Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. Κεφάλαιο 3 ριθμός σελίδας 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και ποιες 35 κατηγορίες τριγώνων ορίζονται από αυτά ;. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου ; Να 35 36 δώσετε τους αντίστοιχους ορισμούς. 3. Πότε δυο τρίγωνα είναι μεταξύ τους ίσα ; 36 4. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. 36, 39 5. Να δείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο : Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες 37 Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. 6. Να δείξετε ότι οι γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες 37 7. Να δείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός 37 ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 8. Να δείξετε ότι αν δυο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι 37 χορδές τους είναι ίσες. 9. Να δείξετε ότι η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που 40 αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. 10. Να δείξετε ότι κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός 40 τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. 11. Να δείξετε ότι αν οι χορδές δυο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι 41 ίσα. 1. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των ορθογωνίων 44, 45 τριγώνων. 13. Να δείξετε ότι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της 45 κορυφής. 14. Να δείξετε ότι η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του, διχοτομεί τη χορδή και το 45 αντίστοιχο τόξο της. 15. Να δείξετε ότι δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο 46 αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. 16. Να δείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό 46 σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. 17. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις μιας ευθείας και ενός κύκλου ; 60 61 18. Πόσα κοινά σημεία μπορεί να έχουν μια ευθεία και ένας 61 κύκλος ; 19. Να δείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που άγονται 6 από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. 0. Ποιες είναι οι σχετικές θέσεις δυο κύκλων ; 63 64 1. Τι ονομάζεται διάκεντρος δυο κύκλων ; 63. Τι ονομάζεται κοινή χορδή δυο τεμνόμενων κύκλων ; 64 3. Να δείξετε ότι η διάκεντρος δυο τεμνόμενων κύκλων είναι 64 μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους 1
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 4. Πότε μια ευθεία ονομάζεται κοινή εξωτερική εφαπτομένη και πότε κοινή εσωτερική εφαπτομένη δυο κύκλων ; ριθμός σελίδας 65(σχόλιο) Κεφάλαιο 4 ριθμός σελίδας 1. Πότε δυο ευθείες ονομάζονται παράλληλες ; 75. Να δείξετε ότι αν δυο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι 75 76 παράλληλες. 3. Να δείξετε ότι δυο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε 76 διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. 4. Να δείξετε ότι αν δυο διαφορετικές ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες προς μια τρίτη ευθεία ε τότε είναι και μεταξύ 77 τους παράλληλες. ηλαδή αν ε 1 // ε και ε // ε, τότε ε 1 // ε. 5. Να δείξετε ότι αν δυο ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες και μια τρίτη ευθεία ε τέμνει την μια από αυτές, τότε η ε θα τέμνει 77 και την άλλη. 6. ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 78 ορθές, τότε ποια είναι η σχετική τους θέση ; 7. Τι συμπεραίνετε για δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους 79 παράλληλες ; 8. Ποιος είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου και ποιο 80 είναι το περίκεντρο του τριγώνου ; 9. Ποιος είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου και ποιο 80 είναι το έγκεντρο του τριγώνου ; 10. Να δείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 83 ορθές. 11. Να δείξετε ότι : Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες τους ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι 60 0. 83 84 1. Τι συμπεραίνετε για δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες ; 84 13. Πόσο είναι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν γώνου ; 85
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου Κεφάλαιο 5 ριθμός σελίδας 1. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται παραλληλόγραμμο ; 97. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου. 97 98 3. Ποιο σημείο ονομάζεται κέντρο του παραλληλογράμμου ; 98 4. Ποιο είναι το ύψος και ποιες οι βάσεις ενός παραλληλογράμμου ; 98 5. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο παραλληλογράμμο. 98 99 6. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται ορθογώνιο ; 100 7. Τι γνωρίζετε για τις γωνίες ενός ορθογωνίου ; 100 8. Να δείξετε ότι οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες. 100 101 9. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ορθογωνίο. 101 10. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται ρόμβος ; 101 11. Τι γνωρίζετε για τις πλευρές ενός ρόμβου ; 101 1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες του ρόμβου. 101 13. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο ρόμβος. 10 14. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται τετράγωνο ; 10 15. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του τετραγώνου. 10 16. Να διατυπώσετε τα κριτήρια για να είναι ένα τετράπλευρο τετράγωνο. 10 103 17. Να δείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη 104 πλευρά και ίσο με το μισό της. 18. Να δείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η 104 105 ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. 19. Να δείξετε ότι αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα 105 και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. 0. Ποια ευθεία ονομάζεται μεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών ; 106 1. Ποιο είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου και ποια είναι η χαρακτηριστική του ιδιότητα ; 107. Ποιο είναι το ορθόκεντρο ενός τριγώνου ; 108 3. Να δείξετε ότι η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το 109 μισό της υποτείνουσας. 4. Να δείξετε ότι αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο 109 είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. 5. Να δείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι ίση με 30 0, τότε η απέναντι πλευρά του είναι ίση με το μισό 110 της υποτείνουσας και αντίστροφα. 6. Ποιο τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο ; 11 7. Ποιες είναι οι βάσεις, ποιο το ύψος και ποια η διάμεσος ενός 11 τραπεζίου ; 8. Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. 11 3
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ριθμός σελίδας 9. Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που τα συνδέει είναι 113 παράλληλο με τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά τους. 30. Ποιο τραπέζιο ονομάζεται ισοσκελές ; 113 31. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τις ιδιότητες του 113 ισοσκελούς τραπεζίου. 3. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ώστε ένα τραπέζιο να είναι 114 ισοσκελές. Κεφάλαιο 6 ριθμός σελίδας 1. Ποια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία σε ένα κύκλο ; 13. Ποιο τόξο ονομάζεται αντίστοιχο τόξο μιας εγγεγραμμένης γωνίας σε ένα κύκλο ; 13 3. Πότε λέμε ότι μια εγγεγραμμένη γωνία σε ένα κύκλο βαίνει σε ένα τόξο ; 13 4. Πότε μία γωνία ονομάζεται γωνία χορδής κι εφαπτομένης ; 13 5. Ποια σχέση έχει κάθε εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη γωνία ενός κύκλου που βαίνει στο ίδιο τόξο ; 13 6. Τι είδους γωνία είναι κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο ; 14 7. Τι σχέση έχουν οι εγγεγραμμένες γωνίες σε ένα κύκλο που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ; 14 8. Ποια η σχέση μιας γωνίας χορδής κι εφαπτομένης με μία εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου που βαίνει στο τόξο της 14 χορδής ; 9. Πότε λέμε ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε ένα κύκλο ; Πως ονομάζεται ο κύκλος αυτός για το τετράπλευρο ; 130 10. Κάθε εξωτερική γωνία ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με ποια γωνία του τετραπλεύρου είναι πάντοτε ίση ; 131 11. Πότε λέμε ότι ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ; 131 1. Να γράψετε τα κριτήρια με τα οποία ένα τετράπλευρο χαρακτηρίζεται εγγράψιμο σε κύκλο. 131 4
5 Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( β μέρος ) Ερωτήσεις Σωστού Λάθους. Να σημειώσετε δίπλα σε κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω αν είναι Σωστή ή Λάθος. Σωστό Λάθος 1. ύο τρίγωνα που έχουν μεταξύ τους δύο πλευρές και μία οποιαδήποτε γωνία ίση, είναι μεταξύ τους ίσα.. ύο τρίγωνα που έχουν μεταξύ τους μία πλευρά και δύο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες, μία προς μία, είναι μεταξύ τους ίσα. 3. ν για τρείς ευθείες ε 1, ε, ε 3 είναι ε 1 // ε και ε 3 ε 1, τότε ε 3 ε. 4. ύο γωνίες με πλευρές παράλληλες, μία προς μία, είναι μεταξύ τους ίσες. 5. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο κάθε διάμεσός του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 6. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει μία οξεία γωνία ίση με 30 0,η απέναντι κάθετη είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 7. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, όλα τα ύψη είναι ταυτόχρονα και διχοτόμοι. 8. ν σε ένα τρίγωνο μία διάμεσός του είναι ταυτόχρονα και ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 9. Στο παραλληλόγραμμο οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους. 10. Στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 11. Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο όταν οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. 1. Όταν δύο απέναντι πλευρές ενός κυρτού τετραπλεύρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε αυτό είναι παραλληλόγραμμο. 13. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο και ίσο προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου.
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 14. ν από το μέσο μίας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσον της τρίτης πλευράς 15. Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου απέχει από κάθε κορυφή του απόσταση ίση με τα 3 του αντίστοιχου ύψους. Σωστό Λάθος 16. Το βαρύκεντρο ενός τριγώνου απέχει από το μέσον κάθε πλευράς του απόσταση ίση με το 1 της αντίστοιχης 3 διαμέσου. 17. Το τετράπλευρο που έχει τις γωνίες του ίσες είναι ορθογώνιο. 18. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου τέμνονται κάθετα. 19. Ρόμβος είναι το τετράπλευρο που έχει ίσες πλευρές. 0. Οι διαγώνιες του ρόμβου είναι μεταξύ τους ίσες. 1. Όταν σε ένα παραλληλόγραμμο μία διαγώνιός του διχοτομεί μία γωνία του, αυτό είναι τετράγωνο.. Όταν ένα παραλληλόγραμμο έχει μία γωνία ορθή και κάθετες διαγώνιες, τότε είναι τετράγωνο. 3. Οι απέναντι πλευρές του τραπεζίου είναι παράλληλες. 4. Στο τραπέζιο υπάρχουν πλευρές που είναι παράλληλες. 5. Οι διαγώνιοι κάθε παραλληλόγραμμου είναι ίσες. 6. Ένα τετράγωνο είναι πάντα ρόμβος. 7. Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι κάθετη προς τις βάσεις του. 8. Ένα τραπέζιο δεν μπορεί να έχει δύο ορθές γωνίες. 9. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το διπλάσιο της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο με αυτήν. 30. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 6
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 31. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. 3. Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με τη επίκεντρη που βαίνει στο τόξο της χορδής. 33. Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 34. Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές του υπό ίσες γωνίες. 35. Όταν δύο οποιεσδήποτε γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι παραπληρωματικές, τότε αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Σωστό Λάθος 36. ίνεται το ισοσκελές τρίγωνο και το μέσον της βάσης. πό το φέρνουμε Ε και Ζ. B Ε A Ζ ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Ε = Ζ (τρίγωνα). Ε = Ζ 3. Ε < Ζ 4. Ζ > Ε 5. ΕΖ 37. ίνεται τρίγωνο. Στην προέκταση της προς το παίρνουμε τμήμα = και στην προέκταση της προς το παίρνουμε τμήμα Ε =. Έστω Μ το μέσον του και Ν το σημείο τομής της Μ με την Ε. Ε Ν Μ ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1.. Οι, Ε τέμνονται 3. Μ = Ν 4. ΕΝ > Ν 5. = Ε 7
38. Στο παρακάτω σχήμα είναι χ // ψ, Μ =, Μ =, μέσον του. Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 0 ˆ 90 και Ν το ω φ χ Μ θ Ν ψ ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Μ Μ. ΜΝ = 3. ˆ ˆ 90 0 4. ˆ ˆ 39. ίνεται τρίγωνο με = και ˆ ˆ. Φέρνουμε τη διχοτόμο της και θεωρούμε Μ το μέσον της. Μ ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα, Μ δεν είναι ίσα 3. ˆ 90 0 4. ˆ 90 0 5. > 6. ˆ 30 0 40. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο ( // και = ) με = 3. Η διάμεσος ΖΕ του τραπεζίου τέμνει τις διαγώνιες και στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα. Ζ Κ Λ Ε ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. ΚΛ =. ΚΛ // 3. ΚΛ τραπέζιο 4. ΚΛ ορθογώνιο 5. ΖΕ = 1 3 8
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 41. ίνεται παραλληλόγραμμο με = και έστω Ο το κέντρο του. πό το Ο φέρνουμε ΟΕ //, που τέμνει την στο Ε και έστω Θ το σημείο τομής της με τη Ε. Ε Θ Ο ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να γράψετε τη λέξη Σωστό, αν είναι σωστή ή τη λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. 1. Ο = Ο. 3. ΟΕ = Ο 4. Θ = ΘΟ 1 5. 3 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : 1. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο μία διάμεσός του είναι ταυτόχρονα και.. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο μία είναι ίση με το μισό της. 3. Οι μεσοκάθετες των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από σημείο, που λέγεται και από τις κορυφές του. 4. Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από βρίσκονται άνισες γωνίες. 5. Σε κάθε τρίγωνο οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο, που λέγεται του τριγώνου και το σημείο αυτό απέχει από κάθε κορυφή απόσταση ίση με της αντίστοιχης. 6. Σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία μιας γωνίας του είναι ίση με. 7. Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι. 8. ν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη ευθεία, τότε οι γωνίες είναι παραπληρωματικές και οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι. 9. Το έκκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο από το οποίο διέρχονται οι. 9
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 10. Σε κάθε τρίγωνο τα ύψη του διέρχονται από σημείο, που λέγεται του τριγώνου. 11. Ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο έχει τις απέναντι γωνίες του και κάθε πλευρά του φαίνεται υπό γωνίες από τις απέναντι κορυφές του. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. ια κάθε πρόταση που δίνεται παρακάτω να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Έστω τα τρίγωνα =, με α = α και β = γ. Ισχύει ότι :. ˆ ˆ. ˆ ˆ. ˆ ˆ. ˆ ˆ. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο ισχύει ότι :. ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ 3. Στο παρακάτω σχήμα είναι χ // ψ // z και είναι η διχοτόμος της ψ. x ψ z Ισχύει ότι :. =. =. =. = 4. Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πενταγώνου είναι ίσο με :. 360 0. 180 0. 500 0. 540 0 5. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ 90 0 ) με ˆ 30 0. Φέρνουμε τη διάμεσο Μ του τριγώνου και από το Μ φέρνουμε ΜΚ. 30 0 Μ Το ευθύγραμμο τμήμα Κ είναι ίσο με :.. 3.. 4 8 10
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 6. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο με =. Φέρνουμε τη διχοτόμο του τριγώνου και έστω Μ το μέσον της. Μ Το ευθύγραμμο τμήμα Μ είναι ίσο με :... 4. 7. ίνεται το τραπέζιο που έχει ν είναι = x και = 8x. ˆ ˆ 90 0 και ˆ 60 0. Ε Ζ Η διάμεσος του τραπεζίου είναι ίση με :. 3x. 4x. 5x. 6x 8. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις =5x, = 3x και ˆ 60 0. 3x 600 5x Η περίμετρος του τραπεζίου είναι ίση με :. 10x. 11x. 1x. 13x 9. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. Φέρνουμε Ζ και Ε. Ε A Ζ Η ΕΖ είναι ίση με :. Ζ. Ζ. Ζ. 11
10. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο, που έχει διάμεσό του Μ. 35 0 Μ Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ˆ 35 0. Φέρνουμε τη Η γωνία είναι ίση με :. 55 0. 70 0. 110 0. 15 0 11. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο και το ύψος του. Έστω Μ το μέσον της και Ν το μέσον της. Μ Ν Η περίμετρος του τετραπλεύρου ΜΝ είναι ίση με :. +. +. +. 1. ια να είναι ένα τετράπλευρο ορθογώνιο, πρέπει :. να έχει δυο γωνίες ορθές. οι διαγώνιοί του να διχοτομούνται. να έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες. να έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες Ε. να είναι παραλληλόγραμμο με μια γωνία ορθή 13. Ένα παραλληλόγραμμο δεν είναι απαραίτητα ρόμβος όταν :. δυο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες. οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. όλες οι πλευρές του είναι ίσες. μια διαγώνιός του διχοτομεί μια γωνία του Ε. δυο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες 14. Έστω τρίγωνο με ˆ ˆ, ˆ 90 0. Φέρνουμε το ύψος του και έστω Ε, Ζ, Θ τα μέσα των πλευρών του,,, αντίστοιχα. Θ Ζ Ε Ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή ;. το ΕΖΘ είναι τραπέζιο. το ΕΖΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο. το ΘΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. είναι Ζ < Θ Ε. είναι = ΘΖ 1
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 15. Μια εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου που βαίνει σε τόξο 30 0 έχει μέτρο :. 15 0. 60 0. 30 0. 45 0 16. Έστω κύκλος (Ο, ρ) και δύο παράλληλες χορδές του //. ια τα μέτρα των τόξων και που περιέχονται ανάμεσά τους ισχύει :.... ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( β μέρος ) ΠΝΤΗΣΕΙΣ παντήσεις στις ερωτήσεις Σωστού Λάθους. 1 Λ 11 Σ 1 Λ 31 Σ 37 1 Σ 39 1 Σ 40 1 Σ Λ 1 Σ Σ 3 Λ Λ Λ Σ 3 Σ 13 Λ 3 Λ 33 Λ 3 Σ 3 Σ 3 Λ 4 Λ 14 Σ 4 Σ 34 Σ 4 Λ 4 Λ 4 Σ 5 Λ 15 Λ 5 Λ 35 Λ 5 Σ 5 Λ 5 Λ 6 Σ 16 Σ 6 Σ 36 1 Σ 38 1 Σ 6 Σ 41 1 Λ 7 Λ 17 Σ 7 Λ Σ Σ Λ 8 Σ 18 Λ 8 Λ 3 Λ 3 Λ 3 Σ 9 Λ 19 Σ 9 Λ 4 Λ 4 Σ 4 Λ 10 Σ 0 Λ 30 Σ 5 Σ 5 Σ παντήσεις στις ερωτήσεις Συμπλήρωσης. 1 ύψος διχοτόμος διάμεσος υποτείνουσας 3 το ίδιο περίκεντρο ισαπέχει 4 άνισες πλευρές 5 βαρύκεντρο τα /3 διαμέσου 6 το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου 7 ( ν 4 ) ορθές 8 εντός κι επί τα αυτά ίσες 9 διχοτόμοι του 10 το ίδιο ορθόκεντρο 11 παραπληρωματικές ίσες παντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1 5 9 13 Ε 6 10 14 3 7 11 15 4 8 1 Ε 16 13
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( γ μέρος ) ΣΚΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το ισοσκελές τρίγωνο, με =. Έστω, Ε σημεία της τέτοια ώστε = Ε = Ε. ν Μ, Ρ είναι τα μέσα των,, αντίστοιχα, και Ν το σημείο τομής των Μ και ΡΕ, να δείξετε ότι : α) Μ = ΡΕ, β) ˆ ˆ, γ) ΜΝ = ΡΝ.. ίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του Μ. Να δείξετε ότι τα και ισαπέχουν από το φορέα της Μ. 3. ίνεται τρίγωνο με ˆ 3 ˆ. Θεωρούμε σημείο της, τέτοιο ώστε =. Να δείξετε ότι η διχοτόμος της ˆ είναι κάθετη στη. 4. ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ. Έστω το ύψος του και η διχοτόμος του ˆ ˆ Ε. Να δείξετε ότι : ˆ. 5. ίνεται τρίγωνο. Φέρνουμε τις διαμέσους Μ και Ν και στις προεκτάσεις τους, προς τα Μ και Ν, παίρνουμε ευθύγραμμα τμήματα Μ = Μ και ΝΕ = Ν. Να δείξετε ότι : α) = Ε, β) τα σημεία,, Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 6. ίνεται παραλληλόγραμμο και από τις απέναντι κορυφές του και φέρνουμε καθέτους Ε και Ζ στη διαγώνιο. Να δείξετε ότι : α) τα τρίγωνα Ε και Ζ είναι ίσα. β) το τετράπλευρο ΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. 7. ίνεται το τραπέζιο, με // και =. Να δείξετε ότι η είναι διχοτόμος της ˆ. 8. ίνεται τρίγωνο και σημείο Η της πλευράς, τέτοιο ώστε. 4 ν είναι Ε το μέσον της διαμέσου, να δείξετε ότι //. 4 9. ίνεται τρίγωνο, με β > γ. Φέρνουμε το ύψος Η και τη διάμεσο Μ. Προεκτείνουμε τα Η και Μ, προς τα Η και Μ, κατά ίσα μήκη Η = Η και ΜΕ = Μ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές. β) το τετράπλευρο Ε είναι παραλληλόγραμμο. γ) το τετράπλευρο Ε είναι ισοσκελές τραπέζιο. 10. ίνεται το τραπέζιο, με βάσεις // και = +. ν είναι Ε το μέσον της και ΕΖ η διάμεσος του τραπεζίου, να δείξετε ότι το τρίγωνο Ε είναι ορθογώνιο στο Ε. 14
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου 11. ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και μια διάμετρός του. Θεωρούμε μια χορδή του κύκλου με μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας AB. β) Να υπολογίσετε το μέτρο του τόξου που δεν περιέχει το σημείο. 1. ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και σημείο Ρ εξωτερικό του κύκλου. πό το Ρ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα Ρ και Ρ προς τον κύκλο. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΡ είναι εγγράψιμο. β) Να δείξετε ότι. γ) ν είναι Μ το μέσον του τμήματος ΟΡ, τότε να δείξετε ότι Μ = Μ. 15