ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΩΣΗ JPAMMIKOY ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑ ΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΥ 1 ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ,ιηι. iif.i.i' : ΜΙ ΚΡ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΗ. ' π Δ. ΤΣΕΛΕΣ,ΔΡ. ΦΥΣΙΚΟΣ-ΡΑΔΙΟΗΛ/ΓΟΣ-ΗΛΕΚ. ΑΥΤ/ΣΜΟΥ. Ε. ΣΕΡΒΕΤΑΣ,ΔΡ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-ΗΛΕΚ/ΚΟΣ-ΚΑΘ.ΤΕΙ ΠΕΙΡ. Κ. ΚΑΡΥΜΠΑΚΑΣ,ΚΑΘ.ΑΠΘ.- ΤΟΜ.ΗΛΕΚ/ΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Στην εργασία αυτό προτείυεται. η χρησιμοποίηση μη γραμμυκοό στο υχεί ου,με δίτομη ρεταπτωτιχτί μη γραμμυκό χα ρα κ τ η ρ ο στ ι>κό με υστ έ ρηση,σ τ ο ν απ ευθείας κλάδο ενός γραμμυκοό συστήματος αυτόματου ελέγχου. Το στοιχείο αυτί πραγματο π οοεόταο με τη βοόθευαμι,- χρεπεξεργαστό, γεγονός που προσφέρει, μεγάλη ευελοξία, γυατί με σταθερό κυκλωμάτωση (hardware);εόναο δυνατό η μεταβολό των -χαρακτηρ υστ οκών του στοιχείου,είτε με άμεση επέμβαση στο πρόγ ραμμα (software) είτε με βάση προκαθορισμένο νόμο, που έχει. συμπεροληφθεί στ ο πρόγραμμα. Η ευσαγωγη του μη γραμρυκοό στοιχείου στον απ ευθείας κλάδο του συστόματος έχευ σαν αποτέλεσμα τη μετάθεση του κρίσυμου σημείου Nyguist από τη θέση -Ι+jO στη θέση -1/Ν, όπου Ν η περυχραφυκη συνάρτηση του μη γραμμυκοό στου-χείου. Με βάση τα χαρακτηροστυκά του στου χείου αυτοό χαρτογραφείται το μυγαδυκό επίπεδο χαι με του τρόπο αυτό.συντίθεται υομόγραμμα, που βοηθά στην εξαγωγό συμπερασμάτων ως προς τυς δυνατότητες βελτίωσης με τη -χρόση της μη γραμ- Ιΐυκόε Οίαράκτηρυστυχόε. Ήε βάση το νομόγραμμα αυτό και τα συμπεράσματα.π ου.προκόπτουν από τη μαθηματοχό ανάλυση.ενός συστόματος δεύτερης τάξης τόπου 1, προκόπτευ τε"χνι.κό της μετακίνησης του υσοδΰυαρου κρίσυμου σημείου Nyguist στο μύγαδυκό επίπεδο,ώστε το σόστημα να εμφανίζει, βελτυωμένα τα χαρακτηροστ ο κά της -χρονοκόε του απόκροσης. Κάτω από συγκεκρομένους περοοροσροός στις τομές των κλίσεων της μη γραρμοκός χαραχτηροστοκάεεμφανίζεταο η δυνατότητα αριστοποίησης του συστήματος πάνω στο μογαδοκό επίπεδο. Τα πεοραματοκά αποτελέσματα που εκτίθεταο ε - ποβεβαοώυουν τα θεωρητοκά συμπεράσματα.-
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΥ 1 ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ MIKFEnE- ΞΕΡΓΑΣΤΗ. Δ.Τ ΣΕΛΕΣ, ΔΡ.ΦΥΣΙΚΟΣ-ΡΑΔΙΟΗΛ/ΓΟΣ-ΗΛΕΚ.ΑΥΤ/ΣΜΟΥ. Ε. ΣΕΡΒΕΤΑΣ, ΔΡ.ΜΑθΗΜΑΤΙΚΟΣ-ΗΛΕΚ/ΚΟΣ - ΚΑΘ.ΤΕΙ ΠΕΙΡ. Κ. ΚΑΡΥΜΠΑΚΑΣ, ΚΑθ ΑΠθ.-ΤΟΜ.ΗΛΕΚ/ΚΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εισαγωγή στον απ ευθεεας κλάδο ενός γραμμικού συστήματος αυτομάτου ελέγχου(σαε) μη γραμμικού στοιχείου (ΜΓΣ) με περιγραφική συνάρτηση (Π Σ) Ν έχεε σαν αποτέλεσμα τη μετάθεση του κρίσιμου σημείου Nyquist του συστήματος από τη θέση -Ι+jO (γραμμεκό σύστημα) στη θέση -1/Ν ( μη γραμμεκό σύστημα). Ανάλογα με τη θέση του εσοδΰναμου κρέσεμου σημείου Nyquist (ΙΚΣΝ), το μη γραμμεκό σύστημα μπορεί να είναι ευσταθές, κρεσεμο η ασταθές. Το πρόβλημα της βελτίωσης μετατίθεται κατ αυτόν τον τρόπο, στην εκλογή κατάλληλου μη γραμμεκοΰ δεκτυώματος, ώστε το ΙΚΝΣ να μετατεθεί σε τέτοεο σημείο, που ν αντεστοεχεε σε σύστημα με β ελτ εωμένά τα' χαρακτηρεστεκά της χρονεκης του απόκρεσης. Στην εργασία αυτή προτεενεταε η χρησιμοποίηση ΜΓΣ με δετεμη μεταπτωτεκή μη γραμμεκή χαρακτηρεστεκή με υστέρηση, το ο π ο ε ο πραγματοποιείται με τη βοήθεεα μεκρεπεξεργαστή, γεγονός που προσφέρεε μεγάλη ευελιξία, γιατί με σταθερή κυκλωμάτωση (hardware) εεναε δυνατή η μεταβολή* των χαρακτηρ εστ εκών του ΜΓΣ, εε'τε με άμεση επέμβαση στο πρόγραμμα (software),εε'τε με βάση προκαθαρεσμένο νόμο, που έχεε συμπερεληφθεε στο πρόγραμμα. 2.. Η ΔIΤIΜ Η ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ-ΤΟΠΟI ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ Στο κλεεστό γραμμεκό σύστημα του Σχ. 1 που π ε ρ ε - λαμβάνεε στον απ ευθεεας κλάδο του ΜΓΣ με ΠΣ Ν σε σεερά με γραμμεκό τμήμα με συνάρτηση μεταφοράς G,θεωρούμε ότε η χαρακτηρεστεκή εεσόδου - εξόδου του μη γραμμεκού στοεχεέου έχεε τη μορφή που εεκονεζεταε στο Σχ. 2.. Η θέση -ου ΙΚΣΝ του συστήματος προν.ύπτεε ότε εεναε -1/Ν = -(m2+m1)/2a + j (π^-ιη^/πα (1) 2 2 2 όπου A = (ιη,^+τη^) /*+ + ( τη 2 ιη ^ ) /π ( 2 ) Παρατηρούμε ότε η θέση του ΙΚΣΝ εεναε ανεξάρτητη από το πλάτος καε τη συχνότητα του σήματος εεσόδου καε εξαρτάταε μόνο από τες κλίσεις m Ί τη0 της χαρακτηρεστεκήε. Θεωρώντας ότε το nu παραμένει σταθερό, το - 1/Ν εεναε συνάρτηση μόνο του τπ_. Γεα δεάφορες τεμές του m ^ καε γεα m ^ από - οο έως + οο έχουμε,στο Σχ.3, τη γ ρ α φ ε κ ή παρασταση του -1/Ν σε συνάρτηση με το m 0 π ά ν ω στο μεγαδεκό επίπεδο. Σχηματίζεται έ τ σ ε ένα σύστημα κύκλων, πουκαθένας δεακρενεταε από τη σταθερή τιμή του m ^ γεα την οποία εεναε χαραγμένος καε που εφάπτονται στην ευθεία με ένδειξη ιή.= 0 στην αρχή των αξόνων. Το σύστημα αυτό ονομάζουμε " τόπους σταθερής κλίσης καε η φορά διαγραφής
- 2 - τους. ευναυ αρυστερόστροφη σ αυτους με αρνητυκά r. καυ δεξυόστροψη σ αυτονίς με θετυκά πι^.με τον υδυο τρόπο σχηματυζονταυ ου "τόπου σταθερής κλυσης m '* Με τη β ο η θε υα των τόπων σταθερη'ς κλυσης ε υϋ α υ εύκολος ο π ροσδυο ρ υσμός των κλυσεων in.,τη0 ώστε το ΙΚΣΝ να έχευ συγκεκρυμένη θε'ση πάνω στο μυγαδυκό επυπεδο. 3. ΒΕΛΤΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΤΥΠΟΥ I. Θεωρούμε ότυ ου χλυσευς m^,m2 της χαρακτηρυστυκη'ς του μη γραμμυκου στουχευου παραμένουν χρονυκά σταθερές καυ ότυ η συνάρτηση μεταφοράς του γραμμυκου τμήματος ευναυ : G(s) = k/s(s+1) (3) Επυσης θεωρούμε ότυ στο σύστημα εφαρμόζεταυ ευσοδος μοναδυαυας βαθμυδας. Όπως προκυπτευ από την ανάλυση του συστήματος, το σύστημα περυγράφεταυ τμηματυκά από γραμμυκές δυαφορυκές εξυσώσευς της μορφής : x( t ) = A.. χ(t) +. u(t), i= 1 1.2 (4) όπου χ(ΐ)= "C (t ), x (t ) = Γ C (t )j >A i = Ό l B.= 1 '0 ' (5) c( t ) U(t)J -k.-l 1 k 1. u(t) η συνάρτηση μοναδ.βαθμυδας καυ k.= k.m. 1 1 i= 1, 2 (6) *i =1 όταν t ^ [ t2n,t2n+l], n".1.2»..,όπου t2n η χρονυκη στυγμη που η έξοδος παυρνευ τδ n- οστό τοπυκό της ακρότατο καυ t» -, η χρονυκη στυγμη που η έξοδος παυ'ρνευ γυα (η+1)- στη φορά τυμη υση μ αυτη της ευσόδου. *i =2 όταν t ^12n +1»t2(n + 1)^ Π= >1»2 έπου 2(n+1) χρονυκη στυγμη που η έξοδος παυρνευ το (η+1)- στό της τοπυκό ακρότατο. Ου λΰσευς των εξυσώσεων αυτών ευναυ ου εξός c(t)= 1+ +tan c(t) =- Γ ν 1 \lhks - 1 ότου t t 2n, t2n+1 [ ] c(t) = 1 + Ut) =- tan -1 24<Η η +1 > fk. 2 f i c (t2n+l* ί /4k2-1 4k - 1 sin ί 4^-1 fik e (t t2n>/2 sli> - t - V, n= 0,1,2...,k1 = m 1.k> 1/4, f4k2-l -(t-t_.)/i. '/ e 2n+l s m e t2ntl)/2 sin (7) ^ t2n+l)(9) όπου t (t2n+1, t2(n+1) ) n :0,1,2..., k. = m2,k> 1/4 (10) Από την εξ.(7) υπολογυζουμε το χρόνο t, που α π α υ τ ε υ ταυ ώστε η έξοδος, από μηδενυκές αρχυκές συνθήκες, να λάβευ τυμη υση μ αυτη της ευσόδου :
3 - *1 = i- π + tan 1 (.- ^4 k^ -1) J, kj_ > 1/4 Όπως φαύνεταυ, ο χρόνος t ^ (e ν δ e υ κ τ ο κ ο s του χρόνου ανύψωσης - risetiir.e - του συστήματος) ευναυ φθύνουσα συνάρτηση της κλυσης m 1. Η τυμη της μέγυστης υπερύψωσης h του συστηματος*προκυπτευ από την εξ. (9) ότυ ευναΰ : 2c (t,) - (t - tj/2 1 h m i/ k2-1 όπου t ο χρόνος του πρώτου μέγυστου, t Από την εξυσ. m m j. (12)συμπεραύνουμε ότυ γυα σταθερό k^, η μέγυστη υπερύψωση h ευναυ φθυνουσα συνάρτηση της κλυσης m0 καυ γυα σταθερό^ ευναυ αύξουσα συνάρτηση του m Ί.^Γυα δυάφορες τυμες των κλυσεων m^,ra2 χα ρά ζ ο v τ α υ Ό υ ντόπου σταθερής υ- περΰψωσης" που ευκονυζονταυ στο Σχ.4 γυα δυάφορες τυμες της μέγυστης υπερυψωσης. Στο υδυο σχήμα φαυνεταυ καυ τμήμα των τόπων σταθερής κλυσης. Από τη μελέτη του Σχ. 4 σε συνδυασμό με τυς εξυσώσευς (11)- (12) προκυπτευ ότυ, γυα να έχουμε βελτύωση, πρέπευ το ΙΚΣΝ υα κεύταυ κοντά στην κορυφή της γωνύας,που σ χη ματ υ'ζ ετ α υ μεταξύ της ευθεύας με έυδευξη τη, =0 καυ του αρνητυκού ημυάξουα των πραγματυκών αρυθμων. 4. ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΚΟ ΡΟΥ ΤΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗΣ. Θεωρούμε τους εξής περυορυσμούς : 1. Η έξοδος δεν μπορευ να ξεπεράσευ μυα ορυσμένη τυμή Ε (κόρου). 2. Το σύστημα δεν επυτρέπεταυ να λευτουργευ στην περυοχή κόρου. Αν στο σύστημα εφαρμοσθεύ δυέγερση μοναδυαυας βαθμυδας, πρέπευ e(0).k^^e καυ δεδομένου ότυ e(0) = = 1, τότε πρέπευ k^<^ Ε. Σύμφωνα με την εξ.(11) προκευμένου να εξασψαλυσθεύ ο ελάχυστος χρόνος ανόδου, πρέπευ η τυμή του k^ να ευναυ η μέγυστη δυνατή'. Γυα τούτο επυλέγεταυ η τυμή k = Ε. Επύσης, όταν το σφάλμα γύνεταυ α ρ ν η - τυκο, πρεπευ.k 2 Ε. Ου παραπάνω περυορυσμού έ χουν σαν α π ο τ έ λ ε σ μ α το ΙΚΣΝ του συστήματος να μην επυτρέπεταυ να ευσέλθευ στο εσωτερυκό του γραμμο - σκυασμένου λ ο β ο ύ με την ένδευξη a (Σχ.3),που έχευ χαραχθεύ γυα m2.hm = ( k = 1, ^ = m,k2 =m2 >. Σύμφωνα με τα συμπεράσματα της παρ.3%αρυστο π ούηση του συστήματος προκύπτευ με την τοποθέτηση του ΙΚΣΝ επύ της καμπύλης a. Περυορυσμού στην προσέγγυση του ΙΚΣΝ προς την αρχή των αξόνων προκύπτουν απ'την τυμή κόρου Ε, που αποτελεύ φράγμα γυα τυς τυμές της κλυσης m, Το σύστημα λευτουργευ υκανοπουητυκά γυα β η μ α τ υ - κες ευσόδους r(t)<u(t) (υ (ΐ ) η συνάρτηση μ ο ν α δ υ - αύας βαθμυδας), ενώ γυα τέτουες ευσόδους μεγαλύτερου βήματος επέρχεταυ κόρος της χαρακτηρυστυκής. 5. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Το κύκλωμα πραγματοποίησης του μη γραμμυκού στουχεύου που ευκονύζεταυ στο Σχ. 5 περυλαμβάνευ μ υ κ ρ ε- πεξεργαστή (Μ6800 ),μνήμη (12 0 θ έ σ ε υ ς μνήμης π ε ρ ύ π ο υ ) τη μονάδα ΡΙΑ (ΜC 6820 ),αναλογοψηφυακούς μετατροπεύς
- 4 - (MC 1408L-8) καυ εξωτερικό μετατροπέα (MC 14549.':8- bit SAR). Το πρόγραμμα (βλ.δεάγρ.ροης. ΣΙχίί 7 > λεετουργεέ ε καν ο π ο εητ ε κά σε μεά περεοχη συχνοτήτων από μερεκά έως καε πάνω από 200 Ηζ, ενώ με μετατροπές εεναε δυνατή η αύξηση της περεοχη'ς αυτής. Τα πεεραματεκά αποτελέσματα συμφωνούν με τες θεωρητεκές προβλέψεες (Σχ.6) 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1.KARYBAKAS,Κ.Α., 1974, Int.j.Electronics,37,50 1. 2.SERVETAS,Ε.C.,1975, IEEE Trans.IECl,24,253 3.ΤΣΕΛΕΣ I.Δ.,ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔIATΡIBΗ,ΘΕΣΣΑΛΟΝIΚΗ, 19 R 3 - - 6
MEMORY (ROWI5, RAMS) Analog O ut Dut V(t)