Vio ar a t a d o l a

R

3 1 3 2 2 1 2 3 1

= {( x1, x2, x3) / x1 1, x2 2, x3 3}

B A B A; B C

2 1 H = {(, 2) / 1 + 2 1 12} H = {(, 2) / 1 + 2 1 > 12} Euler

H = {(, 2) / 1 + 2 1 12} H = {( 1, 2)/ 1 + > 2 12}

A B = { x : x A x B} A B ( ) =

A B = { x : x A x B} A B ( ) =

c A A = { x : x Ω x A} A A c

A B

= = A

) = B. = ( ). B E = Z = {2}., = H. B = B A =.,,

Ισότητα Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων A B B A A = B ιαφορά c A B = A B = { x: x A x B} Χρήσιµα αποτελέσµατα ( ) c (A B) = A c (A B) = A c c B c B c

Προσκόλληση - Ανάθεση Πιθανοτήτων Κλασσική Προσέγγιση - Προσκολλούµε-συνδέουµε συνδέουµε πιθανότητες βάσει της υπόθεσης ότι οι εκβάσεις-αποτελέσµατα ενός πειράµατος τύχης είναι εξίσου πιθανές. Προσέγγιση Συχνότητας - Προσκολλούµε-συνδέουµε συνδέουµε πιθανότητες βάσει της σταθερότητας των εµπειρικών συχνοτήτων εµφάνισης ενός αποτελέσµατος (από πειράµατα ή ιστορικά στοιχεία). Η υποκειµενική προσέγγιση - Προσκολλούµε-συνδέουµε συνδέουµε πιθανότητες βάσει πεποιθήσεων- πιστεύω-προηγούµενης προηγούµενης εµπειρίας-διαίσθησης διαίσθησης. Η αξιωµατική προσέγγιση - Η έννοια της πιθανότητας ορίζεται σε αυστηρά µαθηµατικό πλαίσιο. Η αξιωµατική προσέγγιση βασίζεται σε ένα σύνολο αξιωµάτων.

Ιστορικές Στιγµές (1) Girolamo Cardano (1501-1576) Luca Pacioli (1445-1517) Christiaan Huygens (1629-1695) Από την παρουσίαση του Νίκου Καστάνη

Ιστορικές Στιγµές (2) Blaise Pascal (1623-1662) Από την παρουσίαση του Νίκου Καστάνη

Ιστορικές Στιγµές (3) Jacob Bernoulli (1654-1705) Abraham de Moivre (1667-1754) Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Από την παρουσίαση του Νίκου Καστάνη

Ιστορικές Στιγµές (4) Simon Denis Poisson (1781-1840) Andrey Kolmogorov (1903-1987) Γ. Ρεµούνδος (1878-1928) Από την παρουσίαση του Νίκου Καστάνη

Ορισµοί της Πιθανότητας: Κλασσικός ( 1812) Η πιθανότητα πραγµατοποίησης ενός ενδεχόµενου ορίζεται ως ο λόγος του αριθµού των ευνοϊκών περιπτώσεων-εκβάσεων εκβάσεων προς το σύνολο των δυνατών περιπτώσεων. Θεωρούµε ότι όλες οι περιπτώσεις είναι εξίσου πιθανές. Αν θεωρηθεί Ν(Ε) το πλήθος των σηµείων του δειγµατικού χώρου Ω που αποτελούν το ενδεχόµενο Ε, δηλαδή οι ευνοϊκές περιπτώσεις, και Ν(Ω) το πλήθος του συνόλου των σηµείων του δειγµατικού χώρου Ω, δηλαδή οι δυνατές περιπτώσεις, τότε: P(E) = N(E) N( )

Κλασσικός Ορισµός Πλεονεκτήµατα: Ο κλασσικός ορισµός είναι εύκολος. Μειονεκτήµατα: Μπορεί να εφαρµοσθεί µόνο όταν υπάρχει πεπερασµένος αριθµός στοιχείων πιθανών εκβάσεων. Η συνθήκη εξίσου πιθανές ( ορισµό συµµετρικό ( ). ) κάνει τον Πώς αυτός ο ορισµός µπορεί να εφαρµοσθεί στη περίπτωση µεροληπτικού νοµίσµατος;

Ισοπίθανα Στοιχεία-Ενδεχόµενα Αν ο δειγµατικός χώρος Ω περιέχει Ν στοιχεία καθένα των οποίων έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, τότε κάθε στοιχείο έχει πιθανότητα επιλογής ίση µε 1/Ν.

Ορισµοί της Πιθανότητας: Εµπειρικός ή Στατιστικός (, 1919) Έστω ότι επαναλαµβάνουµε ν φορές ένα πείραµα Π, και ότι το ενδεχόµενο Ε του πειράµατος εµφανίζεται συνολικά µ φορές. Ο αριθµός µ δεν µπορεί, προφανώς, να είναι µηδενικός, αλλά ούτε και πεπερασµένος όταν το ν αυξάνει. Ο αριθµός µ εκφράζει τις επαναλήψεις του ενδεχοµένου Ε και ο λόγος µ/ν τη συχνότητα αυτού σε ν επαναλήψεις του πειράµατος Π. Πιθανότητα = Όριο της σχετικής συχνότητας όταν οι επαναλήψεις τείνουν στο άπειρο P(E) = lim (E)

Παράδειγµα 2 Ρίξιµο ενός ζαριού Η P(2,4,6) = ½ όχι γιατί υπάρχουν δύο ισοπίθανες εκβάσεις αλλά γιατί ένας µεγάλος αριθµός επαναλαµβανόµενων δοκιµών-επαναλήψεων καταδεικνύει ότι η εµπειρική συχνότητα του ενδεχόµενου συγκλίνει στο ½.

Πλεονεκτήµατα: Εµπειρικός Ορισµός Η προσέγγιση της συχνότητας είναι διαισθητική. Μειονεκτήµατα: εν υπάρχει προφανής απάντηση στο ερώτηµα των άπειρων δοκιµών- επαναλήψεων. Τα πλείστα πραγµατικά στοιχεία δεν αποτελούν επαναλαµβανόµενες δοκιµές τυχαίου πειράµατος.

Σχετική Συχνότητα Η σχετική συχνότητα µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένα ποσοτικό µέτρο έκφρασης του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση ενός ενδεχοµένου. Όταν ένα πείραµα τύχης επαναλαµβάνεται πάρα πολλές φορές, η σχετική συχνότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου σταθεροποιείται γύρω από κάποια τιµή που καλείται οριακή σχετική συχνότητα και εκφράζει ένα µέτρο του βαθµού βεβαιότητας για την εµφάνιση του ενδεχοµένου.

Νόµος της Στατιστικής Οµαλότητας Σχετική Συχνότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου 0,5 Κεφαλή» Αρ. Επαναλήψεων

Στατιστική Οµαλότητα (1) Έστω ότι ρίχνουµε ένα κανονικό-αµερόληπτο αµερόληπτο νόµισµα. Το αποτέλεσµα σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος είναι Κεφάλι (Κ) ή Γράµµατα (Γ). Εάν συνεχίσουµε να ρίχνουµε το νόµισµα πολλές φορές διαπιστώνουµε ότι η κάθε µία πλευρά εµφανίζεται ίσες περίπου φορές µε την άλλη. Αν Ν είναι ο συνολικός αριθµός των ρίψεων και Ν H ο αριθµός των ρίψεων στις οποίες εµφανίστηκε το ενδεχόµενο Κ και παραστήσουµε τα σηµεία Α Ν ={Ν, Ν H /Ν} στο ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων xοy θα διαπιστώσουµε, ότι µετά από µια αρχική ταλάντευση το σηµείο Α Ν θα κινείται πάνω στην ευθεία y=1/2.

Στατιστική Οµαλότητα (2) ηλαδή, η σχετική συχνότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου Κ θα σταθεροποιηθεί γύρω από την τιµή 0,5. Αυτό επιβεβαιώνει την προσδοκία µας ότι κατά την ρίψη ενός αµερόληπτου νοµίσµατος, οι σχετικές συχνότητες των ενδεχοµένων Κ και Γ είναι ίσες. Άρα, η σχετική συχνότητα εµφάνισης ενός ενδεχοµένου σταθεροποιείται γύρω από µια συγκεκριµένη αριθµητική τιµή, καθώς ο αριθµός των επαναλήψεων ή των δοκιµών του πειράµατος αυξάνει απεριόριστα.

Στατιστική Οµαλότητα (3) Αυτή η συγκεκριµένη αριθµητική τιµή, στην πράξη λαµβάνεται ως η πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου. Η στατιστική οµαλότητα αποτελεί την εµπειρική βάση της στατιστικής θεωρίας και πρακτικής.

Προσοµοίωση Number of trials Number of Heads Relative frequence Number of trials Number of Heads Relative frequence N H f H = H / N H f H = H / 1 0 0 22 12 0,545455 2 0 0 23 10 0,434783 3 1 0,333333 24 13 0,541667 4 2 0,5 25 14 0,56 5 3 0,6 26 14 0,538462 6 3 0,5 27 15 0,555556 7 4 0,571429 28 17 0,607143 8 5 0,625 29 15 0,517241 9 4 0,444444 30 8 0,266667 10 4 0,4 31 13 0,419355 11 4 0,363636 32 18 0,5625 12 5 0,416667 33 13 0,393939 13 6 0,461538 34 13 0,382353 14 7 0,5 35 19 0,542857 15 8 0,533333 45 22 0,488889 16 8 0,5 50 27 0,54 17 9 0,529412 60 30 0,5 18 10 0,555556 70 33 0,471429 19 11 0,578947 80 41 0,5125 20 11 0,55 90 44 0,488889 21 10 0,47619 100 51 0,51

Στατιστική Οµαλότητα 0,7 f H 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 20 40 60 80 100 N

Παράδειγµα 3: Στην Πράξη Μία εταιρία που πουλάει Η/Υ καταγράφει των αριθµό των υπολογιστών που πωλούνται σε ένα µήνα (30 µέρες): Αρ. Η/Υ που πωλούνται σε µία µέρα 0 1 2 3 4 Σε πόσες ηµέρες 1 2 10 12 5

Στην Πράξη ( ) Αρ. Η/Υ που πωλούνται σε µία µέρα 0 1 2 3 4 Σε πόσες ηµέρες 1 2 10 12 «Υπάρχει 40% πιθανότητα η εταιρία να πουλήσει 3 Η/Υ σε µία συγκεκριµένη ηµέρα» 5 Σχετική συχνότητα 1/30 = 0,03 03 2/30 = 0,07 07 10/30 = 0,33 12/30 = 0,40 5/30 = 0,17 = 1,001

Ορισµοί της Πιθανότητας: Αξιωµατικός ( 1933) Έστω δειγµατοχώρος Ω. Σε κάθε ενδεχόµενο- συµβάν Α i του Ω αντιστοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό P(A i ), ο οποίος ονοµάζεται Πιθανότητα πραγµατοποίησης του A i, εφόσον υπακούει στα παρακάτω αξιώµατα: P(Ω)=1 P(A i ) 0 P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+ όπου τα Ai είναι αµοιβαίως αποκλειόµενα ενδεχόµενα-γεγονότα

Θεώρηµα 1. Ρ(Α)+ )+Ρ(Α c )=1 2. 0 P(A) 1 3. P( )=0 4. Ρ(Α Β)= )=Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) 5. Αν Α Β, τότε P(A) P(B) P(B) 6. n Ρ Αk Ρ( Αk ) k= 1 n k= 1

Αξιωµατικός Ορισµός ( ) Η αξιωµατική προσέγγιση ξεκινά από ένα σύνολο αξιωµάτων χρησιµοποιώντας λογικά επιχειρήµατα χωρίς οποιαδήποτε προβλήµατα όπως µε τους προηγούµενους ορισµούς. Είναι πλήρης ( ), µη-πλεονάζων ( ) και συνεπής ( ). Η Πιθανότητα ( ) P(.) ορίζεται ως µια συνάρτηση από το χώρο ενδεχοµένων στο υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών µεταξύ 0 και 1.

Χρήσιµα Συµπεράσµατα (1) Πιθανότητα συµπληρώµατος Έστω A είναι ένα ενδεχόµενο και A c το συµπληρωµατικό του. εδοµένου ότι A c Α=Ω, τότε: P(A c )=1-P(A) Προσθετικός Νόµος-Κανόνας Κανόνας-Ιδιότητα Ο Προσθετικός Νόµος µας δίνει τη δυνατότητα να υπολογίσουµε τη πιθανότητα του ενδεχοµένου A, ή B, ή και των δύο A και B. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Χρήσιµα Συµπεράσµατα (2) Ένα ενδεχόµενο Ε είναι υποσύνολο του δειγµατικού χώρου Ω Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Ε ισούται µε το άθροισµα των πιθανοτήτων των κ απλών στοιχείων του ενδεχόµενου: P(E) = P( i) i= 1

Βασικές Ιδιότητες Πιθανοτήτων 1.. P( ) = 0 2. A B : A B P(A) P(B) 3. : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) : :,, P(A B) < P(A) +. P(A B) P(A) + P(B) Boole. P(B)

ενδρόγραµµα πιθανότητας οικογενειών µε 3 παιδιά A ( 1 ) ( 2 ) 1 = 8 1 = 8 0.125 0.125 A A ( 3 ) 1 = 8 0.125 ( 4 ) 1 = 8 0.125 ( 5 ) 1 = 8 0.125 ( 6 ) 1 = 8 0.125 A ( 7 ) 1 = 8 0.125 ( 8 ) 1 = 8 0.125

ενδρόγραµµα πιθανότητας νεφοκαλύψεως 2 διαδοχικών ηµερών 1 2 0.38 0.42 0.20 A B N 0.38 0.42 0.20 0.38 0.42 0.20 0.38 0.42 0.20 A B N A B N A B N (A,A) 0.38 0.38 = 0. 144 (A,B) 0.38 0.42 = 0. 160 (A,N) 0.38 0.20 = 0. 076 (B,A) 0.42 0.38 = 0. 160 (B,B) 0.42 0.42 = 0. 176 (B,N) 0.42 0.20 = 0. 084 (N,A) 0.20 0.38 = 0. 076 (N,B) 0.20 0.42 = 0. 084 (N,N) 0.20 0.20 = 0. 040 Αίθρια (Α): όταν καλύπτεται λιγότερο του 20% του ουρανού από νέφη. Νεφελώδης (Β): όταν καλύπτεται από νέφη το 20% εως το 80% του ουρανού. Νεφοσκεπής (Ν): όταν τα νέφη καλύπτουν πεισσότερο από 80% του ουρανού

ιαγράµµατα (1) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) : 2 ( )= ( 1 )+ ( 2 )+ ( 3 )+ ( 5 )=0.5 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 8 ( )

ιαγράµµατα (2) 1 1 E = E1 E2 2 E = E1 E2 2 E 1 3 3 4 E 1 4 5 5 6 6 7 7 E 2 8 E 2 8 E = E1 E2 E = E1 E2

Το Θεώρηµα των Ολικών Πιθανοτήτων Έστω ένα πείραµα Π και δύο ενδεχόµενα Α 1 και Α 2 στα οποία αντιστοιχούν οι πιθανότητες Ρ(Α 1 ) και Ρ(Α 2 ). Αν τα ενδεχόµενα αυτά είναι ασυµβίβαστα, δηλαδή δεν µπορούν να πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα, τότε η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα δύο είναι ίση µε: Γενίκευση P(A 1 ) + P(A2) P(A 1 A2) = P( 1) + P( 2) = P(A 1) + P(A2) i A1 i A 2 P(A1 A 2 A 3 A ) = P(A 1) + P(A 2) + P(A )

Το Θεώρηµα των Σύνθετων Πιθανοτήτων (1) Έστω δύο πειράµατα Π1 και Π2 που µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα µεταξύ τους Θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Α 1 στο πείραµα Π1 και Α 2 στο Π2. Έστω επίσης Ρ(Α 1 ) και Ρ(Α 2 ) οι αντίστοιχες πιθανότητες τους. Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν και τα δύο ενδεχόµενα στα πειράµατα Π1 και Π2 συµβολίζεται µε: P ( A 1 A 2 ) και είναι ίση µε: P(A1 A 2) = P(A 1) P(A 2)

Το Θεώρηµα των Σύνθετων Πιθανοτήτων (2) Έστω δύο πειράµατα Π1 και Π2 που δεν µπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα µεταξύ τους. Ας υποθέσουµε τώρα, ότι τα δύο ενδεχόµενα Α 1 και Α 2 δεν είναι ανεξάρτητα και ότι η πραγµατοποίηση του ενός επηρεάζει την πραγµατοποίηση του άλλου καθώς και αντίστροφα. Στην περίπτωση αυτή προσδιορίζουµε την πιθανότητα να συµβεί το Α 2, εφόσον συνέβη το Α 1, που συµβολίζουµε µε Ρ(Α 2 /Α 1 ) ή την πιθανότητα να συµβεί το Α 1, εφόσον συνέβη το Α 2, Ρ(Α 1 /Α 2 ) και έχουµε: P(A1 A 2) = P(A 1) P(A 2/A 1) = P(A 2) P(A 1/A 2)

Πιθανότητες υπό Συνθήκη- εσµευµένες Πιθανότητες P(A 1/A 2) = P(A1 A2) P(A 2) P(A 2/A 1) = P(A 1 A 2) P(A 1) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α 2, υπό την προϋπόθεση ότι έχει πραγµατοποιηθεί το Α 1, είναι ίση µε τον λόγο της πιθανότητας να πραγµατοποιηθούν τα Α 1, Α 2 συγχρόνως, προς την πιθανότητα πραγµατοποίησης του Α 1.

εσµευµένη Πιθανότητα Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου δεδοµένου ότι ένα άλλο ενδεχόµενο έχει ήδη πραγµατοποιηθεί-συµβεί ορίζεται ως δεσµευµένη πιθανότητα ( ). Η δεσµευµένη πιθανότητα του Α δεδοµένου του Β συµβολίζεται µε P(A B). Η δεσµευµένη πιθανότητα υπολογίζεται ως εξής: P( A B) = P( A B) P( B) O πολλαπλασιαστικός νόµος ή κανόνας παρέχει ένα τρόπο υπολογισµού της πιθανότητας της τοµής δύο ενδεχοµένων: P(A B) = P(B)P(A B)

Παρατήρηση : A B : P (A / B) = P(A) / P(B) P(A B) P(A / B) = P(B) A B A B = A P(A / B) = P(A) P(B)

Παράδειγµα 4 Να βρεθεί η πιθανότητα να έρθει σε µια ρίψη ζαριού αποτέλεσµα µικρότερο του 4, εάν α) δε δίνεται άλλη πληροφορία, β) είναι γνωστό ότι ή ρίψη έδωσε περιττό αριθµό. Λύση: α) Έστω Β το ενδεχόµενο «ένδειξη µικρότερη του 4». Τότε: Ρ(Β)= )=Ρ(1)+Ρ(2)+Ρ(3)=1/6(3)=1/6 + 1/6 + 1/6 =1/2 β) Έστω Α το ενδεχόµενο «περιττός αριθµός». Τότε: Ρ(Α)=3/6 =1/2 και Ρ(Α Β)=2/6 = 1/3. Συνεπώς: Ρ( Α Β) 1/ 3 2 Ρ( Α Β ) = = = Ρ( Α) 1/ 2 3

Ο Νόµος-Κανόνας της Ολικής Πιθανότητας (1) Έστω k ενδεχόµενα B 1, B 2,, B k αµοιβαία αποκλειόµενα ( ) ή ξένα ( ) και k i= 1 B Τότε λέµε ότι αυτά τα ενδεχόµενα σχηµατίζουν ένα διαχωρισµό ( ) του Ω. Αν τα k ενδεχόµενα B 1, B 2,, B k σχηµατίζουν ένα διαχωρισµό και αν το Α είναι κάποιο άλλο ενδεχόµενο του Ω τότε τα ενδεχόµενα B 1 Α,, B 2 Α,, B k Α θα σχηµατίζουν ένα διαχωρισµό του Α: Α= = (B( 1 Α) (B 2 Α) (B k Α) Αφού τα k ενδεχόµενα στη δεξιά πλευρά της πιο πάνω εξίσωσης είναι ξένα τότε: k i j= 1 = Ω P( A) = P( B j A)

Ο Νόµος της Ολικής Πιθανότητας (2) Η τοµή του Α µε τα ενδεχόµενα B 1, B B 4, B 5, B 2, B 3, 1 2 SΩ 5 4 3

Ο Νόµος της Ολικής Πιθανότητας (3) Αν P(Β j )>0 για j=1,2,,k,k τότε ο νόµος της ολικής πιθανότητας (law of total probability) γράφεται: P( A) = k j= 1 P( B ) P( A j B j ) Μπορούµε να δείξουµε ότι ο νόµος της ολικής πιθανότητας δεδοµένου κάποιου άλλου ενδεχοµένου C είναι: k P( A C) = P( B C) P( A ( B C)) j= 1 j j

Θεώρηµα του Bayes ίνεται ένας διαµερισµός του Ω: A i =, i=1, =1, n, και A i A j =, i j Τότε Ρ( Α Β ) = i k= 1 Ρ( Α ) Ρ( Β Α ) i Ρ( Αk ) Ρ( Β Αk ) i a posteriori Πιθανότητα a priori Πιθανότητα

Προσέγγιση Bayes (1) Ο ακρογωνιαίος λίθος της προσέγγισης του Bayes είναι το θεώρηµα του Bayes. Σχηµατίζουµε ένα σύνολο από αρχικά πιστεύω ή εκ των προτέρων πιθανότητες (set of initial beliefs or prior probabilities). Κατόπιν, από το δείγµα ή πείραµα λαµβάνουµε επιπρόσθετες πληροφορίες. Με βάση τις επιπρόσθετες πληροφορίες, µπορούµε να υπολογίσουµε την εκ των υστέρων ή αναθεωρηµένη πιθανότητα (posterior or revised probability). Το θεώρηµα του Bayes µας παρέχει ένα τρόπο να αναθεωρήσουµε τα αρχικά πιστεύω-πιθανότητες πιθανότητες (the prior probabilities).

Προσέγγιση Bayes (2) Prior Bayes Posterior

Παρατήρηση Υπάρχει (;;;) µεγάλη διαµάχη µεταξύ οπαδών της προσέγγισης της συχνότητας (frequentists) και προσέγγισης του Bayes (Bayesians).

Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα (1) : P(A) 0 P(B) 0, : ( / )= ( ) : P(A B) P(A / B) = P(B) : P(A B) = P(A) P(B),,. 1, 2,, n, P(A 1) 0, P(A2) 0,, P(A n) 0 : P(A1 A2 A 3... A n) = P(A 1) P(A 2) P(A 3).... P(A n),

Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα (2) Όταν δύο ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε οι πληροφορίες που έχουν σχέση µε το ένα δεν ασκούν καµιά επίδραση στο άλλο :. : P(A B) =., A B = ( A B)=0, P(A) P(B) P (A) P(B) = 0 P(A) = 0 ( )=0,

Παράδειγµα 5 Ρίχνουµε 2 ζάρια. Έστω E={το πρώτο ζάρι 5}, F={άθροισµα 7}, και G={άθροισµα 10} 1. είξτε ότι P(F E)=P(F) 2. είξτε P(G E) P(G) P(G) 3. Αν πρόκειται να στοιχηµατίσετε κατά πόσο το άθροισµα των ζαριών θα δείξει 10, θα σας βοηθούσε αν ξέρατε ότι το πρώτο ζάρι είναι 5; Τι συµβαίνει αν πρόκειται να στοιχηµατίσετε κατά πόσο το άθροισµα των ζαριών θα δείξει 7?

Παράδειγµα 5 (συνέχεια( συνέχεια) (1, 1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,5) (6,5) (6,6)

Παράδειγµα 5 (συνέχεια( συνέχεια) P(F)=P({1,6}, {2,5}, {3,4}, {4,3}, {5,2}, {6,1})=6/36=1/6 P(E)=6/36=1/6 P(F E)= P(F Ε)/ P(Ε) P(F Ε)= Ε)=P({5,2})=1/36 Άρα P(F E)= P(F Ε)/ P(Ε)=( (Ε)=(1/36)/(1/6)=1/6=P(F) P(G)=P({6,4}, {5,5}, {4,6})=3/36=1/12 P(G Ε)=P({5,5})= 1/36 P(G E)= P(G Ε)/ P(Ε)=( (Ε)=(1/36)/(1/6)=1/6 P(G)

Παράδειγµα 6 ίνεται η κατανοµή των 2300 υπαλλήλων µιας ηµόσιας Υπηρεσίας κατά φύλο και κατά µεταφορικό µέσο που πηγαίνουν στην εργασία τους. 1100 400 1500 300 500 800 1400 900 2300 Περιθώριες Συχνότητες: Περιθώρια Γραµµή Περιθώριες Συχνότητες: Περιθώρια Στήλη

Παράδειγµα 6 (συνέχεια( συνέχεια) Α: το ενδεχόµενο ο υπάλληλος να είναι άνδρας Β: το ενδεχόµενο ο υπάλληλος να είναι γυναίκα Γ: το ενδεχόµενο ο υπάλληλος να πηγαίνει στην εργασία του µε τα µεταφορικά µέσα ηµόσιας Χρήσης Ι: το ενδεχόµενο ο υπάλληλος να πηγαίνει στην εργασία του µε µεταφορικό µέσο Ιδιωτικής Χρήσης Ποια είναι η πιθανότητα ένας υπάλληλος να είναι άνδρας και ποια να είναι γυναίκα, µε την προϋπόθεση ότι πηγαίνουν στην εργασία τους µε µεταφορικό µέσο ιδιωτικής χρήσης;

Παράδειγµα 6 (συνέχεια( συνέχεια) 0.478 0.174 0.652 0.131 0.217 0.348 0.609 0.391 1.00 P (A I) = 0.174 P ( I) = 0. 217 : P (I) = 0. 391, : P(A I) 0.174 P (A / I) = = = P(I) 0.391 P( I) 0.217 P ( / I) = = = P(I) 0.391 0.445 0.555

Παράδειγµα 7 Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζονται οι σχετικές συχνότητες των σχέσεων µεταξύ φύλου και γνώµης για τις αµβλώσεις ( ) ( ) ( ) 0.27 0.21 0.48 ( ) 0.24 0.28 0.52 0.51 0.49 1.00 ( )=0.51 P(Y, A) 0.27 P (Y / A) = = = P(A) 0.51 : 0.53 :

Παράδειγµα 7 (συνέχεια( συνέχεια) P(Y, Γ) 0.24 P (Y / Γ ) = = = P( Γ) 0.52 : 0.46 ( ), ( / ), ( / ).

Παράδειγµα 8 Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουµε από µία τράπουλα 52 φύλλων δύο άσσους, όταν η επιλογή του δεύτερου φύλλου γίνεται µετά την επανατοποθέτηση του πρώτου. :, : P(A P(A 1) P(A 1 1 A 2) 1= 2= = 4 / 52 A 2) = = P(A 1) P(A 2) = P(A 2) ( 4 / 52) ( 4 / 52) = 0. 006,

Παράδειγµα 9 Μια κάλπη περιέχει 6 κόκκινες,, 4 άσπρες και 5 µαύρες σφαίρες, επιλέγουµε διαδοχικά τρεις. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουµε στην σειρά µία από κάθε χρώµα, αν η επιλογή γίνει µε επανατοποθέτηση ή χωρίς;, =, = = : P(K A M) = P(K) P(A) P(M) ( )=6/15, ( )=4/15, ( )=5/15 6 4 5 P(K A M) = = 0.035 3 ( 15), : P(K A M) = P(K)P(A / K)P(M / A K) P (K) = 66/15 / 5, P(A / K) = 4 /14, P(M / A K) = 5 /13 6 4 5 P (K A M) = = 0.044 15 14 13,

Παράδειγµα 10 Η κυβέρνηση µιας χώρας µε 30% µισθωτούς, έχει εφαρµόσει ένα νέο σύστηµα φορολογίας. Το 85% των ερωτηθέντων µισθωτών είναι ευχαριστηµένοι από το νέο σύστηµα, ενώ το 95% των υπολοίπων όχι. 1. Ποιο είναι το ποσοστό του πληθυσµού, που είναι ευχαριστηµένο από το νέο σύστηµα φορολογίας; 2. Ποιο είναι το ποσοστό των µισθωτών στους δυσαρεστηµένους;

Παράδειγµα 10 (συνέχεια( συνέχεια) = 2= B= 1=

Παράδειγµα 10 (συνέχεια( συνέχεια) B Ω A 1 A2 = Ω A 1 A2 = P(A 1 ) = 0.3 P(A 2) = 0.7 ( / 1)=0.85 P(B/A ) = 1 P(B/A 2) = 1 0.95 2 = 0.05 1 2. 1) B = (A1 B) (A2 B), ( A1 B),(A2 B) : P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) : : P(A1 B) = P(B/ A 1) P(A 1) (A2 B) = P(B / A 2) P(A ) P 2 P 2 (B) = P(A 1) P(B/ A 1) + P(A2) P(B / A ) = 0.3 0.85 + 0.7 0.05 ( )=0.29 29%.

Παράδειγµα 10 (συνέχεια( συνέχεια) 1) Bayes, : P(A 1 / B) P (A 1 / B) = 2 P(A 1) P(B / A 1) i= 1 P(A i) P(B / A i) P(A 1) P(B / A 1) = P(A 1) P(B / A 1) + P(A2) P(B / A 2) Συµπλήρωµα του Β : P(B / A 1 ) = 0.85 P(B / A 1) = 0. 15 : P(B/ A 2 ) = 0.05 P(B / A 2) = 0. 95 : 0.3 0.15 P(A1 / B) = = 0. 063 0.3 0.15 + 0.7 0.95 6,3%,.

Παράδειγµα 11 Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε την αγορά ενός όχι καινούργιου διαµερίσµατος (έτος κατασκευής 1985-1995). 1995). Πριν καταλήξουµε στην οριστική απόφαση, αρχικά διενεργούµε µια πρώτη έρευνα µέσω των αγγελιών των εφηµερίδων και διαπιστώνουµε ότι το 40% των διαθέσιµων προς πώληση διαµερισµάτων παρουσιάζουν πρόβληµα στις υδραυλικές τους εγκαταστάσεις ( πρόβληµα ) και το 60% όχι ( κατάλληλα ). Για να έχουµε µια πιο υπεύθυνη άποψη για τις υδραυλικές εγκαταστάσεις των προς πώληση διαµερισµάτων τα επισκεπτόµαστε µ έναν υδραυλικό της εµπιστοσύνης µας ο οποίος επιβεβαιώνει την αρχική άποψη στο 80% αυτών που αρχικά κατατάξαµε σ αυτά µε πρόβληµα και στο 60% των κατάλληλων.

Παράδειγµα 11 (συνέχεια( συνέχεια) ; ). ). ).

ςο Παράδειγµα 11 (συνέχεια( συνέχεια) 1 2 ςο 0.4 0.8 0.2 0.4 0.8 0.4 0.2 0.32 0.08 56%. 0.6 0.4 0.6 0.6 0.4 0.6 0.6 0.24 0.36 44%. 1.00

Παράδειγµα 11 (συνέχεια( συνέχεια) : 0.40=40% 0.32 P(. ) = = 0.57 0.56, :, 0.08 P(. ) = = 0.44 0.18, :

Παράδειγµα 11 (συνέχεια( συνέχεια) 0.4 0.8 1.0 0.4 ( ) 80% 40%=32% ( 0.8 0.4 = 0. 32 ) 0.6 ( ) 1.00 (. / 0.32.)= = 0. 57 0.56 40% 60%=24% ( 0.4 0.6 = 0. 24 ).=56% ( 0.32 0.24 = 0. 56 )

Πιθανότητες στη ειγµατοληψία (1) Ας θεωρήσουµε ότι, από έναν πληθυσµό ν διαφορετικών αντικειµένων, θέλουµε να πάρουµε ένα δείγµα αποτελούµενο από µ στοιχεία, χωρίς να επανατοποθετούµε καθένα από αυτά που παίρνουµε. Στην περίπτωση αυτή το σύνολο των δειγµάτων ισούται µε τους συνδυασµούς των ν αντικειµένων ανά µ: ν ν( ν 1)( ν 2) ( ν µ + 1) = = µ 1 2 3 µ ν! µ!( ν µ )! Αυτός είναι ο αριθµός των δειγµάτων, όταν δεν µας ενδιαφέρει η διάταξη των αντικειµένων σε κάθε δείγµα. Όταν όµως µας ενδιαφέρει και η διάταξη µέσα σε κάθε δείγµα, τότε ο αριθµός των διαφορετικών δειγµάτων είναι ίσος µε τις διατάξεις των ν αντικειµένων ανά µ. µ ν = ν( ν 1)( ν 2) ( ν µ + 1)

Παράδειγµα 12 Υποθέτουµε ότι σε µια κάλπη υπάρχουν 20 άσπρες και 10 µαύρες σφαίρες. Αν εξάγουµε τυχαία δύο από αυτές, ποια είναι η πιθανότητα να είναι άσπρες και ποια να είναι µια άσπρη και µια µαύρη;

Παράδειγµα 12 (συνέχεια( συνέχεια) 30, 30 2. ( ). 20 20 20 2 1. 10 10 1. 2 : 20 2 = 30 2 20 19 2 = 30 29 2 P1 = 0.0437 20 10 1 1 20 10 P 2 = = = 0.460 30 30 29 2 2 :

Παρατηρήσεις 1) x 1, x 2,, x,, x i - : P = 1, i=1, 2,, =1, 2,, ν 2),, : P = µ ν

Πιθανότητες στη ειγµατοληψία (2) Έστω ότι από έναν πληθυσµό ν αντικειµένων επιθυµούµε να δηµιουργήσουµε ένα δείγµα µε µ από αυτά µε επανατοποθέτηση. ηλαδή, αφού πάρουµε τυχαία το πρώτο αντικείµενο, το επανατοποθετούµε στον πληθυσµό, κατόπιν παίρνουµε τυχαία το δεύτερο, το επανατοποθετούµε στον πληθυσµό, παίρνουµε το τρίτο, κ.ο.κ. ώσπου να συµπληρώσουµε τα µ αντικείµενα. Παρατηρούµε ότι στην δειγµατοληψία µε επαναφορά η κάθε επιλογή είναι ανεξάρτητη από τις άλλες και το δείγµα µπορεί να περιέχει το οποιοδήποτε αντικείµενο του πληθυσµού µία ή δύο ή το πολύ µ φορές.

Παράδειγµα 13 : {,,,,,,, }, ={, }., 2 3 =8 : 1 P = 3 2 = 1 8

Παρατήρηση,,, : P = 1 µ ν

Σύνοψη

Πίνακας 1 A B A B, A, A B A = A B AB c Ω,. φ,.. ( ),,,.., ( = φ. AB ).

Πίνακας 2 A B A B ( B) ( AB ) A B A B. A.,. A φ = A, A φ = φ A A = A, AA = A A Ω = Ω, A Ω = A ( A B) = A B, ( AB ) = A B A A = Ω, ( A ) = A A B AB = A A B = B,.

Πίνακας 3 (Richard von Mises, 1919) (Kolmogorov, 1933) (Laplace, 1812) P( A) = lim ν + ν ν A 1. P ( A) 0, Ω. 2. P ( Ω) = 1 3. P ( A1 A2...) = P( A1 ) + P( A2 ) +..., A 1, A2,.... P ( A) Ω =, A Ω πλ θος στοιχε ων του Α = πλ θος στοιχε ων του Ω

Πίνακας 4 ( ) P( φ ) = 0 P( A) 1 = P( Ω) { a,,... 1 a2 } A =, P ( A) = P({ a1 }) + P({ a2}) +... P( A ) = 1 P( A) P( AB ) = P( A) P( AB) A B P( A) P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) P( AB) P ( A/ B) =, P( B) P( B) > 0 1. P ( A/ B) 0 2. P ( Ω / B) = 1 3. P ( A1 A2.../ B) = P( A1 / B) + P( A2 / B) +... A 1, A2,.... P( φ / B) = 0 P( A / B) = 1 P( A / B) P( AΓ / B) = P( A/ B) P( AΓ / B) Γ A P( Γ / B) P( A/ B) P( A Γ / B) = P( A/ B) + P( Γ / B) P( AΓ / B) B A P ( A / B) = 1.

Πίνακας 5 P( AB) = P( A) P( B / A) = P( B) P( A / B) P ( A) > 0, P ( B) > 0. : P ( A1 A2... Aν ) = P( A1 ) P( A2 / A1 )... P( Aν / A1 A2... Aν 1 ) P A A... ) 0 ( 1 2 A ν 1 > B 1, B2,... B ν Ω P( B i ) > 0, i = 1,2,..., ν ( 1 1 2 2 ν ) P( Bν ) B, B2,... B P( B i ) > 0, i = 1,2,..., P A) = P( A/ B ) P( B ) + P( A/ B ) P( B ) +... + P( A/ B Bayes ν Ω 1 ν P( A/ Bi ) P( Bi ) P( Bi / A) =, i = 1,2,...,ν P( A) P (A).

Πίνακας 6,, P ( AB) = P( A) P( B). P ( A) > 0, P ( B) > 0, P ( A / B) = P( A) P ( B / A) = P( B), P( AB) P( A) P( B), P ( AB) = P( A) P( B), P ( AΓ) = P( A) P( Γ) P ( BΓ) = P( Β) P( Γ) P ( ABΓ) = P( A) P( Β) P( Γ), {, }, {, }, {, }, ( P ( B) > 0) : P ( A/ B) = 0,., : P ( AB) = 0 P ( A B) = P( A) + P( B)., : P ( AB) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A) P( B)

ιαγράµµατα 1 A B A B

ιαγράµµατα 2 A B A B

ιαγράµµατα 3 A = AB AB, B = :,, BA AB : P ( A) = P( AB ) + P( AB), P( B) = P( BA ) + P( AB)

ιαγράµµατα ιαγράµµατα 4 1 2 3 ν ) ( ) / (... ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) (... ) ( ) ( )... ( ) ( 2 2 1 1 2 1 2 1 ν ν ν ν B P B A P B P B A P B P B A P AB P AB P AB P AB AB AB P A P + + + = = + + + = =

ιαγράµµατα ιαγράµµατα 5 Bayes ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( 1 1 1 1 A P B P B A P A P AB P A B P = =,., ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( A P B P B A P A P AB P A B P ν ν ν ν = =

Στοιχεία Συνδυαστικής

Στοιχεία Συνδυαστικής Αν κατά την απαρίθµηση των στοιχείων ενός συνόλου α) η διαδικασία της απαρίθµησης µπορεί να χωρισθεί σε κ διαφορετικά βήµατα τα οποία πρέπει να εκτελεστούν διαδοχικά το ένα µετά το άλλο και β) το πλήθος των δυνατών επιλογών σε κάθε βήµα είναι πλήρως καθορισµένο όταν είναι γνωστά τα αποτελέσµατα όλων των προηγούµενων βηµάτων, τότε η απαρίθµηση µπορεί να γίνει µε χρήση της πολλαπλασιαστικής αρχής.

Πολλαπλασιαστική Αρχή «α 1 1 α 1, α 2 ν 2,, 1, 2,..., k 1 α ν κ, α1 α2 α α α α, κ.» ν,,..., k, ν1 ν 2... ν κ

ιατάξεις, Μεταθέσεις, Συνδυασµοί Οι σχηµατισµοί που προκύπτουν µε την επιλογή k στοιχείων από ένα σύνολο ν στοιχείων (1 k ν) ονοµάζονται διατάξεις των ν στοιχείων ανά k αν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής τους ήσυνδυασµοί των ν στοιχείων ανά k αν δεν µας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφής τους. Οι διατάξεις των ν στοιχείων ανά ν ονοµάζονται µεταθέσεις των ν στοιχείων.

Παράδειγµα 14 Οι συνδυασµοί των 4 στοιχείων του συνόλου {α, β, γ, δ} ανά 3 είναι: {α, β, γ}, {α,{ β, δ}, {α,{ γ, δ}, {β,{ γ, δ}. Οι διατάξεις των 4 στοιχείων του συνόλου {α, β, γ, δ} ανά 3 είναι: {α, β, γ}, {α,{ γ,β}, {β,{ α, γ}, {β,{ γ,α}, {γ,{ α, β}, {γ,{ β, α}, {α,{ β, δ}, {α,{ δ, β}, {β,{ α, δ}, {β,{ δ, α}, {δ,{ α, β}, {δ,{ β, α}, {α,{ γ, δ}, {α,{ δ, γ}, {γ,{ α, δ}, {γ,{ δ, α}, {δ,{ α, γ}, {δ,{ γ, α}, {β,{ γ, δ}, {β,{ δ, γ}, {γ,{ β, δ}, {γ,{ δ, β}, {δ,{ β, γ}, {δ,{ γ, β}. Οι µεταθέσεις των 4 στοιχείων του συνόλου {α, β, γ, δ} είναι: {α, β, γ, δ}, {β,{ γ, δ, α}, {γ,{ δ, α, β}, {δ,{ α, β, γ}, {α,{ β, δ, γ}, {α,{ δ, γ, β}, {α,{ γ, δ, β,}, {α,{ γ, β, δ}, {γ,{ β, α, δ}, {γ,{ α, β, δ}, {γ,{ α, δ, β}, {δ,{ α, γ, β}, {β,{ α, γ, δ}, {β,{ α, δ, γ} } {δ,{ β, α, γ}, {δ,{ β, γ, α}, {δ, γ, β, α}, {δ,{ γ, α, β}, {γ,{ δ, β, α}, {γ,{ β, δ, α}, {α,{ δ, β, γ}, {β,{ γ, α, δ}, {β,{ δ, γ, α}, {β,{ δ, α, γ}.

Υπολογισµοί Υπολογισµοί Αριθµός Αριθµός ιατάξεων ιατάξεων Αριθµός Αριθµός Συνδυασµών Συνδυασµών Αριθµός Αριθµός Μεταθέσεων Μεταθέσεων=k! )! (! 1) (... 2) ( 1) ( k k k = + = ν ν ν ν ν ν ν )!!(! k k k = ν ν ν

Επαναληπτικές διατάξεις ν στοιχείων ανά k, ( ν = 3) 1,, 2 ( k = 13)., 13-1,, 2 ( 13 )., 13 3 3... 3 = 3. 13

Μεταθέσεις k ειδών στοιχείων Αν r στοιχεία δεν είναι διαφορετικά αλλά ταξινοµούνται σε k διαφορετικά είδη µε r 1 από αυτά όµοια µεταξύ τους (πρώτο είδος), r 2 από αυτά όµοια µεταξύ τους (δεύτερο είδος),. και r k από αυτά όµοια µεταξύ τους (k είδος), τότε ο αριθµός των διαφορετικών µεταθέσεων των r στοιχείων είναι ίσος µε: r! r r!!... r 1 2 k Οι διαφορετικές µεταθέσεις των 4 γραµµάτων της λέξης ΑΛΛΟ είναι, ΑΛΛΟ, ΑΛΟΛ, ΛΑΛΟ, ΛΑΟΛ, ΟΑΛΛ, ΛΛΑΟ, ΛΛΟΑ, ΑΟΛΛ, ΛΟΑΛ, ΛΟΛΑ, ΟΛΛΑ, ΟΛΑΛ, δηλαδή,, 12 συνολικά και όχι 4!=24 4! 1!2!1! = 12!

Παραδείγµατα

Το Πόκερ Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουµε τέσσερις άσσους σε ένα µοίρασµα στο πόκερ; Στο πόκερ µοιράζονται 5 «φύλλα» σε κάθε παίκτη. Έστω ότι έχουµε µόνο έναν παίκτη.

Το Πόκερ (συνέχεια) Ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από 52!/(5!47!) σηµεία, που αντιστοιχούν στις 52!/(5!47!) διαφορετικές πεντάδες «φύλλων» που µπορούν να µοιραστούν. Υποθέτουµε ότι τα αποτελέσµατα αυτά έχουν ίσες πιθανότητες, δηλαδή, η πιθανότητα να πάρουµε µία συγκεκριµένη πεντάδα χαρτιών είναι ίση µε 1/ 52!/(5!47!)

Το Πόκερ (συνέχεια) Για να υπολογίσουµε την πιθανότητα να πάρουµε τέσσερις άσσους, παρατηρούµε ότι µόνο 48 από τους 52!/(5!47!) δυνατούς συνδυασµούς-αποτελέσµατα αποτελέσµατα περιέχουν τέσσερις άσσους (4 από τα 5 «φύλλα» είναι άσσοι και το πέµπτο είναι ένα από τα 48 υπόλοιπα «φύλλα») Εποµένως η πιθανότητα είναι: 48/ (52!/(5!47!))) = 0,0000185

Τα Γενέθλια Ανάµεσα σε 23 άτοµα, η πιθανότητα να µην υπάρχουν δυο που να έχουν γενέθλια την ίδια ηµέρα είναι µικρότερη από 0,50 (50% ή 50-50 50). ή ισοδύναµα Η πιθανότητα δυο άτοµα να έχουν γενέθλια την ίδια ηµέρα είναι µεγαλύτερη ή ίση από 0,50 (50% ή 50-50 50).

Τα Γενέθλια (συνέχεια) Ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από 366 23 ενδεχόµενα που αντιστοιχούν σε όλες τις δυνατές κατανοµές γενεθλίων των 23 ατόµων. Υποθέτουµε ότι αυτές οι κατανοµές είναι ισοπίθανες.

Τα Γενέθλια (συνέχεια) Από τα 366 23 ενδεχόµενα, υπάρχουν 366!/(366!/(366-23)! κατανοµές γενεθλίων στις οποίες και τα 23 άτοµα έχουν διαφορετικές ηµεροµηνίες γεννήσεως. Έτσι η πιθανότητα να µην υπάρχουν δύο άτοµα που να έχουν γενέθλια την ίδια ηµέρα είναι: (366!/(366!/(366-23)! 23)!) / 366 23 = 0,494

Η Συνέντευξη Οκτώ φοιτητές περιµένουν για µια συνέντευξη σε αίθουσα αναµονής. Έστω ότι δεν υπάρχει περιορισµός ως προς το πλήθος των φοιτητών σε κάθε έτος. Να υπολογιστεί η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς δύο πρωτοετείς, δύο δευτεροετείς, δύο τριτοετείς και δύο τεταρτοετείς στην αναµονή.

Η Συνέντευξη (συνέχεια) Ο 1 ος φοιτητής µπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα 4 έτη, οµοίως ο 2 ος, ο 3 ος κ.ο.κ. Ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από 4 8 ενδεχόµενα-σηµεία σηµεία, τα οποία αντιστοιχούν σε όλους τους συνδυασµούς από έτη στα οποία µπορεί να βρίσκονται οι φοιτητές. Έστω ότι οι 4 8 συνδυασµοί έχουν την ίδια πιθανότητα εµφάνισης.

Η Συνέντευξη (συνέχεια) Υπάρχουν 8!/2!2!2!2! δείγµατα που αντιστοιχούν στην περίπτωση στην οποία υπάρχουν δύο φοιτητές από κάθε έτος. Εποµένως η πιθανότητα είναι: 8!/ (2!2!2!2!4 8 ) = 0,0385

Το Ζάρι Στο πείραµα της ρίψης ενός ζαριού, ο δειγµατικός χώρος αποτελείται από 6 ενδεχόµενα. Η πιθανότητα εµφάνισης καθενός από τα ενδεχόµενα αυτά είναι 1/6, συνεπώς η πιθανότητα να πάρουµε έναν περιττό αριθµό είναι ίση µε: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Το πειραγµένο Ζάρι Έστω ότι έχουµε ένα «πειραγµένο» ζάρι, τέτοιο ώστε η πιθανότητα να πάρουµε την ένδειξη 1 είναι 1/3 και η πιθανότητα να πάρουµε οποιονδήποτε από τους υπόλοιπους αριθµούς είναι 2/15. Η πιθανότητα να πάρουµε ως ένδειξη έναν περιττό αριθµό είναι: 1/3 + 2/15 + 2/15 = 3/5 Η πιθανότητα να πάρουµε ως ένδειξη έναν άρτιο είναι: 2/15 + 2/15 + 2/15 = 2/5

Πρόβληµα Επιδηµιολογίας Από 100.000 ανθρώπους, οι 51.500 είναι γυναίκες και οι 48.500 είναι άνδρες. Από τις γυναίκες 9.000 έχουν το πρόβληµα υγείας «φ» και από τους άνδρες 30.200 έχουν το ίδιο πρόβληµα. Έστω ότι επιλέγουµε ένα άτοµο τυχαία.

Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Έχουµε Ω={ ={γφ, γµ, αφ, αµ} ως δειγµατικό χώρο µε το γφ να σηµαίνει γυναίκα µε πρόβληµα υγείας, τογµ γυναίκα χωρίς πρόβληµα, τοαφ άνδρας µε πρόβληµα υγείας και τοαµ άνδρας χωρίς πρόβληµα υγείας. Ρ(γφ) = 0,090 Ρ(γµ γµ) = 0,425 Ρ(αφ) = 0,302 Ρ(αµ αµ) = 0,183

Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Έστω Α το ενδεχόµενο της επιλογής ενός ανθρώπου µε πρόβληµα υγείας και έστω Β το ενδεχόµενο επιλογής γυναίκας. το Α Β είναι το ενδεχόµενο επιλογής µιας γυναίκας µε πρόβληµα υγείας, το Α Β είναι το ενδεχόµενο επιλογής ενός ανθρώπου µε πρόβληµα υγείας ή γυναίκας, το Β-Α είναι το ενδεχόµενο επιλογής µια γυναίκας χωρίς πρόβληµα υγείας

Πρόβληµα Επιδηµιολογίας (συνέχεια) Ρ(A) = 0,090 + 0,302 = 0,392 Ρ(B) = 0,090 + 0,425 = 0,515 Ρ(Α Β) ) = 0,090 Ρ(Α Β) ) = 0,090 + 0,425 + 0,302 = 0,817 Ρ(B-A) = 0,425

Βιβλιογραφία Παπαδηµητρίου, Γ.. (2001). Περιγραφική Στατιστική. Θεσσαλονίκη: Παρατηρητής. Παπαδόπουλος, Γ. ( ). Σηµειώσεις. Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής (www.aua.gr/gpapadopoulos). Menexes,, G. (1998). An Investigation into Theories of the Development of Concepts of Probability.. Dissertation submitted in part fulfilment of the Degree of Master of Arts in Education Studies of the University of Surrey in September 1998. Φωτιάδης, Ν.. (1995). Εισαγωγή στη Στατιστική για Βιολογικές Επιστήµες. Θεσσαλονίκη: University Studio Press. Κουνιάς, Σ.. & Μωυσιάδης, Χ.. (1985). Πιθανότητες Ι: Θεωρία και Ασκήσεις. Θεσσαλονίκη: Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Έκδοση: Υπηρεσία ηµοσιευµάτων. Κουνιάς, Σ., Κολυβά-Μαχαίρα Μαχαίρα, Φ., Μπαγιάτης, Κ.. & Μπόρα-Σέντα Σέντα, Ε.. (1985). Εισαγωγή στη Στατιστική. Θεσσαλονίκη. Zar,, J. (1996). Biostatistical Analysis.. New Jersey: Prentice-Hall International, Inc. Καστάνης, Ν.. ( ).( Παρουσίαση: Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων.

Viola adorata