ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 14 έκδοση DΥΝI-EXC14-016b
Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εγαστήιο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγοεύεται η χήση, αντιγαφή, αποθήκευση και διανομή της παούσας παουσίασης, εξ ολοκλήου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμποικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κεδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή εευνητικής φύσεως, υπό την ποϋπόθεση να αναφέεται η πηγή ποέλευσης και να διατηείται το παόν μήνυμα. Πληοφοίες Δ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, 10-77154 Δ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr, 10-7733
Άσκηση 14: Εκφώνηση έστω υδαυλικός επενεγητής αποτελείται από: ένα υδαυλικό υποσύστημα και ένα μηχανικό υποσύστημα ασυμπίεστο ευστό? εξίσωση κίνησης συστήματος (με μετασχηματισμό Laplace) ουλεμάν με στεγανοποιητικό δακτύλιο λόγω της κίνησης (ταλάντωσης) του εμβόλου αναπτύσσονται σε αυτό υδοδυναμικές τιβές
υπολογισμός ενεγειακών όων υδαυλικού υποσυστήματος η κινητική ενέγεια συσσωεύεται στο στοιχείο αδανείας του ευστού T = 1 I Q η δυναμική ενέγεια είναι μηδενική : U = 0 o ασυμπίεστο ευστό o η οή του ευστού είναι οιζόντια, άα δεν μεταβάλλεται καθ ύψος η στάθμη του ευστού ενέγεια διαχέεται στην αντίσταση του σωλήνα: PC, = 1 R Q ισχύς ποσφέεται εξωτεικά από την αντλία πίεσης: P = t, p Q S
υπολογισμός ενεγειακών όων μηχανικού υποσυστήματος κινητική ενέγεια συσσωεύεται στη μάζα: Te 1 = mx δυναμική ενέγεια συσσωεύεται στο ελατήιο: Ue = 1 kx ενέγεια διαχέεται στην αντίσταση του εδάνου: P Ce, 1 = cx στο υποσύστημα δεν ποσφέεται εξωτεικά ισχύς: P te, = 0
συνολικά για το εξεταζόμενο σύστημα, οι ενεγειακοί όοι ποκύπτουν από την άθοιση των επί μέους όων κινητική ενέγεια του συστήματος: δυναμική ενέγεια του συστήματος: 1 1 T= T + Te T= I Q + mx 1 1 U= U + Ue = 0 + kx U= kx η ενέγεια του συστήματος που διαχέεται: 1 1 PC = PC, + PCe, PC = R Q + cx P = P + P = p Q+ P = p Q η εξωτεικά ποσφεόμενη στο σύστημα ισχύς:,, 0 t t te S t S
επιλογή Β.Ε. συστήματος συνολικοί ενεγειακοί όοι εμπλεκόμενες κινηματικές μεταβλητές μετατόπιση του εμβόλου παοχή όγκου του ευστού παατήηση... η δυναμική κατάσταση των υποσυστημάτων πειγάφεται από... την παοχή Q την ταχύτητα V ή την μετατόπιση x η σύζευξη των υποσυστημάτων επιτυγχάνεται με τη βοήθεια ενισχυτή F = AP και 1 υ = Q Τ= A A ❶ συντελεστής του ενισχυτή
για κινηματικές μεταβλητές διαθέτουμε μία εξίσωση το εξεταζόμενο συζευγμένο ευστομηχανικό σύστημα διαθέτει 1 Β.Ε. δυνατότητα επιλογής ως Β.Ε. είτε τη μετατόπιση του εμβόλου είτε την παοχή όγκου του ευστού (ή ισοδύναμα, την μεταβολή όγκου του ευστού)
επιλογή της μετατόπισης του εμβόλου ως Β.Ε. ❶ 1 υ= x 1 υ = Q x = Q Q = Ax ❷ A A συνολικοί ενεγειακοί όοι ❷... κινητική ενέγεια του συστήματος: 1 1 1 1 1 1 T = I Q + m x T = I ( Ax ) + m x T = ( I A + m) x T = M x M Μ ισοδύναμη μάζα συστήματος αφοά στον αγωγό που συνδέει την αντλία με τον υδαυλικό κύλινδο και δεν θα πέπει να συγχέεται με την κίνηση του ευστού μέσα στον υδαυλικό κύλινδο ❸ *
* τμήμα σωλήνα σταθεής διατομής o στοιχειώδης μάζα του ευστού dv = Aσ dx dm = dv dm = Aσ dx o κινητική ενέγεια της στοιχειώδους μάζας 1 = = Ekin dmυ dt o ταχύτητα της στοιχειώδους μάζας Q Q = υaσ υ = Aσ o η συνολική κινητική ενέγεια του ευστού στο μήκος του σωλήνα T = l 0 dt
l L 1 L 1 Q 1 L υ 0 0 0 σ A A 0 σ σ T = dt = dm = A dx = Q dx όπου I 1 1 L T= QL T= Q Aσ Aσ ισοδύναμη αδάνεια ενός υδαυλικού συστήματος I p L = Aσ ❹... λειτουγεί ως στοιχείο αδανείας στην κινητική ενέγεια I παατήηση... εκκινώντας από τον οισμό της κινητικής ενέγειας σε ένα γαμμικό μηχανικό σύστημα, και χησιμοποιώντας την έννοια της μάζας ενός ευστού, καταλήξαμε στην ισοδύναμη αδάνεια ενός υδαυλικού συστήματος
... συνεχίζοντας ❸ και ❹ 1 L σ 1 T= A + m x T= Mx A σ η δυναμική ενέγεια του συστήματος: M Μ... ισοδύναμη μάζα συστήματος 1 1 U= kx U= Kx K= k ισοδύναμο ελατήιο συστήματος η διαχεόμενη ισχύς του συστήματος: 1 1 1 1 P R ( Ax) c x P ( R A c) x P C x C = + C = + C = C C ισοδύναμη απόσβεση συστήματος
η εξωτεικά ποσφεόμενη στο σύστημα ισχύς: Pt = ps Q Pt = p S Ax Pt = FS x F S F S ισοδύναμη διέγεση συστήματος ενεγειακή αχή Lagrange εξίσωση της κίνησης του συστήματος... για την ανεξάτητη κινηματική μεταβλητή q = x L L PC Pt q= x L L PC Pt + = + = q = x t q q q q t x x x x ❺ για τον αδανειακό όο: ( T U) L q= x L 1 L = = q x ( Mx Kx ) Mx = = q x x x x d L d = ( Mx ) = Mx dt x dt πααγωγίζοντας ως πος το χόνο...
για τον όο ελαστικότητας: ( ) L q= x L T U 1 L = = ( Mx Kx ) = ( Kx) = Kx q x x x q1 για τον όο διάχυσης: PC q= x PC 1 PC = Cx Cx q= x = q x x x για τον όο διέγεσης: Pt q= x Pt Pt = q x { FS x = } = q x x x F S... αντικαθιστώντας στην ❺ L L P P t x x x x + C = t Mx + Kx + Cx = FS Mx + Cx + Kx = F S
επιλογή της μεταβολής όγκου του ευστού ως Β.Ε. Q εξ οισμού... όπου... = V 1 V = Ax x= V A ❶ 1 1 Q= V 1 υ = Q x = Q x = V A A A συνολικοί ενεγειακοί όοι ❻... ❻ κινητική ενέγεια του συστήματος: Q= V m 1 x= V A A A 1 1 1 1 1 1 T = I Q + m x T = I V + m V T = I + V 1 m 1 T = I + V T = I V A I ισοδύναμη αδάνεια συστήματος I I p
δυναμική ενέγεια του συστήματος: V x= A V k 1 1 1 U = k x U = k = V A A συμπιεστότητα ευστου 1 C 1/C p ** διαχεόμενη ισχύς του συστήματος: C V x 1 1 = 1 A V 1 V PC = R ( Ax ) + c x P V C R A c = + x= A A A 1 c 1 PC = R + V P = R V A R p... ισοδύναμη αντίσταση συστήματος
** η ταχύτητα διάδοσης του ήχου c σε ένα ευστό εξατάται από την πυκνότητα p του ευστού και το μέτο διόγκωσης K του ευστού c = K μέτο διόγκωσης ενός σώματος: αντίσταση του σώματος σε ομοιόμοφη συμπίεση (όσο πεισσότεο ασυμπίεστο είναι ένα σώμα τόσο υψηλότεη τιμή διαθέτει) Όταν ένα ευστό έει εντός σωλήνα με ελαστικά τοιχώματα, τότε η ελαστικότητα του τοιχώματος επηεάζει τη διόγκωση του ευστού (ισοδύναμα, εισάγει στο ευστό πόσθετη συμπιεστότητα), άα επηεάζει το μέτο διόγκωσης του ευστού, με αποτέλεσμα τη μεταβολή της ταχύτητας διάδοσης του ήχου μέσα στον σωλήνα. φυσική εμηνεία του όου 1/C p το ευστό, το οποίο αχικά θεωήθηκε ως ασυμπίεστο, αποκτά μία συμπιεστότητα (ισοδύναμη ελαστικότητα) εξ αιτίας της ελαστικότητας του εμβόλου
η εξωτεικά ποσφεόμενη στο σύστημα ισχύς: P p Q P p V Q= V t = S t = S... ισοδύναμη διέγεση συστήματος ενεγειακή αχή Lagrange εξίσωση της κίνησης του συστήματος... για την ανεξάτητη κινηματική μεταβλητή q = V L L P P L L P P + = + = t q q q q t V V V V C t q= V C t q = V ❽ για τον αδανειακό όο: ( T U) 1 1 1 L q= V L L = = I V V I V q V = = q V V V C V πααγωγίζοντας ως πος το χόνο... d L d d L = ( I V ) = I V dt V dt dt V
για τον όο ελαστικότητας: ( ) 1 1 1 L q= V L T U = = I V V q V V V C L 1 L 1 = V = V V C V C για τον όο διάχυσης: P P 1 P = = q V V V C q= V C C R V q = V R V για τον όο διέγεσης: P P P = ( ps V ) = q V V V t q= V t t q = V p S
... αντικαθιστώντας στην ❽ L L PC P t 1 + = I V + V + R V = ps t V V V V C 1 I V + R V + V = p S C
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ανάλογα με την επιλογή του Β.Ε., το εξεταζόμενο συζευγμένο δυναμικό σύστημα είναι δυνατόν να αναχθεί είτε σε ένα ισοδύναμο γαμμικό μηχανικό σύστημα είτε σε ένα ισοδύναμο υδαυλικό κύκλωμα αναγωγή σε ισοδύναμο γαμμικό μηχανικό σύστημα το ευστό εμφανίζεται στη συνολική ισοδύναμη μάζα του συστήματος (σε αυτόν τον όο υπάχει η αδάνεια του ευστού) και στη συνολική ισοδύναμη απόσβεση του συστήματος (σε αυτόν τον όο υπάχει η απόσβεση του ευστού, η οποία οφείλεται στις υδοδυναμικές τιβές) αναγωγή σε ισοδύναμο υδαυλικό κύκλωμα η μάζα του μηχανικού συστήματος εμφανίζεται ως μία πόσθετη δύναμη αδανείας στο υδαυλικό σύστημα. Το ελατήιο του μηχανικού συστήματος εμφανίζεται ως μία πόσθετη δύναμη ελαστικότητας στο υδαυλικό σύστημα. λόγω ελαστικότητας του εμβόλου, το ευστό αποκτά μία ισοδύναμη ελαστικότητα από φυσική άποψη, η ποσότητα εκφάζει τη συμπιεστότητα του ευστού ο αποσβεστήας του μηχανικού συστήματος εμφανίζεται ως μία πόσθετη δύναμη αντίστασης στο υδαυλικό σύστημα
συνοπτική παουσίαση των εξισώσεων για την εφαμογή της Ενεγειακής Αχής Lagrange στην αναγωγή σε ισοδύναμο μηχανικό σύστημα και στην αναγωγή σε ισοδύναμο υδαυλικό σύστημα
Ευχαιστώ για την ποσοχή σας! Εγαστήιο Δυναμικής & Κατασκευών Δ. Αντωνιάδης Ι..... antogian@central.ntua.gr Δ. Γιακόπουλος Χ.... chryiako@central.ntua.gr