εάν εστιάσουε στη η τετριένη στάσιη κατάσταση (, ) βρίσκουε ότι D =. Οπότε η δεύτερη εξίσωση απλοποιείται στην: 4

d = = αd D + D = ( ). α Για κινητική έκφραση Monods έχουε DK D = = = K + D όπου τώρα πορούε να απαλείψουε την και να καταλήξουε στην DK =. α D Εάν υποθέσουε ότι η παραγωγικότητα σχετίζεται ε την ανάπτυξη τότε πορούε να υπολογίσουε το D από τη σχέση = D. Τα κρίσια σηεία της είναι (D) out D = ± K + K. Αλλά D = οπότε δεν υπάρχει δυνατότητα το D να είναι εγαλύτερο από το καταλήγοντας έτσι στο οναδικό κρίσιο σηείο: D = K + K Η βέλτιστη τιή της ( D ) είναι: out ( ( )) = + K K + K α out,.3.8 Το πρόβληα ε τα προϊόντα Γενικά υπάρχουν συστήατα που το ενδιαφέρον ας εστιάζεται: α) Στο υπόστρωα όπως στην επεξεργασία αποβλήτων. β) Στη βιοάζα όπως στην παραγωγή αγιάς. γ) Στα προϊόντα. Ένας συνήθης τρόπος για να περιγράψουε τη εταβολή της πυκνότητας ενός προϊόντος είναι να υποθέσουε ότι το προϊόν παράγεται από βακτήρια που έχουν και δεν έχουν αναπαραχθεί. Υποθέτουε ότι: ) Απαιτούνται d ονάδες της για την παραγωγή ιας ονάδας προϊόντος P. ) Για την παραγωγή ιας ονάδας Χ απαιτούνται c ονάδες της. 3) Μια ονάδα βακτηρίων που αναπαρύχθηκε παράγει α ονάδες προϊόντος P. 4) Μια ονάδα βακτηρίων που δεν αναπαρύχθηκε παράγει b ονάδες προϊόντος P. Το σύστηα που παίρνουε είναι το ακόλουθο: 5

d (t) = (t) D(t) d(t) = D ( (t)) c (t) d( α (t) + b(t)) dp(t) = α (t) + b(t) DP(t) (.9) Οι "νέες" σταθερές α και b περιγράφουν τη διαφορά εταξύ της ανάπτυξης της παραγωγής και της η-ανάπτυξης της παραγωγής αντίστοιχα. d Για η τετριένη στάσιη κατάσταση έχουε = οπότε βρίσκουε ότι = D. Από αυτή τη σχέση πορούε συνήθως να προσδιορίσουε το αν γνωρίζουε τα και P. Το P βρίσκεται χρησιοποιώντας τις dp b = D και = P = a +. D Για το υπολογίζουε την d = ( cd + dad + db) = D( ) =. b c+ da+ D Άρα η στάσιη κατάσταση για κάποιο είναι: b =, P = a +, = D. b D c+ da+ D Αν χρησιοποιήσουε την κινητική Monods, βρίσκουε b DK =, = +, = b D D c+ da+ D P a Η βελτιστοποίηση του Ρ απαιτεί υπολογισό παρόοιο του κρίσιων σηείων της συνάρτησης out, δηλαδή εύρεση των d( DP) =. Καταλήγουε στην εξίσωση dd 6

k kd k kd kd b ad a m D ( m D) m D ( m D) m D + + b b b c+ da+ c+ da+ c+ da+ D D D kd kd b d abd m D m D + = b b c+ da+ D c+ da+ D D D που η επίλυσή της θα προσδιορίσει τη βέλτιστη τιή του D. 7

Κεφάλαιο 3 hemostat ε τροποποιηένη κινητική Μέχρι τώρα έχουε ελετήσει το hemostat ε κινητική Monods. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ελετήσουε ία τροποποίηση αυτού του οντέλου χρησιοποιώντας τη εθοδολογία που αναπτύχθηκε στο δεύτερο κεφάλαιο. 3. To MMI-TR Καλούε αυτό το οντέλο Michaelis - Menten Inhibited ontinuous tirred Tank Reactor (MMI-TR) ιας και χρησιοποιούε ένα είδος κινητικής Michaelis- Menten για να ειώσουε την επίδραση των αυξανόενων τιών του Χ στην κινητική έκφραση. Παίρνουε τον όρο = στις εξισώσεις ας, αντί K + K + του όπως στην Monods hemostat. Αυτή η ορφή κινητικής K + περιγράφει την κατάσταση όπου η υψηλή πυκνότητα των βακτηρίων αναστέλλει την ανάπτυξη στο hemostat. Εισάγοντας την προτεινόενη αναστολή παίρνουε το MMI-TR: d = D K + K + d α D D = K + K + + (3.) Για να αποκτήσουε την αδιάστατη ορφή αντικαθιστούε τα, και t ε ˆ, ˆ και t tˆ. Ξεκινάε πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις ε ˆt ˆ και ˆ ˆt αντίστοιχα ˆ και ετά αντικαθιστούε ˆ ˆ ˆ t, K, D α tˆ K α = και α =. Τέλος παίρνουε K D ˆ K = ˆ για να γράψουε τις εξισώσεις: d = α + + d = + α + + (3.) 8

3. Η αναλλοίωτη ευθεία Όπως και προηγουένως πορούε να βρούε ότι το = α( α ) είναι ια αναλλοίωτη ευθεία. 3.3 Null-lines d Θεωρώντας = βρίσκουε την ευθεία Χ= και την καπύλη ε εξίσωση + =,. α + d Για = έχουε την καπύλη: ( α )( + ) =. + ( α )( + ) Έτσι οι null-clines είναι: + d = = ή = ( α + ) d ( α )( + ) = = + ( α )( + ) 3.4 Σηεία ισορροπίας Χρησιοποιώντας τις null-clines που προσδιορίστηκαν προηγουένως βρίσκουε την ίδια τετριένη στάσιη κατάσταση: (, ) = (, α) ενώ η δεύτερη εξίσωση σε συνδυασό ε την εξίσωση της αναλλοίωτης ευθείας για να απαλείψουε τη ας οδηγεί στη δευτεροβάθια εξίσωση: + ( + ) + ( ) =, ε λύσεις τις α α α α p q q q p q p = ± + q 9

q p q p Εύκολα ελέγχουε ότι η λύση = + q είναι αρνητική οπότε απορρίπτεται. Η θετική λύση ωστόσο πρέπει να είναι ικρότερη από α προκειένου η Χ (που συνδέονται διαέσου της εξίσωσης) να είναι θετική. Έτσι η ύπαρξη η τετριένης στάσιης κατάστασης απαιτεί την ικανοποίηση των ακόλουθων συνθηκών: p q p q α >, α > + + q α > α 3.5 Γραικοποίηση γύρω από τα σηεία ισορροπίας Για το MMI - TR ο πίνακας γραικοποίησης του συστήατος Α είναι: A α α + ( + ) ( + ) + = + ( + ) ( + ) + ιακρίνουε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις: ) Τετριένη στάσιη κατάσταση, Χ =. Ο πίνακας Α γράφεται: A αα + α = α + α οπότε αα αα tr ( A) = < + α + α αα αα A = < + α + α det ( ) γράφεται:, για ευστάθεια. Έτσι για να έχουε ια τετριένη στάσιη κατάσταση πρέπει να ισχύει αα < α < + α α. Έχοντας όως τον περιορισό α > καταλήγουε α στο συπέρασα ότι αν υπάρχει εγάλη έκπλυνση τότε δεν θα υπάρχει πληθυσός όπως άλλωστε αναενόταν. + ) Μη τετριένη στάσιη κατάσταση, ( ) =,. Ο πίνακας Α α ( + )

+ ( + ) ( ) + + A = = α α α α + ( + ) ( ) + + Εύκολα ελέγχουε ότι η συνθήκη: tra < ικανοποιείται. Αναφορικά ε την ορίζουσα det( A ) χρησιοποιώντας την αναλλοίωτη ευθεία για να απαλείψουε τη: A α( α ) + ( + ) A = α ( α ) + ( + ) ( α ) α = + ( ) + > + + ( )( ) + + det ( ) παρατηρούε ότι το η τετριένο σηείο ισορροπίας είναι ευσταθές. Σχήα 3.:Το πορτραίτο φάσεων του MMI TR.

3.6 Μελέτη του πορτραίτου των φάσεων Από το Σχήα 3. αναγνωρίζουε τα σηεία τοής της αναλλοίωτης ευθείας ε τους άξονες Χ και να είναι τα: αα και α αντίστοιχα. Παρατηρούε ότι οι null-clines έχουν παρόοιες θέσεις στο επίπεδο φάσεων και ότι το ονοπάτι Euler έχει παρόοια συπεριφορά. Το πορτραίτο φάσεων είναι παρόοιο ε αυτό του hemostat και επίσης το MMI-TR ανταποκρίνεται σε εγάλες τιές του Χ ε αναστολή. 3.7 Βελτιστοποίηση Από το γενικό οντέλο (.6 ) εύκολα παίρνουε : = D και = ( ) α αν αγνοήσουε την τετριένη στάσιη κατάσταση. Από τη σχέση = D πορούε να βρούε τη : = K = ( ) K + α και την. Οι προηγούενες εκφράσεις δίνουν την ακούλουθη δευτεροβάθια εξίσωση α + + α + ( α ) =. D K K K K ω + λ D όπου η έχει διαστάσεις. Μπορούε να χρησιοποιήσουε αυτή την για να βρούε τη D: υ D ω Dλ ω Dλ D υ = + + + +. α α α α α Παραγωγίζοντας την ως προς D καταλήγουε στην εξίσωση λd ω λ Du + a α + λ a α = a Du Dλ ω + + a a a λω ε λύσεις τις D= και D=. λ + au 3.8 Από την MMI-TR στο hemostat

Συγκρίνοντας τα αδιάστατα του hemostat και του MMI- TR ανακαλύπτουε ότι ο νέος όρος αναστέλλει τα d d και. Αυτή η αναστολή είναι + ισχυρότερη όσο ικρότερο είναι το βρίσκουε:. Έτσι παίρνοντας το όριο του α MMI = α = + + + chemostat. 3.9 Περίληψη και σύγκριση των TRs Έχουε ελετήσει δύο διαφορετικά οντέλα hemostat που ακολουθούν δύο διαφορετικές ορφές κινητικής: την κινητική Monods και την ανασταλτική κινητική Michaelis-Menten. ύο άλλες ορφές κινητικής που έχουν ελετηθεί είναι η ompetitive ubstrate Inhibitition (ε = ) και η ompetitive Product + + K I Inhibitition ( ε = + + KI ) που ονοάζονται I - TR και PI - TR. Στον παρακάτω πίνακα υπάρχει ια σύνοψη των οντέλων (δεν έχουε συπεριλάβει την τετριένη Χ = nullcline ενώ ε N και N έχουε συβολίσει τις nullclines των Χ και αντίστοιχα). Συγκρίνοντας τα πορτραίτα φάσεων, Σχήα 3., είναι εύκολο να εντοπίσουε οοιότητες εταξύ των οντέλων. Ορισένα κοινά χαρακτηριστικά είναι η ύπαρξη της αναλλοίωτης ευθείας και τα σηεία ισορροπίας. Η ύπαρξη της αναλλοίωτης ευθείας οφείλεται στο γεγονός ότι το οντέλο παράγει ια σταθερή τιή πυκνότητας βακτηρίων ανά ονάδα κατανάλωσης πυκνότητας του υποστρώατος. Τα σηεία ισορροπίας ποικίλλουν ανάλογα ε τις τιές των παραέτρων α, α καθώς επίσης και των διαφόρων σταθερών που υπεισέρχονται σε κάθε οντέλο. Με κατάλληλη επιλογή αυτών των παραέτρων πορούε να καθορίσουε τη θέση των σηείων ισορροπίας στο πορτραίτο φάσεων ή πορούε να αναγκάσουε το οντέλο να ξεπλύνει τον πληθυσό των βακτηρίων από το hemostat. Παρατηρώντας το I-TR πορούε να σηειώσουε ότι η τιή της στην στάσιη κατάσταση είναι σχετικά χαηλή (σε σύγκριση ε άλλα οντέλα). Αυτό πορεί να αιτιολογηθεί από το γεγονός ότι το συγκεκριένο οντέλο έχει σχεδιαστεί για να αναστείλει την. Στο ίδιο οντέλο πορούε επίσης να σηειώσουε ότι τα σηεία του ονοπατιού Euler δεν αποκτούν εγάλες τιές της (σε σχέση ε τα άλλα οντέλα). Αυτό πορεί να αποτελέσει πρόβληα για το κανονικό I-TR. Η έναρξη τέτοιας αντίδρασης πρέπει να γίνεται ε προσοχή. Ένα άλλο χαρακτηριστικό είναι ότι το διανυσατικό πεδίο δεν είναι "δεξιόστροφο" γύρω από τη η τετριένη στάσιη κατάσταση. Αντιθέτως φαίνεται ότι απότοα αποακρύνει ια κατάσταση προς την ασταθή στάσιη κατάσταση (για ικρές ή εγάλες τιές των και ) και κοντά στις αναλλοίωτες ευθείες ωθεί την κατάσταση προς τη τετριένη ή την η τετριένη στάσιη κατάσταση. 3

Μοντέλα Monods hemostat I-TR d d N N Όριο + α + +α + = α ( α )( + ) = - + + α + + K I K I +α + + K KI( α ) KI( α ) = ± I ( α )( + + ) KI = Κ Ι K I Μοντέλα MMI-TR PI-TR d + + Χ Χ α + + Χ Χ α + +Κ Χ + +Κ Χ Ι Ι d +α + + Χ Χ + α + +Κ Χ Ι N + Χ Χ = α ( + Χ ) Χ = K I Χ+ a N ( α )( + ) ( )( ) = + α + ( α )( + ) = Κ ( a ) Ι Όριο ΚΙ 4

Τα οντέλα chemostat, MMI-TR και PI- TR είναι παρόοια ε το I- TR. Έχουν παρόοιες null-clines, σηεία ισορροπίας σχεδόν στις ίδιες θέσεις του -επιπέδου και διανυσατικά πεδία. Η null-cline ευθεία της για το hemostat και του I-TR είναι παράλληλη προς τον άξονα Χ ενώ στα άλλα δύο οντέλα αυτή η null-cline αυξάνεται καθώς εγαλώνει το Χ. Αυτό πορεί να ερηνευθεί ως ία ανασταλτική επίδραση της Χ στο : το διανυσατικό πεδίο αλλάζει από εκεί που έσπρωχνε ια κατάσταση από εγάλα Χ σε ικρότερα Χ, όταν περάσει τη null-cline της (από εγάλες τιές της ). Η Monods hemostat δεν επηρεάζεται από την αναστολή και το έγεθος της τιής της. Αυτό οφείλεται στην παρουσία της που καθορίζει αν η πρέπει να αυξηθεί ή όχι. Οι εντυπωσιακές οοιότητες εταξύ του MMI-TR ε PI-TR οφείλονται στο ότι η έκφραση της δεν διαφέρει από το ένα οντέλο στο άλλο. 5

6

Κεφάλαιο 4 Άλλοι τύποι TR Υπάρχουν τύποι TRs που διαφέρουν από το κλασικό οντέλο ενός αντιδραστήρα ίας δεξαενής ε σταθερή ροή. Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγράψουε hemostats σε σειρά, hemostat ε ανακυκλοφορία και ένα hemostat που οιάζει ε αντίδραση ενζύων. 4. hemostats σε σειρά Εάν το προϊόν παράγεται από «ώρια» βακτήρια τότε συνιστάται η χρησιοποίηση ιας αρχικής δεξαενής στην οποία ραγδαία παράγονται βακτήρια, ενώ σε ια δεύτερη, που συνδέεται σε σειρά ε τη πρώτη, τα βακτήρια ωριάζουν σε κατάλληλο χηικό περιβάλλον (ph, θεροκρασία, κ.λπ.) για να παράγουν τα επιθυητά προϊόντα. F, =, F,, F,, V, V, F + F,, Σχήα 4.: ύο hemostat σε σειρά ε αποστειρωένη τροφοδότηση στο δεύτερο. Υποθέτουε ότι ο πρώτος αντιδραστήρας τροφοδοτεί το δεύτερο hemostat ε, ε ροή F. Επίσης υπάρχει ια δεύτερη ροή F στο δεύτερο υπόστρωα του hemostat ε πυκνότητα. Η εκροή από το δεύτερο hemostat είναι F+ F. Οι όγκοι των αντιδραστήρων V και V διατηρούνται σταθεροί. Οι εξισώσεις για το δεύτερο αντιδραστήρα είναι : 7

dv = F+ F ( F+ F) = d F F+ F = + V V d F F+ F F = α + V V V F F+ F Για D = και D = έχουε ότι V V F F V = D = D D >. V V V (4.) Τα σηεία ισορροπίας για το δεύτερο hemostat υπολογίζονται από τις λύσεις των εξισώσεων: d = D + D = d V = D + D D α D = V Υποθέτοντας για ευκολία ότι ( ) απο την πρώτη εξίσωση βρίσκουε ότι υπάρχει οναδική λύση : D + D = = D D Η δεύτερη εξίσωση ανάλογα ε τον ρυθό αναπαραγωγής δίνει διαφορετικές εκφράσεις για τις και. 4. hemostat ε επανακυκλοφορία Υπάρχουν ορισένες περιπτώσεις που η επανακυκλοφορία ενός έρους των βακτηρίων αυξάνει την παραγωγικότητα του συστήατος. Εδώ ένα έρος φ της F επανακυκλοφορεί πίσω στον αντιδραστήρα. Σε αυτή τη φάση (=) ποσότητα c ξανά εισέρχεται στο σύστηα. Οι εξισώσεις γράφονται: d =+ c ϕ D+ D( + ϕ) d = α D( + ϕ) + D (4.) Αναζητώντας τα σηεία ισορροπίας για από την πρώτη εξίσωση της (4.) d παίρνουε = = ( + ϕ ϕc) D. Επειδή ϕ ( c ) > για < c : > D. Αυτή η τιή είναι πιο βελτιωένη συγκριτικά ε εκείνη που είχαε στα προηγούενα hemostats. 8

ϕ F, c, = F,, F( + ϕ) ιαχωριστής F,( c), Σχήα 4.: Το hemostat ε επανακυκλοφορία Βεβαίως διαφορετικοί ρυθοί έκφρασης δίνουν διαφορετικά και. Με κινητική έκφραση Monods παίρνουε = K + = ( + ϕ ϕc) D. Έτσι το σηείο ισορροπίας είναι: ( + ϕ) K D( + ϕ ϕc), =, α( + ϕ ϕ c) D( + ϕ ϕc) ( ) 4.3 hemostast για αντιδραστήρες ενζύων Στην ενότητα αυτή θεωρούε TR ε ένζυα αντί για βακτήρια. Υποθέτουε τα ακόλουθα : Ένα όριο υποστρώατος παράγει ένα όριο προϊόντος έχοντας = P P. ( Άρα το υπόστρωα που καταναλώνεται = το προϊόν που παράγεται ) Η συγκέντρωση του ενζύου (E) είναι σταθερή (και ίση ε ένα) ε την πάροδο του χρόνου. de d dp = = D( ) E = D( ) = E DP = DP (4.3) 9

Αυτές οι εξισώσεις επιτρέπουν να βρούε την αν πρώτα καθορίσουε το είδος της κινητικής. Ας δούε ποια είναι η τιή της αν χρησιοποιήσουε την κινητική Michaelis Menten : = = D( ) K + K K D D = ± + K. Αυτός είναι ένας τρόπος να βρεθεί η στάσιη κατάσταση. Αν χρησιοποιήσουε τώρα ια εναλλακτική προσέγγιση εισάγοντας τη σχέση δ = που αντιστοιχεί στο έρος της που έχει ετατραπεί σε προϊόν, παρατηρούε ότι = ( δ ) οπότε ο συντελεστής αραίωσης πορεί να προσδιοριστεί σαν συνάρτηση του δ και. Τώρα θα ελετήσουε διαφορετικά D για διαφορετικές κινητικές εκφράσεις. Η κινητική Michaelis-Menten σε ένα αντιδραστήρα ενζύων Από την (4.3) παίρνουε τη σχέση Menten, = K + δίνει : D = ( ) η οποία για την κινητική Michaelis D ( δ ) ( ) ( K + )( ) δ ( K + ( δ )) = = =. Ανταγωνιστική αναστολή υποστρώατος σε αντιδραστήρα ενζύων (I) Εφαρόζοντας την ανταγωνιστική αναστολή υποστρώατος (I) έχουε: D = = ( ) ( KM + + ) ( ) KI και χρησιοποιώντας την σχέση δ = παίρνουε : 3

D = δ KM + + ( δ ). ( δ ) K I Ανταγωνιστική αναστολή των προϊόντων σε αντιδραστήρα ενζύων (PI) Αντικαθιστώντας την στοιχειοετρική σχέση = P P P = + P στη σχέση της κινητικής έκφρασης παίρνουε : D ( δ ) = = δ ( K ( + PK ) + ) ( ) K + K K ( δ + P ) + ( δ )) M M M I Αναστολή Michaelis-Menten σε αντιδραστήρα ενζύων Αυτό είναι στην πραγατικότητα αδύνατον καθώς η κινητική έκφραση περιέχει τη Χ σαν εταβλητή και δεν εφανίζεται σε ένα αντιδραστήρα ενζύων. Σύνοψη των ρυθών αραίωσης Κινητικές Κινητική έκφραση Σταθερά αραίωσης Michaelis- Menten I PI = = K M + K + + K = K ( + PK ) + M I I = ( δ ) ( ( )) δ K + δ δ = K M + + ( δ ) ( δ ) K δ = δ K + K K ( δ + P) + ( δ ) M M I I 3

Κεφάλαιο 5 Ελεγχόενες TRs και το Turbidostat Στο κεφάλαιο αυτό θα ελετήσουε τις ελεγχόενες TRs. Με τον έλεγχο ενός TR αυξάνεται η πιθανότητα να επιλέξουε ια στάσιη κατάσταση. Όταν η συγκέντρωση του υποστρώατος στην εισροή κυαίνεται στο όριο διακυάνσεων της πυκνότητας του πληθυσού τότε η ελεγχόενη TR είναι η ιδανική. 5. Οι ελεγχόενες TRs Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να επιτύχουε αυτόατο έλεγχο ιας TR. Μια γενική ονοασία των ελεγχόενων TR είναι Auxostats. Μια Auxostat είναι συνήθως ένα σύστηα συνεχούς καλλιέργειας στην οποία η συγκέντρωση ενός από τα συστατικά της όπως για παράδειγα το επίπεδο ph ή η συγκέντρωση βιοάζας ή η συγκέντρωση θρεπτικών συστατικών είναι προκαθορισένη και το σύστηα ελέγχεται για να διατηρεί σε σταθερό επίπεδο αυτό το συστατικό. Ένα πολύ γνωστό Auxostat είναι το ph-auxostat όπου τα ενεργά βακτήρια παράγουν οργανικά οξέα (όπως απόβλητα) ειώνοντας το ph. Το ph που σχετίζεται ε την παραγωγικότητα αυτού του τύπου Auxostat είναι εύκολο να ελεγχθεί και να ετρηθεί ε διαδικασία που δεν είναι πολυέξοδη και χρονοβόρα. Μια άλλη Auxostat είναι η Turbidostat. Η θολότητα του διαλύατος, που σηαίνει πόση ποσότητα φωτός απορροφά, είναι απλό να ετρηθεί και είναι ανάλογη ε την πυκνότητα της βιοάζας Χ στο δοχείο. Εάν υπάρχει εγαλύτερη πυκνότητα τότε προστίθεται περισσότερο διάλυα και αντίστροφα. Σε γενικές γραές επιδιώκουε να αλλάξουε την αρχική τιή της σε ια τιή P που αντιστοιχεί σε σηείο κοντά στη στάσιη κατάσταση των συστηάτων χωρίς έλεγχο. Με τον τρόπο αυτό υποθέτουε ότι η συπεριφορά του συστήατος είναι παρόοια ε εκείνη σε ία γειτονιά του. Ένα γενικευένο ελεγχόενο σύστηα είναι το: d = A + BU, Y = (5.) όπου η U περιέχει εταβλητές που χρησιοποιούνται για τον έλεγχο του συστήατος και οι Α, Β είναι σταθεροί πίνακες για παράδειγα, οι τιές από ια γραικοποίηση γύρω από το σηείο ενδιαφέροντος. Η Y είναι ο φορέας εξόδου και ας επιτρέπει να ελέγχουε τις τιές της. Η περιγράφει τον τρόπο ε τον οποίο τα και Y σχετίζονται. Η διάσταση του φορέα BU πρέπει να είναι η ίδια ε του A. 3

Ft (), + / Λάπα Ανιχνευτής ή Ελεγκτής (), t () t Ft (), t (), t () Σχήα 5.: Η γενική ιδέα για το Turbidostat. Μέσω ενός βρόγχου στον αντιδραστήρα περνάει φώς στο διάλυα. Ένας ελεγκτής ετράει την θολότητα και στέλνει σήα για να διατηρεί την εισροή των θρεπτικών συστατικών. Θα εξετάσουε την περίπτωση όπου U= και το σύστηα ελέγχεται από διάφορες τιές του D. Υποθέτουε ότι D = D + D(, ) από την εξίσωση (.6), ε = παίρνουε: d = D D(, ) d = α D( ) D(, )( ) (5.) εν θα περιγράψουε ακόη το D( Χ, ) λεπτοερώς. Θα απαιτήσουε δύο συνθήκες. ) D ( P) =, δηλαδή δεν θέλουε να αλλάξουε τίποτα αν βρισκόαστε στην επιθυητή κατάσταση P. ) D + D(, ) από την στιγή που προσθέτουε διάλυα διατροφής στο TR. Γραικοποιούε την (5.) γύρω από το σηείο : d = A + B όπου: A + D P P = α P α α P D 33

D P D P B = D ( P) D ( P) Η έκφραση αυτή πορεί πλέον να χρησιοποιηθεί για τον υπολογισό βολικών ορφών ελεγχόενων TRs. ύο θέατα θα ας απασχολήσουν στα ελεγχόενα συστήατα. Η δυνατότητα ελέγχου και η ευστάθειας τους. Ένα σύστηα που πορεί να ελεγχθεί είναι ευσταθές. Μπορούε να πούε (όχι αυστηρά) ότι ένα σύστηα είναι ελέγξιο όταν υπάρχει ια πολιτική ελέγχου που οδηγεί σε πεπερασένο χρόνο το σύστηα από οποιαδήποτε δοσένη αρχική κατάσταση i σε οποιαδήποτε επιθυητή κατάσταση d. Το σύστηα είναι πλήρως ελέγξιο αν και όνο αν n det B A B A B... A B η οποία δεν επιτυγχάνεται για το Turbidostat. Αυτό σηαίνει ότι δεν πορούν να επιτευχθούν όλες οι καταστάσεις σε πεπερασένο χρόνο. Η ευστάθεια επιτυγχάνεται όταν όλες οι ιδιοτιές του πίνακα Α πορούν να γίνουν αρνητικές ε τη βοήθεια ελεγκτή. Αν είναι ήδη αρνητικές τότε το σύστηα είναι αυτόατα σταθεροποιήσιο. Η κατάσταση αυτή αντιστοιχεί στην κανονική ευσταθή ας κατάσταση όταν το ίχνος είναι αρνητικό και η ορίζουσα είναι θετική. 5. Η αναλλοίωτη ευθεία για ελεγχόενη TR έσω του D Γνωρίζουε ότι για συστήατα χωρίς έλεγχο έχουε: d ( + α ) = ( + α )( D D + (, )). Αν ισχύει η ισότητα α = τότε πορούε να την διατηρήσουε. Το αρνητικό πρόσηο στη σχέση εξασφαλίζει ότι θα επιστρέψουε στην αναλλοίωτη ευθεία αν για κάποιο λόγο αποακρυνθούε από αυτήν. Άρα υπάρχει ια αναλλοίωτη ευθεία για την ελεγχόενη TR έσω του D και είναι η ίδια και για την TR χωρίς έλεγχο. 5.3 Το Turbidostat Τώρα εξετάζουε την περίπτωση όπου D (, ) = D ( ) = KD( P). Η P είναι η τιή της που θέλουε να σταθεροποιήσουε την TR ας. Αν = ( ) τότε =. Επίσης: D = και D = KD. Το σύστηα γράφεται: d = D KD( P) (5.3) d = α D( ) KD( P)( ) 34

Αναλύοντας την πρώτη έκφραση πορούε να άθουε πώς η δράση ελέγχου συπεριφέρεται. Αγνοώντας την τετριένη στάσιη κατάσταση της καταλήγουε στην: = D, KD = D KD = D + KDP = P +, < P < K D P, KD D Το K D είναι αυτό που ελετάε. Χωρίς δράση ελέγχου ( K D = ) επιστρέφουε στην Monods hemostat. Για πολύ εγάλες τιές του K καταλήγουε στην = P. Για λογικές τιές του K D πλησιάζουε το σηείο αντιστοιχεί επίσης σε ία Null-line. Με γραικοποίηση της (5.3) έχουε: P D. Η δεύτερη έκφραση d D K = ( + ) = α + KD( P) α P D D P P A B. Αρκετά κοντά στη στάσιη κατάσταση πορούε να πάρουε D το οποίο ας επιτρέπει να κάνουε τις ακόλουθες προσεγγίσεις: d KDP P. α + KD( P) α P Θέλουε να ερευνήσουε αν αυτό το ελεγχόενο σύστηα είναι ευσταθές οπότε εξετάζουε τα πρόσηα του ίχνους και της ορίζουσας: tr( A + B) = KDP α P. Αν το αυξάνεται πολύ τότε πράγατι tr( A + B) <. Αλλά αν για παράδειγα έχουε ία I-TR το αρνητικό, ία ικανή συνθήκη είναι KD > α. Αν υποθέσουε ότι βρισκόαστε κοντά στην αναλλοίωτη ευθεία τότε πορούε να χρησιοποιήσουε την έκφραση α P P και η ορίζουσα γράφεται: ( ) det( A + B) = K α ( ) + K + ( α + K ) D P P P D P P D det( A+ B) K + α ( + K ). D P P D 35

Έτσι έχουε θετική ορίζουσα όταν το KD > α ή όταν >. Αυτό το σύστηα είναι ευσταθές αλλά δεδοένου ότι δεν έχουε τη δυνατότητα ελέγχου δεν γνωρίζουε ε βεβαιότητα πού βρισκόαστε στο διάγραα φάσεων. Σχήα 5.: Το πορτραίτο φάσεων ενός Turbidostat. Η διαγώνια διακεκοένη γραή είναι η αναλλοίωτη ευθεία,η κατακόρυφη διακεκοένη γραή αντιστοιχεί στη = P, η διακεκοένη ε κουκκίδες είναι το ονοπάτι Euler και η συνεχόενη ευθεία είναι η null-cline της. Η κόκκινη κουκκίδα πάνω στην αναλλοίωτη ευθεία είναι το σηείο που θα βρισκότανε το σηείο ισορροπίας αν δεν υπήρχε η δράση ελέγχου. 5.4 Το πορτραίτο φάσεων ενός Turbidostat Παρατηρώντας το πορτραίτο των φάσεων ενός Turbidostat (Σχήα 5.) η πρώτη εντυπωσιακή διαφορά είναι η απόσταση εταξύ της στάσιης κατάστασης του κανονικού hemostat και της στάσιης κατάστασης του Turbidostat. Υπάρχουν ια αναλλοίωτη ευθεία και ία nullcline στην ίδια περίπου θέση όπως και πριν. Αυτή η nullcline ωστόσο εξαρτάται σε εγάλο βαθό από το K D. Στο Σχήα 5.3 βλέπουε πώς το πορτραίτο των φάσεων αλλάζει για αυξανόενες τιές του K D. Η nullcline τείνει να προσεγγίσει την ευθεία = P και κατά συνέπεια η στάσιη κατάσταση πλησιάζει το σηείο τοής της nullcline και της αναλλοίωτης γραής. 36

Σχήα 5.3: Τα πορτραίτα φάσεων ενός Turbidostat για διαφορετικές τιές του 3). K D (.3,.3, 3 και 37

Ανταγωνισός στο hemostat Κεφάλαιο 6 Θα ελετήσουε τον ανταγωνισό στο hemostat εισάγοντας δύο διαφορετικούς ικροοργανισούς στο σύστηα ας ε πληθυσούς και και σταθερές K N και K N αντίστοιχα [4]. 6. Ανταγωνισός σε πεπερασένο χρόνο Το οντέλο περιγράφεται από το σύστηα: d α α = D D K N + K N + d = D KN + d = D K + N Οι εξισώσεις ας περιέχουν έξι διαστατικές παραέτρους:,, Κ,, D, Ν Κ Ν. Αντικαθιστώντας τα,, t ε ˆ, ˆ και t tˆ και πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις ε tˆ / ˆ και tˆ / ˆ καταλήγουε στην αδιάστατη ορφή του συστήατος: d d = a + = a + d = a3 + + όπου a =, a = D D και a 3 =. K N 6.. Σηεία ισορροπίας Το πρώτο σηείο ισορροπίας είναι το σηείο όπου = και = που ας δίνει a3,, a. =. ηλαδή το σηείο ( ) 3 38

Για = οι εξισώσεις γίνονται : a3 =, () + a =, () + Λύνοντας την εξίσωση () ως προς και ετά αντικαθιστώντας στην () παίρνω το δεύτερο σηείο ισορροπίας. a ( + ) = a = a ( ) = = a = a. Αντικαθιστώ στην (): a3 = a3 = a a a ( a ) + a a3 = = a3 = aa3 a a a a το δεύτερο σηείο ισορροπίας είναι :, aa3, a a. Για = οι εξισώσεις γίνονται: a a a3 =, () + a =. () + Λύνοντας την () ως προς και αντικαθιστώντας στην () παίρνουε το τρίτο σηείο ισορροπίας a ( ) = = a Αντικαθιστώντας στην (): = a a 3 το τρίτο σηείο ισορροπίας είναι: a aa3,, a a. 39

6.. Οι παράετροι a και a Παρατηρούε ότι: = a και =. Το πρέπει να είναι θετικό για να a υπάρχει πληθυσός καταλήγοντας στον περιορισό: a, a >. Επίσης επειδή η = aa3 είναι θετική θα πρέπει a3 a 3. Το ίδιο ισχύει και για a a την = aa3 όπου a3 3 a a a. 6..3 Γραικοποίηση γύρω από τα σηεία ισορροπίας Για να αναλύσουε τη συπεριφορά των τριών σηείων ισορροπίας θα χρησιοποιήσουε τις συνθήκες ευστάθειας που περιγράφονται στο Παράρτηα Α. Οι συνθήκες ευστάθειας είναι tr( A ) < και det( A ) >. Για να είναι πραγατικές οι ιδιοτιές του γραικοποιηένου πίνακα Α πρέπει να ισχύει 4det( A) + tr( A) >. Α = a a + ( + ) a a + ( + ) + + ( + ) ( + ) Αντικαθιστούε το σηείο ισορροπίας (,, ) = (,, a ) και παίρνουε 3 Α = aa 3 + a aa aa aa + a + a 3 3 3 tr( A) = + 3 3 3 3 + a3 aa 3 aa 3 det( A) = a a 3 a 3 + 3 + a3 a3 a + + 3 aa 3 aa 3 Παρατηρούε ότι η ορίζουσα δεν είναι θετική λόγω των > και >. a3 + a3 + Έτσι αυτή η στάσιη κατάσταση δεν είναι ευσταθής. 4

Στο άλλο σηείο ισορροπίας (, ), =, αα3, α α aa3 a χρησιοποιώντας την αντικατάσταση σ = και έχοντας υπόψη ότι το + a σ > παίρνουε: a a a tr(a) = ( + σ ) a Α = aσ a det( A) σ σ = a a a a Για να είναι το ίχνος αρνητικό θα πρέπει < + σ ενώ η ορίζουσα είναι θετική εάν a a a >. Έτσι καταλήγουε στη σχέση a < < + σ η οποία πρέπει να πληρείται για a να είναι αυτό το σηείο ευσταθές. Για το τρίτο σηείο (, ), = aa3,, a a έχουε ότι: a a σ tr( A) = ( + σ ) a a Α = a a det( A) = σ a σ a a Όπως και για το δεύτερο σηείο έτσι και εδώ για να ισχύουν οι συνθήκες ευστάθειας aa3 a a θα πρέπει να ισχύει < < + σ, όπου σ =. a + a 4

6. Ανταγωνισός όταν t. Παίρνοντας την κανονική ορφή των εξισώσεων και θέτοντας = D= έχουε: = K + K + = K N N N + = KN + (), () >, () > Προσθέτοντας τις τρείς εξισώσεις Σ = + + = = Σ και ξαναγράφοντας το σύστηα έχουε Σ= Σ ( Σ ) Χ =Χ KN + Σ ( Σ ) Χ =Χ KN + Σ Σ(), () >, () > Προφανώς lim t Σ ( t) =. Επειδή η σύγκλιση είναι εκθετική πορούε να εξαλείψουε ια εταβλητή και να πάρουε το ακόλουθο απλοποιηένο σύστηα. K N ( ) = KN + ( ) = KN + () >, () >, + K N λ = Θέτοντας λ = και οι εξισώσεις γράφονται: = = λ + KN () >, () >, + [ λ ] + KN [ ] 4

Το σύστηα ας έχει τρία σηεία ισορροπίας : (, ) = (,), (, ) = ( λ,), ( ), = (, λ ). 3 3 Αν τα λ και λ είναι διαφορετικά εταξύ τους τότε δεν υπάρχει εσωτερικό σηείο ισορροπίας δηλαδή δεν υπάρχει σηείο ισορροπίας όταν οι τιές των δύο πληθυσών είναι θετικοί. Οι όνες περιπτώσεις που έχουν ενδιαφέρον είναι > και i < λ i < για i =,. ιαφορετικά ο αντίστοιχος πληθυσός ξεπλένεται από το hemostat χωρίς ανταγωνιστή. 6.. Γραικοποίηση γύρω από τα σηεία ισορροπίας Για το πρώτο σηείο ισορροπίας λαβάνουε τον Ιακωβιανό πίνακα: ( )( λ ) + K N Α= ( )( λ ) K + N Και οι δύο ιδιοτιές είναι θετικές άρα το σηείο (,) είναι ασταθές. Για το σηείο ( λ, ) ο πίνακας γίνεται: ( λ )( KN ) ( λ )( KN ) ( λ+ KN ) ( λ + KN ) Α= ( λ λ )( ) λ K + N Ισχύει ότι < λ < λκαι > το οποίο ας δίνει αρνητικές ιδιοτιές. Άρα το σηείο είναι ασυπτωτικά ευσταθές. Για το σηείο (, λ ) έχουε ( )( λ λ ) λ + KN Α= ( K )( N λ ) ( K )( N λ ) ( λ KN ) ( λ KN ) + + Ισχύει ότι το λ < άρα η ια ιδιοτιή είναι αρνητική και από την σχέση λ < λη δεύτερη ιδιοτιή είναι θετική. Το τρίτο σηείο ισορροπίας είναι συνεπώς ασταθές. 43

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Α. Η αρχή της γραικοποίησης - Ευστάθεια Η αρχή της γραικοποίησης στο πλαίσιο των διαφορικών εξισώσεων αποτελεί εφαρογή της αρχής του διαφορικού λογισού που προσεγγίζει ια περιοχή του σηείου ιας καπύλης ε την εφαπτοένη της. Θεωρούε το σύστηα y = f (y) (Α.) και υποθέτουε ότι το y είναι σηείο ισορροπίας δηλαδή f (y) =. Η γραικοποίηση του (Α.) στο σηείο y δίνεται εξ ορισού από το γραικό σύστηα f f (y) (y) x y y x x = f f x. (y) (y) y y A Στον πίνακα του συστήατος αναγνωρίζουε την Ιακωβιανή της f και το σύστηα πορεί να γραφτεί στην συπυκνωένα στη ορφή x = Df(y) x. (Α.) Το γραικό σύστηα (Α.) σε ορισένες περιπτώσεις δίνει πληροφορία για την ευστάθεια και τη συπεριφορά των λύσεων της (Α.) γύρω από το σηείο ισορροπίας y = y. Έχουε δύο συνθήκες οι οποίες πρέπει να πληρούνται για να υπάρχει ευστάθεια tr( A ) < και det( A ) >. Χαρακτηρισός σηείου ισορροπίας Το y λέγεται ευσταθές αν για κάθε ε > υπάρχει δ = δε ( ) τέτοιο ώστε y y < δ ϕ(t, y ) y < ε για όλα τα t. Το σηείο ισορροπίας y λέγεται ασυπτωτικά ευσταθές εάν επιπλέον lim ϕ(t, y ) = y. t Τέλος το σηείο ισορροπίας λέγεται ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. Γενικά αν ισχύει tr( A ) < και det( A ) > τότε το σηείο ισορροπίας είναι ευσταθές. 44

Β. Θεώρηα π-buchingham Ουσιαστικά σε κάθε πρόβληα έχουε τις παρακάτω υποθέσεις.. Μία ποσότητα u αποτελείται από n εταβλητές και παραέτρους (W, W,..., W n ) u = f (W, W,..., W ) (Β.) n όπου f ία άγνωστη συνάρτηση των (W, W,..., W n ).. Οι ποσότητες (u,w,w,...,w n ) πορούν να εκφραστούν συναρτήσει ορισένων θεελιωδών εγεθών L, L,..., L m. Στα περισσότερα προβλήατα χρησιοποιούε L =άζα, L =χρόνος, L 3 =ήκος. 3. Θεωρούε τυχαίο Z το οποίο αναπαρίσταται ε (u,w,w,...,w n ). Η διάσταση του Z, την οποία συβολίζουε ε [ Z ], πορεί να γραφεί συναρτήσει των θεελειωδών εγεθών ως [ ]... m Z = LL a L. (Β.) a a m Ο πίνακας διαστάσεων του Z είναι το διάνυσα στήλη a a a am = (Β.3) Μία ποσότητα Z είναι αδιάστατη αν και όνο αν [ Z ] = (όταν δηλαδή a = a =... = a m = ). Έστω b b i b bmi i i = το διάνυσα διαστάσεων του W, i =,,..., n και i B b b... b n b b... b... bm bm... bmn n = ο m n πίνακας διαστάσεων του προβλήατός ας. 45

4. Έστω για την ποσότητα Z επιλέξει ένα συγκεκριένο σύστηα ονάδων. Αυτό το σύστηα πορεί να αλλάξει. Κάθε θεελιώδες έγεθος L i έχει την ιδιότητα να αλλάζει ονάδες αν αυτό πολλαπλασιαστεί ε κατάλληλο συντελεστή αλλαγής ονάδων. Έτσι παίρνουε ένα έγεθος L i στο νέο σύστηα ονάδων. Με βάση αυτές τις υποθέσεις καταλήγουε στα εξής:. Η (Β.) πορεί να εκφραστεί από αδιάστατες εταβλητές.. Ο αριθός των αδιάστατων εταβλητών είναι k + = n+ r( Β ) όπου r( Β ) η τάξη του πίνακα Β. Ακριβώς k από αυτές τις αδιάστατες εταβλητές εξαρτώνται από τις ποσότητες (W, W,..., W n ). 3. Έστω ότι xi x i =, i=,,..., k. xni αντιπροσωπεύει τις k = n r( Β ) ανεξάρτητες ήκους λύσεις x του συστήατος Β x =. Το a a a =. an είναι ο πίνακας διαστάσεων του u και το y y y. yn = αντιπροσωπεύει ία λύση του συστήατος Β y = a. Τότε το (Β.) απλοποιείται στo π = g( π, π,..., πk ) όπου π, π ι είναι οι αδιάστατες εταβλητές y y yn π = uw W... W n π = W W W i = k. ι x i x i... x ni n,,,..., y y y Συγκεκριένα έχουε u = W W... W n g( π, π,..., π ). n Παράδειγα: Ως παράδειγα θα χρησιοποιήσουε το οντέλο.5 στην σελ.7. Πρώτα βρίσκουε τα γραικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσατα 46 k