ας, την δύναµη επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T

Μια ελεύθερη τροχαλία µάζας m ισορροπεί µε το επιπεδό της κατακό ρυφο, εφαπτόµενη µη λείου κατακόρυφου τοίχου, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Από το αυλάκι της τροχαλίας διέρχεται λεπτό σχοινί του οποίου το ένα άκρο είναι στερεωµένο στον τοίχο. Εάν το κεκλιµένο τµήµα του σχοινιού σχηµατίζει µε τον τοίχο γωνία φ, να βρεθεί η ελάχιστη προς τα κάτω κατακόρυφη δύναµη που πρέ πει να εφαρµοσθεί στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού, ώστε να εξασφα λίζεται η ισορροπία της τροχαλίας. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας και o συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ τροχαλίας και σχοι νιού. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σύστηµα τροχαλία-σχοινί ισορροπεί, όταν στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού εφαρµόζεται η κατακόρυφη προς τα κάτω δύναµη F. Εστιάζοντας στην τροχαλία και στο τµήµα του σχοινιού που περιβάλλει το αυλάκι της παρατηρούµε, ότι το σύστηµα αυτό δέχεται το βάρος w της τροχαλί Σχήµα 1 ας, την δύναµη επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, την τάση F από το κεκλιµένο τµήµα του σχοινιού

και τέλος την τάση F 1 του κατακόρυφου τµήµατος του σχοινιού ίση µε την δύ ναµη F. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών, περί το σηµείο επαφής Α της τροχαλίας µε τον τοίχο είναι µηδέν, δηλα δή ισχύει η σχέση: Στ (A ) = 0 F ( AM) -RF 1 -wr=0 F ( AM) = R ( F+ w) (1) όπου R η ακτίνα της τροχαλίας και ΑΜ η απόσταση του Α από τον φορέα της F. Όµως από το σχήµα (1) προκύπτουν οι σχέσεις: AM = ABηµϕ AB = Rσφ(ϕ/) AM = Rσφ ϕ ηµϕ AM = Rσφ ϕ ηµ ϕ συν ϕ ϕ = Rσυν () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: ϕ Rσυν F = R( F + w) F = F + w ( ) συν ϕ / (3) Στην συνέχεια θα εξετάσουµε το τµήµα του σχοινιού που βρίσκεται σε επαφή µε το αυλάκι της τροχαλίας. Θεωρώντας ένα στοιχειώδες τµήµα του σχοινιού αυτου, το οποίο φαίνεται εκ του κέντρου της Κ υπό την στοιχειώδη γωνία dφ (σχ. ) παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται τις δυνάµεις f και f στις άκρες του από τα εκατέρωθεν αυτού µέρη του σχοινιού, οι οποίες είναι εφαπτοµενικές της τρο Σχήµα χαλίας και την δύναµη επαφής από την τροχαλία, η οποία αναλύεται στην εφα πτοµενική τριβή dτ και στην κάθετη αντίδραση da, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας. Λόγω της ισορροπίας του στοιχειώδους τµήµατος, η συνισταµένη δύναµη κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης (e) στο µέσον του θα είναι µηδενική, δηλαδή θα ισχύει:

-f e + f e - dτ = 0 -fσυν( dφ/) + f συν( dφ/) - dτ = 0 f - f = dτ df = dτ (4) διότι συν(dφ/) 1, ενώ τέθηκε f -f=df. Eξάλλου η ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος που εξετάζουµε µας επιτρέπει κατά την κάθετη επί την εφαπτοµένη διεύθυνση να γράψουµε την σχέση: (4) f ηµ(dφ/) + f ηµ(dφ/) - da = 0 f dφ/) + ( f + dτ) dφ/ = da fdφ/ + dτ dφ/ + f dφ/ = da διότι ηµ(dφ/) dφ/. Όµως το γινόµενο dτ.dφ/ είναι διαφορικό δεύτερης τάξε ως και µπορεί να παραλειφθεί, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: fdφ = da (5) Eπειδή η τριβή d τ είναι στατική ισχύει η σχέση: dτ nda (4),(5) df nfdϕ df/f ndϕ (6) Oλοκληρώνοντας την (6) έχουµε: F F 1 ( df/f) ϕ ( ) ndφ ln F 0 F 1 nϕ (3) F / F 1 e nφ F 1 F e - nφ F ( F + w ) e - nφ συν ϕ / ( ) Fσυν ϕ / [ ] we - nφ ( ) Fe - nφ + we - nφ F συν ( ϕ / ) - e - nφ F w e - nφ ( ) - e F = w - nφ min συν ϕ / e - nφ ( ) - e συν ϕ / - nφ (7) Η σχέση (7) είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει συν ( ϕ / ) > e - nφ. P.M. fysikos Tο σώµα Σ 1 του σχήµατος (3) έχει µάζα m 1 και στηρίζεται σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής µ=1. Το σχοινί θεωρείται αβαρές και το ένα άκρο του είναι δεµένο στο µέσο Μ της άνω ακµής του σώµατος Σ 1, ενώ στο

άλλο του άκρο έχει στερεωθεί σώµα Σ. Το σχοινί εφάπτεται οριζόν τιου κυλινδρικού πασάλλου που είναι σταθερός σε τέτοια θέση, ώστε ένα τµήµα του σχοινιού να παρουσιάζει κλίση φ=π/6 ως προς την οριζόντια διευθυνση, ενώ δε υπόλοιπο τµήµα του είναι κατακόρυφο. Εάν ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ του σχοινιού και πασάλ λου είναι µ=1, να βρείτε την µέγιστη επιτρεπτή µάζα του σώµατος Σ για την οποία το σύστηµα ισορροπεί. Δίνεται το πλάτος α και το ύψος α του σώµατος Σ 1. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι το σύστηµα των σωµάτων Σ 1 και Σ ισορροπεί. Το σώµα Σ 1 δέχεται το βάρος του w 1, την δύναµη T 1 από το σχοινί που αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα T 1x και στην κατακόρυφη συνιστώσα T 1y και τέλος την δύναµη επαφής από το οριζόντιο δάπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή f. To σώµα Σ δέχεται το βάρος του w και την δύναµη T από το σχοινί, που λόγω της ισορροπίας του σώµατος είναι Σχήµα 3 αντίθετη του βάρους του. Eξάλλου αν F 1, F είναι οι τάσεις στο κεκλιµένο και στο κατακόρυφο τµήµα του σχοινιού που περιβάλλει τον οριζόντιο πάσσαλο, σύµφωνα µε το προηγούµενο παράδειγµα θα έχουµε για τα µέτρα των δύο αυτών δυνάµεων την σχέση: F 1 =F e µ ( π / - ϕ) =F e π /3 T 1 =w e π /3 =m ge π /3 (1) όπου m η µάζα του σώµατος Σ, ενώ τέθηκε Τ 1 =F 1 και Τ =F διότι το σχοινι θεωρήθηκε αβαρές. Λόγω της ισορροπίας του σώµατος Σ 1 η συνιστάµενη Σ(F x ) των οριζόντιων δυνάµεων που δέχεται και η συνιστάµενη Σ(F y ) των κατακόρυ φων δυνάµεων είναι µηδενικές, δηλαδή θα έχουµε τις σχέσεις: Σ (F x )= 0 Σ (F y )= 0 T 1x -f = 0 N-w 1 -T 1y = 0 T 1 συν(π/6)-f = 0 N-m 1 g-t 1 ηµ(π/6)= 0

f = T 1 3/ N =m 1 g + T 1 / () Ακόµη η ισορροπία του σώµατος Σ 1 επιβάλλει η συνολική ροπή Σ(τ Α ) περί το σηµείο Α τοµής του φορέα της N µε την βάση στήριξης του Σ 1 να είναι µηδενι κή, δηλαδή πρέπει να ισχύει: Σ (τ Α )= 0 w 1 x-t 1x (α)-t 1x (α / -x)= 0 m 1 gx-t 1 ασυν(π /6)-T 1 ηµ(π /6)(α /-x)=0 m 1 gx-t 1 α 3- T 1 4 α-x ( ) =0 m 1 gx+ T 1 x = T α 1 4 +T α 3 1 T x ( 4m 1 g + T 1 ) = T 1 α ( 1+ 4 3) 1 α ( 1+ 4 3) x = (3) 4m 1 g + T 1 όπου x η απόσταση του κέντρου µάζας του σώµατος Σ 1 από τον φορέα της κάθε της αντίδρασης N. Επειδή δεχθήκαµε ότι το σώµα Σ 1 ισορροπεί προφανώς δεν θα ανατρέπεται, που σηµαίνει ότι ο φορέας της δύναµης N συναντά την βάση στήριξης του σώµατος, δηλαδή πρέπει: x α (3) T 1 α ( 1+ 4 3) α 4m 1 g + T 1 T 1+ 4 3 1( ) m 1 g + T 1 3T 1 m 1 g T 1 m 1 g / 3 (4) Εξάλλου η µη ολίσθηση του σώµατος Σ 1 επιβάλλει την σχέση: () T f µν 1 3 µ m g + T 1 1 Όµως εύκολα διαπιστώνεται ότι ισχύει: m 1 g / 3 < m 1 g / ( 3-1) µ =1 T 1 m 1 g 3-1 (5) που σηµαίνει ότι η δεσµευτική σχέση για την ισορροπία του σώµατος Σ 1 είναι η (4). Συνδυάζοντας την (4) µε την (1) παίρνουµε: m ge π /3 m 1 g 3 m m 1 3e 6 -π /3

3e m max = m 1 6 -π /3 P.M. fysikos Ένας οµογενής ηµικυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί µε το επιπεδό του κατακόρυφο εφαπτόµενος εσωτερικώς κοίλου ηµισφαιρίου ακτίνας R, το οποίο είναι ακλόνητο µε τον γεωµετρικό του άξονα κατακόρυφο. Κάποια στιγµή ο δίσκος µετατοπίζεται ελαφρώς από την θέση ισορροπίας του και στην συνέ χεια απελευθερώνεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση πάνω στην κοίλη ηµισφαιρική επιφάνεια. Να δείξετε ότι ο δίσκος εκτελεί στροφική αρµονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η απόσταση ΟC=α=4R/ του κέντρου µάζας C του δίσκου από το κέντρο του Ο και η ροπή αδρά νειάς του Ι Ο =mr / ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο του Ο και κάθετο στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: Ο κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση ηµικυκλικός δίσκος εκτελεί επίπεδη κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, που είναι ισοδύναµη µε µια γνήσια περισ τροφή περί άξονα κάθετο στο επίπεδο του δίσκου και διερχόµενο από το εκάστοτε σηµείο επαφής του Α µε το κοίλο ηµισφαίριο, το οποίο αποτελεί το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του δίσκου. Εξετάζοντας τον δίσκο κάποια στιγ µή που η γωνιακή του µετατόπιση από την θέση ισορροπίας είναι φ παρατη ρούµε τα εξής: Σχήµα 4 i) Η ευθεία που συνδέει το εκάστοτε σηµείο επαφής Α του δίσκου µε το σταθε ρό κέντρο K του ηµισφαιρίου πάνω στο οποίο κυλίεται, ως κάθετη στην κοινή εφαπτοµένη τους, διέρχεται από το κέντρο Ο του δίσκου, σχηµατίζει δε µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και επι πλέον ισχύει (ΚΟ)=(ΟΑ) (σχ. 4). ii) Ο δίσκος στην διάρκεια της κύλισής του δέχεται το βάρος του m g και την δύναµη επαφής από το ηµισφαίριο, που αναλύεται στην στατική τριβή T η οποία διευθύνεται κατά την εφαπτοµένη του δίσκου και στην κάθετη αντίδρα ση N που έχει ακτινική διεύθυνση (σχ. 4). Επειδή οι δυνάµεις T και N δεν

παράγουν έργο η µηχανική ενέργεια του δίσκου διατηρεί σταθερή τιµή Ε 0, δηλαδή µπορουµε να γράψουµε την σχέση: K (t) + U(t) = E 0 dk (t) + U(t) = 0 (1) Για την κινητική ενέργεια K (t) του δίσκου την χρονική στιγµή t έχουµε: K (t)= mv C + I ω C K (t)= mω ( ΑC) + I C ω K (t)= ω m ΑC ( ) + I C () όπου ω η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου και Ι C η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C. Όµως από το θεώρηµα Steiner έχουµε την σχέση: I O = I C +mα mr / = I C +mα I C =mr /-mα (3) και από το θεώρηµα του συνηµιτόνου στο τρίγωνο ΟΑC την σχέση: ( AC) =α +R -Rασυνϕ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουµε: K (t)= ω m α +R -Rασυνϕ ( ) +m R K (t)= mω 3R -Rασυνϕ = mrω -α 3R -ασυνϕ Για µικρές µετατοπίσεις του δίσκου περί την θέση ισορροπίας του µπορούµε µε καλή προσέγγιση να γράψουµε συνφ 1 και η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: K (t) mrω 3R -α dk (t) mr 3R -α ω dω dk (t) 3 mr - 8 ω dω (5) Εξάλλου για την βαρυτική δυναµική ενέργεια U(t) του δίσκου την χρονική στιγµή t έχουµε:

U(t)= mg ( αγ ) = mg ( R-Rσυνϕ -ασυνϕ ) U(t) ( ) dϕ =mg R+α ηµϕ =mg ( R+α) ω ηµϕ η οποία για µικρές µετατοπίσεις του δίσκου (ηµφ φ) παίρνει την προσεγγιστι κή µορφή: U(t) mg R+ 4R 4 ω ϕ mgr 1+ ω ϕ (6) H (1) λόγω των (5) και (6) γράφεται: 3 mr - 8 ω dω 4 + mgr 1+ ω ϕ = 0 R 3-8 dω + g 1+ 4 ϕ = 0 d ϕ + g R 1+ 4 3-8 ϕ = 0 d ϕ + k ϕ = 0 µε k = g R 1+ 4 3-8 (7) H (7) αποτελει την χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση µιας αµείωτης αρµο νικής κίνησης, που στην περίπτωσή µας είναι µια αρµονική στροφική ταλάν τωση του δίσκου κατα την οποία η γωνιακή του εκτροπή φ από την θέση ισορ ροπίας του µεταβάλλεται ηµιτονικά µε τον χρόνο µε περίοδο T που υπολογίζε ται από την σχέση: T = π k =π R g 3-8 1+ 4 (8) η ΛΥΣΗ: Ανάγουµε τις δυνάµεις ( m g, N, T) που δέχεται ο ηµικυκλικός δίςκος στο κέντρο µάζας του και αναλύουµε την συνισταµένη δύναµη που θα προκύψει σε µια ακτινική συνιστωσα F κ ως προς το στιγµιαίο κέντρο περιστρο φής Α του δίσκου που αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το κέντρο µάζας και σε µια εφαπτοµενική συνιστώσα F ε η οποία αποτελεί επιτρόχιο δύναµη (σχ. 5). Σύµφωνα µε το γενικευµένο θεώρηµα των ροπών θα έχουµε την σχέση: τ (A) ολ = ΑC F ολ ( ) + τ ολ (C) τ (A) ολ = AC F κ + F ε ( ) + Ι ω C

τ ολ (A) = AC mg AC F κ ( ) + ( AC F ε ) ( ) = 0 + ( AC F ε ) + Ι ω C + Ι ω (1) C όπου τ (A) ολ η συνολική ροπή περί το σηµείο A των δυνάµεων που δέχεται ο δίσ κος, (C) τ ολ η αντίστοιχη ολική ροπή περί το κέντρο µάζας του C ίση µε Ι C ω και ω η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία µε θετική φορά εκείνη της γωνιακής εκτ Σχήµα 5 Ροπής του δίσκου από την θέση ισορροπίας του έχει την µορφή: mg ( A A ) =-F ε ( AC) -I C ω mg ( αηµϕ +Rηµϕ ) =-m ( AC) ω -I C ω ( ) ηµϕ =- m ( AC) + I C mg α +R Όµως στην πρώτη λύση αποδείξαµε τις σχέσεις: I C =mr /-mα και ( AC) =α +R -Rα συνϕ οπότε η () γράφεται: mg α +R ω () ( ) ηµϕ =- mα +R -αrσυνϕ+mr /-mα ω Για µικρές µετατοπίσεις του δίσκου περί την θέση ισορροπίας του µπορούµε µε καλή προσέγγιση να γράψουµε συνφ 1 και ηµφ φ και η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: ( ) ϕ =- 3R g α +R -αr d ϕ

3R -8R d ϕ +g 4R +R ϕ = 0 d ϕ + g R 1+ 4 3-8 ϕ = 0 δηλαδή καταλήξαµε στην ίδια διαφορική εξίσωση, όπως και στην πρώτη λύση. P.M. fysikos Ένας σκίουρος µάζας m κινείται στην εσωτερική επιφάνεια κυλινδρικού κλωβού ακτίνας R πάνω σε περιφέρεια κάθε τη στον άξονα του κλωβού, ο οποίος µπορεί να περιστρέφεται περί τον γεωµετρικό του άξονα που είναι σταθερός και οριζόντιος. Aρχικά ο κλωβός είναι ακίνητος και ο σκιουρος βρίσκεται στο κάτω µέρος του, µετά δε από κάποια στιγµή καταφέρνει να διατηρεί σε σχέση µε τον κλωβό ταχύτητα σταθερού µέτρου V 0, θέτοντας τον κλωβό σε περιστροφική κίνηση. i) Εάν κατά την περιστροφή του κλωβού εµφανίζεται πάνω σ αυτόν ροπή τριβής της µορφής τ =-kϕ, όπου k σταθερή θετική ποσότητα και ϕ η γωνιακή του ταχύτητα σ ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς, να καθορίσετε την διαφορική εξίσωση κίνησης του σκίουρου. ii) Να λύσετε την διαφορική εξίσωση που θα βρείτε στην περίπτωση που η απόσβεση λόγω της τριβής είναι µικρή (ασθενής απόσβεση) και ότι ο σκίουρος εκτελεί µικρές ταλαντώσεις περί την αρχική του θέση. iii) Να απαντήσετε στο προηγούµενο ερώτηµα, όταν η απόσβεση είναι περίπου µηδενική (k 0) Δίνεται η ροπή άδρανειας Ι του κλωβού ως προς τον άξονα περιστρο φής του, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι οι διαστάσεις του σκί ουρου είναι πολύ µικρές σε σχέση µε την ακτίνα του κλωβού. ΛΥΣΗ: Η θέση του σκίουρου σε σχέση µε ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς (λό γου χάρη στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους) καθορίζεται µέσω της γωνίας θ που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα του σκίουρου ως προς το κέντρο Ο της περι φέρειας στην οποία κινείται, µε την κατακόρυφη που διέρχεται από το Ο (σχ. 6) Ο σκίουρος δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην ακτινική συσιστώσα w r και στην εφαπτοµενική συνιστώσα w ε και ακόµη την δύναµη επαφής από το κλωβό η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν που διευθύνεται ακτινι κά και στην τριβή Τ που διευθύνεται εφαπτοµενικά. Εφαρµόζοντας για τον σκί ουρο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης έχουµε την σχέση:

mr θ = T-w ε mr θ = T-mgηµθ (1) όπου θ η γωνιακή επιτάχυνση του σκίουρου την στιγµή που τον εξετάζουµε. Εξάλλου ο κλωβός την ίδια στιγµή δέχεται περί τον άξονα περιστροφής του την ροπή τριβής τ =-k ϕ και την ροπή της εφαπτοµενικής δύναµης τριβής - T που δέχεται από το σκίουρο, σύµφωνα δε µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: Ι ϕ =-ΤR-k ϕ () Σχήµα 6 όπου ϕ η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση του κλωβού, ενώ για τον καθορισµό των προσήµων των αλγεβρικών τιµών των δύο ροπών θεωρήθηκε ως θετική η φορά της γωνιακής ταχύτητας θ του σκίουρου (βλέπε σχήµα 6). Επιπλέον, καθώς ο σκίουρος έχει µια ταχύτητα σε σχέση µε το κλουβί, σταθερού µέτρου V 0 θα έχουµε την σχέση: R ( θ - ϕ ) =V 0 ϕ = θ-v 0 /R (3) Παραγωγίζοντας την (3) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε ϕ = θ, οπότε η () παίρ νει την µορφή: Ι θ = -ΤR-k ( θ-v 0 /R) (4) Mε απαλειφή της Τ µεταξύ των (1) και (4) έχουµε: Ι θ = -( mr θ + mgηµθ ) R-k ( θ-v 0 /R)

( Ι + mr ) θ +kθ +mgrηµθ =kv 0 /R (5) H (5) είναι η ζητούµενη διαφορική εξίσωση κίνησης του σκιούρου, είναι δε µη γραµµική εξίσωση και δεν µπορεί να λυθεί µε αναλυτικό τρόπο, αλλά µόνο µε αριθµητική ανάλυση µέσω κατάλληλου µαθηµατικού προγράµµατος. ii) Για µικρές ταλαντώσεις του σκίουρου περί την αρχική του θέση µπορούµε µε καλή προσέγγιση να θέσουµε ηµθ θ και η (5) γράφεται: ( Ι + mr ) θ + kθ+mgrθ = kv 0 /R (6) H (6) είναι µια µη οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση θ * (t) της µορφής: θ * (t)=kv 0 /mgr (7) H αντίστοιχη προς την (6) οµογενής εξίσωση είναι: ( Ι + mr ) θ + kθ+mgθ = 0 kθ θ + Ι + mr + mgrθ Ι + mr = 0 µε θ + bθ+ ( ω -b ) θ = 0 (8) k b= I+mR ( ) και ω = mgr Ι + mr -b Στην περίπτωση που η ροπή τριβής παρουσιάζει µικρή απόσβεση θα είναι ω >0 και η διαφορική εξίσωση (8) θα δέχεται λύση της µορφής: θ(t)= e bt ( C 1 ηµωt + C συνωt) (9) όπου C 1, C σταθερές ποσότητες που οφείλουν να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σκίουρου. Η γενική λύση θ(t) εξίσωσης (6) είναι: θ(t)= θ(t)+θ * (t) = e bt ( C 1 ηµωt + C συνωt) + kv 0 /mgr (10) Χρησιµοποιώντας την αρχική συνθήκη θ(0)=0 η (10) δίνει: 0 =C + kv 0 mgr C =- kv 0 mgr (11) Παραγωγίζοντας την (10) ως προς τον χρόνο t και λαµβάνοντας υπ όψη την αρχική συνθήκη θ(0)=v 0 /R και την (11), βρίσκουµε τελικά:

C 1 =- kv 0 b mgr ω - mgr ωk (1) Συνδιάζοντας τις (10), (11) και (1) παίρνουµε την ζητούµενη εξίσωση κίνησης του σκίουρου: θ(t)= kv 0 mgr - kv 0 mgr b ω - mgr ωk ηµωt + συνωt e bt (13) iii) Για ασήµαντη απόσβεση (k 0) θα έχουµε b 0 και η διαφορική εξίσωση (8) παίρνει την µορφή: θ +ω θ = 0 θ + mgrθ Ι + mr = 0 (14) δηλαδή στην περίπτωση αυτή ο σκίουρος θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε περίοδο που υπολογίζεται από την σχέση: T = π ω =π Ι + mr mgr Εάν ο κλωβός έχει πολύ µεγάλη ροπή αδρανείας ώστε να ισχύει I+mR >>k, τότε b 0 και η διαφορική εξίσωση κίνησης του σκίουρου θα είναι πάλι η (14), δηλαδή και στην περίπτωση αυτή ο σκίουρος θα εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε περίοδο. P.M. fysikos