Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες. Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1 (1) 2α (1) 2β (1,5) 3 (2,5) Σύνολο (6) Κ Ε
ΑΜ: Σελ. 2 από 5 Θέμα 1α [1 μονάδα]. Έστω Σ πεπερασμένο αλφάβητο και L γλώσσα στο Σ. Πόσοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Αν η L είναι διαγνώσιμη τότε είναι αναγνωρίσιμη (II) Αν η L είναι πλήρης στην κλάση NP τότε είναι διαγνώσιμη. (III) Αν η L είναι αναγνωρίσιμη αλλά δεν είναι διαγνώσιμη, τότε το συμπλήρωμά της δεν είναι αναγνωρίσιμη γλώσσα. Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ακριβώς ένας από τους ισχυρισμούς (Ι ΙΙΙ). (2) Αληθεύουν ακριβώς δύο από τους ισχυρισμούς (Ι ΙΙΙ). (3) Ουδείς αληθεύει. (4) Αληθεύουν όλοι Απάντηση: Σωστό είναι το (4). Θέμα 2α [1 μονάδα]. Δεχθείτε ότι υπάρχει μη διαγνώσιμη γλώσσα στο αλφάβητο {0, 1}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μη διαγνώσιμη γλώσσα στο αλφάβητο {0, 1} όλα τα στοιχεία της οποίας είναι μη κενές συμβολοσειρές των οποίων ο πρώτος όρος είναι 1. Απάντηση: Έστω L μία μη διαγνώσιμη γλώσσα στο {0, 1}. Θεωρούμε τη γλώσσα L = {1u u L} και την απεικόνιση f : {0, 1} {0, 1} που ορίζεται από f(u) = 1u. Είναι προφανές ότι η f είναι υπολογίσιμη και επιπλέον ότι u L ανν f(u) L. Επομένως Η L ανάγεται απεικονιστικά στην L με μία υπολογίσιμη απεικόνιση. Αφού η L δεν είναι διαγνώσιμη, ούτε η L είναι, και επιπλέον η L έχει τις επιθυμητές ιδιότητες.
ΑΜ: Σελ. 3 από 5 Θέμα 2β [1,5 μονάδα]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μη διαγνώσιμη γλώσσα στο αλφάβητο {1} (δεχόμενοι ό,τι και στο 2α). Σημείωση: Δεχθείτε ότι πράξεις μεταξύ συμβολοσειρών που μπορεί να περιγραφούν με έναν αλγοριθμικό τρόπο με διαισθητικό τρόπο ορίζουν υπολογίσιμες συναρτήσεις. Απάντηση: Για μία συμβολοσειρά u 1{0, 1} (δηλαδή δυαδική συμβολοσειρά που αρχίζει από 1), ορίζουμε ū ναι είναι η συμβολοσειρά στο αλφάβητο {1} της οποίας ο αριθμός των 1 ισούται με τον αριθμό που δηλώνει η u αν θεωρηθεί ως φυσικός αριθμός γραμμένος στο δυαδικό σύστημα (παρατηρήστε ότι αφού η u αρχίζει από 1,ο φυσικός αυτός είναι μονοσήμαντα ορισμένος). Π.χ. αν u = 101 τότε f(u) = 11111. Ορίζουμε τώρα την απεικόνιση f : {0, 1} {1} ως εξής: f (u) = ū αν η u έχει ως πρώτον όρο το 1, και f(u) = κενή ακολουθία, αλλιώς. Είναι φανερό ότι η f είναι υπολογίσιμη. Επίσης αν A είναι ένα μη διαγνώσιμο υποσύνολο του 1{0, 1} (υπάρχει τέτοιο με βάση το προηγούμενο ερώτημα), ορίζουμε B να είναι η εικόνα του A μέσω της f. Παρατηρούμε ότι u A ανν f(u) B, διότι η κενή ακολουθία δεν ανήκει στο B. Επίσης, το B είναι υποσύνολο του {1} και το μη διαγνώσιμο A ανάγεται απεικονιστικά στο B μέσω της υπολογίσιμης απεικόνισης f. Άρα μη διαγνώσιμο είναι και το B.
ΑΜ: Σελ. 4 από 5 Θέμα 2 [2,5 μονάδες]. Αποδείξτε ότι το ακόλουθο πρόβλημα είναι μέλος της κλάσης NP και πλήρες σε αυτήν. Δεδομένα: Κατευθυνόμενο γράφημα G = (V, E) και δύο κορυφές s, t V. Ερώτημα: Υπάρχει κατευθυνόμενο μονοπάτι στο G που ξεκινά από την s καταλήγει στην t, και επισκέπτεται περισσότερες από τις μισές κορυφές του V ; Προσοχή: Ένα μονοπάτι εξ ορισμού δεν επισκέπτεται μια κορυφή περισσότερες από μία φορές. Υπόδειξη: Για την πληρότητα, χρησιμοποιήστε αναγωγή από το πρόβλημα της Χαμιλτονιανής διαδρομής. Να κάνετε πλήρη και προσεκτική απόδειξη της ορθότητας της αναγωγής. Απάντηση: Έστω Π το δεδομένο πρόβλημα κωδικοποιημένο ως γλώσσα ενός αλφαβήτου. Δηλαδή Π = { G, s, t G = (V, E) κατευθυνόμενο γράφημα που έχει μονοπάτι από το s στο t που επισκέπτεται περισσότερες από τις μισές κορυφές του G}. Για να αποδείξουμε ότι το Π είναι στην κλάση NP θεωρούμε επαληθευτή ο οποίος δέχεται ως δεδομένο το G, s, t, p και αποδέχεται αν το p είναι μονοπάτι του G που ξεκινά από την s, καταλήγει στην t, και καλύπτει περισσότερες από τις μισές κορυφές του G. Είναι φανερό ότι ο επαληθευτής αποφαίνεται σε χρόνο πολυωνυμικό ως προς το μέγεθος G, s, t, άρα Π NP. Για την πληρότητα θα κάνουμε αναγωγή από το πλήρες πρόβλημα της Χαμιλτονιανής διαδρομής. Έστω επομένως G, s, t ένα στιγμιότυπο για το πρόβλημα της Χαμιλτονιανής διαδρομής, όπου G = (V, E). Θα ορίσουμε ένα στιγμιότυπο G, s, t του προβλήματος Π ως εξής: Το G αποτελείται από ένα αντίγραφο του G, με πρόσθετες νέες κορυφές τόσες όσες οι κορυφές του V \ {s, t}, και με τις ίδιες ακμές E (οι ακμές δεν έχουν άκρα από τις πρόσθετες κορυφές). Παρατηρούμε ότι οι πρόσθετες κορυφές του G είναι λιγότερες από τις μισές κορυφές του. Επίσης παρατηρούμε ότι αν ένα σύνολο κορυφών του G περιέχει περισσότερες από τις μισές κορυφές του και δεν περιέχει πρόσθετη, τότε περιέχει όλες τις μη πρόσθετες κορυφές του. Τέλος θέτουμε s = s και t = t. Είναι φανερό ότι ορίζεται έτσι μία απεικόνιση υπολογίσιμη σε πολυωνυμικό χρόνο. Συνεχίζεται στην επόμενη σελίδα G, s, t G, s, t,
ΑΜ: Σελ. 5 από 5 Για την ορθότητα της αναγωγής θα πρέπει να αποδείξουμε ότι G, s, t έχει Χαμιλτονιανή διαδρομή ανν G, s, t έχει μονοπάτι που διέρχεται από περισσότερες από τις μισές κορυφές του G. Για το ευθύ, αν p είναι Χαμιλτονιανή διαδρομή στο G, τότε το p είναι μονοπάτι στο G που διέρχεται από όλες τις μη πρόσθετες κορυφές του G, άρα διέρχεται από περισσότερες από τις μισές κορυφές του G. Για το αντίστροφο, παρατηρούμε, με βάση όσα αναφέραμε παραπάνω, ότι αν ένα μονοπάτι p του G περιέχει περισσότερες από τις μισές κορυφές του G, τότε, αφού εξ ορισμού ένα μονοπάτι δεν περιέχει πρόσθετες κορυφές, το p περιέχει όλες τις μη πρόσθετες κορυφές του G. Άρα αν το p είναι μονοπάτι στο G που ξεκινά από την s = s, καταλήγει στην t = t και περιέχει περισσότερες από τις μισές κορυφές του G, το p είναι Χαμιλτονιανή διαδρομή του G που ξεκινά από την s και καταλήγει στην t.