Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Κεφάλαιο 23 ο Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων Η σωστή ενέργεια Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο για να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε κλάσματα, πρέπει να είναι ομώνυμα. Τώρα μπορούμε να λύσουμε και προβλήματα με κλάσματα αρκεί να ακολουθούμε τα βήματα που θα μας οδηγήσουν στη σωστή λύση του προβλήματος.

23 ο Κεφάλαιο 4 Προσθέτω και αφαιρώ κλάσματα Για να προσθέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, έχουμε να προσθέσουμε τα κλάσματα 2 και 5. Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα προσθέσουμε τους α- 3 3 ριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε: 2 5 2+5 7 + 3 3 3 3 Για να αφαιρέσουμε κλάσματα που είναι ομώνυμα αφαιρούμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα, έχουμε να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 7 και 3. Τα κλάσματα είναι 5 5 ομώνυμα, δηλαδή έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και ως παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε: 7 3 7-3 4-5 5 5 5 Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για να μετατρέψουμε ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα, ακολουθούμε τα εξής βήματα. 1. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. 2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο.

Μαθηματικά 5 4 2 Για παράδειγμα, θα προσθέσουμε τα ετερώνυμα κλάσματα και. Έχουν διαφορετικούς παρονομαστές γι αυτό πρώτα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα και μετά να 3 4 τα προσθέσουμε: Είναι: 4 2 + 3 4. Θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα: 1. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών Π 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20,... Ε.Κ.Π. (3, 4) = 12. 2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 12 : 3 = 4 και 12 : 4 = 3 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο. 4 4 4 16 3 3 4 12 2 2 3 6 4 4 3 12 Τα κλάσματα 16 + 6 είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να προσθέσουμε τους α- 12 12 ριθμητές και να αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι: 16 6 16 + 6 22 + 12 12 12 12 Το κλάσμα 22 12 δεν είναι ανάγωγο, απλοποιείται. Για να απλοποιήσουμε κλάσματα, διαιρούμε τους όρους των κλασμάτων με τον Μ.Κ.Δ. των όρων του. Το κλάσμα που προκύπτει είναι ανάγωγο, δηλαδή δεν υπάρχει άλλος αριθμός εκτός από το 1 που να είναι κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή.

23 ο Κεφάλαιο 6 Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή. Δ 22 : 0, 2, 11, 22 Δ 12 : 0, 2, 3, 4, 6, 12 Μ.Κ.Δ. (22, 12) = 2 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2. Έχουμε: 22 22 : 2 11 12 12 : 2 6, ανάγωγο. Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. Έπειτα προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα Ακολουθούμε τα εξής βήματα: 9 2 και 15 5. 1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή, το 15 και ελέγχουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 5. Έχουμε: 15 : 5 = 3 (διαιρείται ακριβώς). Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = 15 2. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο. 9 9 1 9 15 15 1 15 2 2 3 6 5 5 3 15 Τα κλάσματα Είναι: Το κλάσμα 9 6 και 15 15 9 6 9-6 3-15 15 15 15. είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. 3 δεν είναι ανάγωγο, θα το απλοποιήσουμε. 15

Μαθηματικά 7 Παίρνουμε τους διαιρέτες του 3 και του 15. Δ 3 : 0, 3 Δ 15 : 0, 3, 5, 15 Μ.Κ.Δ. (3, 15) = 3 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 3. 3 3:3 1 15 15 : 3 5, ανάγωγο. Ας δούμε μερικά παραδείγματα 1. Να προστεθούν τα κλάσματα 2 6 5, και 3 3 3. Λύση Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι: 2 6 5 2+6+5 13 + + 3 3 3 3 3. Το κλάσμα 13 3 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο. 2. Να αφαιρεθούν τα κλάσματα 12 10 και 15 15. Λύση Τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και θα αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή. Είναι 12 10 12-10 2-15 15 15 15 Το κλάσμα 2 15 είναι ανάγωγο, δεν απλοποιείται άλλο. 3. Να γίνει η πρόσθεση των κλασμάτων 4 2 1, και 2 4 8. Λύση

23 ο Κεφάλαιο 8 Τα κλάσματα 4 2 1, και 2 4 8 είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο παρονομαστή το 8, και ελέγχουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 2 και το 4. Έχουμε: 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 (διαιρείται ακριβώς) Άρα Ε.Κ.Π. (2, 4, 8) = 8. 2. ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 και 8 : 8 = 1 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο. 4 4 4 16 2 2 4 8, 2 2 2 4 4 4 2 8, 1 1 1 1 8 8 1 8 Άρα τα κλάσματα έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα προσθέσουμε. 16 4 1, και 8 8 8 16 4 1 16+ 4 +1 21 + + 8 8 8 8 8, ανάγωγο. 4. Να γίνει η αφαίρεση των κλασμάτων 5 και 1 6 3. Λύση Για να αφαιρέσουμε τα κλάσματα 5 και 1 6 3 πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα ακολουθήσουμε την εξής διαδικασία: 1. Παίρνουμε το μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 6 και ελέγχουμε αν διαιρείται από το 3. Έχουμε: 6 : 3 = 2, διαιρείται ακριβώς. Άρα Ε.Κ.Π. (6, 3) = 6. 2. ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή.

Μαθηματικά 9 6 : 6 = 1 και 6 : 3 = 2 3. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο. 5 5 1 5 1 1 2 2 και 6 6 1 6 3 3 2 6 Τα κλάσματα 5 2 και 6 6 Έχουμε: 5-2 = 5-2 = 3 6 6 6 6 έγιναν ομώνυμα και μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Το κλάσμα 3 6 δεν είναι ανάγωγο, μπορούμε να το απλοποιήσουμε. Παίρνουμε τους διαιρέτες του αριθμητή και του παρονομαστή. 3 : 0, 3 6 : 0,2, 3,6 Μ.Κ.. (3, 6) = 3 ιαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 3. 3 3: 3 1 6 6: 3 2, προέκυψε ανάγωγο κλάσμα. Λύνω απλά προβλήματα με δεκαδικούς, μεικτούς και κλάσματα ακολουθώντας μια σειρά από βήματα Για να λύσουμε προβλήματα με κλάσματα, αρκεί να διαβάσουμε καλά το πρόβλημα ώστε να βρούμε ποιες πράξεις πρέπει να κάνουμε ώστε να φτάσουμε στη σωστή λύση του προβλήματος. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με κλάσματα. Η Χρύσα από τα 5 6. Περίσσεψε καθόλου σοκολάτα; μιας σοκολάτας, έφαγε τα 4 6 Λύση

23 ο Κεφάλαιο 10 Έχουμε ένα πρόβλημα με κλάσματα. Εφόσον έχουμε το συνολικό μέγεθος, το οποίο είναι τα 5 6 της σοκολάτας και θέλουμε να βρούμε πόσο περίσσεψε, όταν έφαγε τα 4 6, θα κάνουμε αφαίρεση. Τα κλάσματα 5 και 4 είναι ομώνυμα. Θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και παρονομαστή θα αφήσουμε τον 6 6 ίδιο. Έχουμε: 5 4 5-4 1-6 6 6 6. Άρα έμεινε το 1 6 της σοκολάτας. Το παραπάνω πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί και με αφαίρεση δεκαδικών αριθμών. Για να γίνουν δεκαδικοί αριθμοί τα κλάσματα αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον παρονομαστή του. Έχουμε: 5 6 50 6-48 0,83 20-18 2 4 6 40 6-36 0,66 40-36 4 Άρα η Χρύσα είχε το 0,83 μιας σοκολάτας και έφαγε το 0,66. Για να βρούμε πόση σοκολάτα της έμεινε θα κάνουμε αφαίρεση.

Μαθηματικά 11 Έχουμε: 0,83 0,66 = 0,17. Άρα της έμειναν της Χρύσας τα 0,17 της σοκολάτας. Συμπέρασμα: Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσμα. Γιατί αν στο κλάσμα 1 6 κάνουμε τη διαίρεση 1 : 6, θα πάρουμε τον αριθμό 0,17. Μπορούμε λοιπόν να εργαστούμε με όποιον τρόπο θέλουμε, γνωρίζοντας ότι το αποτέλεσμά μας θα είναι είτε κλάσμα, είτε ένας δεκαδικός αριθμός. Υπάρχει και μία άλλη κατηγορία προβλημάτων, στην οποία οι αριθμοί του προβλήματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Μπορεί να υπάρχει ένα κλάσμα και ένας μεικτός αριθμός. Σ αυτή την περίπτωση πρέπει να τους μετατρέψουμε στην ίδια μορφή. Συνήθως μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα μ ένα κλάσμα κι έναν μεικτό αριθμό. Η Σοφία έφαγε το 2 1 8 από τις 16 8 πίτσες που παρήγγειλε η μητέρα της. όση πίτσα έμεινε; Λύση Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί, ένας μεικτός αριθμός και ένα κλάσμα. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα.

23 ο Κεφάλαιο 12 Για να μετατρέψουμε έναν μεικτό αριθμό σε κλάσμα υπάρ χουν 2 τρόποι: 1ος τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή του κλάσματος επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο προσθέτουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. 2ος τρόπος: Η ακέραιη μονάδα του μεικτού δηλώνει πόσες φορές θα προσθέσουμε το κλάσμα που θα δηλώνει μια ακέραιη μονάδα και θα έχουν ως όρους του τον αριθμό του παρονομαστή. Σ αυτό το άθροισμα προσθέτουμε το κλάσμα του μεικτού αριθμού. Έχουμε: + 2 (1 8)+2 8+2 10 1 = 8 8 10 8 10 16 Άρα η Σοφία έφαγε τα από τα 8 8 έμεινε, θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα. 16 10 16-10 6 Είναι: - 8 8 8 8 από τις πίτσες. Για να βρούμε πόση πίτσα Άρα έμειναν τα 6 8 της πίτσας. Σε κάποιο άλλο πρόβλημα στα δεδομένα θα υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα πρέπει να τους κάνουμε κλάσμα. Για παράδειγμα θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα με δεδομένο 2 μεικτούς αριθμούς. Η Αγγελική και η Άννα μοιράστηκαν καραμέλες. Η Αγγελική πήρε τα Άννα τα 2 4 5. Πόσες καραμέλες πήραν και τα δύο κορίτσια μαζί; 3 2 4 ενώ η Λύση Στα δεδομένα του προβλήματος υπάρχουν 2 μεικτοί αριθμοί. Θα τους μετατρέψουμε σε κλάσματα.

Μαθηματικά 13 Θα πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή επί τον ακέραιο αριθμό και στο γινόμενο θα προσθέσουμε τον αριθμητή, αφήνοντας τον παρονομαστή ίδιο. Έχουμε: + 3 (2 4)+3 8+3 11 2 = 4 4 4 4 + 2 (4 5)+2 20+2 22 4 = 5 5 5 5 Για να βρούμε πόσες καραμέλες πήραν μαζί και τα δύο κορίτσια θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών με κάθε παρονομαστή. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το Ε.Κ.Π. 11 11 5 55 22 22 4 88 και 4 4 5 20 5 5 4 20 Τα κλάσματα 55 88 και 20 20 55 88 55 + 88 143 + 20 20 20 20 είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε:

23 ο Κεφάλαιο 14 ραστηριότητες του βιβλίου ραστηρι ότητα 1η ιαβάζοντας στην ιστοσελίδα της.ε.η. (www.dei.gr) στοιχεία σχετικά με την παραγωγή ενέργειας για το 2003 διαπιστώνουμε ότι η ενέργεια στη χώρα μας από ανανεώσιμες πηγές ήταν πολύ μικρή. Παρακάτω παρουσιάζονται τα στοιχεία για την ενέργεια που παράχθηκε το 2003 σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς: Το 0,15 της ενέργειας παράχθηκε με τη χρήση πετρελαίου. Τα 9 20 παράχθηκαν με τη χρήση λιγνίτη. Το 1 4 παράχθηκε με τη χρήση φυσικού αερίου. Η υπόλοιπη ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς. Είναι εύκολο να υπολογίσουμε αμέσως αυτό το μέρος της ενέργειας;...... Τι πρέπει να κάνουμε πριν προχωρήσουμε στις πράξεις για την επίλυση του προβλήματος;... Για να υπολογίσουμε πιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε στους θερμοηλεκτρικούς σταθμούς, θα πρέπει να προσθέσουμε την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση πετρελαίου (το 0,15), την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση φυσικού αερίου (το 1 ) και την ενέργεια που παράχθηκε με τη χρήση 4

Μαθηματικά 15 λιγνίτη (τα 9 20 ). Παρατηρούμε ότι έχουμε αριθμούς διαφορετικής μορφής, δεκαδικό και κλάσματα. Θα πρέπει να τους μετατρέψουμε σε αριθμούς της ίδιας μορφής ώστε να τους προσθέσουμε. Μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: 1ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τον δεκαδικό αριθμό 0,15 σε κλάσμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα βάζοντας για παρονομαστή τη μονάδα. Είναι 0,15 1 Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10. Έχουμε: 0,15 0,15 10 1, 5 1 1 10 10 Το κλάσμα 9 20 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο γι αυτό θα παραμείνει όπως είναι. Το κλάσμα 1 4 δεν μπορούμε να το απλοποιήσουμε άλλο, είναι ανάγωγο γι αυτό θα παραμείνει όπως είναι. Έχουμε 3 κλάσματα ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Είναι: 1,5, 9, 1 10 20 4 Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους παρονομαστές το 20 αι εξετάζουμε αν διαιρείται ακριβώς από το 10 και το 4. 20 : 10 = 2, 20 : 4 = 5 (διαιρούνται ακριβώς) Άρα Ε.Κ.Π. (10, 20, 4) = 20 ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με όλους τους παρονομαστές. 20 : 10 = 2, 20 : 20 = 1 και 20 : 4 = 5

23 ο Κεφάλαιο 16 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλίκα. Είναι: 1,5 1,5 2 3 10 10 2 20, 9 9 1 9 20 20 1 20, 1 1 5 5 4 4 5 20 Τώρα μπορούμε να κάνουμε την πρόσθεση των κλασμάτων: 3 9 5 (3 + 9 + 5) 17 + + 20 20 20 20 20 Για να βρούμε ποιο μέρος της ενέργειας παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς, αρκεί να αφαιρέσουμε από το 20 είναι μια ακέραιη μονάδα, 20 δηλαδή η ολική ποσότητα της ενέργειας από το 17 20. Είναι: 20 17 3 - = 20 20 20. Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια 17, ενώ για υ- 20 δροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε ενέργεια 3 20. 2ος τρόπος: Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς. Το 0,15 θα παραμείνει όπως είναι. 9 Το για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με 20 τον παρονομαστή. 90 20-80 0,45 100-100 0 Άρα 9 =0,45 20 της ενέργειας.

Μαθηματικά 17 Το 1 4 για να γίνει δεκαδικός θα κάνουμε τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή. 10 4-8 0,25 20-20 0 Άρα 1 =0,25 4 της ενέργειας. Για να βρούμε τη συνολική ενέργεια σε θερμοηλεκτρικούς σταθμούς θα προσθέσουμε τους 3 δεκαδικούς αριθμούς. Έχουμε: 0,15 + 0,45 + 0,25 = 0,85 της ενέργειας. Για να βρούμε πόση ενέργεια παράχθηκε σε υδροηλεκτρικούς σταθμούς θα αφαιρέσουμε από τη συνολική ενέργεια δηλαδή το 1, την ακέραιη μονάδα το 0,85. Έχουμε: 1 0,85 = 0,15 της ενέργειας. Άρα για θερμοηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,85 της ενέργειας, ενώ για υδροηλεκτρικούς σταθμούς παράχθηκε το 0,15 της ενέργειας. ραστηρι ότητα 2η Τα παιδιά θέλησαν να φυτέψουν στον κήπο του σχολείου φράουλες (ωριμάζουν στις αρχές Ιουνίου) και ρώτησαν αν υπάρχει καθόλου ελεύθερος χώρος. Ο δάσκαλος του είπε: «Σωστή ενέργεια! Λοιπόν, το 0,1 το παρτεριού έχει γαρίφαλα, το 4 έχει μαργαρίτες και τα 5 έχουν γκαζόν. Αν υπάρχει ελεύθερος χώρος 1 2 είναι δικός σας!»

23 ο Κεφάλαιο 18 Πώς θα βρούμε αν υπάρχει χώρος;... Γράψτε με τη σειρά τις ενέργειες που πρέπει να κάνουν τα παιδιά για να βρουν τη λύση στο πρόβλημά τους:... Κάντε τις πράξεις. Μετά χωρίστε το σχεδιάγραμμα του παρτεριού σε όσα μέρη πρέπει να βάψετε με κίτρινο το μέρος με τις μαργαρίτες, με μοβ το μέρος με τα γαρίφαλα, με πράσινο το μέρος με το γκαζόν και με κόκκινο το μέρος με τις φράουλες. Για να βρούμε αν υπάρχει ελεύθερος χώρος θα πρέπει να προσθέσουμε τα μέρη του κήπου που είναι φυτεμένα με γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκαζόν και να το αφαιρέσουμε από την ακέραιη μονάδα, δηλαδή τον συνολικό κήπο. Αρχικά θα μετατρέψουμε το δεκαδικό 0,1 σε μορφή κλάσματος, ώστε να μπορούμε να το προσθέσουμε με τα άλλα κλάσματα. Εφόσον δημιουργηθούν 3 κλάσματα θα προσθέσουμε και τα 3 μαζί, για να βρούμε πόσος κήπος είναι καλυμμένος από γαρίφαλα, μαργαρίτες και γκαζόν. Το αποτέλεσμα που θα βρούμε και που θα είναι ένα κλάσμα, θα το αφαιρέσουμε από την ακέραιη μονάδα, την οποία θα δημιουργούσε ένα κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή τον αριθμό που θα υπάρχει στον παρονομαστή του αποτελέσματος. Μετατρέπουμε το 0,1 σε κλάσμα. Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα, βάζοντας για παρονομαστή το 1. Είναι: 0,1 1. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 10. Είναι 0,1 0,1 10 1 1 1 10 10

Μαθηματικά 19 Τώρα έχουμε 3 κλάσματα: 1 1 2, και 10 4 5 Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 10 : 0, 10, 20, 30, 35,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 15, 16, 20,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25 Άρα Ε.Κ.Π. (10, 4, 5) = 20 ιαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων 20 : 10 = 2, 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 1 1 2 2 10 10 2 20, 1 1 5 5 4 4 5 20, 2 2 4 8 5 5 4 20 Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε. Είναι: 2 5 8 2+5+8 15 + + 20 20 20 20 20 Άρα είναι καλυμμένο το 15 20 Θα αφαιρέσουμε από τα 20 20 Έχουμε: 20 15 5 - = 20 20 20 του κήπου του σχολείου. (τον συνολικό κήπο) το 15 20. ελεύθερος χώρος για φράουλες Γαρί φαλα Μαργαρίτες Γκαζόν Φράουλες

23 ο Κεφάλαιο 20 Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα.. Π.χ. 3 1 + 4 5 Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Θα τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π4 : 0, 4, 8, 12, 14, 20, 24,... Π5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 3 3 5 15 4 4 5 20

Μαθηματικά 21 και μπο- 1 1 4 4 5 5 4 20 Άρα τα κλάσματα έγιναν ομώνυμα ρούμε να τα προσθέσουμε. 15 4 + 20 20 Προσθέτουμε ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές του και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ. 11 2 11+ 2 13 + 18 18 18 18 Αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους και αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ. 11 2 11-2 9-18 18 18 18 Όταν πρέπει να λύσω ένα πρόβλημα που έχει κλάσματα ή μεικτούς αριθμούς: Ελέγχω, αν οι αριθμοί του προβλήματος είναι στην ίδια μορφή. Αν δεν είναι στην ίδια μορφή, τους μετατρέπω σε αριθμούς μίας μορφής. Αποφασίζω ποιες πράξεις πρέπει να κάνω. Εκτελώ τις πράξεις και ελέγχω το αποτέλεσμα.

23 ο Κεφάλαιο 22 Η Μυρτώ κούρεψε τα 3 5 του γκαζόν και ο αδερφός της ο Λευτέρης το 1 4 έμεινε;. Κούρεψαν όλο το γκαζόν; Αν όχι, πόσο λύση Για να βρούμε αν τα παιδιά κούρεψαν όλο το γκαζόν θα προσθέσουμε τα κλάσματα, που το καθένα από αυτά εκφράζει το μέρος του γκαζόν που κούρεψε κάθε παιδί. Έτσι έχουμε: 3 1 + 5 4 Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα. Για να τα προσθέσουμε πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 3 3 4 12 5 5 4 20, 1 1 5 5 4 4 5 20 Τα κλάσματα 12 5 και 20 20 Είναι: 12 5 12 + 5 17 + 20 20 20 20 είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε.

Μαθηματικά 23 Για να βρούμε πόσο γκαζόν έμεινε ακούρευτο θα αφαιρέσουμε από το κλάσμα «ακέραιη μονάδα» το 17 20. Έχουμε: 20 17 3 - = 20 20 20, του γκαζόν έμεινε ακούρευτο. Απάντηση: Τα παιδιά κούρεψαν τα 17 20 του γκαζόν και μένουν ακόμη 3 20 για κούρεμα. Ένα δοχείο χωράει 3 λίτρα. Κάποια στιγμή έχει νερό. Πόσο νερό χρειάζεται ακόμα για να γεμίσει; λύση 3 1 4 λίτρα Οι αριθμοί του προβλήματος δεν είναι στην ίδια μορφή. Θα μετατρέψουμε τον ακέραιο σε κλάσμα αλλά σε κλάσμα θα μετατρέψουμε και τον μεικτό. Για τον ακέραιο 3 έχουμε: 1ος τρόπος: Κάθε αριθμός θεωρείται ως κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Άρα ο ακέραιος 3 ισούται με το κλάσμα 3 1. 2ος τρόπος: Θα μετατραπεί σε κλάσμα με παρονομαστή το 4. 4 4 4 4+4+4 12 3 =1+1+1= + + 4 4 4 4 4 Για τον μεικτό 3 1 4 έχουμε: + 3 (1 4)+3 4+3 7 1 = 4 4 4 4 Θα αφαιρέσουμε τα κλάσματα. Δηλαδή θα αφαιρέσουμε το νερό που υπάρχει από τη συνολική χωρητικότητα του δοχείου ώστε να βρούμε τη διαφορά τους.

23 ο Κεφάλαιο 24 1ος τρόπος: Τα κλάσματα 3 και 7 1 4 είναι ετερώνυμα, θα τα κάνουμε ομώνυμα. Εφόσον το πρώτο κλάσμα έχει παρονομαστή τη μονάδα, Ε.Κ.Π. (1, 4) = 4. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 4 : 1 = 4 και 4 : 4 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 3 3 4 12 1 1 4 4, 7 7 1 7 4 4 1 4 Τα κλάσματα 12 7 και 4 4 Έχουμε: 2ος τρόπος: Τα κλάσματα τους. Είναι: 12 7 12-7 5-4 4 4 4 12 7 και 4 4 12 7 12-7 5-4 4 4 4 είναι ομώνυμα. είναι ομώνυμα. Αρκεί να αφαιρέσουμε τους αριθμητές Για να μετατρέψουμε το κλάσμα 5 4 σε μεικτό και επειδή ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή θα έχουμε: 5 4 1 1 = + =1 4 4 4 4 Απάντηση: Το δοχείο χρειάζεται ακόμη για να γεμίσει 1 1 4 λίτρα νερού.

Μαθηματικά 25 Στο κεφάλαιο αυτό μελετήσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων καθώς και τη λύση απλών προβλημάτων με κλάσματα. Σχεδίασε ένα σύντομο πρόβλημα που να λύνεται έτσι. Απάντηση Για να προσθέσουμε κλάσματα ομώνυμα, προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ. 2 5 2+5 7 + 3 3 3 3 Για να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, αφαιρούμε τους αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Π.χ. 5 4 5-4 1-4 4 4 4 Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και έπειτα να προσθέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων. Π.χ. 2 4 + 10 5 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 5 και του 10. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20,... Π 10 : 0, 10, 20, 30,...

23 ο Κεφάλαιο 26 Άρα Ε.Κ.Π. (5, 10) = 10. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. Είναι: 10 : 5 = 2 και 10 : 10 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 2 2 2 4 5 5 2 10, 4 4 1 4 10 10 1 10 Τα κλάσματα Έχουμε: 4 4 και 10 10 4 4 4+4 8 + 10 10 10 10 είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε: Για να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, και έπειτα να αφαιρέσουμε τους αριθμητές των κλασμάτων. Π.χ. 6 2-5 4 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 5 και του 4. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 20 : 5 = 4 και 20 : 4 = 5. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με τα αντίστοιχα πηλίκα. 6 6 4 24 5 5 4 20, 2 2 5 10 4 4 5 20 Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, μπορούμε να τα προσθέσουμε: Έχουμε: 24 10 και 20 20 24 10 24-10 14-20 20 20 20

Μαθηματικά 27 3 Η Μαρία έφαγε τα 15 της τούρτας ενώ η Ελένη έφαγε τα 4 της τούρτας. Πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια μαζί; Περίσσεψε καθόλου 5 τούρτα; Λύση Για να βρούμε πόση τούρτα έφαγαν και τα δύο κορίτσια, θα προσθέσουμε τα 3 κλάσματα 15 και 4. Πρώτα θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. 5 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 15 και του 5. Π 15 : 0, 15, 30, 45,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20,... Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5) = 15 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 15 : 15 = 1 και 15 : 5 = 3 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 3 3 1 3 15 15 1 15, 4 4 3 12 5 5 3 15 Οπότε έχουμε: 3 12 3+12 15 + 15 15 15 15. Άρα τα κορίτσια έφαγαν και τα 15 15 Δηλαδή έφαγαν ολόκληρη την τούρτα. της τούρτας. Σημειώστε αν είναι σωστές ή λάθος και συζητήστε τις παρακάτω εκφράσεις: Σωστό Λάθος Η ισότητα 2 7 9 + = 5 5 10 είναι σωστή.

23 ο Κεφάλαιο 28 Για να λύσω ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσικοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετατρέψω όλους στην ίδια μορφή. Απάντηση Σωστό Λάθος Λάθος. Η ισότητα 2 7 + 5 5 δεν δίνει αποτέλεσμα 9 10. Τα κλάσματα 2 7 και 5 5 είναι ομώνυμα Αρκεί να προσθέσουμε τους αριθμητές τους και παρονομαστή να αφήσουμε τον ίδιο. 2 7 2+7 9 + 5 5 5 5 Σωστό. Για να λύσουμε ένα πρόβλημα που οι αριθμοί του είναι φυσικοί, δεκαδικοί ή κλάσματα πρέπει πρώτα να τους μετατρέψουμε όλους στην ίδια μορφή. Δηλαδή όλοι οι αριθμοί να γίνουν είτε φυσικοί, είτε δεκαδικοί είτε κλάσμα, ώστε να μπορούμε να τα προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ανάλογα με τις ανάγκες του προβλήματος.

Μαθηματικά 29 Τετράδιο Εργασιών Ασκήσεις Άσκηση 1η Να βρεις το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων στους οποίους μπορούν να κινούνται τα παιδιά ανάμεσα στα θρανία της Στ τάξης όταν ο ένας είναι 3 μ. και ο 5 8 άλλος 7 1 12 μ. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρέπει να μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα, να τα κάνουμε ομώνυμα και έπειτα να τα προσθέσουμε. Θα μετατρέψουμε τους μεικτούς σε κλάσματα: + 5 (3 8)+5 24+5 29 3 = 8 8 8 8

23 ο Κεφάλαιο 30 + 7 (1 12) + 7 12 + 7 19 1 = 12 12 12 12 Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ετερώνυμα. Για να βρούμε το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων θα πρέπει να προσθέσουμε τα κλάσματα. Πρώτα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Είναι 29 19 + 8 12 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών Π 8 : 0, 8, 16, 24, 32,... Π 12 : 0, 12, 24, 36,... Άρα Ε.Κ.Π. (8, 12) = 24 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων 24 : 8 = 3 και 24 : 12 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 29 29 3 87 8 8 3 24, 19 19 2 38 12 12 2 24 Τα κλάσματα που προέκυψαν είναι ομώνυμα. Είναι: 87 38 87 + 38 125 + 24 24 24 24 μ. μήκος Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μέτρα που εκφράζει το κλάσμα αρκεί να κάνουμε τη διαίρεση. 125 24 125 24-120 5,2 μ. 50-48 2 Απάντηση: Άρα το συνολικό μήκος των δύο διαδρόμων είναι 5,2 μ.

Μαθηματικά 31 Άσκηση 2η Να υπολογίσεις την παρακάτω αριθμητική παράσταση: 3 7 11 7 2 + + + -2 4 8 12 24 6 λύση Σύμφωνα με τη σειρά των πράξεων πρώτα θα ε- κτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό σε κλάσμα. Θα μετατρέψουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να κάνουμε την αφαίρεση. Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση. Σειρά πράξεων: 1. Πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. 2. Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις. 3. Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Μέσα στην παρένθεση έχουμε πρόσθεση κλασμάτων. Θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,...

23 ο Κεφάλαιο 32 Π 8 : 0, 8, 18, 24, 32,... Π 12 : 0, 12, 24, 36,... Π 24 : 0, 24, 48,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 8, 12, 24) = 24. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές των κλασμάτων. 24 : 4 = 6, 24 : 8 = 3, 24 : 12 = 2, 24 : 24 = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 3 3 6 18 7 7 3 21 11 11 2 22 7 7 1 7,,, 4 4 6 24 8 8 3 24 12 12 2 24 24 24 1 24 Θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα. Έχουμε: + 2 (2 6)+2 12+2 14 2 = 6 6 6 6 Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχουμε: 3 7 11 7 2 = 18 21 22 7 14 + + + -2 + + + - = 4 8 12 24 6 24 24 24 24 6 18 + 21+ 22 + 7 14 = - = 24 6 68 14-24 6 Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παίρνοντας τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 24 : 0, 24, 48,... Π 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Άρα Ε.Κ.Π. (24, 6) = 24 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές 24 : 24 = 1 και 24 : 6 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. Είναι: 68 68 1 68 24 24 1 24, 14 14 4 56 6 6 4 24

Μαθηματικά 33 Οπότε έχουμε: Το κλάσμα 12 24 68 56 12 - = 24 24 24 απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες του 12 και του 24. Δ 12 : 0, 2, 3, 4, 6, 12 Δ 24 : 0, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Άρα Μ.Κ.Δ. (12, 24) = 12 Έχουμε: 12 12 : 12 1 24 24 : 12 2, ανάγωγο.

23 ο Κεφάλαιο 34 Προβλήματα Πρόβλημα 1ο Ποιο είναι το συνολικό βάρος που μεταφέρει το φορητό υπολογιστή του που ζυγίζει 4 2 κιλά, μια επιπλέον μπαταρία βάρους 1 κιλά και την τσάντα του που ζυγίζει 5 4 1 6 κιλά; Να λύσεις το πρόβλημα με αριθμητική παράσταση. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρώτα θα καταστρώσουμε την αριθμητική παράσταση. Θα μετατρέψουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Θα εκτελέσουμε την πρόσθεση. Για να καταστρώσουμε την αριθμητική παράσταση, αρκεί να προσθέσουμε το μεικτό αριθμό και τα κλάσματα. Έχουμε: 4 1 1 2 + + 5 4 6 Μετατρέπουμε το μεικτό αριθμό σε κλάσμα + 4 (2 5)+4 10+4 14 2 = 5 5 5 5 Η παράσταση γίνεται:

Μαθηματικά 35 14 1 1 + + 5 4 6 Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του 5, του 4 και του 6. Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 52, 56, 60,... Π 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60,... Άρα Ε.Κ.Π. (5, 4, 6) = 60. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 60 : 5 = 12, 60 : 4 = 15, 60 : 10 = 6 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 14 14 12 168 5 5 12 60, 1 1 15 15 4 4 15 60, 1 1 10 10 6 6 10 60 Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα: 168 15 10 168 +15 +10 193 + + 60 60 60 60 60 Μπορούμε να μετατρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό εφόσον ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Είναι: Απάντηση: 193 60 60 60 13 13 = + + + =3 60 60 60 60 60 60 Το συνολικό βάρος είναι: 13 3 60. Πρόβλημα 2ο Σε πολυσύχναστο χιονοδρομικό κέντρο μια συγκεκριμένη μέρα τα θλούμενων είναι γυναίκες, τα 2 5 τα παιδιά ήταν περισσότερα; παιδιά και το 1 3 λύση 4 15 των α- άντρες. Οι γυναίκες, οι άντρες ή

23 ο Κεφάλαιο 36 ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα πρέπει να συγκρίνουμε τα κλάσματα, εφόσον τα κάνουμε ομώνυμα. Θα κάνουμε τα κλάσματα 4 2 1, και 15 5 3 ομώνυμα. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 15 : 0, 15, 30, 45,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Π 3 : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,... Άρα Ε.Κ.Π. (15, 5, 3) = 15 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 15 : 15 = 1, 15 : 5 = 3 και 15 : 3 = 5 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο. 4 4 1 4 2 2 3 6 1 1 5 5,, 15 15 1 15 5 5 3 15 3 3 5 15 Μπορούμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα. 4 6 5,, 15 15 15 Για να συγκρίνουμε ομώνυμα κλάσματα συγκρίνουμε τους αριθμητές. Το κλάσμα με τον μεγαλύτερο α- ριθμητή είναι το μεγαλύτερο.

Μαθηματικά 37 Η διάταξη κατά αύξουσα σειρά είναι η εξής: 4 5 6 4 1 2 < < δηλαδή < < 15 15 15 15 3 5 Απάντηση: Περισσότερα είναι τα παιδιά. Πρόβλημα 3ο Κόψτε 3 κάρτες με τους αριθμούς 1, 2 και 4 όπως αυτές που απεικονίζονται στο διπλανό σχήμα 1 2 4 Χρησιμοποιώντας όλες τις κάρτες και το μολύβι σου για γραμμή του κλάσματος ε- πάνω στο θρανίο να σχηματίσετε με την ομάδα σας τα εξής: Το μικρότερο δυνατό κλάσμα... Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα... Ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3... Ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3... λύση Το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μικρότερο αριθμητή και όσο το δυνατό μεγαλύτερο παρονομαστή. Το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι αυτό που έχει όσο το δυνατό μεγαλύτερο αριθμητή και όσο το δυνατό μικρότερο παρονομαστή. Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ πρέπει ο παρονομαστής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον αριθμητή. Για να είναι ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 3, πρέπει ο αριθμητής να είναι 3 φορές μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

23 ο Κεφάλαιο 38 Για να δημιουργήσουμε το μικρότερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μικρότερο αριθμό, το 1 και σαν παρονομαστή τον μεγαλύτερο δυνατό συνδυασμό, που είναι το 42. Άρα το μικρότερο δυνατό κλάσμα είναι το 1 42. Για να δημιουργήσουμε το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα αρκεί να βάλουμε αριθμητή τον μεγαλύτερο συνδυασμό, δηλαδή το 42 ενώ σαν παρονομαστή το μικρότερο α- ριθμό, δηλαδή το 1. Άρα το μεγαλύτερο δυνατό κλάσμα είναι το 42 1. Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 θα πρέπει να έχουμε παρονομαστή έναν αριθμό, 3 φορές μεγαλύτερο από τον αριθμητή. Π.χ. 1 4 = 4 και 3 4 = 12. Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με το 1 3 είναι το 4 12. Για να δημιουργήσουμε ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3, δηλαδή 3 1, θα πρέπει να έ- χουμε αριθμητή έναν αριθμό 3 φορές μεγαλύτερο από τον παρονομαστή. Δηλαδή 3 4 = 12 και 1 4 = 4. Άρα ένα κλάσμα ισοδύναμο με 3 είναι το 12 4.

Μαθηματικά 39 Σε μία εκπαιδευτική εκδρομή τα παιδιά της Στ τάξης επισκέφτηκαν ένα κατάστημα με κατοικίδια ζώα και πουλιά. Μόλις μπήκαν στο κατάστημα ο ιδιοκτήτης τους είπε: Παιδιά βοηθήστε με. Πριν από λίγο ήρθε ένας πελάτης, ο οποίος μου παρήγγειλε να του ετοιμάσω ένα πλήρες ενυδρείο και μου άφησε έναν κατάλογο με τα ψάρια που θέλει. Πού είναι η δυσκολία; ρώτησαν τα παιδιά. Να, ετοίμασα το ενυδρείο, αλλά, όταν πήγα να διαλέξω τα ψάρια απελπίστηκα. Εδώ είναι το χαρτί με τα ψάρια που θέλει ο πελάτης. Απάντησε ο καταστηματάρχης. Τα παιδιά ξαφνιάστηκαν όταν είδαν τον κατάλογο. Είναι δυνατόν να ζητάει ο πελάτης κλάσμα ψαριού; Αφού το σκέφτηκαν λίγο, ο Κώστας, ο Θωμάς και ο Δημήτρης ρώτησαν: Ψάρια Πόσα ψάρια χωράει το ενυδρείο που παρήγγειλε ο πελάτης; Είκοσι, απάντησε ο καταστηματάρχης. Το βρήκαμε! Είπαν τότε οι τρεις φίλοι. Τι βρήκαν; Συμπλήρωσε τον πίνακα: 1 χρυσόψαρα 5 1 μαύρες ρίγες 4 3 κόκκινα μαύρα 10 Είδος ψαριού Κλάσμα στο χαρτί Αριθμός ψαριών Τι σκέφτηκα για να το βρω Χρυσόψαρο

23 ο Κεφάλαιο 40 Ψάρι με μαύρες ρίγες Κόκκινο ψάρι Μαύρο ψάρι λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μάλιστα με παρονομαστή το 20 επειδή 20 είναι όλα τα ψάρια και θα τα προσθέσουμε. Από το 20 θα αφαιρέσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα. Έχουμε τα κλάσματα 1, 1 και 3. Θα τα κάνουμε ομώνυμα με παρονομαστή το 20 5 4 10 επειδή είναι ο συνολικός αριθμός των ψαριών. Είναι: 1 1 4 4 5 5 4 20 1 1 5 5 4 4 5 20 3 3 2 6 10 10 2 20 (Πολλαπλασιάζουμε με το 4 τους όρους του κλάσματος) (Πολλαπλασιάζουμε με το 5 τους όρους του κλάσματος) (Πολλαπλασιάζουμε με το 2 τους όρους του κλάσματος) Προσθέτουμε τα κλάσματα και έχουμε: 4 5 6 4+5+6 15 + + 20 20 20 20 20 Το σύνολο των ψαριών είναι 20 20 των ψαριών που έχουμε.. Άρα θα αφαιρέσουμε το σύνολο από το άθροισμα

Μαθηματικά 41 Είναι: 20 15 5 - = 20 20 20 Άρα τα μαύρα ψάρια είναι τα 5 20 δηλαδή 5. Είδος ψαριού Κλάσμα στο χαρτί Χρυσόψαρο 1 5 Ψάρι με μαύρες ρίγες 1 4 Κόκκινο ψάρι 3 10 Αριθμός ψαριών Τι σκέφτηκα για να το βρω 4 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 4. 5 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 5. 6 Πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με το 2. Μαύρο ψάρι 5 Αφαιρέσαμε από το 20 20 το 15 20

23 ο Κεφάλαιο 42 Ποια ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα γνωρίζεις; Τι μας προσφέρουν τα κατοικίδια; Απάντηση Ασυνήθιστα κατοικίδια ζώα είναι τα ερπετά. Δηλαδή τα φίδια, οι σαύρες, οι χελώνες, τα ποντίκια, σπάνια πουλιά κ.λπ. Με το να έχουμε κατοικίδια γινόμαστε πιο υπεύθυνοι και πιο πειθαρχημένοι άνθρωποι εφόσον τα ζώα χρειάζονται τη φροντίδα μας. Ουσιαστικά εξαρτώνται από εμάς. Βέβαια οι άνθρωποι εξοικειώνονται με τα ζώα και παίρνουν κι άλλες πληροφορίες για τα όντα της φύσης.

Μαθηματικά 43 Λυμένες ασκήσεις εκτός βιβλίου Ο κ. Πέτρος αγόρασε ένα βαρέλι κρασί. Γέμισε δύο μπουκάλια. Το πρώτο μπουκάλι χώρεσε το 1 του βαρελιού, ενώ το δεύτερο χώρεσε το 0,3 του βαρελιού. Άδειασε όλο το βαρέλι στα μπουκάλια ή του περίσσεψε για να γεμίσει 5 κι άλλα μπουκάλια; λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Στο πρόβλημα έχουμε αριθμούς που δεν είναι στην ίδια μορφή. Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς στην ίδια μορφή. Για να βρούμε πόσο κρασί έβαλε στα μπουκάλια θα κάνουμε πρόσθεση. Για να βρούμε αν του έμεινε κι άλλο κρασί θα αφαιρέσουμε την «ακέραιη μονάδα» το προηγούμενο αποτέλεσμα. Μετατροπή των αριθμών στην ίδια μορφή θα μετατρέψουμε το δεκαδικό σε κλάσμα. Το 0,3 θεωρείται κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Έχουμε 0,3. Θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 1 το 5 ώστε να δημιουργήσουμε κατευθείαν ομώνυμο κλάσμα με το 1 5. Είναι: 0,3 0,3 5 1,5 1 1 5 5

23 ο Κεφάλαιο 44 είναι ομώνυμα, οπότε μπορούμε να τα προσθέσου- Τα κλάσματα 1,5 και 1 5 5 με. Έχουμε: 1,5 1 1,5 +1 2,5 + 5 5 5 5 Θα αφαιρέσουμε από την «ακέραιη μονάδα» δηλαδή το 5 με το 2,5 5 5 βρούμε πόσο κρασί έχει ακόμη το βαρέλι. Είναι: 5 2,5 2,5 - = 5 5 5 για να Απάντηση: Το βαρέλι έχει ακόμα 2,5 κρασί. Άρα έχει γεμίσει το μισό βαρέλι 5 σε μπουκάλια και του μένει να γεμίσει το άλλο μισό (επειδή 2,5 1 0,5). 5 2 Να γίνουν οι πράξεις: 8 + 6 + 1 5 5 5. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Τα κλάσματα είναι ομώνυμα, αρκεί να προσθέσουμε τους α- ριθμητές και να αφήσουμε παρονομαστή τον ίδιο. Είναι: 8 6 1 8+6+1 15 + + 5 5 5 5 5 Το κλάσμα 15 5 μπορεί να απλοποιηθεί. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του κλάσματος.

Μαθηματικά 45 Δ 15 : 0, 3, 5, 15 Δ 5 : 0, 5 Άρα Μ.Κ.Δ. (15, 5) = 5 Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον Μ.Κ.Δ. Έχουμε: 15 15 : 5 3 =3 5 5:5 1 Να υπολογιστούν τα κλάσματα 14-2 20 10. λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Για να κάνουμε την αφαίρεση των κλασμάτων πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα. Οπότε θα αφαιρέσουμε τους αριθμητές και παρονομαστή θα αφήσουμε τον ίδιο. Έχουμε 14 2-20 10 Θα βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. Παίρνουμε τα πολλαπλάσια του 20 και του 10. Π 20 : 0, 20, 40, 60,... Π 10 : 0, 10, 20, 30, 40,... Άρα Ε.Κ.Π. (20, 10) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές 20 : 20 = 1 και 20 : 10 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων με το αντίστοιχο πηλίκο.

23 ο Κεφάλαιο 46 Είναι: 14 14 1 14 20 20 1 20, 2 2 2 4 10 10 2 20 Τα κλάσματα 14 και 4 20 20 Έχουμε: Το κλάσμα 10 20 Δ 10 : 0, 2, 5, 10 14 4 14-4 10-20 20 20 20 Δ 20 : 0, 2, 4, 5, 10, 20 Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 20) = 10. είναι ομώνυμα. Μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 10. Είναι: 10 10 : 10 1 20 20 : 10 2 Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις: α) 4 3 7 2 + + - 8 8 8 4 β) 3 6 5 2 - + 5 10 20 λύση ΣΚΕΦΤΟΜΑΙ Πρώτα θα εκτελέσουμε τις πράξεις μέσα στην παρένθεση και έπειτα θα κάνουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση αντίστοιχα σε κάθε άσκηση.

Μαθηματικά α) 4 3 7 2 + + - 8 8 8 4 4+3+7 2 = - = 8 4 14 2 = - 8 4 = 47 Μέσα στην παρένθεση τα κλάσματα είναι ομώνυμα. Προσθέτουμε τους αριθμητές και α- φήνουμε τον ίδιο παρονομαστή. Τα κλάσματα δεν είναι ομώνυμα. Θα τα κάνουμε με το Ε.Κ.Π. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών Π 8 : 0, 8, 16, 24,... Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16,... Άρα Ε.Κ.Π. (8, 4) = 8. Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με κάθε παρονομαστή. 8 : 8 = 1 και 8 : 4 = 2 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα. 14 14 1 14 2 2 2 4, 8 8 1 8 4 4 2 8 Άρα έχουμε 14 4 14-4 10-8 8 8 8 Το κλάσμα 10 8 απλοποιείται. Θα πάρουμε τους διαιρέτες των όρων του. Δ 10 : 0, 2, 5, 10 Δ 8 : 0, 1, 2, 4, 8 Άρα Μ.Κ.Δ. (10, 8) = 2. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2. Είναι: 10 10 : 2 5 8 8:2 4, ανάγωγο κλάσμα. β) uur + 3 6 5 2 - + : su 5 10 20 Μέσα στην παρένθεση θα μετατρέψουμε το μεικτό σε κλάσμα

23 ο Κεφάλαιο 48 ( ) 2 5 +3 6 5 = - + 5 10 20 Κάνουμε πράξεις 10 + 3 6 5 = - + 5 10 20 13 6 5 = - + 5 10 20 13 2 6 1 5 = - + 5 2 10 1 20 26 6 5 = - + 10 10 20 20 2 5 1 = + 10 2 20 1 40 5 = + 20 20 Κάνουμε πράξεις Μέσα στην παρένθεση θα κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα. Ε. Κ.Π. (5,10) =10 Κάνουμε πράξεις Αφαιρούμε τους αριθμητές και παρανομαστή αφήνουμε τον ίδιο Πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα με το 2 και το 1 ώστε να προκύψουν ομώνυμα Προσθέτουμε τους αριθμητές και παρανομαστή αφήνουμε τον ίδιο 45 = Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 5, 20 ώστε να γίνει ανάγωγο 45 : 5 9 20 : 5 4 Ο Μανώλης φύτεψε στον κήπο τους 3 τριανταφυλλιές ροζ. Ο Μπάμπης 5 φύτεψε 22 1 τριανταφυλλιές άσπρες. Η Δέσποινα φύτεψε 0,2 τριαντα- 4 φυλλιές κόκκινες. Πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν και τα 3 παιδιά μαζί; λύση

Μαθηματικά 49 Θα μετατρέψουμε τους αριθμούς του προβλήματος στην ίδια μορφή. Θα προσθέσουμε τους αριθμούς που θα προκύψουν. Θα μετατρέψουμε τον μεικτό και τον δεκαδικό σε κλάσμα. + 1 (22 4)+1 88 +1 89 22 = 4 4 4 4 Το δεκαδικό 0,2 θα τον κάνουμε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του με το 5 ώστε να γίνουν ομώνυμα με το 3 5. Είναι: 0,2 0,2 5 1 1 1 5 5 Θα κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα ώστε να τα προσθέσουμε: Έχουμε: 9 3 1 + + 4 5 5 Παίρνουμε τα πολλαπλάσια των παρονομαστών. Π 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Π 5 : 0, 5, 10, 15, 20, 25,... Άρα Ε.Κ.Π. (4, 5, 5) = 20 Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές. 20 : 4 = 5 και 20 : 5 = 4 Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα αντίστοιχα πηλίκα. 9 9 5 45 3 3 4 12 1 1 4 4,, 4 4 5 20 5 5 4 20 5 5 4 20

23 ο Κεφάλαιο 50 Προσθέτουμε τα κλάσματα: 45 12 4 45 +12 + 4 61 + + 20 20 20 20 20 Απάντηση: Τα παιδιά φύτεψαν τα 61 20.

Μαθηματικά 51 1. Να γίνουν οι πράξεις: 2 3 5 1 + + + 7 7 7 7. 2. Να υπολογιστούν τα κλάσματα: 35 15-10 5. 3. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 2 5 2 + + - 11 11 11 33 4. Η κ. Φωτεινή αγόρασε μέλι και γέμισε 3 βαζάκια. Το πρώτο βαζάκι χώρεσε τα 2 6, το δεύτερο το 1 4 και το τρίτο τα 2. Περίσσεψε καθόλου μέλι; 12 5. 4 Ο Ηλίας έφαγε τα από το γλυκό του ταψιού που έκανε η μαμά του. Η 15 αδελφή του έφαγε τα 0,4 του γλυκού. Πόσο γλυκό περίσσεψε για τους γονείς τους;

23 ο Κεφάλαιο 52 Απαντήσεις των άλυτων ασκήσεων 1. 11 7 2. 5 1 = 10 2 3. 31 33 4. Περίσσεψαν τα 3 12 από το μέλι που αγόρασε. 5. 5 Έμειναν για τους γονείς τους τα 15 του γλυκού.