ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ; A. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο f( ελάχιστο, το 0 Λάθος, όταν f( < f( για κάθε A 0 Î. 0 Î A (ολικό β. Ανάμεσα σε δύο ρίζες μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντα τουλάχιστον μια ρίζα της παραγώγου της. Σωστό γ. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα D και a, b, g ÎD, τότε ισχύει: Σωστό ò f( t dt= ò f( t dt+ c, cîr b δ. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής ( a, 0 ( 0, b πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: Σωστό a lim ( = Ûlim ( - = 0 f l f l 0 0( È και l ένας ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα D και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή είναι θετική για κάθε ÎD. Λάθος

2 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με f ( ( = ln Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Β3. Να ορίσετε την f -. Β4. Να λύσετε την ανίσωση: f ( < f - ( ln5- -. ΛΥΣΗ Β. Για να ορίζεται η, πρέπει:, που αληθεύει για κάθε. Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι Β. Για κάθε με έχουμε: Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα «-» οπότε αντιστρέφεται. 3 Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να αποδείξουμε εύκολα ότι f ( = > 0, ÎR, άρα η f 3 + είναι γνησίως αύξουσα, άρα «-» οπότε αντιστρέφεται. Β3. Έχουμε:

3 οπότε: Άρα: Β4. Έχουμε: ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται συνάρτηση f ( ( = - ln + -. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. i. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να λύσετε την εξίσωση f( = 0. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. Γ3. Αν για τους αριθμούς, ισχύει: a b ÎR με a + b > 0 καιa+ b - > 0, ( a b ( a b - ln ln + - a+ b- a+ b- να υπολογίσετε τους a, b. 3

4 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, ΛΥΣΗ τους άξονες και y y και την ευθεία =. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημα. Γ. Έχουμε: και. Επειδή για κάθε, έπεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα. Επίσης, άρα για και για. Επιπλέον και έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα: 4

5 Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο και γνησίως αύξουσα στο, οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το. Γ. i. Έχουμε:, αφού και. Άρα το σύνολο τιμών της είναι το. Η εξίσωση έχει στο πεδίο ορισμού της, μοναδική λύση την, αφού: για και για. ii. Αναζητούμε τις ασύμπτωτες της ( Κατακύρυφες: Επειδή lim f lim ( + + ( = - ln + - =+, η ευθεία - - κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. Οριζόντιες: Η f C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωση αφού: æ ln( ö ( ( + ç ( f( = - ln + - = lim lim lim + + +, διότι είναι: =- είναι - - = + =+ è ø 5

6 lim + Πλάγιες: Επειδή: 0 = -, = = = = 0 0 ( + + ln( + æ ö lim DL ç lim + lim lim = =+ æ ln( ö + ( ln( - - f ç ln( l lim lim lim æ + ö = = = = lim lim ( ç - - = + =+ è ø lim = lim =+ + + æ ln( + ö lim ç - - = - - = è ø η C f δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες Γ3. Η δοσμένη σχέση γίνεται ισοδύναμα: Από την τελευταία σχέση έπεται ότι: (, ( γιατί αν υποθέσουμε ότι π.χ. τότε, επειδή για κάθε, θα πρέπει και η ( μας δίνει: οποίο είναι άτοπο. Επομένως δηλαδή, το 6

7 οπότε από την ( και. Από την ( και από το ερώτημα iii έχουμε ότι:. Γ4. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: ( ( ( ò0 ò0 ò0 ( ò0 ò0 ò0 E W = f ( d = f ( d = - ln + - d = d - ln + d - d = = é ù - ln( + + d - = -- ln + I - = - - ln + I [ ] ò0 [ ] ë û I = ò d = 0 ò d = 0 ò d - 0 ò d = 0 [ ] - éln 0 ( + ù = -ln ë û Επομένως: ΘΕΜΑ 4 ο E( W = -- ln+ - ln= -- ln tm. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (, + με f( ¹ 0 για κάθε > που ικανοποιεί τη σχέση: f ( + ln =, για κάθε > με f( = f( ln Δ. Να αποδείξετε ότι f( = ln, > καθώς και ότι οι συναρτήσεις g (, h ( ln, +. = = δεν έχουν κοινό σημείο στο ( Δ. i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία της και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ii. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f( l = με lîr, >. Δ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της A (, f(. Δ4. i. Να αποδείξετε ότι: ii. Να αποδείξετε ότι: 3 ò f( ³ ( f( d³ 4 7

8 Δ5. Να αποδείξετε ότι: æ + ö ³ ( ( για κάθε, Î (, + f ç f f ç ΛΥΣΗ Δ. Έχουμε διαδοχικά: Για f ( + ln f ( = Û = + Û ln f( = [ ln(ln ( ln ( ] + ( Û f f ln [ ] ln ( = ln(ln Û éln f( ù ë û = ln(ln + Û = έχουμε: Επομένως ln f( = ln(ln + (. f + + c ln f( = ln(ln + + cþ ln = + cþ = + cþ c= 0 Επειδή η f είναι συνεχής στο (, + (ως παραγωγίσιμη στο (, + και δεν έχει ρίζες f ¹, για κάθε Î (, αφού ( 0 (, + και αφού f( = > 0 θα είναι ( 0 Άρα από την σχέση ( έχουμε: +, η συνάρτηση f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο f >, για κάθε (, Î +. ( ln f( = ln(ln + Û ln f( = ln(ln + ln Û ln f( = ln ln Û f( = ln, > Θα αποδείξουμε τώρα ότι οι συναρτήσεις g ( =, h ( = ln δεν έχουν κοινό σημείο, δηλαδή ότι η εξίσωση: g( h( ln ln 0 = Û = Û - = δεν έχει ρίζα στο (, + Θεωρούμε την συνάρτηση K( ln, (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [ = - ³, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [, +, + με K ( = -, ³. Η συνάρτηση K ( είναι επίσης παραγωγίσιμη στο [, + (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο[, + με K ( = + > 0, ³. Άρα η K ( είναι γνησίως αύξουσα στο [, +. Άρα: > Þ K ( > K ( = - Þ K ( > 0, > 8

9 Επομένως η συνάρτηση K( είναι είναι γνησίως αύξουσα στο[, +.Άρα: > Þ K( > K( = > 0 Þ K( > 0, > Οπότε η συνάρτηση K( δεν έχει ρίζα στο (, +, δηλαδή ισοδύναμα οι συναρτήσεις g (, h ( ln, +. = = δεν έχουν κοινό σημείο στο ( Δ. i Η συνάρτηση f( ln, > παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + με: = είναι παραγωγίσιμη στο ( f ( = ln + > 0, για κάθε >, + (ως γινόμενο Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα (, +. Για το σύνολο τιμών της έχουμε: ( (, ( lim (, lim ( + + f f f Είναι: + =, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα ( Αρα f ((, + = ( 0, + lim f( = lim + + lim f( = lim + + ( = ( ln ln 0 = +, +. l ii Έχουμε f( = Û f ( = lû j( = l, >, όπου j ( = f(, > η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (, + (ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + με: æ ö j ( = f( + f ( = ln+ ç ln+ = ln+ ln+ = ( ln+ ln+ > 0 è ø, για κάθε Î (, + Άρα η συνάρτηση j ( είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + και επομένως το σύνολο τιμών της είναι j( (, ( lim j(, lim j( ( 0, Άρα: Αν l 0 η εξίσωση f( + = = +, αφού: lim j( = lim + + lim f( = lim + + l + + ( f ( f ( ( = 0 = + = δεν έχει ρίζα στο (, + 9

10 Αν l > 0 η εξίσωση f( (, + (ως γνησίως αύξουσα στο (, +. l = έχει μοναδική ρίζα στο(, +, αφού είναι «-» στο Δ3. Η συνάρτηση f ( είναι παραγωγίσιμη στο (, + (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, + με: f ( = ln = ln + - = æ ö æ ln+ -ö ç ln + - 0, = > > ç Αφού για κάθε Î (, + είναι : > 0 > 0 ln + - > 0 Επομένως η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, +. Η εξίσωση της εφαπτομένης της, αφού ( ln > 0, - > 0 C f στο σημείο της (, ( A f είναι: ( ( ( ( y- = + - Û y = Û y = f ( = + - Δ4. i Αφού η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, + η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (στο σημείο επαφής Α ιχύει η ισότητα. Επομένως θα έχουμε: f( f( f( ³ ( + - Û f( ³ ( + - Û ³ ( + - Û ³ ( , για κάθε > ii Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη ανισοισότητα έχουμε: f( é ù ³ ë + - û Û ³ + - Û ê ú ò d ( d f ( d ( [ - òé ù ê ú -ò ] ë û 3 æ9 4ö 3 5 Û f ( d ( ( 3 f ( d ( -ò ³ + ç Û -ò ³ + - Û Û ³ Û ³ f ( d f ( d -ò ò Το βήμα αυτό χρειάζεται απόδειξη: Αν f, g συνεχείς στο [ a, b ] με f( g(, [ a, b] b b ò f ( d ³ g( d a ò. Απόδειξη: f( - g( ³ 0 για κάθε Î a [ a, b],άρα: - ³ Þò b ( - ³ Ûò b - ò b ³ Û ò b ³ ò b ³ Î, τότε f ( g ( 0 f ( g ( d 0 f ( d g ( d 0 f ( d g ( d a a a a a 0

11 Δ5. Επειδή η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, + (προηγούμενο ερώτημα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, +. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στα é + ù διαστήματα, êë úû και é+ ù,, αντίστοιχα, αφού πληρούνται οι προϋποθέσεις êë úû é + ù (η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στα, êë úû και é+ ù, êë úû. æ + ö Επομένως υπάρχουν Î ç, è ø και æ+ ö Î, ç τέτοια, ώστε: f f ( ( æ+ ö f ç - = - f( = - f ç Από το γεγονός ότι η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: ( f ( < Þ f f( æ + ö ç è ø - æ+ ö æ + ö f ç - f( f( - f ç < Þ < Þ - - æ+ ö æ + ö æ + ö f( + f( f ç - f( < f( - f ç Þ f ç < è ø è ø è ø Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα Συντονισμός: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών.