ΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΜΑ Α Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του και αναφερόµενης σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα περί το σηµείο αυτό, µείον το εξωτερικό γινόµενο της ορµής του σώµατος επί την ταχύτητα του κέν τρου µάζας του. Oρίζεται ως στροφορµή στερεού σώµατος περί ένα σηµείο του ή της επεκ τάσεώς του, το οποίο κινείται ή όχι σε σχέση µε ένα αδρανειακό σύστηµα ανα φοράς OXYZ, το διανυσµατικό άθροισµα των στροφορµών των υλικών του σηµείων περί το σηµείο αυτό, δηλαδή για την εν λόγω στροφορµή L () του σώ µατος ισχύει η σχέση: L () = ( r " m v ) (1) Σχήµα 1 όπου r η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου ως προς το θεω ρούµενο σύστηµα αναφοράς. Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρ νουµε την σχέση: d L () d L () = d ( r m v ) [" ] = " $ " = ( $ d r m v d r m v d v ( + r m " ( $ + ( ( r F ) ()

2 όπου F η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το υλικό σηµείο µάζας m. Eξάλλου εάν r, r είναι τα διανύσµατα θέσεως της σηµειακής µάζας m και της αρχής αντιστοίχως ως προς την αρχή O του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς, θα ισχύει η διανυσµατική σχέση: r = r p + r d r = d r + d r v = v + d r d r = v - v (3) όπου v η ταχύτητα του σηµείου ως προς το αδρανειακό σύστηµα. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: d L () d L () = v m " ( ) -" ( ) + = 0 - v v m " ( ) + v v m v ( ) " r F = - ( ) " r F v m " ( ) + v ( ) " r F (4) Aν λάβουµε υπ όψη ότι η συνισταµένη δύναµη F επί κάθε υλικού σηµείου προκύπτει ως διανυσµάτικό άθροισµα των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται αλλά και των εσωτερικών δυνάµεων που εµφανίζονται κατά την αλληλοε πίδρασή τους και οι οποίες ανά δύο υπακούουν στον τρίτο νόµο του Νεύτωνα, τότε αποδεικνύεται ότι άθροισµα Σ( r F ) αποτελεί την συνισταµένη ροπή () των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα περί το σηµείο, οπότε η " (4) γράφεται: d L () = - d L () v m " ( ) + v () $ d L () = " [ ( v ) ] () - v $ m = () " - m( v $ v C ) (5) Εάν το σηµείο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C του σώµατος ( v = v C ), ή εάν αυτό ηρεµεί ως προς το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα ( v = 0), τότε η σχέση (5) γράφεται: d L () = () " και επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη πρόταση: Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού, θεωρούµενης περί το κέντρο µάζας του ή περί ένα ακίνητο σηµείο, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί το κέντρο µάζας του ή περί το ακίνητο σηµείο. (6)

3 ΘΕΩΡΗΜΑ Β Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του σώµατος και αναφερόµενης στο σύστηµα ηρεµίας του σηµείου, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα περί το θεωρούµενο σηµείο, συν το εξωτερικό γινόµενο (m a r C ), όπου m η µάζα του σώµατος, a η επιτά χυνση του σηµείου ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα και r C το διά νυσµα θέσεως του κέντρου µάζας του σώµατος ως προς το σηµείο. H στροφορµή στερεού σώµατος περί ένα σηµείο του, θεωρούµενη στο σύστη µα ηρεµίας του σηµείου αυτού, ορίζεται ως το διανυσµατικό άθροισµα των αντι στοίχων στροφορµών των υλικών του σηµείων, δηλαδή για την εν λόγω στρο * φορµή L () του σώµατος ισχύει η σχέση: * L () = ( r " m v ) = " ( r m d r /) (7) Σχήµα όπου r η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο σύστηµα ηρε µίας του, δηλαδή η σχετική ταχύτητα του υλικού σηµείου ως προς το. Πα ραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την σχέση (7) παίρνουµε: * d L () * d L () " = ( $ d r m d r " + r d r ( $ = 0 " + r d r ( $ (8) Eάν r, r είναι τα διανύσµατα θέσεως της σηµειακής µάζας m, ως προς την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς ΟΧΥΖ, θα έχουµε: r = r - r d r = d r - d r

4 οπότε η σχέση (8) γράφεται: d L * () d L * () d L * () ( " d r = r m 1 - d r +. * $ - )*,- " d r = r m " d r ( $ 1 + m ( $ 1r = r F " ( 1 ) + d r m " 1r ( (9) $ όπου F η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το υλικό σηµείο µάζας m. Όµως η συνισταµένη δύναµη F επί κάθε υλικού σηµείου προκύπτει ως διανυσµάτικό άθροισµα των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται, αλλά και των εσωτερικών δυνάµεων, οι οποίες ανά δύο υπακούουν στον τρίτο νόµο του Νεύτωνα, οπότε το άθροισµα Σ( r F ) αποτελεί την συνισταµένη ροπή () " των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί το σηµείο. Έτσι η σχέση (9) παίρνει την µορφή: d L * () = () " + d r ( $ m 1 ) r + = () " + a $ m 1 r * ( ) (10) όπου a η επιτάχυνση του σηµείου στο αδρανειακό σύστηµα ΟΧΨΖ. Όµως το διάνυσµα θέσεως r είναι ίσο µε το διανυσµατικό άθροισµα r C +, όπου r C το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας C του σώµατος ως προς το σηµείο αναφο ράς της στροφορµής και το διάνυσµα θέσεως της σηµειακής µάζας m ως προς το C, οπότε η (10) γράφεται: d L * () d L * () d L * () = " = " ( r C ) + () + a $ m 1 ( ) + () + a $ r C m 1 ( r C ) = " = () " + a $ m ( a $ m 1 ) 0 ( r C ) (11) () + m a $ Εάν το σηµείο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C του σώµατος ( r C = 0 ), ή εάν αυτό ηρεµεί ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά ως προς το αδρανειακό σύστηµα ΟΧΨΖ ( a = 0 ), τότε η σχέση (11) γράφεται:

5 d L * () = () " (1) Μια ανοµοιογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, της οποίας το κέντρο µάζας απέχει από το γεωµετρικό της κέντρο από σταση ρ (ρ<r), µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε µη λείο ορι ζόντιο επίπεδο, όταν εκτραπεί από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της. ) Να εκφράσετε την κινητική ενέργεια της κυλιόµενης σφαίρας σε συ νάρτηση µε την γωνία φ εκτροπής της από την θέση ευσταθούς ισορρο πίας. ) Nα βρείτε την διαφορική εξίσωση, η ολοκλήρωση της οποίας επιτρέ πει να προσδιορίσουµε την γωνία φ σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ) Να δείξετε ότι για µικρή εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπί ας η σφαίρα εκτελεί στροφική αρµονική ταλάντωση και να προσδιορίσε τε την γωνιακή της συχνότητα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ακτίνα άδράνειας k της σφαίρας που αντιστοιχεί σε ένα κύριο άξο να αδρανείας που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. ΛΥΣΗ: ) Στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της σφαίρας η βαρυτική της δυνα µική ενέργεια ως προς οποιοδήποτε επίπεδο αναφοράς παρουσιάζει την ελά χιστη τιµή της, που σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας της βρισκεται στην κατώτατη θέση του C 0. Έστω ότι η σφαίρα εκτρέπεται από την θέση αυτή και στην συνέ χεια αφήνεται ελεύθερη, οπότε αρχίζει να κυλίεται επί του οριζοντίου εδάφους χωρίς να ολισθαίνει. Η κίνηση αυτή της σφαίρας είναι µια επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας της C ως προς το το γεωµετρικό της κέντρο O παραµένει σε κατακόρυφο επίπεδο, το δε εκάστοτε σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος έχει µηδενική ταχύτητα. Αυτό µας Σχήµα 3 επιτρέπει να θεωρούµε την κίνηση της σφαίρας ως γνήσια περιστροφική κίνηση περί στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο ΑOC. Εάν φ είναι η γωνία εκτροπής της σφαίρας από την θέση ευσταθούς ισορ ροπίας κατά µια τυχαία στιγµή t και η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα, τότε η κινητική ενέργεια της σφαίρας στην θέση αυτή θα είναι:

6 K = I A = [I C + m(ac) ] = [mk + m(ac) ] (1) όπου Ι Α η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλος προς τον κύριο άξονα αδράνειας που αντιστοιχεί στην δεδοµένη ακτίνα αδράνειας k. Eφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAC το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε την σχέση: (AC) = R + - R"$ οπότε η (1) γράφεται: K = [mk + m(r + - R"$)] ( ( )* d E µ" = m k + R + - R$ + - ), - mg$ () ) H βαρυτική δυναµική ενέργεια της σφαίρας την στιγµή t είναι: U = -mg"$ (3) η δε αντίστοιχη µηχανική της ενέργεια Ε µηχ είναι ίση µε το άθροισµα Κ+U και λόγω των () και (3) θα έχουµε: ( ( )* d E µ" = m k + R + - R$ + - ), - mg$ (4) Όµως η µηχανική ενέργεια της σφαίρας παραµένει σταθερή στην διάρκεια της κύλισής της, διότι η στατική τριβή T και η κάθετη αντίδραση N από το εδα φος δεν παράγουν έργο, οπότε παραγωγίζοντας τη (4) ως προς τον χρόνο θα έχουµε την σχέση: 0 = m ( R"µ ) $ d ) ( $ +mg"µ d ) ( $ ( ) d + m k + R + - R*+, ( k + R + - R"$ ) d ) ( + + R,µ * ( )( d Η (5) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση. $ d ) ( ) + ( ) + + g,µ = 0 (5) * ) Για µικρή αρχική εκτροπή της σφαίρας µπορούµε να δεχθούµε µε καλή προ σέγγιση ότι συνφ 1 και ηµφ φ, οπότε στην περίπτωση αυτή η (5) παίρνει την µορφή:

7 ( k + R + - R ) d " $ ( + R" d" ( + g" = 0 $ και παραλείποντας τον όρο φ(dφ/) ως αµελητέα ποσότητα, η παραπάνω σχέση γράφεται: [ k + (R - ) ] d " $ ( + g" = 0 d + g" k + (R - ") = 0 d + " = 0 µε = g" k + (R - ") (6) Η (6) αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής φ=φ 0 ηµ(ωt+θ), όπου φ 0. θ σταθερές ποσότητες που προσδιόριζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της σφαίρας. Αυτό σηµαίνει ότι, αν η σφαίρα εκτραπεί πολύ λίγο από την θέση ευσταθούς ισορροπίας της θα εκτελέσει στροφική αρµονική ταλάντωση µε γωνιακή συχνό τητα Ω. Παρατήρηση: Θα µπορούσε κάποιος για την λύση του τρίτου ερωτήµατος να σκεφθεί να παρα κάµψει την πολύπλοκη διαφορική εξίσωση (5) και να εφαρµόσει τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το σηµείο επαφής Α της σφαίρας µε το έδαφος. Όµως χρειάζεται να κατανοηθεί ότι το σηµείο του στερεού που γίνεται σηµείο επαφής Α µε το έδαφος µια µόνο στιγµή θα έχει µηδενική ταχύτητα και στην συνέχεια, όταν πάψει να αποτελεί σηµείο επαφής η ταχύτητά του θα είναι µη µηδενική. Αυτό σηµαίνει ότι ο θεµε λιώδης νόµος της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα που δίερχεται από το Α δεν µπορεί να έχει την µορφή: d L (A) = (A ) " διότι η παραπάνω σχέση ισχύει για ορισµένο σηµείο Α του στερεου που είτε έχει διαρκώς µηδενική ταχύτητα είτε ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας του. Παρ όλα ταύτα στην περίπτωση µικρής αρχικής εκτροπής της σφαίρας µπορούµε να δεχθούµε ότι τα σηµεία της που έρχονται σε επαφή µε το έδαφος έχουν πολύ µικρή ταχύτητα, οπότε προσεγγιστικά µπορούµε να εφαρµόσουµε την παραπά νω σχέση ευελπιστώντας σε κάποιο ικανοποιητικό αποτέλεσµα. Ας δούµε λοι πόν τι θα προκύψει όταν χρησιµοποιήσουµε την σχέση (7). d I A =- mg(oc)"µ [mk + m(r + - R"$] d =- mgµ (7)

8 [mk + m(r + - R) d " - mg" [ k + (R - ) ] d " $ ( + g" ) 0 d + g" k + (R - ") 0 d + " 0 µε = g" k + (R - ") δηλαδή καταλήξαµε στην ίδια διαφορική εξίσωση..m. fyskos Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην περιφέρεια οµογενούς στεφάνης ακτίνας R και µάζας m 1, η οποία µπορεί να κυλίεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος χωρίς να ολισθαί νει. Αρχικά το σύστηµα κρατείται σε εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του και κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή του χρόνου αφήνεται ελεύθερο και η στεφάνη αρχίζει να κυλίεται. ) Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση, από την ολοκλήρωση της οποίας θα προκύψει σε συνάρτηση µε τον χρόνο t η γωνία εκτροπής φ του συστή µατος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του. ) Nα δείξετε ότι για µικρή εκτροπή του συστήµατος αυτό θα εκτελέσει στροφική αρµονική ταλάντωση, της οποίας να προσδιορίσετε την περίο δο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: ) Στην θέση ευσταθούς ισορροπίας του συστήµατος το σφαιρίδιο βρίσ κεται στην κατώτατη θέση του Α 0, διότι τότε η βαρυτική δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται ελάχιστη. Εξάλλου κατά την κύλιση της στεφάνης η µηχανική ενέργεια του συστήµατος στεφάνη-σφαιρίδιο διατηρείται αναλλοίω τη, διότι τόσο η στατική τριβή T όσο και η κάθετη αντίδραση N που δέχεται η στεφάνη από το οριζόντιο έδαφος παράγουν µηδενικό έργο, δηλαδή ισχύει κάθε στιγµή t η σχέση: K + U = Ct (1) όπου Κ η κινητική ενέργεια του συστήµατος και U η βαρυτική του δυναµική ενέργεια κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Επειδή κατά την επίπεδη κίνη ση του συστήµατος η ταχύτητα του εκάστοτε σηµείου επαφής Α της στεφάνης µε το οριζόντιο έδαφος είναι µηδενική, η κίνηση αυτή είναι ισοδύναµη µε µια γνήσια περιστροφή περί ένα στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στην στεφάνη, οπότε η κινητική ενέργεια Κ µπορεί να υπολογιστει από την σχέση: ( ) K = I A = I "$ "( A + I A = [m 1R + m 1 R + m (A) ]" ()

9 όπου η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος περί τον στιγµιαίο άξονα κατά την στιγµή t, που αποτελεί και την αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της περιστ ροφικής συνιστώσας της κύλισης της στεφάνης. Εάν φ είναι η γωνία που σχη µατίζει η επιβατική ακτίνα O του σφαιριδίου Σ µε την κατακόρυφη διεύθυν Σχήµα 4 ση Οy κατά την στιγµή t, από το θεώρηµα του συνηµιτόνου στο τρίγωνο ΟΑΣ θα έχουµε την σχέση: (A) = R + R - R "$ = R (1 - "$) οπότε η () γράφεται: K = [m 1 R + m R (1 - "$)] K = R [ m 1 + m (1 - "$)] d$ ( * ) (3) Εξάλλου η βαρυτική δυναµική ενέργεια U δίνεται από την σχέση: U = -m gr"$ (4) H (1) µε βάση τις (3) και (4) γράφεται: R [ m 1 + m (1 - "$)] d$ ( * ) - m gr"$ = Ct η οποία µε παραγώγιση ως προς τον χρονο t δίνει: R m µ" d" ( $ + m grµ" d" ( = 0 $ + R [ m 1 + m (1 - )*+")] d" d " ( $ $ ( +

10 Rm µ" d" ( + R[ m $ 1 + m (1 - )*+")] d " $ ( + m gµ" = 0 d + m "µ d ) m ( + + g"µ m 1 + m (1 - $) * R m 1 + m (1 - $) [ ] H (5) αποτελεί την ζητούµενη διαφορική εξίσωση. [ ] = 0 (5) ) Eάν η αρχική εκτροπή του συστήµατος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του είναι µικρή, µπορούµε να δεχθούµε µε καλή προσέγγιση ότι συνφ 1 και ηµφ φ, οπότε στην περίπτωση αυτή η (5) παίρνει την µορφή: d + m " d $ + m g = 0 m 1 Rm 1 και θεωρώντας τον όρο φ(dφ/) αµελητέα ποσότητα, η παραπάνω σχέση γρά φεται: d + m g = 0 d Rm 1 + " = 0 (6) µε = gm Rm 1 Η (6) αποτελεί µια οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής φ=φ 0 ηµ(ωt+θ), όπου φ 0. θ σταθερές ποσότητες που προσδιόριζονται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του συστή µατος. Αυτό σηµαίνει ότι, αν το σύστηµα εκτραπεί πολύ λίγο από την θέση ευσ ταθούς ισορροπίας του θα εκτελέσει στροφική αρµονική ταλάντωση µε γωνι ακή συχνότητα Ω, οπότε η περιοδός του Τ θα είναι: T = " = gm Rm 1 (7) Παρατήρηση: Aς επιχειρήσουµε να λύσουµε το δεύτερο ερώτηµα του προβλήµατος παρακάµ τοντας την πολύπλοκη διαφορική εξίσωση (5) και εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το σηµείο επαφής Α της στεφάνης µε το έδαφος. Μολονότι το σηµείο Α δεν είναι ένα καθορισµένο σηµείο της στεφάνης αλλά συνεχώς αλλάζει, µπορούµε να ισχύριστούµε µε καλή προσέγγιση ότι τα σηµεία της στεφάνης που έρχονται σε επαφή µε το έδαφος κατά µέσο όρο συγκλίνουν προς ένα σηµείο που η ταχύτητα του ως προς το έδαφος είναι αµελητέα. Αυτό σηµαίνει ότι ο θεµε λιώδης νόµος της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα που διέρχεται από το σηµείο αυτό (µέσο σηµείο Α) µπορεί µε καλή προσέγγιση να έχει την µορφή:

11 d L (A) = (A ) " (8) Ας δούµε λοιπόν τι θα προκύψει όταν χρησιµοποιήσουµε την σχέση (8). d I A =- m g(o")µ m [ 1 R + m (A) ] d " =- m grµ" [ m 1 R + m R (1 - "$)] d $ =- m grµ$ ( m 1 R + 0) d =- m gr d =- m g m 1 R d + m g = 0 Rm 1 δηλαδή καταλήξαµε στην ίδια διαφορική εξίσωση..m. fyskos