ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος
Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος Επικεφαλίδα.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Περιεχόμενα Μαθήματος Επικεφαλίδα Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Τίτλος Κεφαλαίου Επικεφαλίδα Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.. Τίτλος Παραγράφου επικεφαλίδα Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης... Επικεφαλίδα. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Εισαγωγή κειμένου. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Χρήση Πινάκων Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Φωτογραφίες - Σχήματα.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.. Φωτογραφία ή σχήμα σε ολόκληρο το πλάτος της σελίδαςσφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.. Φωτογραφία σε μέρος της σελίδας παράλληλα με το κείμενοσφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Υπενθυμίσεις από την Γραμμική Άλγεβρα Έστω τώρα ο τετραγωνικός νν πίνακας Α. Εάν αφαιρέσουμε από κάθε στοιχείο της διαγωνίου του την μεταβλητή λ προκύπτει ο πίνακας Α λι με Ι τον μοναδιαίο στη διάσταση νν Η ορίζουσα του πίνακα Α λι είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση με μεταβλητή το λ. Πράγματι: d I d Η πολυωνυμική συνάρτηση πλ είναι ν-ου βαθμού και λέγεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α. Εφ όσον είναι ν-ου βαθμού η εξίσωση.. D[Α λι] = πλ = θα έχει ν ρίζες πραγματικές ή μιγαδικές τις λ λ λ ν. χαρακτηριστικές ρίζες ή ιδιοτιμές του πίνακα Α. Οι ρίζες αυτές λέγονται Η περίπτωση του πίνακα. Αρχικά θα μελετήσουμε αναλυτικότερα την περίπτωση του πίνακα. Ξεκινούμε υπολογίζοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα Α. ii
d d d{} όπου ονομάσαμε ίχνος του πίνακα Α το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του α +α. Παρατηρούμε πως το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα Α διάστασης είναι δεύτερου βαθμού όπως ειπώθηκε πιο πάνω. Οι δύο ρίζες του πλ έστω οι λ και λ είναι οι χαρακτηριστικές τιμές ιδιοτιμές του πίνακα Α. Αξίζει στη συνέχεια να προσεχθεί ο παρακάτω ορισμός: Ορισμός: Αντικαθιστώντας στον πίνακα την μία από τις δύο ιδιοτιμές έστω την λ δημιουργούμε το παρακάτω ομογενές σύστημα: το οποίο είναι αόριστο. Μία οποιαδήποτε από τις λύσεις του συστήματος αυτού λέγεται: ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Παράδειγμα: Να βρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα: 6 i Υπολογισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: ii Ιδιοτιμές: που είναι οι δύο τιμές του λ που μηδενίζουν το πλ και οι οποίες είναι πραγματικές ή μιγαδικές διότι επιλέγοντας για το λ την τιμή λ η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων [d{α-λι]} θα είναι ίση με το μηδέν οπότε το ομογενές σύστημα θα είναι αόριστο και θα έχει και άλλες λύσεις άπειρες πέραν της τετριμμένης μηδενικής. iii
iii Ιδιοδιανύσματα: α Εάν λ=-. Τότε έχουμε: δηλαδή στο σύστημα: που οδηγεί στο ομογενές σύστημα: μια και η δεύτερη γραμμή είναι το διπλάσιο της πρώτης. Άρα θέτοντας =κ έχουμε την γενική έκφραση του ιδιοδιανύσματος του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ=-. β Εάν λ=7. Τότε έχουμε: δηλαδή στο σύστημα: που οδηγεί στο ομογενές σύστημα: μια και η πρώτη στήλη είναι το αρνητικό διπλάσιο της δεύτερης. Άρα θέτοντας =κ έχουμε την γενική έκφραση του ιδιοδιανύσματος του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ=7.. Γενικά για τα Συστήματα Διαφορικών εξισώσεων Θα ασχοληθούμε με συστήματα δύο δ.ε. με δύο άγνωστες συναρτήσεις την και της μορφής: ή y y y Ομογενή και iv
ή y y y Μη Ομογενή όπου ij είναι σταθερές πραγματικές ή μιγαδικές. Η γενική λύση ενός τέτοιου συστήματος είναι της μορφής: `Στο σύστημα αυτό οι αρχικές συνθήκες είναι της μορφής:. Η μέθοδος της απαλοιφής Θα περιγράψουμε την μέθοδο αυτή με δύο παραδείγματα. Στο πρώτο η λύση είναι προφανής και δεν απαιτεί καμιά μέθοδο ιδιαίτερη. Στο ο όμως περιγράφεται η μέθοδος της απαλοιφής. ο Παράδειγμα: Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων με αγνώστους τις συναρτήσεις και y. y y Παρατηρούμε πως το σύστημα αποτελείται από εξισώσεις που η κάθε μια περιέχει μόνο τη μία από τις δύο άγνωστες συναρτήσεις και για το λόγο αυτό αποκαλείται μη συζευγμένο. Ουσιαστικά αποτελείται από ανεξάρτητες μεταξύ τους διαφορικές εξισώσεις οι οποίες προφανώς και λύνονται ανεξάρτητα: α Λύση της. που είναι γραμμική με P=- και Q=- Να θυμίσουμε πως η γραμμική δ.ε. ης τάξης είναι της μορφής: P Q της οποίας η γενική λύση είναι η: Q d P P d d v
P d d P d Q d d με γενική λύση την: β Λύση της y y. y y που είναι γραμμική με P= και Q= P d d P d Q d d με γενική λύση την: y Άρα η γενική λύση του συστήματος: y ο Παράδειγμα: Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων με αγνώστους τις συναρτήσεις και y. y y με αρχικές συνθήκες = και y=- και ψάχνουμε τις συναρτήσεις και y όπου οι αυθαίρετες σταθερές είναι ίδιες και στην και στην y. Στο παράδειγμα αυτό παρατηρούμε πως η κάθε δ.ε. περιέχει και τις δύο άγνωστες συναρτήσεις γι αυτό λέγεται συζευγμένο! Μια από τις μεθόδους λύσης τέτοιων συστημάτων είναι η μέθοδος της απαλοιφής: Παραγωγίζουμε ως προς τη μία από τις δύο και αντικαθιστούμε την συνάρτηση της ης εξίσωσης στην πρώτη. y y y y Με τον τρόπο αυτό καταφέραμε να καταλήξουμε σε μία διαφορική εξίσωση ης τάξης ως προς μία μόνο συνάρτηση εδώ την η οποία είναι μη ομογενής και λύνεται κατά τα γνωστά vi
Λύση της. Αρχικά λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή: της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η += =±i οπότε η γενική της λύση είναι η: o B B o ή D D Στη συνέχεια ψάχνουμε μια μερική λύση της πλήρους δ.ε.: υπό τη μορφή του τυχαίου πρωτοβαθμίου πολυωνύμου: μ = κ+λ το οποίο αντικαθιστούμε στην πλήρη δ.ε. και υπολογίζουμε τα κ και λ: οπότε μ = κ + λ και η γενική λύση της πλήρους: μ = κ μ = D o D D Αντικαθιστώντας τώρα τη λύση αυτή στην η εξίσωση του συστήματος έχουμε: yd D D Έχουμε λοιπόν την γενική λύση του συστήματος: D D y D D στην οποία αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες = και y=- υπολογίζοντας την τιμή των αυθαίρετων σταθερών: D απ όπου συνάγεται πως φ=-π/ D απ όπου συνάγεται πως D= vii
. Η μέθοδος των πινάκων Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τη γενική λύση του ομογενούς συστήματος: Σ. Για το λόγο αυτό αναζητούμε μερικές λύσεις της μορφής: αντικαθιστούμε στο Σ.: τις οποίες Παρατηρήσεις:. Το πιο πάνω ομογενές γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα και θα έχει λύσεις διάφορες της μηδενικής μόνον όταν το σύστημα είναι αόριστο. Αλλιώς θα είχαμε σαν λύση την = και = η οποία επαληθεύει το Σ. αλλά δεν έχει ενδιαφέρον. Όταν δηλαδή θα ισχύει: d d I. Επομένως ο συντελεστής του εκθέτη [του ] είναι η κάθε μία από τις δύο ιδιοτιμές του πίνακα Α ενώ οι συντελεστές της κάθε λύσης είναι τα ιδιοδιανύσματα του Α.. Για κάθε μία τιμή του η πρώτη ιδιοτιμή και η δεύτερη ιδιοτιμή αντιστοιχεί και ένα ιδιοδιάνυσμα [έστω Κ Κ και Κ Κ ]. Ονομάζουμε λοιπόν θεμελιώδες σύστημα λύσεων του ομογενούς συστήματος Σ. τις συναρτήσεις: εφόσον οι αυτές συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι συναρτήσεις αυτές είναι γραμμικά ανεξάρτητες όταν η ορίζουσα του Wonsy δεν είναι εκ ταυτότητος μηδέν: όπου η παρένθεση δείχνει πως πρόκειται για τις συντεταγμένες του ιδιοδιανύσματος που απορρέει από την ιδιοτιμή και αντίστοιχα η παρένθεση δείχνει πως πρόκειται για τις συντεταγμένες του ιδιοδιανύσματος που απορρέει από την ιδιοτιμή. viii
i d d W. Η τελευταία ορίζουσα είναι η ορίζουσα του πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων που είναι γραμμικά ανεξάρτητα και για το λόγο αυτό είναι πράγματι διάφορη του μηδενός. 6. Η γενική λύση του συστήματος Σ. δίνεται από τις σχέσεις: 7. Τέλος αντικαθιστώντας στην ανωτέρω γενική λύση τις αρχικές συνθήκες υπολογίζουμε την τιμή των αυθαίρετων σταθερών και καθορίζοντας την μερική λύση που αντιστοιχεί στις δοσμένες αρχικές συνθήκες. Γενικό Συμπέρασμα: Όλα τα παραπάνω μπορούν να γραφούν με την βοήθεια πινάκων διευκολύνοντας στην συστηματοποίηση της επίλυσης των ομογενών συστημάτων δ.ε. ης τάξης. Έστω το επόμενο ομογενές σύστημα δ.ε.: Σ.. το οποίο μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: με τη βοήθεια των πινάκων: Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο π και τις ιδιοτιμές του πίνακα Α: d d I Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον πίνακα Ρ του οποίου οι στήλες είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α: p p p p P
Η γενική λύση δίνεται από την επόμενη σχέση: p p p p * * ο Παράδειγμα: Έστω το επόμενο ομογενές σύστημα δ.ε.: Σ. 6 Να βρεθεί η γενική του λύση καθώς και η μερική του λύση που αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες: Λύση: Το Σ. μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: με τη βοήθεια των πινάκων: 6 Αναζητούμε λοιπόν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α: d 6 d I και τα ιδιοδιανύσματά του: Για = -: 6 I από το οποίο προκύπτει το αόριστο ομογενές σύστημα: 6 Αντικαθιστώντας το = υπολογίζω την τιμή του : έχοντας έτσι το ιδιοδιάνυσμα: ή για = Για = : 6 I από το οποίο προκύπτει το αόριστο ομογενές σύστημα: - 6 - Αντικαθιστώντας το = υπολογίζω την τιμή του : έχοντας έτσι το ιδιοδιάνυσμα: ή
i Επομένως η πρώτη μερική λύση του Σ. που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή =- είναι η: Επομένως η δεύτερη μερική λύση του Σ. που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή = είναι η: Έχουμε λοιπόν τις λύσεις: που αποτελούν θεμελιώδες σύστημα λύσεων διότι η ορίζουσα του Wonsy: 7 d Επομένως η γενική λύση του Σ.: * Δηλαδή: Αντικαθιστώντας στη συνέχεια στην πιο πάνω γενική λύση τις αρχικές συνθήκες: έχουμε: 7 + -= - + = οπότε 7
ii ο Παράδειγμα: Να βρεθεί η γενική του λύση του ομογενούς συστήματος δ.ε.: Σ. Λύση: Το Σ. μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: με τη βοήθεια των πινάκων: Αναζητούμε λοιπόν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α: ή I 9 6 d d και τα ιδιοδιανύσματά του: I = + - = + - απ όπου προκύπτει πως = δηλαδή το ιδιοδιάνυσμα:. Επειδή δεν έχουμε δεύτερο ιδιοδιάνυσμα αναζητούμε μια λύση του Σ. υπό τη μορφή: j = j + j την οποία αντικαθιστούμε στο Σ.: απ' όπου προκύπτει: δηλαδή: δηλαδή: = + και = + από το οποίο προκύπτει το αόριστο ομογενές σύστημα:
iii ό ό Επομένως φθάνουμε στο θεμελιώδες σύστημα λύσεων: που δίνει την γενική λύση: * Δηλαδή: ο Παράδειγμα: Έστω το επόμενο ομογενές σύστημα δ.ε.: Σ. Να βρεθεί η γενική του λύση καθώς και η μερική του λύση που αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες: Λύση: Το Σ. μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή: με τη βοήθεια των πινάκων: Αναζητούμε λοιπόν τις ιδιοτιμές του πίνακα Α: d d I i και τα ιδιοδιανύσματά του:
i Για i i i I i από το οποίο προκύπτει το αόριστο ομογενές σύστημα: --i - = +-i = Θέτοντας = έχουμε = --i δηλαδή το ιδιοδιάνυσμα: i. ii Για i i i I i από το οποίο προκύπτει το αόριστο ομογενές σύστημα: - i - = + i = Θέτοντας = έχουμε = -+i δηλαδή το ιδιοδιάνυσμα: i. Ως γνωστόν από τον τύπο του Eul ισχύει: οπότε ισχύει η σχέση: i i i i i i i i Επομένως η γενική λύση του Σ.: i * i i i Δηλαδή: i i i i i i ή μετά από πράξεις χωρίζοντας το πραγματικό από το φανταστικό μέρος: i i Τέλος θέτοντας τις σταθερές: Α = + και Β = i - έχουμε την γενική λύση: iv
B B B B Αντικαθιστώντας στη συνέχεια τις αρχικές συνθήκες γενική λύση έχουμε: στη B B απ' όπου προκύπτει πως Α= και Β= οπότε η μερική λύση: v