Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 3 η Γραμμικοί Εξισωτές Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: ttp://elass.uop.g/ouses/tst35 eail: nsagias@uop.g
Εξισωτές b x(t) Φίλτρο q(t) Κανάλι z(t) εκπομπής H H T (f) C (f) n(t) w(t) Φίλτρο λήψης H R (f) (t) Φίλτρο H eq (f) t T s p(t) Ανιχνευτής p(t b ) ˆx ( t) bˆ Σχεδιάζοντας κατάλληλα φίλτρα εκπομπής/λήψης μπορούμε να μηδενίσουμε την ISI H ( f ) H ( f ) P( f ) T R P(f): φάσμα πλάτους παλμού yquist Κανάλια με μη σταθερή χαρακτηριστική συνάρτηση μεταφοράς ονομάζονται κανάλια με επιλεκτικότητα στη συχνότητα (fequeny seletive annels) Τέτοιου είδους κανάλια μετάδοσης, δημιουργούν ISI στην έξοδο του φίλτρου λήψης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Εξισωτές Οι εξισωτές (equalizes) είναι διατάξεις που περιορίζουν (ιδανικά μηδενίζουν) την ISI Γραμμικοί εξισωτές (linea equalizes E) Εξαναγκασμού σε μηδενισμό (zeo foing ZF) Ελαχιστοποίησης μέσου τετραγωνικού σφάλματος (iniu ean squae eo SE) Μη γραμμικοί εξισωτές Εξισωτές εκτίμησης ακολουθίας μέγιστης πιθανοφάνειας (axiu likeliood sequene estiation SE) Εξισωτές ανατροφοδοτούμενης απόφασης (deision feedbak equalize DFE) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Εξισωτές Δεδομένης της μεταβλητότητας του καναλιού μετάδοσης, απαιτούνται προσαρμοστικοί εξισωτές (adaptive equalizes), οι οποίοι προσαρμόζονται στις αλλαγές Η προσαρμογή βασίζεται σε κάποιο αλγόριθμο ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης κόστους Παράμετροι των αλγορίθμων αυτών είναι Ρυθμός σύγκλισης Απορύθμιση Υπολογιστική πολυπλοκότητα Αριθμητικές ιδιότητες Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF b x(t) Φίλτρο q(t) Κανάλι z(t) εκπομπής H H T (f) C (f) n(t) w(t) Φίλτρο λήψης H R (f) (t) Φίλτρο H eq (f) t T s p(t) Ανιχνευτής p(t b ) ˆx ( t) bˆ Μια απλή πρακτική θα ήταν να σχεδιάσουμε εξισωτή με χαρακτηριστική συνάρτηση μεταφοράς ίση με την αντίστροφη αυτής του καναλιού μετάδοσης H eq (f) / H C (f) Τότε, στην έξοδο του εξισωτή το φάσμα πλάτους του παλμού λήψης θα είναι H ( f ) H ( f ) H ( f ) H ( f ) P( f ) H ( f ) H ( f ) P( f ) T C R eq C eq Άρα, πριν το δειγματολήπτη η ISI θα έχει εξαλειφθεί Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Στην πράξη,η H C (f) δεν είναι γνωστή Ακόμα και αν είναι γνωστή, δε θα είναι χρονικά σταθερή Το κανάλι μεταξύ ενός κινητού χρήστη και του σταθμού βάσης συνεχώς αλλάζει Στα χάλκινο καλώδια η αντίσταση εξαρτάται από τη θερμοκρασία Η αντιστροφή της H C (f) ενισχύει το θόρυβο σε εξασθενημένες συχνότητες! Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Στα ψηφιακά σήματα δεν απαιτείται η πλήρης ισοστάθμιση της παραμόρφωσης, αφού η ανίχνευση βασίζεται μόνο σε δειγματοληπτημένες τιμές Απαιτείται μόνο να ελαχιστοποιηθεί η παρεμβολή σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με φίλτρα εγκάρσιων (tansvesal) εξισωτών Σκοπός είναι στην έξοδο του εξισωτή να ικανοποιείται η συνθήκη μηδενισμού της ISI (t) T s (tt s ) T s (tt s ) T s T s (tt s ) p å ( t) ( t n ) n T s n Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF (t) T b 3 T b T b T b T b 3 T b Για τον παραπάνω παλμό παρατηρούμε ότι υπάρχει ISI στις χρονικές στιγμές T s Ρυθμίζοντας τις τιμές των k μπορούμε να δημιουργήσουμε επιπλέον ολισθημένα αντίγραφα με κατάλληλα πλάτη, ώστε να μηδενιστεί η ISI στις χρονικές στιγμές T s Αν μεταδώσουμε έναν παλμό και θέσουμε και όλα τα k, τότε στην έξοδο θα έχουμε τον παλμό της εισόδου καθυστερημένο κατά T s Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Ηέξοδος του εξισωτή θα είναι p å ( t) ( t n ) n Τα δείγματα τις χρονικές στιγμές t T s θα είναι p å n n n T s,, ±, ±,K n Αν επιθυμούμε να ικανοποιείται η συνθήκη yquist, θα πρέπει p ì, í î,, ±, ±, K, ± Από τις παραπάνω δύο σχέσεις προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα + εξισώσεων Ο εξισωτής αυτός ονομάζεται μηδενικού εξαναγκασμού (zeo foing ZF) Τα p σε χρόνους πέραν των ± T s, δηλαδή για >, μπορεί να έχουν ISI Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8
Το σύστημα εξισώσεων μπορεί να γραφεί σε αλγεβρική μορφή ως ή Ο πίνακας Rέχει δομή Toeplitz (καθορίζεται πλήρως από την η γραμμή και η στήλη) Η εύρεση των βαρών του πίνακα γίνεται μέσω του αντίστροφου πίνακα του Rως { 3 444444444 4 3 4444444 44 4 O R p û ù ë é û ù ë é û ù ë é + + + + + + + + 3 4 3 3 4 3 Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9 R p p R
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Παράδειγμα Έστω τα δείγματα.5,.,,.3,. Τότε ο πίνακας Rείναι (t) é R.3 ë...3.5 ù. û Ο αντίστροφος πίνακας του Rείναι R é.6395.369 ë.386.9394.386ù.6.9394.369.6395 û Συνεπώς, τα βάρη του εξισωτή είναι 3 Σήμα με ISI p(t) 3 R p Þ [.9.6.37] T Σήμα χωρίς ISI Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Το πιο δημοφιλές μαθηματικό μοντέλο για τα κανάλια μετάδοσης είναι το εξής δ(t) T s δ(tt s ) δ(tt s ) T s T s δ(t()t s ) (t) (t) (t) (t) (t) Το παραπάνω μοντέλο, με taps, έχει κρουστική απόκριση ( t) å k ( t) d ( t k ) k T s Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Αν θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές k (t) είναι χρονικά σταθεροίκαι > k "k, για t T s, η κρουστική απόκριση γράφεται ή Τότε, ο πίνακας R είναι Παρατήρηση: Γενικά, στο στοιχείο R[,] μπαίνει το k με τη μεγαλύτερη τιμή Παράδειγμα: [ ] T [...3 ] T Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου û ù ë é O O O O O O O O R [ ] å k k k d [ ] T 3 4 5 t
Γραμμικοί Εξισωτές: ZF Ένας ιδανικός ZF εξισωτής (με μεγάλο Ν) αντιστρέφει την χαρακτηριστική μεταφοράς H C (f)του καναλιού μετάδοσης Ωστόσο, ο ZF δε λαμβάνει υπόψιν το θόρυβο, ο οποίος μπορεί να ενισχυθεί σημαντικά Άρα πρέπει να γίνει ένας συμβιβασμός μεταξύ καταστολής της ISI και ενίσχυσης θορύβου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3
Γραμμικοί Εξισωτές: SE T s T s e x p p Στόχος του SE είναι ο προσδιορισμός των βαρών (weigts)για την ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος (ean squae eo SE) Ο εξισωτής SE λαμβάνει υπόψιν και το θόρυβο και γι αυτό γενικά παρέχει καλύτερες επιδόσεις από τον ZF Σφάλμα εκτίμησης e x p : Ή διαφορά μεταξύ της πραγματική τιμής του ιωστού συμβόλουπου εκπέμφθηκε x και της αντίστοιχης εξόδου του εξισωτή p x Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4
Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα ορίζεται ως J E< e > E< x p > Ορίζοντας [ ] T, η έξοδος του εξισωτή γράφεται ως Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει ότι Ορίζουμε τους πίνακες αυτοδιακύμανσης R (μεταξύ των ) και ετεροδιακύμανσης p (μεταξύ x, ) Γραμμικοί Εξισωτές: SE Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5 å T k k k p T E x J T E E R û ù ë é O x x x x p û ù ë é E E
Γραμμικοί Εξισωτές: SE Μετά από πράξεις αποδεικνύεται ότι J T E + R p x Διαφορίζοντας το J ως προς προκύπτει ότι J Ñ J R Εξισώνοντας την παραπάνω εξίσωση με το μηδέν προκύπτει ότι το J ελαχιστοποιείται για R p p στην τιμή J x in E T p R p Προβλήματα του SE Η αντιστροφή του Rείναιτάξης 3 πολυπλοκότητας! Οι πίνακες Rκαι pδεν είναι συνήθως γνωστοί Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6
Γραμμικοί Εξισωτές: SE Αν θεωρήσουμε ότι και > k "k > Θεωρώντας δυαδικό PA, x ±με Ε<x >,Ε<x x n > Ε<x > " ¹ nκαι ισχύς θορύβου AWG, [ ] T s n Ο πίνακας Rθα έχει μορφή Toeplitzκαι θα δίδεται ως p æ ç ç44 443 è / ö { / ø T R æ é å è ë Toeplitz ç + åk åk k k k s ni + k k k ùö û ø Για παράδειγμα, έστω [.9.5.] T και ο εξισωτής έχει 4, τότε æ. ç ç.55 R ç.8 ç ç ç è.55..55.8.8.55..55.8.8.55..55 ö.8 + s.55. ø n I 5 p ( ) T Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7
Γραμμικοί Εξισωτές: Αλγόριθμος S Σε πρακτικές εφαρμογές δεν υπάρχει αναλυτική περιγραφή της συνάρτησης κόστους Ωστόσο, υπάρχουν σημεία αυτής και με χρήση κατάλληλων αλγορίθμων μπορούμε να προσδιορίσουμε την ελάχιστη τιμή Ο αλγόριθμος απότομου καθοδικού βήματος (steepest desent) είναι μια μέθοδος εύρεσης ελαχίστων με την οποία ρυθμίζονται τα βάρη του εξισωτή προς την κατεύθυνση αρνητικής κλίσης + a + ( Ñ J ) Το βήμα καθόδου ααπαιτείται για έλεγχο της ταχύτητας και της ακρίβειας της μεταβολής των βαρών. Παίρνει τιμές < α< /λ ax,με λ ax τη μέγιστη ιδιοτιμήτου πίνακα R Ο παραπάνω αλγόριθμος απαιτεί τιμές της κλίσης του Jκαι για αυτό δεν έχει μεγάλη πρακτική εφαρμογή Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8
Στην πράξη, η ελαχιστοποίηση του SE γίνεται αναδρομικά με χρήση του αλγόριθμου μέσων ελαχίστων τετραγώνων (least ean squae S) Ο αλγόριθμος S κάνει χρήση στιγμιαίων τιμών αντί μέσων Από προηγούμενη ανάλυση Γραμμικοί Εξισωτές: Αλγόριθμος S Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9 T R û ù ë é O x x x x p û ù ë é ( ) x x J J e p R Ñ T T
Γραμμικοί Εξισωτές: Αλγόριθμος S Τα βάρη του εξισωτή ενημερώνονται μέσω της αναδρομικής σχέσης + + a e με e x T Περιγραφικά ακολουθείται το παρακάτω σχήμα Βάρος τη στιγμή + Βάρος τη Σφάλμα τη + Βήμα στιγμή στιγμή Σήμα τη στιγμή και προηγούμενα δείγματα Αλγόριθμος S. Θέτουμε όλα τα βάρητη χρονική στιγμή ίσα με μηδέν,. Για,, υπολογίζουμε T e x και + + a e 3. Συνεχίζουμε τις επαναλήψεις μέχρι ο εξισωτής να φτάσει σε σταθερή κατάσταση (steady state) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Γραμμικοί Εξισωτές: Αλγόριθμος S Ο αλγόριθμος S Αποτελείται από δύο φάσεις Εκμάθησης μέσω συμβόλων εκπαίδευσης (taining sybols) Λήψης απόφασης (deision dieted) Είναι πολυπλοκότητας + ανά επανάληψη Δε βρίσκει ποτέ το ελάχιστο, αλλά ακολουθεί μια διαδρομή ζιγκζαγκ γύρω από αυτό Μετά από ένα μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, εμφανίζει παρόμοια συμπεριφορά με τον αλγόριθμο απότομου καθοδικού βήματος Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου