ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα Ρυθμός αλλαγής της ορμής = δυνάμεις εξασκούμενες Ορμή κινούμενου όγκου= (dm=ρdv) Μεταβολή ορμής του κινούμενου όγκου d dt V(t) V(t) ρ(x,t)u(x,t)dv ρ(x,t)u(x,t)dv

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Εξασκούμενες δυνάμεις: Α) εξωτερικές δυνάμεις όγκου Β) επιφανειακές δυνάμεις Αν οι δυνάμεις όγκου που εξασκούνται πάνω στο ρευστό είναι, ανά μονάδα όγκου, ρf, τότε η συνισταμένη δύναμη των εξωτερικών δυνάμεων στη μάζα του όγκου V(t): ρ(x, t)f(x, t)dv V(t) Η συνισταμένη δύναμη των επιφανειακών δυνάμεων (δηλαδή των δυνάμεων που ασκούνται στη νοερή επιφάνεια S(t) που περικλείει τον όγκο V(t) ) δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια S(t) της δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας.

Άρα έχουμε: Οι επιφανειακές δυνάμεις μπορούν να εκφρασθούν σαν συνάρτηση του τανυστή τάσεων σ ij, δηλαδή Οπότε Με βάση το θεώρημα του Green, μετατρέπουμε το διπλό ολοκλήρωμα των επιφανειακών δυνάμεων σε τριπλό έχουμε Εφαρμόζοντας το θεώρημα μεταφοράς του REYNOLDS στο α μέλος: d( ρu) d ρ = = ρ + ρ UdV dv du d U + ρ divu dv = ρ du dv dt dt dt dt + ρudivu dt Vt Vt Vt Όπου ελήφθη υπόψη η εξίσωση της συνέχειας Vt

Άρα έχουμε Αν αναπτύξουμε την ολική παράγωγο της ταχύτητας στο αριστερό σκέλος i j U U i ρ + =ρ +σ j t U x f i ij,j Ηβασικήαυτήεξίσωση, που εκφράζει τον ο Νόμο του Νεύτωνα εφαρμοσμένο σε στοιχειώδες απειροστό όγκο ρευστού, αποτελεί τον θεμέλιο λίθο της ρευστομηχανικής. Για i,j=1,,3 η σχέση δίνει τρεις εξισώσεις. Η σχέση αυτή είναι ανεξάρτητη από τις ιδιότητες ενός συγκεκριμένου ρευστού, ισχύει για κάθε ρευστό συμπιεστό ή ασυμπίεστο, γραμμικό ή μη γραμμικό, σε στρωτή ή τυρβώδη ροή. Είναι μία γενική εξίσωση που ισχύει για κάθε περίπτωση κίνησης, οποιουδήποτε ρευστού.

U U i i ρ + =ρ +σ j t U x f i ij,j j Οι 3 συνιστώσες της παραπάνω εξίσωσης προσφέρουν 3 διαφορικές εξισώσεις της κίνησης του στοιχειώδους σωματιδίου που μαζί με την εξίσωση συνεχείας και την εξίσωση που συνδέει την πυκνότητα με την πίεση ρ=ρ(p), δίνουν ένα σύνολο πέντε εξισώσεων. Το πρόβλημα όμως παραμένει μαθηματικά αόριστο, γιατί έχουμε πέντε διαφορικές εξισώσεις αλλά οι άγνωστοι είναι πολύ περισσότεροι, είναι 10, δηλαδή οι 3 συνιστώσες της ταχύτητας, οι 6 συνιστώσες του τανυστού τάσεων και η πίεση p. Πρέπει να αναζητήσουμε ή νέες διαφορικές εξισώσεις ή σχέσεις μεταξύ των αγνώστων. Ακολούθως, θα εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ του τανυστή τάσεων και του τανυστή των ταχυτήτων παραμόρφωσης. Η σχέση αυτή καλείται εξίσωση συμπεριφοράς και εξαρτάται άμεσα απότηφύσητουρευστού, σε αντίθεση με την παραπάνω εξίσωση η οποία, όπως αναφέραμε και προηγούμενα, είναι γενικότατης μορφής εξίσωση, ανεξάρτητη από τις φυσικές ιδιομορφίες της ύλης.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Ή ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ Θα εξετάσουμε τον μηχανισμό με τον οποίο δημιουργούνται οι επιφανειακές τάσεις. Εξετάζουμε τι συμβαίνει σε μία μικρή περιοχή της επιφάνειας, S(t). Όταν το ρευστό κινείται, αναπτύσσονται δυνάμεις «τριβής» μεταξύ γειτονικών σωματιδίων κινουμένων με διαφορετική ταχύτητα. Η πραγματική φύση των δυνάμεων αυτών είναι μοριακή. Ας απομονώσουμε από ένα ρευστό δύο σωματίδια α και β, τα οποία εφάπτονται κατά την επιφάνεια S, με ταχύτητες αντίστοιχα U α και U β και έστω ότι U α >U β. Σ' ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt ένας αριθμός μορίων Ν του σωματιδίου β διέρχεται την επιφάνεια S μεταφέροντας στο σωματίδιο αορμή.

Ταυτόχρονα ο ίδιος (στατιστικά) αριθμός Ν μορίων του σωματιδίου α διέρχεται την επιφάνεια S μεταφέροντας στο σωματίδιο β ορμή. Επειδή m α >m β (είναι ανάλογες των ταχυτήτων U α και U β αντίστοιχα), αναπτύσσεται μία δύναμη : Η δύναμη που προκύπτει γενικά δεν έχει την ίδια διεύθυνση με το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεπιφάνεια των α και β, οπότε δημιουργούνται οι τάσεις σ ij =F i η ij δηλαδή όταν το ρευστό κινείται δημιουργούνται, γενικά, ορθές και διατμητικές τάσεις.

Η δράση αυτών των μοριακών δυνάμεων αναγκαστικά, απ' τη φύση τους, περιορίζεται σε μία λεπτή στρώση κοντά στη φανταστική επιφάνεια που χωρίζει τα δύο σωματίδια. Μπορούμε να πούμε, ότι αυτή η μεταφορά ορμής μέσα απ' την επιφάνεια ds εξαρτάται από τη διαφορά των ταχυτήτων (και κατά συνέπεια και των ορμών) των δύο γειτονικών σωματιδίων. Κατά συνέπεια μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δημιουργία των διατμητικών τάσεων εξαρτάται άμεσα από τον τρόπο παραμόρφωσης του ρευστού, που με τη σειρά του εξαρτάται από το πεδίο ταχυτήτων. Η σκέψη αυτή μας οδηγεί στην αναζήτηση μίας σχέσης η οποία θα συνδέει τον τανυστή των τάσεων με την παραμόρφωση του ρευστού. Μια τέτοια σχέση καλείται εξίσωση συμπεριφοράς. Παρά το γεγονός ότι η εμφάνιση των διατμητικών τάσεων οφείλεται (όπως αναφέρθηκε προηγούμενα) σε δυνάμεις μοριακής φύσης, στην αναζήτηση της εξίσωσης συμπεριφοράς θα υποθέσουμε το ρευστό σαν συνεχές μέσο, δηλ. θα αναζητήσουμε σχέσεις που είναι ανεξάρτητες από την μοριακή φύση των δυνάμεων

Οι σχέσεις αυτές είναι η περίφημη ανακάλυψη των Navier και Stokes που θεμελίωσαν μία γραμμική σχέση μεταξύ των τανυστών τάσεως και ταχυτήτων παραμορφώσεως. Οι σχέσεις που εισήγαγαν συνδέουν το πεδίο ταχυτήτων και την πίεση με τον τανυστή τάσεων και για ασυμπίεστο ρευστό είναι: U U σ = +μ j Pδ i + ij ij x x j i που καλούνται εξισώσεις συμπεριφοράς, όπου Ρ η πίεση, μ το ιξώδες, δ ij το δέλτα του Kronecker, το οποίο ισούται με μονάδα όταν i=j, και με μηδέν όταν i διάφορο του j Η εξίσωση είναι η εξίσωση συμπεριφοράς ενός γραμμικού ρευστού, δηλαδή ενός ρευστού που ικανοποιεί την υπόθεση της γραμμικής εξάρτησης του τανυστή τάσεων από τον τανυστή ταχυτήτων παραμόρφωσης, καιμπορείναγραφεί: σ ij = -P δ ij + μ e ij + λ divu δ ij όπου e ij είναι ο τανυστής ταχυτήτων παραμόρφωσης

Τα ρευστά για τα οποία ισχύει η εξίσωση συμπεριφοράς των Navier- Stokes καλούνται κλασσικά ή Νευτώνεια ρευστά. Όλατααέριακαιτα περισσότερα από τα υγρά (π.χ. νερό, διάφορα είδη λαδιών κλπ.) ανήκουν στην κατηγορία αυτή. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER - STOKES Οι εξισώσεις Navier-Stokes διαδραματίζουν σπουδαίο ρόλο στην μηχανική των ρευστών, διότι πάνω σε αυτές καθώς και στην εξίσωση συνεχείας στηρίζεται το μαθηματικό ομοίωμα οποιασδήποτε στρωτής κινήσεως για οποιαδήποτε γεωμετρία. Μέχρι τώρα αποδείχθηκε: ρ U U i i σ U f j i j dui = ρ + =ρ + dt t x Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε ένα Νευτώνειο ρευστό, όπου ο τανυστής τωντάσεωνγιαασυμπίεστη ή ισόχωρη ροή, εκφράζεται από την εξίσωση συμπεριφοράς σ ij = -P δ ij + μ e ij ij x j

Για την περίπτωση λοιπόν που το ρευστό είναι ασυμπίεστο ή η κίνηση είναι ισόχωρη (οπότε divu=0) οι εξισώσεις του NAVIER- STOKES παίρνουν την μορφή Για συμπιεστά ρευστά έχει τη μορφή: Για ρευστό ασυμπίεστο οι εξισώσεις του NAVIER-STOKES σε διανυσματική μορφή:

Είναι χρήσιμο να βλέπει κανείς τις εξισώσεις NAVIER-STOKES σαν μία ισορροπία των δυνάμεων που ασκούνται πάνω στον στοιχειώδη ρευστό όγκο. Η παραπάνω εξίσωση δείχνει μία δυναμική (ανά πάσα στιγμή) ισορροπία των μεταβαλλόμενων δυνάμεων που ασκούνται στο σωματίδιο, δηλαδή της αδρανειακής δύναμης, της εξωτερικής δύναμης (συνήθως βαρύτητας), της δύναμης λόγω διαφοράς πιέσεων gradp και της δύναμης που ασκείται στην επιφάνεια λόγω του ιξώδους. Οι εξισώσεις Νavier -Stokes ισχύουν τόσο στη στρωτή ροή όσο και στην τυρβώδη ροή. Υπάρχει όμως μία τεράστια διαφορά. Στην τυρβώδη ροή οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στιγμιαία. Επειδή στην μόνιμη τυρβώδη ροή η στιγμιαία ταχύτητα μεταβάλλεται με το χρόνο παρά το γεγονός ότι η μέση τιμή του πεδίου ταχυτήτων είναι σταθερή ως προς τον χρόνο, οι εξισώσεις διατηρούν την παραγώγιση ως προς το χρόνο.

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Εξίσωση συνεχείας Εξισώσεις Navier-Stokes U x 1 1 U + + x U x 3 3 = 0 Αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Οριακές συνθήκες Το ρευστό προσφύεται πάντα στις στερεές επιφάνειες με τις οποίες έρχεται σε επαφή. Η ταχύτητα του ρευστού που βρίσκεται σε επαφή με μια στερεά επιφάνεια είναι ίση με την ταχύτητα της στερεάς επιφάνειας, ανεξάρτητα από το πόσο λεία ή τραχεία είναι η στερεά επιφάνεια. Συνθήκη της μη ολίσθησης (non-slip condition)

Γενική λύση του μαθηματικού αυτού ομοιώματος δεν είναι γνωστή και είναι απίθανο να βρεθεί διότι οι κύριες εξισώσεις του μαθηματικού μοντέλου, οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Για παράδειγμα η ροή γύρω απο μία σφαίρα σε στρωτή ροή δεν λύνεται αναλυτικά. Αναλυτικές λύσεις του παραπάνω μαθηματικού μοντέλου επιτυγχάνονται μόνο σε απλές ειδικές περιπτώσεις όπου γίνονται διαφόρων ειδών απλοποιήσεις (π.χ. μορφή της ροής διδιάστατη ή μονοδιάστατη, στερεές επιφάνειες επίπεδες, κ.τ.λ.). Η πρόοδος όμως των Η/Υ καθώς και των υπερυπολογιστών έχει κάνει εφικτή την επίλυση των πλήρων εξισώσεων Navier - Stokes σε διάφορα απλά προβλήματα. Για οποιοδήποτε πραγματικό πρόβλημα στρωτής ροής μπορούμε να γράψουμε το μαθηματικό του μοντέλο. Δηλαδή οποιοδήποτε πρόβλημα στρωτής ροής περιγράφεται μαθηματικά με τις εξισώσεις Navier- Stokes, την εξίσωση συνεχείας και τις αρχικές και οριακές συνθήκες.

ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥΝ ΣΕ ΑΠΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER- STOKES Η γνώση πάνω στις μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους προέρχεται κυρίως από τη μελέτη εξισώσεων της μορφής: Φ Φ Φ A B C D x + + x y y = όπου οι συντελεστές Α, Β, Cκαι D μπορεί να είναι μη γραμμικές συναρτήσεις των x, y, Φ, Φ/ y αλλά όχι συναρτήσεις των δεύτερων παραγώγων της Φ. Γι' αυτό το λόγο καλούνται ημιγραμμικές (ως προς τη δεύτερη παράγωγο) διαφορικές εξισώσεις δεύτερου βαθμού (quasilinear second order partial differential equations). Οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι της ανωτέρω μορφής. Επί πλέον πολλά προβλήματα βασικής σημασίας για το σύγχρονο μηχανικό, ανάγονται σε μια διαφορική εξίσωση του ανωτέρου τύπου. Έχει δειχθεί ότι ο βασικός χαρακτήρας της διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται από τη συνάρτηση Β -4ΑC (που καλείται "διακρίνουσα").

Φ Φ Φ A B C D x + + x y y = Εξίσωση Laplace: (ελλειπτική): Β -4ΑC=-4<0 Φ Φ + = 0 x y Εξίσωση διαχύσεως ή εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας (παραβολική): Β -4ΑC =0 Εξίσωση κύματος (υπερβολική): Β -4ΑC =4>0 Φ Φ = 0 x y Φ Φ = 0 x y Η πολυπλοκότητα του γενικού μαθηματικού μοντέλου μίας οποιασδήποτε στρωτής ροής γίνεται φανερή, αν λάβουμε υπ όψη μας το γεγονός ότι οι εξισώσεις Navier-Stokes είναι αρκετά πεπλεγμένες και μπορεί να είναι υπερβολικές, παραβολικές ή ελλειπτικές ή συγχρόνως συνδυασμός των ανωτέρω αναλόγως των τιμών που λαμβάνουν οι συναρτήσεις Α, Β, C.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ NAVIER-STOKES ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η ροή γίνεται ανάμεσα σε πλάκες σε απόσταση h. Υποτίθεται ότι το πλάτος των πλακών αυτών στη διεύθυνση Ζ είναι πολύ μεγάλο σχετικά με το h («άπειρο πλάτος»). Το ρευστό ρέει στη διεύθυνση x, οπότε οι συνιστώσες v και w της ταχύτητας μηδενίζονται. Το μαθηματικό μοντέλο ασυμπίεστου ρευστού σε μόνιμη μονοδιάστατη ροή, σε περίπτωση μηδενισμού των εξωτερικών δυνάμεων, γράφεται:

Εξίσωση συνέχειας u x v w + + =0 y z ή u x = 0 Εξισώσεις Navier-Stokes 0= - p x μ u + y 0= - p y 0= - p z

Εξίσωση συνέχειας Εξισώσεις Navier-Stokes Οριακές συνθήκες (συνθήκη μη ολισθήσεως) u(x,y ) = 0 για y=0 και για y=h 0= - Από τις μόνο του x. p y u x = 0 0= - p z u x = 0 0= - p x μ u + y 0= - συμπεραίνεται ότι η πίεση p είναι συνάρτηση Από την και από το γεγονός ότι η ροή είναι όμοια σε επίπεδα κάθετα στον άξονα z, συμπεραίνεται ότι u=u(y) Άρα έχουμε προς επίλυση την ακόλουθη κανονική διαφορική εξίσωση: 0= - p d u x + μ dy η οποία από φυσικής πλευράς, δείχνει ότι σε κάθε σημείο του ρευστού υπάρχει μία ισορροπία μεταξύ των δυνάμεων πιέσεως και των δυνάμεων ιξώδους p y 0= - p z

dp Αφού το είναι ανεξάρτητο του y, η εξίσωση dx μπορεί να ολοκληρωθεί δύο φορές για να δώσει u(y)= 1 μ dp dx y + Ay+ B Ηοριακήσυνθήκηu(0)=0 δίνει Β=0, ενώ η u(h)=0, δίνει 1 dp u(y) = y(h-y) μ dx Η σχέση δείχνει ότι το ρευστό ρέει στη διεύθυνση της αρνητικής βαθμίδας πιέσεως κι ότι η διανομή της ταχύτητας είναι παραβολική. Συνεπώς η μέγιστη ταχύτητα βρίσκεται στο μέσο της αποστάσεως των δύο πλακών (δηλαδή για y=h/). Πρέπει να τονιστεί ότι για την περίπτωση αυτή ο μηχανισμός ο οποίος δημιουργεί τη ροή είναι η διαφορά πιέσεως που υπάρχει στις θέσεις x=0 («είσοδος») και x=l ( έξοδος») των πλακών. Χωρίς την εξωτερική αυτή διαφορά πιέσεως p(0)-p(l) ροή δεν είναι δυνατόν να υπάρχει. Αν παραγωγήσουμε ως προς x την τελευταία σχέση, λαμβάνουμε d p/dx =0 δηλαδή το dp/dx = σταθερά. 0= - p d u x + μ dy dp h A= - dx

Συνεπώς η μεταβολή της πίεσης κατά μήκος του x είναι γραμμική, οπότε dp dx = p(l) - p(0) L Στη συνέχεια θα εξετάσουμε μία άλλη περίπτωση ροής μεταξύ δύο πλακών, απλούστερη, που λέγεται συνήθως ροή Couette. Υποθέτουμε ότι p(0)=p(l) (δεν υπάρχει μεταβολή πιέσεως) και ότι η πλάκα στο y=h κινείται με σταθερή ταχύτητα U στη διεύθυνση x. Η πλάκα στο y=0 παραμένει ακίνητη. Οι οριακές συνθήκες στην περίπτωση αυτή είναι: u(0)=0, u(h)=u, p(0)=p(l)=0=> Οπότε ισχύει η λύση u(y)= 1 μ Άρα Β =0, Α = μu/h οπότε u(y)= (γραμμική) dp dx y + Ay+ B U y h dp dx = 0

Στη συνέχεια εξετάζουμε την περίπτωση του σύνθετου προβλήματος που αφορά τη ροή ανάμεσα στις δύο πλάκες λόγω γνωστής διαφοράς πίεσης p(0) - p(l), και λόγω κίνησης της άνω πλάκας. Με βάση την παρατήρηση ότι η διαφορική εξίσωση, που ισχύει και στις δύο ως άνω περιπτώσεις, είναι γραμμική ως προς την άγνωστη παράμετρο u(y), τότε η λύση του σύνθετου προβλήματος βρίσκεται με επαλληλία των ανωτέρω δύο λύσεων, οπότε η λύση του σύνθετου προβλήματος είναι: p(0)-p(l) Uy u(y)= - y (h - y) + μ L h

p(0)-p(l) Uy u(y)= - y (h - y) + μ L h Προφανώς, ηβαθμίδαπίεσης ( p(l)-p(0) )/L μπορεί να είναι είτε θετική, είτε αρνητική και να βοηθά ή να επιβραδύνει τη ροή που οφείλεται στην κίνηση της άνω επιφάνειας. Συγκεκριμένα, αν ( p(l)-p(0) )/L <0 (οπότε dp/dx < 0), τότε η διαφορά πίεσης υποβοηθά την κίνηση του ρευστού στη διεύθυνση των θετικών x(διεύθυνση της ταχύτητας U). Αν ( p(l)-p(0) )/L >0 (οπότε dp/dx>0) τότε η διαφορά πιέσεως αντιτίθεται στην κίνηση που δημιουργείται από την κίνηση της άνω επιφανείας.

Οι συνιστώσες του τανυστού τάσεων βρίσκονται από την εξίσωση συμπεριφοράς ασυμπίεστου ρευστού και έχουμε σ ij =-pδ ij +μ e ij σ xx = σ yy = σ zz =-p σ xz = σ zx = σ yz = σ zy =0 Προφανώς, αν p(0)-p(l)= 0, τότε η διατμητική τάση σ xy μεταξύ των πλακών είναι σταθερά σε όλο το πεδίο ροής. Αν U=0(ακίνητη άνω πλάκα) και p(0) <p(l), τότε η διανομή της διατμητικής τάσης είναι γραμμική

ΡΟΗ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΧΩΡΟ (1οπρόβληματουStokes) Υποτίθεται ότι έχουμε μία άπειρη επίπεδη πλάκα εμβαπτισμένη μέσα σ' ένα άπειρο χώρο ρευστού. Τόσο η πλάκα, όσο και το ρευστό βρίσκονται σε ακινησία. Ξαφνικά η πλάκα αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω στο επίπεδό της. Λόγω της οριακής συνθήκης της μη ολίσθησης, η κίνηση αυτή της πλάκας θα αρχίσει να κινεί την ευρισκόμενη πλησίον της στρώση του ρευστού, η οποία στη συνέχεια, καθώς αυξάνει ο χρόνος, παρασύρει και την επόμενη στρώση κλπ. Υποθέτουμε ότι η επίπεδη πλάκα είναι κάθετη στον άξονα y, του Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και ότι προβάλλεται πάνω στον άξονα x.

ΡΟΗ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΧΩΡΟ (1οπρόβληματουStokes) Λόγω συμμετρίας, θεωρούμε τον ημιάπειρο χώρο του ρευστού στο πάνω μέρος της πλάκας (y > 0). Αφού η κίνηση της πλάκας γίνεται στη διεύθυνση x, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι και η κίνηση του ρευστού θα είναι επίσης στην ίδια διεύθυνση. Συνεπώς, η μόνη μη μηδενική συνιστώσα της ταχύτητας είναι u, ενώ οι άλλες δύο, οι ν και w μηδενίζονται σε κάθε σημείο του ρευστού. Είναι προφανές ότι η ταχύτητα u σε τυχόν σημείο σε απόσταση y θα εξαρτάται από το χρόνο, συνεπώς η κίνηση θα είναι μη μόνιμη.

ΡΟΗ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΧΩΡΟ (1οπρόβληματουStokes) Εξίσωση συνεχείας U x 1 1 U + + x U x 3 3 = 0 Εξισώσεις Navier-Stokes

ΡΟΗ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΧΩΡΟ (1οπρόβληματουStokes) Το μαθηματικό ομοίωμα του προβλήματος (ρ=σταθερό) απλοποιείται, λαμβανομένου υπ' όψη ότι v=w=0 και έχουμε Εξίσωση συνέχειας U x Εξισώσεις Navier-Stokes 1 1 U U + + x x Αρχικές και οριακές συνθήκες u=0για y=0και t<0 u=uγια y=0και t>0 Ηπίεσηp και η ταχύτητα u είναι πεπερασμένες σε κάθε σημείο του χώρου 3 3 = 0 u x = 0 u p u u u ρ = + μ + + t x x y z p = 0 y p = 0 z

Είναι προφανές ότι η ροή σε επίπεδα παράλληλα στο επίπεδο xy είναι όμοια. Συνεπώς η συντεταγμένη z δεν εισέρχεται στο πρόβλημα, δηλαδή η ταχύτητα u δεν εξαρτάται από το z. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε ότι η u είναι ανεξάρτητη του x, οπότε τελικά u=u(y,t) Παραγωγίζοντας την τελευταία ως προς x λαμβάνουμε: Επειδή u p u u u ρ = + μ + + t x x y z p = 0 y p = 0 z ρ = + μ t x y p =0 x u p u ολοκληρώνοντας έχουμε: p(x)=ax + B όπου Α, Β σταθερές ολοκλήρωσης. Για να παραμένει η πίεση πεπερασμένη για x, πρέπει Α=0, οπότε : p(x)=b=σταθερά Δηλαδή η πίεση p σε κάθε σημείο του ρευστού είναι μία σταθερά. Συνεπώς η εξίσωση του προβλήματος απλοποιείται: u t u =ν y

με οριακές και αρχικές συνθήκες: u(y, t) = 0 για t = 0, u(0,t)=u για t>0 u(y, t) = πεπερασμένη για t>0 u t =ν u y H διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους που προέκυψε εμφανίζεται πολλές φορές σε προβλήματα "φυσικής" και καλείται εξίσωση "διάχυσης" ή εξίσωση θερμικής αγωγιμότητας, γιατί εμφανίζεται σε προβλήματα μοριακής διάχυσης και μεταδόσεως θερμότητας με αγωγή. Η λύση της παραπάνω εξίσωσης μπορεί να γίνει είτε χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό Laplace είτε χρησιμοποιώντας τη μαθηματική μέθοδο που είναι γνωστή σα μέθοδος ομοιότητας (similarity method). Η μαθηματική αυτή μέθοδος εφαρμόζεται στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει χαρακτηριστικό γεωμετρικό μήκος στο πρόβλημα. Αυτό που επιτυγχάνουμε με τη μέθοδο ομοιότητας είναι ο μετασχηματισμός της εξίσωσης με μερικές παραγώγους σε κανονική διαφορική εξίσωση.

Υποθέτουμε ότι η λύση έχει τη μορφή: u(y,t)=uf(θ) Όπου θ = y vt Αντικαθιστώντας, έχουμε να λύσουμε την κανονική διαφορική εξίσωση: u u d f =ν + θ df dθ dθ = 0 t y η οποία μπορεί να ολοκληρωθεί διαδοχικά και να δώσει: d ( ) dθ log f = θ (όπου f = df dθ ) οπότε log f = -θ + log A όπου log A σταθερά ολοκλήρωσης Έχουμε στη συνέχεια f log = θ ή = A fa e-θ όπου Β σταθερά ολοκλήρωσης. ή f(θ) = Α -ω e dω+β 0 θ

Η οριακή συνθήκη u(0,t)=u για t>0, δίνει, βάσει του μετασχηματισμού, f(0) = 1 το οποίο στη συνέχεια απαιτεί ότι Β =1. Ηαρχικήσυνθήκηu(y, 0) = 0 για t=0απαιτεί ότι f(θ) 0 όταν θ, οπότε έχουμε: = 0 A π 1 + -ω Α e d ω+1 =0 ή Α = π Συνεπώς, ηταχύτηταu(y,t) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: θ -ω 1 e d u(y, t) = ω U π 0 Αλλά ο δεύτερος όρος της λύσης είναι η γνωστή συνάρτηση σφάλματος (error function, erf(θ)). Συνεπώς η λύση του προβλήματος αυτού μπορεί να γραφεί και με τη μορφή: uyt (, ) = 1erf U y vt

uyt (, ) = 1erf U y vt Παρατηρούμε ότι ζεύγη τιμών των y και t που δίνουν την ίδια τιμή στο λόγο, δίνουν την ίδια τιμή της ταχύτητας u(y, t). Στην ίδια θέση y, η ταχύτητα αυξάνει καθώς αυξάνει ο χρόνος και τείνει στην ταχύτητα U. Όπως θα περίμενε κανείς, η "διαταραχή" στο ακίνητο ρευστό που προήλθε από την ξαφνική κίνηση της πλάκας διαχέεται, καθώς η πλάκα συνεχίζει να κινείται. Μία εκτίμηση του βάθους του ρευστού που είναι ουσιαστικά σε κίνηση λόγω της κίνησης της πλάκας μπορεί να ληφθεί παρατηρώντας ότι για θ=3/, η τιμή erf(θ) λαμβάνει την τιμή 0.96, οπότε έχουμε για την τιμή της ταχύτητας u(y, t) = 0.04 U

ΡΟΗ ΠΡΟΕΡΧΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΚΑΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟ ΧΩΡΟ (1οπρόβληματουStokes) 1.00 0.90 0.80 0.70 error function, erf (θ) 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.10 0.00 0.00 0.50 1.00 1.50.00.50 3.00 θ Σχήμα 4.6..1 Η κατανομή της συνάρτησης λάθους (error function ).

Συνεπώς όταν το θ πάρει την τιμή 3/,δηλαδή όταν θ = y/ vt = 3/ η ταχύτητα του ρευστού είναι πολύ μικρή και συνεπώς από πρακτικής πλευράς μπορεί να υποτεθεί ότι το ρευστό σε απόσταση y μεγαλύτερη από 3 vt δεν επηρεάζεται από την κινούμενη πλάκα. Το πάχος αυτό y του ρευστού που επηρεάζεται από την στερεά κινούμενη επιφάνεια το παριστούμε με δ. δ = 3vt Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει το ρόλο που παίζει το κινηματικό ιξώδες στη διάχυση της "ορμής" μέσα στο ρευστό. Το πάχος αυτό δ καλείται "πάχος οριακής στοιβάδας" (boundary layer thickness) και αυξάνει αργά (υπενθυμίζεται ότι αναφερόμαστε σε στρωτή ροή: σε τυρβώδη ροή η μεταφορά της ορμής είναι πολύ ταχύτερη)

δ = 3vt Παραδείγματος χάρη, για νερό (ν=0.01 cm /sec), το πάχος δ είναι ίσο με 18 cm ύστερα από μία ώρα κίνησης της πλάκας, για 100 ώρες (περίπου 4 ημέρες) 1.8 μέτρα, για ένα μήνα μόλις 57 μέτρα και για ένα χρόνο 167 μέτρα. Το παράδειγμα αυτό εξηγεί γιατί άνεμος με ταχύτητα Uo, που εξασκεί επιφανειακή διατμητική τάση στη θάλασσα και δημιουργεί ένα επιφανειακό ρεύμα της τάξεως των 0.0 έως 0.03 Uo επηρεάζει ελάχιστα τα βαθύτερα στρώματα της θάλασσας, π.χ. βάθη μεγαλύτερα των 100 μέτρων.

ñüí ï ò 17 λεπτα ΑΠΟΣΤΑΣΗ y ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΛΑΚΑ, ΣΕ ΕΚΑΤΟΣΤΑ 500 400 300 00 100 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ 1.4 ΜΗΝΕΣ 5.5 ΜΗΝΕΣ 14 MHNEΣ 5 ωρες 0 ωρες ημερες 4 ημερες 1 ημερες 1.4 μηνες 5.5 μηνες 14 μηνες 58000 ετη 58000 ETH 0 0 4 6 8 10 ΤΑΧΥΤΗΤΑ u (cm/sec) Η κατανομή της ταχύτητας σε διάφορες χρονικές στιγμές, μετά την έναρξη κίνησης της πλάκας σε ακίνητο υδάτινο περιβάλλον με ταχύτητα 10 cm/s. Είναι αξιοσημείωτο ότι χρειάζονται περίπου 14 μήνες για να γίνει η ταχύτητα ίση με 6cm/sστα 5 μέτρα απόσταση.

ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΠΛΑΚΩΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Η ΜΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΚΙΝΗΤΗ ΚΑΙ Η ΑΛΛΗ ΑΡΧΙΣΕ ΞΑΦΝΙΚΑ ΝΑ ΚΙΝΕΙΤΑΙ 1.0 Δύο άπειρες παράλληλες 0.8 επίπεδες πλάκες είναι y 0.6 ακίνητες, βρίσκονται h μεταξύ τους σε απόσταση h και το ρευστό που καλύπτει το χώρο ανάμεσα 0.4 0. τους είναι ακίνητο. 0 Ξαφνικά, ημίαπλάκα 0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 u ( y, t ) / υ αρχίζει να κινείται στο επίπεδό της με σταθερή ταχύτητα U, ενώ η άλλη πλάκα σε απόσταση h παραμένει ακίνητη. Η κίνηση είναι μη μόνιμη, οι δε τροχιές των σωματιδίων είναι παράλληλες με τη διεύθυνση της ταχύτητας U, δηλαδή παράλληλη με τις πλάκες. Η πίεση έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο x. Συνεπώς το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος ανάγεται στην επίλυση του εξής συστήματος: 0.154 0.039 0.617 1.38.47 ακίνητη στερεά επιφάνεια επιφάνεια που άρχισε να κινείται με ταχύτητα υ

ΡΟΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΠΛΑΚΩΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Η ΜΙΑ ΕΙΝΑΙ ΑΚΙΝΗΤΗ ΚΑΙ Η ΑΛΛΗ ΑΡΧΙΣΕ ΞΑΦΝΙΚΑ ΝΑ ΚΙΝΕΙΤΑΙ Το μαθηματικό ομοίωμα του προβλήματος (ρ=σταθερό) απλοποιείται, λαμβανομένου υπ' όψη ότι v=w=0 και έχουμε Εξίσωση συνέχειας U x U + + x Εξισώσεις Navier-Stokes 1 1 U x 3 3 = 0 u x = 0 u p u u u ρ = + μ + + t x x y z p = 0 y p = z 0

Είναι προφανές ότι η ροή σε επίπεδα παράλληλα στο επίπεδο xy είναι όμοια. Συνεπώς η συντεταγμένη z δεν εισέρχεται στο πρόβλημα, δηλαδή η ταχύτητα u δεν εξαρτάται από το z. Από την εξίσωση της συνέχειας έχουμε ότι η u είναι ανεξάρτητη του x, οπότε τελικά u=u(y,t) Παραγωγίζοντας την τελευταία ως προς x λαμβάνουμε: Επειδή u p u u u ρ = + μ + + t x x y z p = 0 y p = 0 z ρ = + μ t x y p =0 x u p u ολοκληρώνοντας έχουμε: p(x)=ax + B όπου Α, Β σταθερές ολοκλήρωσης. Για να παραμένει η πίεση πεπερασμένη για x, πρέπει Α=0, οπότε : p(x)=b=σταθερά Δηλαδή η πίεση p σε κάθε σημείο του ρευστού είναι μία σταθερά. Συνεπώς η εξίσωση του προβλήματος απλοποιείται: u t u =ν y

u =ν u u(o,t) = U για t>0 u(h,t) = 0 για κάθε t 0 u(y,o) = 0 για y t y 0 h Η μέθοδος της ομοιότητας που εφαρμόσθηκε στη λύση του προβλήματος της προηγούμενης παραγράφου δεν μπορεί να εφαρμοστεί στο πρόβλημα αυτό, γιατί η απόσταση h μεταξύ των δύο πλακών καθορίζει ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό μήκος. Για τη λύση του μαθηματικού μοντέλου, εισάγουμε τη νέα μεταβλητή, που ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση και τις οριακές συνθήκες y φ ( y,t) = U(1 ) u h Οπότε το μαθηματικό πρόβλημα γίνεται: φ t φ =ν y φ ( o,t) = 0 για t>0 φ ( h,t) = 0 για t>0 y φ ( y,o) = U(1 ) για t=0 h y h 1.0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0.154 0.039 0.617 1.38.47 0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0

Έχουμε πάλι την εξίσωση διαχύσεως που πρέπει να λυθεί στον πεπερασμένο χώρο μεταξύ των δύο πλακών στο y=0 και y=h, με ομογενείς οριακές συνθήκες. Ακολουθώντας τη γενική μέθοδο λύσης προβλημάτων που χαρακτηρίζονται στα μαθηματικά σαν προβλήματα συνοριακής τιμής (Boundary value problems) βρίσκουμε μια μερική λύση η οποία ικανοποιεί τις δύο οριακές συνθήκες (όχι όμως την αρχική συνθήκη για t=0). Μερική λύση = exp( n π νt nπy )sin h h Η λύση του προβλήματος αναζητείται σαν μία σειρά των μερικών λύσεων, πολλαπλασιαζόμενων με σταθερές Α n οι οποίες θα προσδιοριστούν από την ανάγκη ικανοποιήσεως της συνθήκης στο χρόνο t=0 δηλαδή θέτουμε: n= 1 nπ y y An sin = φ ( y,o) = U(1 ) h h

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με sin(nπy/h) και ολοκληρώνοντας από 0 έως h, βρίσκουμε h y nπy U An = U(1 )sin dy h = h h π n o Συνεπώς, η διανομή της ταχύτητας u(y,t) δίνεται από τη σειρά Fourier y U 1 νt nπy u( y,t) = U(1 ) exp( n π )sin π h n= 1n h h

1.0 ακίνητη στερεά επιφάνεια 0.8 y h 0.6 0.4 1.38.47 y U 1 νt nπy u( y,t) = U(1 ) exp( n π )sin π h n= 1n h h 0. 0.154 0.617 0 0.039 επιφάνεια που άρχισε να κινείται με ταχύτητα υ 0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 u ( y, t ) / υ Διανομή ταχυτήτων για διάφορες τιμές της αδιαστάτου παραμέτρου νt/h. Παρατηρούμε ότι για μικρούς χρόνους (τιμές της παραμέτρου νt/h <1) η ακίνητη πλάκα ελάχιστα επιδρά στη διαμόρφωση της διανομής της ταχύτητας u(y,t). Για > χρόνους η ακίνητη πλάκα κάνει αισθητή της παρουσία της. Προφανώς, για μεγάλους χρόνους η ροή ασυμπτωματικά γίνεται μόνιμη και ισοδύναμη με τη ροή μεταξύ δύο πλακών σε σχετική κίνηση (γραμμική διανομή ταχυτήτων). Από τους όρους της σειράς Fourier, ο πρώτος όρος (για n=1) έχει πάντα τη μεγαλύτερη αριθμητική τιμή από τους άλλους.

ΜΟΝΙΜΗ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΣΩΛΗΝΑ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (ΡΟΗ POISEUILLE) Το πρόβλημα: Ποια η παροχή εκροής Q σαν συνάρτηση των χαρακτηριστικών α,l,του ύψους Η και πιθανών άλλων παραμέτρων; Είναι προφανές ότι η μόνιμη ροή η οποία αποκαθίσταται ύστερα από κάποιο χρονικό διάστημα είναι ανεξάρτητη από την μη μόνιμη ροή. Όταν η ροή είναι πλέον μόνιμη, τότε η πίεση στο σημείο Β (εκροή) είναι ίση με την ατμοσφαιρική P α, ενώ στο σημείο Α (αρχή του σωλήνα) είναι πάντα P α +ρgη. Λόγω της φανερής συμμετρίας του σωλήνα, ενδείκνυται η παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, με άξονα z που συμπίπτει με τον άξονα του κυλίνδρου

Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος αποτελείται από τις εξισώσεις συνεχείας και Navier-Stokes, καθώς και από τις οριακές και αρχικές συνθήκες. Οι οριακές συνθήκες είναι για το πεδίο ταχυτήτων η συνθήκη μη ολισθήσεως U (r=α, φ, z) = U (r=α, φ, z) = U (r=α, φ, z) = 0 r φ z Η οριακή συνθήκη για την πίεση P(r,φ,z) είναι ότι για z=0 (αρχή του σωλήνα)p Α (r,φ,z=0)=ρgh+p α για z=l (εκροή) P Β (r,φ,z=l)=p α. Η εκροή στην περίπτωση αυτή για φανερούς λόγους υποτίθεται ευθύγραμμη, συμμετρική και παράλληλη προς τον άξονα των z, οοποίος υποτίθεται οριζόντιος. Άρα: U r (r,φ,z)=u φ (r,φ,z)=0 η εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστο ρευστό (ρ=σταθερό): U z z = 0 οπότε U z =U z (r)

δηλαδή κάτι που είναι φανερό, ότι η μόνη μη μηδενική συνιστώσα της ταχύτητας, η U z (που είναι παράλληλη στον άξονα Ζ) εξαρτάται μόνο από την ακτινική απόσταση r και ότι η ροή διαθέτει αξονική συμμετρία. Οι εξισώσεις Navier-Stokes γράφονται σε κυλινδρικές συντεταγμένες, υποθέτοντας μηδενισμό των δυνάμεων όγκου και μόνιμη ροή: - P r = 0 - P r φ = 0 - P Z + μ d U dr Από τις δύο πρώτες βγάζουμε το συμπέρασμα ότι η πίεση P είναι ανεξάρτητη των συντεταγμένων r, φ, δηλαδή ότι: P = P(Z) Επειδή η Uz=Uz(r) η παραπάνω διαφορική εξίσωση αποτελείται από δύο όρους, όπου ο ένας εξαρτάται από το z και ο άλλος από το r. Άρα ισχύει: z + 1 r du dr z = 0 P dp - = - = σταθερο = G Z dz μ d U dr z + 1 r du dr z = -G P(Z) = αζ+β

P(Z) = αζ+β όπου οι σταθερές α και β μπορούν να βρεθούν αν γνωρίζουμε τις πιέσεις σε δύο σημεία. ρgh P(Z) = ρgh - Z L Αφού παρατηρήσουμε ότι παίρνουμε με ολοκλήρωση: du dr z r = - + C1 Παρατηρούμε λοιπόν πρώτα-πρώτα ότι C 0 και r=0 μ d U dr z + 1 r 1 έχουμε lnr= - και U z (r=0)=- Το αποτέλεσμα αυτό δεν στέκει από φυσικής πλευράς, γιατί η ταχύτητα παίρνει άπειρη αρνητική τιμή στον άξονα του κυλίνδρου, ενώ η ροή υποτίθεται πεπερασμένη και στη διεύθυνση των θετικών Ζ (θετικές ταχύτητες Uz). Η αντινομία αυτή παύει να υπάρχει όταν υποθέσουμε ότι C1=0. du dr Gr μ z = -G μ d du r z = -G rdr dr U (r) = - Gr 4μ + C Lnr + C z 1

ΗσταθεράC υπολογίζεται εφαρμόζοντας την οριακή συνθήκη του μηδενισμού της ταχύτητας U z πάνω στα στερεά όρια του κυλινδρικού αγωγού, δηλαδή: C= Cα U (r) = - Gr 4μ 4μ + C Lnr + C z Κατά συνέπεια η ζητούμενη ακτινική κατανομή της ταχύτητας U z (r ) δίνεται από την σχέση: U(r) = z ( ) P-P A B ( α - r ) L 4μ 1 α r U (r) = Z G(α -r ) 4μ U (0) = Z Gα 4μ

Ένα μέγεθος το οποίο παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι η παροχή όγκου Q μέσα από μια διατομή του κυλίνδρου. α α 4 P-P A B π P-P A B πα z L μ L 8μ 0 0 Q = πru dr = (α - r )rdr = Η μέση ταχύτητα της ροής είναι: Υποθέσαμε πιο μπροστά μηδενισμό των δυνάμεων όγκου (εξωτερικών δυνάμεων). Θα δείξουμε παρακάτω ότι η ύπαρξη των δυνάμεων αυτών δεν αλλάζει τα αποτελέσματα, όταν οι εξωτερικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις βαρύτητας. Στην περίπτωση οριζόντιου κυλινδρικού αγωγού η δύναμη βαρύτητας έχει σαν προβολή κατά την ακτίνα r: -ρg συνφ και κατά την εφαπτομένη: ρg ημφ U(r) = Q (P - P ) α gh α πα L 8μ L 8ν A B u m = = = z ( ) P-P A B ( α - r ) L 4μ

Οι εξισώσεις Navier Stokes θα έχουν τη μορφή: P - - ρg συνφ = 0 r P(r, φ,z)=-ρgr συνφ + Α(Φ, Ζ) 1 P - + ρg ημφ = 0 - r Φ P Z + μ d U dr z + 1 r du dr z = 0 Αντικαθιστώντας στη η εξίσωση προκύπτει: Κατά συνέπεια η πίεση P είναι της μορφής: Ρ(r, φ,z)=-ρg rσυνφ + Α(z) οπότε P z = A z = συνάρτηση μόνο του z A = 0 Φ δηλαδή Α=Α(z) Οπότε όπως και προηγούμενα: P duz 1dU Z - = σταθερο = G μ + = -G z dr r dr Άρα καταλήγουμε στην επίλυση των ίδιων εξισώσεων, όπως και προηγουμένως.

ΜΟΝΙΜΗ ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΟΥ ΡΕΥΣΤΟΥ ΜΕΣΑ ΣΕ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟ ΣΩΛΗΝΑ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (ΡΟΗ POISEUILLE) Οι εξισώσεις Navier-Stokes: - - P r P r φ - ρg συνφ συνβ = 0 + ρg ημφ συνβ = 0 P d UZ 1dU Z - + ρg ημβ + μ + = 0 z dr r dr Ολοκληρώνοντας την 1η και αντικαθιστώντας στη η P z = ανεξάρτητο των r, φ Η 3η εξίσωση είναι δυνατή μόνο αν: P - + ρg ημβ z = σταθερό =G μ d U dr Z + 1 r du dr Z = -G

οπότε ισχύουν πάλι οι παρόμοιες λύσεις: P G= - + ρg ημβ z Παρατηρούμε όμως ότι: ημβ =h/l, P A =ρgh, P B =0 (παίρνεται ότι ατμοσφαιρική πίεση είναι πίεση αναφοράς) P -(PB-P A) ρgh - = = z z -z L B A Κατά συνέπεια στην περίπτωση αυτή για σταθερό ή ελάχιστα μεταβαλλόμενο Η (προϋπόθεση μόνιμης ροής) P Η+h G = - + ρg ημβ = ρg z L Σε περιπτώσεις που το Η μεταβάλλεται (π.χ. όταν αδειάζει η δεξαμενή), μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κίνηση για μικρά διαστήματα είναι μόνιμη, οπότε εφαρμόζονται οι τύποι. Υποθέτουμε προσεγγιστικά ότι το ύψος Η και κατά συνέπεια και το G θεωρούνται σαν συναρτήσεις του χρόνου, δηλαδή: G = G(t), H = H(t)

Η εφαπτομένη τάση στα τοιχώματα του σωλήνα είναι: du 1 Η+h Z τ = μ = - Gα=- ρg dr r=α L καθώς οπότε η συνολική δύναμη τριβής για οριζόντιο σωλήνα μήκους L είναι F τριβής =παlτ =-πα GL = -πα ρg(η+h) Η σχέση αυτή αναμένονταν από φυσικής πλευράς, γιατί η δύναμη πίεσης F που εξασκείται στο σημείο Α της διατομής είναι: F A =P Α πα = ρghπα ενώ η δύναμη πίεσης F Β στο σημείο Β είναι 0. α ( α - r ) U(r) z = G 4 μ Αφού η κίνηση είναι μόνιμη, τότε αν θεωρήσουμε την ισορροπία ενός κυλινδρικού όγκου (παl), θα έχουμε: F A -F B +F τριβής =0 δηλαδή η διαφορά των δυνάμεων πίεσης στα άκρα Α και Β παραλαμβάνεται από τα τοιχώματα του αγωγού. (Επειδή ο αγωγός είναι κεκλιμένος, πρέπει ναληφθεί υπόψη και η προβολή του βάρους)

ΜΟΝΙΜΗ, ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΡΟΗ ΛΕΠΤΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΥΓΡΟΥ ΠΑΝΩ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗ ΕΠΙΠΕΔΗ ΣΤΕΡΕΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Ένα πρακτικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα της ροής λεπτού στρώματος ρευστού πάνω σε μία επίπεδη κεκλιμένη επιφάνεια κάτω από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας ή κάποιας επιφανειακής διατμητικής τάσεως που μπορεί να ασκείται από τον άνεμο. άνεμος σ xy h g x ελεύθερη επιφάνεια α λεπτό στρώμα υγρού g y g α ελεύθερη επιφάνεια x

Πειραματικές παρατηρήσεις έχουν δείξει ότι κάτω από ορισμένες συνθήκες (βασικά όταν η ροή είναι αργή, πράγμα που συμβαίνει για χαμηλούς αριθμούς Reynolds), η επιφάνεια της υγρής επιφάνειας είναι (ή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά ότι είναι) επίπεδη και παράλληλη στη στερεά επιφάνεια. άνεμος σ xy h g x ελεύθερη επιφάνεια λεπτό στρώμα υγρού α Υποθέτουμε ότι είναι γνωστή η ταχύτητα U(y) του αέρα πάνω από το υγρό στρώμα και ότι είναι ανεξάρτητη της διευθύνσεως x και z, και του χρόνου t. Στην διεπιφάνεια αέρας-υγρό (για y=h), ασκείται μια σταθερή διατμητική τάση σ xy που γενικά μπορεί να υπολογιστεί από την U(y). τ=σ xy (y=h) =γνωστή σταθερά g y g α ελεύθερη επιφάνεια x

Η υπόθεση ότι η επιφάνεια του υγρού στρώματος είναι παράλληλη προς την στερεά επιφάνεια στο y=0 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η κίνηση του υγρού είναι παράλληλη στον άξονα x και ότι συνεπώς η συνιστώσα V της ταχύτητας (παράλληλη στον άξονα y) είναι μηδενική. άνεμος σ xy h g x ελεύθερη επιφάνεια λεπτό στρώμα υγρού α Η τρίτη συνιστώσα w παράλληλη στον άξονα z είναι επίσης μηδέν, γιατί η στερεά επιφάνεια και το λεπτό στρώμα του υγρού επεκτείνονται στο άπειρο κατά τη διεύθυνση z, και γιατί υποτίθεται ότι οποιοδήποτε επίπεδο κάθετο στον άξονα z δίνει την ίδια εικόνα ροής. Ύστερα από το ανωτέρω το μαθηματικό μοντέλο της ροής γίνεται (λαμβανομένου υπόψη ότι η ροή είναι ασυμπίεστη): g y g α ελεύθερη επιφάνεια x

Εξίσωση συνεχείας Εξισώσεις Navier-Stokes U x 1 1 U + + x U x 3 3 = 0 άνεμος σ xy h g x ελεύθερη επιφάνεια α λεπτό στρώμα υγρού g y g α ελεύθερη επιφάνεια x Εξίσωση συνεχείας Εξισώσεις Navier-Stokes u x = 0 p d u ρgsin α +μ = 0 x dy Για y=0, έχουμε u (0)=0 (συνθήκη μη ολισθήσεως). Για y=h, είναι γνωστή η διατμητική τάση τ. Ηδιατμητικήτάσησ xy μέσα στο υγρό δίνεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση: p ρg cos α = 0 y du μ ( ) =τ dy

Έχουμε επίσης P(x,h)=Pa, όπου Pa η ατμοσφαιρική πίεση που υποτίθεται σταθερή, ανεξάρτητη του x. p ρg cos α = 0 y Από την έχουμε: P(x,y) = - (ρg cosα)y+g(x) Παραγωγίζοντας την p d u ρgsin α +μ = 0 x dy και αντικαθιστώντας την P(x,y) δίνει ως προς x, έχουμε άνεμος P = 0 x dg 0 ή ή G(x)=c x+c dx = dg c 1 dx = = Άρα η πίεση ισούται με: P(x,y) = -(ρg cosa) y + cx + c 1 h g y α g g x σ xy ελεύθερη επιφάνεια λεπτό στρώμα υγρού α ελεύθερη επιφάνεια x Έχουμε για y=h την οριακή συνθήκη για την πίεση: P(x,h) = Pα = σταθερά για κάθε x, το οποίο είναι δυνατόν μόνο για c=0, οπότε P(x,h) = Pα =-(ρg cosa) h + c1, P(y) = Pα + ρg(h-y) cosa και τελικά

Παρατηρούμε ότι η πίεση είναι ανεξάρτητη της διευθύνσης x και ότι κατά τη διεύθυνση y είναι υδροστατική. Κατόπιν τούτων η 1η εξίσωση Navier - Stokes γίνεται: p d u ρgsinα +μ = 0 x dy Για y=h, έχουμε: du gsina dy = ν du μ ( ) = τ = - ρg sinα h + cμ dy gsinα τ gsinα οπότε c=(τ + ρgsinα h)/μ u ( y) = y + ( + h)y ν μ ν (ησταθ. ολοκληρώσεως ελήφθη c=0 λόγω u(0)=0) du dy y h gsin α = y+ c ν Mπορεί να γραφεί με την ακόλουθη αδιάστατη μορφή: 1 τ = 0 u(y) 1 y τ y = ( ) + ( + 1)( ) g sin α.h / ν h ρg sin αh h τ p g sina h = τ τ <0 α τ p g sina h = τ τ α > 0 0 u(y) / (g sina h /ν)

Στην περίπτωση που sinα=0, τότε προφανώς το βάρος του υγρού παύει να αποτελεί κινητήριο δύναμη της ροής. Τότε η κίνηση οφείλεται μόνο στην εφαρμογή της σταθεράς διατμητικής τάσης τ, και η λύση απλοποιείται: gsinα τ gsinα u ( y) = y + ( + h)y ν μ ν u(y) = τy/μ Η γραμμική αυτή διανομή της ταχύτητας ισοδυναμεί με την απλή διατμητική ροή (Couette flow) που εξετάσθηκε προηγούμενα. Είναι προφανές ότι αν sinα =0και τ =0,τότε η λεπτή στρώση του υγρού ηρεμεί. du Ηδιατμητικήτάσησ xy είναι ίση με σ xy =μ ( ) =τ+ρgsin α(h y) dy δηλαδή μεταβάλλεται γραμμικά. Την τιμή της διατμητικής τάσεως σ xy παριστάνουμε με τ ο, οπότε τ ο = σ xy (y=0) = τ + ρgh sinα για y=0 (πυθμένας) την