Αβαρής ράβδος πο στο άκρο της έχει µικρό σώµα ή δίσκο ελεύθερο ή δίσκο σταθερό Τρεις παρόµοιες ασκήσεις πο εστιάζον στη διαφορετική σµπεριφορά λικού σηµείο ή σώµατος πο κινείται µεταφορικά και σώµατος πο κάνει στροφική κίνηση. ι ασκήσεις ατές περιέχονται και στην ανάρτηση «Θεµελιώδης νόµος της Μηχανικής, πλαίσιο παραδείγµατα», αλλά νοµίζ ότι έχει ενδιαφέρον να τις δούµε και µόνες τος. ( ο =0) Σ ( ο =0) Κ Σ 3 ( ο =0) Κ 1. Η αβαρής λεπτή ράβδος το διπλανού σχήµατος έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται χρίς τριβές γύρ από σταθερό οριζόντιο άξονα πο περνάει από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της. Στο άλλο της άκρο είναι στερεµένο µικρό σφαιρίδιο µάζας m=5kg. Το σύστηµα ισορροπεί αρχικά στη θέση µέγιστης δναµικής ενέργειας, αλλά αρχίζει να κινείται λόγ αστάθειας και το σφαιρίδιο αποκτά ταχύτητα µέτρο = glτη στιγµή πο η ράβδος διέρχεται από την οριζόντια θέση. ( ο =0) i) Να δείξετε ότι οι δνάµεις πο δέχεται η αβαρής ράβδος στα δύο άκρα της είναι κάθε στιγµή αντίθετες και κατά τη διεύθνση το διαµήκη άξονά της. ii) Να σχεδιάσετε τις δνάµεις πο ασκούνται στα δύο σώµατα το σστήµατος, όταν η ράβδος περνάει από την οριζόντια θέση, και να πολογίσετε τα µέτρα τος, καθώς και την επιτάχνση το σφαιριδίο. iii) Να επαναλάβετε το προηγούµενο ερώτηµα (ii) θερώντας όµς ότι το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο µε µηδενική ταχύτητα από τη θέση ατή. ΑΑΝΤΗΣΗ: i) Υποθέτοµε ότι η (λεπτή) ράβδος κάνει επίπεδη κίνηση σε επίπεδο (Ε) πο την περιέχει. Έστ ακόµα ότι δέχεται στα δύο άκρα της δνάµεις F 1 και F οµοεπίπεδες µε ατήν. (Ε) F y F F x Θερούµε ότι η µάζα της ράβδο είναι σχεδόν µηδενική (M 0). Εποµένς, και για το βάρος της, αλλά και για τη ροπή αδράνειάς της ς προς κάθε άξονα κάθετο στο επίπεδο (Ε), θα ισχύει το ίδιο. Αναλύοµε σε άξονες x, y το επιπέδο, παράλληλο και κάθετο αντίστοιχα στη ράβδο. Από τος νόµος κίνησης έχοµε F 1x F 1 F 1y + Σελίδα 1 (από 6)
(αλγεβρικά): Για την κίνηση το κέντρο µάζας της ράβδο, ΣF x = M α x 0 F 1x + F x 0 F 1x F x (1) ΣF y = M α y 0 F 1y + F y 0 F 1y F y () Για την περιστροφή της ς προς σταθερό άξονα πο διέρχεται από κάποιο σηµείο της ή, αν δεν πάρχει σταθερός άξονας, ς προς άξονα πο διέρχεται από το κέντρο µάζας της, Στ = Ι 0 (3) Από την (1) βλέποµε ότι οι δύο σγγραµµικές σνιστώσες F 1x και F x είναι αντίθετες, εποµένς η σνολική ροπή τος ς προς οποιοδήποτε σηµείο είναι µηδενική. Από την () φαίνεται όµς ότι οι άλλες δύο σνιστώσες F 1y και F y αποτελούν ζεύγος, µε ροπή µέτρο τ = F L, όπο F = F 1y = F y το κοινό µέτρο τος. Η (3) γίνεται εποµένς: F L 0 F = F 1y = F y 0 (3α) Για θερητικά αβαρή ράβδο τώρα, οι σχέσεις (1), () και (3α) γίνονται ακριβείς ισότητες, µε αποτέλεσµα οι δνάµεις F 1 και F να σµπίπτον µε τις αντίστοιχες σνιστώσες τος στον x άξονα, να είναι δηλαδή αντίθετες και σγγραµµικές, κατά τη διεύθνση το διαµήκη άξονα της ράβδο. ii) Στο προηγούµενο ερώτηµα (i) χρησιµοποιήσαµε τον θεµελιώδη νόµο για την κίνηση της ράβδο και οδηγηθήκαµε στο σµπέρασµα ότι στα άκρα της µπορούν να ασκούνται µόνο αντίθετες και κατά τον διαµήκη άξονά της δνάµεις. F F α κ α F θ α ε Στο σφαιρίδιο (πο το θερούµε λικό σηµείο) ασκούνται το βάρος και, σύµφνα µε τα προηγούµενα, µια οριζόντια δύναµη F από τη ράβδο πο αποτελεί την αντίδραση της F πο δέχεται η ράβδος από το Σ1. Στην αβαρή ράβδο ασκούνται οι οριζόντιες δνάµεις F από το και F από τον άξονα περιστροφής. Για τα µέτρα τν τριών οριζόντιν δνάµεν ισχύει προφανώς: F = F = F = F Η δύναµη F παίζει ρόλο κεντροµόλο και το έχει κεντροµόλο επιτάχνση: α ( gl) g = = (4) L L κ = Από τον ο νόµο για την κίνηση το σφαιριδίο έχοµε: ΣF y = m α ε = m α ε α ε = g (5) και ΣF x = m α κ F = m α κ _F = = 100 N_ Τέλος µέσ τν (4) και (5), βρίσκοµε το µέτρο και την κατεύθνση της επιτάχνσης το : ακ _α = α + α = g 5,4 m/s²_ και εφθ 0,5 ε κ = = _θ 63º_ αε Σελίδα (από 6)
iii) Αν τώρα ποθέσοµε ότι η ράβδος ξεκινάει από την οριζόντια θέση χρίς αρχική ταχύτητα, τότε α κ = 0 οπότε από τον ο νόµο για την κίνηση το σφαιριδίο έχοµε: ΣF x = m α κ = 0 _F = 0_ και ΣF y = m α ε = m α ε α ε = g ηλαδή η αρχική το επιτάχνση είναι µόνο επιτρόχια και ίση µε g. ΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι) αρατηρείστε ότι η αβαρής ράβδος «αναγκάζεται» να ασκήσει δύναµη εξαιτίας της ταχύτητας το σφαιριδίο, σγκρατώντας το έτσι στην κκλική το τροχιά. Στην περίπτση (iii) πο το σύστηµα αφήνεται από την οριζόντια θέση η ράβδος δεν ασκεί δύναµη. ΙI) Η σχέση = gl πο δίνεται στην εκφώνηση για το µέτρο της ταχύτητας το σφαιριδίο, όταν η ράβδος γίνεται οριζόντια, έχει προκύψει προφανώς από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας, και τη µηδενική µάζα της ράβδο: Κ τελ = U αρχ ½ m ² = L = gl Η σχέση ατή είναι εκφλισµένη µορφή (λόγ της µηδενικής µάζας της ράβδο) της γενικότερης σχέσης πο προκύπτει από τη διατήρηση της µηχανικής ενέργειας κατά την κίνηση το στερεού «ράβδος σφαιρίδιο»: Αν θερήσοµε τα δύο ατά σώµατα ς ένα ενιαίο στερεό, τότε το κέντρο µάζας το βρίσκεται σε απόσταση L από τον άξονα, σµπίπτει δηλαδή µε το σφαιρίδιο λικό σηµείο. Κατά τη στροφική κίνηση ενός τέτοιο στερεού ς προς ισχύει γενικά: Κ τελ = U αρχ ½ I (O) ² = gl ½ (⅓ ΜL² + m L²) (/L)² = gl και αν Μ 0 τότε προκύπτει: ½ m ² = gl Αν πάλι θερήσοµε την κίνηση το στερεού ς σύνθετη, µεταφορική στροφική ς προς CM, τότε ισχύει γενικά: Κ τελ = U αρχ ½ I (CM) ² + ½ (M+m) CM² = L και αν Μ 0 το CM σµπίπτει όπς είπαµε µε το λικό σηµείο. Τότε I (CM) = 0 και CM = οπότε προκύπτει πάλι: ½ m ² = gl ΙΙΙ) Στο ερώτηµα (ii) θα µπορούσαµε εναλλακτικά να απαντήσοµε µελετώντας την κίνηση το ενιαίο στερεού «ράβδος σφαιρίδιο»: Η κίνηση ατή είναι στροφική ς προς, εποµένς: Στ (O) = Ι (O) L = (⅓ ΜL² + m L²) 0 M = g/l (6) Ισχύει επίσης: = L d/dt = L d/dt α ε = L F o F ox F oy α κ α (6) α ε = g (7) θ α ε Και από την κίνηση το CM το στερεού, πο για Μ 0 σµπίπτει µε το : Σελίδα 3 (από 6)
ΣF y = m α ε (7) F oy = m g _F oy = 0_ ΣF x = m α κ F ox = m α κ κλπ. (4) _F ox = = 100 N_. Η αβαρής λεπτή ράβδος το διπλανού σχήµατος έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται χρίς τριβές γύρ από σταθερό οριζόντιο άξονα πο περνάει από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της. Στο άλλο της άκρο Κ είναι στερεµένος µε κατάλληλο µηχανισµό λεπτός οµογενής δίσκος Σ µάζας m=5kg και ακτίνας R, ώστε ο άξονάς το να διέρχεται από το Κ, να µπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρ από ατόν και το επίπεδό το να σµπίπτει µε το επίπεδο περιστροφής της ράβδο. Το σύστηµα ισορροπεί αρχικά στην πάν ακραία θέση, αλλά αρχίζει να κινείται λόγ αστάθειας. Να σχεδιάσετε τις δνάµεις πο ασκούνται στα δύο σώµατα το σστήµατος, όταν η ράβδος περνάει από την οριζόντια θέση, και να πολογίσετε τα µέτρα τος, καθώς και τη γνιακή επιτάχνση το σστήµατος στην ίδια θέση. ΑΑΝΤΗΣΗ: Σ ( ο =0) Κ δίσκος Σ µπορεί να δεχτεί µόνο δνάµεις πο διέρχονται από το κέντρο µάζας το. Εφόσον είναι αρχικά ακίνητος, µπορεί να εκτελέσει µόνο µεταφορική κίνηση. Σνεπώς µπορούµε αφαιρετικά να τον θερήσοµε ς λικό σηµείο ίδιας µάζας προσκολληµένο στο άκρο Κ της ράβδο. F F F Σ Το πρόβληµα ανάγεται λοιπόν στο προηγούµενο. 3. Η αβαρής λεπτή ράβδος το διπλανού σχήµατος έχει µήκος L=m και µπορεί να στρέφεται χρίς τριβές γύρ από σταθερό οριζόντιο άξονα πο περνάει από το ένα της άκρο και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της. Στο άλλο της άκρο Κ είναι στερεµένος µε κατάλληλο µηχανισµό λεπτός οµογενής δίσκος Σ µάζας m=5kg και ακτίνας R=0,4m, ώστε ο άξονάς το να διέρχεται από το Κ, να µπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρ από ατόν και το επίπεδό το να σµπίπτει µε το επίπεδο περιστροφής της ράβδο. Σ 3 ( ο =0) Κ Τοποθετούµε στη ράβδο πείρο (ή πίρο), έτσι ώστε να µπορεί να ασκεί στο δίσκο δύναµη εφαπτοµένη στην περιφέρειά το, και να τον εµποδίζει να στρέφεται ς προς τη ράβδο. Σελίδα 4 (από 6)
Το σύστηµα ισορροπεί αρχικά στην ανώτερη θέση, αλλά αρχίζει να κινείται λόγ αστάθειας. i) Να πολογίσετε τη γνιακή επιτάχνση το σστήµατος τη στιγµή πο η ράβδος περνάει από την οριζόντια θέση. ii) Στην ίδια θέση, να σχεδιάσετε τις δνάµεις πο ασκούνται στα δύο σώµατα το σστήµατος και να πολογίσετε τα µέτρα τος. ΑΑΝΤΗΣΗ: i) Χρησιµοποιούµε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ς προς στη θέση όπο η ράβδος είναι οριζόντια. Το σύστηµά µας αποτελείται από δύο σώµατα πο στρέφονται µε κοινή γνιακή ταχύτητα και γνιακή επιτάχνση αφού αποτελούν ένα ενιαίο στερεό. Η ροπή αδράνειας ς προς το σταθερό άξονα είναι: Ι (O) = Ι ράβδο + Ι δίσκο = (⅓ ΜL²) + (½ m R² + m L²) και για τη στροφική κίνηση το στερεού: 0 M Ι (O) = m (½ R² + L²) Στ (O) = Ι (O) L = m (½ R²+L²) _ = g L R + L = 4,90 r/s²_ ii) Υπολογίζοµε πρώτα τη γνιακή ταχύτητα στην οριζόντια θέση: U τελ + Κ τελ = U αρχ + Κ αρχ L = ½ Ι (O) ² A x A y Κ Σ 3 = 4 g L R + L = 3,13 r/s Για την κίνηση το κέντρο µάζας το στερεού (πο σµπίπτει µε το Κ το δίσκο) ισχύει: A x A y F 1y F F 1x F 1x F F 1y Σ 3 ΣF x = m α κ Α x = m ² L Α x = 98 N ΣF y = m α cm A y = m L Α y = 0,98 N Άρα η δύναµη πο ασκεί ο άξονας έχει µέτρο: A= A x + A y 98 N Στη σνέχεια µελετάµε ξεχριστά την κίνηση της (αβαρούς) ράβδο: Στ (O) = 0 F 1y L = F (L R) F 1y = 0,8 F ΣF x = 0 _F 1x = Α x = 98 Ν_ ΣF y = 0 A y + F 1y F = 0 και µε αντικατάσταση F 1y = 3,9 Ν F = 0,8 F 1y Σελίδα 5 (από 6) 0, F = A y _F = 4,9 Ν_ πότε οι δνάµεις πο ασκεί το ένα σώµα στο άλλο στα σηµεία Κ και έχον αντίστοιχα µέτρα:
1 1x 1y = F = F + F 98,01 N και _F = 4,9 Ν_ Θα µπορούσαµε εναλλακτικά να µελετήσοµε την κίνηση το δίσκο αντί της ράβδο: Στ (Κ) = Ι (Κ) F R = ½ m R² F = ½ m R = 4,9 Ν ΣF x = m α κ F 1x = m ² L = 98 N ΣF y = m α cm + F 1y F = m L F 1y = 3,9 Ν κλπ. ιονύσης Μητρόπολος Σελίδα 6 (από 6)